Πώς υπολογίζονται τα κλάσματα. Πώς να λύσετε παραδείγματα με κλάσματα. Πώς να βρείτε τη διαφορά των κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή
Οι μαθητές εξοικειώνονται με κλάσματα στην 5η τάξη. Προηγουμένως, οι άνθρωποι που ήξεραν πώς να κάνουν ενέργειες με κλάσματα θεωρήθηκαν πολύ έξυπνοι. Το πρώτο κλάσμα ήταν 1/2, δηλαδή το ήμισυ, στη συνέχεια εμφανίστηκε το 1/3 κ.λπ. Για αρκετούς αιώνες, τα παραδείγματα θεωρήθηκαν πολύ περίπλοκα. Τώρα, έχουν αναπτυχθεί λεπτομερείς κανόνες για τη μετατροπή των κλασμάτων, της προσθήκης, του πολλαπλασιασμού και άλλων ενεργειών. Αρκεί να κατανοήσουμε λίγο το υλικό και η λύση θα είναι εύκολη.
Ένα συνηθισμένο κλάσμα, που ονομάζεται απλό κλάσμα, γράφεται ως διαίρεση δύο αριθμών: m και n.
Το M είναι το μέρισμα, δηλαδή ο αριθμητής του κλάσματος, και ο διαιρέτης n ονομάζεται παρονομαστής.
Κατανομή σωστών κλασμάτων (m< n) а также неправильные (m > ν).
Ένα κανονικό κλάσμα είναι μικρότερο από ένα (για παράδειγμα, 5/6 - αυτό σημαίνει ότι 5 μέρη λαμβάνονται από ένα · 2/8 - 2 μέρη λαμβάνονται από ένα). Το ακανόνιστο κλάσμα είναι ίσο ή μεγαλύτερο από 1 (8/7 - 1 είναι 7/7 και ένα ακόμη μέρος λαμβάνεται ως συν).
Έτσι, μια μονάδα είναι όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής συμπίπτουν (3/3, 12/12, 100/100 και άλλοι).
Ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα βαθμού 6
Με απλά κλάσματα, μπορείτε να κάνετε τα εξής:
- Αναπτύξτε το κλάσμα. Εάν πολλαπλασιάσετε το πάνω και το κάτω μέρος του κλάσματος με οποιονδήποτε από τον ίδιο αριθμό (αλλά όχι μηδέν), τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει (3/5 \u003d 6/10 (μόλις πολλαπλασιαστεί επί 2).
- Η μείωση των κλασμάτων είναι παρόμοια με την επέκταση, αλλά εδώ διαιρείται με κάποιο αριθμό.
- Συγκρίνω. Εάν δύο κλάσματα έχουν τους ίδιους αριθμητές, τότε το μεγαλύτερο κλάσμα θα είναι το κλάσμα με τον κατώτερο παρονομαστή. Εάν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, τότε το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμητή θα είναι μεγαλύτερο.
- Εκτελέστε προσθήκη και αφαίρεση. Με τους ίδιους παρονομαστές, αυτό είναι εύκολο να το κάνουμε (συνοψίζουμε τα πάνω μέρη και το κάτω δεν αλλάζει). Για διαφορετικά, θα πρέπει να βρείτε έναν κοινό παρονομαστή και επιπλέον παράγοντες.
- Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε τα κλάσματα.
Θα εξετάσουμε παραδείγματα ενεργειών με κλάσματα παρακάτω.
Μειωμένα κλάσματα βαθμού 6
Συντομογραφία σημαίνει διαίρεση του άνω και κάτω τμήματος του κλάσματος με οποιονδήποτε από τον ίδιο αριθμό.
Το σχήμα δείχνει απλά παραδείγματα συντομογραφίας. Στην πρώτη επιλογή, μπορείτε να μαντέψετε αμέσως ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με το 2.
Σε μια σημείωση! Εάν ο αριθμός είναι ομαλός, τότε διαιρείται με οποιονδήποτε τρόπο από το 2. Ο αριθμός ζυγών είναι 2, 4, 6 ... 32 8 (τελειώνει με ζυγό) κ.λπ.
Στη δεύτερη περίπτωση, όταν διαιρείται το 6 με το 18, είναι αμέσως σαφές ότι οι αριθμοί διαιρούνται με το 2. Διαιρώντας, παίρνουμε 3/9. Αυτό το κλάσμα διαιρείται με το 3. Στη συνέχεια, η απάντηση είναι 1/3. Εάν πολλαπλασιάσετε και τους δύο παράγοντες: 2 με 3, τότε παίρνετε 6. Αποδεικνύεται ότι το κλάσμα διαιρέθηκε με έξι. Αυτή η σταδιακή διαίρεση ονομάζεται διαδοχική μείωση των κλασμάτων από κοινούς παράγοντες.
Κάποιος θα διαιρέσει αμέσως με 6, κάποιος θα χρειαστεί διαίρεση με μέρη. Το κύριο πράγμα είναι ότι στο τέλος υπάρχει ένα κλάσμα που δεν μπορεί να μειωθεί με κανέναν τρόπο.
Σημειώστε ότι εάν ένας αριθμός αποτελείται από ψηφία, προσθέτοντας έναν αριθμό διαιρούμενο με 3, τότε το πρωτότυπο μπορεί επίσης να μειωθεί κατά 3. Παράδειγμα: αριθμός 341. Προσθέστε τους αριθμούς: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (8 δεν μπορεί να διαιρεθεί με 3, ως εκ τούτου, ο αριθμός 341 δεν μπορεί να μειωθεί κατά 3 χωρίς ένα υπόλοιπο). Ένα άλλο παράδειγμα: 264. Προσθήκη: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (διαιρείται με 3). Παίρνουμε: 264: 3 \u003d 88. Αυτό θα απλοποιήσει τη μείωση μεγάλων αριθμών.
Εκτός από τη μέθοδο της διαδοχικής μείωσης των κλασμάτων από κοινούς παράγοντες, υπάρχουν και άλλες μέθοδοι.
Το GCD είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης για έναν αριθμό. Αφού βρήκατε το GCD για τον παρονομαστή και τον αριθμητή, μπορείτε αμέσως να μειώσετε το κλάσμα με τον επιθυμητό αριθμό. Η αναζήτηση πραγματοποιείται διαχωρίζοντας σταδιακά κάθε αριθμό. Στη συνέχεια, εξετάζουν ποιοι διαιρέτες συμπίπτουν, εάν υπάρχουν αρκετοί από αυτούς (όπως στην παρακάτω εικόνα), τότε πρέπει να πολλαπλασιαστείτε.
Μικτά κλάσματα βαθμού 6
Όλα τα ακανόνιστα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν σε μικτά επιλέγοντας ολόκληρο το μέρος τους. Ολόκληρος ο αριθμός είναι γραμμένος στα αριστερά.
Συχνά πρέπει να κάνετε έναν μικτό αριθμό από ένα ακατάλληλο κλάσμα. Η διαδικασία μετασχηματισμού στο παρακάτω παράδειγμα: 22/4 \u003d 22 διαιρέστε με 4, έχουμε 5 ακέραιους αριθμούς (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Παίρνουμε 5 ακέραιοι και 2/4 (ο παρονομαστής δεν αλλάζει). Δεδομένου ότι το κλάσμα μπορεί να ακυρωθεί, διαιρούμε το πάνω και το κάτω με το 2.
Είναι εύκολο να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα (αυτό είναι απαραίτητο κατά τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων). Για να το κάνετε αυτό: πολλαπλασιάστε ολόκληρο τον αριθμό με το κάτω μέρος του κλάσματος και προσθέστε τον αριθμητή σε αυτό. Εγινε. Ο παρονομαστής δεν αλλάζει.
Υπολογισμοί με κλάσματα βαθμού 6
Μπορούν να προστεθούν μικτοί αριθμοί. Εάν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, τότε αυτό είναι εύκολο να το κάνετε: προσθέστε ολόκληρα τα μέρη και τους αριθμητές, ο παρονομαστής παραμένει στη θέση του.
Κατά την προσθήκη αριθμών με διαφορετικούς παρονομαστές, η διαδικασία είναι πιο περίπλοκη. Πρώτον, φέρνουμε τους αριθμούς σε έναν μικρότερο παρονομαστή (NOZ).
Στο παρακάτω παράδειγμα, για τους αριθμούς 9 και 6, ο παρονομαστής είναι 18. Μετά από αυτό, απαιτούνται πρόσθετοι παράγοντες. Για να τα βρείτε, το 18 πρέπει να διαιρείται με το 9, οπότε βρίσκεται ο επιπλέον αριθμός - 2. Το πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή 4 για να πάρουμε το κλάσμα 8/18). Το ίδιο γίνεται με το δεύτερο κλάσμα. Προσθέτουμε ήδη τα κλάσματα που έχουν μετατραπεί (ακέραιοι και αριθμητές χωριστά, δεν αλλάζουμε τον παρονομαστή). Στο παράδειγμα, η απάντηση έπρεπε να μετατραπεί σε σωστό κλάσμα (αρχικά, ο αριθμητής ήταν μεγαλύτερος από τον παρονομαστή).
Λάβετε υπόψη ότι η διαδικασία είναι η ίδια για τη διαφορά στα κλάσματα.
Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, είναι σημαντικό να τοποθετήσετε και τα δύο κάτω από την ίδια γραμμή. Εάν ο αριθμός είναι μικτός, τότε το μετατρέπουμε σε ένα απλό κλάσμα. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε το πάνω και το κάτω μέρος και γράφουμε την απάντηση. Εάν μπορείτε να δείτε ότι τα κλάσματα μπορούν να ακυρωθούν, τότε μπορούμε να τα μειώσουμε αμέσως.
Στο παραπάνω παράδειγμα, δεν χρειάστηκε να κόψουμε τίποτα, απλώς γράψαμε την απάντηση και επιλέξαμε ολόκληρο το μέρος.
Σε αυτό το παράδειγμα, έπρεπε να συντομεύσω τους αριθμούς κάτω από μία γραμμή. Αν και μπορείτε να συντομεύσετε μια έτοιμη απάντηση.
Για διαίρεση, ο αλγόριθμος είναι σχεδόν ο ίδιος. Κατ 'αρχάς, μετατρέπουμε το μικτό κλάσμα σε ακανόνιστο, και μετά γράφουμε τους αριθμούς κάτω από μια γραμμή, αντικαθιστώντας τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό. Μην ξεχάσετε να ανταλλάξετε τα άνω και κάτω μέρη του δεύτερου κλάσματος (αυτός είναι ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων).
Εάν είναι απαραίτητο, μειώνουμε τους αριθμούς (στο παρακάτω παράδειγμα τους έχουμε μειώσει κατά πέντε και δύο). Μετασχηματίζουμε το ακανόνιστο κλάσμα επιλέγοντας ολόκληρο το μέρος.
Βασικά προβλήματα για κλάσματα βαθμού 6
Το βίντεο εμφανίζει μερικές ακόμη εργασίες. Για λόγους σαφήνειας, γραφικές εικόνες λύσεων έχουν χρησιμοποιηθεί για να βοηθήσουν στην οπτικοποίηση των κλασμάτων.
Παραδείγματα πολλαπλασιασμού κλάσματος κλάσης 6 με επεξηγήσεις
Τα πολλαπλασιαστικά κλάσματα γράφονται κάτω από μία γραμμή. Μετά από αυτό, μειώνονται διαιρώντας με τους ίδιους αριθμούς (για παράδειγμα, 15 στον παρονομαστή και 5 στον αριθμητή μπορούν να διαιρεθούν με πέντε).
Σύγκριση κλασμάτων βαθμού 6
Για να συγκρίνετε κλάσματα, πρέπει να θυμάστε δύο απλούς κανόνες.
Κανόνας 1. Εάν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί
Κανόνας 2. Όταν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι
Για παράδειγμα, ας συγκρίνουμε τα κλάσματα 7/12 και 2/3.
- Κοιτάζουμε τους παρονομαστές, δεν συμπίπτουν. Επομένως, πρέπει να βρείτε ένα κοινό.
- Για κλάσματα, ο κοινός παρονομαστής είναι 12.
- Διαιρούμε το 12 πρώτα με το κάτω μέρος του πρώτου κλάσματος: 12: 12 \u003d 1 (αυτός είναι ένας επιπλέον παράγοντας για το 1ο κλάσμα).
- Τώρα διαιρούμε 12 με 3, παίρνουμε 4 - προσθήκη. πολλαπλασιαστής του 2ου κλάσματος.
- Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς που προκύπτουν από τους αριθμητές για να μετατρέψουμε τα κλάσματα: 1 x 7 \u003d 7 (πρώτο κλάσμα: 7/12). 4 x 2 \u003d 8 (δεύτερο κλάσμα: 8/12).
- Τώρα μπορούμε να συγκρίνουμε: 7/12 και 8/12. Πραγματοποιήθηκε: 7/12< 8/12.
Για να αντιπροσωπεύσετε καλύτερα τα κλάσματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε σχέδια για σαφήνεια, όπου το αντικείμενο χωρίζεται σε μέρη (για παράδειγμα, ένα κέικ). Αν θέλετε να συγκρίνετε 4/7 και 2/3, τότε στην πρώτη περίπτωση, το κέικ χωρίζεται σε 7 μέρη και 4 από αυτά επιλέγονται. Στο δεύτερο, το χωρίζουν σε 3 μέρη και παίρνουν 2. Θα είναι σαφές με γυμνό μάτι ότι τα 2/3 θα είναι περισσότερα από 4/7.
Παραδείγματα με κλάσματα βαθμού 6 για προπόνηση
Ως προπόνηση, μπορείτε να κάνετε τις ακόλουθες εργασίες.
- Συγκρίνετε κλάσματα
- εκτελεί πολλαπλασιασμό
Συμβουλή: εάν είναι δύσκολο να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή για κλάσματα (ειδικά εάν οι τιμές τους είναι μικρές), τότε μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του πρώτου και του δεύτερου κλάσματος. Παράδειγμα: 2/8 και 5/9. Η εύρεση του παρονομαστή τους είναι απλή: πολλαπλασιάστε 8 με 9, παίρνουμε 72.
Επίλυση εξισώσεων με κλάσματα βαθμού 6
Κατά την επίλυση εξισώσεων, πρέπει να θυμάστε τις ενέργειες με κλάσματα: πολλαπλασιασμός, διαίρεση, αφαίρεση και προσθήκη. Εάν ένας από τους παράγοντες είναι άγνωστος, τότε το προϊόν (σύνολο) διαιρείται με έναν γνωστό παράγοντα, δηλαδή, τα κλάσματα πολλαπλασιάζονται (ο δεύτερος ανατρέπεται).
Εάν το μέρισμα είναι άγνωστο, ο παρονομαστής πολλαπλασιάζεται με τον διαιρέτη και για να βρει τον διαιρέτη, το μέρισμα πρέπει να διαιρεθεί με το πηλίκο.
Ας παρουσιάσουμε απλά παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων:
Εδώ απαιτείται μόνο η παραγωγή της διαφοράς των κλασμάτων χωρίς να οδηγεί σε έναν κοινό παρονομαστή.
Η απάντηση βγήκε ως λανθασμένο κλάσμα. Μπορεί να μετατραπεί σε 1 ακέραιο και 3/5.
Στη δεύτερη μέθοδο, ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιάστηκαν με 4 για να ακυρώσουν το κάτω μέρος, αντί να αναστρέψουν τον παρονομαστή.
Οδηγίες
Είναι συνηθισμένο να διαχωρίζουμε τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα, γνωριμία με τα οποία ξεκινά στο γυμνάσιο. Προς το παρόν δεν υπάρχει τομέας εμπειρογνωμοσύνης που δεν ισχύει. Ακόμα και λέμε τον πρώτο 17ο αιώνα, και όλα ταυτόχρονα, που σημαίνει 1600-1625. Συχνά πρέπει επίσης να ασχοληθείτε με στοιχειώδεις λειτουργίες σε κλάσματα, καθώς και τη μετατροπή τους από τον ένα τύπο στον άλλο.
Η μεταφορά κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή είναι ίσως η πιο σημαντική δράση σε κοινά κλάσματα. Αυτή είναι η βάση για απολύτως όλους τους υπολογισμούς. Ας πούμε λοιπόν ότι υπάρχουν δύο κλάσματα a / b και c / d. Στη συνέχεια, για να τους φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή, πρέπει να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο (M) των αριθμών b και d και, στη συνέχεια, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με (M / b) και τον αριθμητή του το δεύτερο από (M / d).
Η σύγκριση των κλασμάτων είναι ένα άλλο σημαντικό καθήκον. Για να το κάνετε αυτό, μεταφέρετε τα δεδομένα απλά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή και, στη συνέχεια, συγκρίνετε τους αριθμητές, των οποίων ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος, αυτό το κλάσμα και πολλά άλλα.
Για να πραγματοποιήσετε προσθήκη ή αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων, πρέπει να τα φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή και, στη συνέχεια, να εκτελέσετε την επιθυμητή μαθηματική ενέργεια με τους αριθμητές αυτών των κλασμάτων. Ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να αφαιρέσετε τα c / d από το a / b. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο M των αριθμών b και d και στη συνέχεια να αφαιρέσετε τον άλλο από έναν αριθμητή χωρίς να αλλάξετε τον παρονομαστή: (a * (M / b) - (c * (M / d) ) / Μ
Αρκεί να πολλαπλασιάσεις ένα κλάσμα με το άλλο, γι 'αυτό πρέπει απλά να πολλαπλασιάσεις τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με το άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το κλάσμα του μερίσματος με το αντίστροφο του διαιρέτη. (a / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
Αξίζει να θυμηθούμε ότι για να πάρει το αμοιβαίο κλάσμα, ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να αντιστραφούν.
Για να προσθέσετε 2 κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, είναι απαραίτητο να προσθέσετε τους αριθμητές τους και τους παρονομαστέςαφήστε αμετάβλητοΠροσθήκη κλασμάτων, παραδείγματα:
Ο γενικός τύπος για την προσθήκη συνηθισμένων κλασμάτων και αφαίρεσης κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή είναι:
Σημείωση! Ελέγξτε αν μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα που λάβατε γράφοντας την απάντηση.
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Οι κανόνες για την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές:
- μείωση των κλασμάτων στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή (LCN). Γι 'αυτό βρίσκουμε το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) παρονομαστών ·
- προσθέστε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήστε τους παρονομαστές αμετάβλητους.
- μειώνουμε το κλάσμα που λάβαμε.
- εάν λάβετε λανθασμένο κλάσμα, μετατρέψτε το λανθασμένο κλάσμα σε μικτό κλάσμα.
Παραδείγματα του προσθήκες κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές:
Προσθήκη μικτών αριθμών (μικτά κλάσματα).
Κανόνες για την προσθήκη μικτών κλασμάτων:
- φέρνουμε τα κλασματικά μέρη αυτών των αριθμών στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή (LCN).
- προσθέστε ξεχωριστά ολόκληρα μέρη και ξεχωριστά κλασματικά μέρη, προσθέστε τα αποτελέσματα.
- Εάν, κατά την προσθήκη των κλασματικών τμημάτων, λάβαμε ένα λανθασμένο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος από αυτό κλάσμα και προσθήκη του στο προκύπτον ολόκληρο μέρος.
- μειώνουμε το προκύπτον κλάσμα.
Παράδειγμα προσθήκες μικτό κλάσμα:
Προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων.
Κατά την προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων, η διαδικασία γράφεται στη στήλη (ως συνήθως πολλαπλασιασμός στηλών),έτσι ώστε οι απορρίψεις με το ίδιο όνομα να βρίσκονται κάτω από την άλλη χωρίς μετατόπιση. Απαιτούνται κόμματαευθυγραμμίζουμε ξεκάθαρα ο ένας τον άλλον.
Οι κανόνες για την προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων:
1. Εάν είναι απαραίτητο, εξισώστε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε μηδενικά στοτο απαιτούμενο κλάσμα.
2. Καταγράφουμε τα κλάσματα έτσι ώστε τα κόμματα να είναι το ένα κάτω από το άλλο.
3. Προσθέστε κλάσματα χωρίς να προσέχετε το κόμμα.
4. Βάζουμε ένα κόμμα στο άθροισμα κάτω από τα κόμματα, τα κλάσματα που προσθέτουμε.
Σημείωση! Όταν τα δεδομένα δεκαδικά κλάσματα έχουν διαφορετικό αριθμό ψηφίων μετά το δεκαδικό σημείο,τότε εκχωρούμε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών στο κλάσμα με λιγότερα δεκαδικά ψηφία, για την εξίσωση σετα κλάσματα είναι ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων.
Ας καταλάβουμε παράδειγμα... Βρείτε το άθροισμα των δεκαδικών κλασμάτων:
0,678 + 13,7 =
Εξισώστε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων σε δεκαδικά κλάσματα. Προσθέστε 2 μηδενικά στα δεξιά στο δεκαδικόκλάσματα 13,7 .
0,678 + 13,700 =
Καταγράφουμε απάντηση:
0,678 + 13,7 = 14,378
Αν προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων το έχετε καταφέρει αρκετά καλά, τότε τα μηδενικά που λείπουν μπορούν να προστεθούνστο μυαλό.
Αυτό το άρθρο ξεκινά τη μελέτη δράσεων με αλγεβρικά κλάσματα: θα εξετάσουμε λεπτομερώς ενέργειες όπως προσθήκη και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων. Ας αναλύσουμε το σχήμα προσθήκης και αφαίρεσης αλγεβρικών κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές και διαφορετικούς. Θα μάθουμε πώς να προσθέτουμε ένα αλγεβρικό κλάσμα με ένα πολυώνυμο και πώς να τα αφαιρούμε. Ας εξηγήσουμε κάθε βήμα της αναζήτησης λύσης σε προβλήματα με συγκεκριμένα παραδείγματα.
Ενέργειες προσθήκης και αφαίρεσης με τους ίδιους παρονομαστές
Το σχήμα για την προσθήκη συνηθισμένων κλασμάτων ισχύει επίσης για τα αλγεβρικά. Γνωρίζουμε ότι κατά την προσθήκη ή αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τους αριθμητές τους και ο παρονομαστής παραμένει ο αρχικός.
Για παράδειγμα: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 και 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.
Κατά συνέπεια, ο κανόνας της προσθήκης και της αφαίρεσης των αλγεβρικών κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές γράφεται με παρόμοιο τρόπο:
Ορισμός 1
Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε αλγεβρικά κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τους αριθμητές των αρχικών κλασμάτων, αντίστοιχα, και να γράψετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Αυτός ο κανόνας καθιστά δυνατό να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι το αποτέλεσμα της προσθήκης ή της αφαίρεσης των αλγεβρικών κλασμάτων είναι ένα νέο αλγεβρικό κλάσμα (σε μια συγκεκριμένη περίπτωση: ένα πολυώνυμο, ένα monomial ή ένας αριθμός).
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα εφαρμογής του διατυπωμένου κανόνα.
Παράδειγμα 1
Δίδονται αλγεβρικά κλάσματα: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 και 3 - x y x 2 y - 2. Είναι απαραίτητο να τα προσθέσετε.
Απόφαση
Τα αρχικά κλάσματα περιέχουν τους ίδιους παρονομαστές. Σύμφωνα με τον κανόνα, ας προσθέσουμε τους αριθμητές των δεδομένων κλασμάτων και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Προσθέτοντας τα πολυώνυμα που είναι οι αριθμητές των αρχικών κλασμάτων, έχουμε: x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y \u003d x 2 + (2 x y - x y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x y - 2.
Στη συνέχεια, το απαιτούμενο άθροισμα θα γραφτεί ως: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
Στην πράξη, όπως σε πολλές περιπτώσεις, η λύση δίνεται από μια αλυσίδα ισότητας, δείχνοντας σαφώς όλα τα στάδια της λύσης:
x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2
Απάντηση: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2.
Το αποτέλεσμα της προσθήκης ή της αφαίρεσης μπορεί να είναι ένα ακυρώσιμο κλάσμα, στην περίπτωση αυτή είναι βέλτιστο να το μειώσετε.
Παράδειγμα 2
Είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε από το αλγεβρικό κλάσμα x x 2 - 4 · y 2 το κλάσμα 2 · y x 2 - 4 · y 2.
Απόφαση
Οι παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων είναι ίσοι. Θα εκτελέσουμε ενέργειες με τους αριθμητές, δηλαδή: αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και στη συνέχεια θα γράψουμε το αποτέλεσμα, αφήνοντας τον παρονομαστή αμετάβλητο:
x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y x 2 - 4 y 2
Βλέπουμε ότι το προκύπτον κλάσμα είναι ακυρώσιμο. Ας το μειώσουμε μετατρέποντας τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων:
x - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) \u003d 1 x + 2 y
Απάντηση: x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d 1 x + 2 ε.
Σύμφωνα με την ίδια αρχή, τρία ή περισσότερα αλγεβρικά κλάσματα προστίθενται ή αφαιρούνται με τους ίδιους παρονομαστές. Για παράδειγμα:
1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 \u003d 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1
Ενέργειες προσθήκης και αφαίρεσης για διαφορετικούς παρονομαστές
Ας στραφούμε και πάλι στο σχήμα ενεργειών με συνηθισμένα κλάσματα: για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε συνηθισμένα κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, είναι απαραίτητο να τα φέρουμε σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια να προσθέσουμε τα προκύπτοντα κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές.
Για παράδειγμα, 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 ή 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.
Ομοίως, θα διατυπώσουμε τον κανόνα της προσθήκης και της αφαίρεσης των αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές:
Ορισμός 2
Για να πραγματοποιήσετε προσθήκη ή αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει:
- Μειώστε τα αρχικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
- εκτελέστε προσθήκη ή αφαίρεση των προκύπτοντων κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.
Προφανώς, το κλειδί εδώ θα είναι η ικανότητα να φέρουμε αλγεβρικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.
Κοινός παρονομαστής αλγεβρικών κλασμάτων
Για να φέρετε τα αλγεβρικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε τον ίδιο μετασχηματισμό των δεδομένων κλασμάτων, ως αποτέλεσμα του οποίου οι παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων γίνονται οι ίδιοι. Εδώ είναι βέλτιστο να ενεργείτε σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο για τη μεταφορά αλγεβρικών κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή:
- πρώτα καθορίζουμε τον κοινό παρονομαστή των αλγεβρικών κλασμάτων.
- τότε βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για καθένα από τα κλάσματα διαιρώντας τον κοινό παρονομαστή με τους παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων.
- την τελευταία ενέργεια οι αριθμητές και οι παρονομαστές των δεδομένων αλγεβρικών κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους αντίστοιχους πρόσθετους παράγοντες.
Δίνονται αλγεβρικά κλάσματα: a + 2 2 a 3 - 4 a 2, a + 3 3 a 2 - 6 a και a + 1 4 a 5 - 16 a 3. Είναι απαραίτητο να τα φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή.
Απόφαση
Ενεργούμε σύμφωνα με τον παραπάνω αλγόριθμο. Προσδιορίστε τον κοινό παρονομαστή των αρχικών κλασμάτων. Για το σκοπό αυτό, διαχωρίζουμε τους παρονομαστές των δεδομένων κλασμάτων: 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 2 a 2 (a - 2), 3 a 2 - 6 a \u003d 3 a (a - 2) και 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 4 a 3 (a - 2) (a + 2)... Από εδώ μπορούμε να γράψουμε τον κοινό παρονομαστή: 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Τώρα πρέπει να βρούμε επιπλέον παράγοντες. Ας χωρίσουμε, σύμφωνα με τον αλγόριθμο, τον κοινό παρονομαστή που βρέθηκε στους παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων:
- για το πρώτο κλάσμα: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (2 a 2 (a - 2)) \u003d 6 a (a + 2);
- για το δεύτερο κλάσμα: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (3 a (a - 2)) \u003d 4 a 2 (a + 2);
- για το τρίτο κλάσμα: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) \u003d 3 .
Το επόμενο βήμα είναι να πολλαπλασιαστούν οι αριθμητές και οι παρονομαστές των δεδομένων κλασμάτων με τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν:
a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d (a + 3) 4 a 2 (a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (A + 2) a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d (a + 1) 3 (4 a 5 - 16 a 3 ) 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2)
Απάντηση: a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Έτσι, φέραμε τα αρχικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να μετατρέψετε περαιτέρω το αποτέλεσμα σε μορφή αλγεβρικών κλασμάτων πολλαπλασιάζοντας τα πολυώνυμα και τα monomial στους αριθμητές και τους παρονομαστές.
Ας διευκρινίσουμε επίσης το ακόλουθο σημείο: είναι βέλτιστο να αφήσετε τον κοινόχρηστο παρονομαστή με τη μορφή προϊόντος σε περίπτωση που είναι απαραίτητο να ακυρώσετε το πεπερασμένο κλάσμα.
Εξετάσαμε λεπτομερώς το σχήμα μείωσης των αρχικών αλγεβρικών κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή, τώρα μπορούμε να αρχίσουμε να αναλύουμε παραδείγματα για προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Παράδειγμα 4
Δίνονται αλγεβρικά κλάσματα: 1 - 2 x x 2 + x και 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί η δράση της προσθήκης τους.
Απόφαση
Τα αρχικά κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, οπότε το πρώτο βήμα είναι να τα φέρουμε σε έναν κοινό παρονομαστή. Συντελεστής των παρονομαστών: x 2 + x \u003d x (x + 1) και x 2 + 3 x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2),Από τετραγωνικές τρονομικές ρίζες x 2 + 3 x + 2 αυτοί είναι αριθμοί: - 1 και - 2. Προσδιορίστε τον κοινό παρονομαστή: x (x + 1) (x + 2), τότε οι πρόσθετοι παράγοντες θα είναι: x + 2και - Χγια το πρώτο και το δεύτερο κλάσμα, αντίστοιχα.
Έτσι: 1 - 2 xx 2 + x \u003d 1 - 2 xx (x + 1) \u003d (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) \u003d x + 2 - 2 x 2 - 4 xx (x + 1) x + 2 \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) και 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 X 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2)
Τώρα ας προσθέσουμε τα κλάσματα που φέραμε σε έναν κοινό παρονομαστή:
2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 2 xx (x + 1) (x + 2)
Το προκύπτον κλάσμα μπορεί να μειωθεί με έναν κοινό παράγοντα x + 1:
2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2)
Και, τέλος, γράφουμε το αποτέλεσμα που λαμβάνεται με τη μορφή αλγεβρικού κλάσματος, αντικαθιστώντας το προϊόν στον παρονομαστή με ένα πολυώνυμο:
2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Ας γράψουμε σύντομα την πορεία της λύσης ως μια αλυσίδα ισότητας:
1 - 2 xx 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 1 - 2 xx (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 1 - 2 x (x + 2) xx + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Απάντηση: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 x
Δώστε προσοχή σε αυτή τη λεπτομέρεια: προτού προσθέσετε ή αφαιρέσετε αλγεβρικά κλάσματα, εάν είναι δυνατόν, είναι επιθυμητό να τα μετατρέψετε προκειμένου να απλοποιηθούν.
Παράδειγμα 5
Είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τα κλάσματα: 2 1 1 3 · x - 2 21 και 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.
Απόφαση
Μετασχηματίζουμε τα αρχικά αλγεβρικά κλάσματα για να απλοποιήσουμε την περαιτέρω λύση. Ας πάρουμε τους αριθμητικούς συντελεστές των μεταβλητών στον παρονομαστή εκτός των αγκυλών:
2 1 1 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 1 14 και 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 3 x - 1 - 2 x - 1 14
Αυτός ο μετασχηματισμός σίγουρα μας έδωσε ένα όφελος: βλέπουμε σαφώς την παρουσία ενός κοινού παράγοντα.
Ας απαλλαγούμε εντελώς από τους αριθμητικούς συντελεστές στους παρονομαστές. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε την κύρια ιδιότητα των αλγεβρικών κλασμάτων: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με 3 4, και το δεύτερο με - 1 2, μετά παίρνουμε:
2 4 3 x - 1 14 \u003d 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 και 3 x - 1 - 2 x - 1 14 \u003d - 1 2 3 x - 1 - 1 2 - 2 x - 1 14 \u003d - 3 2 x + 1 2 x - 1 14.
Ας κάνουμε μια ενέργεια που θα μας επιτρέψει να απαλλαγούμε από τους κλασματικούς συντελεστές: πολλαπλασιάζουμε τα προκύπτοντα κλάσματα με 14:
3 2 x - 1 14 \u003d 14 3 2 14 x - 1 14 \u003d 21 14 x - 1 και - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 x + 7 14 x - 1.
Τέλος, εκτελούμε την απαιτούμενη ενέργεια στη δήλωση προβλήματος - αφαίρεση:
2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 \u003d 21 - - 21 x + 7 14 X - 1 \u003d 21 x + 14 14 x - 1
Απάντηση: 2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 x + 14 14 x - 1.
Προσθήκη και αφαίρεση αλγεβρικού κλάσματος και πολυωνύμου
Αυτή η δράση μειώνεται επίσης στην προσθήκη ή αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων: είναι απαραίτητο να αναπαριστάται το αρχικό πολυώνυμο ως κλάσμα με τον παρονομαστή 1.
Παράδειγμα 6
Είναι απαραίτητο να προσθέσετε το πολυώνυμο x 2 - 3 με ένα αλγεβρικό κλάσμα 3 x x + 2.
Απόφαση
Γράφουμε το πολυώνυμο ως αλγεβρικό κλάσμα με τον παρονομαστή 1: x 2 - 3 1
Τώρα μπορούμε να κάνουμε προσθήκη σύμφωνα με τον κανόνα για την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές:
x 2 - 3 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 X 2 - 3 x - 6 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2
Απάντηση: x 2 - 3 + 3 x x + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.
Εάν παρατηρήσετε σφάλμα στο κείμενο, επιλέξτε το και πατήστε Ctrl + Enter
Η επόμενη ενέργεια που μπορείτε να κάνετε με τα κλάσματα είναι η αφαίρεση. Στο πλαίσιο αυτού του υλικού, θα εξετάσουμε πώς να υπολογίσουμε σωστά τη διαφορά των κλασμάτων με τους ίδιους και διαφορετικούς παρονομαστές, πώς να αφαιρέσουμε ένα κλάσμα από έναν φυσικό αριθμό και το αντίστροφο. Όλα τα παραδείγματα θα απεικονιστούν με εργασίες. Ας διευκρινίσουμε εκ των προτέρων ότι θα αναλύσουμε μόνο τις περιπτώσεις όπου η διαφορά των κλασμάτων οδηγεί σε θετικό αριθμό.
Πώς να βρείτε τη διαφορά των κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή
Ας ξεκινήσουμε αμέσως με ένα ενδεικτικό παράδειγμα: ας πούμε ότι έχουμε ένα μήλο που έχει χωριστεί σε οκτώ μέρη. Ας αφήσουμε πέντε κομμάτια στο πιάτο και πάρουμε δύο από αυτά. Αυτή η ενέργεια μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Ως αποτέλεσμα, απομένουν 3 όγδοα, από 5 - 2 \u003d 3. Αποδεικνύεται ότι 5 8 - 2 8 \u003d 3 8.
Με αυτό το απλό παράδειγμα, είδαμε ακριβώς πώς λειτουργεί ο κανόνας αφαίρεσης για κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Ας το διατυπώσουμε.
Ορισμός 1
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ των κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του άλλου από τον αριθμητή ενός και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο. Αυτός ο κανόνας μπορεί να γραφτεί ως b - c b \u003d a - c b.
Θα χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο στο μέλλον.
Ας πάρουμε συγκεκριμένα παραδείγματα.
Παράδειγμα 1
Αφαιρέστε το συνηθισμένο κλάσμα 17 15 από το κλάσμα 24 15.
Απόφαση
Βλέπουμε ότι αυτά τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να αφαιρέσουμε το 17 από το 24. Παίρνουμε 7 και προσθέτουμε τον παρονομαστή σε αυτό, παίρνουμε 7 15.
Οι υπολογισμοί μας μπορούν να γραφτούν ως εξής: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να μειώσετε το σύνθετο κλάσμα ή να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος από το λάθος, για να διευκολύνετε τη μέτρηση.
Παράδειγμα 2
Βρείτε τη διαφορά 37 12 - 15 12.
Απόφαση
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω και ας υπολογίσουμε: 37 12 - 15 12 \u003d 37 - 15 12 \u003d 22 12
Είναι εύκολο να δούμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να διαιρεθούν με το 2 (το συζητήσαμε νωρίτερα όταν εξετάσαμε τα κριτήρια διαχωρισμού). Μειώνοντας την απάντηση, παίρνουμε 11 6. Αυτό είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, από το οποίο θα επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος: 11 6 \u003d 1 5 6.
Πώς να βρείτε τη διαφορά των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Μια τέτοια μαθηματική δράση μπορεί να μειωθεί σε αυτό που έχουμε ήδη περιγράψει παραπάνω. Για να γίνει αυτό, φέρνουμε απλά τα απαιτούμενα κλάσματα σε έναν παρονομαστή. Ας διατυπώσουμε τον ορισμό:
Ορισμός 2
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο παρονομαστή και να βρείτε τη διαφορά στους αριθμητές.
Ας δούμε ένα παράδειγμα πώς γίνεται αυτό.
Παράδειγμα 3
Αφαιρέστε το 1 15 από το 2 9.
Απόφαση
Οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί και πρέπει να τους φέρετε στη χαμηλότερη κοινή τιμή. Σε αυτήν την περίπτωση, το LCM είναι 45. Για το πρώτο κλάσμα, απαιτείται ένας επιπλέον συντελεστής 5, και για το δεύτερο, ένας επιπλέον 3.
Ας υπολογίσουμε: 2 9 \u003d 2 5 9 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 3 15 3 \u003d 3 45
Έχουμε δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή και τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε τη διαφορά τους χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που περιγράφηκε προηγουμένως: 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45
Μια σύντομη καταγραφή της λύσης μοιάζει με αυτήν: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Δεν πρέπει να παραλείψετε να μειώσετε το αποτέλεσμα ή να εξαγάγετε ένα ολόκληρο μέρος από αυτό, εάν είναι απαραίτητο. Σε αυτό το παράδειγμα, δεν χρειάζεται να το κάνουμε αυτό.
Παράδειγμα 4
Βρείτε τη διαφορά 19 9 - 7 36.
Απόφαση
Ας φέρουμε τα κλάσματα που υποδεικνύονται στην κατάσταση στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή 36 και πάρουμε αντίστοιχα 76 9 και 7 36.
Υπολογίζουμε την απάντηση: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Το αποτέλεσμα μπορεί να μειωθεί κατά 3 και να πάρει 23 12. Ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, που σημαίνει ότι μπορούμε να επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος. Η τελική απάντηση είναι 1 11 12.
Μια περίληψη ολόκληρης της λύσης είναι 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
Πώς να αφαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό από ένα συνηθισμένο κλάσμα
Αυτή η δράση μπορεί επίσης να μειωθεί εύκολα σε μια απλή αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων. Αυτό μπορεί να γίνει με την αναπαράσταση ενός φυσικού αριθμού ως κλάσμα. Ας δείξουμε με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 5
Βρείτε τη διαφορά 83 21 - 3.
Απόφαση
3 είναι το ίδιο με το 3 1. Τότε μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Εάν είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε έναν ακέραιο από ένα ακατάλληλο κλάσμα σε μια κατάσταση, είναι πιο βολικό να εξάγετε πρώτα έναν ακέραιο από αυτόν γράφοντας τον ως μικτό αριθμό. Τότε το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να λυθεί διαφορετικά.
Από το κλάσμα 83 21, όταν επιλέγεται ολόκληρο το μέρος, έχουμε 83 21 \u003d 3 20 21.
Τώρα ας αφαιρέσουμε 3 από αυτό: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.
Πώς να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από έναν φυσικό αριθμό
Αυτή η ενέργεια γίνεται παρόμοια με την προηγούμενη: ξαναγράφουμε τον φυσικό αριθμό ως κλάσμα, φέρνουμε και τα δύο σε έναν μόνο παρονομαστή και βρίσκουμε τη διαφορά. Ας το δείξουμε με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 6
Βρείτε τη διαφορά: 7 - 5 3.
Απόφαση
Κάντε 7 ως 7 1. Αφαιρούμε και μεταμορφώνουμε το τελικό αποτέλεσμα, εξάγοντας ολόκληρο το μέρος από αυτό: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να κάνετε υπολογισμούς. Έχει ορισμένα πλεονεκτήματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε περιπτώσεις όπου οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων του προβλήματος είναι μεγάλοι αριθμοί.
Ορισμός 3
Εάν το κλάσμα που πρόκειται να αφαιρεθεί είναι σωστό, τότε ο φυσικός αριθμός από τον οποίο αφαιρούμε πρέπει να αντιπροσωπεύεται ως το άθροισμα δύο αριθμών, ένας από τους οποίους είναι 1. Μετά από αυτό, πρέπει να αφαιρέσετε το επιθυμητό κλάσμα από ένα και να λάβετε την απάντηση.
Παράδειγμα 7
Υπολογίστε τη διαφορά 1 065 - 13 62.
Απόφαση
Το κλάσμα που πρόκειται να αφαιρεθεί είναι σωστό, επειδή ο αριθμητής του είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Επομένως, πρέπει να αφαιρέσουμε ένα από το 1065 και να αφαιρέσουμε το επιθυμητό κλάσμα από αυτό: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Τώρα πρέπει να βρούμε την απάντηση. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες αφαίρεσης, η προκύπτουσα έκφραση μπορεί να γραφτεί ως 1064 + 1 - 13 62. Ας υπολογίσουμε τη διαφορά στις παρενθέσεις. Για αυτό, αντιπροσωπεύουμε τη μονάδα ως κλάσμα 1 1.
Αποδεικνύεται ότι 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Τώρα ας θυμηθούμε περίπου το 1064 και διατυπώσουμε την απάντηση: 1064 49 62.
Χρησιμοποιούμε την παλιά μέθοδο για να αποδείξουμε ότι είναι λιγότερο βολικό. Αυτοί είναι οι υπολογισμοί που θα λάβουμε:
1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 62 1 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
Η απάντηση είναι η ίδια, αλλά οι υπολογισμοί είναι προφανώς πιο δυσκίνητοι.
Εξετάσαμε την περίπτωση όταν πρέπει να αφαιρέσετε ένα σωστό κλάσμα. Εάν δεν είναι σωστό, το αντικαθιστούμε με μικτό αριθμό και αφαιρούμε χρησιμοποιώντας οικείους κανόνες.
Παράδειγμα 8
Υπολογίστε τη διαφορά 644 - 73 5.
Απόφαση
Το δεύτερο κλάσμα είναι λανθασμένο και ολόκληρο το μέρος πρέπει να διαχωριστεί από αυτό.
Τώρα υπολογίζουμε παρόμοια με το προηγούμενο παράδειγμα: 630 - 3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
Ιδιότητες αφαίρεσης για κλάσματα
Οι ιδιότητες που διαθέτει η αφαίρεση των φυσικών αριθμών ισχύουν επίσης για τις περιπτώσεις αφαίρεσης των συνηθισμένων κλασμάτων. Ας δούμε πώς να τα χρησιμοποιήσουμε κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Παράδειγμα 9
Βρείτε τη διαφορά 24 4 - 3 2 - 5 6.
Απόφαση
Έχουμε ήδη λύσει παρόμοια παραδείγματα όταν αναλύσαμε την αφαίρεση ενός αθροίσματος από έναν αριθμό, οπότε ενεργούμε σύμφωνα με έναν ήδη γνωστό αλγόριθμο. Αρχικά, υπολογίζουμε τη διαφορά 25 4 - 3 2 και μετά αφαιρούμε το τελευταίο κλάσμα από αυτό:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Ας μεταμορφώσουμε την απάντηση εξάγοντας ολόκληρο το μέρος από αυτήν. Το σύνολο είναι 3 11 12.
Περίληψη ολόκληρης της λύσης:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Εάν η έκφραση περιέχει τόσο κλάσματα όσο και φυσικούς αριθμούς, συνιστάται η ομαδοποίησή τους κατά τύπο κατά τον υπολογισμό.
Παράδειγμα 10
Βρείτε τη διαφορά 98 + 17 20 - 5 + 3 5.
Απόφαση
Γνωρίζοντας τις βασικές ιδιότητες της αφαίρεσης και της προσθήκης, μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τους αριθμούς ως εξής: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Ας ολοκληρώσουμε τους υπολογισμούς: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
Εάν παρατηρήσετε σφάλμα στο κείμενο, επιλέξτε το και πατήστε Ctrl + Enter