Kako pronaći područje lik?

Da biste znali i mogli izračunati područje različitih figura, potrebno je ne samo za rješavanje jednostavnih geometrijskih zadataka. Nemojte činiti bez tih znanja i pri izradi ili provjeru procjena za popravak prostora, izračunavanje broja potrebnih potrošnih materijala. Stoga ćemo shvatiti kako pronaći područja različitih figura.

Dio aviona koji je zaključen unutar zatvorenog kruga naziva se područje ovog ravnina. Trg se izražava brojem kvadratnih jedinica zatvorenika u njoj.

Da bi se izračunao područje glavnih geometrijskih slika, potrebno je koristiti ispravnu formulu.

Područje trokuta

Oznake:

1. Ako je H, A je poznato, područje željenog trokuta definira se kao produkt bočne duljine i visine trokuta, spuštena na ovu stranu, podijeljena s pola: s \u003d (a · h) / 2
2. Ako je a, B, C je poznat, tada se željeno područje izračunava pomoću geron formule: kvadratni korijen uzet iz rada pola perimetra trokuta i tri razlike u pola perimetra i svaku stranu trokuta: s \u003d √ (p · (p - a) · (p-b) · (p - c)).
3. Ako je, B, γ je poznat, onda je područje trokuta definirano kao polovica proizvoda od 2 strane, pomnoženo s vrijednosti kuta između tih strana: s \u003d (a · b · sin γ) / 2
4. Ako je, B, C, R je poznat, tada se željeno područje definira kao podjelu produkta duljine svih strana trokuta s četiri radijusa opisanog kruga: s \u003d (a · b) / 4r
5. Ako je P, R je poznat, tada se željeni trokutni prostor određuje množenjem polovice perimetra na radijusu upisanoj u njoj: S \u003d p ^

Kvadratni prostor

Oznake:

1. Ako je poznata strana, područje ove brojke se definira kao kvadrat njegove duljine: s \u003d a 2
2. Ako je D poznat, kvadrat trga je definiran kao pola kvadrata svoje duljine dijagonale: s \u003d d 2/2

Kvadratni pravokutnik

Oznake:

• S - definirano područje,
• a, b - duljina strane pravokutnika.

1. Ako je, B je poznat, površina ovog pravokutnika određeno je proizvodom njegovih duljina njegovih strana: s \u003d A · b
2. Ako su duljine strane nepoznate, površina pravokutnika mora biti podijeljeno na trokute. U tom slučaju, područje pravokutnika se definira kao zbroj područja komponenti njegovih trokuta.

Četvornik

Oznake:

• S - željeno područje,
• a, b - dužina stranaka,
• h - duljina visine ovog paralelograma,
• d1, d2 - duljina dvije dijagonale,
• α - kut smješten između stranaka
• γ je kut između dijagonala.

1. Ako je A, H je poznato, onda je željeno područje određeno da umnožava duljine bočne i visine, spuštena na ovu stranu: s \u003d A · h
2. Ako je, B, α je poznat, tada se područje paralelograma određuje množenjem duljine paralelograma i vrijednosti kuta između tih strana: s \u003d A · b · grijeh α
3. Ako je poznat D1, d2, γ, područje paralelograma definira se kao pola produkta duljine dijagonala i vrijednost kuta kuta između ovih dijagonala: s \u003d (d1 · d2 · genγ) / 2

Romba kvadrat

Oznake:

• S - željeno područje,
• duljina nuca,
• h - duljina visine,
• α je manji kut između dviju strana,
• d1, D2 - duljina dvije dijagonale.

1. Ako je, H je poznato, onda je područje ROBBUS-a određeno množenjem bočne duljine na duljini visine, koja je izostavljena na toj strani: s \u003d A · h
2. Ako je, α poznat, tada je područje ROBBUS-a odlučno umnožiti stranu strane strane strane kupe između stranaka: s \u003d a 2 · sin α
3. Ako su poznati D1 i D2, željeno područje je definirano kao pola produkta duljine dijagonala romb: S \u003d (D1 · d2) / 2

Kvadrat trapez

Oznake:

1. Ako je A, B, C, D je poznat, tada se željeno područje određuje formulom: s \u003d (A + B) / 2 x .√.
2. S poznatim a, B, h, željeno područje se definira kao proizvod od pola količine baze i visine trapezoida: s \u003d (A + b) / 2 · h

Područje konveksnog četverokuta

Oznake:

1. Ako je D1, d2, α poznat, područje konveksnog četverokuta je definirano kao pola produkta dijagonala četverokala, pomnoženi sinom veličine kuta između ovih dijagonala: s \u003d (d1 · d 2 · sin α) / 2
2. S poznatim p, R, područje konveksnog četverokuta definirano je kao proizvod polu-versira četverokuta na radijusu kruga, uvršten u ovaj četverokut: s \u003d p · r
3. Ako je A, B, C, D, θ je poznat, a zatim je područje konveksnog četverokuta definirano kao korijen kvadrata od proizvoda izbora pola mjere i duljine svake strane minus duljine duljine svih strana i kosinus kvadrat od pola zbroja dvaju suprotnih kutova: s 2 \u003d (p-a) (p-b) (p - c) (p-d) - ABCD · COS 2 ((α) + β) / 2)

Područje kruga

Oznake:

Ako je R poznat, tada se željeno područje definira kao proizvod broja π na radijusu na trgu: s \u003d π R2

Ako je D poznat, onda je područje kruga definiran kao proizvod broja π po kvadratu promjera podijeljen na četiri: s \u003d (π · d2) / 4

Kvadratna složena slika

Komplicirana se može podijeliti na jednostavne geometrijske oblike. Područje složene slike definira se kao količina ili razlika komponenti područja. Razmotrite, na primjer, prsten.

Oznaka:

• S - prsten trg,
• R, r - radijus vanjskog kruga i unutarnje, odnosno,
• D, D - promjeri vanjskog kruga i unutarnje, odnosno.

Kako bi se pronašli područje prstena, potrebno je uzeti područje s područja većeg kruga manji krug. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2-6 \u003d π (R2-R2).

Prema tome, ako su R i R poznati, tada se područje prstena definira kao razlika u kvadratima radijusa vanjskih i unutarnjih krugova, pomnoženih s brojem PI: s \u003d π (R2-R2).

Ako su poznati d i D, tada se područje prstena definira kao četvrtina razlike u kvadratima promjera vanjskih i unutarnjih krugova pomnoženih s brojem PI: s \u003d (1/4) (d2 - D 2) π.

Kvadratna slika

Pretpostavimo da je unutar jednog kvadrata (a) još jedan (b) (manji), i moramo pronaći obojenu šupljinu između slika "A" i "B". Recimo samo, "okvir" malog trga. Za ovo:

1. Područje slike "A" (izračunate formulom mjesta trga).
2. Slično tome, nalazimo područje slike "B".
3. Odustajemo od područja "A" kvadrat "B". I tako dobivamo područje oslikane figure.

Sada znate kako pronaći područja različitih figura.

Da biste riješili zadatke geometrije, morate znati formule - kao što je područje trokuta ili područje paralelograma - kao i jednostavne tehnike koje ćemo reći.

Za početak, učimo formulu kvadrata figura. Posebno smo ih prikupili u prikladnom stolu. Ispis, Saznajte i primijenite!

Naravno, nisu sve formule geometrije u našem stolu. Na primjer, drugi trokutni kvadratni formule se također koriste za rješavanje problema prema geometriji i stereometriji u drugom dijelu profila pregleda u matematici. Definitivno ćemo reći o njima.

A što učiniti, ako trebate pronaći mjesto trapeza ili trokuta, ali neka vrsta složenog oblika? Postoje univerzalni načini! Pokažimo im na primjerima iz banke banke banke.

1. Kako pronaći područje nestandardnih figura? Na primjer, proizvoljni kvadriler? Jednostavan prijem - prekidamo ovu figuru onima koje svi znamo i pronađemo svoje područje - kao zbroj područja tih figura.

Ovaj kvadrilater podijelimo vodoravnom linijom s dva trokuta s zajedničkom osnovicom jednakom. Visine ovih trokuta jednake su i. Tada je područje kvadrata jednak zbroju područja dvaju trokuta :.

Odgovor:.

2. U nekim slučajevima, lik slike može biti predstavljen kao razlika između bilo kojeg prostora.

Nije tako lako izračunati što je baza i visina u ovom trokutu jednaki! Ali možemo reći da je njegovo područje jednak razliku u kvadratnim kvadratima sa strane i tri pravokutnog trokuta. Vidite ih na slici? Dobivamo :.

Odgovor:.

3. Ponekad u zadatku potrebno je pronaći područje ne cijeli broj, već njegove dijelove. Obično je ovdje o području sektora - dio kruga. Uključite područje sektora radijusa kruga, a duljina luka je jednaka .

Na ovoj slici vidimo dio kruga. Područje cijelog kruga je jednako od tada. Ostaje da znaju koji dio kruga je prikazan. Budući da je duljina cijelog kruga jednaka (kao), a dužina luka ovog sektora je jednaka Stoga je duljina luka u vremenu manja od duljine cijelog opsega. Kut na kojem se ovaj luk oslanja također je manji od punog kruga (to jest, stupnjevi). Dakle, područje sektora će biti manje od područja cijelog kruga.

Tu je beskonačan broj ravnih figura najrazličitijeg oblika, i desne i netočne. Ukupna imovina svih oblika - bilo koji od njih ima područje. Trg likova su dimenzije dijela ravnine koji zauzimaju ove brojke, izražene u određenim jedinicama. Taj se iznos uvijek izražava u pozitivnom broju. Jedinica mjere je kvadrat trga, čija je strana jednaka jedinici duljine (na primjer, jedan metar ili jedan centimetar). Približna vrijednost područja bilo koje figure može se izračunati množenjem broja pojedinačnih kvadrata na koji je slomljen na području jednog kvadrata.

Ostale definicije ovog koncepta izgledaju ovako:

1. Trg jednostavnih figura - skalarne pozitivne vrijednosti koje zadovoljavaju uvjete:

Na jednakim brojkama - jednake vrijednosti prostora;

Ako je brojka podijeljena na dijelove (jednostavne figure), njegovo područje je zbroj podatkovnih područja ličnosti;

Trg sa strane mjerne jedinice služi kao jedinicu površine.

2. kvadrat slike složenog oblika (poligoni) - pozitivne vrijednosti s svojstvima:

U jednakim poligonima - iste vrijednosti područja;

U slučaju da poligon čini nekoliko drugih poligona, područje je jednak zbroju potonjih područja. Ovo pravilo vrijedi za poligone koji nisu primatelji.

Kao što je aksioma odobren da je područje brojki (poligoni) pozitivne vrijednosti.

Određivanje površine kruga daje se odvojeno kao vrijednosti na koje se područje umetnuto u opseg ovog kruga nastoji - unatoč činjenici da je broj njegovih strana nastojeći za beskonačnost.

Područje netočnog oblika (proizvoljne slike) nema definicije, određuju se samo metode za njihov izračun.

Izračun trga u antici bio je važan praktični zadatak u određivanju veličine zemljišnih parcela. Pravila za izračunavanje područja već nekoliko stotina godina formulirali su grčki znanstvenici i nalaze se u "početku" euklidea kao teoreme. Zanimljivo je da su pravila za određivanje područja uobičajenih brojki u njima isto kao i danas. Područje s curvilinear krugom izračunat je korištenjem graničnog prijelaza.

Izračun područja jednostavnog pravokutnika, kvadrata), upoznati sa svima sa školskom klupom, vrlo je jednostavan. Nije potrebno čak zapamtiti s alfabetskim oznakama formule vrsta figura. Dovoljno je zapamtiti nekoliko jednostavnih pravila:

2. Područje pravokutnika izračunava se množenjem njegove duljine do širine. Potrebno je da se dužina i širina eksprimiraju u istim mjernim jedinicama.

3. Područje složene slike izračunava se dijeljenjem u nekoliko jednostavnih i preklapanja dobivenih područja.

4. Dijagonala pravokutnika dijeli ga u dva trokuta čija su područja jednaka i jednaka polovici njegovog područja.

5. Područje trokuta izračunava se kao polovica proizvoda svoje visine i baze.

6. Područje kruga jednako je proizvodu trga radijusa na dobro poznatom broju "π".

7. Područje paralelograma izračunava se kao proizvod povezanih strana i sinusa kuta koji leži između njih.

8. Rimsko područje - ½ rezultata umnožavanje dijagonala na unutarnjem kutu sinus.

9. Područje trapeza nalazimo množenje njegove visine na duljini srednje linije, koja je jednaka prosječnoj aritmetičkoj bazi. Druga mogućnost određivanja područja trapeza je umnožiti svoju dijagonalnu i sinus ispod kuta između njih.

Djeca u osnovnoj školi često se daju zadaci: pronađite područje nacrtane na papirnatim oblicima s paletom ili listom prozirnog papira, odvojene stanicama. Takav list papira se nadovezuje na izmjerenoj slici, smatra se da je broj punih stanica (jedinice površine), koji su se pretplatili na njegovu konturu, zatim broj nepotpunih, koji je podijeljen s pola.

Znanje o tome kako izmjeriti Zemlju, pojavio se u antici i postupno je uzeo geometriju u znanost. Od grčkog jezika, ova riječ je prevedena i prevedena - "Amerika".

Duljina duljine ravnog zemljišta Zemlje duž duljine i širine je područje. U matematici, to je obično označeno latinskim slovom s (s engleskog. Trg - "kvadrat", "kvadrat") ili grčko pismo σ (Sigma). S označava područje lik na ravnini ili površinu tijela, a σ je područje poprečnog presjeka žice u fizici. To su glavni likovi, iako postoji i drugi, na primjer, u području otpora materijala, a područje presjeka profila.

U kontaktu s

Formule za izračun

Znajući područja običnih brojki, možete pronaći parametre složenije, Antinički matematičari su izvedeni formula za koje ih lako možete izračunati. Takve brojke su trokut, Quadricle, poligon, krug.

Da biste pronašli područje složene ravne figure, podijeljena je na mnoge jednostavne brojke, kao što su trokuti, trapezoidi ili pravokutnici. Zatim s matematičkim metodama dobivaju formulu za područje ove brojke. Slična metoda se koristi ne samo u geometriji, već iu matematičkoj analizi za izračunavanje područja s brojkama ograničenih krivuljama.

Trokut

Počnimo s najjednostavnijom figurom - trokutom. Oni su pravokutni, prikladni i jednakostranični. Uzmite bilo koji ABC trokut s AB \u003d A, BC \u003d B i AC \u003d C (δ ABC). Da biste pronašli svoje područje, sjetite se poznate teoreme sinusa i kosinusa iz školskog tečaja matematike. Ostavljajući sve izračune, dođite na sljedeće formule:

• S \u003d √ - poznat na sve geron formule, gdje je p \u003d (a + b + c) / 2 poluvremena trokuta;
• S \u003d H / 2, gdje je H visina, spuštena na drugu a;
• S \u003d A B (sin γ) / 2, gdje je γ kut između stranaka A i B;
• S \u003d a b / 2 ako je δ abc pravokutni (ovdje i b - katete);
• S \u003d b² (grijeh (2 β)) / 2, ako je δ abc prethod (ovdje B je jedan od "hip", β je kut između "kukova" trokuta);
• S \u003d A2 √¾ ako je δ abc je jednakostraničan (ovdje - strana trokuta).

Quirhugon

Neka bude četvero-smeđi ABCD, koji ima AB \u003d A, BC \u003d B, CD \u003d C, ad \u003d d. Da biste pronašli područje s proizvoljnog 4-kvadrata, potrebno ga je podijeliti s dijagonalom od dva trokuta, čija područja S1 i S2 općenito nisu jednaki.

Zatim, prema formulama, izračunajte ih i presavijeni, tj. S \u003d S1 + S2. Međutim, ako 4-kvadrat pripada određenoj klasi, tada se njegovo područje može naći unaprijed poznato formule:

• S \u003d (A + C) H / 2 \u003d EH, ako je 4-kvadrat trapez (ovdje A i c - baza, E je srednja linija trapezij, H je visina, spuštena na jednu od baza od trapez;
• S \u003d ah \u003d ab grijeh φ \u003d d1 d2 (grijeh φ) / 2, ako ABCD paralelogrami (ovdje φ je kut između strana A i B, H - visina, spuštena na bočnu stranu A, D1 i D2 - dijagonalno) ;
• S \u003d a b \u003d d²/2, ako je ABCD pravokutnik (D - dijagonalno);
• S \u003d a² grijeh φ \u003d p² (grijeh φ) / 16 \u003d D1 d2 / 2, ako je ABCD ROBBUS (A - strana roomba, φ je jedan od njegovih kutova, P je perimetar);
• S \u003d a² \u003d p² / 16 \u003d d²/2, ako je ABCD kvadrat.

Poligon

Da biste pronašli područje N-kvadrata, matematika ga prekidaju na najjednostavnijim jednakim likovima - finale, pronađite područje svakog od njih, a zatim preklopite. Ali ako poligon pripada klasi ispravnog, tada se koristi formula:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d p² /, gdje je n broj vrhova (ili strane) poligona, a je strana N-kvadrata, P je njegov perimetar, H - apofem, tj. Segment provedeno iz središta poligona do jedne strane pod kutom od 90 °.

Krug

Krug je savršen poligon koji ima beskonačan broj strana, Moramo izračunati granicu izraza na desnoj strani u formuli područja poligona s brojem dijela N, nastojeći beskonačnosti. U tom slučaju, perimetar poligona će se pretvoriti u duljinu kruga radijusa R, koji će biti granica našeg kruga, i postat će jednak p \u003d 2 π. Zamijenit ćemo ovaj izraz u formulu gore navedeno. Dobit ćemo:

S \u003d (π² r² cos (180 ° / n)) / (n grijeh (180 ° / N)).

Pronađite granicu ovog izraza na n → ∞. Da biste to učinili, smatrajte da je Lim (cos (180 ° / N)) na n → ∞ je cos 0 ° \u003d 1 (lim - granični znak), a Lim \u003d Lim na n → ∞ je 1 / π (premjestili smo a Diplomirajte mjeru radijana koristeći omjer π je sretan \u003d 180 °, a prvi izvanredan granični granica (sin x) / x \u003d 1 na X → ∞ primijeniti). Zamjena u posljednjem izrazu za dobivene vrijednosti, dođite u dobro poznatu formulu:

S \u003d π²² r² 1 (1 / π) \u003d π r².

Jedinice

Koriste se jedinice bez sustava, Jedinice sustava odnose se na C (sustav međunarodne). Ovo je kvadratni metar (sq. Metar, m²) i jedinice izvedene iz njega: mm², cm², km².

U kvadratnim milimetrima (mm²), na primjer, izmjereno područje poprečnog presjeka žica u elektrotehniku, u kvadratnim centimetrama (cm²) - dio greda u građevnoj mehanici, u kvadratnim brojilima (m²) - apartmanima ili na Početna, četvornih kilometara (km²) - teritorij u geografiji.

Međutim, ponekad se koriste neke mjerne jedinice, kao što su: tkanje, ar (a), hektara (ha) i jutarnje (AC). Dajemo sljedeće omjere:

• 1 tkanje \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 hektara;
• 1 ha \u003d 100 A \u003d 100 hektara \u003d 10.000 m² \u003d 0,01 km² \u003d 2.471 zvučnici;
• 1 AC \u003d 4046.856 m² \u003d 40,47 A \u003d 40,47 hektara \u003d 0,405 hektara.

Određeni integralni. Kako izračunati područje slike

Idite na razmatranje integralnih aplikacija aplikacija. U ovoj lekciji analizirat ćemo tipičan i najčešći zadatak. - kako izračunati avion oblik s određenim integralom, Konačno, gledanje značenja u većoj matematici - naći će ga. Malo. Morat ćemo donijeti područje zemlje u život s elementarnim funkcijama i pronaći njegovo područje pomoću određenog integrala.

Za uspješan razvoj materijala potrebno je:

1) razumjeti neodređeni integralni barem prosječnu razinu. Dakle, čajnici bi trebali biti upoznati s lekcijom Ne.

2) biti u mogućnosti primijeniti Newton Labnic formulu i izračunati određeni integralni. Uspostaviti tople prijateljstva s određenim integralima na stranici Određeni integralni. Primjeri otopina.

Zapravo, kako bi se pronašlo područje lik, ne postoji takvo znanje o neizvjesnom i definiranom integralu. Zadatak "Izračunaj to područje uz pomoć određenog integralnog" uvijek podrazumijeva izgradnju crtežaStoga će mnogo više relevantnije pitanje biti vaše znanje i vještine izgradnje crteža. U tom smislu, korisno je osvježiti u sjećanje na grafiku glavnih elementarnih funkcija, a barem biti u stanju izgraditi ravnu, parabolu i hiperbolu. To se može učiniti (mnogo - potrebno) koristeći metodološki materijal i članke o geometrijskim transformacijama grafikona.

Zapravo, s zadatkom pronalaženja područja uz pomoć određenog integrala, svatko je upoznat iz škole, a mi ćemo jesti malo naprijed iz školskog programa. Ovaj članak nije mogao ni biti, ali činjenica je da se zadatak nalazi u 99 slučajeva od 100, kada student pati od mržnje s kulom s entuzijazmom koji odlazi tijekom veće matematike.

Materijali ove radionice prikazani su jednostavno, detaljno i uz minimalnu teoriju.

Počnimo s curvilinear trapezom.

Curvilinear trapez Ravna figura naziva se ograničena os, ravna i kontinuirani raspored na segmentu funkcije koja ne mijenja znak na ovom intervalu. Neka se ova slika nalazi ne manje Abscisa os:

Zatim područje curvilinear trapeza je numerički jednako određenom cjelokupnom, Bilo koji određeni integralni (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. U lekciji Određeni integralni. Primjeri otopina Rekao sam da je određeni integralni broj. A sada je vrijeme da navedite drugu korisnu činjenicu. Sa stajališta geometrije, određeni integralni je područje.

I.e, određeni integralni (ako postoji) geometrijski odgovara području neke lik, Na primjer, razmotrite određeni integralni. Funkcija integrakta postavlja krivulju na ravninu, koja se nalazi iznad osi (koja želi izvući crtež), a specifični integral je numerički jednak na području odgovarajućeg curvilinear trapeza.

Primjer 1.

Ovo je tipična formulacija zadatka. Prva i najvažnija točka odluke - izgradnja crteža, I crtež mora biti izgrađen PRAVO.

Prilikom izgradnje crteža preporučujem sljedeće narudžbe: prvi Bolje je izgraditi sve ravno (ako jesu) i samo kasnije - parabole, hiperbolas, rasporedi drugih funkcija. Funkcijski grafikoni su profitabilniji za izgradnju potkohoeS tehnikom check-in construction može se naći u referentnom materijalu. Grafikoni i svojstva osnovnih funkcija, Tamo možete naći i vrlo koristan materijal u odnosu na našu lekciju materijala - kako brzo izgraditi parabolu.

U tom zadatku, odluka može izgledati tako.
Izvedite crtež (imajte na umu da jednadžba postavlja os):

Neću udarati curvilinear trapez, ovdje je očito o kojem području postoji govor. Odluka se nastavlja ovako:

Na rasporedu segmenta nalazi se funkcija preko osi, tako:

Odgovor:

Tko ima poteškoća s izračunom određenog integrala i korištenje Newton-Leibinije formule , pogledajte predavanje Određeni integralni. Primjeri otopina.

Nakon završetka zadatka, uvijek je korisno pogledati crtež i procjenu, ispostavilo se da je pravi jedan. U ovom slučaju, "na očima" brojimo broj stanica na crtež - dobro, otprilike 9 će se letjeti, čini se istinom. Sasvim je jasno da ako smo imali, reći, odgovoriti: 20 kvadratnih jedinica, očito je da je pogreška napravljena negdje - na slici 20 stanica, očito nije opremljena, od snage desetak. Ako se odgovor pokazao negativnim, zadatak se također nepravilno odlučuje.

Primjer 2.

Izračunajte područje oblika, ograničenih linija i osi

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Što učiniti ako se nalazi curvilinear trapezium ispod osi?

Primjer 3.

Izračunajte područje oblika, ograničenih linija i koordinatne osi.

Odluka: Izvršite crtanje:

Ako se nalazi curvilinear trapezium ispod osi (ili barem ne viši Ova os), tada se njegovo područje može naći u formuli:
U ovom slučaju:

Pažnja! Nemojte brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako ste pozvani riješiti jednostavan integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda to može biti negativno.

2) Ako ste pozvani da pronađete brojku lik koristeći određeni integral, onda je područje uvijek pozitivno! Zato u samo razmatranoj formuli pojavljuje minus.

U praksi se brojka najčešće nalazi u gornjoj i donjoj polovici ravnine, i stoga, od najjednostavnijih školskih ljestvica, idite na više smisleni primjera.

Primjer 4.

Pronađite područje ravnog figura, ograničene linije.

Odluka: Prvo morate nacrtati crtež. Općenito govoreći, prilikom izgradnje crteža u zadacima na to područje, mi smo najviše zainteresirani za sjecište mjesta linija. Pronađite točke raskrižja parabole i izravne. To se može učiniti na dva načina. Prva metoda je analitička. Mi rješavamo jednadžbu:

Dakle, niža granica integracije, gornja granica integracije.
Na taj način je bolje, ako je moguće, ne koristite.

Mnogo je profitabilnije i brže za izgradnju linija linije, dok se granice integracije razjašnjavaju kao da "po sebi". Tehnika prestanka za razne grafikone se detaljno razmatra u pomoći Grafikoni i svojstva osnovnih funkcija , Međutim, analitički način pronalaženja ograničenja nakon svega, ponekad je potrebno primijeniti ako, na primjer, raspored je dovoljno velik, ili obučena konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti djelomične ili iracionalne). I takav primjer, također smatramo.

Vraćamo se na naš zadatak: više racionalni prvi izgraditi ravnu liniju i tek tada Parabola. Izvršite crtanje:

Ponavljam to u sadašnjoj konstrukciji, granice integracije najčešće se mogu naći od strane "automatskog".

I sada radna formula: Ako se na segmentu neke kontinuirane funkcije više ili jednako Neka kontinuirana funkcija, područje slike, ograničeno grafikonima ovih funkcija i izravno, može se naći u formuli:

Ovdje više nije potrebno razmisliti gdje se nalazi lik - preko osi ili ispod osi, i, grubo govoreći, važno što je grafikon iznad(u odnosu na drugi raspored) i što - ispod.

U ovom primjeru, očito je da se na segmentu Parabole nalazi iznad ravno, i stoga je potrebno oduzeti

Dovršetak rješenja može izgledati ovako:

Željena brojka je ograničena na parabolu odozgo i izravno dno.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Zapravo, školska formula za područje curvilinear trapeza u donjoj pola ravnine (vidi jednostavan primjer br. 3) - poseban slučaj formule , Budući da je os definirana jednadžbom, a funkcija se nalazi ne viši Os, T.

I sada nekoliko primjera za neovisnu odluku

Primjer 5.

Primjer 6.

Pronađite područje lik ograničenih linija.

Tijekom rješavanja zadataka za izračunavanje područja s određenim integralom, ponekad se javlja smiješni slučaj. Crtež je ispravno dovršen, izračuni - desno, ali intenziviran ... otkrili da područje nije likDa je tako pakiran vaš ponizni sluga. Ovdje je pravi slučaj od života:

Primjer 7.

Izračunajte područje oblika, ograničene linije ,,,.

Odluka: Prvo napravite crtež:

... oh, crtež Khrenynsky je izašao, ali čini se da sve izgleda da se skuplja.

Slika čije područje moramo pronaći je zasjenjeno plavom bojom (Pažljivo pogledajte stanje - nego lik je ograničen!). Ali u praksi, "glitch" često se javlja u uvjetima, koje trebate pronaći područje lik, što je zasjenjeno zelenim!

Ovaj primjer je još uvijek koristan i činjenica da se u njemu područje slike smatra pomoću dva specifična integrala. Stvarno:

1) ravan raspored nalazi se na segmentu iznad osi;

2) Na segmentu iznad osi nalazi se graf hiperbola.

Jasno je da kvadrat može (i treba) razgraditi, pa:

Odgovor:

Idite na drugi materijalni zadatak.

Primjer 8.

Izračunajte područje oblika, ograničene linije,
Zamislite jednadžbu u obliku "škole" i obavite trenutni crtež:

S crteže je jasno da gornja granica imamo "dobro" :.
Ali što je donja granica?! Jasno je da to nije cijeli broj, ali što? Može biti ? Ali gdje je jamstvo da je crtež napravljen sa savršenom točnošću, to može biti tako. Ili korijen. A ako smo općenito nepropisno izgradili raspored?

U takvim slučajevima, morate potrošiti dodatno vrijeme i odrediti granice integracije analitički.

Pronađite presječne točke izravnog i parabole.
Da biste to učinili, riješite jednadžbu:


,

Doista.

Daljnje rješenje je trivijalno, glavna stvar se ne može zbuniti u zamjenama i znakovima, izračuni ovdje nisu najjednostavniji.

Na rez Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Pa, iu zaključenju lekcije, razmotrite dva zadatka teže.

Primjer 9.

Izračunajte područje oblika, ograničene linije,

Odluka: Pokažite ovaj oblik na crtežu.

Prokletstvo, zaboravio je raspored za potpisivanje, ali da biste ponovili sliku, žao mi je, ne hotz. Nije naslijeđen, kraći, dan danas \u003d)

Za trenutnu konstrukciju morate znati izgled sinusoida (i općenito je korisno znati grafovi svih osnovnih funkcija), kao i neke vrijednosti sinusa, mogu se naći u trigonometrijski stol, U nekim slučajevima (kao iu tome), dopušteno je izgraditi shematski crtež na kojem se grafikoni i granice integracije moraju odraziti u načelu.

Uz granice integracije, ovdje nema problema, oni slijede izravno iz uvjeta: - "X" varira od nule do "PI". Izrađujemo daljnje rješenje:

Na segmentu, grafikon funkcije nalazi se iznad osi, pa: