Il concetto di base della teoria della probabilità. Le leggi della teoria della probabilità. Teoria della probabilità e concetti base della teoria Teoria della probabilità matematica

La dottrina delle leggi, che sono soggette al cosiddetto. fenomeni casuali. Dizionario di parole straniere incluse nella lingua russa. Chudinov AN, 1910 ... Dizionario di parole straniere della lingua russa

teoria della probabilità- - [L.G. Sumenko. Il dizionario inglese russo di tecnologia dell'informazione. M .: GP TsNIIS, 2003.] Soggetti tecnologia dell'informazione teoria generale della probabilità EN teoria del calcolo della probabilità di probabilità ... Guida tecnica per traduttori

Teoria della probabilità- c'è una parte di matematica che studia la relazione tra le probabilità (vedi Probabilità e Statistica) dei vari eventi. Elenchiamo i teoremi più importanti relativi a questa scienza. La probabilità che si verifichi uno dei tanti eventi incoerenti è uguale a ... ... Dizionario Enciclopedico delle F.A. Brockhaus e I.A. Efron

TEORIA DELLE PROBABILITÀ- matematico. una scienza che consente alle probabilità di alcuni eventi casuali (vedi) di trovare le probabilità di eventi casuali associati a c. l. modo con il primo. TV moderna basato sull'assiomatica (vedi. Metodo assiomatico) A. N. Kolmogorov. Sopra… … Enciclopedia Sociologica Russa

Teoria della probabilità- una branca della matematica, nella quale, secondo le probabilità date di alcuni eventi casuali, si trovano le probabilità di altri eventi, in qualche modo correlati al primo. La teoria della probabilità studia anche variabili casuali e processi casuali. Uno dei principali ... ... Concetti di scienze naturali moderne. Glossario dei termini di base

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Teoria della probabilità- ... Wikipedia

Teoria della probabilità- una disciplina matematica che studia le leggi dei fenomeni casuali... Gli inizi della moderna scienza naturale

TEORIA DELLE PROBABILITÀ- (teoria della probabilità) vedi Probabilità ... Dizionario sociologico esplicativo completo

Teoria della probabilità e sue applicazioni- ("Teoria delle probabilità e sue applicazioni", rivista scientifica del Dipartimento di Matematica dell'Accademia delle Scienze dell'URSS. Pubblica articoli originali e brevi messaggi sulla teoria della probabilità, problemi generali statistiche matematiche e loro applicazioni nelle scienze naturali e ... ... Grande Enciclopedia Sovietica

Libri

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Cos'è la probabilità?

Di fronte a questo termine per la prima volta, non capirei cosa sia. Pertanto, cercherò di spiegarlo in modo accessibile.

La probabilità è la possibilità che si verifichi l'evento di cui abbiamo bisogno.

Ad esempio, hai deciso di visitare un amico, ricordare l'ingresso e persino il pavimento in cui vive. Ma ho dimenticato il numero e l'ubicazione dell'appartamento. Ed eccoti in piedi sulla scala, e di fronte a te ci sono le porte tra cui scegliere.

Qual è la possibilità (probabilità) che se suoni la prima porta, il tuo amico ti apra? L'intero appartamento e l'amico vive solo per uno di loro. Possiamo scegliere qualsiasi porta con pari possibilità.

Ma qual è questa possibilità?

Porte, la porta giusta. Probabilità di indovinare suonando la prima porta:. Cioè, una volta su tre indovinerai di sicuro.

Vogliamo sapere chiamando una volta, quante volte indovineremo la porta? Consideriamo tutte le opzioni:

1. Hai chiamato 1° una porta
2. Hai chiamato 2° una porta
3. Hai chiamato 3° una porta

Ora diamo un'occhiata a tutte le opzioni in cui potrebbe trovarsi un amico:

un. Per 1° vicino alla porta
B. Per 2° vicino alla porta
v. Per 3° vicino alla porta

Confrontiamo tutte le opzioni sotto forma di tabella. Un segno di spunta segna le opzioni quando la tua scelta coincide con la posizione di un amico, una croce - quando non corrisponde.

Come vedi tutto? Forse opzioni la posizione dell'amico e la tua scelta di quale porta suonare.

UN esiti favorevoli a tutti . Cioè, di tanto in tanto indovinerai suonando il campanello. ...

Questa è la probabilità: il rapporto tra un risultato favorevole (quando la tua scelta ha coinciso con la posizione di un amico) e il numero di eventi possibili.

La definizione è una formula. La probabilità è solitamente indicata con p, quindi:

Non è molto conveniente scrivere una formula del genere, quindi prenderemo per - il numero di risultati favorevoli e per - il numero totale di risultati.

La probabilità può essere scritta in percentuale, per questo è necessario moltiplicare il risultato risultante per:

Probabilmente la parola "risultati" ha attirato la tua attenzione. Poiché i matematici chiamano esperimenti varie azioni (nel nostro caso, tale azione è il suono di un campanello), è consuetudine chiamare il risultato di tali esperimenti.

Ebbene, i risultati sono favorevoli e sfavorevoli.

Torniamo al nostro esempio. Diciamo che abbiamo suonato a una delle porte, ma uno sconosciuto ci ha aperto. Non abbiamo indovinato. Qual è la probabilità che se suoniamo una delle porte rimanenti, il nostro amico ci apra?

Se lo pensavi, allora questo è un errore. Scopriamolo.

Ci restano due porte. Quindi, abbiamo possibili passaggi:

1) Chiama 1° una porta
2) Chiamaci 2° una porta

Un amico, con tutto questo, è sicuramente dietro uno di loro (dopotutto, non era dietro quello che abbiamo chiamato):

a) Amico per 1° vicino alla porta
b) Amico per 2° vicino alla porta

Disegniamo di nuovo la tabella:

Come puoi vedere, ci sono tutte le opzioni, di cui sono favorevoli. Cioè, la probabilità è uguale.

Perchè no?

La situazione che abbiamo considerato - esempio di eventi dipendenti. Il primo evento è il primo campanello, il secondo evento è il secondo campanello.

E sono chiamati dipendenti perché influenzano le seguenti azioni. Dopotutto, se un amico aprisse la porta dopo il primo squillo, quale sarebbe la probabilità che si trovasse dietro uno degli altri due? Destra, .

Ma se ci sono eventi dipendenti, allora devono esserci indipendente? È vero, ci sono.

Un esempio da manuale è il lancio di una moneta.

1. Lancia una moneta una volta. Qual è la probabilità che, ad esempio, esca testa? Esatto, perché le opzioni per tutto (testa o croce, trascuriamo la probabilità che una moneta si trovi su un bordo), ma si adatta solo a noi.
2. Ma è venuto fuori croce. Ok, lanciamolo ancora una volta. Qual è la probabilità attuale di ottenere testa? Nulla è cambiato, tutto è uguale. Quante opzioni? Due. Quanto ci sta bene? Uno.

E lascia che esca croce mille volte di seguito. La probabilità di ottenere testa in una volta sarà la stessa. Ci sono sempre opzioni, ma favorevoli.

È facile distinguere gli eventi dipendenti da quelli indipendenti:

1. Se l'esperimento viene eseguito una volta (una volta che lanciano una moneta, suonano il campanello una volta, ecc.), Gli eventi sono sempre indipendenti.
2. Se l'esperimento viene eseguito più volte (la moneta viene lanciata una volta, il campanello suona più volte), il primo evento è sempre indipendente. E poi, se cambia il numero di favorevoli o il numero di tutti gli esiti, allora gli eventi sono dipendenti e, in caso contrario, sono indipendenti.

Esercitiamoci un po' a determinare la probabilità.

Esempio 1.

La moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità che esca testa due volte di seguito?

Soluzione:

Consideriamo tutte le possibili opzioni:

1. Aquila-aquila
2. Testa-croce
3. Testa-croce
4. Code-code

Come puoi vedere, l'intera opzione. Di questi, ci si addice solo. Cioè, la probabilità:

Se si chiede alla condizione di trovare semplicemente la probabilità, allora la risposta deve essere data sotto forma di frazione decimale. Se fosse indicato che la risposta deve essere data in percentuale, allora moltiplicheremmo per.

Risposta:

Esempio 2.

In una scatola di cioccolatini, tutti i cioccolatini sono confezionati nello stesso involucro. Tuttavia, dai dolci - con noci, cognac, ciliegie, caramello e torrone.

Qual è la probabilità, prendendo una caramella, di ottenere una caramella con le noci. Dai la tua risposta in percentuale.

Soluzione:

Quanti sono gli esiti possibili? ...

Cioè, prendendo una caramella, sarà una di quelle nella scatola.

Quanti esiti favorevoli?

Perché la scatola contiene solo cioccolatini con noci.

Risposta:

Esempio 3.

In una scatola di palline. di loro bianco, - nero.

1. Qual è la probabilità di estrarre la pallina bianca?
2. Abbiamo aggiunto più palline nere alla scatola. Qual è ora la probabilità di estrarre la pallina bianca?

Soluzione:

a) Ci sono tutte le palline nella scatola. Di questi, bianco.

La probabilità è pari a:

b) Ora ci sono le palline nella scatola. E lo stesso numero di bianchi è rimasto -.

Risposta:

Probabilità completa

La probabilità di tutti gli eventi possibili è ().

Diciamo in una scatola di palline rosse e verdi. Qual è la probabilità di estrarre la pallina rossa? Palla verde? Palla rossa o verde?

Possibilità di tirare una palla rossa

Palla verde:

Palla rossa o verde:

Come puoi vedere, la somma di tutti i possibili eventi è (). Comprendere questo momento ti aiuterà a risolvere molti problemi.

Esempio 4.

La scatola contiene i pennarelli: verde, rosso, blu, giallo, nero.

Qual è la possibilità di estrarre un pennarello NON rosso?

Soluzione:

Contiamo l'importo esiti favorevoli.

NON un pennarello rosso, significa verde, blu, giallo o nero.

La probabilità di tutti gli eventi. E la probabilità di eventi che consideriamo sfavorevoli (quando tiriamo fuori il pennarello rosso) -.

Quindi, la probabilità di estrarre un pennarello NON rosso è.

Risposta:

La probabilità che l'evento non si verifichi è uguale a meno la probabilità che l'evento si verifichi.

La regola per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti

Sai già cosa sono gli eventi indipendenti.

Ma cosa succede se hai bisogno di trovare la probabilità che due (o più) eventi indipendenti si verifichino di seguito?

Diciamo che vogliamo sapere qual è la probabilità che quando lanciamo una moneta una volta, vedremo un'aquila due volte?

Abbiamo già contato -.

E se lanciassimo una moneta una volta? Qual è la probabilità di vedere un'aquila di fila?

Tutte le opzioni possibili:

1. Aquila-aquila-aquila
2. Testa-testa-croce
3. Teste-croce-teste
4. Testa-croce-croce
5. Code-teste-teste
6. Code-testa-croce
7. Code-code-teste
8. Code-Code-Code

Non so voi, ma una volta ho commesso un errore mentre scrivevo questa lista. Oh! E solo l'opzione (prima) ci si addice.

Per 5 lanci, puoi creare tu stesso un elenco di possibili risultati. Ma i matematici non sono laboriosi come te.

Pertanto, prima hanno notato e poi dimostrato che la probabilità di una certa sequenza di eventi indipendenti diminuisce ogni volta della probabilità di un evento.

In altre parole,

Considera l'esempio della stessa sfortunata moneta.

La probabilità di ottenere testa in una sfida? ... Ora lanciamo una moneta una volta.

Qual è la probabilità che esca testa una volta di seguito?

Questa regola funziona non solo se ci viene chiesto di trovare la probabilità che lo stesso evento si verifichi più volte di seguito.

Se volessimo trovare la sequenza GRIP-EAGLE-GRILLE per i lanci di fila, faremmo lo stesso.

La probabilità di ottenere croce -, testa -.

Probabilità di fuoriuscita dalla sequenza GRIGLIA-AQUILA-GRIGLIA-GRIGLIA:

Puoi verificarlo tu stesso creando una tabella.

La regola per sommare le probabilità di eventi inconsistenti.

Quindi fermati! Nuova definizione.

Scopriamolo. Prendi la nostra moneta consumata e lanciala una volta.
Opzioni possibili:

1. Aquila-aquila-aquila
2. Testa-testa-croce
3. Teste-croce-teste
4. Testa-croce-croce
5. Code-teste-teste
6. Code-testa-croce
7. Code-code-teste
8. Code-Code-Code

Quindi, gli eventi incompatibili sono una sequenza di eventi definita e predeterminata. sono eventi incompatibili.

Se vogliamo determinare qual è la probabilità di due (o più) eventi incompatibili, allora aggiungiamo le probabilità di questi eventi.

Devi capire che la caduta di testa o croce sono due eventi indipendenti.

Se vogliamo determinare qual è la probabilità di una sequenza (o qualsiasi altra), allora usiamo la regola della moltiplicazione delle probabilità.
Qual è la probabilità di ottenere testa al primo tiro e al secondo e terzo croce?

Ma se vogliamo sapere qual è la probabilità di ottenere una delle diverse sequenze, ad esempio, quando esce testa esattamente una volta, ad es. opzioni e, quindi, dobbiamo aggiungere le probabilità di queste sequenze.

Tutte le opzioni sono adatte a noi.

Possiamo ottenere la stessa cosa sommando le probabilità di ogni sequenza:

Quindi, aggiungiamo le probabilità quando vogliamo determinare le probabilità di alcune sequenze di eventi inconsistenti.

C'è una grande regola pratica per aiutarti a evitare confusione quando moltiplicare e quando aggiungere:

Torniamo all'esempio di quando abbiamo lanciato una moneta una volta e vogliamo conoscere la probabilità di vedere testa una volta.
Cosa succederà?

Dovrebbe cadere:
(testa E croce E croce) OR (croce E testa E croce) OR (croce E croce E testa).
Quindi risulta:

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 5.

La scatola contiene le matite. rossi, verdi, arancioni e gialli e neri. Qual è la probabilità di estrarre matite rosse o verdi?

Soluzione:

Cosa succederà? Dobbiamo tirare fuori (rosso O verde).

Ora è chiaro, aggiungiamo le probabilità di questi eventi:

Risposta:

Esempio 6.

I dadi vengono lanciati due volte, qual è la probabilità di un totale di 8 punti?

Soluzione.

Come possiamo ottenere punti?

(e) o (e) o (e) o (e) o (e).

La probabilità di cadere da una (qualsiasi) faccia -.

Calcoliamo la probabilità:

Risposta:

Allenamento.

Penso che ora ti sia diventato chiaro quando contare le probabilità, quando sommarle e quando moltiplicarle. Non è vero? Esercitiamoci un po'.

Compiti:

Prendiamo un mazzo di carte, in cui le carte, tra cui picche, cuori, 13 fiori e 13 quadri. Da all'asso di ogni seme.

1. Qual è la probabilità di pescare fiori di fila (rimettiamo la prima carta estratta nel mazzo e la mescoliamo)?
2. Qual è la probabilità di pescare una carta nera (picche o fiori)?
3. Qual è la probabilità di estrarre un'immagine (jack, regina, re o asso)?
4. Qual è la probabilità di estrarre due immagini di seguito (rimuoviamo la prima carta estratta dal mazzo)?
5. Qual è la probabilità, dopo aver preso due carte, di raccogliere una combinazione - (jack, regina o re) e un asso La sequenza in cui verranno estratte le carte non ha importanza.

Risposte:

1. Nel mazzo, le carte di ogni rango significano:
2. Gli eventi dipendono, poiché dopo che la prima carta è stata pescata, il numero di carte nel mazzo è diminuito (così come il numero di "immagini"). Il totale di jack, regine, re e assi nel mazzo inizialmente, il che significa la probabilità che la prima carta tiri fuori il "quadro":

   Dal momento che stiamo rimuovendo la prima carta dal mazzo, significa che c'è già una carta nel mazzo, di cui ci sono le immagini. La probabilità di estrarre un'immagine con la seconda carta:

   Poiché siamo interessati alla situazione quando otteniamo dal mazzo: "immagine" AND "immagine", allora dobbiamo moltiplicare le probabilità:

   Risposta:

3. Dopo aver pescato la prima carta, il numero di carte nel mazzo diminuirà, quindi abbiamo due opzioni:
   1) Con la prima carta estraiamo l'asso, la seconda il jack, la regina o il re
   2) Con la prima carta estraiamo un jack, una regina o un re, la seconda un asso. (asso e (jack o regina o re)) o ((jack o regina o re) e asso). Non dimenticare di ridurre il numero di carte nel mazzo!

Se sei stato in grado di risolvere tutti i problemi da solo, allora sei un bravo ragazzo! Ora farai clic sui problemi sulla teoria della probabilità nell'esame!

TEORIA DELLE PROBABILITA'. LIVELLO MEDIO

Diamo un'occhiata a un esempio. Diciamo che tiriamo un dado. Che tipo di osso è questo, sai? Questo è il nome di un cubo con numeri sui bordi. Quante facce, tanti numeri: da a quanti? Prima.

Quindi, tiriamo il dado e vogliamo tirare o. E tocca a noi.

La probabilità dice cosa è successo evento favorevole(da non confondere con i ricchi).

Se cadesse, anche l'evento sarebbe favorevole. In totale, possono verificarsi solo due eventi favorevoli.

E quanti sono sfavorevoli? Poiché ci sono tutti gli eventi possibili, significa che gli eventi sfavorevoli sono tra questi (questo è se cade o).

Definizione:

La probabilità è il rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero di tutti gli eventi possibili... Cioè, la probabilità mostra quale proporzione di tutti i possibili eventi è favorevole.

Denotano la probabilità con una lettera latina (apparentemente, da parola inglese probabilità - probabilità).

È consuetudine misurare la probabilità in percentuale (vedi argomenti e). Per fare ciò, il valore di probabilità deve essere moltiplicato per. Nell'esempio dei dadi, la probabilità.

E in percentuale:.

Esempi (decidi tu stesso):

1. Qual è la probabilità di ottenere testa lanciando una moneta? Quanto è probabile che esca croce?
2. Qual è la probabilità che esca un numero pari sul dado? E con quale - dispari?
3. In una scatola di matite, matite blu e rosse. Disegna una matita a caso. Qual è la probabilità di tirarne fuori uno semplice?

Soluzioni:

1. Quante opzioni ci sono? Testa e croce sono solo due. Quanti di loro sono favorevoli? Solo uno è un'aquila. Quindi la probabilità

   È lo stesso con le code:.

2. Opzioni totali: (quanti lati ha il cubo, tante opzioni diverse). Quelli favorevoli: (questi sono tutti numeri pari :).
   Probabilità. Con strano, ovviamente, la stessa cosa.
3. Totale: . Favorevole:. Probabilità: .

Probabilità completa

Tutte le matite nel cassetto sono verdi. Qual è la probabilità di estrarre una matita rossa? Non c'è possibilità: probabilità (dopo tutto, eventi favorevoli -).

Un tale evento è chiamato impossibile.

Qual è la probabilità di estrarre una matita verde? Ci sono esattamente lo stesso numero di eventi favorevoli quanti sono gli eventi totali (tutti gli eventi sono favorevoli). Quindi, la probabilità è uguale a o.

Tale evento è chiamato affidabile.

Se ci sono matite verdi e rosse nella scatola, qual è la possibilità di estrarre il verde o il rosso? Ancora una volta. Nota questa cosa: la probabilità di estrarre il verde è uguale e il rosso lo è.

In sintesi, queste probabilità sono esattamente uguali. Questo è, la somma delle probabilità di tutti i possibili eventi è uguale a o.

Esempio:

In una scatola di matite, tra cui blu, rosse, verdi, semplici, gialle e le altre sono arancioni. Qual è la probabilità di non ottenere il verde?

Soluzione:

Ricorda che tutte le probabilità si sommano. E la probabilità di estrarre il verde è uguale a. Ciò significa che la probabilità di non ottenere il verde è uguale a.

Ricorda questo trucco: la probabilità che l'evento non si verifichi è uguale a meno la probabilità che l'evento si verifichi.

Eventi indipendenti e la regola della moltiplicazione

Lancia una moneta una volta e vuoi che cada testa entrambe le volte. Qual è la probabilità che ciò accada?

Esaminiamo tutte le opzioni possibili e determiniamo quante ce ne sono:

Teste-teste, teste-teste, teste-teste, teste-teste. Cos'altro?

L'intera opzione. Di questi, solo uno è adatto a noi: Eagle-Eagle. Totale, la probabilità è.

Bene. E ora lanciamo una moneta una volta. Contalo tu stesso. Accaduto? (Rispondere).

Potresti aver notato che con l'aggiunta di ogni lancio successivo, la probabilità diminuisce nel tempo. Regola generale chiamato regola di moltiplicazione:

Le probabilità di eventi indipendenti cambiano.

Cosa sono gli eventi indipendenti? Tutto è logico: questi sono quelli che non dipendono l'uno dall'altro. Ad esempio, quando lanciamo una moneta più volte, ogni volta che viene effettuato un nuovo lancio, il cui risultato non dipende da tutti i lanci precedenti. Possiamo anche lanciare due monete diverse contemporaneamente.

Altri esempi:

1. I dadi vengono lanciati due volte. Qual è la probabilità che vengano tirati entrambi i tempi?
2. La moneta viene lanciata una volta. Qual è la probabilità che esca prima testa e poi croce due volte?
3. Il giocatore lancia due dadi. Qual è la probabilità che la somma dei numeri su di essi sia uguale?

Risposte:

1. Gli eventi sono indipendenti, il che significa che la regola di moltiplicazione funziona:.
2. La probabilità di un'aquila è. La probabilità di code è anche. Moltiplichiamo:
3. 12 può essere ottenuto solo se si tirano due -ki:.

Eventi incompatibili e regola di addizione

Gli eventi incompatibili sono chiamati eventi che si completano a vicenda con piena verosimiglianza. Come suggerisce il nome, non possono accadere contemporaneamente. Ad esempio, se lanciamo una moneta, può uscire testa o croce.

Esempio.

In una scatola di matite, tra cui blu, rosse, verdi, semplici, gialle e le altre sono arancioni. Qual è la probabilità di estrarre il verde o il rosso?

Soluzione.

La probabilità di estrarre una matita verde è. Rosso - .

Eventi di buon auspicio in tutto: verde + rosso. Ciò significa che la probabilità di estrarre il verde o il rosso è uguale a.

La stessa probabilità può essere rappresentata come segue:.

Questa è la regola di addizione: le probabilità di eventi inconsistenti si sommano.

Problemi misti

Esempio.

La moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità che il risultato dei lanci sia diverso?

Soluzione.

Ciò significa che se il primo risultato è testa, il secondo dovrebbe essere croce e viceversa. Si scopre che ci sono due coppie di eventi indipendenti e queste coppie sono incompatibili tra loro. Come non confondersi, dove moltiplicare e dove aggiungere.

C'è una semplice regola pratica per queste situazioni. Prova a descrivere cosa accadrà collegando gli eventi con AND o OR. Ad esempio, in questo caso:

Dovrebbe uscire (testa e croce) o (croce e testa).

Dove c'è una congiunzione "e", ci sarà una moltiplicazione e dove "o" - aggiunta:

Prova tu stesso:

1. Qual è la probabilità che la stessa faccia cada su due lanci di una moneta entrambe le volte?
2. I dadi vengono lanciati due volte. Qual è la probabilità che il totale sia di punti?

Soluzioni:

1. (Le teste sono cadute e le teste sono cadute) o (le code sono cadute e le code sono cadute):.
2. Quali sono le opzioni? e. Quindi:
   Ritirato (e) o (e) o (e):.

Un altro esempio:

Lanciamo una moneta una volta. Qual è la probabilità che esca testa almeno una volta?

Soluzione:

Oh, come non vuoi passare attraverso le opzioni ... Testa-croce-croce, Testa-testa-croce, ... E non farlo! Ricordiamo l'intera probabilità. Ricordato? Qual è la probabilità che un'aquila non verrà abbandonato nemmeno una volta? È semplice: le code volano sempre, quindi.

TEORIA DELLE PROBABILITA'. BREVEMENTE SUI PRINCIPALI

La probabilità è il rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero di tutti gli eventi possibili.

Eventi indipendenti

Due eventi sono indipendenti se al verificarsi di uno la probabilità che si verifichi l'altro non cambia.

Probabilità completa

La probabilità di tutti gli eventi possibili è ().

La probabilità che l'evento non si verifichi è uguale a meno la probabilità che l'evento si verifichi.

La regola per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti

La probabilità di una certa sequenza di eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di ciascuno degli eventi

Eventi incompatibili

Gli eventi incompatibili sono chiamati eventi che non possono verificarsi simultaneamente come risultato di un esperimento. Un certo numero di eventi incoerenti formano un gruppo completo di eventi.

Le probabilità di eventi incoerenti si sommano.

Dopo aver descritto cosa dovrebbe accadere, usando le congiunzioni "AND" o "OR", invece di "AND" mettiamo il segno della moltiplicazione e invece di "OR" - addizione.

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INTRODUZIONE

Molte cose ci sono incomprensibili, non perché i nostri concetti siano deboli;
ma perché queste cose non sono comprese nella gamma dei nostri concetti.
Kozma Prutkov

L'obiettivo principale dello studio della matematica nelle istituzioni educative specializzate secondarie è fornire agli studenti una serie di conoscenze e abilità matematiche necessarie per studiare altre discipline del programma che utilizzano in una certa misura la matematica, per la capacità di eseguire calcoli pratici, per la formazione e lo sviluppo di pensiero logico.

Questo lavoro introduce coerentemente tutti i concetti di base della sezione di matematica "Fondamenti della teoria della probabilità e statistica matematica" forniti dal programma e dagli standard educativi statali dell'istruzione professionale secondaria (Ministero dell'Istruzione della Federazione Russa. M., 2002 ), formula i principali teoremi, la maggior parte dei quali non sono dimostrati ... Vengono considerati i principali compiti e metodi per la loro soluzione e le tecnologie per applicare questi metodi alla risoluzione di problemi pratici. La presentazione è accompagnata da commenti dettagliati e numerosi esempi.

Le istruzioni metodologiche possono essere utilizzate per la prima conoscenza del materiale studiato, durante la presa di appunti delle lezioni, per la preparazione di esercitazioni pratiche, per il consolidamento delle conoscenze, abilità e abilità acquisite. Inoltre il manuale sarà utile per gli studenti senior come strumento di riferimento che permette di ricordare velocemente quanto studiato in precedenza.

Alla fine del lavoro vengono forniti esempi e compiti che gli studenti possono svolgere in modalità di autocontrollo.

Le istruzioni metodiche sono destinate agli studenti di forme di istruzione a tempo parziale ea tempo pieno.

CONCETTI BASILARI

La teoria della probabilità studia le leggi oggettive degli eventi casuali di massa. È una base teorica per la statistica matematica, impegnata nello sviluppo di metodi per la raccolta, la descrizione e l'elaborazione dei risultati dell'osservazione. Attraverso osservazioni (test, esperimenti), ad es. esperienza nel senso lato della parola, avviene la cognizione dei fenomeni del mondo reale.

Nella nostra pratica, ci imbattiamo spesso in fenomeni, il cui esito non può essere previsto, il cui risultato dipende dal caso.

Un fenomeno casuale può essere caratterizzato dal rapporto tra il numero dei suoi progressi e il numero di prove, in ciascuna delle quali, nelle stesse condizioni di tutte le prove, potrebbe essersi verificato o meno.

La teoria delle probabilità è una branca della matematica in cui vengono studiati fenomeni casuali (eventi) e vengono rivelati modelli durante la loro massiccia ripetizione.

La statistica matematica è una branca della matematica che ha come oggetto di studio metodi di raccolta, sistematizzazione, elaborazione e utilizzo di dati statistici per ottenere conclusioni e processi decisionali scientificamente fondati.

In questo caso, per dati statistici si intende un insieme di numeri che rappresentano le caratteristiche quantitative delle caratteristiche degli oggetti di nostro interesse. I dati statistici sono ottenuti come risultato di esperimenti e osservazioni appositamente impostati.

I dati statistici dipendono intrinsecamente da molti fattori casuali, quindi la statistica matematica è strettamente correlata alla teoria della probabilità, che è la sua base teorica.

I. PROBABILITA'. ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE DI PROBABILITÀ

1.1. Concetti di base della combinatoria

Nella sezione di matematica denominata combinatoria vengono risolti alcuni problemi relativi alla considerazione degli insiemi e alla compilazione di varie combinazioni degli elementi di questi insiemi. Ad esempio, se prendiamo 10 cifre diverse 0, 1, 2, 3,:, 9 e ne facciamo delle combinazioni, otterremo numeri diversi, ad esempio 143, 431, 5671, 1207, 43, ecc.

Vediamo che alcune di queste combinazioni differiscono solo nell'ordine delle cifre (ad esempio 143 e 431), altre nei numeri in esse contenuti (ad esempio 5671 e 1207), e altre ancora differiscono nel numero di cifre ( ad esempio, 143 e 43).

Pertanto, le combinazioni ottenute soddisfano diverse condizioni.

Si possono distinguere tre tipi di combinazioni a seconda delle regole di composizione: riarrangiamento, posizionamento, combinazione.

Conosciamo prima il concetto fattoriale.

Il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a n inclusi si chiama n-fattoriale e scrivi.

Calcola: a); B); v).

Soluzione. un) .

b) Da e , quindi puoi togliere le parentesi

Allora otteniamo

v) .

Permutazioni.

Una combinazione di n elementi che differiscono tra loro solo nell'ordine degli elementi sono chiamate permutazioni.

Le permutazioni sono indicate dal simbolo P n , dove n è il numero di elementi inclusi in ciascuna permutazione. ( R- la prima lettera di una parola francese permutazione- permutazione).

Il numero di permutazioni può essere calcolato con la formula

o usando il fattoriale:

Ricordati che 0! = 1 e 1! = 1.

Esempio 2. In quanti modi si possono disporre sei libri diversi su uno scaffale?

Soluzione. Il numero di vie richiesto è uguale al numero di permutazioni di 6 elementi, ad es.

Struttura ricettiva.

Alloggi da m elementi in n in ciascuno di questi composti sono chiamati che differiscono l'uno dall'altro o per gli elementi stessi (almeno uno) o per l'ordine della disposizione.

Le posizioni sono indicate dal simbolo, dove m- il numero di tutti gli elementi disponibili, n- il numero di elementi in ogni combinazione. ( UN- prima lettera di una parola francese preparativi, che significa "collocare, mettere in ordine").

Inoltre, si ritiene che nm.

Il numero di posizionamenti può essere calcolato utilizzando la formula

,

quelli. il numero di tutti i possibili posizionamenti da m elementi di n uguale al prodotto n numeri interi consecutivi, di cui il maggiore è m.

Scriviamo questa formula in forma fattoriale:

Esempio 3. Quante opzioni per la distribuzione di tre buoni in sanatori di vari profili si possono fare per cinque richiedenti?

Soluzione. Il numero di varianti richiesto è uguale al numero di posizionamenti di 5 elementi per 3 elementi, ad es.

.

Combinazioni.

Le combinazioni sono tutte le possibili combinazioni di m elementi di n che differiscono tra loro per almeno un elemento (qui m e n- numeri naturali, e n m).

Numero di combinazioni di m elementi di n sono indicati ( INSIEME A-prima lettera di una parola francese combinazione- combinazione).

In generale, un numero da m elementi di nè uguale al numero di posizionamenti da m elementi di n diviso per il numero di permutazioni da n elementi:

Utilizzando formule fattoriali per il numero di posizionamenti e permutazioni, otteniamo:

Esempio 4. In un team di 25 persone, è necessario assegnarne quattro per lavorare su un sito specifico. In quanti modi è possibile farlo?

Soluzione. Poiché l'ordine delle quattro persone selezionate non ha importanza, ci sono diversi modi per farlo.

Troviamo dalla prima formula

.

Inoltre, quando si risolvono i problemi, vengono utilizzate le seguenti formule che esprimono le principali proprietà delle combinazioni:

(per definizione, si assume e);

.

1.2. Risolvere problemi combinatori

Compito 1. 16 materie sono studiate presso la facoltà. Il lunedì è necessario programmare 3 elementi. In quanti modi puoi farlo?

Soluzione. Esistono tanti modi per programmare tre elementi su 16 quanti sono i posizionamenti da 16 elementi di 3 ciascuno.

Problema 2. Da 15 oggetti, è necessario selezionare 10 oggetti. In quanti modi è possibile farlo?

Problema 3. Quattro squadre hanno preso parte alla competizione. Quante opzioni per la distribuzione dei posti tra di loro sono possibili?

.

Problema 4. In quanti modi puoi creare una pattuglia di tre soldati e un ufficiale, se ci sono 80 soldati e 3 ufficiali?

Soluzione. Puoi scegliere un soldato di pattuglia

nei modi, e gli ufficiali nei modi. Dal momento che qualsiasi ufficiale può andare con ogni squadra di soldati, ci sono solo modi.

Problema 5. Trova, se è noto.

Da allora, otteniamo

,

,

Dalla definizione di combinazione segue che,. Quella. ...

1.3. Il concetto di evento casuale. Tipi di eventi. Probabilità dell'evento

Qualsiasi azione, fenomeno, osservazione con più esiti differenti, realizzata in un dato insieme di condizioni, sarà chiamata test.

Il risultato di questa azione o osservazione è chiamato evento .

Se l'evento a date condizioni può o non può accadere, allora si chiama a caso ... Nel caso in cui un evento debba certamente verificarsi, si chiama affidabile , e nel caso in cui ovviamente non possa accadere, - impossibile.

Gli eventi si chiamano incoerente se solo uno di essi può apparire alla volta.

Gli eventi si chiamano giunto se nelle condizioni date il verificarsi di uno di questi eventi non esclude il verificarsi di un altro nel corso della stessa prova.

Gli eventi si chiamano di fronte se, nelle condizioni della prova, esse, essendone gli unici esiti, risultano incompatibili.

Gli eventi sono solitamente designati da lettere maiuscole dell'alfabeto latino: A, B, C, D, : .

Il sistema completo di eventi А 1, А 2, А 3,:, А n è un insieme di eventi incompatibili, l'inizio di almeno uno dei quali è obbligatorio per un dato test.

Se il sistema completo è costituito da due eventi incompatibili, tali eventi sono chiamati opposti e sono designati A e.

Esempio. La scatola contiene 30 palline numerate. Stabilire quale dei seguenti eventi è impossibile, affidabile, opposto:

ho una pallina numerata (UN);

ho una palla con un numero pari (V);

ha una palla dispari (INSIEME A);

ho una palla senza numero (D).

Quali costituiscono un gruppo completo?

Soluzione ... UN- un evento affidabile; D- un evento impossibile;

In e INSIEME A- eventi opposti.

L'intero gruppo di eventi è composto da UN e D, B e INSIEME A.

La probabilità di un evento è considerata come una misura della possibilità oggettiva del verificarsi di un evento casuale.

1.4. Definizione classica di probabilità

Un numero che è espressione di una misura della possibilità oggettiva che un evento si verifichi si chiama probabilità questo evento ed è indicato dal simbolo PAPÀ).

Definizione. Probabilità dell'evento UNè il rapporto tra il numero di esiti m, favorevole all'insorgenza di un dato evento UN, al numero n tutti i risultati (incoerenti, unici e ugualmente possibili), ad es. ...

Pertanto, per determinare la probabilità di un evento, è necessario, dopo aver considerato i vari esiti della sperimentazione, calcolare tutti i possibili esiti inconsistenti. n, scegli il numero di risultati che ci interessa m e calcola il rapporto m Per n.

Da questa definizione derivano le seguenti proprietà:

La probabilità di qualsiasi test è un numero non negativo non superiore a uno.

Infatti, il numero m degli eventi desiderati è nei limiti. Dividendo entrambe le parti in n, noi abbiamo

2. La probabilità di un evento attendibile è uguale a uno, poiché ...

3. La probabilità di un evento impossibile è zero, perché.

Problema 1. Nella lotteria di 1000 biglietti, ci sono 200 vincite. Prendi un biglietto a caso. Qual è la probabilità che questo biglietto sia vincente?

Soluzione. Il numero totale di risultati diversi è n= 1000. Il numero di esiti favorevoli alla vittoria è m = 200. Secondo la formula, otteniamo

.

Problema 2. Ci sono 4 parti difettose in un lotto di 18 parti. 5 parti sono scelte a caso. Trova la probabilità che di queste 5 parti, due risultino difettose.

Soluzione. Il numero di tutti i risultati indipendenti ugualmente possibili nè uguale al numero di combinazioni da 18 a 5 cioè

Contiamo il numero m, favorevole per l'evento A. Tra 5 parti prese a caso, dovrebbero esserci 3 di alta qualità e 2 difettose. Il numero di modi per selezionare due parti difettose da 4 parti difettose disponibili è uguale al numero di combinazioni da 4 a 2:

Il numero di metodi per campionare tre parti di alta qualità da 14 parti di alta qualità disponibili è

.

Qualsiasi gruppo di parti di qualità può essere combinato con qualsiasi gruppo di parti difettose, quindi il numero totale di combinazioni mè

La probabilità ricercata dell'evento A è uguale al rapporto tra il numero di esiti m, favorevoli a questo evento, e il numero n di tutti gli esiti indipendenti ugualmente possibili:

.

La somma di un numero finito di eventi è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di essi.

La somma di due eventi è indicata dal simbolo A + B, e la somma n eventi con il simbolo А 1 + А 2 +: + А n.

Il teorema di addizione per le probabilità.

La probabilità della somma di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi.

Corollario 1. Se l'evento А 1, А 2,:, А n forma un sistema completo, allora la somma delle probabilità di questi eventi è uguale a uno.

Corollario 2. La somma delle probabilità di eventi opposti è uguale a uno.

.

Problema 1. Ci sono 100 biglietti della lotteria. È noto che 5 biglietti riceveranno un premio di 20.000 rubli ciascuno, 10 biglietti - 15.000 rubli ciascuno, 15 biglietti - 10.000 rubli ciascuno, 25 - 2.000 rubli ciascuno. e niente per il resto. Trova la probabilità di ricevere un premio di almeno 10.000 rubli sul biglietto acquistato.

Soluzione. Siano A, B e C gli eventi consistenti nel fatto che sul biglietto acquistato ricade un premio, rispettivamente pari a 20.000, 15.000 e 10.000 rubli. poiché gli eventi A, B e C sono inconsistenti, allora

Problema 2. On extramurale la scuola tecnica riceve test di matematica dalle città A, B e INSIEME A... Probabilità di ricezione del lavoro di prova dalla città UNè uguale a 0,6, da città V- 0,1. Trova la probabilità che il prossimo test verrà dalla città INSIEME A.

Molti, di fronte al concetto di "teoria della probabilità", si spaventano, pensando che sia qualcosa di travolgente, molto difficile. Ma in realtà non tutto è così tragico. Oggi considereremo il concetto di base della teoria della probabilità, impareremo come risolvere i problemi usando esempi specifici.

La scienza

Che cosa studia una branca della matematica come la "teoria della probabilità"? Annota modelli e quantità. Per la prima volta, gli scienziati si sono interessati a questo problema nel diciottesimo secolo, quando hanno studiato il gioco d'azzardo. Il concetto base della teoria della probabilità è un evento. Questo è un fatto accertato dall'esperienza o dall'osservazione. Ma cos'è l'esperienza? Un altro concetto base della teoria della probabilità. Significa che questo insieme di circostanze non è stato creato per caso, ma per uno scopo specifico. Per quanto riguarda l'osservazione, qui il ricercatore stesso non partecipa all'esperimento, ma semplicemente assiste a questi eventi, non influisce in alcun modo su ciò che sta accadendo.

sviluppi

Abbiamo imparato che il concetto di base della teoria della probabilità è un evento, ma non abbiamo considerato la classificazione. Rientrano tutti nelle seguenti categorie:

• Credibile.
• Impossibile.
• A caso.

Indipendentemente dal tipo di eventi osservati o creati nel corso dell'esperimento, sono tutti soggetti a questa classificazione. Ti invitiamo a familiarizzare con ciascuno dei tipi separatamente.

Evento credibile

Questa è una circostanza del genere, di fronte alla quale è stata adottata la necessaria serie di misure. Per comprendere meglio l'essenza, è meglio fare alcuni esempi. La fisica, la chimica, l'economia e la matematica superiore sono tutte soggette a questa legge. La teoria della probabilità include un concetto così importante come un evento affidabile. Ecco alcuni esempi:

• Lavoriamo e riceviamo una retribuzione sotto forma di salario.
• Abbiamo superato bene gli esami, superato il concorso, per questo riceviamo un premio sotto forma di ammissione a Istituto d'Istruzione.
• Abbiamo investito soldi in banca, se necessario li riavremo indietro.

Tali eventi sono credibili. Se abbiamo fatto tutto le condizioni necessarie, allora otterremo sicuramente il risultato atteso.

Eventi impossibili

Passiamo ora agli elementi della teoria della probabilità. Proponiamo di passare alla spiegazione del prossimo tipo di evento, cioè l'impossibile. Per cominciare, stipuleremo il più regola importante- la probabilità di un evento impossibile è zero.

Non si può discostarsi da questa formulazione quando si risolvono problemi. Per chiarimenti, ecco alcuni esempi di tali eventi:

• L'acqua si è congelata a una temperatura di più dieci (questo è impossibile).
• La mancanza di energia elettrica non pregiudica in alcun modo la produzione (impossibile come nell'esempio precedente).

Non vale la pena fornire ulteriori esempi, poiché quelli sopra descritti riflettono molto chiaramente l'essenza di questa categoria. Un evento impossibile non accadrà mai durante un'esperienza in nessuna circostanza.

Eventi casuali

Studiando gli elementi, particolare attenzione dovrebbe essere prestata a questo particolare tipo di evento. Sono loro che questa scienza studia. Come risultato dell'esperienza, qualcosa può succedere o no. Inoltre, il test può essere eseguito un numero illimitato di volte. Esempi eclatanti sono:

• Il lancio di una moneta è un'esperienza, o una prova; la caduta di una testa è un evento.
• Tirare fuori la palla dal sacchetto alla cieca è un test, una palla rossa viene catturata - questo è un evento e così via.

Ci può essere un numero illimitato di tali esempi, ma, in generale, l'essenza dovrebbe essere chiara. Per riassumere e sistematizzare le conoscenze acquisite sugli eventi, viene fornita una tabella. La teoria della probabilità studia solo l'ultima specie di tutte quelle presentate.

titolo	definizione
Credibile	Eventi che si verificano con una garanzia del 100% soggetta a determinate condizioni.	Ammissione a un istituto di istruzione con un buon superamento dell'esame di ammissione.
Impossibile	Eventi che non accadranno mai in nessuna circostanza.	Sta nevicando a una temperatura dell'aria di oltre trenta gradi Celsius.
A caso	Un evento che può verificarsi o meno durante l'esperimento/test.	Colpire o mancare quando si lancia una palla da basket nel canestro.

Le leggi

La teoria della probabilità è una scienza che studia la possibilità che un evento si verifichi. Come altri, ha alcune regole. Ci sono le seguenti leggi della teoria della probabilità:

• Convergenza di successioni di variabili casuali.
• La legge dei grandi numeri.

Quando si calcola la possibilità di un complesso, è possibile utilizzare un insieme di eventi semplici per ottenere un risultato in modo più semplice e veloce. Si noti che le leggi della teoria della probabilità sono facilmente dimostrabili utilizzando alcuni teoremi. Ti suggeriamo di familiarizzare prima con la prima legge.

Convergenza di successioni di variabili casuali

Si noti che esistono diversi tipi di convergenza:

• Una sequenza di variabili casuali converge in probabilità.
• Quasi impossibile.
• Convergenza quadratica media.
• Convergenza nella distribuzione.

Quindi, al volo, è molto difficile coglierne l'essenza. Ecco alcune definizioni che ti aiuteranno a capire questo argomento. Per cominciare, la prima vista. La sequenza si chiama convergendo in probabilità, se è soddisfatta la seguente condizione: n tende all'infinito, il numero a cui tende la sequenza è maggiore di zero ed è prossimo a uno.

Passiamo al modulo successivo, quasi sicuramente... La successione si dice convergente quasi sicuramente a una variabile casuale poiché n tende all'infinito e P tende a un valore vicino all'unità.

Il prossimo tipo è Convergenza RMS... Quando si utilizza la convergenza SK, lo studio dei processi stocastici vettoriali si riduce allo studio dei loro processi stocastici coordinati.

Rimane l'ultimo tipo, analizziamolo brevemente per procedere direttamente alla risoluzione dei problemi. La convergenza nella distribuzione ha anche un altro nome: "debole", di seguito spiegheremo perché. convergenza deboleÈ la convergenza delle funzioni di distribuzione in tutti i punti di continuità della funzione di distribuzione limite.

Manterremo sicuramente la nostra promessa: la convergenza debole differisce da tutte le precedenti in quanto la variabile casuale non è definita nello spazio delle probabilità. Ciò è possibile perché la condizione è formata esclusivamente utilizzando funzioni di distribuzione.

La legge dei grandi numeri

Teoremi della teoria della probabilità, come:

• La disuguaglianza di Chebyshev.
• Teorema di Chebyshev.
• Teorema di Chebyshev generalizzato.
• Teorema di Markov.

Se consideriamo tutti questi teoremi, questa domanda può trascinarsi per diverse decine di pagine. Il nostro compito principale è applicare in pratica la teoria della probabilità. Ti suggeriamo di farlo subito e fallo. Ma prima, considera gli assiomi della teoria della probabilità, saranno i principali aiutanti nella risoluzione dei problemi.

assiomi

Il primo lo abbiamo già incontrato quando abbiamo parlato di un evento impossibile. Ricordiamo: la probabilità di un evento impossibile è zero. Abbiamo fatto un esempio molto vivido e memorabile: ha nevicato a una temperatura dell'aria di trenta gradi Celsius.

Il secondo è il seguente: un evento affidabile si verifica con una probabilità pari a uno. Ora mostreremo come scrivere questo usando il linguaggio matematico: P (B) = 1.

Terzo: un evento casuale può accadere o meno, ma la possibilità varia sempre da zero a uno. Più il valore è vicino a uno, maggiori sono le possibilità; se il valore si avvicina a zero, la probabilità è molto piccola. Scriviamolo in linguaggio matematico: 0<Р(С)<1.

Considera l'ultimo, quarto assioma, che suona così: la probabilità della somma di due eventi è uguale alla somma delle loro probabilità. Scriviamo in linguaggio matematico: P (A + B) = P (A) + P (B).

Gli assiomi della teoria della probabilità sono le regole più semplici che non sarà difficile ricordare. Proviamo a risolvere alcuni problemi, facendo affidamento sulle conoscenze già acquisite.

Biglietto della lotteria

Iniziamo guardando l'esempio più semplice: una lotteria. Immagina di aver comprato un biglietto della lotteria per buona fortuna. Qual è la probabilità di vincere almeno venti rubli? In totale, un migliaio di biglietti partecipano all'estrazione, uno dei quali ha un premio di cinquecento rubli, dieci per cento rubli, cinquanta per venti rubli e cento per cinque. I problemi di probabilità si basano sulla ricerca dell'opportunità per la fortuna. Ora analizzeremo insieme la soluzione del compito sopra presentato.

Se denotiamo una vincita di cinquecento rubli con la lettera A, la probabilità di ottenere A sarà 0,001. Come l'abbiamo ottenuto? Devi solo dividere il numero di biglietti "fortunati" per il loro numero totale (in questo caso: 1/1000).

B è una vincita di cento rubli, la probabilità sarà 0,01. Ora abbiamo agito sullo stesso principio dell'azione precedente (10/1000)

С - le vincite sono pari a venti rubli. Troviamo la probabilità, è uguale a 0,05.

Il resto dei biglietti non ci interessa, poiché il loro montepremi è inferiore a quello specificato nella condizione. Applichiamo il quarto assioma: la probabilità di vincere almeno venti rubli è P (A) + P (B) + P (C). La lettera P indica la probabilità del verificarsi di questo evento, li abbiamo già trovati in azioni precedenti. Resta solo da aggiungere i dati necessari, nella risposta otteniamo 0,061. Questo numero sarà la risposta alla domanda del compito.

Mazzo di carte

I problemi di teoria della probabilità possono essere più complessi, per esempio, prendiamo il seguente compito. Ecco un mazzo di trentasei carte. Il tuo compito è pescare due carte di seguito senza mescolare il mazzo, la prima e la seconda carta devono essere assi, il seme non ha importanza.

Innanzitutto, troviamo la probabilità che la prima carta sia un asso, per questo dividiamo quattro per trentasei. L'hanno messo da parte. Tiriamo fuori la seconda carta, sarà un asso con una probabilità di tre trentacinquesimi. La probabilità di un secondo evento dipende da quale carta peschiamo per prima, ci chiediamo se fosse un asso o meno. Ne consegue che l'evento B dipende dall'evento A.

Il passo successivo è trovare la probabilità di occorrenza simultanea, cioè moltiplichiamo A e B. Il loro prodotto si trova come segue: la probabilità di un evento viene moltiplicata per la probabilità condizionata di un altro, che calcoliamo, assumendo che il primo evento è accaduto, cioè con la prima carta abbiamo pescato un asso.

Per chiarire tutto, daremo una designazione a un elemento come eventi. Si calcola supponendo che si sia verificato l'evento A. Calcolato come segue: P (B/A).

Continuiamo a risolvere il nostro problema: P (A * B) = P (A) * P (B / A) o P (A * B) = P (B) * P (A / B). La probabilità è (4/36) * ((3/35) / (4/36). Calcola, arrotondando al centesimo più vicino. Abbiamo: 0,11 * (0,09 / 0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 La probabilità che estraiamo due assi di seguito è pari a nove centesimi Il valore è molto piccolo, il che significa che la probabilità che si verifichi l'evento è estremamente piccola.

Numero dimenticato

Proponiamo di analizzare molte più opzioni per compiti che la teoria degli studi di probabilità. Hai già visto esempi di risoluzione di alcuni di essi in questo articolo, proviamo a risolvere il seguente problema: il ragazzo ha dimenticato l'ultima cifra del numero di telefono del suo amico, ma poiché la chiamata era molto importante, ha iniziato a comporre tutto a sua volta. Dobbiamo calcolare la probabilità che chiamerà non più di tre volte. La soluzione al problema è la più semplice se si conoscono le regole, le leggi e gli assiomi della teoria della probabilità.

Prima di esaminare la soluzione, prova a risolverla da solo. Sappiamo che l'ultima cifra può essere da zero a nove, cioè ci sono solo dieci valori. La probabilità di ottenere quello richiesto è 1/10.

Successivamente, dobbiamo considerare le opzioni per l'origine dell'evento, supponiamo che il ragazzo abbia indovinato e abbia immediatamente digitato quello desiderato, la probabilità di un tale evento è 1/10. La seconda opzione: la prima chiamata è una miss, e la seconda è sul bersaglio. Calcoliamo la probabilità di un evento del genere: moltiplichiamo 9/10 per 1/9, alla fine otteniamo anche 1/10. La terza opzione: la prima e la seconda chiamata erano all'indirizzo sbagliato, solo dalla terza il ragazzo è arrivato dove voleva. Calcoliamo la probabilità di un tale evento: moltiplichiamo 9/10 per 8/9 e per 1/8, otteniamo come risultato 1/10. Non siamo interessati ad altre opzioni in base alle condizioni del problema, quindi dobbiamo sommare i risultati ottenuti, alla fine abbiamo 3/10. Risposta: La probabilità che un ragazzo chiami non più di tre volte è 0,3.

Carte numeriche

Ci sono nove carte davanti a te, ognuna delle quali ha scritto un numero da uno a nove, i numeri non si ripetono. Sono stati messi in una scatola e mescolati accuratamente. Devi calcolare la probabilità che

• un numero pari verrà eliminato;
• a due cifre.

Prima di procedere alla soluzione, stabiliamo che m è il numero di casi riusciti e n è il numero totale di opzioni. Troviamo la probabilità che il numero sia pari. Non sarà difficile calcolare che ci sono quattro numeri pari, questo sarà il nostro m, sono possibili un totale di nove opzioni, ovvero m = 9. Quindi la probabilità è 0,44 o 4/9.

Considera il secondo caso: il numero di opzioni è nove, ma non possono esserci risultati positivi, ovvero m è uguale a zero. Anche la probabilità che la carta estratta contenga un numero a due cifre è zero.

La teoria della probabilità è una branca della matematica che studia le leggi dei fenomeni casuali: eventi casuali, variabili casuali, loro proprietà e operazioni su di essi.

Per molto tempo, la teoria della probabilità non ha avuto una definizione chiara. Fu formulato solo nel 1929. L'emergere della teoria della probabilità come scienza è attribuito al Medioevo e ai primi tentativi di analisi matematica del gioco d'azzardo (monete, dadi, roulette). I matematici francesi del XVII secolo Blaise Pascal e Pierre Fermat, studiando la previsione delle vincite nel gioco d'azzardo, scoprirono le prime leggi di probabilità derivanti dal lancio dei dadi.

La teoria della probabilità è nata come scienza dalla convinzione che certi modelli si trovano al centro di eventi di massa casuali. La teoria della probabilità studia questi modelli.

La teoria della probabilità si occupa dello studio di eventi, il cui verificarsi non è noto con certezza. Ti permette di giudicare il grado di probabilità del verificarsi di alcuni eventi rispetto ad altri.

Ad esempio: è impossibile determinare in modo univoco il risultato di ottenere "testa" o "croce" a seguito di un lancio di moneta, ma con lanci ripetuti, cade approssimativamente lo stesso numero di "testa" e "croce", il che significa che la probabilità di ottenere "testa" o "croce" "È pari al 50%.

Test in questo caso, viene chiamata l'implementazione di un determinato insieme di condizioni, ovvero, in questo caso, il lancio di una moneta. La sfida può essere giocata un numero illimitato di volte. In questo caso, il complesso delle condizioni include fattori casuali.

Il risultato del test è evento... L'evento si verifica:

1. Credibile (succede sempre come risultato di un test).
2. Impossibile (non succede mai).
3. Accidentale (può o meno accadere come risultato del test).

Ad esempio, quando viene lanciata una moneta, un evento impossibile - la moneta sarà sul bordo, un evento casuale - la caduta di "testa" o "croce". Il risultato del test specifico è chiamato evento elementare... Come risultato del test, si verificano solo eventi elementari. Viene chiamata la totalità di tutti i possibili, diversi e specifici risultati del test spazio degli eventi elementari.

Concetti di base della teoria

Probabilità- il grado di possibilità dell'origine dell'evento. Quando le ragioni per cui un possibile evento si verifica effettivamente superano le ragioni opposte, allora l'evento è chiamato probabile, altrimenti - improbabile o improbabile.

Valore casualeè un valore che, a seguito del test, può assumere un determinato valore, e non si sa a priori quale. Ad esempio: il numero giornaliero della caserma dei pompieri, il numero di colpi con 10 colpi, ecc.

Le variabili casuali possono essere suddivise in due categorie.

1. Variabile casuale discretaè una quantità che, a seguito di un test, può assumere determinati valori con una certa probabilità, formando un insieme numerabile (un insieme i cui elementi possono essere numerati). Questo insieme può essere sia finito che infinito. Ad esempio, il numero di colpi prima del primo colpo sul bersaglio è una variabile casuale discreta, poiché questo valore può assumere un numero infinito, seppur numerabile, di valori.
2. Variabile casuale continua viene chiamata una tale quantità che può assumere qualsiasi valore da un certo intervallo finito o infinito. Ovviamente, il numero di possibili valori di una variabile casuale continua è infinito.

Spazio di probabilità- un concetto introdotto da A.N. Kolmogorov negli anni '30 del XX secolo per formalizzare il concetto di probabilità, che ha dato origine al rapido sviluppo della teoria della probabilità come disciplina matematica rigorosa.

Lo spazio di probabilità è una tripletta (a volte racchiusa tra parentesi angolari:, dove

Questo è un insieme arbitrario, i cui elementi sono chiamati eventi elementari, risultati o punti;
- sigma-algebra di sottoinsiemi detti eventi (casuali);
- una misura probabilistica o probabilità, ad es. misura finita sigma-additiva tale che.

Teorema di Moivre-Laplace- uno dei teoremi limite della teoria della probabilità, stabilito da Laplace nel 1812. Sostiene che il numero di successi con ripetizioni multiple dello stesso esperimento casuale con due possibili esiti ha una distribuzione approssimativamente normale. Ti permette di trovare un valore approssimativo della probabilità.

Se, per ciascuno dei test indipendenti, la probabilità del verificarsi di un evento casuale è uguale a () ed è il numero di test in cui si verifica effettivamente, allora la probabilità della disuguaglianza è vicina (per grande) al valore dell'integrale di Laplace.

Funzione di distribuzione nella teoria della probabilità- una funzione che caratterizza la distribuzione di una variabile casuale o di un vettore casuale; la probabilità che una variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a x, dove x è un numero reale arbitrario. Se vengono soddisfatte determinate condizioni, determina completamente la variabile casuale.

Valore atteso- il valore medio della variabile casuale (questa è la distribuzione di probabilità della variabile casuale, considerata nella teoria della probabilità). Nella letteratura in lingua inglese, è indicato da, in russo -. In statistica si usa spesso la notazione.

Sia dato uno spazio di probabilità e una variabile casuale definita su di esso. Cioè, per definizione, è una funzione misurabile. Quindi, se esiste un integrale di Lebesgue sullo spazio, allora è chiamato aspettativa matematica o valore medio ed è indicato.

Varianza di una variabile casuale- una misura della diffusione di una data variabile casuale, cioè la sua deviazione dall'aspettativa matematica. È indicato nella letteratura russa e nella letteratura straniera. Nelle statistiche, la designazione o viene spesso utilizzata. La radice quadrata della varianza è chiamata deviazione standard, deviazione standard o deviazione standard.

Sia una variabile casuale definita su un certo spazio di probabilità. Quindi

dove il simbolo indica l'aspettativa matematica.

Nella teoria della probabilità, vengono chiamati due eventi casuali indipendente se il verificarsi di uno di essi non cambia la probabilità del verificarsi dell'altro. Allo stesso modo, vengono chiamate due variabili casuali dipendente se il valore di uno di essi influisce sulla probabilità dei valori dell'altro.

La forma più semplice della legge dei grandi numeri è il teorema di Bernoulli, il quale afferma che se la probabilità di un evento è la stessa in tutte le prove, allora all'aumentare del numero delle prove, la frequenza dell'evento tende alla probabilità del evento e cessa di essere casuale.

La legge dei grandi numeri nella teoria della probabilità afferma che la media aritmetica di un campione finito da una distribuzione fissa è vicina all'aspettativa matematica media teorica di tale distribuzione. A seconda del tipo di convergenza si distingue tra legge debole dei grandi numeri, quando vi è convergenza in probabilità, e legge forte dei grandi numeri, quando la convergenza è quasi certa.

Il significato generale della legge dei grandi numeri è che l'azione congiunta di un gran numero di fattori casuali identici e indipendenti porta a un risultato che non dipende dal caso limite.

I metodi per la stima della probabilità basati sull'analisi di un campione finito si basano su questa proprietà. Un esempio illustrativo è la previsione dei risultati elettorali basata su un sondaggio di un campione di elettori.

Teoremi del limite centrale- la classe dei teoremi nella teoria della probabilità, asserendo che la somma di un numero sufficientemente grande di variabili casuali debolmente dipendenti aventi approssimativamente le stesse scale (nessuno dei termini domina, non dà un contributo determinante alla somma) ha una distribuzione vicino alla normalità.

Poiché molte variabili casuali nelle applicazioni si formano sotto l'influenza di diversi fattori casuali debolmente dipendenti, la loro distribuzione è considerata normale. In questo caso, deve essere soddisfatta la condizione che nessuno dei fattori sia dominante. I teoremi limite centrali in questi casi giustificano l'applicazione della distribuzione normale.