Pagrindinė tikimybių teorijos samprata. Tikimybių teorijos dėsniai. Tikimybių teorija ir pagrindinės teorijos sąvokos Matematinės tikimybės teorija

Doktrina apie įstatymus, kuriems galioja vadinamieji. atsitiktiniai reiškiniai. Užsienio žodžių žodynas, įtrauktas į rusų kalbą. Chudinovas A.N., 1910 m. Rusų kalbos svetimžodžių žodynas

tikimybių teorija- - [L.G. Sumenko. Anglų rusų informacinių technologijų žodynas. M .: GP TsNIIS, 2003.] Informacinės technologijos bendroji EN tikimybių teorijos tikimybės skaičiavimo teorija ... Techninis vertėjo vadovas

Tikimybių teorija- yra matematikos dalis, tirianti įvairių įvykių tikimybių ryšį (žr. Tikimybė ir statistika). Išvardijame svarbiausias su šiuo mokslu susijusias teoremas. Tikimybė, kad įvyks vienas iš kelių nenuoseklių įvykių, yra lygi ... ... F.A. enciklopedinis žodynas. Brockhausas ir I.A. Efronas

TIKIMYBIŲ TEORIJA- matematinė. mokslas, leidžiantis kai kurių atsitiktinių įvykių tikimybes (žr.) rasti atsitiktinių įvykių, susijusių su c.l. būdas su pirmuoju. Šiuolaikinis televizorius remiantis aksiomatika (žr. Metodas aksiomatinis) A. N. Kolmogorovas. Ant…… Rusijos sociologinė enciklopedija

Tikimybių teorija- matematikos šaka, kurioje pagal pateiktas kai kurių atsitiktinių įvykių tikimybes randamos kitų įvykių, tam tikru būdu susijusių su pirmuoju, tikimybės. Tikimybių teorija taip pat tiria atsitiktinius dydžius ir atsitiktinius procesus. Vienas iš pagrindinių...... Šiuolaikinio gamtos mokslo sampratos. Pagrindinių terminų žodynas

tikimybių teorija- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. tikimybių teorija vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. tikimybių teorija, f pranc. théorie des probabilités, f ... Fizikos terminų žodynas

Tikimybių teorija- ... Vikipedija

Tikimybių teorija- matematinė disciplina, tirianti atsitiktinių reiškinių dėsnius ... Šiuolaikinio gamtos mokslo pradžia

TIKIMYBIŲ TEORIJA- (tikimybių teorija) žr. Tikimybė ... Išsamus aiškinamasis sociologinis žodynas

Tikimybių teorija ir jos taikymai- („Tikimybių teorija ir jos taikymai“,) SSRS mokslų akademijos Matematikos skyriaus mokslinis žurnalas. Publikuoja originalius straipsnius ir trumposios žinutės apie tikimybių teoriją, bendrus klausimus matematinė statistika ir jos taikymas gamtos moksluose ir ... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Knygos

  • Tikimybių teorija. , Wentzel E.S .. Knyga yra vadovėlis, skirtas žmonėms, kurie yra susipažinę su matematika pagal įprastą universiteto kursą ir domisi techniniais tikimybių teorijos pritaikymais, ... Pirkti už 2056 UAH (tik Ukraina)
  • Tikimybių teorija. , Wentzel E.S .. Knyga yra vadovėlis, skirtas asmenims, susipažinusiems su matematika įprasto universiteto kurso apimtyje ir besidomintiems techniniais tikimybių teorijos pritaikymais ...

Kas yra tikimybė?

Pirmą kartą susidūręs su šiuo terminu nesuprasčiau, kas tai yra. Todėl pabandysiu tai paaiškinti prieinamai.

Tikimybė yra tikimybė, kad įvyks mums reikalingas įvykis.

Pavyzdžiui, nusprendėte aplankyti draugą, prisiminti įėjimą ir net grindis, ant kurių jis gyvena. Bet pamiršau buto numerį ir vietą. O štai tu stovi ant laiptinės, o priešais tave – durys, iš kurių galima rinktis.

Kokia tikimybė (tikimybė), kad jei paskambinsi pirmomis durimis, tavo draugas tau atsivers? Visas butas, o draugas gyvena tik dėl vieno iš jų. Galime pasirinkti bet kokias duris vienodai.

Bet kokia yra ši galimybė?

Durys, dešinės durys. Tikimybė atspėti paskambinus pirmomis durimis:. Tai yra, vieną kartą iš trijų jūs tikrai atspėsite.

Vieną kartą paskambinę norime išsiaiškinti, kaip dažnai spėsime duris? Apsvarstykime visas galimybes:

  1. Tu paskambinai 1-oji durys
  2. Tu paskambinai 2-oji durys
  3. Tu paskambinai 3 durys

Dabar pažvelkime į visas parinktis, kuriose gali būti draugas:

a. Per 1-oji prie durų
b. Per 2-oji prie durų
v. Per 3 prie durų

Palyginkime visas parinktis lentelės pavidalu. Varnele pažymimi variantai, kai tavo pasirinkimas sutampa su draugo vieta, kryželis – kai nesutampa.

Kaip tu viską matai Gal būt galimybės draugo buvimo vieta ir jūsų pasirinkimas, į kurias duris skambinti.

A visiems palankūs rezultatai . Tai yra, karts nuo karto spėsite skambindami į duris, t.y. ...

Tai tikimybė – palankaus rezultato (kai jūsų pasirinkimas sutapo su draugo buvimo vieta) ir galimų įvykių skaičiaus santykis.

Apibrėžimas yra formulė. Tikimybė paprastai žymima p, todėl:

Rašyti tokią formulę nėra labai patogu, todėl už - palankių baigčių skaičių, o už - bendrą baigčių skaičių.

Tikimybę galima parašyti procentais, tam reikia gautą rezultatą padauginti iš:

Tikriausiai akį patraukė žodis „rezultatai“. Kadangi matematikai įvairius veiksmus (mūsų atveju toks veiksmas yra skambėjimas prie durų) vadina eksperimentais, tai tokių eksperimentų rezultatas dažniausiai vadinamas rezultatu.

Na, o rezultatai yra palankūs ir nepalankūs.

Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Tarkime, paskambinome į vieną iš durų, bet jas mums atidarė nepažįstamas žmogus. Mes neatspėjome. Kokia tikimybė, kad jei paskambinsime į vieną iš likusių durų, mūsų draugas mums atsivers?

Jei taip manai, vadinasi, tai klaida. Išsiaiškinkime.

Mums liko dvejos durys. Taigi, turime galimų veiksmų:

1) Paskambink 1-oji durys
2) Paskambink 2-oji durys

Už vieno iš jų neabejotinai stovi draugas (juk jis nebuvo už tą, kuriam paskambinome):

a) draugas už 1-oji prie durų
b) draugas už 2-oji prie durų

Dar kartą nubraižome lentelę:

Kaip matote, yra visos galimybės, kurios yra palankios. Tai yra, tikimybė yra lygi.

Kodėl gi ne?

Situacija, kurią svarstėme - priklausomų įvykių pavyzdys. Pirmasis įvykis yra pirmasis durų skambutis, antrasis įvykis yra antrasis durų skambutis.

Ir jie vadinami priklausomais, nes turi įtakos šiems veiksmams. Juk jei po pirmo skambučio mums duris atidarytų draugas, kokia būtų tikimybė, kad jis yra už vieno iš kitų dviejų? Teisingai,.

Bet jei yra priklausomi įvykiai, tai turi būti nepriklausomas? Tiesa, yra.

Vadovėlio pavyzdys – monetos metimas.

  1. Mesti monetą vieną kartą. Kokia tikimybė, kad, pavyzdžiui, išlįs galvos? Teisingai – nes variantai viskam (ar galvos, ar uodegos, nepaisome tikimybės, kad moneta atsistos ant krašto), bet tinka tik mums.
  2. Bet tai buvo uodegos. Gerai, pameskime dar kartą. Kokia dabartinė tikimybė gauti galvas? Niekas nepasikeitė, viskas taip pat. Kiek variantų? Du. Kiek tai mums tinka? Vienas.

Ir tegul iškyla uodegos tūkstančius kartų iš eilės. Tikimybė gauti galvas vienu metu bus tokia pati. Variantų visada yra, bet palankių.

Nesunku atskirti priklausomus įvykius nuo nepriklausomų:

  1. Jei eksperimentas atliekamas vieną kartą (kartą jie įmeta monetą, vieną kartą paskambina į duris ir pan.), tada įvykiai visada yra nepriklausomi.
  2. Jei eksperimentas atliekamas kelis kartus (kartą metama moneta, kelis kartus suskamba durų skambutis), tada pirmasis įvykis visada yra nepriklausomas. Ir tada, jei keičiasi palankių ar visų baigčių skaičius, įvykiai yra priklausomi, o jei ne, jie yra nepriklausomi.

Šiek tiek pasitreniruokime nustatydami tikimybę.

1 pavyzdys.

Moneta metama du kartus. Kokia tikimybė susitrenkti galvą du kartus iš eilės?

Sprendimas:

Apsvarstykite visus galimus variantus:

  1. Erelis-erelis
  2. Galvos-uodegos
  3. Galvos-uodegos
  4. Uodegos-uodegos

Kaip matote, visas variantas. Iš jų tinka tik mums. Tai yra tikimybė:

Jei sąlygos tiesiog prašoma rasti tikimybę, tada atsakymas turi būti pateiktas dešimtainės trupmenos forma. Jei būtų nurodyta, kad atsakymas turi būti pateiktas procentais, tada padaugintume iš.

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Šokoladų dėžutėje visi šokoladai supakuoti į tą patį popierių. Tačiau iš saldumynų – su riešutais, su konjaku, su vyšniomis, su karamele ir su nuga.

Kokia tikimybė, paėmus vieną saldainį, gauti saldainį su riešutais. Pateikite savo atsakymą procentais.

Sprendimas:

Kiek yra galimų rezultatų? ...

Tai yra, paėmus vieną saldainį, jis bus vienas iš dėžutėje esančių.

Kiek palankių rezultatų?

Nes dėžutėje yra tik saldainiai su riešutais.

Atsakymas:

3 pavyzdys.

Dėžutėje su kamuoliukais. iš jų balti, - juodi.

  1. Kokia tikimybė ištraukti baltą rutulį?
  2. Į dėžutę pridėjome daugiau juodų kamuoliukų. Kokia dabar tikimybė ištraukti baltą rutulį?

Sprendimas:

a) Dėžutėje yra visi rutuliai. Iš jų balta.

Tikimybė lygi:

b) Dabar dėžutėje yra kamuoliukai. Ir liko tiek pat baltųjų -.

Atsakymas:

Visiška tikimybė

Visų galimų įvykių tikimybė yra ().

Tarkime, raudonų ir žalių kamuoliukų dėžutėje. Kokia tikimybė ištraukti raudoną rutulį? Žalias rutulys? Raudonas ar žalias rutulys?

Galimybė traukti raudoną rutulį

Žalias rutulys:

Raudonas arba žalias rutulys:

Kaip matote, visų galimų įvykių suma yra (). Šios akimirkos supratimas padės išspręsti daugybę problemų.

4 pavyzdys.

Dėžutėje yra žymekliai: žalia, raudona, mėlyna, geltona, juoda.

Kokia tikimybė ištraukti NE raudoną flomasterį?

Sprendimas:

Suskaičiuokime sumą palankių rezultatų.

NĖRA raudonas žymeklis, tai reiškia žalią, mėlyną, geltoną arba juodą.

Visų įvykių tikimybė. Ir įvykių, kuriuos laikome nepalankiais, tikimybė (kai ištraukiame raudoną flomasterį) -.

Taigi, tikimybė ištraukti NE raudoną flomasterį yra.

Atsakymas:

Tikimybė, kad įvykis neįvyks, yra lygi atėmus tikimybę, kad įvykis įvyks.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė

Jūs jau žinote, kas yra nepriklausomi renginiai.

Ką daryti, jei reikia rasti tikimybę, kad du (ar daugiau) nepriklausomi įvykiai įvyks iš eilės?

Tarkime, norime sužinoti, kokia tikimybė, kad vieną kartą išmetę monetą, du kartus pamatysime erelį?

Mes jau suskaičiavome -.

O jei vieną kartą išverstume monetą? Kokia tikimybė pamatyti erelį iš eilės?

Visi galimi variantai:

  1. Erelis-erelis-erelis
  2. Galvos-galvos-uodegos
  3. Galvos-uodegos-galvos
  4. Galvos-uodegos-uodegos
  5. Uodegos-galvos-galvos
  6. Uodegos-galvos-uodegos
  7. Uodegos-uodegos-galvos
  8. Uodegos-Uodegos-Uodegos

Nežinau kaip jūs, bet kartą suklydau sudarydamas šį sąrašą. Oho! Ir mums tinka vienintelis variantas (pirmas).

5 metimams galite patys sudaryti galimų rezultatų sąrašą. Tačiau matematikai nėra tokie darbštūs kaip jūs.

Todėl jie pirmiausia pastebėjo, o paskui įrodė, kad tam tikros nepriklausomų įvykių sekos tikimybė kiekvieną kartą mažėja vieno įvykio tikimybe.

Kitaip tariant,

Apsvarstykite tos pačios nelaimingos monetos pavyzdį.

Tikimybė susidurti su iššūkiu? ... Dabar vieną kartą išverčiame monetą.

Kokia tikimybė susitrenkti galvą vieną kartą iš eilės?

Ši taisyklė veikia ne tik tuo atveju, jei mūsų prašoma rasti tikimybę, kad tas pats įvykis įvyks kelis kartus iš eilės.

Jei norėtume rasti GRIP-EAGLE-GRILLE seką metimams iš eilės, darytume tą patį.

Galvų kritimo tikimybė yra -, galvos -.

Tikimybė iškristi iš sekos GRILĖS-ERELĖS-GRILĖS-GRILĖS:

Tai galite patikrinti patys, pasidarę lentelę.

Nenuoseklių įvykių tikimybių pridėjimo taisyklė.

Taigi sustok! Naujas apibrėžimas.

Išsiaiškinkime. Paimkite mūsų susidėvėjusią monetą ir vieną kartą išmeskite.
Galimi variantai:

  1. Erelis-erelis-erelis
  2. Galvos-galvos-uodegos
  3. Galvos-uodegos-galvos
  4. Galvos-uodegos-uodegos
  5. Uodegos-galvos-galvos
  6. Uodegos-galvos-uodegos
  7. Uodegos-uodegos-galvos
  8. Uodegos-Uodegos-Uodegos

Taigi, nesuderinami įvykiai yra tam tikra, iš anksto nustatyta įvykių seka. yra nesuderinami įvykiai.

Jei norime nustatyti, kokia yra dviejų (ar daugiau) nesuderinamų įvykių tikimybė, tada pridedame šių įvykių tikimybes.

Turite suprasti, kad krentančios galvos ar uodegos yra du nepriklausomi įvykiai.

Jei norime nustatyti, kokia yra sekos (ar bet kurios kitos) tikimybė, tada naudojame tikimybių daugybos taisyklę.
Kokia yra tikimybė gauti galvą per pirmąjį metimą, o antrą ir trečią uodegą?

Bet jei norime sužinoti, kokia tikimybė gauti vieną iš kelių sekų, pavyzdžiui, kai galvos iškrenta lygiai vieną kartą, t.y. parinktys ir tada turime pridėti šių sekų tikimybes.

Mums tinka visi variantai.

Tą patį galime gauti sudėję kiekvienos sekos tikimybes:

Taigi, kai norime nustatyti kai kurių nenuoseklių įvykių sekų tikimybes, pridedame tikimybes.

Yra puiki taisyklė, padedanti išvengti painiavos, kada reikia dauginti, o kada pridėti:

Grįžkime prie pavyzdžio, kai vieną kartą išvertėme monetą, ir norime žinoti tikimybę vieną kartą pamatyti galvas.
Kas atsitiks?

Turėtų nukristi:
(galvos IR uodegos IR uodegos) ARBA (uodegos IR uodegos IR uodegos) ARBA (uodegos IR uodegos IR uodegos).
Taigi paaiškėja:

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

5 pavyzdys.

Dėžutėje yra pieštukai. raudonos, žalios, oranžinės ir geltonos bei juodos spalvos. Kokia tikimybė ištraukti raudonus ar žalius pieštukus?

Sprendimas:

Kas atsitiks? Turime ištraukti (raudona ARBA žalia).

Dabar aišku, pridedame šių įvykių tikimybes:

Atsakymas:

6 pavyzdys.

Kauliukai metami du kartus, kokia tikimybė iš viso surinkti 8 taškus?

Sprendimas.

Kaip galime gauti taškų?

(ir) arba (ir) arba (ir) arba (ir) arba (ir).

Tikimybė iškristi iš vieno (bet kurio) veido -.

Apskaičiuojame tikimybę:

Atsakymas:

Sportuoti.

Manau, dabar jums tapo aišku, kada skaičiuoti tikimybes, kada jas pridėti, o kada padauginti. Ar ne taip? Truputį pasitreniruokime.

Užduotys:

Paimkime kortų kaladę, kurioje kortos, įskaitant kastuvus, širdeles, 13 lazdų ir 13 deimantų. Nuo iki kiekvieno kostiumo tūzo.

  1. Kokia tikimybė ištraukti lazdas iš eilės (pirmą ištrauktą kortą dedame atgal į kaladę ir sumaišome)?
  2. Kokia tikimybė ištraukti juodą kortą (kastuvus ar lazdas)?
  3. Kokia tikimybė ištraukti paveikslėlį (domkratas, dama, karalius ar tūzas)?
  4. Kokia tikimybė nupiešti du paveikslėlius iš eilės (iš kaladės išimame pirmą ištrauktą kortą)?
  5. Kokia tikimybė, paėmus dvi kortas, surinkti derinį – (domkas, dama ar karalius) ir tūzas Seka, kuria kortos bus ištrauktos, neturi reikšmės.

Atsakymai:

  1. Kiekvienos vertės kortų kaladėje tai reiškia:
  2. Įvykiai priklausomi, nes po pirmosios kortos ištraukimo kortų kaladėje sumažėjo (taip pat ir „paveikslėlių“). Bendras domkratų, damų, karalių ir tūzų skaičius kaladėje iš pradžių, o tai reiškia tikimybę, kad pirmoji korta ištrauks „paveikslėlį“:

    Kadangi mes išimame pirmą kortą iš kaladės, tai reiškia, kad kaladėje jau yra korta, kurios nuotraukos yra. Tikimybė ištraukti paveikslėlį su antrąja kortele:

    Kadangi mus domina situacija, kai gauname iš kaladės: „paveikslėlis“ IR „paveikslėlis“, tai tikimybes reikia padauginti:

    Atsakymas:

  3. Ištraukus pirmą kortą, kortų kaladėje sumažės, todėl turime dvi galimybes:
    1) Su pirmąja korta išimame Tūzą, antrąja – domkratą, damą ar karalių
    2) Su pirmąja korta išimame domkratą, damą arba karalių, antrąja – tūzą. (tūzas ir (domkas arba dama arba karalius)) arba ((domkas arba dama arba karalius) ir tūzas). Nepamirškite sumažinti kortų skaičiaus kaladėje!

Jei visas problemas pavyko išspręsti pačiam, vadinasi, esate puikus draugas! Dabar vieningame valstybiniame egzamine spustelėsite tikimybes!

TIKIMYBIŲ TEORIJA. VIDUTINIS LYGIS

Pažiūrėkime į pavyzdį. Tarkime, metame kauliuką. Koks čia kaulas, žinai? Tai yra kubo, kurio kraštuose yra skaičiai, pavadinimas. Kiek veidų, tiek skaičių: nuo iki kiek? Prieš.

Taigi, mes ridename kauliuką ir norime mesti arba. Ir tai atitenka mums.

Tikimybė sako, kas atsitiko palankus įvykis(nepainiokite su klestinčiais).

Jei iškristų, renginys irgi būtų palankus. Iš viso gali įvykti tik du palankūs įvykiai.

O kiek nepalankių? Kadangi yra visi galimi įvykiai, tai reiškia, kad tarp jų yra ir nepalankių įvykių (tai jei iškrenta arba).

Apibrėžimas:

Tikimybė yra palankių įvykių skaičiaus ir visų galimų įvykių skaičiaus santykis... Tai yra, tikimybė parodo, kokia visų galimų įvykių dalis yra palanki.

Jie žymi tikimybę lotyniška raide (matyt, iš angliškas žodis tikimybė – tikimybė).

Įprasta tikimybę matuoti procentais (žr. temas ir). Norėdami tai padaryti, tikimybės reikšmę reikia padauginti iš. Kauliuko pavyzdyje tikimybė.

Ir procentais:.

Pavyzdžiai (spręskite patys):

  1. Kokia tikimybė gauti galvą metant monetą? Kokia tikimybė gauti uodegą?
  2. Kokia tikimybė, kad metant kauliuką atsiras lyginis skaičius? O su kuria - nelyginis?
  3. Pieštukų dėžutėje, mėlyni ir raudoni pieštukai. Atsitiktinai nupieškite vieną pieštuką. Kokia tikimybė ištraukti paprastą?

Sprendimai:

  1. Kiek yra variantų? Galvos ir uodegos yra tik dvi. Kiek iš jų yra palankių? Tik vienas yra erelis. Taigi tikimybė

    Tas pats ir su uodegomis:.

  2. Iš viso parinkčių: (kiek pusių turi kubas, tiek įvairių variantų). Palankios: (visi tai lyginiai skaičiai :).
    Tikimybė. Su keistu, žinoma, tas pats.
  3. Iš viso: . Palanku:. Tikimybė:.

Visiška tikimybė

Visi stalčiuje esantys pieštukai žali. Kokia tikimybė ištraukti raudoną pieštuką? Nėra šansų: tikimybė (juk palankūs įvykiai -).

Toks įvykis vadinamas neįmanomu.

Kokia tikimybė ištraukti žalią pieštuką? Palankių įvykių yra lygiai tiek pat, kiek yra visų įvykių (visi įvykiai yra palankūs). Vadinasi, tikimybė yra lygi arba.

Toks įvykis vadinamas patikimu.

Jei dėžutėje yra žali ir raudoni pieštukai, kokia tikimybė ištraukti žalią ar raudoną? Ir vėl. Atkreipkite dėmesį į tai: tikimybė ištraukti žalią yra lygi, o raudona - lygi.

Apibendrinant, šios tikimybės yra lygiai lygios. Tai yra, visų galimų įvykių tikimybių suma lygi arba.

Pavyzdys:

Pieštukų dėžutėje, tarp jų mėlynos, raudonos, žalios, paprastos, geltonos, o likusios – oranžinės spalvos. Kokia tikimybė nepatraukti žalios spalvos?

Sprendimas:

Atminkite, kad visos tikimybės sumuojasi. Ir tikimybė ištraukti žalią yra lygi. Tai reiškia, kad tikimybė neištraukti žalios yra lygi.

Prisiminkite šį triuką: tikimybė, kad įvykis neįvyks, yra lygi minus tikimybei, kad įvykis įvyks.

Nepriklausomi įvykiai ir daugybos taisyklė

Vieną kartą išverčiate monetą ir norite, kad galvos nukristų abu kartus. Kokia tikimybė, kad taip nutiks?

Peržiūrėkime visas galimas parinktis ir nustatykime, kiek jų yra:

Galvos-galvos, galvos-galvos, galvos-galvos, galvos-galvos. Kas dar?

Visas variantas. Iš jų mums tinka tik vienas: Erelis-Erelis. Iš viso tikimybė yra.

Gerai. O dabar vieną kartą metame monetą. Suskaičiuok pats. Įvyko? (atsakymas).

Galbūt pastebėjote, kad pridėjus kiekvieną kitą metimą tikimybė sumažėja kelis kartus. Pagrindinė taisyklė paskambino daugybos taisyklė:

Nepriklausomų įvykių tikimybės kinta.

Kas yra nepriklausomi renginiai? Viskas logiška: tai tie, kurie nepriklauso vienas nuo kito. Pavyzdžiui, kai mes metame monetą kelis kartus, kiekvieną kartą daromas naujas metimas, kurio rezultatas nepriklauso nuo visų ankstesnių metimų. Lygiai taip pat galime išmesti dvi skirtingas monetas vienu metu.

Daugiau pavyzdžių:

  1. Kauliukai metami du kartus. Kokia tikimybė, kad abu laikai bus išmušti?
  2. Moneta metama vieną kartą. Kokia tikimybė, kad jis iš pradžių nusileis galva, o po to du kartus?
  3. Žaidėjas meta du kauliukus. Kokia tikimybė, kad ant jų esančių skaičių suma bus lygi?

Atsakymai:

  1. Įvykiai yra nepriklausomi, o tai reiškia, kad veikia daugybos taisyklė:.
  2. Erelio tikimybė yra. Taip pat yra uodegų atsiradimo tikimybė. Mes dauginame:
  3. 12 galima gauti tik išmetus du -ki:.

Nesuderinami įvykiai ir pridėjimo taisyklė

Nesuderinami įvykiai vadinami įvykiais, kurie papildo vienas kitą iki galo. Kaip rodo pavadinimas, jie negali vykti vienu metu. Pavyzdžiui, jei mes išverčiame monetą, ji gali pasirodyti galva arba uodega.

Pavyzdys.

Pieštukų dėžutėje, tarp jų mėlynos, raudonos, žalios, paprastos, geltonos, o likusios – oranžinės spalvos. Kokia tikimybė ištraukti žalią arba raudoną?

Sprendimas.

Tikimybė ištraukti žalią pieštuką yra. Raudona -.

Palankūs įvykiai: žalia + raudona. Tai reiškia, kad tikimybė ištraukti žalią arba raudoną yra lygi.

Tą pačią tikimybę galima pavaizduoti taip:.

Tai yra papildymo taisyklė: nesuderinamų įvykių tikimybės sumuojasi.

Mišrios problemos

Pavyzdys.

Moneta metama du kartus. Kokia tikimybė, kad metimų rezultatas bus kitoks?

Sprendimas.

Tai reiškia, kad jei pirmasis smūgis yra galvos, antrasis turėtų būti uodegos ir atvirkščiai. Pasirodo, yra dvi nepriklausomų įvykių poros ir šios poros yra nesuderinamos viena su kita. Kaip nesusipainioti, kur padauginti, o kur pridėti.

Tokioms situacijoms galioja paprasta nykščio taisyklė. Pabandykite apibūdinti, kas nutiks, susiedami įvykius su IR arba ARBA. Pavyzdžiui, šiuo atveju:

Turėtų kilti (galvos ir uodegos) arba (uodegos ir galvos).

Ten, kur yra jungtukas "ir", bus daugyba, o kur "arba" - pridėjimas:

Išbandykite patys:

  1. Kokia tikimybė, kad ta pati pusė abu kartus atsidurs ant dviejų monetos metimų?
  2. Kauliukai metami du kartus. Kokia tikimybė, kad iš viso bus taškų?

Sprendimai:

  1. (Galvos krito ir galvos krito) arba (uodegos krito ir uodegos krito):.
  2. Kokie variantai? ir. Tada:
    Iškrito (ir) arba (ir) arba (ir):.

Kitas pavyzdys:

Vieną kartą metame monetą. Kokia tikimybė, kad galvos išlįs bent kartą?

Sprendimas:

Oi, kaip jūs nenorite eiti per pasirinkimus ... Galvos-uodegos-uodegos, Galvos-uodegos-uodegos, ... Bet ne! Primename visą tikimybę. Prisiminėte? Kokia tikimybė, kad erelis nebus numestas net vieną kartą? Tai paprasta: uodegos skraido visą laiką, taigi.

TIKIMYBIŲ TEORIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Tikimybė yra palankių įvykių skaičiaus ir visų galimų įvykių skaičiaus santykis.

Nepriklausomi renginiai

Du įvykiai yra nepriklausomi, jei vienam įvykus kito įvykio tikimybė nekinta.

Visiška tikimybė

Visų galimų įvykių tikimybė yra ().

Tikimybė, kad įvykis neįvyks, yra lygi atėmus tikimybę, kad įvykis įvyks.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė

Tam tikros nepriklausomų įvykių sekos tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sandaugai

Nesuderinami įvykiai

Nesuderinami įvykiai vadinami įvykiais, kurie negali įvykti vienu metu dėl eksperimento. Nemažai nesuderinamų įvykių sudaro visą įvykių grupę.

Nenuoseklių įvykių tikimybės sumuojasi.

Aprašę, kas turi įvykti, naudodami jungtukus „IR“ arba „ARBA“, vietoje „IR“ dedame daugybos ženklą, o vietoje „ARBA“ – sudėjimą.

LIKUSIAI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!

Tapk YouClever studentu,

Pasiruoškite NAUDOJIMUI arba NAUDOKITE matematikoje už „puodelį kavos per mėnesį“,

Taip pat gaukite neribotą prieigą prie „YouClever“ vadovėlio, „100gia“ mokymo programos (reshebnik), neriboto bandomojo USE ir OGE, 6000 problemų su sprendimų analizės ir kitų YouClever ir 100gia paslaugų.

ĮVADAS

Daugelis dalykų mums yra nesuprantami, ne todėl, kad mūsų sąvokos yra silpnos;
bet kadangi šie dalykai neįtraukti į mūsų sąvokų diapazoną.
Kozma Prutkovas

Pagrindinis matematikos mokymosi vidurinėse specializuotose mokymo įstaigose tikslas – suteikti studentams matematinių žinių ir įgūdžių, reikalingų studijuoti kitas programos disciplinas, kurios tam tikru mastu naudoja matematiką, gebėjimus atlikti praktinius skaičiavimus, formuoti ir tobulinti matematiką. loginis mąstymas.

Šiame darbe nuosekliai pristatomos visos pagrindinės matematikos skyriaus „Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos pagrindai“ sąvokos, numatytos programoje ir valstybiniuose vidurinio profesinio išsilavinimo standartuose (Rusijos Federacijos švietimo ministerija. M. , 2002), suformuluotos pagrindinės teoremos, kurių dauguma nėra įrodytos ... Aptariami pagrindiniai uždaviniai ir jų sprendimo būdai bei šių metodų taikymo sprendžiant praktines problemas technologijos. Prie pristatymo pateikiamos išsamios pastabos ir daugybė pavyzdžių.

Metodiniai nurodymai gali būti naudojami pirminiam susipažinimui su studijuojama medžiaga, konspektuojant paskaitas, pasirengimui praktiniams pratimams, įgytų žinių, gebėjimų ir įgūdžių įtvirtinimui. Be to, vadovas bus naudingas vyresniems studentams kaip informacinė priemonė, leidžianti greitai prisiminti, kas buvo studijuota anksčiau.

Darbo pabaigoje pateikiami pavyzdžiai ir užduotys, kurias mokiniai gali atlikti savikontrolės režimu.

Metodiniai nurodymai skirti neakivaizdinių ir dieninių ugdymo formų studentams.

PAGRINDINĖS SĄVOKOS

Tikimybių teorija tiria objektyvius masinių atsitiktinių įvykių dėsnius. Tai teorinis matematinės statistikos pagrindas, kuriame kuriami stebėjimo rezultatų rinkimo, aprašymo ir apdorojimo metodai. Per stebėjimus (bandymus, eksperimentus), t.y. patyrimas plačiąja to žodžio prasme, vyksta realaus pasaulio reiškinių pažinimas.

Savo praktikoje dažnai susiduriame su reiškiniais, kurių baigties neįmanoma numatyti, kurių rezultatas priklauso nuo atvejo.

Atsitiktinį reiškinį galima apibūdinti jo pasireiškimų skaičiaus ir bandymų skaičiaus santykiu, kurių kiekviename, esant vienodoms visų bandymų sąlygoms, jis galėjo įvykti arba ne.

Tikimybių teorija – matematikos šaka, kurioje tiriami atsitiktiniai reiškiniai (įvykiai) ir atskleidžiami modeliai masinio jų kartojimosi metu.

Matematinė statistika yra matematikos šaka, kurios tyrimo objektas yra statistinių duomenų rinkimo, sisteminimo, apdorojimo ir panaudojimo metodai moksliškai pagrįstoms išvadoms gauti ir sprendimams priimti.

Šiuo atveju statistiniai duomenys suprantami kaip skaičių rinkinys, atspindintis mus dominančių objektų savybių kiekybines charakteristikas. Statistiniai duomenys gaunami specialiai nustatytų eksperimentų ir stebėjimų metu.

Statistiniai duomenys iš esmės priklauso nuo daugelio atsitiktinių veiksnių, todėl matematinė statistika yra glaudžiai susijusi su tikimybių teorija, kuri yra jos teorinis pagrindas.

I. TIKIMYBĖ. TIKIMYBIŲ SUDĖTIS IR PAdauginimas

1.1. Pagrindinės kombinatorikos sąvokos

Matematikos skyriuje, vadinamoje kombinatorika, sprendžiami kai kurie uždaviniai, susiję su aibių svarstymu ir įvairių šių aibių elementų kombinacijų sudarymu. Pavyzdžiui, jei paimsite 10 skirtingų skaičių 0, 1, 2, 3,:, 9 ir iš jų darysite kombinacijas, gausime skirtingus skaičius, pavyzdžiui, 143, 431, 5671, 1207, 43 ir tt.

Matome, kad kai kurios iš šių kombinacijų skiriasi tik skaitmenų tvarka (pavyzdžiui, 143 ir 431), kitos – į juos esančiais skaitmenimis (pvz., 5671 ir 1207), dar kitos – skaitmenų skaičiumi ( pavyzdžiui, 143 ir 43).

Taigi, gauti deriniai tenkina įvairias sąlygas.

Atsižvelgiant į kompozicijos taisykles, yra trijų tipų deriniai: permutacijos, išdėstymas, deriniai.

Pirmiausia susipažinkime su koncepcija faktorinis.

Vadinama visų natūraliųjų skaičių sandauga nuo 1 iki n imtinai n faktorinis ir parašyk.

Apskaičiuokite: a); b); v) .

Sprendimas. a) .

b) Nuo ir , tada galite išimti skliaustus

Tada gauname

v) .

Permutacijos.

n elementų, kurie vienas nuo kito skiriasi tik elementų tvarka, derinys vadinamas permutacijomis.

Permutacijos žymimos simboliu P n , kur n yra elementų, įtrauktų į kiekvieną permutaciją, skaičius. ( R- pirmoji prancūziško žodžio raidė permutacija- permutacija).

Permutacijų skaičių galima apskaičiuoti pagal formulę

arba naudojant faktorialą:

Prisiminti, kad 0 = 1 ir 1 = 1.

2 pavyzdys. Kiek būdų vienoje lentynoje gali būti išdėstytos šešios skirtingos knygos?

Sprendimas. Reikiamas būdų skaičius lygus 6 elementų permutacijų skaičiui, t.y.

Apgyvendinimas.

Apgyvendinimas nuo m elementai n kiekviename vadinami tokie junginiai, kurie skiriasi vienas nuo kito arba pačiais elementais (bent vienu), arba išdėstymo tvarka.

Vietos žymimos simboliu, kur m- visų turimų elementų skaičius, n- elementų skaičius kiekviename derinyje. ( A- pirmoji prancūziško žodžio raidė išdėstymas, o tai reiškia „patalpinimas, sutvarkymas“).

Šiuo atveju manoma, kad nm.

Vietų skaičių galima apskaičiuoti naudojant formulę

,

tie. visų galimų vietų skaičius nuo m elementai pagal n lygus produktui n iš eilės einantys sveikieji skaičiai, iš kurių didesnis yra m.

Parašykime šią formulę faktorine forma:

3 pavyzdys. Kiek trijų čekių platinimo variantų įvairaus profilio sanatorijose gali būti penkiems pretendentams?

Sprendimas. Reikalingas variantų skaičius lygus 5 elementų įdėjimų skaičiui po 3 elementus, t.y.

.

Deriniai.

Deriniai yra visi galimi deriniai m elementai pagal n kurios skiriasi viena nuo kitos bent vienu elementu (čia m ir n- natūraliuosius skaičius ir n m).

Derinių skaičius m elementai pagal n yra žymimi ( SU- pirmoji prancūziško žodžio raidė derinys- derinys).

Apskritai, skaičius iš m elementai pagal n yra lygus paskirties vietų skaičiui nuo m elementai pagal n padalintas iš permutacijų skaičiaus iš n elementai:

Naudodami faktorines formules išdėstymo ir permutacijų skaičiui, gauname:

4 pavyzdys. 25 žmonių komandoje turite skirti keturis darbui konkrečioje vietoje. Kiek būdų tai galima padaryti?

Sprendimas. Kadangi pasirinktų keturių žmonių eilės tvarka nėra svarbi, yra keletas būdų tai padaryti.

Randame pagal pirmąją formulę

.

Be to, sprendžiant uždavinius, naudojamos šios formulės, išreiškiančios pagrindines derinių savybes:

(pagal apibrėžimą daroma prielaida ir);

.

1.2. Kombinatorinių uždavinių sprendimas

1 užduotis. Fakultete studijuojama 16 dalykų. Pirmadienį reikia suplanuoti 3 elementus. Kiek būdų galite tai padaryti?

Sprendimas. Yra tiek daug būdų, kaip planuoti tris elementus iš 16, kiek galite išdėstyti 16 elementų po 3.

2 uždavinys. Iš 15 objektų reikia atrinkti 10 objektų. Kiek būdų tai galima padaryti?

3 uždavinys. Varžybose dalyvavo keturios komandos. Kiek yra vietų paskirstymo tarp jų variantų?

.

4 uždavinys. Kiek būdų galima sukurti trijų karių ir vieno karininko patrulį, jei yra 80 karių ir 3 pareigūnai?

Sprendimas. Galite pasirinkti patruliuojantį karį

būdais, o pareigūnai – būdais. Kadangi su kiekviena karių komanda gali eiti bet kuris karininkas, iš viso yra būdų.

5 uždavinys. Raskite, jei tai žinoma.

Nuo tada mes gauname

,

,

Iš derinio apibrėžimo išplaukia, kad. Tai. ...

1.3. Atsitiktinio įvykio samprata. Renginių tipai. Įvykio tikimybė

Bus vadinamas bet koks veiksmas, reiškinys, stebėjimas su keliais skirtingais rezultatais, realizuotas tam tikromis sąlygomis bandymas.

Šio veiksmo ar stebėjimo rezultatas vadinamas renginys .

Jei renginys val duotomis sąlygomis gali nutikti arba neįvykti, tada tai vadinama atsitiktinis ... Tuo atveju, kai įvykis tikrai turi įvykti, jis vadinamas patikimas ir tuo atveju, kai tai akivaizdžiai negali įvykti, - neįmanomas.

Renginiai vadinami nenuoseklus jei kiekvieną kartą gali pasirodyti tik vienas iš jų.

Renginiai vadinami Bendras jei tam tikromis sąlygomis vienas iš šių įvykių neatmeta galimybės įvykti kito to paties bandymo metu.

Renginiai vadinami priešingas jei testo sąlygomis jie, kaip vieninteliai jo rezultatai, yra nesuderinami.

Įvykiai paprastai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis: A, B, C, D, : .

Pilna įvykių sistema А 1, А 2, А 3,:, А n yra nesuderinamų įvykių visuma, kurių bent vieno pradžia yra privaloma tam tikram testui.

Jei visa sistema susideda iš dviejų nesuderinamų įvykių, tokie įvykiai vadinami priešingais ir žymimi A ir.

Pavyzdys. Dėžutėje yra 30 sunumeruotų rutuliukų. Nustatykite, kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, patikimi, priešingi:

gavo sunumeruotą rutulį (A);

gavo kamuoliuką su lyginiu skaičiumi (V);

gavo nelyginį kamuolį (SU);

gavo kamuolį be numerio (D).

Kurie iš jų sudaro visą grupę?

Sprendimas ... A- patikimas renginys; D- neįmanomas įvykis;

Į ir SU- priešingi įvykiai.

Visą renginių grupę sudaro A ir D, B ir SU.

Įvykio tikimybė yra laikoma objektyvios atsitiktinio įvykio galimybės matu.

1.4. Klasikinis tikimybės apibrėžimas

Vadinamas skaičius, kuris yra objektyvios įvykio galimybės matas tikimybė šį įvykį ir yra pažymėtas simboliu P (A).

Apibrėžimas. Įvykio tikimybė A yra rezultatų, palankių tam tikro įvykio pradžiai, skaičiaus santykis A, į numerį n visi rezultatai (nenuoseklūs, unikalūs ir vienodai galimi), t.y. ...

Todėl norint rasti įvykio tikimybę, įvertinus įvairius bandymo rezultatus, būtina apskaičiuoti visus galimus nenuoseklius rezultatus. n, pasirinkite mus dominančių rezultatų skaičių m ir apskaičiuokite santykį mĮ n.

Iš šio apibrėžimo išplaukia šios savybės:

Bet kurio testo tikimybė yra neneigiamas skaičius, neviršijantis vieneto.

Iš tiesų, ieškomų įvykių skaičius m yra ribose. Abi dalis dalijant į n, mes gauname

2. Patikimo įvykio tikimybė lygi vienetui, kadangi ...

3. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui, nes.

1 uždavinys. 1000 bilietų loterijoje laimi 200. Atsitiktinai išimkite vieną bilietą. Kokia tikimybė, kad šis bilietas bus laimėtojas?

Sprendimas. Bendras skirtingų rezultatų skaičius yra n= 1000. Rezultatų, palankių laimėti, skaičius yra m = 200. Pagal formulę gauname

.

2 uždavinys. 18 dalių partijoje yra 4 sugedusios dalys. Atsitiktinai parenkamos 5 dalys. Raskite tikimybę, kad iš šių 5 dalių dvi bus sugedusios.

Sprendimas. Visų vienodai galimų nepriklausomų rezultatų skaičius n yra lygus kombinacijų skaičiui nuo 18 iki 5 t.y.

Suskaičiuokime skaičių m, palankų įvykiui A. Tarp 5 atsitiktinai paimtų dalių turėtų būti 3 kokybiškos ir 2 brokuotos. Būdų, kaip pasirinkti dvi sugedusias dalis iš 4 galimų defektinių dalių, skaičius yra lygus derinių skaičiui nuo 4 iki 2:

Būdų, kaip pasirinkti tris kokybiškas dalis iš 14 turimų kokybiškų dalių, skaičius yra lygus

.

Bet kuri kokybiškų dalių grupė gali būti derinama su bet kuria brokuotų dalių grupe, todėl bendras derinių skaičius m yra

Ieškoma įvykio A tikimybė yra lygi šiam įvykiui palankių rezultatų m skaičiaus ir visų vienodai galimų nepriklausomų baigčių skaičiaus n santykiui:

.

Baigtinio įvykių skaičiaus suma yra įvykis, susidedantis iš bent vieno iš jų įvykimo.

Dviejų įvykių suma žymima simboliu A + B, o suma nįvykiai simboliu А 1 + А 2 +: + А n.

Tikimybių sudėjimo teorema.

Dviejų nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai.

Išvada 1. Jeigu įvykis А 1, А 2,:, А n sudaro pilną sistemą, tai šių įvykių tikimybių suma lygi vienetui.

Išvada 2. Priešingų įvykių tikimybių suma lygi vienetui.

.

1 uždavinys. Yra 100 loterijos bilietų. Yra žinoma, kad 5 bilietai gauna prizą 20 000 rublių, 10 - 15 000 rublių, 15 - 10 000 rublių, 25 - 2 000 rublių. o likusiems nieko. Raskite tikimybę, kad už įsigytą bilietą bus gautas bent 10 000 rublių prizas.

Sprendimas. Tegu A, B ir C yra įvykiai, susidedantys iš to, kad į pirktą bilietą patenka prizas, atitinkamai lygus 20 000, 15 000 ir 10 000 rublių. kadangi įvykiai A, B ir C yra nenuoseklūs, tada

2 problema. Įjungta neakivaizdinis technikumas iš miestų gauna matematikos testus A, B ir SU... Tikimybė gauti bandomąjį darbą iš miesto A lygus 0,6, iš miesto V- 0,1. Raskite tikimybę, kad kitą bandymas ateis iš miesto SU.

Daugelis, susidūrę su „tikimybių teorijos“ sąvoka, išsigąsta, manydami, kad tai kažkas nepaprasto, labai sunkaus. Tačiau iš tikrųjų viskas nėra taip tragiška. Šiandien mes apsvarstysime pagrindinę tikimybių teorijos sampratą, išmoksime spręsti problemas naudojant konkrečius pavyzdžius.

Mokslas

Ką tiria tokia matematikos šaka kaip „tikimybių teorija“? Ji atkreipia dėmesį į modelius ir kiekius. Pirmą kartą mokslininkai šiuo klausimu susidomėjo dar XVIII amžiuje, kai studijavo azartinius lošimus. Pagrindinė tikimybių teorijos samprata yra įvykis. Tai bet koks faktas, nustatytas patirtimi ar stebėjimu. Bet kas yra patirtis? Kita pagrindinė tikimybių teorijos samprata. Tai reiškia, kad šios aplinkybės susidarė ne atsitiktinai, o tam tikram tikslui. Kalbant apie stebėjimą, čia pats tyrėjas nedalyvauja eksperimente, o tiesiog yra šių įvykių liudininkas, jis niekaip neįtakoja to, kas vyksta.

Vystymai

Sužinojome, kad pagrindinė tikimybių teorijos samprata yra įvykis, bet nesvarstėme klasifikavimo. Visi jie skirstomi į šias kategorijas:

  • Patikimas.
  • Neįmanomas.
  • Atsitiktinis.

Nepriklausomai nuo to, kokie įvykiai stebimi ar sukuriami eksperimento metu, jiems visiems taikoma ši klasifikacija. Kviečiame susipažinti su kiekviena iš rūšių atskirai.

Patikimas renginys

Tai yra tokia aplinkybė, prieš kurią buvo imtasi reikiamų priemonių komplekso. Norint geriau suprasti esmę, geriau pateikti kelis pavyzdžius. Fizikai, chemijai, ekonomikai ir aukštajai matematikai galioja šis įstatymas. Tikimybių teorija apima tokią svarbią sąvoką kaip patikimas įvykis. Štai keletas pavyzdžių:

  • Dirbame ir atlygį gauname darbo užmokesčio forma.
  • Gerai išlaikėme egzaminus, išlaikėme konkursą, už tai gauname atlygį stojimo forma švietimo įstaiga.
  • Investavome pinigus į banką, jei reikės, atgausime.

Tokie įvykiai yra patikimi. Jei padarėme viską būtinas sąlygas, tuomet tikrai sulauksime laukiamo rezultato.

Neįmanomi įvykiai

Dabar nagrinėjame tikimybių teorijos elementus. Siūlome pereiti prie kito įvykio tipo, ty neįmanomo, paaiškinimo. Pirmiausia pateiksime daugiausiai sąlygų svarbi taisyklė- neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui.

Sprendžiant problemas negalima nukrypti nuo šios formuluotės. Aiškumo dėlei pateikiami tokių įvykių pavyzdžiai:

  • Vanduo užšalo plius dešimties temperatūroje (tai neįmanoma).
  • Elektros trūkumas neturi įtakos gamybai (taip pat neįmanoma, kaip ir ankstesniame pavyzdyje).

Daugiau pavyzdžių pateikti neverta, nes aukščiau aprašytieji labai aiškiai atspindi šios kategorijos esmę. Neįmanomas įvykis niekada neįvyks per patirtį jokiomis aplinkybėmis.

Atsitiktiniai įvykiai

Studijuojant elementus, ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas šiam renginio tipui. Būtent juos šis mokslas tiria. Dėl patirties kažkas gali atsitikti arba ne. Be to, testą galima atlikti neribotą skaičių kartų. Ryškūs pavyzdžiai:

  • Monetos metimas yra patirtis arba išbandymas, galvos kritimas yra įvykis.
  • Aklai ištraukti kamuolį iš maišo yra išbandymas, pagaunamas raudonas rutulys – tai įvykis ir t.t.

Tokių pavyzdžių gali būti neribotas skaičius, bet apskritai esmė turėtų būti aiški. Gautoms žinioms apie įvykius apibendrinti ir susisteminti pateikiama lentelė. Tikimybių teorija tiria tik paskutines rūšis iš visų pateiktų.

titulą

apibrėžimas

Patikimas

Įvykiai, vykstantys su 100 % garantija, laikantis tam tikrų sąlygų.

Priėmimas į mokymo įstaigą gerai išlaikius stojamąjį egzaminą.

Neįmanomas

Įvykiai, kurie niekada neįvyks jokiomis aplinkybėmis.

Sninga, kai oro temperatūra siekia plius trisdešimt laipsnių šilumos.

Atsitiktinis

Įvykis, kuris gali įvykti arba neįvykti eksperimento / bandymo metu.

Pataikyti arba nepataikyti metant krepšinio kamuolį į krepšį.

Įstatymai

Tikimybių teorija yra mokslas, tiriantis įvykio galimybę. Kaip ir kiti, ji turi tam tikras taisykles. Yra šie tikimybių teorijos dėsniai:

  • Atsitiktinių dydžių sekų konvergencija.
  • Didelių skaičių dėsnis.

Skaičiuodami komplekso galimybę, galite naudoti paprastų įvykių rinkinį, kad pasiektumėte rezultatą lengviau ir greičiau. Atkreipkite dėmesį, kad tikimybių teorijos dėsniai lengvai įrodomi naudojant kai kurias teoremas. Siūlome pirmiausia susipažinti su pirmuoju įstatymu.

Atsitiktinių dydžių sekų konvergencija

Atminkite, kad yra keletas konvergencijos tipų:

  • Atsitiktinių dydžių seka suartėja tikimybe.
  • Beveik neįmanoma.
  • Šaknies vidurkio ir kvadrato konvergencija.
  • Paskirstymo konvergencija.

Taigi skrendant labai sunku suvokti esmę. Štai keletas apibrėžimų, kurie padės suprasti šią temą. Pradedantiesiems pirmas vaizdas. Seka vadinama konverguoja tikimybe, jei įvykdoma ši sąlyga: n linkęs į begalybę, skaičius, iki kurio seka linksta, yra didesnis už nulį ir artimas vienetui.

Pereikime prie kitos formos, beveik tikrai... Sakoma, kad seka susilieja beveik tikrai atsitiktiniam dydžiui, nes n linkęs į begalybę, o P linkęs į vertę, artimą vienybei.

Kitas tipas yra RMS konvergencija... Naudojant SK-konvergenciją, vektorinių stochastinių procesų tyrimas redukuojamas iki jų koordinačių stochastinių procesų tyrimo.

Lieka paskutinis tipas, trumpai paanalizuosime, kad galėtume tiesiogiai spręsti problemas. Paskirstymo konvergencija turi dar vieną pavadinimą - „silpna“, toliau paaiškinsime, kodėl. Silpna konvergencija Ar paskirstymo funkcijų konvergencija visuose ribojančios pasiskirstymo funkcijos tęstinumo taškuose.

Neabejotinai laikysimės savo pažado: silpnoji konvergencija nuo visų aukščiau išvardintų skiriasi tuo, kad atsitiktinis dydis nėra apibrėžtas tikimybių erdvėje. Tai įmanoma, nes sąlyga formuojama tik naudojant paskirstymo funkcijas.

Didelių skaičių dėsnis

Tikimybių teorijos teoremos, tokios kaip:

  • Čebyševo nelygybė.
  • Čebyševo teorema.
  • Apibendrinta Čebyševo teorema.
  • Markovo teorema.

Jei atsižvelgsime į visas šias teoremas, šis klausimas gali užsitęsti kelias dešimtis puslapių. Mūsų pagrindinis uždavinys – tikimybių teoriją pritaikyti praktikoje. Siūlome tai padaryti dabar ir tai padaryti. Tačiau prieš tai panagrinėkime tikimybių teorijos aksiomas, jos bus pagrindiniai pagalbininkai sprendžiant problemas.

Aksiomos

Jau sutikome pirmąjį, kai kalbėjome apie neįmanomą įvykį. Prisiminkime: neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui. Pateikėme labai ryškų ir įsimintiną pavyzdį: snigo esant trisdešimties laipsnių Celsijaus oro temperatūrai.

Antrasis yra toks: patikimas įvykis įvyksta, kurio tikimybė lygi vienetui. Dabar parodysime, kaip tai parašyti matematine kalba: P (B) = 1.

Trečia: atsitiktinis įvykis gali įvykti arba neįvykti, tačiau tikimybė visada skiriasi nuo nulio iki vieneto. Kuo vertė artimesnė vienetui, tuo didesnė tikimybė; jei vertė artėja prie nulio, tikimybė yra labai maža. Parašykime matematine kalba: 0<Р(С)<1.

Apsvarstykite paskutinę, ketvirtąją aksiomą, kuri skamba taip: dviejų įvykių sumos tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai. Rašome matematine kalba: P (A + B) = P (A) + P (B).

Tikimybių teorijos aksiomos yra paprasčiausios taisyklės, kurias prisiminti nebus sunku. Pabandykime išspręsti kai kurias problemas, remdamiesi jau įgytomis žiniomis.

Loterijos bilietas

Pradėkime nuo paprasčiausio pavyzdžio – loterijos. Įsivaizduokite, kad nusipirkote vieną loterijos bilietą dėl sėkmės. Kokia tikimybė, kad laimėsite bent dvidešimt rublių? Iš viso loterijoje dalyvauja tūkstantis bilietų, iš kurių vieno – penkių šimtų rublių prizas, dešimt – už šimtą, penkiasdešimt – už dvidešimt ir šimtą – už penkis. Tikimybių problemos yra pagrįstos sėkmės galimybės radimu. Dabar kartu išanalizuosime aukščiau pateiktos užduoties sprendimą.

Jei penkių šimtų rublių laimėjimą pažymėsime raide A, tada tikimybė gauti A bus 0,001. Kaip mes tai gavome? Jums tereikia padalyti „laimingų“ bilietų skaičių iš bendro jų skaičiaus (šiuo atveju: 1/1000).

B yra šimto rublių laimėjimas, tikimybė bus 0,01. Dabar elgėmės tuo pačiu principu kaip ir ankstesniame veiksme (10/1000)

C - prizas yra dvidešimties rublių. Randame tikimybę, ji lygi 0,05.

Likę bilietai mūsų nedomina, nes jų prizinis fondas mažesnis nei nurodyta sąlygoje. Taikykime ketvirtąją aksiomą: tikimybė laimėti bent dvidešimt rublių yra P (A) + P (B) + P (C). Raidė P žymi šio įvykio tikimybę, jas jau radome ankstesniuose veiksmuose. Belieka tik pridėti reikiamus duomenis, atsakyme gauname 0,061. Šis skaičius bus atsakymas į užduoties klausimą.

Kortų kaladė

Tikimybių teorijos problemos taip pat yra sudėtingesnės, pavyzdžiui, paimkime šią užduotį. Čia yra trisdešimt šešių kortų kaladė. Jūsų užduotis yra ištraukti dvi kortas iš eilės, nemaišant krūvos, pirmoji ir antroji kortos turi būti tūzai, kostiumas nesvarbu.

Pirma, suraskime tikimybę, kad pirmoji korta bus tūzas, tam mes padaliname keturis iš trisdešimt šešių. Padedame į šalį. Išimame antrą kortą, tai bus tūzas su trijų trisdešimt penktadalių tikimybe. Antro įvykio tikimybė priklauso nuo to, kurią kortą ištraukiame pirmiausia, susimąstome, ar tai buvo tūzas, ar ne. Iš to išplaukia, kad įvykis B priklauso nuo įvykio A.

Kitas žingsnis – surasti vienalaikio įvykio tikimybę, tai yra, padauginame A ir B. Jų sandauga randama taip: vieno įvykio tikimybė padauginama iš sąlyginės kito įvykio tikimybės, kurią apskaičiuojame, darydami prielaidą, kad pirmasis įvyko įvykis, tai yra, su pirmąja korta ištraukėme tūzą.

Kad viskas būtų aišku, tokį elementą priskirsime įvykiais. Jis apskaičiuojamas darant prielaidą, kad įvykis A įvyko. Apskaičiuota taip: P (B / A).

Tęskime savo uždavinio sprendimą: P (A * B) = P (A) * P (B / A) arba P (A * B) = P (B) * P (A / B). Tikimybė yra (4/36) * ((3/35) / (4/36). Apskaičiuokite, apvalinkite iki artimiausios šimtosios. Turime: 0,11 * (0,09 / 0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Tikimybė kad iš eilės ištrauksime du tūzus, yra lygi devynioms šimtoms dalims. Reikšmė labai maža, vadinasi, įvykio tikimybė itin maža.

Pamirštas numeris

Siūlome išanalizuoti dar keletą užduočių variantų, nei tikimybių studijų teorija. Kai kurių iš jų sprendimo pavyzdžių jau matėte šiame straipsnyje, pabandykime išspręsti tokią problemą: berniukas pamiršo paskutinį draugo telefono numerio skaitmenį, bet kadangi skambutis buvo labai svarbus, pradėjo rinkti viską iš eilės. Turime apskaičiuoti tikimybę, kad jis paskambins ne daugiau kaip tris kartus. Problemos sprendimas yra paprasčiausias, jei žinomos tikimybių teorijos taisyklės, dėsniai ir aksiomos.

Prieš žiūrėdami į sprendimą, pabandykite jį išspręsti patys. Žinome, kad paskutinis skaitmuo gali būti nuo nulio iki devynių, tai yra, yra tik dešimt reikšmių. Tikimybė gauti reikiamą yra 1/10.

Toliau turime apsvarstyti įvykio kilmės variantus, tarkime, kad berniukas teisingai atspėjo ir iškart įvedė norimą, tokio įvykio tikimybė yra 1/10. Antrasis variantas: pirmasis skambutis yra praleistas, o antrasis yra tikslingas. Apskaičiuokime tokio įvykio tikimybę: 9/10 padauginkite iš 1/9, galų gale taip pat gauname 1/10. Trečias variantas: pirmas ir antras skambučiai buvo ne tuo adresu, tik iš trečio berniukas pateko ten, kur norėjo. Apskaičiuojame tokio įvykio tikimybę: 9/10 padauginus iš 8/9 ir iš 1/8 gauname 1/10. Kiti variantai pagal problemos būklę mūsų nedomina, todėl mums belieka susumuoti gautus rezultatus, galų gale turime 3/10. Atsakymas: Tikimybė, kad berniukas paskambins ne daugiau kaip tris kartus, yra 0,3.

Skaičių kortelės

Priešais jus yra devynios kortelės, kurių kiekvienoje yra parašytas skaičius nuo vieno iki devynių, skaičiai nesikartoja. Jie buvo sudėti į dėžutę ir kruopščiai sumaišyti. Turite apskaičiuoti tikimybę, kad

  • bus atmestas lyginis skaičius;
  • dviženklis.

Prieš pereidami prie sprendimo, nustatykime, kad m yra sėkmingų atvejų skaičius, o n yra bendras variantų skaičius. Raskime tikimybę, kad skaičius bus lyginis. Nesunku suskaičiuoti, kad yra keturi lyginiai skaičiai, tai bus mūsų m, iš viso yra devyni variantai, tai yra, m = 9. Tada tikimybė yra 0,44 arba 4/9.

Apsvarstykite antrąjį atvejį: variantų skaičius yra devyni, bet sėkmingų rezultatų apskritai negali būti, tai yra, m lygus nuliui. Tikimybė, kad ištrauktoje kortelėje bus dviženklis skaičius, taip pat lygi nuliui.

Tikimybių teorija – matematikos šaka, tirianti atsitiktinių reiškinių dėsningumus: atsitiktinius įvykius, atsitiktinius dydžius, jų savybes ir operacijas su jais.

Ilgą laiką tikimybių teorija neturėjo aiškaus apibrėžimo. Jis buvo suformuluotas tik 1929 m. Tikimybių teorijos, kaip mokslo, atsiradimas siejamas su viduramžiais ir pirmaisiais lošimų (monetų, kauliukų, ruletės) matematinės analizės bandymais. XVII amžiaus prancūzų matematikai Blaise'as Pascalis ir Pierre'as Fermat'as, tyrinėdami azartinių lošimų laimėjimo prognozes, atrado pirmuosius tikimybių dėsnius, kylančius metant kauliukus.

Tikimybių teorija atsirado kaip mokslas iš tikėjimo, kad tam tikri modeliai yra atsitiktinių masinių įvykių šerdis. Tikimybių teorija tiria šiuos modelius.

Tikimybių teorija nagrinėja įvykius, kurių įvykis nėra tiksliai žinomas. Tai leidžia įvertinti kai kurių įvykių tikimybės laipsnį, palyginti su kitais.

Pvz.: neįmanoma vienareikšmiškai nustatyti „galvų“ ar „uodegų“ rezultato dėl monetos metimo, tačiau pakartotinai metant „galvų“ ir „uodegų“ iškrenta maždaug tiek pat, o tai reiškia kad tikimybė gauti „galvų“ ar „uodegų“ „yra 50%.

Testasšiuo atveju vadinamas tam tikros sąlygų visumos įgyvendinimas, tai šiuo atveju – monetos metimas. Iššūkį galima žaisti neribotą skaičių kartų. Šiuo atveju sąlygų kompleksas apima atsitiktinius veiksnius.

Testo rezultatas yra renginys... Renginys vyksta:

  1. Patikimas (visada nutinka kaip testo rezultatas).
  2. Neįmanoma (niekada neįvyksta).
  3. Atsitiktinis (gali įvykti arba neįvykti dėl bandymo).

Pavyzdžiui, išmetus monetą neįmanomas įvykis – moneta atsidurs ant krašto, atsitiktinis įvykis – „galvų“ ar „uodegų“ kritimas. Konkretus tyrimo rezultatas vadinamas elementarus įvykis... Testo rezultate įvyksta tik elementarūs įvykiai. Vadinama visų galimų, skirtingų, specifinių testo rezultatų visuma elementarių įvykių erdvė.

Pagrindinės teorijos sąvokos

Tikimybė- įvykio atsiradimo tikimybės laipsnis. Kai kokios nors galimo įvykio priežastys iš tikrųjų nusveria priešingas priežastis, tada šis įvykis vadinamas tikėtinu, kitu atveju – mažai tikėtinas arba mažai tikėtinas.

Atsitiktinė vertė yra reikšmė, kuri dėl testavimo gali įgauti vienokią ar kitokią reikšmę, o iš anksto nežinoma, kurią. Pavyzdžiui: skaičius į gaisrinę per dieną, pataikymų skaičius 10 šūvių ir kt.

Atsitiktinius kintamuosius galima suskirstyti į dvi kategorijas.

  1. Diskretus atsitiktinis dydis yra dydis, kuris atlikus testą su tam tikra tikimybe gali įgyti tam tikras reikšmes, sudarydamas skaičiuojamą aibę (aibę, kurios elementus galima sunumeruoti). Šis rinkinys gali būti ir baigtinis, ir begalinis. Pavyzdžiui, šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį yra atskiras atsitiktinis kintamasis, nes ši reikšmė gali įgyti begalinį, nors ir suskaičiuojamą skaičių reikšmių.
  2. Nuolatinis atsitiktinis dydis vadinamas toks dydis, kuris gali paimti bet kokias reikšmes iš tam tikro baigtinio ar begalinio intervalo. Akivaizdu, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis.

Tikimybių erdvė- sąvoką pristatė A.N. Kolmogorovas XX amžiaus 30-ajame dešimtmetyje formalizavo tikimybės sampratą, dėl kurios greitai išsivystė tikimybių teorija kaip griežta matematinė disciplina.

Tikimybių erdvė yra tripletas (kartais įrėmintas kampiniais skliaustais:, kur

Tai savavališka aibė, kurios elementai vadinami elementariais įvykiais, rezultatais arba taškais;
- poaibių, vadinamų (atsitiktiniais) įvykiais, sigma-algebra;
- tikimybinis matas arba tikimybė, t.y. sigma-addityvinis baigtinis matas toks, kad.

Moivre-Laplace teorema– viena iš ribinių tikimybių teorijos teoremų, kurią Laplasas nustatė 1812 m. Ji teigia, kad sėkmingų to paties atsitiktinio eksperimento su dviem galimais rezultatais pakartojimų skaičius yra maždaug normalus. Tai leidžia jums rasti apytikslę tikimybės vertę.

Jei kiekvienam iš nepriklausomų testų kokio nors atsitiktinio įvykio tikimybė yra lygi () ir yra testų, kuriuose jis iš tikrųjų įvyksta, skaičius, tada nelygybės tikimybė yra artima (didelei) reikšmei. Laplaso integralo.

Pasiskirstymo funkcija tikimybių teorijoje- funkcija, apibūdinanti atsitiktinio dydžio arba atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymą; tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę, mažesnę arba lygią x, kur x yra savavališkas realusis skaičius. Jei tenkinamos tam tikros sąlygos, tai visiškai nustato atsitiktinį kintamąjį.

Tikėtina vertė- vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė (tai tikimybės teorijoje nagrinėjamas atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys). Anglų kalbos literatūroje jis žymimas, rusiškai -. Statistikoje šis užrašas dažnai naudojamas.

Tegu duota tikimybių erdvė ir joje apibrėžtas atsitiktinis dydis. Tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra išmatuojama funkcija. Tada, jei yra erdvės Lebesgue integralas, jis vadinamas matematiniu lūkesčiu arba vidurkiu ir žymimas.

Atsitiktinio dydžio dispersija- tam tikro atsitiktinio dydžio sklaidos matas, ty jo nuokrypis nuo matematinio lūkesčio. Jis nurodytas rusų ir užsienio literatūroje. Statistikoje dažnai vartojamas pavadinimas arba. Kvadratinė dispersijos šaknis vadinama standartiniu nuokrypiu, standartiniu nuokrypiu arba standartiniu nuokrypiu.

Leisti būti atsitiktiniu dydžiu, apibrėžtu tam tikroje tikimybių erdvėje. Tada

kur simbolis reiškia matematinį lūkestį.

Tikimybių teorijoje vadinami du atsitiktiniai įvykiai nepriklausomas jeigu vieno iš jų atsiradimas nekeičia kito atsiradimo tikimybės. Panašiai vadinami du atsitiktiniai dydžiai priklausomas jei vienos iš jų vertė turi įtakos kito verčių tikimybei.

Paprasčiausia didelių skaičių dėsnio forma yra Bernulio teorema, teigianti, kad jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda, tai didėjant bandymų skaičiui, įvykio dažnis linkęs į įvykio tikimybę. įvykis ir nustoja būti atsitiktinis.

Didžiųjų skaičių dėsnis tikimybių teorijoje teigia, kad baigtinės imties iš fiksuoto skirstinio aritmetinis vidurkis yra artimas teoriniam matematiniam to skirstinio lūkesčių vidurkiui. Priklausomai nuo konvergencijos tipo, skiriamas silpnasis didelių skaičių dėsnis, kai yra tikimybės konvergencija, ir stiprus didelių skaičių dėsnis, kai konvergencija beveik neabejotina.

Bendra didelių skaičių dėsnio reikšmė yra ta, kad daugelio vienodų ir nepriklausomų atsitiktinių veiksnių bendras veiksmas lemia rezultatą, kuris nepriklauso nuo atvejo riboje.

Tikimybės įvertinimo metodai, pagrįsti baigtinės imties analize, yra pagrįsti šia savybe. Iliustratyvus pavyzdys – rinkimų rezultatų prognozė remiantis rinkėjų imties apklausa.

Centrinės ribos teoremos- teoremų klasė tikimybių teorijoje, teigianti, kad pakankamai didelio skaičiaus silpnai priklausomų atsitiktinių dydžių, turinčių apytiksliai vienodas skales (nė vienas iš terminų nedominuoja, nedaro lemiamo indėlio į sumą), suma turi pasiskirstymas artimas normaliam.

Kadangi daugelis atsitiktinių dydžių programose susidaro veikiant keletui silpnai priklausomų atsitiktinių veiksnių, jų pasiskirstymas laikomas normaliu. Šiuo atveju turi būti įvykdyta sąlyga, kad nė vienas iš veiksnių nėra dominuojantis. Centrinės ribos teoremos šiais atvejais pateisina normaliojo skirstinio taikymą.



Rekomenduojama perskaityti