Operasi pada himpunan dan propertinya. Set. Operasi pada Himpunan Operasi pada Himpunan

Konsep dasar teori himpunan

Konsep himpunan adalah konsep dasar dalam matematika modern. Kami akan menganggapnya asli dan membangun teori himpunan secara intuitif. Mari kita beri gambaran tentang konsep awal ini.

Banyak Merupakan kumpulan objek (objek atau konsep), yang dianggap sebagai satu kesatuan. Benda-benda yang termasuk dalam koleksi ini disebut elemen set.

Anda dapat berbicara tentang banyak siswa tahun pertama departemen matematika, tentang banyak ikan di laut, dll. Matematika biasanya tertarik pada berbagai objek matematika: satu set bilangan rasional, satu set persegi panjang, dll.

Himpunan akan dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin, dan elemen-elemennya dengan yang kecil.

Jika adalah elemen dari himpunan M, lalu mereka berkata "milik M"Dan tulis:. Jika beberapa objek bukan merupakan elemen dari himpunan, maka mereka mengatakan "bukan milik" M"Dan menulis (kadang-kadang).

Ada dua cara utama untuk mendefinisikan himpunan: pencacahan elemen dan indikasinya properti karakteristik elemen-elemennya. Yang pertama dari metode ini digunakan terutama untuk himpunan berhingga. Saat mendaftar elemen-elemen himpunan yang dipertimbangkan, elemen-elemennya dikelilingi oleh kurung kurawal. Sebagai contoh, menunjukkan suatu himpunan, yang unsur-unsurnya adalah angka 2, 4, 7 dan hanya mereka. Metode ini tidak selalu dapat diterapkan, karena, misalnya, himpunan semua bilangan real tidak dapat ditetapkan dengan cara ini.

Properti karakteristik elemen himpunan M Apakah properti seperti itu yang dimiliki oleh setiap elemen yang memiliki properti ini? M, dan elemen apa pun yang tidak memiliki properti ini bukan milik M... Himpunan elemen dengan properti dilambangkan sebagai berikut:

atau .

Set yang paling umum memiliki sebutan khusus mereka sendiri. Di masa depan, kami akan mematuhi notasi berikut:

n= Apakah himpunan semua bilangan asli;

Z= - himpunan semua bilangan bulat;

- himpunan semua bilangan rasional;

R- himpunan semua bilangan real (nyata), mis. bilangan rasional (pecahan periodik desimal tak hingga) dan bilangan irasional (pecahan non-periodik desimal tak hingga);

- himpunan semua bilangan kompleks.

Mari kita berikan lebih banyak contoh khusus untuk menentukan himpunan dengan menentukan properti karakteristik.

Contoh 1. Himpunan semua pembagi alami dari 48 dapat ditulis sebagai berikut: (notasi hanya digunakan untuk bilangan bulat, dan artinya habis dibagi).

Contoh 2. Himpunan semua bilangan rasional positif kurang dari 7 ditulis sebagai berikut:.

Contoh 3. - interval bilangan real dengan ujung 1 dan 5; - Segmen bilangan real dengan ujung 2 dan 7.

Kata "banyak" menunjukkan bahwa itu mengandung banyak elemen. Tapi tidak selalu demikian. Dalam matematika, himpunan yang hanya berisi satu elemen dapat dipertimbangkan. Misalnya, himpunan akar bilangan bulat dari persamaan ... Selain itu, lebih mudah untuk berbicara tentang himpunan yang tidak mengandung satu elemen pun. Himpunan seperti itu disebut kosong dan dilambangkan dengan . Misalnya, himpunan akar real dari persamaan tersebut kosong.

Definisi 1. Himpunan dan disebut setara(dilambangkan dengan A = B) jika himpunan ini terdiri dari elemen yang sama.

Definisi 2. Jika setiap elemen himpunan termasuk dalam himpunan, maka kita sebut himpunan bagian set.

Legenda: ("termasuk dalam"); ("Termasuk").

Jelas bahwa dan himpunan itu sendiri adalah himpunan bagian dari himpunan. Setiap himpunan bagian lain dari himpunan disebut bagian kanan... Jika dan, maka mereka mengatakan bahwa “ A – bagian yang tepat"Atau itu" Dan itu secara ketat termasuk dalam"Dan tulis.

Pernyataan berikut ini jelas: orang banyak dan adalah sama jika dan hanya jika dan.

Pernyataan ini didasarkan pada metode universal untuk membuktikan kesetaraan dua himpunan: untuk membuktikan bahwa himpunan dan sama, itu cukup untuk menunjukkan bahwa ,A adalah himpunan bagian dari himpunan .

Ini adalah metode yang paling umum, meskipun bukan satu-satunya. Kemudian, setelah berkenalan dengan operasi pada set dan propertinya, kami akan menunjukkan cara lain untuk membuktikan kesetaraan dua set - menggunakan transformasi.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa seringkali dalam satu atau lain teori matematika, seseorang berurusan dengan himpunan bagian dari himpunan yang sama kamu yang disebut universal dalam teori ini. Misalnya, dalam aljabar sekolah dan analisis matematis, himpunan bersifat universal R bilangan real, dalam geometri - satu set titik dalam ruang.

Tetapkan operasi dan propertinya

Pada himpunan, Anda dapat melakukan tindakan (operasi) yang menyerupai penambahan, perkalian, dan pengurangan.

Definisi 1. Konsolidasi himpunan dan disebut himpunan, dilambangkan dengan, setiap elemen yang dimiliki oleh setidaknya salah satu himpunan atau.

Operasi itu sendiri, sebagai akibatnya diperoleh himpunan seperti itu, disebut serikat pekerja.

Catatan singkat definisi 1:

Definisi 2. Persimpangan himpunan dan disebut himpunan, dilambangkan dengan, berisi semua elemen tersebut dan hanya elemen tersebut, yang masing-masing dimiliki dan, dan.

Operasi itu sendiri, yang menghasilkan himpunan, disebut perpotongan.

Definisi 2 singkatnya:

Misalnya, jika , , kemudian , .

Himpunan dapat digambarkan sebagai bentuk geometris, yang memungkinkan Anda untuk menggambarkan operasi pada himpunan secara visual. Metode ini diusulkan oleh Leonard Euler (1707-1783) untuk analisis penalaran logis, digunakan secara luas dan dikembangkan lebih lanjut dalam karya matematikawan Inggris John Venn (1834-1923). Oleh karena itu, gambar seperti itu disebut Diagram Euler-Venn.

Operasi penyatuan dan perpotongan himpunan dapat digambarkan dengan diagram Euler – Venn sebagai berikut:

- bagian yang diarsir; - bagian yang diarsir.

Anda dapat menentukan penyatuan dan perpotongan dari kumpulan set apa pun, di mana adalah beberapa set indeks.

Definisi . Konsolidasi himpunan himpunan adalah himpunan yang terdiri dari semua itu dan hanya elemen-elemen itu, yang masing-masing dimiliki oleh setidaknya satu himpunan.

Definisi . Persimpangan himpunan himpunan adalah himpunan yang terdiri dari semua itu dan hanya elemen-elemen itu, yang masing-masing termasuk dalam salah satu himpunan.

Dalam kasus ketika himpunan indeks terbatas, misalnya, , maka untuk menyatakan persatuan dan perpotongan kumpulan himpunan dalam hal ini biasanya menggunakan notasi:

dan .

Misalnya, jika , , , kemudian , .

Konsep penyatuan dan perpotongan himpunan berulang kali ditemui dalam mata pelajaran matematika sekolah.

Contoh 1. Banyak M solusi sistem pertidaksamaan

adalah perpotongan himpunan solusi untuk setiap pertidaksamaan sistem ini :.

Contoh 2. Banyak M solusi sistem

adalah perpotongan himpunan solusi untuk setiap pertidaksamaan sistem ini. Himpunan solusi persamaan pertama adalah himpunan titik-titik pada garis lurus, mis. ... Banyak . Himpunan terdiri dari satu elemen - titik persimpangan garis.

Contoh 3. Himpunan solusi persamaan

di mana , adalah gabungan dari himpunan solusi untuk masing-masing persamaan, yaitu

Definisi 3. Perbedaan set dan disebut himpunan, dilambangkan dengan, dan terdiri dari semua itu dan hanya elemen-elemen yang termasuk, tetapi bukan milik .– bagian yang diarsir; ... dengan operasi serikat, persimpangan dan komplemen. Struktur matematika yang dihasilkan disebut aljabar himpunan atau Aljabar Boolean dari himpunan(termasuk ahli matematika dan logika Irlandia George Boole (1816-1864)). Mari kita menyatakan himpunan semua himpunan bagian dari himpunan arbitrer dan menyebutnya boolean set.

Persamaan yang tercantum di bawah ini berlaku untuk himpunan bagian apa pun A, B, C set universal U. Oleh karena itu, mereka disebut hukum aljabar himpunan.

Analisis matematika adalah cabang matematika yang berhubungan dengan studi fungsi berdasarkan gagasan fungsi yang sangat kecil.

Konsep dasar analisis matematika adalah nilai, himpunan, fungsi, fungsi sangat kecil, limit, turunan, integral.

besarnya segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan suatu bilangan disebut.

Banyak disebut himpunan beberapa elemen yang disatukan oleh beberapa fitur umum. Unsur-unsur suatu himpunan dapat berupa angka, angka, benda, konsep, dll.

Himpunan ditunjukkan dengan huruf besar, dan elemen ditunjukkan dengan kelipatan dalam huruf kecil. Elemen himpunan diapit oleh kurung kurawal.

Jika elemen x milik himpunan x lalu menulis x∈NS (∈ - milik).
Jika himpunan A adalah bagian dari himpunan B, tulislah A B (⊂ - mengandung).

Himpunan dapat ditentukan dengan salah satu dari dua cara: dengan enumerasi dan menggunakan properti yang mendefinisikan.

Misalnya, set berikut ditentukan oleh enumerasi:

A = (1,2,3,5,7) - satu set angka
X = (x 1, x 2, ..., x n) - himpunan beberapa elemen x 1, x 2, ..., x n
N = (1,2, ..., n) - himpunan bilangan asli
Z = (0, ± 1, ± 2, ..., ± n) - himpunan bilangan bulat

Himpunan (-∞; + ) disebut nomor baris, dan setiap nomor adalah titik dari garis ini. Biarkan a menjadi titik sembarang pada garis bilangan dan adalah bilangan positif. Interval (a-δ; a + ) disebut -lingkungan titik a.

Himpunan X terbatas di atas (bawah) jika ada bilangan c sedemikian rupa sehingga untuk setiap x X pertidaksamaan x≤с (x≥c) berlaku. Angka c dalam hal ini disebut tepi atas (bawah) himpunan X. Himpunan yang dibatasi di atas dan di bawah disebut terbatas... Batas atas (bawah) terkecil (terbesar) dari suatu himpunan disebut tepi atas (bawah) yang tepat set ini.

Kumpulan angka dasar

n	(1,2,3, ..., n) Himpunan semua
Z	(0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) Set bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat mencakup banyak bilangan asli.
Q	Banyak angka rasional. Selain bilangan bulat, ada juga pecahan. Pecahan adalah ekspresi dari bentuk, di mana P- bilangan bulat, Q- alami. Pecahan desimal juga dapat ditulis sebagai. Misalnya: 0,25 = 25/100 = 1/4. Bilangan bulat juga dapat ditulis sebagai. Misalnya, sebagai pecahan dengan penyebut "satu": 2 = 2/1. Jadi, bilangan rasional apa pun dapat ditulis sebagai pecahan desimal - tentu saja atau periodik tak terbatas.
R	Banyak dari semuanya bilangan asli. Bilangan irasional adalah pecahan non-periodik tak terhingga. Ini termasuk: Bersama-sama, dua set (bilangan rasional dan irasional) - membentuk satu set bilangan real (atau real).

Jika himpunan tidak mengandung unsur apapun, maka disebut set kosong dan direkam Ø .

Elemen simbologi logis

Notasi x: | x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

kuantor

Kuantifier sering digunakan saat menulis ekspresi matematika.

Pembilang adalah simbol logis yang mencirikan unsur-unsur berikut dalam istilah kuantitatif.

∀- kuantifikasi umum, digunakan sebagai pengganti kata "untuk semua", "untuk semua".
∃- kuantor eksistensial, digunakan sebagai pengganti kata "ada", "adalah". Kombinasi karakter !, yang dibaca hanya ada satu, juga digunakan.

Setel operasi

Dua himpunan A dan B sama(A = B) jika terdiri dari unsur-unsur yang sama.
Misalnya, jika A = (1,2,3,4), B = (3,1,4,2) maka A = B.

Konsolidasi (jumlah) himpunan A dan B disebut himpunan A B, yang elemen-elemennya termasuk paling sedikit salah satu himpunan ini.
Misalnya, jika A = (1,2,4), B = (3,4,5,6), maka A B = (1,2,3,4,5,6)

Persimpangan (produk) himpunan A dan B disebut himpunan A B, yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan A dan himpunan B.
Misalnya, jika A = (1,2,4), B = (3,4,5,2), maka A B = (2,4)

Perbedaan himpunan A dan B disebut himpunan AB, yang elemen-elemennya termasuk himpunan A, tetapi bukan anggota himpunan B.
Misalnya, jika A = (1,2,3,4), B = (3,4,5), maka AB = (1,2)

Perbedaan simetris himpunan A dan B disebut himpunan A B yang merupakan gabungan dari selisih himpunan AB dan BA, yaitu A B = (AB) (BA).
Misalnya, jika A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6), maka A B = (1,2) (5,6) = (1,2, 5 , 6)

Sifat-sifat operasi pada himpunan

Sifat permutabilitas

A B = B A
A B = B A

Properti kombinasi

(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)

Set yang dapat dihitung dan tidak dapat dihitung

Untuk membandingkan dua himpunan A dan B, dibuat korespondensi antara elemen-elemennya.

Jika korespondensi ini satu-satu, maka himpunan tersebut disebut ekuivalen atau ekuivalen, A B atau B A.

Contoh 1

Himpunan titik kaki BC dan sisi miring AC dari segitiga ABC memiliki kekuatan yang sama.

Teori

Ada dua pendekatan utama untuk konsep himpunan - naif dan aksiomatis teori himpunan.

Teori himpunan aksiomatik

Saat ini, himpunan didefinisikan sebagai model yang memenuhi aksioma ZFC (aksioma Zermelo - Fraenkel dengan aksioma pilihan). Dengan pendekatan ini, dalam beberapa teori matematika terdapat kumpulan objek yang bukan himpunan. Koleksi semacam itu disebut kelas (dari ordo yang berbeda).

Elemen himpunan

Benda-benda yang membentuk himpunan disebut elemen himpunan atau dengan poin dari himpunan. Set paling sering dilambangkan dengan huruf besar alfabet Latin, elemen-elemennya - dengan yang kecil. Jika a adalah anggota dari himpunan A, maka tuliskan a A (a milik A). Jika a bukan anggota himpunan A, tulis a∉A (dan bukan anggota A).

Beberapa jenis set

Himpunan terurut adalah himpunan di mana relasi pengurutan ditentukan.
Satu set (khususnya, pasangan terurut). Tidak seperti hanya satu set, itu ditulis di dalam tanda kurung: ( x 1, x 2, x 3, ...), dan elemen dapat diulang.

Menurut hierarki:

Himpunan himpunan Subset Superset

Dengan batasan:

Setel operasi

literatur

Stoll R.R. Set. Logika. Teori aksiomatik. - M.: Pendidikan, 1968 .-- 232 hlm.

Lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu "Set Elemen" di kamus lain:

elemen himpunan- - [L.G. Sumenko. Kamus Bahasa Inggris Rusia Teknologi Informasi. M .: GP TsNIIS, 2003.] elemen himpunan Sebuah objek dari alam apapun, yang bersama-sama dengan objek lain yang sejenis merupakan satu set. Seringkali, alih-alih istilah, elemen dalam ... ...

Elemen himpunan- objek dari alam apa pun, yang bersama-sama dengan objek serupa lainnya merupakan satu set. Seringkali, alih-alih istilah elemen dalam pengertian ini, mereka menggunakan "titik himpunan", "anggota himpunan", dll. ... ...

SET, dalam matematika, kumpulan objek tertentu. Objek-objek ini disebut anggota himpunan. Jumlah elemen bisa tak terbatas atau hingga, atau bahkan nol (jumlah elemen dalam himpunan kosong dilambangkan dengan 0). Setiap… … Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

elemen- Istilah umum, yang, tergantung pada kondisi yang relevan, dapat dipahami sebagai permukaan, garis, titik. Catatan 1. Suatu elemen dapat berupa permukaan (bagian dari permukaan, bidang simetri beberapa permukaan), garis (profil ... Panduan penerjemah teknis

Bagian dari sesuatu. Salah satu kemungkinan etimologi dari kata ini adalah nama sejumlah konsonan dalam huruf Latin L, M, N (el em en). Elemen (filsafat) Elemen adalah aksesori wajib dari bendera, spanduk, dan standar. Elemen himpunan Dasar ... ... Wikipedia

Elemen- komponen utama (untuk penelitian ini, model) dari keseluruhan yang kompleks. Lihat Set Elemen, Elemen Sistem ... Kamus Ekonomi dan Matematika

Himpunan adalah salah satu objek kunci matematika, khususnya teori himpunan. "Dengan satu set yang kami maksud adalah penyatuan menjadi satu objek tertentu yang sepenuhnya dapat dibedakan dari intuisi atau pemikiran kita" (G. Kantor). Itu tidak lengkap ... ... Wikipedia

elemen- 02.01.14 elemen (tanda atau simbol karakter): Satu coretan atau spasi dalam simbol barcode atau sel poligonal atau lingkaran tunggal dalam simbol matriks, membentuk simbol tanda di ... ... Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis

A; m. [dari lat. unsur elementum, bahan asal] 1. Bagian yang l.; komponen. Menguraikan keseluruhan menjadi elemen. Apa saja unsur-unsur kebudayaan? Sifat e. produksi. Unsur-unsur penyusunnya l. // Gerakan khas, satu ... ... kamus ensiklopedis

Konsep himpunan mengacu pada konsep aksiomatik matematika.

Definisi... Himpunan adalah himpunan, grup, kumpulan elemen yang memiliki beberapa properti atau fitur umum untuk semuanya.

Penunjukan: A, B.

Definisi... Dua himpunan A dan B sama jika dan hanya jika keduanya terdiri dari unsur-unsur yang sama. A = B

Notasi a A (a A) berarti a adalah (bukan) anggota himpunan A.

Definisi... Himpunan yang tidak memiliki elemen disebut kosong dan dilambangkan dengan .

Biasanya, dalam kasus tertentu, elemen dari semua himpunan yang ditinjau diambil dari satu himpunan U yang cukup lebar, yang disebut set universal.

Kardinalitas himpunan dilambangkan sebagai | M | ...
Komentar : untuk himpunan berhingga, kardinalitas adalah jumlah elemen.

Definisi... Jika | A | = | B | , maka himpunan tersebut disebut setara.

Untuk mengilustrasikan operasi pada himpunan, berikut ini sering digunakan: Euler - diagram Venn... Konstruksi diagram terdiri dari gambar persegi panjang besar yang mewakili himpunan universal U, dan di dalamnya - lingkaran yang mewakili himpunan.

Operasi berikut didefinisikan pada set:

Serikat : = (х / )

Persimpangan : = (х / & )

Selisih \ : = (х / & )

Komplemen A U \ A: = (x / x U & x A)

Tugas 1.1. Diketahui: a) A, B⊆Z, A = (1; 3; 4; 5; 9), B = (2; 4; 5; 10). b) A, B⊆R, A = [-3; 3), B = (2; 10].

Larutan.

a) A∩B = (4; 5), A∪B = (1; 2; 3; 4; 5; 9; 10), A \ B = (1; 3; 9), B \ A = (2 ; 10), B = Z \ B;

b) A∩B = (2; 3), A∪B = [-3; 10], A \ B = [-3,2], B \ A =, BZ \ B = (-∞, 2] (10, + ).

1) Diketahui: a) A, B Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

b) A, B R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Cari: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

2) Diketahui: a) A, B Z, A = (3; 6; 7; 10), B = (2; 3; 10; 12).

b) A, B R, A =.

Cari: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

3) Diketahui: a) A, B Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

b) A, B R, A =.

4) Diketahui: a) A, B Z, A = (0; 4; 6; 7), B = (-3; 3; 7).

b) A, B R, A = [-15; 0), B = [-2; 1].

Cari: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, A.

5) Diketahui: a) A, B Z, A = (0; 9), B = (-6; 0; 3; 9).

b) A, B R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Cari: A B, A B, A \ B, B \ A, B.

6) Diketahui: a) A, B Z, A = (0; 6; 9), B = (-6; 0; 3; 7).

b) A, B R, A = [-8; 3), B =.

Cari: A B, A B, A \ B, B \ A, B.

7) Diketahui: a) A, B Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10).

b) A, B R, A = [-10; 9), B = [-5; 15].

Cari: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

8) Diketahui: a) A, B Z, A = (1; 2; 9; 37), B = (-1; 1; 9; 11; 15).

b) A, B R, A = [-8; 1), B = [-5; 7].

Cari: A B, A B, A \ B, B \ A, B.

9) Diketahui: a) A, B Z, A = (-1; 0; 9; 17), B = (-1; 1; 9; 10; 25).

b) A, B R, A = [-4; 9), B = [-5; 7].

Cari: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

10) Diketahui: a) A, B⊆Z, A = (1; 7; 9; 17), B = (-2; 1; 9; 10; 25).

b) A, B⊆R, A =.

Cari: A B, A B, A \ B, B \ A, A.

Tugas 1.1. Dengan menggunakan diagram Euler-Venn, buktikan identitasnya:

A \ (B \ C) = (A \ B) (A C).

Larutan.

Mari kita buat diagram Venn.

Sisi kiri persamaan ditunjukkan pada Gambar a), yang kanan - pada Gambar b). Dari diagram, persamaan sisi kiri dan kanan relasi ini terlihat jelas.

Tugas untuk solusi independen

Dengan menggunakan diagram Euler-Venn, buktikan identitasnya:

1) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C);

2) A (B \ C) = (A B) \ C;

3) A (B \ C) = (A B) \ (A C);

4) (A \ B) \ C = (A \ B) \ (B \ C);

5) (A \ B) \ C = (A \ B) (A∩C);

6) A∩ (B C) = (A B) (A C);

7) (A B) \ (A C) = (A B) \ C;

8) A∪ (B C) = (A B) (A C);

9) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C)

10) A∪ (A B) = A B

Tugas 1.3. Di kelas sastra, guru memutuskan untuk mengetahui dari 40 siswa di kelas mana yang telah membaca buku A, B, C. Hasil survei adalah sebagai berikut: buku A dibaca oleh 25 siswa; Buku B dibaca oleh 22 siswa; Buku C dibaca oleh 22 siswa; buku A atau B dibaca oleh 33 siswa; buku A atau C dibaca oleh 32 siswa; buku B atau C dibaca oleh 31 siswa; semua buku dibaca oleh 10 siswa. Tentukan: 1) Berapa banyak siswa yang hanya membaca Buku A?

2) Berapa banyak siswa yang hanya membaca Buku B?

3) Berapa banyak siswa yang hanya membaca Buku C?

4) Berapa banyak siswa yang hanya membaca satu buku?

5) Berapa banyak siswa yang telah membaca setidaknya satu buku?

6) Berapa banyak siswa yang belum membaca satu buku pun?

Larutan.

Biarkan U menjadi himpunan siswa di kelas. Kemudian

| U | = 40, | A | = 25, | B | = 22, | C | = 22, | A B | = 33, | A C | = 32, | B C | = 31, | A B C | = 10

Mari kita coba ilustrasikan masalahnya.

Kami membagi himpunan siswa yang telah membaca setidaknya satu buku menjadi tujuh himpunan bagian k 1, k 2, k 3, k 4, k 5, k 6, k 7, di mana

k 1 - himpunan siswa yang hanya membaca buku A;

k 3 - himpunan siswa yang hanya membaca buku B;

k 7 - himpunan siswa yang hanya membaca buku C;

k 2 - himpunan siswa yang telah membaca buku A dan B dan belum membaca buku C;

k 4 - himpunan siswa yang telah membaca buku A dan C dan belum membaca buku B;

k 6 - himpunan siswa yang telah membaca buku B dan C dan belum membaca buku A;

k 5 adalah himpunan siswa yang telah membaca buku A, B dan C.

Mari kita hitung kardinalitas masing-masing himpunan bagian ini.

| k 2 | = | A B | - | A B C |; | k 4 | = | A C | - | A B C |;

| k 6 | = | B C | - | A B C |; | k 5 | = | A B C |.

Lalu | k 1 | = | A | - | k 2 | - | k 4 | - | k 5 |, | k 3 | = | B | - | k 2 | - | k 6 | - | k 5 |, | k 7 | = | C | - | k 6 | - | k | - | k 5 |.

Cari | A B |, | A C |, | B C |.

| A B | = | Sebuah | + | B | - | A B | = 25 + 22 - 33 = 14,

| A C | = | A | + | C | - | A C | = 25 + 22 - 32 = 15,

| B C | = | B | + | C | - | B C | = 22 + 22 - 31 = 13.

Maka k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 = 5; k 7 = 22-5-3-10 = 4;

| A B C | = | A B | + | C | - | (A B) C | ...

Jelas dari gambar bahwa | C | - | (A B) C | = | k 7 | = 4, maka | A B C | = 33 + 4 = 37 - jumlah siswa yang telah membaca setidaknya satu buku.

Karena ada 40 siswa di kelas, 3 siswa belum membaca satu buku pun.

Menjawab:

6 siswa hanya membaca buku A.
5 siswa hanya membaca Buku B.
4 siswa hanya membaca buku C.
15 siswa hanya membaca satu buku.
37 siswa telah membaca setidaknya satu buku dari A, B, C.
3 siswa belum membaca satu buku pun.

Tugas untuk solusi independen

1) Selama seminggu, film A, B, C diputar di bioskop. Masing-masing dari 40 siswa menonton ketiga film tersebut atau salah satu dari ketiganya. Film A melihat 13 anak sekolah. Film B melihat 16 anak sekolah. Film C melihat 19 anak sekolah. Berapa banyak anak sekolah yang hanya menonton satu film?

2) Konferensi internasional ini dihadiri oleh 120 orang. Dari jumlah tersebut, 60 berbicara bahasa Rusia, 48 - Inggris, 32 - Jerman, 21 - Rusia dan Inggris, 19 - Inggris dan Jerman, 15 - Rusia dan Jerman, dan 10 orang berbicara ketiga bahasa. Berapa banyak peserta konferensi yang tidak berbicara bahasa-bahasa ini?

3) Sebuah tim sekolah yang terdiri dari 20 orang berpartisipasi dalam kompetisi olahraga, yang masing-masing memiliki kategori olahraga dalam satu atau lebih dari tiga cabang olahraga: atletik, renang, dan senam. Diketahui 12 di antaranya memiliki kategori atletik, 10 senam dan 5 renang. Tentukan banyaknya anak sekolah dari regu tersebut yang berkategori semua cabang olahraga, jika 2 orang berkategori atletik dan renang, 4 orang lari dan lapangan dan senam, dan 2 orang renang dan senam.

4) Sebuah survei terhadap 100 siswa memberikan hasil sebagai berikut tentang jumlah siswa yang belajar berbagai bahasa asing: Spanyol - 28; Jerman - 30; Prancis - 42; Spanyol dan Jerman - 8; Spanyol dan Prancis - 10; Jerman dan Prancis - 5; ketiga bahasa tersebut - 3. Berapa banyak siswa yang belajar bahasa Jerman jika dan hanya jika mereka belajar bahasa Prancis? 5) Sebuah survei terhadap 100 siswa mengungkapkan data berikut tentang jumlah siswa yang belajar berbagai bahasa asing: hanya Jerman - 18; Jerman, tetapi bukan Spanyol - 23; Jerman dan Prancis - 8; Jerman - 26; Prancis - 48; Prancis dan Spanyol - 8; tidak ada bahasa - 24. Berapa banyak siswa yang belajar bahasa Jerman dan Spanyol?

6) Dalam laporan survei terhadap 100 siswa, dilaporkan bahwa jumlah siswa yang belajar bahasa yang berbeda adalah sebagai berikut: ketiga bahasa - 5; Jerman dan Spanyol - 10; Prancis dan Spanyol - 8; Jerman dan Prancis - 20; Spanyol - 30; Jerman - 23; Prancis - 50. Inspektur yang menyerahkan laporan ini dipecat. Mengapa?

7) Konferensi internasional ini dihadiri oleh 100 orang. Dari jumlah tersebut, 42 berbicara bahasa Prancis, 28 - Inggris, 30 - Jerman, 10 - Prancis dan Inggris, 8 - Inggris dan Jerman, 5 - Prancis dan Jerman, dan 3 orang berbicara ketiga bahasa. Berapa banyak peserta konferensi yang tidak berbicara bahasa-bahasa ini?

8) Mahasiswa tahun pertama yang mempelajari ilmu komputer di universitas dapat mengikuti disiplin ilmu tambahan. Tahun ini, 25 di antaranya memilih jurusan akuntansi, 27 memilih bisnis, dan 12 memilih pariwisata. Selain itu, ada 20 mahasiswa yang mengambil mata kuliah akuntansi dan bisnis, 5 mahasiswa jurusan akuntansi dan pariwisata, dan 3 mahasiswa jurusan pariwisata dan bisnis. Diketahui tidak ada satu pun mahasiswa yang berani mengikuti 3 mata kuliah tambahan sekaligus. Berapa banyak siswa yang telah mengikuti setidaknya 1 kursus tambahan?
9) 40 siswa mengikuti Olimpiade Matematika untuk pendaftar. Mereka diminta untuk memecahkan satu masalah dalam aljabar, satu dalam geometri dan satu lagi dalam trigonometri. Masalah dalam aljabar diselesaikan oleh 20 orang, dalam geometri - 18, dalam trigonometri - 18 orang. Masalah dalam aljabar dan geometri diselesaikan oleh 7 orang, dalam aljabar dan trigonometri - oleh 8 orang, dalam geometri dan trigonometri - oleh 9 orang. Tidak ada masalah yang diselesaikan oleh 3 orang. Berapa banyak siswa yang hanya menyelesaikan dua masalah?

10) Ada 40 siswa di kelas. Dari jumlah tersebut, 19 orang memiliki kembar tiga dalam bahasa Rusia, 17 orang dalam matematika dan 22 orang dalam fisika. 4 siswa memiliki kembar tiga hanya dalam satu bahasa Rusia, 4 - hanya dalam matematika dan 11 - hanya dalam fisika. 5 siswa memiliki tiga kali lipat dalam bahasa Rusia, matematika dan fisika. 7 orang memiliki tiga kali lipat dalam matematika dan fisika. Berapa banyak siswa yang memiliki C dalam dua dari tiga mata pelajaran?

Banyak adalah kumpulan objek yang dianggap sebagai satu kesatuan. Konsep himpunan diambil sebagai dasar, yaitu, tidak dapat direduksi menjadi konsep lain. Benda-benda yang membentuk suatu himpunan disebut unsur-unsurnya. Hubungan dasar antar elemen A dan berisi himpunan A dilambangkan sebagai ( A adalah elemen himpunan A; atau A milik A, atau A mengandung A). Jika A bukan anggota himpunan A, kemudian mereka menulis ( A tidak termasuk dalam A, A tidak mengandung A). Suatu himpunan dapat ditentukan dengan menspesifikasikan semua elemennya, dan dalam hal ini, kurung kurawal digunakan. Jadi ( A, B, C) menunjukkan satu set tiga elemen. Notasi serupa digunakan dalam kasus himpunan tak terbatas, dan elemen tak tertulis diganti dengan elipsis. Jadi, himpunan bilangan asli dilambangkan dengan (1, 2, 3, ...), dan himpunan bilangan genap (2, 4, 6, ...), dan elipsis dalam kasus pertama berarti semua alami angka, dan yang kedua - hanya genap.

Dua set A dan B disebut setara jika mereka terdiri dari unsur-unsur yang sama, yaitu A milik B dan, sebaliknya, setiap elemen B milik A... Kemudian mereka menulis A = B... Dengan demikian, himpunan ditentukan secara unik oleh elemen-elemennya dan tidak bergantung pada urutan penulisan elemen-elemen ini. Misalnya, satu set tiga elemen A, B, C memungkinkan enam jenis perekaman:

{A, B, C} = {A, C, B} = {B, A, C} = {B, C, A} = {C, A, B} = {C, B, A}.

Untuk alasan kenyamanan formal, apa yang disebut "kumpulan kosong" juga diperkenalkan, yaitu himpunan yang tidak mengandung elemen tunggal. Itu dilambangkan, kadang-kadang dengan simbol 0 (kebetulan dengan penunjukan angka nol tidak menyebabkan kebingungan, karena makna simbol itu jelas setiap saat).

Jika setiap elemen himpunan A termasuk dalam banyak B, kemudian A disebut himpunan bagian B, A B disebut superset A... Mereka menulis ( A termasuk dalam B atau A terkandung dalam B, B mengandung A). Jelas, jika dan, maka A = B... Himpunan kosong menurut definisi dianggap sebagai himpunan bagian dari himpunan apa pun.

Jika setiap elemen himpunan A termasuk dalam B tapi banyak B mengandung setidaknya satu elemen yang tidak termasuk dalam A, yaitu, jika dan, maka A ditelepon subsetnya sendiri B, A B - superset sendiri A... Dalam hal ini, tulis. Misalnya, notasi dan maknanya sama, yaitu himpunan A tidak kosong.

Perhatikan juga bahwa perlu untuk membedakan antara elemen A dan himpunan ( A) mengandung A sebagai satu-satunya barang. Perbedaan ini ditentukan tidak hanya oleh fakta bahwa elemen dan himpunan memainkan peran yang berbeda (hubungannya tidak simetris), tetapi juga oleh kebutuhan untuk menghindari kontradiksi. Jadi mari A = {A, B) mengandung dua elemen. Perhatikan himpunan ( A) mengandung sebagai satu-satunya elemen set A... Kemudian A mengandung dua elemen, sedangkan ( A) hanya satu elemen, dan oleh karena itu identifikasi kedua himpunan ini tidak mungkin. Oleh karena itu, disarankan untuk menggunakan rekaman, dan tidak menggunakan rekaman.