ベクトル上のベクトルと手術。宇宙のテーマベクトル上のすべての式をベクトルします

ベクター – これは、指定された直線、すなわち一定の長さと一定の方向を有するセグメントである。際だが - ベクトルの始まりとポイント b - その終わり、ベクトルはシンボルで示されますまたは。ベクトルと呼びました 反対の ベクターそしてマークされることができます .

数多くの基本定義を策定します。

レナまたは モジュール ベクターセグメントの長さを呼び出して示されています。ベクトルゼロの長さ（その本質ポイント）が呼び出されますゼロそして方向は持っていません。ベクター単一の長さが呼び出されますシングル 。ユニットベクトル、その方向はベクトルの方向と一致します、呼び出される オルタベクトル .

ベクトルは呼び出されます coll coll それらが1つの直線または平行な直線上にある場合、書き留めてください。同一先生ベクトルは、一致しているか反対の方向を有することができる。ゼロベクトルは任意のベクトルへの同時系であると考えられています。

ベクトルは等しいと呼ばれますそれらが同時に、等しく指示され、同じ長さを有する場合。

3つのベクトルが呼び出されます compl compl それらが同じ平面または平行な平面にある場合。 3つのベクトルのうち少なくとも1つのゼロまたは2つの共線形の場合、そのようなベクトルはコンパートメントである。

空間矩形座標系0で検討する xYZ。軸上の座標を強調表示します バツ。, 0y。, 0z 単一のベクトル（ORT）とそれらを表しますそれぞれ。座標の始まりから始まり、互換性のあるスペースのベクトルを選択してください。座標軸上のベクトルを設計し、投影を示す a x., a, z。それぞれ。それを示すのは難しくありません

. (2.25)

この式はベクトル計算のプライマリであり、呼び出されます オルサム座標軸のベクトルの分解 。数字 a x., a, z。呼び出す ベクトルの座標 。したがって、ベクトルの座標は座標軸上のその突起である。ベクトル平等（2.25）はしばしば記録されます

カーリーブラケット内のベクトルの指定を使用し、ベクトルの座標とポイントの座標とを区別しやすくします。学校のジオメトリから知られているセグメント長の方式を使用して、ベクトルモジュールを計算するための式を見つけることができます:

, (2.26)

すなわち、ベクトルモジュールはその座標正方形の四角形二乗に等しい。

ベクトル軸と座標軸間の角を表す α, β, γ それぞれ。余弦これらの角はベクトルのために呼ばれます ガイド そしてそれらのために比率が実行されます。この等価物の忠誠心は、軸上のベクトル投影の特性を使用して表示できます。これは、次の項で説明されます。

ベクトルを三次元空間で与えられるその座標を使って。以下の操作が行われます。線形（加算、減算、軸上のベクトルのデザインまたは別のベクトルのデザイン）。線形ではありません - さまざまなベクトル（スカラー、ベクトル、混合）。

1. 添加 2つのベクトルは最後に行われます。つまり、

この式は、任意の有限数の用語のために行われる。

幾何学的に2つのベクトルは2つの規則で折り畳まれています。

だが） ルール 三角形 - 2つのベクトルの合計の合計ベクトルは、第2の始まりが第1のベクトルの終わりと一致するという条件で、第1のベクトルの始まりを第2の終わりに接続する。ベクトルの合計では、結果のベクトルは、後続の項の始まりが前のものの終わりと一致すると、最初のベクトル項の終わりと最初のベクトル項の始まりを接続します。

b） ルール 平行四辺形 （2つのベクトルの場合） - 同じスタートに与えられた側面のモードの用語には平行四辺形が構築されています。それらの一般的な開始から発せられる平行四辺形の対角線はベクトルの合計です。

2. 減算 2つのベクトルは、追加と同様に、2つのベクトルが修復されます。t

ベクトル間の差がベクトルの端部を接続する対角線であるという事実を考慮して、幾何学的に2つのベクトルが形成され、得られたベクトルは減少したベクトルの終わりに終了した端部から指示される。

ベクトルの減算の重要な結果は、ベクトルの先頭と終わりの座標がわかっている場合、 ベクトル座標を計算するためには、その座標の座標を差し引くために必要なのが必要です。 。確かに、ベクトル空間座標の始まりから発信される2つのベクトルの違いの形で表すことができます。。ベクトルの座標そしてポイントの座標と一致しますだがそしてに座標の起源以来約（0; 0; 0）。したがって、ベクトルの規則によれば、点座標を差し引く必要がある。だがポイントの座標からに.

3. w 数字λによる複数のベクトル 見落とす：.

にとって λ> 0 - Vector 衛星 ; λ< 0 - Vector 反対方向に向けられています ; | λ|> 1 - ベクトルの長さ Bを増やす λ 時間;| λ|< 1 - ベクトルの長さが減少します λ 時間。

4. 空間で指示された直線（軸（軸） l), ベクター座標と開始座標を設定します。投影点で表す A. そして b 軸上 l それに応じて通る A.’ そして b’ .

投影 ベクター 軸上 l ベクトルの長さと呼ばれますベクトルの場合は「+」記号で撮影してくださいそして軸 lコントロールされ、符号 " - "、そして l 反対方向に向けられています.

軸としての場合 l他のベクトルを取ります、私はベクトルの投影を得ますベクトルRに。

投影の基本的な特性のいくつかを検討してください。

1）ベクトル投影軸上 l ベクトルモジュールの積に等しいベクトルと軸の間の角の余弦で、つまり;

2）軸上のベクトルの投影は、ベクトルが急性軸（愚かな）角度で形成され、この角度がまっすぐであればゼロである場合、正（負）である。

3）同じ軸上の複数のベクトルの合計の投影は、この軸上の突起の量に等しい。

ベクトル上の非線形操作を表すベクトルの作品に関する定義と定理を策定します。

5. スカラーワーク ベクトルI.角度の余弦上のこれらのベクトルの積に等しい数（スカラー）と呼ばれるφ それらの間、それは

. (2.27)

明らかに、ゼロ以外のベクトルのスカラースクエアは、この場合のように、その長さの2乗に等しい。したがって、その余弦（2.27）は1に等しい。

定理2.2。 2つのベクトルの垂直性のために必要で十分な条件は、それらのスカラー製品の平等ゼロです

コロラリー。 単一ORTのペアワイズスカラー作品はゼロ、すなわち

定理2.3。 2つのベクトルのスカラー製品それらの座標によって定義されたように、それらの同じ座標の作品の量に等しい、つまり

(2.28)

ベクトルのスカラー製品を使用して、角度を計算することができますそれらの間の。 2つのゼロ以外のベクトルがそれらの座標によって指定されている場合、それから余弦コーナーφ それらの間の：

(2.29)

したがって、ゼロ以外のベクトルの垂直性のための条件そして：

(2.30)

投影ベクトルを見つけるベクトルによって指定された方向に式によって実施することができる

(2.31)

ベクトルのスカラー製品の助けを借りて、恒久的な強さの仕事を見つけるパスの直線で。

絶え間ない強みの作用の下であるとします資料ポイントは位置からまっすぐに移動しますだが規制で b ベクトル電力フォームコーナー φ 旅行ベクトルを使って（図2.14）。物理学は武力の仕事を主張しています移動時等しい。

その結果、その応用点の直接的な動きで一定の強度の作業は、移動のベクトル上の強度ベクトルのスカラー製品に等しい。

例2.9。上部に角度を見つけるためにベクトルのスカラー製品を使用するA. 平行四辺形あいうえお。, バスベクトルについて

決定。定理（2.3）によるベクトルのモジュールとそのスカラー製品を計算します。

したがって、式（2.29）によると、我々は人工角度の余弦を得る

実施例2.10。1トンのコッテージチーズの製造に使用される商品および材料資源の費用を表2.2に示す（RUB。）。

これらのリソースの合計価格は、1トンのカッテージチーズの製造に費やしたのですか？

表2.2。

決定。私たちは2つのバージョンを考慮しています：製品1トンあたりのリソースコストのコストと、対応するリソースの単位の価格ベクトル。

それから . 資源の合計価格ベクトルのスカラー製品とは何ですか。定理2.3に従って式（2.28）に従ってそれを計算します。

したがって、1トンのコッテージチーズの製造コストの総コストは279,541.5ルーブルです。

注意。例2.10で実施されたベクトルを使用したアクションは、パーソナルコンピュータで実行できます。 MS Excelでベクトルのスカラー製品を見つけるには、Sumpacy（）関数を使用します。ここで、行列の要素の範囲のアドレスが引数として指定されている、その作品の量が見つかる必要があります。 Mathcadでは、2つのベクトルのスカラー積が対応する行列ツールバーオペレータを使用して実行されます。

例2.11。 力によって行われた仕事を計算しますアプリケーションのポイントがポジションからまっすぐに移動する場合 A.（2; 4; 6） A.（4; 2; 7）。角度の角度 ab 有向電力 ?

決定。私たちはその終わりの座標からの移動のベクトルを見つけます始まりの座標

。式（2.28）で（作業単位）

角度 φ iの間式（2.29）に従って検索、すなわち

6. 3つの不完全なベクトル指定された注文書で撮影しました右トロイカ, 3番目のベクトルの終わりから観察された場合最初のベクトルからの最短回転 2番目のベクトルに反時計回りに完了しました徴収時計回りの場合

ベクターワーク ベクトル上のベクトル呼ばれるベクトル以下の条件を満たす：

– ベクトルに垂直ですそして;

- 長さは等しいですどこ φ - ベクトルによって形成された角度そして;

- ベクトル右3を形成する（図2.15）。

定理2.4。 2つのベクトルの共線性のための必要で十分な条件は、それらのベクターワークの平等ゼロです。

定理2.5。 ベクトルアートワークのベクトルそれらの座標によって規定されたように、種の3次数

(2.32)

注意。決定要因（2.25）7の決定要因の財産によって減少しました

コロラリー1。2つのベクトルの共線性のための必要十分かつ十分な条件は、それらのそれぞれの座標の比例性です。

冠状穴2。単一ORTのベクトルピースは等しいです

冠状穴3。ベクトルのベクトル数はゼロです

ベクターワークの幾何学的解釈 結果のベクトルの長さがその領域と数値的に等しいことです。 s 同じ始動に与えられた側面のように、子間ベクトルに内蔵された平行四辺形。確かに、定義によると、ベクトルのベクトルアートモジュールは同じです. 一方、ベクトルに内蔵された平行四辺形の面積そしてまた等しい。したがって、

. (2.33)

また、ベクトル積を使用して、点と線形に対する力の瞬間を決定できます。回転速度。

ポイントにしましょう A. 適用された電力手放す o - いくつかのスペースの点（図2.16）。物理学の過程から知られている 力の瞬間 ポイントとの相対的な o 呼ばれるベクトルこれは点を通過しますo そして以下の条件を満たす：

点を通過する飛行機に垂直に o, A., b;

そのモジュールは肩の力の仕事に数値的に等しい.

- 右のトロイカをベクトルで形成しますそして.

その結果、力の瞬間ポイントとの相対的なo ベクターワークです

. (2.34)

ラインスピード ポイント mハード 体の回転 角速度で静止軸の周囲は式によって決まりますオイラー、 o - 固定されているもの

軸線点（図2.17）。

例2.12。三角形の領域を見つけるためのベクトル製品の助けを借りて abベクトル内に組み込まれています1つのスタートに表示されます。

標準的な定義：「ベクトルは指向セグメントです。」通常、これはベクトルに関する卒業生の知識に限られています。誰がいくつかの「指向セグメント」を必要としますか？

そして実際、ベクトルとはなぜ彼らはなぜですか？
天気予報。「風は北西部、毎秒18メートルの速度です。」一致する、風の方向（それが吹く場所）、およびその速度のモジュール（つまり絶対値）。

方向を持たない値はスカラーと呼ばれます。質量、仕事、電荷はどこにでも向けられていません。それらは、「数キログラム」または「どのくらいのジュール」の数値によってのみ特徴付けられる。

絶対値だけでなく方向もある物理量はベクトルと呼ばれます。

スピード、強度、加速 - ベクトル。それらのために、それは「いくら」そして重要なことに「どこで」重要です。例えば、自由落下の加速度は地球の表面に向けられ、その値は9.8m / s 2である。パルス、電界強度、磁場の誘導 - またベクトル値。

物理量は文字、ラテン語またはギリシャ語で示されていることを覚えています。文字の上のarrogoは、値がベクトルであることを示しています。

これは別の例です。
車はin bから移動します。最後の結果は、AポイントAからポイントBへの移動、つまりベクトルの移動です。 .

ベクトルが指向セグメントである理由は明らかです。注意、ベクトルの終わりは矢印です。 長さのベクトル このセグメントの長さと呼ばれます。またはOR

これまでのところ、算術演算および基本代数の規則に従って、スカラー値で働いています。ベクトル - 新しい概念。これは別のクラスの数学的オブジェクトです。彼らのために、彼ら自身の規則。

数字について知らなかったら。彼らとの知人はジュニアクラスで始まりました。数字を互いに比較することができ、折りたたみ、控除、乗算、除算することができました。数字がゼロになることを学びました。
今、私たちはベクトルに知り合いになります。

ベクトルの「もっと」と「より少ない」の概念は存在しません - それらは異なる方向になることができます。ベクトルの長さを比較できます。

しかし、ベクトルの平等の概念はです。
等しい 同じ長さおよび同じ方向のベクトルが呼び出される。これは、ベクトルが平面内のどこにでも自分自身に並列に転送されることができることを意味します。
シングル ベクトルと呼ばれる、その長さは1に等しい。ゼロ - ベクトル、その長さはゼロ、つまり、その始まりは終わりと一致します。

長方形の座標系でベクトルを扱うことが最も便利です。座標系内の各点は2つの数字に対応します - xとyの座標、横座標と縦座標。
ベクトルは2つの座標も設定します。

ここでブラケットではベクトルの座標をxとyに記録しました。
それらは単純に：ベクトルの座標端からその開始の座標をマイナスします。

ベクトル座標が指定されている場合、その長さは式によって位置します

ベクトルの追加

ベクトルを追加するためには2つの方法があります。

1 。ルール平行四辺形ベクトルを埋めるために、両方の点で開始する。あなたは平行四辺形に完成し、同じ時点から平行四辺形の対角線を実行します。これはベクトルの合計になります。

白鳥、がん、そしてパイクについての留め具を覚えていますか？彼らはとても試みましたが、シーンから誰をシフトしたことはありませんでした。結局のところ、車に取り付けられた力のベクトル合計はゼロでした。

2。ベクトルを追加する2番目の方法は三角形の規則です。同じベクトルを取ります。最初のベクトルの終わりまでに、私は2番目の始まりを取り付けます。 2つ目の最初と終了の始まりを接続します。これはベクトルの合計です。

同様に、いくつかのベクトルを折り畳むことができる。私たちはそれらを1つずつ追加してから、最初の先頭を後者の終わりにまとめます。

ポイントaから段落B、B Cから、CのC、次にeおよびfで行くと想像してみてください。これらのアクションの最終結果は、AのIN Fから移動しています。

ベクトルを追加してGET：

ベクトルを引きます

ベクトルは反対のベクトルに送られます。ベクトルの長さは等しい。

今すぐベクトルの算出を明確にしています。ベクトルの違いはベクトルとベクトルの合計です。

ベクトルによるベクトルの乗算

数kにベクトルを乗じると、ベクトルが得られ、その長さは長さとは異なる。 Kが大きいとベクトルでコーティングされ、kがゼロ未満の場合は反対方向に向けられます。

スカラー製品ベクトル

ベクトルは数字だけでなく互いに掛けることができます。

ベクトルのスカラー製品は、それらの間の角の余弦上のベクトルの長さの積である。

注 - 2つのベクトルを移動し、スカラーが判明しました。つまり、その数です。たとえば、物理学では、機械的な作業は2つのベクトルのスカラー製品に等しい - 力と動き：

ベクトルが垂直である場合、それらのスカラー製品はゼロです。
ここではベクトルの座標を通して表現されたスカラー製品です。

スカラー製品の式から、ベクトル間の角度を見つけることができます。

この式は、ステレオメトリーにおいて特に便利です。たとえば、数学でのプロファイル検査の14のタスクでは、まっすぐまたはまっすぐな平面間の角度を見つける必要があります。多くの場合、タスク14はクラシックよりも数倍速く解決されています。

数学の学校プログラムでは、ベクトルのスカラー製品のみが検討されています。
スカラーを除いて、ベクトルがベクトルを乗算した結果としてベクトル積もあります。誰が物理学で試験を与える、ローレンツの力と電力の力を知っています。これらの力を見つけるための式はベクターアートを含む。

ベクトル - 有用な数学的機器。これであなたは最初の年を見るでしょう。

定義1。宇宙でベクトル指向性セグメントと呼ばれる。

したがって、スカラー値とは対照的に、ベクトルは、長さと方向の2つの特性を有する。ベクトルシンボル、またはベクトルシンボルを指定しますだが .

（ここにだがそしてに- このベクトルの始まりと終わり（図1））だがに

ベクトルの長さはモジュールシンボルによって示されます。 .だが図1.

それらの間の平等の比率によって定義されたベクトルの3種類のベクトルがあります。

絶食のベクトルそれらはそれぞれ始まりと終わりと一致する場合、それらはそれぞれ等しいと呼ばれます。そのようなベクトルの例は電力ベクトルです。

スライディングベクトルそれらが1つの直線上にある場合、それらは等しいと呼ばれ、同じ長さと方向を持ちます。そのようなベクターの例は速度ベクターである。

自由または幾何学的なベクトル並列転送と組み合わせることができれば等しいと見なされます。

分析用ジオメトリのコースについて説明しますのみ緩いベクトル。

定義2。ベクトル、その長さがゼロであると呼ばれますゼロベクトル、または ゼロ -

ベクター.

明らかに、ゼロベクトルの始まりと終わりは一致します。ゼロベクトルは一定の方向性を持たないか、誰でも方向。

定義3。1つの直線または平行な線に横たわっている2つのバージョンが呼び出されます

coll coll（図2）。表記：
.a.

定義4。2つの共線形と等張力のベクトルが求められます

焦げた。表記：
.

今、あなたは自由なベクトルの平等の厳密な識別を与えることができます：

定義5。2つの自由なベクトルは等しいと呼ばれ、それらがコーティングされている場合

同じ長さです。

定義6。1つまたは並列平面に横たわっている3つのベクトルが呼ばれます

compl compl.

2つの垂直ベクトル呼び出し 互いに直交している:
.

定義7。ベクトル分離長さ 単一のベクトルまたは オルト。

ORT、ゼロ以外のベクトルでコーティングされていますだがコール オルタベクトルだが :e. a. .

§2。ベクトル上のライン操作

一連のベクトルで識別された線形操作：ベクトルの追加とベクトルの乗算による数字による乗算。

I.ベクトルの追加

2個のベクトルの合計はベクトルと呼ばれ、その始まりは最初の始まりと一致し、2番目の始まりが最初の終わりと一致しているとします。

l eGCO 2つのベクトルの合計が定義されている

したがって（図3A）、ベクトルの合計と一致する。

平行四辺形の規則に従って構築されている（図6）。 b

ただし、このルールでは構築できます a.

任意の数のベクトルの合計（図3B）。

a. + b

b a. + b + c.

図3B。 c.

方向セグメントと呼ばれる宇宙のベクトルベクトル、すなわちその始まりと最後のセグメントが示されている。長さ、またはモジュール、ベクトルは対応するセグメントの長さです。ベクトルの長さはそれぞれ示されます。同じ長さと方向を有する場合、2つのベクトルは等しいと呼ばれます。点aと点Inの終わりの始まりを持つベクトルは、点Aと終了時点での始まりを持つ矢印で表され、矢印で描かれています。。すべてのゼロベクトルは互いに等しいと見なされます。それらは示されており、それらの長さはゼロであると考えられています。

ベクトル用のベクトルの追加加算操作が定義されています。 2つのベクトルを折るために、ベクトルはベクトルの終わりと一致するようにベクトルが延期されます。その原点がベクトルの始まりと一致するベクトル、およびベクトルの終わりが、ベクトルの合計と呼ばれ、示されています

ベクトルの数のベクトル乗算数T上のベクトルの数が示されています。定義により、数値-1のベクトルの積はベクトル対向と呼ばれ、定義によって表され、ベクトルはベクトルとは反対方向を持ち、ベクトルと呼ばれる数字Tまでのベクトルの積、その長さT\u003e 0の場合は同じで、方向は同じままであり、T 0の場合は反対側に変わり、反対の場合は変わります。

ベクトルのプロパティはベクトルと呼ばれます。これは、数字の乗算特性と同様に、ベクトルをプロパティの値の数に掛けることが示されています。つまり、特性1（ファッション）。財産2（第1の分配法）。プロパティ3.（第2の分配法）。

定義

スカラー値 - 数字によって特徴付けることができる値。たとえば、長さ、面積、体重、温度などです。

ベクター 方向セグメント$ \\ overline（a b）$と呼ばれます。 Point $ A $が始まり、ポイント$ B $はベクトルの終わりです（図1）。

ベクトルは2つの大きな文字で表されます - その始まりと終わり：$ \\ overline（a b）$ 1つの小さい文字で$ \\ overline（a）$。

定義

ベクトルの先頭と終わりが一致している場合、そのようなベクトルが呼び出されますゼロ。ほとんどの場合、ゼロベクトルは$ \\ overline（0）$として示されています。

ベクトルは呼び出されます coll collそれらが平行な直線上にある直線上にある場合（図2）。

定義

2つの共通ベクトル$ \\ overline（a）$と$ \\ overline（b）$ 誹謗それらの指示が一致した場合：$ \\ overline（a）\\ uparrow \\ uparrow \\ overarlow \\ overlow（b）$（図3、a）。 2つの共通ベクトル$ \\ overline（a）$と$ \\ overline（b）$ 反対方向に向けられている指示が反対の場合：$ \\ overline（a）\\ uparrow \\ downarrow \\ overlow \\ overline（b）$（図3、b）。