Getaran paksa. Resonansi. Getaran paksa Dapat berupa getaran paksa
Agar sistem dapat melakukan osilasi yang tidak teredam, maka perlu dilakukan kompensasi terhadap hilangnya energi osilasi akibat gesekan dari luar. Untuk memastikan bahwa energi osilasi sistem tidak berkurang, biasanya diberikan gaya yang bekerja secara berkala pada sistem (kita akan menyebutnya gaya yang memaksa, dan osilasi tersebut dipaksa).
DEFINISI: dipaksa Ini adalah osilasi yang terjadi dalam sistem osilasi di bawah pengaruh gaya eksternal yang berubah secara berkala.
Kekuatan ini biasanya memainkan peran ganda:
Pertama, ia mengguncang sistem dan memberinya sejumlah energi;
Kedua, secara berkala mengisi kembali energi yang hilang (konsumsi energi) untuk mengatasi kekuatan hambatan dan gesekan.
Biarkan kekuatan pendorong berubah seiring waktu menurut hukum:
Mari kita buat persamaan gerak untuk sistem yang berosilasi di bawah pengaruh gaya tersebut. Kami berasumsi bahwa sistem juga dipengaruhi oleh gaya kuasi-elastis dan gaya hambatan medium (yang berlaku dengan asumsi osilasi kecil).
Maka persamaan gerak sistem akan tampak seperti:
Atau 
.
Setelah melakukan substitusi , , - frekuensi alami osilasi sistem, kita memperoleh persamaan diferensial linier tak homogen orde ke-2:
Dari teori persamaan diferensial diketahui bahwa penyelesaian umum persamaan tak homogen sama dengan jumlah penyelesaian umum persamaan homogen dan penyelesaian khusus persamaan tak homogen.
Solusi umum persamaan homogen diketahui:
,
Di mana 
; A 0 dan A- konstanta sewenang-wenang.
.
Dengan menggunakan diagram vektor, Anda dapat memverifikasi kebenaran asumsi ini, dan juga menentukan nilai “ A" Dan " J”.
Amplitudo osilasi ditentukan oleh ekspresi berikut:
.
Arti " J”, yang merupakan besarnya jeda fase dari osilasi paksa 
dari tenaga penggerak yang menentukannya, ditentukan juga dari diagram vektor dan berjumlah:
.
Akhirnya, solusi khusus dari persamaan tak homogen akan berbentuk:
 |
(8.18) |
Fungsi ini, dikombinasikan dengan
 |
(8.19) |
memberikan solusi umum persamaan diferensial tak homogen yang menggambarkan perilaku sistem di bawah osilasi paksa. Istilah (8.19) memainkan peran penting dalam tahap awal proses, selama apa yang disebut pembentukan osilasi (Gbr. 8.10).
Seiring berjalannya waktu, karena faktor eksponensial, peran suku kedua (8.19) semakin berkurang, dan setelah waktu yang cukup lama dapat diabaikan, hanya mempertahankan suku (8.18) dalam penyelesaiannya.
Jadi, fungsi (8.18) menggambarkan osilasi paksa dalam kondisi tunak. Mereka mewakili osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi gaya penggerak. Amplitudo osilasi paksa sebanding dengan amplitudo gaya penggerak. Untuk sistem osilasi tertentu (ditentukan oleh w 0 dan b), amplitudo bergantung pada frekuensi gaya penggerak. Osilasi paksa tertinggal dari gaya penggerak dalam fase, dan besarnya jeda “j” juga bergantung pada frekuensi gaya penggerak.
Ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak mengarah pada fakta bahwa pada frekuensi tertentu yang ditentukan untuk sistem tertentu, amplitudo osilasi mencapai nilai maksimum. Sistem osilasi ternyata sangat responsif terhadap aksi gaya penggerak pada frekuensi ini. Fenomena ini disebut resonansi, dan frekuensi yang sesuai disebut frekuensi resonansi.
DEFINISI: fenomena di mana terjadi peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa disebut resonansi.
Frekuensi resonansi ditentukan dari kondisi maksimum amplitudo osilasi paksa:
. (8.20)
Kemudian, dengan mengganti nilai ini ke dalam ekspresi amplitudo, kita mendapatkan:
. (8.21)
Dengan tidak adanya hambatan dari medium, amplitudo osilasi pada resonansi akan berubah menjadi tak terhingga; frekuensi resonansi pada kondisi yang sama (b = 0) bertepatan dengan frekuensi osilasi alami.
Ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak (atau, yang sama, pada frekuensi osilasi) dapat direpresentasikan secara grafis (Gbr. 8.11). Kurva individu sesuai dengan nilai “b” yang berbeda. Semakin kecil “b”, semakin tinggi dan ke kanan letak maksimum kurva ini (lihat ekspresi untuk w res.). Dengan redaman yang sangat besar, resonansi tidak diamati - dengan meningkatnya frekuensi, amplitudo osilasi paksa berkurang secara monoton (kurva bawah pada Gambar 8.11).
Himpunan grafik yang disajikan sesuai dengan nilai b yang berbeda disebut kurva resonansi.
Catatan mengenai kurva resonansi:
Ketika w®0 cenderung, semua kurva mempunyai nilai bukan nol yang sama, sama dengan . Nilai ini mewakili perpindahan dari posisi setimbang yang diterima sistem di bawah pengaruh gaya konstan F 0 .
Untuk w®¥, semua kurva cenderung asimtotik ke nol, karena pada frekuensi tinggi, gaya berubah arah dengan sangat cepat sehingga sistem tidak mempunyai waktu untuk bergeser dari posisi setimbangnya.
Semakin kecil b, semakin besar amplitudo di dekat resonansi yang berubah seiring dengan frekuensi, semakin “tajam” maksimumnya.
Contoh:
Fenomena resonansi seringkali bermanfaat, terutama di bidang akustik dan teknik radio.
Hilangnya energi mekanik pada setiap sistem osilasi karena adanya gaya gesekan tidak dapat dihindari, oleh karena itu, tanpa “memompa” energi dari luar, osilasi akan teredam. Ada beberapa cara berbeda secara mendasar untuk menciptakan sistem osilasi osilasi terus menerus. Mari kita lihat lebih dekat osilasi yang tidak teredam di bawah pengaruh gaya periodik eksternal. Osilasi seperti itu disebut paksa. Mari kita lanjutkan mempelajari gerak pendulum harmonik (Gbr. 6.9).
Selain gaya elastisitas dan gesekan viskos yang telah dibahas sebelumnya, bola juga dipengaruhi oleh pengaruh eksternal menarik gaya periodik bervariasi menurut hukum harmonik
frekuensi, yang mungkin berbeda dari frekuensi alami pendulum ω Hai. Sifat kekuatan ini dalam hal ini tidak penting bagi kami. Gaya seperti itu dapat diciptakan dengan berbagai cara, misalnya dengan memberikan muatan listrik pada bola dan menempatkannya dalam medan listrik bolak-balik eksternal. Persamaan gerak bola dalam kasus yang dipertimbangkan memiliki bentuk
Mari kita membaginya dengan massa bola dan menggunakan notasi sebelumnya untuk parameter sistem. Hasilnya kita dapatkan persamaan osilasi paksa:
Di mana F Hai =F Hai /M− rasio nilai amplitudo gaya penggerak eksternal terhadap massa bola. Solusi umum persamaan (3) cukup rumit dan tentu saja bergantung pada kondisi awal. Sifat gerak bola yang dijelaskan oleh persamaan (3) jelas: di bawah pengaruh gaya penggerak, akan timbul osilasi yang amplitudonya akan meningkat. Rezim transisi ini cukup kompleks dan bergantung pada kondisi awal. Setelah jangka waktu tertentu, mode osilasi akan terbentuk dan amplitudonya akan berhenti berubah. Tepat keadaan osilasi yang stabil, dalam banyak kasus merupakan kepentingan utama. Kami tidak akan mempertimbangkan transisi sistem ke keadaan tunak, namun akan fokus pada deskripsi dan mempelajari karakteristik mode ini. Dengan rumusan masalah ini, tidak perlu menentukan kondisi awal, karena keadaan tunak yang kita minati tidak bergantung pada kondisi awal, karakteristiknya ditentukan sepenuhnya oleh persamaan itu sendiri. Kami menghadapi situasi serupa ketika mempelajari gerak suatu benda di bawah aksi gaya eksternal konstan dan gaya gesekan kental
Setelah beberapa waktu, benda bergerak dengan kecepatan tetap yang konstan v = F Hai /β , yang tidak bergantung pada kondisi awal dan sepenuhnya ditentukan oleh persamaan gerak. Kondisi awal menentukan rezim transisi ke gerak tetap. Berdasarkan akal sehat, masuk akal untuk berasumsi bahwa dalam mode osilasi tetap, bola akan berosilasi pada frekuensi gaya penggerak eksternal. Oleh karena itu, penyelesaian persamaan (3) harus dicari dalam fungsi harmonik dengan frekuensi gaya penggerak. Pertama, selesaikan persamaan (3), dengan mengabaikan gaya hambatan
Mari kita coba mencari solusinya dalam bentuk fungsi harmonik
Untuk melakukan ini, kita menghitung ketergantungan kecepatan dan percepatan benda terhadap waktu, sebagai turunan dari hukum gerak
dan substitusikan nilainya ke dalam persamaan (4)
Sekarang Anda dapat menguranginya sebesar biaya. Oleh karena itu, ungkapan ini sewaktu-waktu berubah menjadi identitas yang benar, asalkan syaratnya terpenuhi
Dengan demikian, asumsi kami tentang penyelesaian persamaan (4) dalam bentuk (5) dibenarkan: keadaan osilasi yang stabil dijelaskan oleh fungsi
Perhatikan bahwa koefisien A menurut ekspresi yang dihasilkan (6) dapat berupa positif (dengan ω < ω Hai), dan negatif (dengan ω > ω Hai). Perubahan tanda berhubungan dengan perubahan fase osilasi sebesar π (alasan perubahan ini akan dijelaskan nanti), oleh karena itu amplitudo osilasi adalah modulus koefisien ini |SEBUAH|. Amplitudo osilasi pada kondisi tunak, seperti yang diharapkan, sebanding dengan besarnya gaya penggerak. Selain itu, amplitudo ini sangat bergantung pada frekuensi gaya penggerak. Grafik skema hubungan ini ditunjukkan pada Gambar. 6.10
Beras. 6.10 Kurva resonansi
Sebagai berikut dari rumus (6) dan terlihat jelas pada grafik, ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami sistem, amplitudo meningkat tajam. Alasan peningkatan amplitudo ini jelas: gaya penggerak "selama" mendorong bola, ketika frekuensinya benar-benar bertepatan, mode yang ditetapkan tidak ada - amplitudo meningkat hingga tak terbatas. Tentu saja, dalam praktiknya tidak mungkin mengamati peningkatan yang tak terbatas seperti itu: Pertama, hal ini dapat mengakibatkan rusaknya sistem osilasi itu sendiri, Kedua, dengan amplitudo osilasi yang besar, gaya hambatan medium tidak dapat diabaikan. Peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami osilasi sistem disebut fenomena resonansi. Sekarang mari kita lanjutkan mencari solusi persamaan osilasi paksa dengan memperhitungkan gaya hambatan
Tentu saja, dalam hal ini juga, solusinya harus dicari dalam bentuk fungsi harmonik dengan frekuensi gaya penggerak. Sangat mudah untuk melihat bahwa mencari solusi dalam bentuk (5) dalam kasus ini tidak akan membawa kesuksesan. Memang, persamaan (8), berbeda dengan persamaan (4), memuat kecepatan partikel, yang dijelaskan oleh fungsi sinus. Oleh karena itu, bagian waktu pada persamaan (8) tidak akan berkurang. Oleh karena itu, penyelesaian persamaan (8) harus direpresentasikan dalam bentuk umum fungsi harmonik
yang didalamnya terdapat dua parameter A Hai Dan φ harus dicari dengan menggunakan persamaan (8). Parameter A Hai adalah amplitudo osilasi paksa, φ − pergeseran fasa antara perubahan koordinat dan gaya penggerak variabel. Dengan menggunakan rumus trigonometri untuk kosinus jumlah, fungsi (9) dapat direpresentasikan dalam bentuk ekuivalen
yang juga berisi dua parameter B=SEBUAH Hai cosφ Dan C = −A Hai dosaφ untuk ditentukan. Dengan menggunakan fungsi (10), kita menulis ekspresi eksplisit untuk ketergantungan kecepatan dan percepatan suatu partikel terhadap waktu
dan substitusikan ke persamaan (8):
Mari kita tulis ulang ungkapan ini dalam bentuk
Agar persamaan (13) terpenuhi setiap saat, koefisien kosinus dan sinus harus sama dengan nol. Berdasarkan kondisi ini, diperoleh dua persamaan linier untuk menentukan parameter fungsi (10):
Penyelesaian sistem persamaan ini berbentuk
Berdasarkan rumus (10), kita menentukan ciri-ciri osilasi paksa: amplitudo
pergeseran fasa
Pada redaman rendah, ketergantungan ini mencapai maksimum yang tajam seiring dengan semakin dekatnya frekuensi gaya penggerak ω dengan frekuensi natural sistem ω Hai. Jadi, dalam hal ini resonansi juga dapat terjadi, itulah sebabnya ketergantungan yang diplot sering disebut kurva resonansi. Mempertimbangkan redaman lemah menunjukkan bahwa amplitudo tidak meningkat hingga tak terhingga, nilai maksimumnya bergantung pada koefisien atenuasi - seiring dengan peningkatan yang terakhir, amplitudo maksimum menurun dengan cepat. Ketergantungan amplitudo osilasi pada frekuensi gaya penggerak (16) mengandung terlalu banyak parameter independen ( F Hai , ω Hai , γ ) untuk membangun kelompok kurva resonansi yang lengkap. Seperti dalam banyak kasus, hubungan ini dapat disederhanakan secara signifikan dengan beralih ke variabel “tak berdimensi”. Mari kita ubah rumus (16) ke bentuk berikut
dan menunjukkan
− frekuensi relatif (perbandingan frekuensi gaya penggerak dengan frekuensi alami osilasi sistem);
− amplitudo relatif (perbandingan amplitudo osilasi dengan nilai deviasi A Hai = f/ω Hai 2 pada frekuensi nol);
− parameter tak berdimensi yang menentukan jumlah redaman. Dengan menggunakan notasi ini, fungsi (16) disederhanakan secara signifikan
karena hanya berisi satu parameter - δ . Kelompok kurva resonansi satu parameter yang dijelaskan oleh fungsi (16 b) dapat dibuat, terutama dengan mudah menggunakan komputer. Hasil konstruksi ini ditunjukkan pada Gambar. 629.
beras. 6.11
Perhatikan bahwa transisi ke satuan pengukuran “konvensional” dapat dilakukan hanya dengan mengubah skala sumbu koordinat. Perlu dicatat bahwa frekuensi gaya penggerak, di mana amplitudo osilasi paksa maksimum, juga bergantung pada koefisien redaman, sedikit menurun seiring dengan meningkatnya koefisien redaman. Terakhir, kami menekankan bahwa peningkatan koefisien redaman menyebabkan peningkatan yang signifikan pada lebar kurva resonansi. Pergeseran fasa yang dihasilkan antara osilasi titik dan gaya penggerak juga bergantung pada frekuensi osilasi dan koefisien redamannya. Kita akan lebih memahami peran pergeseran fasa ini ketika mempertimbangkan konversi energi dalam proses osilasi paksa.
frekuensi osilasi bebas tak teredam bertepatan dengan frekuensi alami, frekuensi osilasi teredam sedikit lebih kecil dari frekuensi alami, dan frekuensi osilasi paksa bertepatan dengan frekuensi gaya penggerak, dan bukan frekuensi alami.
Osilasi elektromagnetik paksa
Dipaksa Ini adalah osilasi yang terjadi dalam sistem osilasi di bawah pengaruh pengaruh periodik eksternal.
Gambar 6.12. Sirkuit dengan osilasi listrik paksa
Mari kita perhatikan proses yang terjadi pada rangkaian osilasi listrik ( Gambar 6.12), terhubung ke sumber eksternal, yang gglnya bervariasi menurut hukum harmonik
,
Di mana M– amplitudo EMF eksternal,
– frekuensi siklik EMF.
Mari kita nyatakan dengan kamu C tegangan melintasi kapasitor, dan melalui Saya - kekuatan arus dalam rangkaian. Pada rangkaian ini, selain variabel EMF (T) ggl yang diinduksi sendiri juga aktif L di induktor.
GGL induksi diri berbanding lurus dengan laju perubahan arus dalam rangkaian
.
Untuk penarikan persamaan diferensial osilasi paksa timbul dalam rangkaian seperti itu, kita menggunakan aturan kedua Kirchhoff
.
Tegangan melintasi resistansi aktif R temukan berdasarkan hukum Ohm
.
Kuat arus listrik sama dengan muatan yang mengalir per satuan waktu melalui penampang penghantar
.
Karena itu
.
Tegangan kamu C pada kapasitor berbanding lurus dengan muatan pada pelat kapasitor
.
GGL induksi diri dapat direpresentasikan melalui turunan kedua muatan terhadap waktu
.
Mengganti tegangan dan EMF ke dalam aturan kedua Kirchhoff
.
Membagi kedua sisi ekspresi ini dengan L dan mendistribusikan suku-sukunya menurut derajat penurunan orde turunannya, kita memperoleh persamaan diferensial orde kedua
.
Mari kita perkenalkan notasi berikut dan dapatkan
– koefisien atenuasi,
– frekuensi siklik osilasi alami rangkaian.
.
(1)
Persamaan (1) adalah heterogen persamaan diferensial linier orde kedua. Jenis persamaan ini menggambarkan perilaku berbagai sistem osilasi (listrik, mekanik) di bawah pengaruh pengaruh periodik eksternal (ggl eksternal atau gaya eksternal).
Solusi umum persamaan (1) terdiri dari solusi umum Q 1 homogen persamaan diferensial (2)
(2)
dan solusi pribadi apa pun Q 2 heterogen persamaan (1)
.
Jenis solusi umum homogen persamaan (2) tergantung pada nilai koefisien atenuasi . Kami akan tertarik pada kasus redaman lemah << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
Di mana B Dan 0 – konstanta yang ditentukan oleh kondisi awal.
Solusi (3) menjelaskan osilasi teredam dalam rangkaian. Nilai-nilai yang termasuk dalam (3):
– frekuensi siklik osilasi teredam;
– amplitudo osilasi teredam;
–fase osilasi teredam.
Kita mencari solusi khusus persamaan (1) berupa osilasi harmonik yang terjadi dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi pengaruh periodik eksternal - EMF, dan tertinggal dalam fase sebesar Dari dia
Di mana 
– amplitudo osilasi paksa, tergantung pada frekuensi.
Mari kita substitusikan (4) ke (1) dan dapatkan identitasnya
Untuk membandingkan fase osilasi, kami menggunakan rumus reduksi trigonometri
.
Kemudian persamaan kita akan ditulis ulang menjadi
Mari kita nyatakan osilasi di sisi kiri identitas yang dihasilkan dalam bentuk diagram vektor (beras.6.13)..
Suku ketiga berhubungan dengan osilasi pada kapasitansi DENGAN, mempunyai fase (
T
–
) dan amplitudo 
, kami menyatakannya sebagai vektor horizontal yang diarahkan ke kanan.
Gambar 6.13. Diagram vektor
Suku pertama di sisi kiri, berhubungan dengan osilasi induktansi L, akan digambarkan pada diagram vektor sebagai vektor yang diarahkan secara horizontal ke kiri (amplitudonya 
).
Istilah kedua sesuai dengan osilasi resistensi R, kami menyatakannya sebagai vektor yang diarahkan secara vertikal ke atas (amplitudonya 
), karena fasenya berada /2 di belakang fase suku pertama.
Karena penjumlahan tiga getaran di sebelah kiri tanda sama dengan menghasilkan getaran harmonis 
, maka jumlah vektor pada diagram (diagonal persegi panjang) menggambarkan osilasi dengan amplitudo 
dan fase
T, yang aktif
memajukan fase osilasi suku ketiga.
Dari segitiga siku-siku, dengan menggunakan teorema Pythagoras, Anda dapat mencari amplitudo A( )
(5)
Dan tg sebagai perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.
.
(6)
Oleh karena itu, solusi (4) dengan mempertimbangkan (5) dan (6) akan berbentuk
.
(7)
Solusi umum persamaan diferensial(1) adalah jumlahnya Q 1 dan Q 2
.
(8)
Rumus (8) menunjukkan bahwa ketika suatu rangkaian terkena EMF eksternal periodik, timbul osilasi dua frekuensi di dalamnya, yaitu. osilasi tak teredam dengan frekuensi EMF eksternal
dan osilasi teredam dengan frekuensi 
. Amplitudo osilasi teredam 
Seiring waktu, ia menjadi sangat kecil, dan hanya osilasi paksa yang tersisa di sirkuit, yang amplitudonya tidak bergantung pada waktu. Akibatnya, osilasi paksa dalam kondisi tunak dijelaskan oleh fungsi (4). Artinya, osilasi harmonik paksa terjadi pada rangkaian, dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi pengaruh luar dan amplitudo. 
, tergantung pada frekuensi ini ( beras. 3A) menurut undang-undang (5). Dalam hal ini, fase osilasi paksa tertinggal sebesar
dari pengaruh yang memaksa.
Dengan membedakan ekspresi (4) terhadap waktu, kita menemukan kekuatan arus dalam rangkaian
Di mana 
– amplitudo saat ini.
Mari kita tuliskan ekspresi kekuatan arus ini dalam bentuk
,
(9)
Di mana 
–pergeseran fasa antara arus dan ggl eksternal.
Sesuai dengan (6) dan beras. 2
.
(10)
Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa pergeseran fasa antara arus dan ggl eksternal bergantung pada resistansi konstan R, dari hubungan antara frekuensi penggerak EMF dan frekuensi alami rangkaian 0 .
Jika < 0, maka pergeseran fasa antara arus dan EMF eksternal < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Jika > 0 lalu > 0. Fluktuasi arus tertinggal dari fluktuasi EMF dalam fase berdasarkan sudut .
Jika = 0 (frekuensi resonansi), Itu = 0, yaitu kuat arus dan ggl berosilasi dalam fasa yang sama.
Resonansi– ini adalah fenomena peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi ketika frekuensi gaya penggerak eksternal bertepatan dengan frekuensi alami sistem osilasi.
Pada resonansi = 0 dan periode osilasi
.
Mengingat koefisien atenuasi
,
kita memperoleh ekspresi untuk faktor kualitas pada resonansi T = T 0
,
di sisi lain
.
Amplitudo tegangan pada induktansi dan kapasitansi pada resonansi dapat dinyatakan melalui faktor kualitas rangkaian
,
(15)
.
(16)
Dari (15) dan (16) jelas kapan
=
0, amplitudo tegangan melintasi kapasitor dan induktansi masuk Q kali lebih besar dari amplitudo ggl eksternal. Ini adalah properti berurutan RLC rangkaian digunakan untuk mengisolasi sinyal radio dengan frekuensi tertentu 
dari spektrum frekuensi radio saat membangun kembali penerima radio.
Saat latihan RLC sirkuit dihubungkan ke sirkuit lain, alat ukur atau perangkat penguat yang menimbulkan redaman tambahan RLC sirkuit. Oleh karena itu, nilai sebenarnya dari faktor kualitas yang dimuat RLC rangkaian ternyata lebih rendah dari nilai faktor kualitas yang diperkirakan dengan rumus
.
Nilai sebenarnya dari faktor kualitas dapat diperkirakan sebagai
Gambar 6.14. Menentukan faktor kualitas dari kurva resonansi
,
di mana F– bandwidth frekuensi yang amplitudonya 0,7 dari nilai maksimum ( beras. 4).
Tegangan kapasitor kamu C, pada resistensi aktif kamu R dan pada induktor kamu L mencapai maksimum pada frekuensi yang berbeda
,
,
.
Jika redamannya rendah 0 >> , maka semua frekuensi ini secara praktis bertepatan dan kita dapat berasumsi demikian
.
1. Mari kita cari tahu transformasi energi apa yang terjadi selama osilasi pendulum pegas (lihat Gambar 80). Ketika sebuah pegas diregangkan, energi potensialnya bertambah dan pada regangan maksimum pegas menjadi bernilai E n = .
Ketika beban bergerak menuju posisi setimbang, energi potensial pegas berkurang dan energi kinetik beban meningkat. Pada posisi setimbang, energi kinetik beban berada pada titik maksimum E k = , dan energi potensial pegas adalah nol.
Ketika pegas dikompresi, energi potensialnya meningkat dan energi kinetik beban berkurang. Pada kompresi maksimum, energi potensial pegas maksimum, dan energi kinetik beban adalah nol.
Jika kita mengabaikan gaya gesekan, maka setiap saat jumlah energi potensial dan energi kinetik tetap tidak berubah
E = E n + E k = konstanta.
Dengan adanya gaya gesekan, energi dihabiskan untuk melakukan usaha melawan gaya ini, amplitudo osilasi berkurang dan osilasi padam.
Jadi, osilasi bebas pendulum yang terjadi karena pasokan energi awal selalu terjadi kabur.
2. Timbul pertanyaan apa yang perlu dilakukan untuk memastikan bahwa fluktuasi tidak berhenti seiring berjalannya waktu. Jelasnya, untuk mendapatkan osilasi yang tidak teredam, perlu untuk mengkompensasi kehilangan energi. Hal ini dapat dilakukan dengan berbagai cara. Mari kita pertimbangkan salah satunya.
Anda tahu betul bahwa getaran ayunan tidak akan padam jika Anda terus-menerus mendorongnya, yaitu bertindak dengan kekuatan tertentu. Dalam hal ini getaran ayunan tidak lagi bebas, melainkan akan terjadi karena pengaruh gaya luar. Kerja gaya eksternal ini justru menggantikan energi yang hilang akibat gesekan.
Mari kita cari tahu apa yang seharusnya menjadi kekuatan eksternal? Mari kita asumsikan bahwa besar dan arah gaya adalah konstan. Jelasnya, dalam hal ini osilasi akan berhenti, karena benda, setelah melewati posisi setimbang, tidak akan kembali ke sana. Oleh karena itu, besar dan arah gaya luar harus berubah secara berkala.
Dengan demikian,
osilasi paksa adalah osilasi yang terjadi di bawah pengaruh gaya eksternal yang berubah secara berkala.
Getaran paksa, tidak seperti getaran bebas, dapat terjadi pada frekuensi berapa pun. Frekuensi osilasi paksa sama dengan frekuensi perubahan gaya yang bekerja pada benda, dalam hal ini disebut memaksa.
3. Mari kita melakukan percobaan. Kami menggantung beberapa pendulum dengan panjang berbeda dari tali yang dipasang di rak (Gbr. 82). Mari kita membelokkan pendulumnya A dari posisi setimbang dan membiarkannya sendiri. Ia akan berosilasi dengan bebas, bekerja dengan gaya periodik tertentu pada tali. Tali, pada gilirannya, akan bekerja pada pendulum yang tersisa. Akibatnya semua pendulum akan mulai melakukan osilasi paksa dengan frekuensi osilasi pendulum. A.
Kita akan melihat bahwa semua pendulum akan mulai berosilasi dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi osilasi pendulum. A. Namun, amplitudo osilasinya, kecuali pendulum C, akan lebih kecil dari amplitudo osilasi pendulum A. pendulum C, yang panjangnya sama dengan panjang bandul A, akan berayun sangat kuat. Oleh karena itu, pendulum mempunyai amplitudo osilasi terbesar, yang frekuensi alami osilasinya bertepatan dengan frekuensi gaya penggerak. Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa hal itu diamati resonansi.
Resonansi adalah fenomena peningkatan tajam amplitudo osilasi paksa ketika frekuensi gaya penggerak bertepatan dengan frekuensi alami sistem osilasi (pendulum).
Resonansi dapat diamati ketika ayunan berosilasi. Sekarang Anda dapat menjelaskan bahwa ayunan akan berayun lebih kuat jika didorong tepat waktu dengan getarannya sendiri. Dalam hal ini, frekuensi gaya luar sama dengan frekuensi osilasi ayunan. Setiap dorongan terhadap gerakan ayunan akan menyebabkan penurunan amplitudonya.
4 * . Mari kita cari tahu transformasi energi apa yang terjadi selama resonansi.
Jika frekuensi gaya penggerak berbeda dengan frekuensi alami getaran benda, maka gaya penggerak akan diarahkan searah atau berlawanan dengan gerak benda. Oleh karena itu, kerja gaya ini akan bersifat negatif atau positif. Secara umum kerja tenaga penggerak dalam hal ini sedikit mengubah energi sistem.
Misalkan sekarang frekuensi gaya luar sama dengan frekuensi alami osilasi benda. Dalam hal ini, arah gaya penggerak bertepatan dengan arah kecepatan benda, dan gaya hambatan dikompensasi oleh gaya eksternal. Tubuh bergetar hanya di bawah pengaruh kekuatan internal. Dengan kata lain, usaha negatif terhadap gaya hambatan sama dengan usaha positif gaya luar. Oleh karena itu, osilasi terjadi dengan amplitudo maksimum.
5. Fenomena resonansi harus diperhitungkan dalam praktiknya. Khususnya, peralatan mesin dan mesin mengalami sedikit getaran selama pengoperasian. Jika frekuensi getaran ini bertepatan dengan frekuensi alami masing-masing bagian mesin, maka amplitudo getarannya bisa sangat besar. Mesin atau penyangga tempatnya berdiri akan runtuh.
Ada kasus yang diketahui ketika, akibat resonansi, sebuah pesawat terbang jatuh di udara, baling-baling kapal patah, dan rel kereta api runtuh.
Resonansi dapat dicegah dengan mengubah frekuensi alami sistem atau frekuensi gaya yang menyebabkan osilasi. Untuk tujuan ini, misalnya, tentara yang melintasi jembatan tidak berjalan secara bertahap, tetapi dengan kecepatan bebas. Jika tidak, frekuensi langkah mereka mungkin bertepatan dengan frekuensi alami jembatan dan jembatan akan runtuh. Hal ini terjadi pada tahun 1750 di Perancis, ketika satu detasemen tentara melintasi jembatan sepanjang 102 m yang digantung dengan rantai. Kejadian serupa terjadi di Sankt Peterburg pada tahun 1906. Ketika satu skuadron kavaleri melintasi Jembatan Mesir di atas Sungai Fontanka, frekuensi langkah jelas kuda bertepatan dengan frekuensi getaran jembatan.
Untuk mencegah resonansi, kereta api melintasi jembatan dengan kecepatan lambat atau sangat cepat sehingga frekuensi tumbukan roda pada sambungan rel jauh lebih kecil atau jauh lebih besar daripada frekuensi alami jembatan.
Fenomena resonansi tidak selalu merugikan. Kadang-kadang ini bisa berguna, karena memungkinkan Anda memperoleh peningkatan besar dalam amplitudo getaran bahkan dengan bantuan gaya kecil.
Tindakan perangkat yang memungkinkan Anda mengukur frekuensi osilasi didasarkan pada fenomena resonansi. Perangkat ini disebut pengukur frekuensi. Karyanya dapat diilustrasikan dengan percobaan berikut. Model pengukur frekuensi dipasang pada mesin sentrifugal, yang terdiri dari satu set pelat (lidah) dengan panjang berbeda (Gbr. 83). Di ujung piring terdapat bendera timah yang dilapisi cat putih. Anda dapat memperhatikan bahwa ketika Anda mengubah kecepatan putaran pegangan mesin, pelat yang berbeda mulai bergetar. Pelat-pelat yang frekuensi alaminya sama dengan frekuensi putarannya mulai bergetar.
Pertanyaan tes mandiri
1. Apa yang menentukan amplitudo osilasi bebas bandul pegas?
2. Apakah amplitudo osilasi pendulum tetap konstan dengan adanya gaya gesekan?
3. Transformasi energi apa yang terjadi ketika bandul pegas berosilasi?
4. Mengapa getaran bebas teredam?
5. Getaran apa yang disebut getaran paksa? Berikan contoh osilasi paksa.
6. Apa itu resonansi?
7. Berikan contoh manifestasi resonansi yang berbahaya. Apa yang perlu dilakukan untuk mencegah resonansi?
8. Berikan contoh penggunaan fenomena resonansi.
Tugas 26
1. Isilah tabel 14, tuliskan gaya apa yang bekerja pada sistem osilasi jika melakukan osilasi bebas atau paksa; berapa frekuensi dan amplitudo osilasi tersebut; apakah mereka teredam atau tidak.
Tabel 14
|
Karakteristik osilasi |
Jenis getaran |
|
|
Tersedia |
Dipaksa |
|
|
Kekuatan efektif |
||
|
Frekuensi |
||
|
Amplitudo |
||
|
Atenuasi |
||
2 e.Sarankan percobaan untuk mengamati osilasi paksa.
3 e.Pelajari secara eksperimental fenomena resonansi dengan menggunakan pendulum matematika yang telah Anda buat.
4. Pada kecepatan putaran roda mesin jahit tertentu, meja tempatnya berdiri terkadang bergoyang kuat. Mengapa?
Osilasi paksa adalah osilasi yang terjadi dalam suatu sistem ketika gaya eksternal yang berubah secara berkala, yang disebut gaya penggerak, bekerja padanya.
Sifat (ketergantungan waktu) dari kekuatan pendorong mungkin berbeda. Ini bisa menjadi kekuatan yang berubah menurut hukum harmonis. Misalnya gelombang suara yang bersumber dari garpu tala mengenai gendang telinga atau membran mikrofon. Kekuatan tekanan udara yang berubah secara harmonis mulai bekerja pada membran.
Tenaga penggeraknya dapat berupa guncangan atau impuls singkat. Misalnya, orang dewasa mengayunkan seorang anak di ayunan, secara berkala mendorongnya pada saat ayunan mencapai salah satu posisi ekstremnya.
Tugas kita adalah mengetahui bagaimana sistem osilasi bereaksi terhadap pengaruh gaya penggerak yang berubah secara berkala.
§ 1 Kekuatan pendorong berubah menurut hukum harmonik
F tahan = - rv x dan kekuatan yang memaksa F keluar = F 0 dosa berat.
Hukum kedua Newton akan ditulis sebagai:
Penyelesaian persamaan (1) dicari dalam bentuk , dimana penyelesaian persamaan (1) jika tidak mempunyai ruas kanan. Terlihat bahwa tanpa ruas kanan, persamaan tersebut berubah menjadi persamaan osilasi teredam yang terkenal, yang penyelesaiannya sudah kita ketahui. Dalam waktu yang cukup lama, osilasi bebas yang timbul dalam sistem ketika sistem dipindahkan dari posisi setimbang praktis akan padam, dan hanya suku kedua yang tersisa dalam penyelesaian persamaan tersebut. Kami akan mencari solusi ini dalam formulir
Mari kelompokkan istilah-istilah tersebut secara berbeda:
Persamaan ini harus dipenuhi setiap saat t, yang hanya mungkin terjadi jika koefisien sinus dan kosinus sama dengan nol.
Jadi, suatu benda yang dikenai gaya penggerak, berubah menurut hukum harmonik, melakukan gerak osilasi dengan frekuensi gaya penggerak.
Mari kita periksa lebih detail pertanyaan tentang amplitudo osilasi paksa:
1 Amplitudo osilasi paksa dalam kondisi tunak tidak berubah seiring waktu. (Bandingkan dengan amplitudo osilasi teredam bebas).
2 Amplitudo osilasi paksa berbanding lurus dengan amplitudo gaya penggerak.
3 Amplitudo bergantung pada gesekan dalam sistem (A bergantung pada d, dan koefisien redaman d, selanjutnya, bergantung pada koefisien hambatan r). Semakin besar gesekan dalam sistem, semakin kecil amplitudo osilasi paksa.
4 Amplitudo osilasi paksa bergantung pada frekuensi gaya penggerak w. Bagaimana? Mari kita pelajari fungsi A(w).
Pada w = 0 (gaya konstan bekerja pada sistem osilasi), perpindahan benda adalah konstan terhadap waktu (harus diingat bahwa ini mengacu pada keadaan tunak, ketika osilasi alami hampir padam).
· Ketika w ® ¥, maka, seperti yang mudah dilihat, amplitudo A cenderung nol.
· Jelaslah bahwa pada frekuensi gaya penggerak tertentu, amplitudo osilasi paksa akan mengambil nilai terbesar (untuk d tertentu). Fenomena peningkatan tajam amplitudo osilasi paksa pada nilai frekuensi gaya penggerak tertentu disebut resonansi mekanis.
Menariknya, faktor kualitas sistem osilasi dalam hal ini menunjukkan berapa kali amplitudo resonansi melebihi perpindahan benda dari posisi setimbang di bawah aksi gaya konstan F 0 .
Kita melihat bahwa frekuensi resonansi dan amplitudo resonansi bergantung pada koefisien redaman d. Ketika d berkurang menjadi nol, frekuensi resonansi meningkat dan cenderung ke frekuensi osilasi alami sistem w 0 . Dalam hal ini, amplitudo resonansi meningkat dan pada d = 0 amplitudo resonansinya mencapai tak terhingga. Tentu saja, dalam praktiknya, amplitudo osilasi tidak boleh tak terhingga, karena gaya resistansi selalu bekerja dalam sistem osilasi nyata. Jika sistem memiliki redaman yang rendah, maka kita dapat berasumsi bahwa resonansi terjadi pada frekuensi osilasinya sendiri:
dimana dalam hal yang dipertimbangkan adalah pergeseran fasa antara gaya penggerak dan perpindahan benda dari posisi setimbang.
Sangat mudah untuk melihat bahwa pergeseran fasa antara gaya dan perpindahan bergantung pada gesekan dalam sistem dan frekuensi gaya penggerak eksternal. Ketergantungan ini ditunjukkan pada gambar. Jelas kapan< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- positif.
Mengetahui ketergantungan pada sudut, kita dapat memperoleh ketergantungan pada frekuensi gaya penggerak.
Pada frekuensi gaya eksternal yang jauh lebih rendah daripada gaya alami, perpindahan fasenya sedikit tertinggal dari gaya penggerak. Ketika frekuensi gaya eksternal meningkat, penundaan fase ini meningkat. Pada resonansi (jika kecil), pergeseran fasa menjadi sama dengan . Ketika >> perpindahan dan osilasi gaya terjadi pada antifase. Ketergantungan ini mungkin tampak aneh pada pandangan pertama. Untuk memahami fakta ini, mari kita beralih ke transformasi energi dalam proses osilasi paksa.
§ 2 Transformasi energi
Seperti yang telah kita ketahui, amplitudo osilasi ditentukan oleh energi total sistem osilasi. Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa amplitudo osilasi paksa tetap tidak berubah seiring waktu. Artinya energi mekanik total sistem osilasi tidak berubah seiring waktu. Mengapa? Bagaimanapun, sistemnya tidak tertutup! Dua gaya - gaya eksternal yang berubah secara berkala dan gaya hambatan - melakukan usaha yang harus mengubah energi total sistem.
Mari kita coba mencari tahu apa yang terjadi. Kekuatan penggerak eksternal dapat diketahui sebagai berikut:
Kita melihat bahwa kekuatan gaya eksternal yang memberi energi pada sistem osilasi sebanding dengan amplitudo osilasi.
Karena kerja gaya resistensi, energi sistem osilasi akan berkurang, berubah menjadi energi internal. Kekuatan kekuatan perlawanan:
Jelasnya, kekuatan gaya hambatan sebanding dengan kuadrat amplitudo. Mari kita gambarkan kedua dependensi pada grafik.
Agar osilasi menjadi stabil (amplitudo tidak berubah seiring waktu), kerja gaya luar selama periode tersebut harus mengkompensasi hilangnya energi sistem akibat kerja gaya hambatan. Titik potong grafik pangkat sama persis dengan rezim ini. Mari kita bayangkan karena alasan tertentu amplitudo osilasi paksa mengalami penurunan. Hal ini akan mengarah pada fakta bahwa kekuatan sesaat dari gaya eksternal akan lebih besar daripada kekuatan kerugian. Hal ini akan menyebabkan peningkatan energi sistem osilasi, dan amplitudo osilasi akan mengembalikan nilai sebelumnya.
Dengan cara yang sama, kita dapat yakin bahwa dengan peningkatan amplitudo osilasi secara acak, kehilangan daya akan melebihi kekuatan gaya eksternal, yang akan menyebabkan penurunan energi sistem, dan, akibatnya, ke penurunan amplitudo.
Mari kita kembali ke pertanyaan tentang pergeseran fasa antara perpindahan dan gaya penggerak pada resonansi. Kita telah menunjukkan bahwa perpindahannya tertinggal, dan karena itu gaya memimpin perpindahan sebesar . Sebaliknya proyeksi kecepatan pada proses osilasi harmonik selalu mendahului koordinat sebesar . Artinya selama resonansi, gaya penggerak eksternal dan kecepatan berosilasi dalam fase yang sama. Ini berarti mereka diarahkan bersama pada waktu tertentu! Kerja gaya luar dalam hal ini selalu positif semua pergi untuk mengisi kembali sistem osilasi dengan energi.
§ 3 Pengaruh periodik non-sinusoidal
Osilasi paksa osilator dimungkinkan di bawah pengaruh eksternal periodik apa pun, dan tidak hanya sinusoidal. Dalam hal ini, osilasi yang terjadi pada umumnya tidak berbentuk sinusoidal, tetapi akan mewakili gerakan periodik dengan periode yang sama dengan periode pengaruh eksternal.
Pengaruh eksternal dapat berupa, misalnya, guncangan yang berurutan (ingat bagaimana orang dewasa “mengayun” seorang anak yang duduk di ayunan). Jika periode guncangan eksternal bertepatan dengan periode osilasi alami, maka resonansi dapat terjadi pada sistem. Osilasinya akan hampir sinusoidal. Energi yang diberikan ke sistem pada setiap dorongan akan menggantikan energi total sistem yang hilang akibat gesekan. Jelas bahwa dalam hal ini, pilihan dimungkinkan: jika energi yang diberikan selama dorongan sama dengan atau melebihi kerugian gesekan per periode, maka osilasi akan stabil atau cakupannya akan meningkat. Hal ini terlihat jelas pada diagram fase.
Jelaslah bahwa resonansi juga mungkin terjadi ketika periode pengulangan guncangan adalah kelipatan periode osilasi alami. Hal ini tidak mungkin dilakukan dengan sifat pengaruh eksternal yang sinusoidal.
Sebaliknya, meskipun frekuensi guncangan bertepatan dengan frekuensi alami, resonansi mungkin tidak teramati. Jika saja kerugian gesekan selama periode tersebut melebihi energi yang diterima sistem selama dorongan, maka energi total sistem akan berkurang dan osilasi akan berkurang.
§ 4 Resonansi parametrik
Pengaruh eksternal pada sistem osilasi dapat direduksi menjadi perubahan periodik pada parameter sistem osilasi itu sendiri. Getaran yang tereksitasi dengan cara ini disebut parametrik, dan mekanismenya sendiri disebut resonansi parametrik .
Pertama-tama, kami akan mencoba menjawab pertanyaan: apakah mungkin untuk menghilangkan fluktuasi kecil yang sudah ada dalam sistem dengan mengubah beberapa parameternya secara berkala dengan cara tertentu.
Sebagai contoh, perhatikan seseorang yang sedang berayun di ayunan. Dengan menekuk dan meluruskan kakinya pada momen yang “tepat”, ia justru mengubah panjang pendulum. Dalam posisi ekstrem, seseorang berjongkok, sehingga sedikit menurunkan pusat gravitasi sistem osilasi; di posisi tengah, seseorang meluruskan, menaikkan pusat gravitasi sistem.
Untuk memahami mengapa seseorang berayun pada saat yang sama, pertimbangkan model seseorang yang sedang berayun dengan sangat sederhana - pendulum kecil biasa, yaitu beban kecil pada benang yang ringan dan panjang. Untuk mensimulasikan naik dan turunnya pusat gravitasi, kita akan melewatkan ujung atas benang melalui lubang kecil dan akan menarik benang pada saat pendulum melewati posisi setimbang, dan menurunkan benang dengan jumlah yang sama ketika pendulum melewati posisi setimbang. pendulum melewati posisi ekstrim.
Kerja gaya tegangan benang per periode (dengan memperhitungkan bahwa beban diangkat dan diturunkan dua kali per periode dan D aku << aku):
Harap dicatat bahwa dalam tanda kurung tidak ada yang lebih dari tiga kali lipat energi sistem osilasi. Omong-omong, besaran ini positif, oleh karena itu, kerja gaya tegangan (usaha kita) adalah positif, hal ini menyebabkan peningkatan energi total sistem, dan karenanya menyebabkan ayunan pendulum.
Menariknya, perubahan relatif energi selama suatu periode tidak bergantung pada apakah pendulum berayun lemah atau kuat. Ini sangat penting, dan inilah alasannya. Jika pendulum tidak “dipompa” dengan energi, maka untuk setiap periode pendulum akan kehilangan sebagian energinya karena gaya gesekan, dan osilasi akan padam. Dan agar rentang osilasi dapat meningkat, energi yang diperoleh harus melebihi energi yang hilang untuk mengatasi gesekan. Dan kondisi ini ternyata sama - baik untuk amplitudo kecil maupun besar.
Misalnya, jika dalam satu periode energi osilasi bebas berkurang sebesar 6%, maka agar osilasi bandul yang panjangnya 1 m tidak meredam, cukup dengan memperkecil panjangnya sebesar 1 cm di posisi tengah, dan menambahnya. dengan jumlah yang sama pada posisi ekstrim.
Kembali ke ayunan: jika Anda mulai mengayun, maka tidak perlu jongkok semakin dalam - jongkok dengan cara yang sama sepanjang waktu, dan Anda akan terbang semakin tinggi!
*** Kualitas bagus lagi!
Seperti yang telah kami katakan, untuk penumpukan parametrik osilasi, kondisi gesekan DE > A per periode harus dipenuhi.
Mari kita cari usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan selama periode tersebut
Terlihat bahwa besarnya relatif pengangkatan pendulum terhadap ayunannya ditentukan oleh faktor kualitas sistem.
§ 5 Arti resonansi
Osilasi dan resonansi paksa banyak digunakan dalam teknologi, terutama di bidang akustik, teknik elektro, dan teknik radio. Resonansi terutama digunakan ketika, dari sekumpulan besar osilasi dengan frekuensi berbeda, seseorang ingin mengisolasi osilasi dengan frekuensi tertentu. Resonansi juga digunakan dalam studi kuantitas yang berulang secara periodik dan sangat lemah.
Namun, dalam beberapa kasus, resonansi merupakan fenomena yang tidak diinginkan, karena dapat menyebabkan deformasi besar dan kerusakan struktur.
§ 6 Contoh pemecahan masalah
Soal 1 Osilasi paksa pendulum pegas di bawah aksi gaya sinusoidal eksternal.
Sebuah beban bermassa m = 10 g digantung pada pegas dengan kekakuan k = 10 N/m dan sistem ditempatkan dalam media kental dengan koefisien hambatan r = 0,1 kg/s. Bandingkan frekuensi alami dan frekuensi resonansi sistem. Tentukan amplitudo osilasi bandul pada resonansi akibat aksi gaya sinusoidal dengan amplitudo F 0 = 20 mN.
Larutan:
1 Frekuensi alami suatu sistem osilasi adalah frekuensi getaran bebas tanpa adanya gesekan. Frekuensi siklik alami sama dengan frekuensi osilasi.
2 Frekuensi resonansi adalah frekuensi gaya penggerak eksternal di mana amplitudo osilasi paksa meningkat tajam. Frekuensi siklik resonansi sama dengan , di mana koefisien redamannya sama dengan .
Jadi, frekuensi resonansinya adalah . Sangat mudah untuk melihat bahwa frekuensi resonansi lebih kecil dari frekuensi alami! Jelas juga bahwa semakin rendah gesekan dalam sistem (r), semakin dekat frekuensi resonansi dengan frekuensi natural.
3 Amplitudo resonansi adalah
Tugas 2 Amplitudo resonansi dan faktor kualitas sistem osilasi
Sebuah beban bermassa m = 100 g digantungkan pada sebuah pegas dengan kekakuan k = 10 N/m dan sistem ditempatkan dalam media kental dengan koefisien hambatan.
r = 0,02 kg/s. Tentukan faktor kualitas sistem osilasi dan amplitudo osilasi bandul pada resonansi di bawah aksi gaya sinusoidal dengan amplitudo F 0 = 10 mN. Temukan rasio amplitudo resonansi terhadap perpindahan statis di bawah pengaruh gaya konstan F 0 = 20 mN dan bandingkan rasio ini dengan faktor kualitas.
Larutan:
1 Faktor kualitas sistem osilasi sama dengan , dimana adalah penurunan redaman logaritmik.
Penurunan redaman logaritmik sama dengan .
Menemukan faktor kualitas sistem osilasi.
2 Amplitudo resonansi adalah
3 Perpindahan statis akibat aksi gaya konstan F 0 = 10 mN sama dengan .
4 Rasio amplitudo resonansi terhadap perpindahan statis di bawah aksi gaya konstan F 0 sama dengan
Sangat mudah untuk melihat bahwa rasio ini bertepatan dengan faktor kualitas sistem osilasi
Soal 3 Getaran resonansi suatu balok
Di bawah pengaruh berat motor listrik, tangki kantilever tempat motor tersebut dipasang ditekuk sebesar . Pada kecepatan jangkar motor berapakah timbul bahaya resonansi?
Larutan:
1 Rumah motor dan balok tempat dipasangnya mengalami guncangan berkala dari putaran jangkar motor dan, oleh karena itu, melakukan osilasi paksa sesuai dengan frekuensi guncangan.
Resonansi akan diamati bila frekuensi guncangan bertepatan dengan frekuensi alami getaran sinar dengan motor. Penting untuk mencari frekuensi alami osilasi sistem motor balok.
2 Analog dari sistem osilasi motor balok dapat berupa pendulum pegas vertikal, yang massanya sama dengan massa motor. Frekuensi alami osilasi bandul pegas adalah . Namun kekakuan pegas dan massa motor belum diketahui! Apa yang harus saya lakukan?
3 Pada posisi setimbang pendulum pegas, gaya gravitasi beban diimbangi oleh gaya elastis pegas
4 Temukan putaran jangkar motor, mis. frekuensi kejut
Soal 4 Osilasi paksa pendulum pegas di bawah pengaruh guncangan periodik.
Sebuah beban bermassa m = 0,5 kg digantung pada pegas spiral dengan kekakuan k = 20 N/m. Penurunan redaman logaritmik dari sistem osilasi sama dengan . Mereka ingin mengayunkan beban dengan dorongan pendek, bekerja pada beban dengan gaya F = 100 mN untuk waktu τ = 0,01 s. Berapakah frekuensi pukulan agar amplitudo beban menjadi paling besar? Pada titik manakah dan ke arah mana Anda harus mendorong kettlebell? Berapa amplitudo yang memungkinkan untuk mengayunkan beban dengan cara ini?
Larutan:
1 Getaran paksa dapat terjadi pada pengaruh periodik apa pun. Dalam hal ini, osilasi keadaan tunak akan terjadi dengan frekuensi pengaruh eksternal. Jika periode guncangan eksternal bertepatan dengan frekuensi osilasi alami, maka resonansi terjadi dalam sistem - amplitudo osilasi menjadi yang terbesar. Dalam kasus kita, agar resonansi dapat terjadi, periode guncangan harus bertepatan dengan periode osilasi pendulum pegas.
Penurunan redaman logaritmik kecil, oleh karena itu, terdapat sedikit gesekan dalam sistem, dan periode osilasi bandul dalam media kental praktis bertepatan dengan periode osilasi bandul dalam ruang hampa:
2 Jelasnya, arah dorongan harus sesuai dengan kecepatan beban. Dalam hal ini, kerja gaya eksternal yang mengisi kembali sistem dengan energi akan menjadi positif. Dan getarannya akan bergoyang. Energi yang diterima oleh sistem selama proses tumbukan
akan paling besar bila beban melewati posisi setimbang, karena pada posisi tersebut kecepatan bandul maksimum.
Jadi, sistem akan berayun paling cepat di bawah pengaruh guncangan searah dengan pergerakan beban saat melewati posisi setimbang.
3 Amplitudo osilasi berhenti bertambah ketika energi yang diberikan ke sistem selama proses tumbukan sama dengan energi yang hilang akibat gesekan selama periode: .
Kita akan menemukan kehilangan energi selama suatu periode melalui faktor kualitas sistem osilasi
dimana E adalah energi total sistem osilasi, yang dapat dihitung sebagai .
Alih-alih energi yang hilang, kami mengganti energi yang diterima sistem selama tumbukan:
Kecepatan maksimum selama proses osilasi adalah. Dengan mempertimbangkan hal ini, kita mendapatkan.
§7 Tugas untuk solusi independen
Uji "Getaran paksa"
1 Getaran apa yang disebut getaran paksa?
A) Osilasi yang terjadi di bawah pengaruh kekuatan eksternal yang berubah secara berkala;
B) Osilasi yang terjadi pada sistem setelah adanya guncangan eksternal;
2 Osilasi manakah berikut ini yang bersifat paksa?
A) Osilasi suatu beban yang digantung pada pegas setelah satu kali penyimpangannya dari posisi setimbang;
B) Osilasi kerucut loudspeaker selama pengoperasian penerima;
B) Osilasi suatu beban yang digantung pada pegas setelah satu pukulan terhadap beban pada posisi setimbang;
D) Getaran rumah motor listrik selama pengoperasiannya;
D) Getaran gendang telinga seseorang yang mendengarkan musik.
3 Suatu sistem osilasi dengan frekuensinya sendiri ditindaklanjuti oleh gaya penggerak eksternal yang bervariasi menurut hukum. Koefisien redaman dalam sistem osilasi adalah . Menurut hukum apa koordinat suatu benda berubah seiring waktu?
C) Amplitudo osilasi paksa akan tetap tidak berubah, karena energi yang hilang oleh sistem akibat gesekan akan dikompensasi oleh perolehan energi akibat kerja gaya penggerak eksternal.
5 Sistem melakukan osilasi paksa di bawah aksi gaya sinusoidal. Menentukan Semua faktor-faktor di mana amplitudo osilasi ini bergantung.
A) Dari amplitudo gaya penggerak eksternal;
B) adanya energi dalam sistem osilasi pada saat gaya luar mulai bekerja;
C) Parameter dari sistem osilasi itu sendiri;
D) Gesekan pada sistem osilasi;
D) adanya getaran alam dalam sistem pada saat gaya luar mulai bekerja;
E) Waktu terjadinya osilasi;
G) Frekuensi kekuatan pendorong eksternal.
6 Sebuah balok bermassa m melakukan osilasi harmonik paksa sepanjang bidang horizontal dengan periode T dan amplitudo A. Koefisien gesekan μ. Berapakah usaha yang dilakukan oleh gaya penggerak luar dalam waktu yang sama dengan periode T?
A) 4μmgA; B) 2μmA; B) mgA; D) 0;
D) Tidak mungkin memberikan jawaban, karena besarnya gaya penggerak luar tidak diketahui.
7 Buatlah pernyataan yang benar
Resonansi adalah sebuah fenomena...
A) Kesesuaian frekuensi gaya luar dengan frekuensi alami sistem osilasi;
B) Peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa.
Resonansi diamati dalam kondisi tersebut
A) Mengurangi gesekan pada sistem osilasi;
B) Meningkatkan amplitudo gaya penggerak eksternal;
C) Kebetulan frekuensi gaya luar dengan frekuensi alami sistem osilasi;
D) Ketika frekuensi gaya luar bertepatan dengan frekuensi resonansi.
8 Fenomena resonansi dapat diamati pada...
A) Dalam sistem osilasi apa pun;
B) Dalam sistem yang melakukan osilasi bebas;
B) Dalam sistem berosilasi sendiri;
D) Dalam suatu sistem yang mengalami osilasi paksa.
9 Gambar tersebut menunjukkan grafik ketergantungan amplitudo osilasi paksa terhadap frekuensi gaya penggerak. Resonansi terjadi pada frekuensi...
10 Tiga bandul identik yang terletak pada media kental berbeda melakukan osilasi paksa. Gambar tersebut menunjukkan kurva resonansi untuk pendulum ini. Bandul manakah yang mengalami hambatan terbesar dari media kental selama osilasi?
A) 1; B) 2; DI 3;
D) Tidak mungkin memberikan jawaban, karena amplitudo osilasi paksa, selain frekuensi gaya luar, juga bergantung pada amplitudonya. Kondisi tersebut tidak menjelaskan apa pun tentang amplitudo gaya penggerak eksternal.
11 Periode osilasi alami sistem osilasi sama dengan T 0. Berapa periode guncangan sehingga amplitudo osilasi meningkat tajam, sehingga timbul resonansi dalam sistem?
A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;
C) Ayunan dapat diayun dengan dorongan dengan frekuensi berapa pun.
12 Adikmu sedang duduk di ayunan, kamu mengayunkannya dengan dorongan pendek. Berapa periode guncangan yang harus dilakukan agar proses dapat terjadi dengan paling efisien? Periode osilasi alami ayunan T 0.
D) Ayunan dapat diayun dengan dorongan dengan frekuensi berapa pun.
13 Adikmu sedang duduk di ayunan, kamu mengayunkannya dengan dorongan pendek. Pada posisi ayunan manakah dorongan harus dilakukan dan ke arah manakah dorongan harus dilakukan agar proses terjadi paling efisien?
A) Dorong posisi ayunan paling atas menuju posisi keseimbangan;
B) Dorong pada posisi ayunan paling atas searah dari posisi keseimbangan;
B) Dorong dengan posisi seimbang searah gerakan ayunan;
D) Anda dapat mendorong dalam posisi apapun, tetapi selalu searah dengan gerakan ayunan.
14 Tampaknya dengan menembakkan ketapel ke jembatan tepat waktu dengan getarannya sendiri dan melakukan banyak tembakan, Anda dapat mengayunkannya dengan kuat, tetapi hal ini tidak mungkin berhasil. Mengapa?
A) Massa jembatan (inersianya) lebih besar dibandingkan dengan massa “peluru” dari ketapel; jembatan tidak akan mampu bergerak akibat pengaruh benturan tersebut;
B) Kekuatan tumbukan “peluru” dari ketapel sangat kecil sehingga jembatan tidak akan mampu bergerak di bawah pengaruh tumbukan tersebut;
C) Energi yang diberikan ke jembatan dalam satu pukulan jauh lebih kecil dibandingkan energi yang hilang akibat gesekan selama periode tersebut.
15 Kamu membawa seember air. Air di dalam ember berayun dan memercik keluar. Apa yang dapat dilakukan untuk mencegah hal ini terjadi?
A) Ayunkan tangan tempat ember berada seirama dengan berjalan;
B) Ubah kecepatan gerakan, biarkan panjang langkah tidak berubah;
C) Berhenti secara berkala dan tunggu hingga getaran air mereda;
D) Pastikan selama gerakan tangan dengan ember diposisikan secara vertikal.
Tugas
1 Sistem melakukan osilasi teredam dengan frekuensi 1000 Hz. Tentukan Frekuensi v 0 osilasi alami, jika frekuensi resonansi
2 Tentukan berapa nilai D ay frekuensi resonansi berbeda dengan frekuensi natural v 0= 1000 Hz sistem osilasi, ditandai dengan koefisien redaman d = 400s -1.
3 Sebuah beban bermassa 100 g, digantung pada pegas dengan kekakuan 10 N/m, melakukan osilasi paksa dalam media kental dengan koefisien hambatan r = 0,02 kg/s. Tentukan koefisien redaman, frekuensi resonansi dan amplitudo. Nilai amplitudo gaya penggeraknya adalah 10 mN.
4 Amplitudo osilasi harmonik paksa pada frekuensi w 1 = 400 s -1 dan w 2 = 600 s -1 adalah sama. Tentukan frekuensi resonansinya.
5 Truk memasuki gudang gandum melalui jalan tanah di satu sisi, menurunkan muatan dan meninggalkan gudang dengan kecepatan yang sama, tetapi di sisi lain. Sisi gudang manakah yang jalan berlubangnya lebih banyak dibandingkan sisi lainnya? Bagaimana cara menentukan sisi gudang mana yang merupakan pintu masuk dan mana yang merupakan pintu keluar berdasarkan kondisi jalan? Benarkan jawabannya
Getaran paksa getaran yang terjadi pada sistem apa pun di bawah pengaruh gaya eksternal yang bervariasi (misalnya, getaran membran telepon di bawah pengaruh medan magnet bolak-balik, getaran struktur mekanis di bawah pengaruh beban variabel, dll.). Sifat suatu sistem militer ditentukan oleh sifat kekuatan eksternal dan sifat-sifat sistem itu sendiri. Pada awal aksi gaya eksternal periodik, sifat V. c. berubah seiring waktu (khususnya, V. c. tidak periodik), dan hanya setelah beberapa waktu periodik V. c sistem dengan periode yang sama dengan periode gaya luar (kondisi tunak VC.). Pembentukan V.c. dalam suatu sistem osilasi terjadi semakin cepat, semakin besar redaman osilasi dalam sistem ini. Khususnya, dalam sistem osilasi linier (Lihat Sistem osilasi), ketika gaya eksternal dihidupkan, osilasi dan osilasi bebas (atau alami) muncul secara bersamaan dalam sistem, dan amplitudo osilasi ini pada saat awal adalah sama, dan fasenya berlawanan ( beras.
). Setelah osilasi bebas melemah secara bertahap, hanya osilasi keadaan tunak yang tersisa dalam sistem. Amplitudo VK ditentukan oleh amplitudo gaya kerja dan redaman dalam sistem. Jika redamannya kecil, maka amplitudo gelombang tegangan sangat bergantung pada hubungan antara frekuensi gaya kerja dan frekuensi osilasi alami sistem. Ketika frekuensi gaya eksternal mendekati frekuensi alami sistem, amplitudo VK meningkat tajam—terjadi resonansi. Dalam sistem nonlinier (Lihat sistem Nonlinier), pembagian menjadi bebas dan VK tidak selalu memungkinkan. menyala.: Khaikin S.E., Landasan Fisika Mekanika, M., 1963.
Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .
Lihat apa itu "Osilasi paksa" di kamus lain:
Getaran paksa- Getaran paksa. Ketergantungan amplitudonya pada frekuensi pengaruh eksternal pada redaman berbeda: 1 redaman lemah; 2 redaman kuat; 3 redaman kritis. GETARAN PAKSA, osilasi yang terjadi pada sistem apa pun di... ... Kamus Ensiklopedis Bergambar
osilasi paksa- Osilasi yang terjadi di bawah pengaruh periodik gaya umum eksternal. [Sistem pengujian non-destruktif. Jenis (metode) dan teknologi pengujian non destruktif. Istilah dan definisi (buku referensi). Moskow 2003] memaksa... ... Panduan Penerjemah Teknis
Osilasi paksa adalah osilasi yang terjadi di bawah pengaruh gaya luar yang berubah seiring waktu. Osilasi diri berbeda dari osilasi paksa karena osilasi paksa disebabkan oleh pengaruh eksternal periodik dan terjadi dengan frekuensi ini ... Wikipedia
GETARAN PAKSA, getaran yang terjadi pada suatu sistem sebagai akibat dari pengaruh luar yang berubah secara berkala: gaya dalam sistem mekanis, tegangan atau arus dalam rangkaian osilasi. Osilasi paksa selalu terjadi dengan... ... Ensiklopedia modern
Osilasi yang timbul di ruang angkasa l. sistem di bawah pengaruh periodik ext. gaya (misalnya, getaran membran telepon di bawah pengaruh medan magnet bolak-balik, getaran struktur mekanis di bawah pengaruh beban bolak-balik). Har r V. k. didefinisikan sebagai eksternal. dengan paksa... Ensiklopedia fisik
Osilasi yang timbul di ruang angkasa l. sistem di bawah pengaruh bolak-balik ext. pengaruh (misalnya fluktuasi tegangan dan arus pada suatu rangkaian listrik yang disebabkan oleh ggl bolak-balik; getaran sistem mekanis yang disebabkan oleh beban bolak-balik). Karakter V.K. ditentukan oleh... ... Kamus Besar Ensiklopedis Politeknik
Mereka muncul dalam suatu sistem di bawah pengaruh pengaruh eksternal periodik (misalnya, osilasi paksa pendulum di bawah pengaruh gaya periodik, osilasi paksa dalam rangkaian osilasi di bawah pengaruh gaya gerak listrik periodik). Jika… … Kamus Ensiklopedis Besar
Getaran paksa- (getaran) – osilasi (getaran) sistem yang disebabkan dan didukung oleh gaya dan (atau) eksitasi kinematik. [GOST 24346 80] Getaran paksa adalah getaran sistem yang disebabkan oleh aksi beban yang berubah-ubah terhadap waktu. [Industri... ... Ensiklopedia istilah, definisi dan penjelasan bahan bangunan
- (Getaran terbatas, getaran paksa) getaran benda yang disebabkan oleh gaya luar yang bekerja secara berkala. Jika periode osilasi paksa bertepatan dengan periode osilasi alami suatu benda, maka terjadilah fenomena resonansi. Samoilov K.I.... ...Kamus Kelautan
GETARAN PAKSA- (lihat), timbul dalam sistem apa pun di bawah pengaruh pengaruh variabel eksternal; karakternya ditentukan baik oleh sifat-sifat pengaruh eksternal maupun oleh sifat-sifat sistem itu sendiri. Ketika frekuensi pengaruh eksternal mendekati frekuensi pengaruhnya sendiri... Ensiklopedia Politeknik Besar
Mereka muncul dalam suatu sistem di bawah pengaruh pengaruh eksternal periodik (misalnya, osilasi paksa pendulum di bawah pengaruh gaya periodik, osilasi paksa dalam rangkaian osilasi di bawah pengaruh ggl periodik). Jika frekuensinya...... kamus ensiklopedis
Buku
- Getaran paksa torsi poros dengan memperhitungkan redaman, A.P. Filippov, Direproduksi dalam ejaan penulis asli edisi 1934 (penerbitan Izvestia dari Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet). DI DALAM… Kategori: Matematika Penerbit: YOYO Media, Pabrikan: Yoyo Media,
- Getaran melintang paksa batang dengan mempertimbangkan redaman, A.P. Filippov, Direproduksi dalam ejaan penulis asli edisi 1935 (penerbitan "Izvestia dari Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet")... Kategori: