Kontrollige pöördmaatriksit. Maatriksmeetod slough'i lahendamiseks: näide lahendamisest pöördmaatriksi abil. Pöördmaatriksi leidmine Gaussi eliminatsiooni abil

Tavaliselt kasutatakse keeruliste algebraavaldiste lihtsustamiseks pöördtehteid. Näiteks kui ülesanne sisaldab murdarvuga jagamise tehteid, saate selle asendada pöördmurruga korrutamise operatsiooniga, mis on pöördtehe. Veelgi enam, maatriksiid ei saa jagada, seega peate korrutama maatriksi pöördväärtusega. 3x3 maatriksi pöördväärtuse arvutamine on tüütu, kuid peate saama seda käsitsi teha. Pöördarvu leiate ka hea graafikakalkulaatoriga.

Sammud

Adjungintmaatriksiga

Transponeerige algne maatriks. Transponeerimine on ridade asendamine veergudega maatriksi põhidiagonaali suhtes, see tähendab, et peate elemendid (i, j) ja (j, i) vahetama. Sellisel juhul ei muutu põhidiagonaali elemendid (alates vasakpoolsest ülanurgast ja lõppedes paremas alumises nurgas).

Ridade vahetamiseks veergude vastu kirjutage esimese rea üksused esimesse veergu, teise rea üksused teise ja kolmanda rea üksused kolmandasse veergu. Elementide asukoha muutmise järjekord on näidatud joonisel, kus vastavad elemendid on ümbritsetud värviliste ringidega.

Leidke iga 2x2 maatriksi definitsioon. Iga maatriksi element, sealhulgas transponeeritud, on seotud vastava 2x2 maatriksiga. Konkreetsele elemendile vastava 2x2 maatriksi leidmiseks kriipsutage maha rida ja veerg, milles see element asub, see tähendab, et peate läbi kriipsutama viis algse 3x3 maatriksi elementi. Ristimata jääb neli elementi, mis on vastava 2x2 maatriksi elemendid.

Näiteks 2x2 maatriksi leidmiseks elemendi jaoks, mis asub teise rea ja esimese veeru ristumiskohas, kriipsutage läbi viis elementi, mis asuvad teises reas ja esimeses veerus. Ülejäänud neli elementi on vastava 2x2 maatriksi elemendid.
Leidke iga 2x2 maatriksi determinant. Selleks lahutatakse põhidiagonaali elementide korrutis teisese diagonaali elementide korrutis (vt joonist).
Üksikasjalikku teavet 3x3 maatriksi konkreetsetele elementidele vastavate 2x2 maatriksite kohta leiate Internetist.

Looge kofaktorite maatriks. Salvestage varem saadud tulemused uue kofaktorite maatriksi kujul. Selleks kirjuta iga 2x2 maatriksi leitud determinant, kus asus vastav 3x3 maatriksi element. Näiteks kui võtame arvesse elemendi (1,1) maatriksit 2x2, kirjutage selle determinant positsioonile (1,1). Seejärel muutke vastavate elementide märke vastavalt teatud skeemile, mis on näidatud joonisel.

Märkide muutmise skeem: esimese rea esimese elemendi märk ei muutu; esimese rea teise elemendi märk pööratakse ümber; esimese rea kolmanda elemendi märk ei muutu ja nii rida-realt. Pange tähele, et diagrammil näidatud märgid "+" ja "-" (vt joonist) ei näita, et vastav element on positiivne või negatiivne. Sel juhul näitab "+" märk, et elemendi märk ei muutu, ja - märk näitab, et elemendi märk on muutunud.
Üksikasjalikku teavet kofaktorite maatriksite kohta leiate Internetist.
See leiab algse maatriksi seotud maatriksi. Mõnikord nimetatakse seda kompleksseks konjugaatmaatriksiks. Seda maatriksit nimetatakse adj-ks (M).

Jagage adjointmaatriksi iga element determinandiga. Maatriksi M determinant arvutati kohe alguses, et kontrollida maatriksi pöördväärtuse olemasolu. Nüüd jaga iga adjointmaatriksi element selle determinandiga. Kirjutage iga jagamistehte tulemus, kus on vastav element. See leiab algse maatriksi pöördväärtuse.

Joonisel kujutatud maatriksi determinant on 1. Seega on siin adjungintmaatriks pöördmaatriks (sest kui suvaline arv jagatakse 1-ga, siis see ei muutu).
Mõnes allikas asendatakse jagamise operatsioon 1 / det (M) korrutamise operatsiooniga. Sel juhul lõpptulemus ei muutu.

Kirjutage üles maatriksi pöördväärtus. Kirjutage suure maatriksi paremal poolel asuvad elemendid eraldi maatriksina, mis on maatriksi pöördväärtus.

Kalkulaatori kasutamine

Valige kalkulaator, mis töötab maatriksitega. Te ei leia pöördmaatriksit lihtsate kalkulaatoritega, kuid saate seda teha hea graafikakalkulaatoriga, näiteks Texas Instruments TI-83 või TI-86.

Sisestage algne maatriks kalkulaatori mällu. Selleks klõpsake Matrixi nuppu, kui see on saadaval. Texas Instrumentsi kalkulaatori puhul peate võib-olla vajutama nuppe 2 ja Matrix.

Valige menüü Redigeerimine. Tehke seda noolenuppude või vastava funktsiooninupu abil, mis asub kalkulaatori klaviatuuri ülaosas (nupu asukoht sõltub kalkulaatori mudelist).

Sisestage maatriksi tähistus. Enamik graafikakalkulaatoreid saab töötada 3-10 maatriksiga, mida saab tähistada tähtedega A-J. Tavaliselt valige algse maatriksi tähistamiseks lihtsalt [A]. Seejärel vajutage sisestusnuppu.

Sisestage maatriksi suurus. See artikkel räägib 3x3 maatriksitest. Kuid graafikakalkulaatorid saavad hakkama suurte maatriksitega. Sisestage ridade arv, vajutage sisestusklahvi, seejärel sisestage veergude arv ja vajutage uuesti sisestusklahvi.

Sisestage maatriksi iga element. Kalkulaator kuvab maatriksi. Kui kalkulaatorisse oli eelnevalt sisestatud maatriks, ilmub see ekraanile. Kursor tõstab esile maatriksi esimese elemendi. Sisestage esimese üksuse väärtus ja vajutage sisestusklahvi. Kursor liigub automaatselt maatriksi järgmisele elemendile.

Vaatleme ruutmaatriksit. Olgu Δ = det A selle determinanti. Ruut B on (OM) sama järgu ruudu A jaoks, kui nende korrutis A * B = B * A = E, kus E on A ja B-ga sama järjekorda identsusmaatriks.

Ruut A nimetatakse mittedegeneratiivseks ehk mitteainsuseks, kui selle determinant erineb nullist, ja degeneratiivseks ehk ainsuseks, kui Δ = 0.

Teoreem. Et A-l oleks pöördväärtus, on vajalik ja piisav, et selle determinant oleks nullist erinev.

(OM) A, mida tähistatakse A -1, nii et B = A -1 ja arvutatakse valemiga

, (1)

kus А i j on elementide a i j algebralised täiendid, Δ = detA.

A -1 arvutamine valemi (1) järgi kõrget järku maatriksite jaoks on väga töömahukas, seetõttu on praktikas mugav leida A -1 elementaarteisenduste (EP) meetodil. Iga mitteainsuse A saab ainult veergudest (või ainult ridadest) koosneva EP abil taandada ühikuks E. Kui maatriksi A suhtes täiuslikud EP-d rakendatakse samas järjekorras ühikule E, siis on tulemuseks A -1. EP-d on mugav esitada korraga üle A ja E, kirjutades mõlemad kõrvuti läbi rea A | E. Kui soovite leida A -1, peaksite teisendusprotsessis kasutama ainult ridu või ainult veerge.

Pöördmaatriksi leidmine algebraliste komplementide abil

Näide 1... Sest leida A -1.

Lahendus. Esmalt leiame determinandi A
seega (ОМ) on olemas ja leiame selle valemiga: , kus A i j (i, j = 1,2,3) on algse A elementide a i j algebralised täiendid.

Elemendi a ij algebraline täiend on determinant või moll M ij. See saadakse veeru i ja rea j kustutamisel. Seejärel korrutatakse moll (-1) i + j-ga, s.o. A ij = (- 1) i + j M ij

kus .

Pöördmaatriksi leidmine elementaarteisenduste abil

Näide 2... Kasutades elementaarteisenduste meetodit, leidke A -1 jaoks: A =.

Lahendus. Parempoolsele algsele A-le määrame samas järjekorras oleva ühiku: ... Veergude elementaarsete teisenduste abil viime vasakpoolse "poole" ühele, sooritades samaaegselt täpselt samu teisendusi paremal "poolel".
Selleks vahetame esimest ja teist veergu: ~... Lisage esimene kolmandasse veergu ja esimene korrutatud -2-ga teisele: ... Esimesest veerust lahutame teise kahekordistatuna ja kolmandast - teise korrutatuna 6-ga; ... Lisame kolmanda veeru esimesele ja teisele: ... Korrutame viimase veeru -1-ga: ... Saadud ruudukujuline tabel vertikaalsest ribast paremal on A -1 pöördväärtus. Niisiis,
.

Olgu n-ndat järku ruutmaatriks

Maatriksit A -1 nimetatakse pöördmaatriks maatriksi A suhtes, kui A * A -1 = E, kus E on n-ndat järku ühikmaatriks.

Ühiku maatriks- selline ruutmaatriks, milles kõik elemendid piki põhidiagonaali, mis lähevad ülemisest vasakust nurgast paremasse alumisse nurka, on ühed ja ülejäänud on nullid, näiteks:

pöördmaatriks võib eksisteerida ainult ruutmaatriksite jaoks need. nende maatriksite jaoks, millel on sama arv ridu ja veerge.

Teoreem pöördmaatriksi olemasolu tingimuse kohta

Selleks, et maatriksil oleks pöördmaatriks, on vajalik ja piisav, et see poleks degenereerunud.

Maatriksit A = (A1, A2, ... A n) nimetatakse mitte-mandunud kui veeruvektorid on lineaarselt sõltumatud. Maatriksi lineaarselt sõltumatute veeruvektorite arvu nimetatakse maatriksi auastmeks. Seetõttu võime öelda, et pöördmaatriksi eksisteerimiseks on vajalik ja piisav, et maatriksi aste oleks võrdne selle mõõtmega, s.t. r = n.

Algoritm pöördmaatriksi leidmiseks

Kirjutage tabelisse maatriks A võrrandisüsteemide lahendamiseks Gaussi meetodil ja paremale (võrrandite parempoolsete külgede asemele) määrake maatriks E.
Kasutades Jordani teisendust, taandada maatriks A maatriksiks, mis koosneb ühikveergudest; sel juhul on vaja maatriksi E samaaegselt teisendada.
Vajadusel korralda viimase tabeli read (võrrandid) ümber nii, et algse tabeli maatriksi A alla saame ühikmaatriksi E.
Kirjutage üles pöördmaatriks A -1, mis on viimases tabelis algse tabeli maatriksi E all.

Näide 1

Maatriksi A jaoks leidke pöördmaatriks A -1

Lahendus: Kirjutame üles maatriksi A ja paremale omistame identiteedimaatriksi E. Jordani teisendusi kasutades taandame maatriksi A identiteedimaatriksiks E. Arvutused on näidatud tabelis 31.1.

Kontrollime arvutuste õigsust, korrutades algmaatriksi A ja pöördmaatriksi A -1.

Maatriksi korrutamise tulemusena saadakse ühikmaatriks. Seetõttu on arvutused õiged.

Vastus:

Maatriksvõrrandite lahendamine

Maatriksvõrrandid võivad olla järgmisel kujul:

AX = B, XA = B, AXB = C,

kus A, B, C on määratud maatriksid, X on nõutav maatriks.

Maatriksvõrrandid lahendatakse võrrandi korrutamisel selle pöördmaatriksitega.

Näiteks võrrandist maatriksi leidmiseks korrutage see võrrand vasakpoolsega.

Seetõttu tuleb võrrandile lahenduse leidmiseks leida pöördmaatriks ja korrutada see võrrandi paremal küljel oleva maatriksiga.

Teised võrrandid lahendatakse sarnaselt.

Näide 2

Lahendage võrrand AX = B, kui

Lahendus: Kuna maatriksi pöördväärtus on (vt näide 1)

Maatriksmeetod majandusanalüüsis

Koos teistega leiavad rakendust ka nemad maatriksmeetodid... Need meetodid põhinevad lineaar- ja vektormaatriksalgebral. Selliseid meetodeid kasutatakse keerukate ja mitmemõõtmeliste majandusnähtuste analüüsimiseks. Kõige sagedamini kasutatakse neid meetodeid siis, kui on vaja anda võrdlev hinnang organisatsioonide ja nende struktuuriüksuste toimimisele.

Maatriksanalüüsimeetodite rakendamise protsessis saab eristada mitmeid etappe.

Esimesel etapil moodustatakse majandusnäitajate süsteem ja selle põhjal koostatakse lähteandmete maatriks, milleks on tabel, mille eraldi ridadel on näidatud süsteeminumbrid (i = 1,2, ...., n) ja piki vertikaalseid veerge - indikaatorite numbrid (j = 1,2, ...., m).

Teises etapis iga vertikaalse veeru jaoks kuvatakse suurim saadaolevatest indikaatorite väärtustest, mida võetakse ühikuna.

Pärast seda jagatakse kõik selles veerus kajastatud summad suurima väärtusega ja moodustub standardiseeritud koefitsientide maatriks.

Kolmandas etapis kõik maatriksi koostisosad on ruudus. Kui neil on erinev tähtsus, määratakse igale maatriksi indikaatorile teatud kaalutegur k... Viimase väärtus määratakse eksperthinnanguga.

Viimasel, neljas etapp leitud hinnangute väärtused R j on rühmitatud suurenemise või kahanemise järjekorras.

Väljatoodud maatriksmeetodeid tuleks kasutada näiteks erinevate investeerimisprojektide võrdleval analüüsil, aga ka organisatsioonide tegevuse muude majandusnäitajate hindamisel.

Maatriksit А -1 nimetatakse pöördmaatriksiks maatriksi А suhtes, kui А * А -1 = Е, kus Е on n-ndat järku ühikmaatriks. Pöördmaatriks saab eksisteerida ainult ruutmaatriksite jaoks.

Teenuse eesmärk... Selle teenuse abil saate veebis leida algebralisi täiendusi, transponeeritud maatriksit A T, adjointmaatriksit ja pöördmaatriksit. Lahendus viiakse läbi otse veebisaidil (online) ja see on tasuta. Arvutustulemused esitatakse Wordi aruandes ja Exceli formaadis (st lahendust on võimalik kontrollida). vaata disaini näidet.

Juhend. Lahenduse saamiseks on vaja määrata maatriksi mõõde. Järgmisena täitke uues dialoogiboksis maatriks A.

Vaata ka pöördmaatriksit Jordani-Gaussi meetodil

Algoritm pöördmaatriksi leidmiseks

Transponeeritud maatriksi A T leidmine.
Algebraliste täiendite definitsioon. Asendage maatriksi iga element selle algebralise täiendusega.
Pöördmaatriksi koostamine algebralistest liitmistest: saadud maatriksi iga element jagatakse algse maatriksi determinandiga. Saadud maatriks on algse maatriksi pöördväärtus.

Edasi pöördmaatriks algoritm on eelmisega sarnane, välja arvatud mõned sammud: esmalt arvutatakse algebralised täiendid ja seejärel määratakse adjointmaatriks C.

Määrake, kas maatriks on ruudukujuline. Kui ei, siis pole selle jaoks pöördmaatriksit.
Maatriksi A determinandi arvutamine. Kui see ei võrdu nulliga, jätkame lahendust, vastasel juhul pöördmaatriksit ei eksisteeri.
Algebraliste täiendite definitsioon.
Liitmaatriksi (vastastikune, adjunktne) täitmine C.
Pöördmaatriksi koostamine algebralistest komplementidest: iga adjointmaatriksi C element jagatakse algmaatriksi determinandiga. Saadud maatriks on algse maatriksi pöördväärtus.
Tehakse kontroll: originaal ja saadud maatriksid korrutatakse. Tulemuseks peaks olema identiteedimaatriks.

Näide nr 1. Kirjutame maatriksi järgmiselt:

Algebralised täiendid. ∆ 1,2 = - (2 4 - (- 2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = - (2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = - (- 1 5 - (- 2 2)) = 1 ∆ 3,2 = - (- 1 (-2) -2 3) = 4

A -1 =