Primjeri parnih i neparnih funkcija. Parne i neparne funkcije. Osnovna svojstva funkcija

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

formulirati pojam parnih i neparnih funkcija, naučiti sposobnost određivanja i korištenja tih svojstava pri proučavanju funkcija i konstruiranju grafova;
razvijati kreativnu aktivnost učenika, logično razmišljanje, sposobnost uspoređivanja i generaliziranja;
njegovati marljivost i matematičku kulturu; razvijati komunikacijske vještine .

Oprema: multimedijska instalacija, interaktivna ploča, materijali.

Oblici rada: frontalni i grupni s elementima tragajuće i istraživačke aktivnosti.

Izvori informacija:

1. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Problemska knjiga.
3. Algebra 9. razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TIJEKOM NASTAVE

1. Organizacijski trenutak

Postavljanje ciljeva i zadataka lekcije.

2. Provjera domaće zadaće

10.17 (zadatak za 9. razred. A.G. Mordkovich).

A) na = f(x), f(x) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 at x ~ 0,4
4. f(x) >0 pri x > 0,4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. Funkcija se povećava kada x € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. na ime = – 3, na naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.

(Jeste li koristili algoritam za istraživanje funkcija?) slajd.

2. Provjerimo tablicu koju ste pitali sa slajda.

Ispunite tablicu
	Domena	Funkcijske nule	Intervali predznaka		Koordinate točaka presjeka grafa s Oy
	Domena	Funkcijske nule			Koordinate točaka presjeka grafa s Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Obnavljanje znanja

– Funkcije su zadane.
– Navedite opseg definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i – 2.
– Za koje od ovih funkcija u domeni definicije vrijede jednakosti f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (dobivene podatke unijeti u tablicu) slajd

		f(1) i f(– 1)	f(2) i f(– 2)	grafika	f(– x) = –f(x)	f(– x) = f(x)
1. f(x) =
2. f(x) = x 3
3. f(x) = \| x \|
4.f(x) = 2x – 3
5. f(x) =	x ≠ 0
6. f(x)=	x > –1		a nije definiran

4. Novi materijal

– Dok smo radili ovaj posao, dečki, identificirali smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ne manje važno od ostalih – to je parnost i neparnost funkcije. Zapišite temu lekcije: "Parne i neparne funkcije", naš zadatak je naučiti odrediti parnost i neparnost funkcije, saznati značaj ovog svojstva u proučavanju funkcija i crtanju grafova.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . slajd

Def. 1 Funkcija na = f (x), definirana na skupu X naziva se čak, ako za bilo koju vrijednost xÊ X se izvršava jednakost f(–x)= f(x). Navedite primjere.

Def. 2 Funkcija y = f(x), definiran na skupu X naziva se neparan, ako za bilo koju vrijednost xÊ X vrijedi jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.

Gdje smo susreli pojmove "par" i "nepar"?
Što mislite, koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koje su neparne? Zašto?
Za bilo koju funkciju forme na= x n, Gdje n– cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna kada n– neparan i funkcija je parna kada n– čak.
– Prikaz funkcija na= i na = 2x– 3 nisu ni parni ni neparni jer jednakosti nisu zadovoljene f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

Proučavanje je li funkcija parna ili neparna naziva se proučavanje pariteta funkcije. slajd

U definicijama 1 i 2 govorilo se o vrijednostima funkcije na x i – x, pri čemu se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti x, i na – x.

Def 3. Ako numerički skup, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element –x, tada skup x nazivamo simetričnim skupom.

Primjeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su asimetrični.

– Imaju li parne funkcije domenu definiranja koja je simetrični skup? One čudne?
– Ako je D( f) je asimetričan skup, što je onda funkcija?
– Dakle, ako funkcija na = f(x) – par ili nepar, tada je njegova domena definicije D( f) je simetričan skup. Je li obrnuta tvrdnja istinita: ako je domena definiranja funkcije simetričan skup, je li on paran ili neparan?
– To znači da je postojanje simetričnog skupa domene definiranja nužan uvjet, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako ispitati paritet funkcije? Pokušajmo stvoriti algoritam.

slajd

Algoritam za proučavanje funkcije za parnost

1. Utvrditi je li područje definicije funkcije simetrično. Ako nije, tada funkcija nije ni parna ni neparna. Ako da, prijeđite na korak 2 algoritma.

2. Napiši izraz za f(–x).

3. Usporedi f(–x).I f(x):

Ako f(–x).= f(x), tada je funkcija parna;
Ako f(–x).= – f(x), tada je funkcija neparna;
Ako f(–x) ≠ f(x) I f(–x) ≠ –f(x), tada funkcija nije ni parna ni neparna.

Primjeri:

Ispitajte parnost funkcije a). na= x 5 +; b) na= ; V) na= .

Riješenje.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrični skup.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x)= x 5 + neparan.

b) y =,

na = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrični skup, što znači da funkcija nije ni parna ni neparna.

V) f(x) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opcija 2

1. Je li zadani skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Ispitajte funkciju za paritet:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Na sl. izgrađen je grafikon na = f(x), za sve x, zadovoljavajući uvjet x? 0.
Grafikirajte funkciju na = f(x), Ako na = f(x) je parna funkcija.

3. Na sl. izgrađen je grafikon na = f(x), za sve x koji zadovoljavaju uvjet x? 0.
Grafikirajte funkciju na = f(x), Ako na = f(x) je neparna funkcija.

Uključena međusobna provjera tobogan.

6. Domaća zadaća: №11.11, 11.21,11.22;

Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.

***(Dodjela opcije jedinstvenog državnog ispita).

1. Neparna funkcija y = f(x) definirana je na cijelom brojevnom pravcu. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije podudara se s vrijednošću funkcije g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Odredite vrijednost funkcije h( x) = na x = 3.

7. Sažimanje

Definicija 1. Funkcija se zove čak (neparan ), ako je zajedno sa svakom vrijednošću varijable
značenje - x također pripada
i jednakost vrijedi

Dakle, funkcija može biti parna ili neparna samo ako je njezino područje definicije simetrično oko ishodišta koordinata na brojevnom pravcu (broj x i - x pripadaju u isto vrijeme
). Na primjer, funkcija
nije ni paran ni neparan, jer je njegova domena definicije
nije simetričan u pogledu podrijetla.

Funkcija
čak, jer
simetričan o podrijetlu i.

Funkcija
čudno, jer
I
.

Funkcija
nije paran i neparan, jer iako
i simetričan je u odnosu na ishodište, jednakosti (11.1) nisu zadovoljene. Na primjer,.

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os OU, jer ako je točka

također pripada rasporedu. Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište, budući da ako
pripada grafu, zatim točka
također pripada rasporedu.

Pri dokazivanju je li funkcija parna ili neparna korisne su sljedeće tvrdnje.

Teorema 1. a) Zbroj dviju parnih (neparnih) funkcija je parna (neparna) funkcija.

b) Umnožak dviju parnih (neparnih) funkcija je parna funkcija.

c) Umnožak parne i neparne funkcije je neparna funkcija.

d) Ako f– ujednačena funkcija na setu x, i funkcija g definirana na setu
, zatim funkcija
– čak.

d) Ako f– neobična funkcija na setu x, i funkcija g definirana na setu
a par (nepar), onda funkcija
– parni (neparni).

Dokaz. Dokažimo npr. b) id).

b) Neka
I
– ravnomjerne funkcije. Onda, dakle. Slično se tretira slučaj neparnih funkcija
I
.

d) Neka f je parna funkcija. Zatim.

Preostale tvrdnje teorema mogu se dokazati na sličan način. Teorem je dokazan.

Teorema 2. Bilo koja funkcija
, definiran na skupu x, simetričan oko ishodišta, može se prikazati kao zbroj parnih i neparnih funkcija.

Dokaz. Funkcija
može se napisati u obliku

Funkcija
– čak, jer
, i funkcija
– čudno, jer. Tako,
, Gdje
– čak, i
– neparne funkcije. Teorem je dokazan.

Definicija 2. Funkcija
nazvao periodički , ako postoji broj
, takav da za bilo koji
brojevima
I
također spadaju u domenu definicije
a jednakosti su zadovoljene

Takav broj T nazvao razdoblje funkcije
.

Iz definicije 1 slijedi da ako T– razdoblje trajanja funkcije
, zatim broj – T Isti je period funkcije
(od trenutka zamjene T na - T održava se ravnopravnost). Metodom matematičke indukcije može se pokazati da ako T– razdoblje trajanja funkcije f, onda
, također je točka. Iz toga slijedi da ako funkcija ima period, onda ima beskonačno mnogo perioda.

Definicija 3. Najmanji od pozitivnih perioda funkcije naziva se njen glavni razdoblje.

Teorema 3. Ako T– glavno razdoblje funkcije f, tada su preostala razdoblja višekratnici toga.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, to jest da postoji razdoblje funkcije f (>0), ne višestruko T. Zatim, dijeljenje na T s ostatkom, dobivamo
, Gdje
. Zato

to je – razdoblje trajanja funkcije f, i
, a to je u suprotnosti s činjenicom da T– glavno razdoblje funkcije f. Tvrdnja teorema slijedi iz rezultirajuće kontradikcije. Teorem je dokazan.

Dobro je poznato da su trigonometrijske funkcije periodične. Glavno razdoblje
I
jednaki
,
I
. Nađimo period funkcije
. Neka
- razdoblje ove funkcije. Zatim

(jer
.

oror
.

Značenje T, određena iz prve jednakosti, ne može biti period, budući da ovisi o x, tj. je funkcija od x, a ne konstantan broj. Period se određuje iz druge jednakosti:
. Postoji beskonačno mnogo razdoblja, sa
najmanji pozitivni period dobiva se pri
:
. Ovo je glavno razdoblje funkcije
.

Primjer složenije periodičke funkcije je Dirichletova funkcija

Imajte na umu da ako T je onda racionalan broj
I
su racionalni brojevi za racionalno x a iracionalno kad je iracionalno x. Zato

za bilo koji racionalni broj T. Prema tome, svaki racionalni broj T je period Dirichletove funkcije. Jasno je da ova funkcija nema glavnu periodu, jer postoje pozitivni racionalni brojevi koji su proizvoljno blizu nule (na primjer, racionalan broj se može napraviti odabirom n proizvoljno blizu nule).

Teorema 4. Ako je funkcija f definirana na setu x i ima razdoblje T, i funkcija g definirana na setu
, zatim složena funkcija
također ima razdoblje T.

Dokaz. Imamo, dakle

odnosno tvrdnja teoreme je dokazana.

Na primjer, budući da cos x ima razdoblje
, zatim funkcije
imati mjesečnicu
.

Definicija 4. Funkcije koje nisu periodične nazivaju se neperiodičan .

čak, ako za sve \(x\) iz njegove domene definicije vrijedi sljedeće: \(f(-x)=f(x)\) .

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os \(y\):

Primjer: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) je parna, jer \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Poziva se funkcija \(f(x)\). neparan, ako za sve \(x\) iz njegove domene definicije vrijedi sljedeće: \(f(-x)=-f(x)\) .

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište:

Primjer: funkcija \(f(x)=x^3+x\) je neparna jer \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funkcije koje nisu ni parne ni neparne nazivaju se funkcijama općeg oblika. Takva se funkcija uvijek može jednoznačno prikazati kao zbroj parne i neparne funkcije.

Na primjer, funkcija \(f(x)=x^2-x\) je zbroj parne funkcije \(f_1=x^2\) i neparne \(f_2=-x\) .

\(\crnitrokutdesno\) Neka svojstva:

1) Umnožak i kvocijent dviju funkcija iste parnosti je parna funkcija.

2) Umnožak i kvocijent dviju funkcija različitih pariteta je neparna funkcija.

3) Zbroj i razlika parnih funkcija – parna funkcija.

4) Zbroj i razlika neparnih funkcija - neparna funkcija.

5) Ako je \(f(x)\) parna funkcija, tada jednadžba \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ima jedinstveni korijen ako i samo kada \( x =0\) .

6) Ako je \(f(x)\) parna ili neparna funkcija, a jednadžba \(f(x)=0\) ima korijen \(x=b\), tada će ova jednadžba nužno imati drugu korijen \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) se zove periodična na \(X\) ako za neki broj \(T\ne 0\) vrijedi sljedeće: \(f(x)=f( x+T) \) , gdje je \(x, x+T\u X\) . Najmanji \(T\) za koji je ova jednakost zadovoljena zove se glavni (glavni) period funkcije.

Periodična funkcija ima bilo koji broj oblika \(nT\) , gdje će \(n\in \mathbb(Z)\) također biti period.

Primjer: svaka trigonometrijska funkcija je periodična;
za funkcije \(f(x)=\sin x\) i \(f(x)=\cos x\) glavni period je jednak \(2\pi\), za funkcije \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) i \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) glavni period je jednak \(\pi\) .

Kako biste konstruirali graf periodične funkcije, možete iscrtati njezin graf na bilo kojem segmentu duljine \(T\) (glavna perioda); tada se graf cijele funkcije dovršava pomakom konstruiranog dijela za cijeli broj perioda udesno i ulijevo:

\(\blacktriangleright\) Domena \(D(f)\) funkcije \(f(x)\) je skup koji se sastoji od svih vrijednosti argumenta \(x\) za koje funkcija ima smisla (je definirano).

Primjer: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) ima domenu definicije: \(x\in

Zadatak 1 #6364

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pri kojim vrijednostima parametra \(a\) vrijedi jednadžba

ima jedno rješenje?

Imajte na umu da budući da su \(x^2\) i \(\cos x\) parne funkcije, ako jednadžba ima korijen \(x_0\) , imat će i korijen \(-x_0\) .
Doista, neka je \(x_0\) korijen, odnosno jednakost \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) pravo. Zamijenimo \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Dakle, ako je \(x_0\ne 0\) , tada će jednadžba već imati najmanje dva korijena. Prema tome, \(x_0=0\) . Zatim:

Dobili smo dvije vrijednosti za parametar \(a\) . Imajte na umu da smo koristili činjenicu da je \(x=0\) točno korijen izvorne jednadžbe. Ali nikada nismo koristili činjenicu da je on jedini. Stoga trebate zamijeniti dobivene vrijednosti parametra \(a\) u izvornu jednadžbu i provjeriti za koji će specifični \(a\) korijen \(x=0\) stvarno biti jedinstven.

1) Ako \(a=0\) , tada će jednadžba imati oblik \(2x^2=0\) . Očito, ova jednadžba ima samo jedan korijen \(x=0\) . Dakle, vrijednost \(a=0\) nam odgovara.

2) Ako \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tada će jednadžba imati oblik \ Prepišimo jednadžbu u obliku \ Jer \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), To \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Prema tome, vrijednosti desne strane jednadžbe (*) pripadaju segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Budući da je \(x^2\geqslant 0\) , tada je lijeva strana jednadžbe (*) veća ili jednaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Dakle, jednakost (*) može biti istinita samo kada su obje strane jednadžbe jednake \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A ovo znači to \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Stoga nam odgovara vrijednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Odgovor:

\(a\u \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

2. zadatak #3923

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od njih graf funkcije \

simetričan u odnosu na podrijetlo.

Ako je graf funkcije simetričan oko ishodišta, tada je takva funkcija neparna, odnosno \(f(-x)=-f(x)\) vrijedi za bilo koji \(x\) iz domene definicije funkcije. Dakle, potrebno je pronaći one vrijednosti parametara za koje \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\lijevo(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\lijevo(3\mathrm(tg)\,\lijevo(\dfrac(ax)5\desno)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \desna strelica \quad2\sin \dfrac12\lijevo(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \lijevo(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \kraj(poravnano)\]

Posljednja jednadžba mora biti zadovoljena za sve \(x\) iz domene \(f(x)\), prema tome, \(\sin(2\pi a)=0 \desna strelica a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Odgovor:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Zadatak 3 #3069

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih jednadžba \ ima 4 rješenja, gdje je \(f\) parna periodična funkcija s periodom \(T=\dfrac(16)3\) definiran na cijelom brojevnom pravcu , i \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Zadatak od pretplatnika)

Zadatak 4 #3072

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti \(a\) , za svaku od njih jednadžba \

ima barem jedan korijen.

(Zadatak od pretplatnika)

Prepišimo jednadžbu u obliku \ i razmotrimo dvije funkcije: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcija \(g(x)\) je parna i ima točku minimuma \(x=0\) (i \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) je opadajuća, a za \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Doista, kada se \(x>0\) drugi modul otvori pozitivno (\(|x|=x\)), dakle, bez obzira na to kako će se otvoriti prvi modul, \(f(x)\) bit će jednako na \( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz za \(a\), a \(k\) je jednako \(-9\) ili \(-3\) . Kada \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Nađimo vrijednost \(f\) u najvećoj točki: \

Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, potrebno je da grafovi funkcija \(f\) i \(g\) imaju barem jednu sjecišnu točku. Stoga vam je potrebno: \ Rješavanjem ovog skupa sustava dobivamo odgovor: \\]

Odgovor:

\(a\u \(-7\)\šalica\)

Zadatak 5 #3912

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \

ima šest različitih rješenja.

Izvršimo zamjenu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Tada će jednadžba poprimiti oblik \ Postupno ćemo ispisati uvjete pod kojima će izvorna jednadžba imati šest rješenja.
Imajte na umu da kvadratna jednadžba \((*)\) može imati najviše dva rješenja. Svaka kubna jednadžba \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ne može imati više od tri rješenja. Stoga, ako jednadžba \((*)\) ima dva različita rješenja (pozitivna!, jer \(t\) mora biti veće od nule) \(t_1\) i \(t_2\) , tada, praveći obrnuto zamjenom, dobivamo: \[\lijevo[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\kraj(poravnano)\kraj(sakupljeno)\desno.\] Budući da se bilo koji pozitivni broj može donekle predstaviti kao \(\sqrt2\), na primjer, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), tada će prva jednadžba skupa biti prepisana u obliku \ Kao što smo već rekli, svaka kubna jednadžba nema više od tri rješenja, stoga svaka jednadžba u skupu neće imati više od tri rješenja. To znači da cijeli set neće imati više od šest rješenja.
To znači da kako bi izvorna jednadžba imala šest rješenja, kvadratna jednadžba \((*)\) mora imati dva različita rješenja, a svaka rezultirajuća kubna jednadžba (iz skupa) mora imati tri različita rješenja (a ne jedno rješenje jedna se jednadžba treba podudarati s bilo kojom -odlukom druge!)
Očito, ako kvadratna jednadžba \((*)\) ima jedno rješenje, tada nećemo dobiti šest rješenja izvorne jednadžbe.

Dakle, plan rješenja postaje jasan. Zapišimo uvjete koji moraju biti ispunjeni točku po točku.

1) Da bi jednadžba \((*)\) imala dva različita rješenja, njezina diskriminanta mora biti pozitivna: \

2) Također je potrebno da oba korijena budu pozitivna (jer \(t>0\) ). Ako je umnožak dva korijena pozitivan i njihov zbroj pozitivan, tada će i sami korijeni biti pozitivni. Stoga vam je potrebno: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Dakle, već smo sebi osigurali dva različita pozitivna korijena \(t_1\) i \(t_2\) .

3) Pogledajmo ovu jednadžbu \ Za koliko će \(t\) imati tri različita rješenja?
Razmotrimo funkciju \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Može se faktorizirati: \ Stoga su njegove nule: \(x=-1;2\) .
Ako nađemo derivaciju \(f"(x)=3x^2-6x\) , tada ćemo dobiti dvije točke ekstremuma \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Dakle, grafikon izgleda ovako:

Vidimo da svaka horizontalna linija \(y=k\) , gdje \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) imao tri različita rješenja, potrebno je da \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Dakle, trebate: \[\početak(slučajevi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Također odmah primijetimo da ako su brojevi \(t_1\) i \(t_2\) različiti, tada će brojevi \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) biti različite, što znači jednadžbe \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) I \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) imat će različite korijene.
Sustav \((**)\) može se prepisati na sljedeći način: \[\početak(slučajevi) 1

Dakle, utvrdili smo da oba korijena jednadžbe \((*)\) moraju ležati u intervalu \((1;4)\) . Kako napisati ovaj uvjet?
Nećemo eksplicitno ispisivati korijene.
Razmotrimo funkciju \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Njegov graf je parabola s granama prema gore, koja ima dvije sjecišne točke s x-osi (zapisali smo ovaj uvjet u paragrafu 1)). Kako bi trebao izgledati njegov graf da sjecišne točke s x-osi budu u intervalu \((1;4)\)? Tako:

Prvo, vrijednosti \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcije u točkama \(1\) i \(4\) moraju biti pozitivne, a drugo, vrh parabola \(t_0\ ) također mora biti u intervalu \((1;4)\) . Stoga možemo napisati sustav: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

Dakle, trebamo presjeći vrijednosti parametra \(a\) koje se nalaze u 1., 2. i 3. točki, i dobit ćemo odgovor: \[\begin(cases) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\ 4

Sakrij Prikaži

Metode za specificiranje funkcije

Neka je funkcija dana formulom: y=2x^(2)-3. Dodjeljivanjem bilo koje vrijednosti neovisnoj varijabli x, pomoću ove formule možete izračunati odgovarajuće vrijednosti ovisne varijable y. Na primjer, ako je x=-0,5, tada pomoću formule nalazimo da je odgovarajuća vrijednost y y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Uzimajući bilo koju vrijednost koju uzima argument x u formuli y=2x^(2)-3, možete izračunati samo jednu vrijednost funkcije koja joj odgovara. Funkcija se može prikazati kao tablica:

x	−2	−1	0	1	2	3
g	−4	−3	−2	−1	0	1

Koristeći ovu tablicu, možete vidjeti da će za vrijednost argumenta -1 odgovarati vrijednost funkcije -3; a vrijednost x=2 će odgovarati y=0, itd. Također je važno znati da svaka vrijednost argumenta u tablici odgovara samo jednoj vrijednosti funkcije.

Više funkcija može se specificirati pomoću grafova. Pomoću grafa utvrđuje se koja vrijednost funkcije korelira s određenom vrijednošću x. Najčešće će to biti približna vrijednost funkcije.

Parna i neparna funkcija

Funkcija je ravnomjerna funkcija, kada je f(-x)=f(x) za bilo koji x iz domene definicije. Takva funkcija će biti simetrična u odnosu na os Oy.

Funkcija je neparna funkcija, kada je f(-x)=-f(x) za bilo koji x iz domene definicije. Takva funkcija će biti simetrična u odnosu na ishodište O (0;0) .

Funkcija je čak ni, ni čudno i zove se opća funkcija, kada nema simetriju oko osi ili ishodišta.

Ispitajmo sljedeću funkciju pariteta:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) sa simetričnom domenom definicije u odnosu na ishodište. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

To znači da je funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) neparna.

Periodična funkcija

Funkcija y=f(x) , u čijoj domeni za bilo koji x vrijedi jednakost f(x+T)=f(x-T)=f(x), naziva se periodična funkcija s periodom T \neq 0 .

Ponavljanje grafa funkcije na bilo kojem segmentu x-osi koji ima duljinu T.

Intervali u kojima je funkcija pozitivna, tj. f(x) > 0, su segmenti apscisne osi koji odgovaraju točkama grafa funkcije koje leže iznad apscisne osi.

f(x) > 0 uključeno (x_(1); x_(2)) \čaša (x_(3); +\infty)

Intervali u kojima je funkcija negativna, tj. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \čaša (x_(2); x_(3))

Ograničena funkcija

Omeđeno odozdo Uobičajeno je pozvati funkciju y=f(x), x \in X kada postoji broj A za koji nejednakost f(x) \geq A vrijedi za bilo koji x \in X .

Primjer funkcije ograničene odozdo: y=\sqrt(1+x^(2)) budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 za bilo koji x .

Omeđeno odozgo funkcija y=f(x), x \in X se poziva kada postoji broj B za koji nejednakost f(x) \neq B vrijedi za bilo koji x \in X .

Primjer dolje ograničene funkcije: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 za bilo koji x \in [-1;1] .

ograničeno Uobičajeno je pozvati funkciju y=f(x), x \in X kada postoji broj K > 0 za koji vrijedi nejednakost \left | f(x)\desno | \neq K za bilo koji x \u X .

Primjer ograničene funkcije: y=\sin x ograničena je na cijeloj brojčanoj osi, jer \lijevo | \sin x \desno | \neq 1.

Rastuća i opadajuća funkcija

Uobičajeno je govoriti o funkciji koja raste na intervalu koji se razmatra kao povećanje funkcije onda, kada većoj vrijednosti x odgovara veća vrijednost funkcije y=f(x) . Slijedi da uzimanje dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) iz intervala koji se razmatra, s x_(1) > x_(2) , rezultat će biti y(x_(1)) > y(x_(2)).

Naziva se funkcija koja opada na promatranom intervalu opadajuća funkcija kada većoj vrijednosti x odgovara manja vrijednost funkcije y(x) . Slijedi da, uzimajući iz razmatranog intervala dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) , i x_(1) > x_(2) , rezultat će biti y(x_(1))< y(x_{2}) .

Korijeni funkcije Uobičajeno je da se točke u kojima funkcija F=y(x) siječe os apscisa nazivaju (dobive se rješavanjem jednadžbe y(x)=0).

a) Ako za x > 0 parna funkcija raste, onda za x opada< 0

b) Kada parna funkcija opada pri x > 0, tada raste pri x< 0

c) Kad neparna funkcija raste pri x > 0, tada raste i pri x< 0

d) Kada neparna funkcija opada za x > 0, tada će također opadati za x< 0

Ekstremi funkcije

Minimalna točka funkcije y=f(x) obično se naziva točka x=x_(0) čije će susjedstvo imati druge točke (osim točke x=x_(0)), a za njih će tada vrijediti nejednakost f(x) > f zadovoljan (x_(0)) . y_(min) - oznaka funkcije u točki min.

Maksimalna točka funkcije y=f(x) obično se naziva točka x=x_(0) čije će susjedstvo imati druge točke (osim točke x=x_(0)), a za njih će tada biti zadovoljena nejednakost f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Preduvjet

Prema Fermatovom teoremu: f"(x)=0 kada će funkcija f(x) koja je diferencijabilna u točki x_(0) imati ekstrem u ovoj točki.

Dovoljno stanje

Kada derivacija promijeni predznak iz plusa u minus, tada će x_(0) biti minimalna točka;
x_(0) - bit će maksimalna točka samo kada derivacija promijeni predznak iz minus u plus pri prolasku kroz stacionarnu točku x_(0) .

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu

Koraci izračuna:

Trazi se derivacija f"(x);
Nalaze se stacionarne i kritične točke funkcije i odabiru one koje pripadaju segmentu;
Vrijednosti funkcije f(x) nalaze se na stacionarnim i kritičnim točkama i krajevima segmenta. Što će manji od dobivenih rezultata biti najmanja vrijednost funkcije, i više - Najveći.