Sekadar tentang rumus dasar teori probabilitas. Sejarah perkembangan teori probabilitas. Apa itu teori probabilitas

Bagian 12. Teori probabilitas.

1. Perkenalan

2. Konsep teori probabilitas yang paling sederhana

3. Aljabar kejadian

4. Kemungkinan suatu kejadian acak

5. Probabilitas geometri

6. Probabilitas klasik. Rumus kombinatorik.

7. Probabilitas bersyarat. Kemandirian acara.

8. Rumus probabilitas total dan rumus Bayes

9. Skema pengujian berulang. Rumus Bernoulli dan asimtotiknya

10. Variabel acak (RV)

11. Seri distribusi DSV

12. Fungsi distribusi kumulatif

13. Fungsi distribusi NSV

14. Kepadatan probabilitas NSV

15. Karakteristik numerik dari variabel acak

16. Contoh distribusi SV yang penting

16.1. Distribusi binomial DSV.

16.2. distribusi racun

16.3. Distribusi NSV yang seragam.

16.4. Distribusi normal.

17. Batasi teorema teori probabilitas.

Perkenalan

Teori probabilitas, seperti banyak disiplin matematika lainnya, dikembangkan dari kebutuhan praktik. Pada saat yang sama, ketika mempelajari proses nyata, perlu dibuat model matematika abstrak dari proses nyata. Biasanya, kekuatan pendorong utama dan paling signifikan dari suatu proses nyata diperhitungkan, membuang kekuatan pendorong sekunder, yang disebut acak. Tentu saja, apa yang dianggap utama dan apa yang sekunder adalah tugas tersendiri. Pemecahan pertanyaan ini menentukan tingkat abstraksi, kesederhanaan atau kompleksitas model matematika dan tingkat kecukupan model terhadap proses nyata. Intinya, setiap model abstrak adalah hasil dari dua aspirasi yang berlawanan: kesederhanaan dan kecukupan terhadap kenyataan.

Misalnya, dalam teori menembak, rumus yang cukup sederhana dan mudah telah dikembangkan untuk menentukan jalur terbang proyektil dari senjata yang terletak di suatu titik (Gbr. 1).

Dalam kondisi tertentu, teori tersebut sudah cukup, misalnya pada saat persiapan artileri besar-besaran.

Namun, jelas bahwa jika beberapa tembakan ditembakkan dari satu senjata dalam kondisi yang sama, lintasannya, meski dekat, tetap berbeda. Dan jika ukuran targetnya kecil dibandingkan dengan luas hamburannya, maka timbul pertanyaan spesifik khususnya terkait pengaruh faktor-faktor yang tidak diperhitungkan dalam model yang diusulkan. Pada saat yang sama, mempertimbangkan faktor-faktor tambahan akan menghasilkan model yang terlalu rumit sehingga hampir mustahil untuk digunakan. Selain itu, ada banyak faktor acak ini, yang sifatnya seringkali tidak diketahui.

Dalam contoh di atas, pertanyaan spesifik yang melampaui model deterministik, misalnya, adalah sebagai berikut: berapa banyak tembakan yang harus dilepaskan untuk menjamin mengenai sasaran dengan pasti (misalnya pada )? Bagaimana cara melakukan zeroing agar menggunakan jumlah peluru paling sedikit untuk mencapai target? dan seterusnya.

Seperti yang akan kita lihat nanti, kata “acak” dan “probabilitas” akan menjadi istilah matematika yang ketat. Pada saat yang sama, mereka sangat umum dalam percakapan sehari-hari biasa. Ada pendapat bahwa kata sifat “acak” adalah kebalikan dari “alami”. Namun, tidak demikian halnya, karena alam dirancang sedemikian rupa sehingga proses acak mengungkap pola, namun dalam kondisi tertentu.

Kondisi utama disebut karakter massa.

Misalnya, jika Anda melempar koin, Anda tidak dapat memprediksi apa yang akan muncul, lambang atau angka, Anda hanya bisa menebak. Namun, jika koin ini dilempar berkali-kali, proporsi lambang yang rontok tidak akan berbeda jauh dari angka tertentu yang mendekati 0,5 (selanjutnya kita akan menyebut angka ini sebagai probabilitas). Selain itu, dengan bertambahnya jumlah lemparan, maka penyimpangan dari angka tersebut akan berkurang. Properti ini disebut stabilitas indikator rata-rata (dalam hal ini - bagian lambang). Harus dikatakan bahwa pada langkah pertama teori probabilitas, ketika dalam praktiknya perlu untuk memverifikasi keberadaan sifat stabilitas, bahkan ilmuwan hebat pun tidak menganggap sulit untuk melakukan verifikasi mereka sendiri. Jadi, eksperimen terkenal Buffon, yang melempar koin sebanyak 4040 kali, dan lambang muncul 2048 kali, oleh karena itu, proporsi (atau frekuensi relatif) lambang yang hilang adalah 0,508, yang mendekati secara intuitif angka yang diharapkan sebesar 0,5.

Oleh karena itu, definisi biasanya diberikan pokok bahasan teori probabilitas sebagai cabang matematika yang mempelajari pola proses acak massal.

Harus dikatakan bahwa, terlepas dari kenyataan bahwa pencapaian terbesar teori probabilitas dimulai pada awal abad terakhir, terutama berkat konstruksi aksiomatik teori tersebut dalam karya A.N. Kolmogorov (1903-1987), minat mempelajari kecelakaan sudah muncul sejak lama.

Minat awalnya adalah mencoba menerapkan pendekatan numerik pada perjudian. Hasil teori probabilitas pertama yang cukup menarik biasanya dikaitkan dengan karya L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) dan N. Tartaglia (1556).

Belakangan, B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) meletakkan dasar-dasar teori probabilitas klasik. Pada awal abad ke-18, J. Bernoulli (1654-1705) membentuk konsep peluang suatu kejadian acak sebagai perbandingan jumlah peluang yang menguntungkan dengan jumlah semua kemungkinan yang mungkin terjadi. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) membangun teorinya tentang penggunaan konsep ukuran suatu himpunan.

Sudut pandang teori himpunan disajikan dalam bentuknya yang paling lengkap pada tahun 1933. SEBUAH. Kolmogorov dalam monografinya “Konsep Dasar Teori Probabilitas”. Sejak saat inilah teori probabilitas menjadi ilmu matematika yang ketat.

Matematikawan Rusia P.L. memberikan kontribusi besar terhadap pengembangan teori probabilitas. Chebyshev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) dan lain-lain.

Teori probabilitas berkembang pesat pada saat ini.

Konsep paling sederhana dari teori probabilitas

Seperti disiplin matematika lainnya, teori probabilitas dimulai dengan pengenalan konsep paling sederhana yang tidak didefinisikan, tetapi hanya dijelaskan.

Salah satu konsep utama utama adalah pengalaman. Pengalaman dipahami sebagai serangkaian kondisi tertentu yang dapat direproduksi dalam jumlah yang tidak terbatas. Kami akan menyebut setiap penerapan kompleks ini sebagai pengalaman atau ujian. Hasil percobaannya bisa saja berbeda, dan disinilah unsur kebetulan muncul. Berbagai hasil atau hasil dari suatu pengalaman disebut acara(lebih tepatnya, kejadian acak). Dengan demikian, selama pelaksanaan percobaan, peristiwa tertentu dapat terjadi. Dengan kata lain, kejadian acak merupakan hasil suatu percobaan yang mungkin terjadi (tampak) atau tidak terjadi pada saat pelaksanaan percobaan tersebut.

Pengalaman akan dilambangkan dengan huruf , dan kejadian acak biasanya dilambangkan dengan huruf kapital

Seringkali dalam suatu eksperimen dimungkinkan untuk mengidentifikasi terlebih dahulu hasil-hasilnya, yang dapat disebut paling sederhana, yang tidak dapat diuraikan menjadi lebih sederhana. Peristiwa seperti ini disebut peristiwa dasar(atau kasus).

Contoh 1. Biarkan koinnya dilempar. Hasil percobaannya adalah: hilangnya lambang (peristiwa ini kita nyatakan dengan huruf); hilangnya angka (dilambangkan dengan ). Maka kita dapat menulis: pengalaman = (melempar koin), hasil: Jelaslah kejadian elementer pada percobaan ini. Dengan kata lain, mendaftar semua peristiwa dasar pengalaman menggambarkannya secara lengkap. Dalam hal ini, kita dapat mengatakan bahwa pengalaman adalah ruang peristiwa-peristiwa dasar, dan dalam kasus kita, pengalaman dapat ditulis secara singkat dalam bentuk: = (lemparan koin) = (G; C).

Contoh 2. =(koin dilempar dua kali)= Berikut uraian verbal pengalaman dan daftar semua peristiwa dasar: artinya pertama, pada pelemparan koin pertama, sebuah lambang jatuh, pada pelemparan kedua, lambang juga jatuh; artinya lambang muncul pada pelemparan koin pertama, nomor pada pelemparan kedua, dan seterusnya.

Contoh 3. Dalam sistem koordinat, titik-titik dilempar ke dalam persegi. Dalam contoh ini, kejadian elementer adalah titik-titik dengan koordinat yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Secara singkat tertulis sebagai berikut:

Tanda titik dua dalam tanda kurung kurawal berarti terdiri dari titik-titik, tetapi tidak sembarang titik, tetapi hanya titik-titik yang memenuhi kondisi (atau kondisi) yang ditentukan setelah titik dua (dalam contoh kita, ini adalah pertidaksamaan).

Contoh 4. Koin dilempar sampai lambang pertama muncul. Dengan kata lain, pelemparan koin berlanjut hingga kepala mendarat. Dalam contoh ini, peristiwa-peristiwa dasar dapat dicantumkan, meskipun jumlahnya tidak terbatas:

Perhatikan bahwa dalam contoh 3 dan 4, ruang kejadian dasar mempunyai jumlah hasil yang tak terhingga. Dalam contoh 4 mereka dapat dicantumkan, mis. menghitung ulang. Himpunan seperti ini disebut dapat dihitung. Dalam Contoh 3, spasinya tidak dapat dihitung.

Mari kita perkenalkan dua peristiwa lagi yang hadir dalam pengalaman apa pun dan yang memiliki signifikansi teoretis yang besar.

Sebut saja acaranya mustahil, kecuali, sebagai akibat dari pengalaman, hal itu tidak terjadi. Kita akan menyatakannya dengan tanda himpunan kosong. Sebaliknya, peristiwa yang pasti terjadi akibat pengalaman disebut dapat diandalkan. Peristiwa yang dapat diandalkan ditandai dengan cara yang sama seperti ruang peristiwa dasar itu sendiri - dengan huruf .

Misalnya, saat melempar dadu, kejadian (pengambilan kurang dari 9 poin) dapat diandalkan, tetapi kejadian (tepatnya 9 poin yang digulung) tidak mungkin.

Jadi, ruang peristiwa elementer dapat dispesifikasikan dengan deskripsi verbal, daftar semua peristiwa elementernya, dan penetapan aturan atau kondisi yang dengannya semua peristiwa elementer tersebut diperoleh.

Aljabar peristiwa

Sampai saat ini kita hanya berbicara tentang peristiwa-peristiwa dasar yang merupakan akibat langsung dari pengalaman. Namun, dalam kerangka pengalaman, kita dapat berbicara tentang kejadian acak lainnya, selain kejadian dasar.

Contoh 5. Saat melempar dadu, selain kejadian dasar satu, dua,..., enam, masing-masing, kita dapat membicarakan kejadian lain: (bilangan genap), (bilangan ganjil), (kelipatan tiga), (angka kurang dari 4). ) dan seterusnya. Dalam contoh ini, peristiwa-peristiwa tertentu, selain tugas verbal, dapat ditentukan dengan mencantumkan peristiwa-peristiwa dasar:

Pembentukan peristiwa-peristiwa baru dari peristiwa-peristiwa dasar, maupun dari peristiwa-peristiwa lainnya, dilakukan dengan menggunakan operasi (atau tindakan) pada peristiwa-peristiwa tersebut.

Definisi. Hasil kali dua kejadian adalah suatu kejadian yang terdiri dari fakta bahwa akibat suatu percobaan akan terjadi Dan peristiwa , Dan event, yaitu kedua peristiwa tersebut akan terjadi secara bersamaan (bersamaan).

Tanda produk (titik) sering dihilangkan:

Definisi. Jumlah dua kejadian adalah suatu kejadian yang terdiri dari fakta bahwa akibat percobaan akan terjadi atau peristiwa , atau peristiwa , atau keduanya secara bersamaan (pada waktu yang sama).

Dalam kedua definisi tersebut kami sengaja menekankan konjungsi Dan Dan atau- untuk menarik perhatian pembaca pada pidato Anda ketika memecahkan masalah. Jika kita mengucapkan konjungsi “dan”, maka kita berbicara tentang produksi peristiwa; Jika konjungsi “atau” diucapkan, maka peristiwa tersebut harus ditambah. Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa konjungsi “atau” dalam percakapan sehari-hari sering digunakan dalam arti mengecualikan salah satu dari dua: “hanya atau satu-satunya”. Dalam teori probabilitas, pengecualian seperti itu tidak diasumsikan: dan , dan , dan berarti terjadinya suatu peristiwa

Jika diberikan dengan menyebutkan kejadian-kejadian dasar, maka kejadian-kejadian kompleks dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan operasi-operasi yang ditentukan. Untuk memperolehnya, Anda perlu mencari semua kejadian dasar yang termasuk dalam kedua kejadian tersebut; jika tidak ada, maka Jumlah Kejadian juga mudah untuk dibuat: Anda perlu mengambil salah satu dari dua kejadian tersebut dan menambahkan ke dalamnya kejadian-kejadian dasar tersebut dari peristiwa lain yang tidak termasuk dalam peristiwa pertama.

Dalam contoh 5 kita memperoleh, khususnya

Operasi yang diperkenalkan disebut biner, karena ditentukan untuk dua peristiwa. Operasi unary berikut (didefinisikan untuk satu kejadian) sangat penting: kejadian tersebut disebut di depan suatu peristiwa jika peristiwa itu terdiri dari fakta bahwa peristiwa itu tidak terjadi dalam suatu pengalaman tertentu. Dari definisi tersebut jelas bahwa setiap kejadian dan kebalikannya mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: Operasi yang diperkenalkan disebut tambahan peristiwa A.

Oleh karena itu, jika diberikan daftar kejadian-kejadian dasar, maka dengan mengetahui spesifikasi kejadian tersebut, maka mudah untuk memperolehnya yang terdiri dari semua kejadian-kejadian dasar yang tidak termasuk dalam ruang tersebut.Khususnya, misalnya 5 kejadian tersebut

Jika tidak ada tanda kurung, maka prioritas yang ditetapkan dalam melakukan operasi adalah: penjumlahan, perkalian, penjumlahan.

Jadi, dengan bantuan operasi yang diperkenalkan, ruang peristiwa dasar diisi ulang dengan peristiwa acak lainnya yang membentuk apa yang disebut aljabar peristiwa.

Contoh 6. Penembak melepaskan tiga tembakan ke sasaran. Perhatikan kejadian = (penembak mengenai sasaran dengan tembakan ke-i), i = 1,2,3.

Mari kita buat beberapa peristiwa dari peristiwa-peristiwa tersebut (jangan lupakan peristiwa sebaliknya). Kami tidak memberikan komentar panjang lebar; Kami yakin pembaca akan melakukannya secara mandiri.

Kejadian B = (ketiga tembakan tepat sasaran). Lebih jelasnya: B = ( Dan Pertama, Dan Kedua, Dan tembakan ketiga mengenai sasaran). Serikat pekerja bekas Dan, oleh karena itu, kejadiannya dikalikan:

Juga:

C = (tidak ada satupun tembakan yang mengenai sasaran)

E = (satu tembakan mencapai sasaran)

D = (target mengenai tembakan kedua) = ;

F = (target terkena dua tembakan)

N = (minimal satu pukulan akan mengenai sasaran)

Seperti diketahui, dalam matematika interpretasi geometris objek analitis, konsep dan rumus sangatlah penting.

Dalam teori probabilitas, akan lebih mudah untuk merepresentasikan secara visual (interpretasi geometris) pengalaman, peristiwa acak, dan operasi pada pengalaman tersebut dalam bentuk yang disebut Diagram Euler-Venn. Intinya adalah setiap pengalaman diidentifikasi (ditafsirkan) dengan melemparkan titik-titik ke dalam kotak tertentu. Titik-titik tersebut dilempar secara acak, sehingga semua titik mempunyai peluang yang sama untuk mendarat di manapun dalam kotak tersebut. Alun-alun mendefinisikan kerangka pengalaman yang dimaksud. Setiap peristiwa dalam pengalaman diidentifikasikan dengan luas alun-alun tertentu. Dengan kata lain, terjadinya suatu peristiwa berarti suatu titik acak berada di dalam luas yang ditunjukkan oleh huruf tersebut, kemudian operasi pada peristiwa tersebut mudah diinterpretasikan secara geometris (Gbr. 2)

A + B: apa saja

menetas

Pada Gambar 2 a) untuk kejelasan, peristiwa A disorot dengan bayangan vertikal, peristiwa B dengan bayangan horizontal. Kemudian operasi perkalian berhubungan dengan penetasan ganda - kejadian tersebut sesuai dengan bagian kotak yang ditutupi dengan penetasan ganda. Apalagi jika kemudian disebut peristiwa yang tidak sejalan. Oleh karena itu, operasi penjumlahan sesuai dengan arsiran apa pun - peristiwa tersebut berarti bagian persegi yang diarsir oleh arsiran apa pun - vertikal, horizontal, dan ganda. Pada Gambar 2 b) suatu kejadian ditampilkan; itu sesuai dengan bagian persegi yang diarsir - segala sesuatu yang tidak termasuk dalam luas tersebut. Operasi yang diperkenalkan memiliki sifat dasar berikut, beberapa di antaranya valid untuk operasi dengan nama yang sama pada angka, tetapi ada juga yang spesifik.

10. komutatifitas perkalian;

20. komutatifitas penjumlahan;

tiga puluh. asosiatif perkalian;

4 0 . asosiatif penjumlahan,

50. distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan,

6 0 . distribusi penjumlahan relatif terhadap perkalian;

9 0 . hukum dualitas de Morgan,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Contoh 7. Ivan dan Peter sepakat untuk bertemu pada selang waktu T jam, misalnya (0,T). Pada saat yang sama, mereka sepakat bahwa masing-masing dari mereka, setelah datang ke pertemuan, akan menunggu tidak lebih dari satu jam.

Mari kita beri contoh ini interpretasi geometris. Mari kita nyatakan: waktu kedatangan Ivan di pertemuan tersebut; Waktu kedatangan Peter untuk pertemuan. Sesuai kesepakatan: 0 . Kemudian dalam sistem koordinat kita peroleh: = Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam contoh kita, ruang kejadian elementer adalah persegi. 1

0 x sama dengan bagian persegi yang terletak di atas garis ini, demikian pula dengan pertidaksamaan kedua y≤x+ dan; dan tidak berfungsi jika semua elemen tidak berfungsi, mis. .Jadi, hukum dualitas kedua de Morgan: diterapkan ketika elemen-elemen dihubungkan secara paralel.

Contoh di atas menunjukkan mengapa teori probabilitas banyak digunakan dalam fisika, khususnya dalam menghitung keandalan perangkat teknis nyata.

“Kecelakaan bukanlah suatu kebetulan”... Kedengarannya seperti perkataan seorang filsuf, namun kenyataannya, mempelajari keacakan adalah takdir dari ilmu matematika yang hebat. Dalam matematika, peluang ditangani dengan teori probabilitas. Rumus dan contoh tugas, serta definisi utama ilmu ini akan disajikan dalam artikel.

Apa itu teori probabilitas?

Teori probabilitas merupakan salah satu disiplin ilmu matematika yang mempelajari kejadian acak.

Agar lebih jelas, mari kita beri contoh kecil: jika Anda melempar koin ke atas, koin tersebut dapat mengenai kepala atau ekornya. Saat koin berada di udara, kedua kemungkinan ini mungkin terjadi. Artinya, probabilitas akibat yang mungkin terjadi adalah 1:1. Jika seseorang diambil dari setumpuk 36 kartu, maka probabilitasnya akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tidak ada yang perlu dieksplorasi dan diprediksi di sini, apalagi dengan bantuan rumus matematika. Namun, jika Anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, Anda dapat mengidentifikasi pola tertentu dan, berdasarkan pola tersebut, memprediksi hasil peristiwa dalam kondisi lain.

Untuk meringkas semua hal di atas, teori probabilitas dalam pengertian klasik mempelajari kemungkinan terjadinya salah satu peristiwa yang mungkin terjadi dalam nilai numerik.

Dari halaman sejarah

Teori probabilitas, rumus dan contoh tugas pertama kali muncul pada Abad Pertengahan, ketika upaya untuk memprediksi hasil permainan kartu pertama kali muncul.

Awalnya, teori probabilitas tidak ada hubungannya dengan matematika. Hal ini dibenarkan oleh fakta empiris atau sifat suatu peristiwa yang dapat direproduksi dalam praktik. Karya pertama di bidang ini sebagai disiplin matematika muncul pada abad ke-17. Pendirinya adalah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Mereka mempelajari perjudian sejak lama dan melihat pola-pola tertentu, yang kemudian mereka putuskan untuk diberitahukan kepada publik.

Teknik yang sama ditemukan oleh Christiaan Huygens, meskipun ia tidak mengetahui hasil penelitian Pascal dan Fermat. Konsep "teori probabilitas", rumus dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin ilmu ini, diperkenalkan olehnya.

Karya-karya Jacob Bernoulli, teorema Laplace dan Poisson juga tidak kalah pentingnya. Mereka menjadikan teori probabilitas lebih seperti disiplin matematika. Teori probabilitas, rumus dan contoh tugas dasar mendapat bentuknya saat ini berkat aksioma Kolmogorov. Akibat semua perubahan tersebut, teori probabilitas menjadi salah satu cabang matematika.

Konsep dasar teori probabilitas. Acara

Konsep utama dari disiplin ini adalah “peristiwa”. Ada tiga jenis acara:

Dapat diandalkan. Hal-hal itu akan tetap terjadi (koin akan jatuh).
Mustahil. Peristiwa yang tidak akan terjadi dalam keadaan apapun (koin akan tetap menggantung di udara).
Acak. Yang akan terjadi atau tidak akan terjadi. Hal tersebut dapat dipengaruhi oleh berbagai faktor yang sangat sulit diprediksi. Jika kita berbicara tentang sebuah koin, maka ada faktor acak yang dapat mempengaruhi hasilnya: ciri fisik koin, bentuknya, posisi aslinya, kekuatan lemparannya, dll.

Semua peristiwa pada contoh ditunjukkan dengan huruf latin kapital, kecuali P yang mempunyai peran berbeda. Misalnya:

A = “siswa datang untuk kuliah.”
Ā = “siswa tidak datang ke perkuliahan.”

Dalam tugas praktek, peristiwa biasanya dituliskan dengan kata-kata.

Salah satu karakteristik peristiwa yang paling penting adalah kemungkinan yang sama. Artinya, jika Anda melempar koin, semua varian awal jatuhnya mungkin terjadi hingga koin tersebut jatuh. Namun kejadian-kejadian juga tidak mungkin terjadi. Hal ini terjadi ketika seseorang dengan sengaja mempengaruhi suatu hasil. Misalnya, kartu remi atau dadu yang “ditandai” yang pusat gravitasinya digeser.

Acara juga bisa kompatibel dan tidak kompatibel. Peristiwa yang kompatibel tidak mengecualikan terjadinya satu sama lain. Misalnya:

A = “mahasiswa datang ke perkuliahan.”
B = “mahasiswa datang ke perkuliahan.”

Peristiwa-peristiwa ini tidak bergantung satu sama lain, dan terjadinya salah satu peristiwa tersebut tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa lainnya. Peristiwa-peristiwa yang tidak sesuai ditentukan oleh fakta bahwa terjadinya suatu peristiwa tidak termasuk terjadinya peristiwa lainnya. Jika kita berbicara tentang koin yang sama, maka hilangnya “ekor” membuat tidak mungkin munculnya “kepala” dalam percobaan yang sama.

Tindakan pada acara

Peristiwa dapat dikalikan dan ditambahkan; oleh karena itu, kata penghubung logis “DAN” dan “ATAU” diperkenalkan dalam disiplin ilmu.

Besarnya ditentukan oleh fakta bahwa peristiwa A atau B, atau dua peristiwa, dapat terjadi secara bersamaan. Jika keduanya tidak kompatibel, pilihan terakhir tidak mungkin; A atau B akan dibatalkan.

Perkalian kejadian terdiri dari kemunculan A dan B secara bersamaan.

Sekarang kita dapat memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingat dasar-dasar, teori probabilitas, dan rumus. Contoh penyelesaian masalah dibawah ini.

Latihan 1: Perusahaan mengikuti kompetisi untuk mendapatkan kontrak untuk tiga jenis pekerjaan. Kemungkinan kejadian yang mungkin terjadi:

A = “perusahaan akan menerima kontrak pertama.”
A 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak pertama.”
B = “perusahaan akan menerima kontrak kedua.”
B 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak kedua”
C = “perusahaan akan menerima kontrak ketiga.”
C 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak ketiga.”

Dengan menggunakan tindakan pada peristiwa, kami akan mencoba mengungkapkan situasi berikut:

K = “perusahaan akan menerima semua kontrak.”

Dalam bentuk matematika, persamaannya akan berbentuk sebagai berikut: K = ABC.

M = “perusahaan tidak akan menerima satu kontrak pun.”

M = SEBUAH 1 B 1 C 1.

Mari kita rumitkan tugasnya: H = “perusahaan akan menerima satu kontrak.” Karena tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima perusahaan (pertama, kedua atau ketiga), maka perlu dicatat seluruh rangkaian kejadian yang mungkin terjadi:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Dan 1 BC 1 adalah rangkaian peristiwa dimana perusahaan tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, melainkan menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin terjadi dicatat dengan menggunakan metode yang sesuai. Simbol υ dalam disiplin menunjukkan kata penghubung “ATAU”. Jika kita menerjemahkan contoh di atas ke dalam bahasa manusia, maka perusahaan akan menerima kontrak ketiga, atau kedua, atau pertama. Dengan cara yang sama, Anda dapat menuliskan kondisi lain dalam disiplin “Teori Probabilitas”. Rumus dan contoh pemecahan masalah yang disajikan di atas akan membantu Anda melakukannya sendiri.

Sebenarnya, kemungkinannya

Mungkin, dalam disiplin matematika ini, probabilitas suatu peristiwa adalah konsep sentralnya. Ada 3 definisi probabilitas:

klasik;
statistik;
geometris.

Masing-masing mempunyai tempatnya sendiri dalam studi probabilitas. Teori probabilitas, rumus dan contoh (kelas 9) sebagian besar menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:

Probabilitas situasi A sama dengan rasio jumlah hasil yang mendukung terjadinya situasi tersebut dengan jumlah semua hasil yang mungkin.

Rumusnya terlihat seperti ini: P(A)=m/n.

A sebenarnya adalah sebuah peristiwa. Jika muncul kasus yang berlawanan dengan A, dapat ditulis sebagai Ā atau A 1 .

m adalah jumlah kemungkinan kasus yang menguntungkan.

n - semua kejadian yang bisa terjadi.

Misalnya, A = “gambar kartu bergambar hati”. Ada 36 kartu dalam satu dek standar, 9 di antaranya berbentuk hati. Dengan demikian, rumus penyelesaian masalah tersebut akan terlihat seperti:

P(A)=9/36=0,25.

Akibatnya, peluang terambilnya kartu bergambar hati dari dek adalah 0,25.

Menuju matematika yang lebih tinggi

Saat ini sudah sedikit diketahui apa itu teori peluang, rumus dan contoh penyelesaian masalah yang terdapat dalam kurikulum sekolah. Namun, teori probabilitas juga ditemukan dalam matematika tingkat tinggi, yang diajarkan di universitas. Paling sering mereka beroperasi dengan definisi geometris dan statistik dari teori dan rumus kompleks.

Teori probabilitas sangat menarik. Lebih baik mulai mempelajari rumus dan contoh (matematika tingkat tinggi) dari yang kecil - dengan definisi probabilitas statistik (atau frekuensi).

Pendekatan statistik tidak bertentangan dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit memperluasnya. Jika dalam kasus pertama perlu untuk menentukan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi, maka dalam metode ini perlu untuk menunjukkan seberapa sering peristiwa itu akan terjadi. Di sini konsep baru “frekuensi relatif” diperkenalkan, yang dapat dilambangkan dengan W n (A). Rumusnya tidak berbeda dengan rumus klasik:

Jika rumus klasik dihitung untuk prediksi, maka rumus statistik dihitung berdasarkan hasil percobaan. Mari kita ambil tugas kecil sebagai contoh.

Departemen kontrol teknologi memeriksa kualitas produk. Di antara 100 produk, 3 produk ditemukan berkualitas buruk. Bagaimana cara mencari probabilitas frekuensi suatu produk yang berkualitas?

A = “penampilan produk yang berkualitas.”

W n (A)=97/100=0,97

Jadi, frekuensi suatu produk yang berkualitas adalah 0,97. Dari mana Anda mendapatkan 97? Dari 100 produk yang diperiksa, 3 produk ditemukan kualitasnya buruk. Kita kurangi 3 dari 100 dan dapatkan 97, ini adalah jumlah barang berkualitas.

Sedikit tentang kombinatorik

Metode teori probabilitas lainnya disebut kombinatorik. Prinsip dasarnya adalah jika suatu pilihan A dapat dibuat dengan m cara berbeda, dan pilihan B dapat dibuat dengan n cara berbeda, maka pemilihan A dan B dapat dilakukan dengan perkalian.

Misalnya ada 5 jalan yang menghubungkan kota A ke kota B. Ada 4 jalur dari kota B ke kota C. Ada berapa cara perjalanan dari kota A ke kota C?

Sederhana saja: 5x4=20, yaitu dengan dua puluh cara berbeda Anda dapat berpindah dari titik A ke titik C.

Mari kita mempersulit tugas ini. Berapa banyak cara menyusun kartu dalam solitaire? Ada 36 kartu di dek - ini adalah titik awalnya. Untuk mengetahui banyaknya cara, Anda perlu “mengurangi” satu kartu sekaligus dari titik awal dan mengalikannya.

Artinya, 36x35x34x33x32...x2x1= hasilnya tidak sesuai dengan layar kalkulator, jadi cukup diberi tanda 36!. Tanda "!" di sebelah angka menunjukkan bahwa seluruh rangkaian angka dikalikan.

Dalam kombinatorik terdapat konsep seperti permutasi, penempatan dan kombinasi. Masing-masing mempunyai formula tersendiri.

Himpunan yang tersusun dari unsur-unsur suatu himpunan disebut susunan. Penempatannya dapat diulang, yaitu satu elemen dapat digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, ketika elemen tidak terulang. n adalah semua elemen, m adalah elemen yang ikut serta dalam penempatan. Rumus penempatan tanpa pengulangan akan terlihat seperti:

A n m =n!/(nm)!

Koneksi n elemen yang hanya berbeda urutan penempatannya disebut permutasi. Dalam matematika bentuknya seperti: P n = n!

Gabungan n unsur m adalah senyawa yang penting unsur-unsurnya dan berapa jumlah seluruhnya. Rumusnya akan terlihat seperti:

A n m =n!/m!(n-m)!

rumus Bernoulli

Dalam teori probabilitas, seperti halnya dalam setiap disiplin ilmu, terdapat karya peneliti terkemuka di bidangnya yang telah membawanya ke tingkat yang baru. Salah satu karyanya adalah rumus Bernoulli, yang memungkinkan Anda menentukan probabilitas suatu peristiwa tertentu terjadi dalam kondisi independen. Hal ini menunjukkan bahwa terjadinya A dalam suatu percobaan tidak bergantung pada ada tidaknya kejadian yang sama pada percobaan sebelumnya atau berikutnya.

Persamaan Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Peluang (p) terjadinya kejadian (A) adalah konstan untuk setiap percobaan. Probabilitas bahwa situasi tersebut akan terjadi tepat m kali dalam n jumlah percobaan akan dihitung dengan rumus yang disajikan di atas. Oleh karena itu, timbul pertanyaan bagaimana cara mengetahui bilangan q.

Oleh karena itu, jika peristiwa A terjadi sebanyak p beberapa kali, maka peristiwa tersebut mungkin tidak terjadi. Satuan adalah angka yang digunakan untuk menunjukkan semua hasil dari suatu situasi dalam suatu disiplin ilmu. Oleh karena itu, q adalah bilangan yang menunjukkan kemungkinan tidak terjadinya suatu peristiwa.

Sekarang Anda tahu rumus Bernoulli (teori probabilitas). Contoh pemecahan masalah (tingkat pertama) akan kita bahas di bawah ini.

Tugas 2: Seorang pengunjung toko akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2. 6 pengunjung secara mandiri memasuki toko. Seberapa besar kemungkinan pengunjung akan melakukan pembelian?

Solusi: Karena tidak diketahui berapa banyak pengunjung yang harus melakukan pembelian, satu atau keenamnya, maka perlu menghitung semua kemungkinan yang mungkin menggunakan rumus Bernoulli.

A = “pengunjung akan melakukan pembelian.”

Dalam hal ini: p = 0,2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugas). Oleh karena itu, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (karena ada 6 pelanggan di toko tersebut). Angka m akan bervariasi dari 0 (tidak ada satu pun pelanggan yang melakukan pembelian) hingga 6 (semua pengunjung toko akan membeli sesuatu). Hasilnya, kami mendapatkan solusinya:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Tidak ada pembeli yang akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2621.

Bagaimana lagi rumus Bernoulli (teori probabilitas) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tingkat kedua) di bawah ini.

Setelah contoh di atas, timbul pertanyaan tentang kemana perginya C dan r. Sehubungan dengan p, bilangan pangkat 0 akan sama dengan satu. Sedangkan untuk C dapat dicari dengan rumus:

C n m = n! /m!(nm)!

Karena pada contoh pertama m = 0, masing-masing C = 1, yang pada prinsipnya tidak mempengaruhi hasil. Dengan menggunakan rumus baru, mari kita coba mencari tahu berapa probabilitas dua pengunjung membeli suatu barang.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teori probabilitas tidaklah rumit. Rumus Bernoulli, contohnya disajikan di atas, adalah bukti langsungnya.

rumus Poisson

Persamaan Poisson digunakan untuk menghitung situasi acak dengan probabilitas rendah.

Rumus dasar:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Dalam hal ini λ = nxp. Berikut adalah rumus Poisson sederhana (teori probabilitas). Kami akan mempertimbangkan contoh pemecahan masalah di bawah ini.

Tugas 3: Pabrik memproduksi 100.000 suku cadang. Terjadinya bagian yang rusak = 0,0001. Berapa peluang terdapat 5 bagian yang rusak dalam satu batch?

Seperti yang Anda lihat, pernikahan adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi, dan oleh karena itu rumus Poisson (teori probabilitas) digunakan untuk perhitungan. Contoh penyelesaian masalah semacam ini tidak berbeda dengan tugas lain dalam disiplin ilmu, kami mengganti data yang diperlukan ke dalam rumus yang diberikan:

A = “bagian yang dipilih secara acak akan rusak.”

p = 0,0001 (sesuai kondisi tugas).

n = 100000 (jumlah bagian).

m = 5 (bagian yang rusak). Kami mengganti data ke dalam rumus dan mendapatkan:

Rp 100.000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Sama seperti rumus Bernoulli (teori probabilitas), contoh penyelesaian yang ditulis di atas, persamaan Poisson memiliki e yang tidak diketahui, sebenarnya dapat dicari dengan rumus:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Namun, ada tabel khusus yang memuat hampir semua nilai e.

Teorema De Moivre-Laplace

Jika dalam skema Bernoulli jumlah percobaan cukup besar, dan peluang terjadinya kejadian A pada semua skema adalah sama, maka peluang terjadinya kejadian A beberapa kali dalam serangkaian pengujian dapat dicari dengan: Rumus Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(Xm).

X m = m-np/√npq.

Untuk lebih mengingat rumus Laplace (teori probabilitas), contoh soal di bawah ini dapat membantu.

Pertama, cari X m, substitusikan datanya (semuanya tercantum di atas) ke dalam rumus dan dapatkan 0,025. Dengan menggunakan tabel, kita menemukan bilangan ϕ(0,025), yang nilainya 0,3988. Sekarang Anda dapat mengganti semua data ke dalam rumus:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Jadi, peluang bahwa penerbang tersebut akan bekerja tepat 267 kali adalah 0,03.

rumus Bayes

Rumus Bayes (teori probabilitas), contoh penyelesaian masalah yang akan diberikan di bawah ini, adalah persamaan yang menggambarkan probabilitas suatu peristiwa berdasarkan keadaan yang mungkin terkait dengannya. Rumus dasarnya adalah sebagai berikut:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dan B adalah kejadian pasti.

P(A|B) merupakan peluang bersyarat, yaitu kejadian A dapat terjadi asalkan kejadian B benar.

P (B|A) - probabilitas bersyarat dari kejadian B.

Jadi, bagian terakhir dari kursus singkat “Teori Probabilitas” adalah rumus Bayes, contoh penyelesaian masalah ada di bawah ini.

Tugas 5: Telepon dari tiga perusahaan dibawa ke gudang. Pada saat yang sama, pangsa ponsel yang diproduksi di pabrik pertama adalah 25%, di pabrik kedua - 60%, di pabrik ketiga - 15%. Diketahui juga bahwa rata-rata persentase produk cacat di pabrik pertama adalah 2%, di pabrik kedua - 4%, dan di pabrik ketiga - 1%. Anda perlu mencari kemungkinan bahwa telepon yang dipilih secara acak akan rusak.

A = “telepon yang dipilih secara acak.”

B 1 - telepon yang diproduksi pabrik pertama. Dengan demikian, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk pabrik kedua dan ketiga).

Hasilnya kita mendapatkan:

P(B1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - jadi kami menemukan probabilitas setiap opsi.

Sekarang Anda perlu mencari probabilitas bersyarat dari kejadian yang diinginkan, yaitu probabilitas produk cacat di perusahaan:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Sekarang mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus Bayes dan dapatkan:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artikel ini menyajikan teori probabilitas, rumus dan contoh pemecahan masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung es dari suatu disiplin ilmu yang luas. Dan setelah semua yang telah ditulis, masuk akal untuk mengajukan pertanyaan apakah teori probabilitas diperlukan dalam kehidupan. Sulit bagi orang awam untuk menjawabnya, lebih baik bertanya kepada seseorang yang telah menggunakannya untuk memenangkan jackpot lebih dari satu kali.

Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari pola fenomena acak: kejadian acak, variabel acak, sifat-sifatnya, dan operasinya.

Untuk waktu yang lama, teori probabilitas tidak memiliki definisi yang jelas. Itu baru dirumuskan pada tahun 1929. Munculnya teori probabilitas sebagai ilmu dimulai pada Abad Pertengahan dan upaya pertama analisis matematis perjudian (flake, dadu, roulette). Matematikawan Perancis abad ke-17 Blaise Pascal dan Pierre Fermat, saat mempelajari prediksi kemenangan dalam perjudian, menemukan pola probabilistik pertama yang muncul saat melempar dadu.

Teori probabilitas muncul sebagai ilmu dari keyakinan bahwa kejadian acak massal didasarkan pada pola tertentu. Teori probabilitas mempelajari pola-pola ini.

Teori probabilitas berkaitan dengan studi tentang peristiwa-peristiwa yang kejadiannya tidak diketahui secara pasti. Hal ini memungkinkan Anda untuk menilai tingkat kemungkinan terjadinya beberapa peristiwa dibandingkan dengan peristiwa lainnya.

Misalnya: tidak mungkin untuk menentukan dengan jelas hasil “kepala” atau “ekor” akibat pelemparan sebuah koin, tetapi dengan pelemparan yang berulang-ulang, jumlah “kepala” dan “ekor” yang muncul kira-kira sama, yang berarti bahwa probabilitas bahwa “kepala” atau “ekor” akan jatuh ", sama dengan 50%.

Tes dalam hal ini disebut terpenuhinya sekumpulan syarat tertentu, yaitu dalam hal ini pelemparan sebuah mata uang logam. Tantangan ini dapat dimainkan berkali-kali tanpa batas. Dalam hal ini, himpunan kondisi mencakup faktor acak.

Hasil tesnya adalah peristiwa. Peristiwa tersebut terjadi:

Dapat diandalkan (selalu terjadi sebagai hasil pengujian).
Tidak mungkin (tidak pernah terjadi).
Acak (mungkin terjadi atau tidak sebagai hasil tes).

Misalnya, saat melempar koin, peristiwa yang mustahil terjadi - koin akan mendarat di tepinya, peristiwa acak - munculnya "kepala" atau "ekor". Hasil tes spesifik disebut acara dasar. Sebagai hasil dari tes tersebut, hanya kejadian-kejadian dasar yang terjadi. Himpunan semua hasil tes yang mungkin, berbeda, dan spesifik disebut ruang acara dasar.

Konsep dasar teori

Kemungkinan- derajat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Jika alasan terjadinya suatu peristiwa yang mungkin terjadi lebih besar daripada alasan sebaliknya, maka peristiwa tersebut disebut mungkin terjadi, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin terjadi.

Nilai acak- ini adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian, dapat mengambil nilai tertentu, dan tidak diketahui sebelumnya yang mana. Misalnya: jumlah per stasiun pemadam kebakaran per hari, jumlah tembakan dengan 10 tembakan, dll.

Variabel acak dapat dibagi menjadi dua kategori.

Variabel acak diskrit adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian, dapat mengambil nilai tertentu dengan probabilitas tertentu, sehingga membentuk himpunan terhitung (himpunan yang unsur-unsurnya dapat diberi nomor). Himpunan ini bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran merupakan variabel acak diskrit, karena besaran ini dapat mempunyai jumlah nilai yang tidak terbatas, meskipun dapat dihitung.
Variabel acak kontinu adalah besaran yang dapat mengambil nilai apa pun dari suatu interval berhingga atau tak terhingga. Jelasnya, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas.

Ruang probabilitas- konsep yang diperkenalkan oleh A.N. Kolmogorov pada tahun 30-an abad ke-20 memformalkan konsep probabilitas, yang memunculkan pesatnya perkembangan teori probabilitas sebagai disiplin matematika yang ketat.

Ruang probabilitas adalah rangkap tiga (terkadang diapit tanda kurung siku: , di mana

Ini adalah himpunan arbitrer, yang elemen-elemennya disebut peristiwa, hasil, atau titik dasar;
- aljabar sigma dari himpunan bagian yang disebut peristiwa (acak);
- ukuran probabilitas atau probabilitas, mis. ukuran terbatas aditif sigma sedemikian rupa sehingga .

Teorema De Moivre-Laplace- salah satu teorema limit teori probabilitas, yang ditetapkan oleh Laplace pada tahun 1812. Dinyatakan bahwa jumlah keberhasilan ketika mengulangi percobaan acak yang sama berulang kali dengan dua kemungkinan hasil kira-kira terdistribusi normal. Ini memungkinkan Anda menemukan perkiraan nilai probabilitas.

Jika untuk masing-masing percobaan bebas peluang terjadinya suatu kejadian acak sama dengan () dan merupakan banyaknya percobaan dimana kejadian tersebut benar-benar terjadi, maka peluang terjadinya pertidaksamaan tersebut mendekati (untuk nilai yang besar) dengan nilai integral Laplace.

Fungsi distribusi dalam teori probabilitas- fungsi yang mengkarakterisasi distribusi variabel acak atau vektor acak; probabilitas bahwa variabel acak X akan bernilai kurang dari atau sama dengan x, dengan x adalah bilangan real sembarang. Jika kondisi yang diketahui terpenuhi, maka variabel acak akan ditentukan sepenuhnya.

Nilai yang diharapkan- nilai rata-rata variabel acak (ini adalah distribusi probabilitas variabel acak, yang dipertimbangkan dalam teori probabilitas). Dalam literatur berbahasa Inggris dilambangkan dengan , dalam bahasa Rusia - . Dalam statistika, notasi sering digunakan.

Biarkan ruang probabilitas dan variabel acak yang ditentukan di dalamnya diberikan. Menurut definisi, itu adalah fungsi yang dapat diukur. Kemudian, jika terdapat integral Lebesgue pada ruang angkasa, maka disebut ekspektasi matematis, atau nilai rata-rata, dan dinotasikan dengan .

Varians dari variabel acak- ukuran penyebaran variabel acak tertentu, yaitu penyimpangannya dari ekspektasi matematis. Itu ditunjuk dalam literatur Rusia dan asing. Dalam statistika, notasi atau sering digunakan. Akar kuadrat dari varians disebut deviasi standar, deviasi standar, atau penyebaran standar.

Misalkan suatu variabel acak didefinisikan pada ruang probabilitas tertentu. Kemudian

dimana simbol menunjukkan ekspektasi matematis.

Dalam teori probabilitas, dua kejadian acak disebut mandiri, jika kemunculan salah satu dari peristiwa tersebut tidak mengubah peluang terjadinya peristiwa lainnya. Demikian pula, dua variabel acak dipanggil bergantung, jika nilai salah satunya mempengaruhi probabilitas nilai lainnya.

Bentuk paling sederhana dari hukum bilangan besar adalah teorema Bernoulli, yang menyatakan bahwa jika peluang suatu kejadian sama di semua percobaan, maka dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi kejadian cenderung ke peluang kejadian dan tidak lagi acak.

Hukum bilangan besar dalam teori probabilitas menyatakan bahwa rata-rata aritmatika dari sampel berhingga dari suatu distribusi tetap mendekati rata-rata teoretis dari distribusi tersebut. Tergantung pada jenis konvergensinya, perbedaan dibuat antara hukum bilangan besar yang lemah, ketika konvergensi terjadi karena probabilitas, dan hukum bilangan besar yang kuat, ketika konvergensi hampir pasti.

Arti umum dari hukum bilangan besar adalah bahwa aksi gabungan dari sejumlah besar faktor acak yang identik dan independen menghasilkan hasil yang, sampai batas tertentu, tidak bergantung pada kebetulan.

Metode untuk memperkirakan probabilitas berdasarkan analisis sampel terbatas didasarkan pada sifat ini. Contoh nyatanya adalah perkiraan hasil pemilu berdasarkan survei terhadap sampel pemilih.

Teorema limit pusat- kelas teorema dalam teori probabilitas yang menyatakan bahwa jumlah sejumlah besar variabel acak yang bergantung lemah yang memiliki skala yang kira-kira sama (tidak ada istilah yang mendominasi atau memberikan kontribusi yang menentukan terhadap jumlah tersebut) memiliki distribusi mendekati normal.

Karena banyak variabel acak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor acak yang bergantung lemah, distribusinya dianggap normal. Dalam hal ini harus dipenuhi syarat bahwa tidak ada satupun faktor yang dominan. Teorema limit pusat dalam kasus ini membenarkan penggunaan distribusi normal.

Beberapa programmer, setelah bekerja di bidang pengembangan aplikasi komersial reguler, berpikir untuk menguasai pembelajaran mesin dan menjadi analis data. Mereka sering kali tidak memahami mengapa metode tertentu berhasil, dan sebagian besar metode pembelajaran mesin tampak ajaib. Faktanya, pembelajaran mesin didasarkan pada statistik matematika, yang pada gilirannya didasarkan pada teori probabilitas. Oleh karena itu, dalam artikel ini kita akan memperhatikan konsep dasar teori probabilitas: kita akan membahas definisi probabilitas, distribusi dan menganalisis beberapa contoh sederhana.

Anda mungkin tahu bahwa teori probabilitas secara konvensional dibagi menjadi 2 bagian. Teori probabilitas diskrit mempelajari fenomena yang dapat dijelaskan dengan distribusi dengan jumlah pilihan perilaku yang mungkin terbatas (atau dapat dihitung) (melempar dadu, koin). Teori probabilitas kontinu mempelajari fenomena yang terdistribusi pada himpunan padat tertentu, misalnya pada suatu segmen atau lingkaran.

Kita dapat membahas pokok bahasan teori probabilitas dengan menggunakan contoh sederhana. Bayangkan diri Anda sebagai pengembang penembak. Bagian integral dari pengembangan game bergenre ini adalah mekanisme penembakan. Jelas bahwa penembak yang semua senjatanya ditembakkan secara akurat tidak akan menarik minat para pemain. Oleh karena itu, sangat penting untuk menambahkan penyebaran pada senjata Anda. Namun mengacak titik dampak senjata saja tidak akan memungkinkan penyesuaian yang baik, jadi menyesuaikan keseimbangan permainan akan sulit. Pada saat yang sama, penggunaan variabel acak dan distribusinya dapat menganalisis kinerja senjata dengan penyebaran tertentu dan membantu membuat penyesuaian yang diperlukan.

Ruang hasil dasar

Katakanlah dari beberapa percobaan acak yang dapat kita ulangi berkali-kali (misalnya, melempar koin), kita dapat mengekstrak beberapa informasi formal (muncul kepala atau ekor). Informasi ini disebut hasil dasar, dan berguna untuk mempertimbangkan himpunan semua hasil dasar, yang sering dilambangkan dengan huruf Ω (Omega).

Struktur ruang ini bergantung sepenuhnya pada sifat eksperimen. Misalnya, jika kita mempertimbangkan untuk menembak sasaran melingkar yang cukup besar, ruang hasil dasar akan berbentuk lingkaran, untuk memudahkan, ditempatkan dengan pusat di nol, dan hasilnya akan berupa titik dalam lingkaran ini.

Selain itu, kumpulan hasil dasar - peristiwa juga dipertimbangkan (misalnya, mencapai sepuluh besar adalah lingkaran konsentris berjari-jari kecil dengan target). Dalam kasus diskrit, semuanya cukup sederhana: kita bisa mendapatkan kejadian apa pun, termasuk atau tidak termasuk hasil dasar dalam waktu yang terbatas. Dalam kasus kontinu, semuanya jauh lebih rumit: kita perlu mempertimbangkan beberapa kelompok himpunan yang cukup baik, yang disebut aljabar dengan analogi dengan bilangan real sederhana yang dapat dijumlahkan, dikurangi, dibagi, dan dikalikan. Himpunan dalam aljabar dapat berpotongan dan digabungkan, dan hasil operasinya akan ada dalam aljabar. Ini adalah properti yang sangat penting bagi matematika yang ada di balik semua konsep ini. Keluarga minimal hanya terdiri dari dua himpunan - himpunan kosong dan ruang hasil dasar.

Ukuran dan probabilitas

Probabilitas adalah cara membuat kesimpulan tentang perilaku objek yang sangat kompleks tanpa memahami cara kerjanya. Jadi, probabilitas didefinisikan sebagai fungsi suatu peristiwa (dari kelompok himpunan yang sangat baik) yang mengembalikan suatu angka - suatu karakteristik seberapa sering peristiwa tersebut dapat terjadi dalam kenyataan. Yang pasti, para ahli matematika sepakat bahwa angka ini harus berada di antara nol dan satu. Selain itu, fungsi ini memiliki persyaratan: peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol, peluang seluruh himpunan hasil adalah satuan, dan peluang penggabungan dua kejadian independen (himpunan lepas) sama dengan jumlah probabilitas. Nama lain dari probabilitas adalah ukuran probabilitas. Paling sering, ukuran Lebesgue digunakan, yang menggeneralisasi konsep panjang, luas, volume ke dimensi apa pun (volume n-dimensi), dan karenanya dapat diterapkan pada kelas himpunan yang luas.

Secara bersama-sama, kumpulan himpunan hasil dasar, kumpulan himpunan, dan ukuran probabilitas disebut ruang probabilitas. Mari kita pertimbangkan bagaimana kita dapat membangun ruang probabilitas untuk contoh menembak sasaran.

Pertimbangkan untuk menembak target bulat besar dengan radius R, yang tidak mungkin terlewatkan. Dengan himpunan kejadian dasar kita membuat sebuah lingkaran yang berpusat di titik asal koordinat berjari-jari R. Karena kita akan menggunakan luas (ukuran Lebesgue untuk himpunan dua dimensi) untuk mendeskripsikan probabilitas suatu kejadian, kita akan menggunakan kelompok himpunan terukur (yang memiliki ukuran ini).

Catatan Sebenarnya, ini adalah masalah teknis dan dalam masalah sederhana proses penentuan ukuran dan kumpulan himpunan tidak memainkan peran khusus. Namun perlu dipahami bahwa kedua objek ini ada, karena dalam banyak buku tentang teori probabilitas, teorema dimulai dengan kata-kata: “ Misalkan (Ω,Σ,P) adalah ruang probabilitas...».

Seperti disebutkan di atas, probabilitas seluruh ruang hasil dasar harus sama dengan satu. Luas (ukuran Lebesgue dua dimensi, yang kami nyatakan λ 2 (A), di mana A adalah suatu kejadian) sebuah lingkaran, menurut rumus terkenal dari sekolah, sama dengan π *R 2. Kemudian kita dapat memasukkan probabilitas P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2), dan nilai ini akan berada di antara 0 dan 1 untuk kejadian apa pun A.

Jika kita berasumsi bahwa mengenai titik mana pun pada target memiliki kemungkinan yang sama, maka pencarian probabilitas penembak mengenai area tertentu dari target direduksi menjadi menemukan area dari himpunan ini (dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa probabilitas mengenai suatu titik tertentu adalah nol, karena luas titik tersebut adalah nol).

Misalnya, kita ingin mengetahui berapa probabilitas penembak akan mencapai sepuluh besar (peristiwa A - penembak mencapai set yang diinginkan). Dalam model kita, “sepuluh” diwakili oleh sebuah lingkaran dengan pusat di nol dan berjari-jari r. Maka peluang masuk ke dalam lingkaran tersebut adalah P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Ini adalah salah satu jenis soal "probabilitas geometris" yang paling sederhana - sebagian besar soal ini memerlukan pencarian luas.

Variabel acak

Variabel acak adalah fungsi yang mengubah hasil dasar menjadi bilangan real. Misalnya, dalam soal yang dibahas, kita dapat memasukkan variabel acak ρ(ω) - jarak dari titik tumbukan ke pusat target. Kesederhanaan model kita memungkinkan kita untuk secara eksplisit mendefinisikan ruang hasil dasar: Ω = (ω = (x,y) bilangan sedemikian rupa sehingga x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Maka variabel acak ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Sarana abstraksi dari ruang probabilistik. Fungsi distribusi dan kepadatan

Ada baiknya bila struktur ruangnya sudah diketahui dengan baik, namun kenyataannya tidak selalu demikian. Sekalipun struktur suatu ruang diketahui, ia bisa jadi rumit. Untuk mendeskripsikan variabel acak jika ekspresinya tidak diketahui, terdapat konsep fungsi distribusi yang dilambangkan dengan F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Fungsi distribusi memiliki beberapa properti:

Pertama, antara 0 dan 1.
Kedua, ia tidak berkurang ketika argumennya x bertambah.
Ketiga, jika bilangan -x sangat besar maka fungsi distribusinya mendekati 0, dan jika x sendiri besar maka fungsi distribusinya mendekati 1.

Mungkin arti dari konstruksi ini tidak begitu jelas pada pembacaan pertama. Salah satu properti yang berguna adalah fungsi distribusi memungkinkan Anda mencari probabilitas bahwa suatu nilai mengambil nilai dari suatu interval. Jadi, P (variabel acak ξ mengambil nilai dari interval) = F ξ (b)-F ξ (a). Berdasarkan persamaan ini, kita dapat mempelajari bagaimana nilai ini berubah jika batas a dan b intervalnya berdekatan.

Misalkan d = b-a , maka b = a+d . Oleh karena itu, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Untuk nilai d yang kecil, selisih di atas juga kecil (jika distribusinya kontinu). Masuk akal untuk mempertimbangkan rasio p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Jika, untuk nilai d yang cukup kecil, rasio ini sedikit berbeda dari konstanta p ξ (a), tidak bergantung pada d, maka pada titik ini variabel acak memiliki kepadatan yang sama dengan p ξ (a).

Catatan Pembaca yang pernah mengenal konsep turunan mungkin memperhatikan bahwa p ξ (a) adalah turunan dari fungsi F ξ (x) di titik a. Bagaimanapun, Anda dapat mempelajari konsep turunan dalam artikel tentang topik ini di situs web Mathprofi.

Sekarang pengertian fungsi distribusi dapat didefinisikan sebagai berikut: turunannya (densitas p ξ, yang telah kita definisikan di atas) di titik a menggambarkan seberapa sering suatu variabel acak akan jatuh ke dalam interval kecil yang berpusat di titik a (lingkungan titik a ) dibandingkan dengan lingkungan titik lainnya. Dengan kata lain, semakin cepat fungsi distribusi tumbuh, semakin besar kemungkinan nilai tersebut muncul dalam eksperimen acak.

Mari kita kembali ke contoh. Kita dapat menghitung fungsi distribusi untuk variabel acak, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , yang menunjukkan jarak dari pusat ke titik sasaran acak pada target. Menurut definisi, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Kita dapat mencari kepadatan p ρ dari variabel acak ini. Mari kita segera perhatikan bahwa di luar interval itu adalah nol, karena fungsi distribusi selama interval ini tidak berubah. Pada akhir interval ini kepadatannya tidak ditentukan. Di dalam interval, dapat ditemukan menggunakan tabel turunan (misalnya, dari situs Mathprofi) dan aturan dasar diferensiasi. Turunan dari t 2 /R 2 sama dengan 2t/R 2. Artinya kita menemukan massa jenis pada seluruh sumbu bilangan real.

Sifat lain yang berguna dari kepadatan adalah probabilitas bahwa suatu fungsi mengambil nilai dari suatu interval, yang dihitung menggunakan integral kepadatan pada interval ini (Anda dapat mengetahuinya di artikel tentang integral wajar, tidak wajar, dan tak tentu di Mathprofi situs web).

Pada pembacaan pertama, integral pada interval fungsi f(x) dapat dianggap sebagai luas trapesium lengkung. Sisi-sisinya merupakan penggalan sumbu Sapi, celah (sumbu koordinat horizontal), ruas vertikal yang menghubungkan titik-titik (a,f(a)), (b,f(b)) pada kurva dengan titik (a,0), (b,0 ) pada sumbu Sapi. Sisi terakhir merupakan penggalan grafik fungsi f dari (a,f(a)) hingga (b,f(b)) . Kita dapat berbicara tentang integral pada interval (-∞; b], ketika untuk nilai negatif yang cukup besar, a, nilai integral pada interval akan berubah dapat diabaikan dibandingkan dengan perubahan bilangan a. Integral pada interval adalah ditentukan dengan cara yang sama. Totalnya akan ada 2Ї2Ї2Ї2 = 16 hasil Sesuai dengan asumsi bahwa hasil tembakan individu adalah independen, rumus (3) dan catatannya harus digunakan untuk menentukan probabilitas dari hasil-hasil ini. , probabilitas hasil (y, n.n, n) harus ditetapkan sama dengan 0.2Ї0.8Ї0.8Ї0, 8 = 0.1024; di sini 0.8 = 1-0.2 adalah probabilitas meleset dengan satu tembakan. Peristiwa “the target tercapai tiga kali” disukai oleh hasil (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y) , probabilitas masing-masingnya sama:

0.2Ї0.2Ї0.2Ї0.8 =...... =0.8Ї0.2Ї0.2Ї0.2 = 0,0064;

oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan adalah sama dengan

4Ї0,0064 = 0,0256.

Dengan menggeneralisasi alasan contoh yang dianalisis, kita dapat memperoleh salah satu rumus dasar teori probabilitas: jika kejadian A1, A2,..., An saling bebas dan masing-masing mempunyai peluang p, maka peluang terjadinya tepat m adalah sama dengan

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

di sini Cnm menunjukkan banyaknya kombinasi n elemen m. Untuk n yang besar, perhitungan menggunakan rumus (4) menjadi sulit. Misalkan jumlah tembakan pada contoh sebelumnya adalah 100, dan pertanyaan diajukan untuk mencari peluang x jumlah tembakan berada pada kisaran 8 hingga 32. Penerapan rumus (4) dan teorema penjumlahan memberikan hasil yang akurat, tetapi ekspresi probabilitas yang diinginkan secara praktis tidak dapat digunakan

Nilai perkiraan probabilitas x dapat dicari dengan menggunakan teorema Laplace

dan kesalahannya tidak melebihi 0,0009. Hasil yang ditemukan menunjukkan bahwa kejadian 8 £ m £ 32 hampir pasti terjadi. Ini adalah contoh paling sederhana namun khas dari penggunaan teorema limit dalam teori probabilitas.

Rumus dasar teori peluang dasar juga mencakup apa yang disebut rumus peluang total: jika kejadian A1, A2,..., Ar tidak kompatibel berpasangan dan penyatuannya merupakan kejadian yang dapat diandalkan, maka untuk kejadian apa pun B peluangnya sama dengan jumlah

Teorema perkalian probabilitas sangat berguna ketika mempertimbangkan pengujian gabungan. Suatu percobaan T dikatakan terdiri dari percobaan T1, T2,..., Tn-1, Tn apabila setiap hasil percobaan T merupakan gabungan dari beberapa hasil Ai, Bj,..., Xk, Yl yang bersesuaian uji coba T1, T2,... , Tn-1, Tn. Karena satu dan lain hal, probabilitas sering kali diketahui