Osnovni koncept teorije vjerovatnoće. Zakoni teorije vjerovatnoće. Teorija vjerovatnoće i osnovni koncepti teorije Teorija matematičke vjerovatnoće

Doktrina o zakonima na koju se primjenjuje tzv. slučajni događaji. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Čudinov A.N., 1910. Rječnik stranih riječi ruskog jezika

teorija vjerovatnoće- - [L.G. Sumenko. Engleski ruski rječnik informacionih tehnologija. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacione tehnologije općenito EN teorija vjerovatnoće teorija izračunavanja vjerovatnoće ... Priručnik tehničkog prevodioca

Teorija vjerovatnoće- postoji dio matematike koji proučava odnose između vjerovatnoća (vidi Vjerovatnoća i statistika) različitih događaja. Navodimo najvažnije teoreme vezane za ovu nauku. Vjerovatnoća pojave jednog od nekoliko nespojivih događaja jednaka je ... ... enciklopedijski rječnik F. Brockhaus i I.A. Efron

TEORIJA VEROVATNOSTI- matematički nauka koja omogućava, prema vjerovatnoći nekih slučajnih događaja (vidi), da se pronađu vjerovatnoće slučajnih događaja povezanih sa k. l. način sa prvim. Moderna TV na osnovu aksiomatike (vidi Aksiomatska metoda) A. N. Kolmogorova. Na… … Ruska sociološka enciklopedija

Teorija vjerovatnoće- grana matematike u kojoj se, prema datim vjerovatnoćama nekih slučajnih događaja, pronalaze vjerovatnoće drugih događaja, koji su na neki način povezani sa prvim. Teorija vjerovatnoće također proučava slučajne varijable i slučajne procese. Jedan od glavnih…… Koncepti savremene prirodne nauke. Pojmovnik osnovnih pojmova

teorija vjerovatnoće- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teorija vjerovatnoće vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teorija vjerovatnoće, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Teorija vjerovatnoće- ... Wikipedia

Teorija vjerovatnoće- matematička disciplina koja proučava obrasce slučajnih pojava... Počeci moderne prirodne nauke

TEORIJA VEROVATNOSTI- (teorija vjerovatnoće) vidi Vjerovatnoća ... Veliki eksplanatorni sociološki rečnik

Teorija vjerovatnoće i njene primjene- („Teorija verovatnoće i njene primene“), naučni časopis Odeljenja za matematiku Akademije nauka SSSR. Objavljivanje originalnih članaka i kratke poruke prema teoriji vjerovatnoće, opšta pitanja matematičke statistike i njihove primjene u prirodnim naukama i ... ... Veliki sovjetska enciklopedija

Knjige

  • Teorija vjerovatnoće. , Venttsel E.S. Knjiga je udžbenik namijenjen ljudima koji su upoznati s matematikom u okviru redovnog srednjoškolskog kursa i zainteresirani su za tehničke primjene teorije vjerovatnoće, u ... Kupite za 2056 UAH (samo za Ukrajinu)
  • Teorija vjerovatnoće. , Wentzel E.S. Knjiga je udžbenik namijenjen osobama koje poznaju matematiku u okviru redovnog srednjoškolskog kursa i zainteresiranima za tehničke primjene teorije vjerovatnoće, u ...

Šta je vjerovatnoća?

Suočen sa ovim terminom po prvi put, ne bih razumeo šta je to. Zato ću pokušati da objasnim na razumljiv način.

Vjerovatnoća je šansa da će se željeni događaj dogoditi.

Na primjer, odlučili ste posjetiti prijatelja, zapamtiti ulaz, pa čak i sprat na kojem živi. Ali sam zaboravio broj i lokaciju stana. A sada stojite na stepeništu, a ispred vas su vrata za izbor.

Kolika je šansa (vjerovatnoća) da ako pozvonite na prva vrata, vaš prijatelj vam ih otvori? Cijeli stan, a samo iza jednog od njih živi prijatelj. Uz jednake šanse, možemo izabrati bilo koja vrata.

Ali kakva je ovo šansa?

Vrata, desna vrata. Vjerovatnoća pogađanja zvonjavom na prva vrata: . Odnosno, jednom od tri sigurno ćete pogoditi.

Želimo znati ako jednom pozovemo, koliko često ćemo pogoditi vrata? Pogledajmo sve opcije:

  1. pozvali ste 1st Vrata
  2. pozvali ste 2nd Vrata
  3. pozvali ste 3rd Vrata

A sada razmotrite sve opcije na kojima prijatelj može biti:

a. Per 1st vrata
b. Per 2nd vrata
v. Per 3rd vrata

Uporedimo sve opcije u obliku tabele. Kvačica označava opcije kada se vaš izbor poklapa sa lokacijom prijatelja, križić - kada se ne poklapa.

Kako vidite sve možda opcije lokacija prijatelja i vaš izbor na koja vrata ćete zvoniti.

A povoljni ishodi svih . Odnosno, vremena ćete pogoditi tako što ćete jednom zazvoniti na vrata, tj. .

Ovo je vjerovatnoća - omjer povoljnog ishoda (kada se vaš izbor poklopio sa lokacijom prijatelja) prema broju mogućih događaja.

Definicija je formula. Vjerovatnoća se obično označava s p, pa:

Nije baš zgodno napisati takvu formulu, pa uzmimo za - broj povoljnih ishoda, a za - ukupan broj ishoda.

Vjerovatnoća se može napisati kao postotak, za to morate pomnožiti rezultirajući rezultat sa:

Vjerovatno vam je za oko zapela riječ “ishodi”. Budući da matematičari razne akcije (za nas je takva akcija zvono na vratima) nazivaju eksperimentima, uobičajeno je rezultat takvih eksperimenata nazvati ishodom.

Pa, ishodi su povoljni i nepovoljni.

Vratimo se našem primjeru. Recimo da smo pozvonili na jedna od vrata, ali nam je otvorio stranac. Nismo pogodili. Kolika je vjerovatnoća da će nam prijatelj otvoriti ako pozvonimo na neka od preostalih vrata?

Ako ste tako mislili, onda je ovo greška. Hajde da to shvatimo.

Ostala su nam dvoja vrata. Dakle, imamo moguće korake:

1) Pozovite na 1st Vrata
2) Pozovite 2nd Vrata

Prijatelj uz sve ovo definitivno stoji iza jednog od njih (uostalom, nije stajao iza onoga koga smo zvali):

a) prijatelj 1st vrata
b) prijatelj za 2nd vrata

Ponovo nacrtajmo tabelu:

Kao što vidite, postoje sve opcije, od kojih - povoljne. Odnosno, vjerovatnoća je jednaka.

Zašto ne?

Situacija koju smo razmatrali je primjer zavisnih događaja. Prvi događaj je prvo zvono na vratima, drugi događaj je drugo zvono na vratima.

A nazivaju se zavisnim jer utiču na sledeće radnje. Na kraju krajeva, ako bi prijatelj otvorio vrata nakon prvog zvona, kolika bi bila vjerovatnoća da je on bio iza jednog od druga dva? U redu, .

Ali ako postoje zavisni događaji, onda ih mora biti nezavisni? Istina, postoje.

Primjer iz udžbenika je bacanje novčića.

  1. Bacamo novčić. Kolika je vjerovatnoća da će, na primjer, iskrsnuti glave? Tako je – jer opcije za sve (bilo glave ili repa, zanemarićemo verovatnoću da novčić stane na ivicu), već samo nama odgovara.
  2. Ali repovi su ispali. Ok, uradimo to ponovo. Kolika je vjerovatnoća da ćete se sada pojaviti? Ništa se nije promenilo, sve je isto. Koliko opcija? Dva. Koliko smo zadovoljni? Jedan.

I neka ispadnu repovi barem hiljadu puta zaredom. Vjerovatnoća da će odjednom pasti glave će biti ista. Uvek postoje opcije, ali one povoljne.

Lako je razlikovati zavisne događaje od nezavisnih događaja:

  1. Ako se eksperiment izvede jednom (jednom kada se baci novčić, jednom zazvoni zvono na vratima itd.), tada su događaji uvijek nezavisni.
  2. Ako se eksperiment izvodi nekoliko puta (jednom se baci novčić, nekoliko puta se zvoni na vratima), tada je prvi događaj uvijek nezavisan. A onda, ako se promijeni broj povoljnih ili broj svih ishoda, onda su događaji zavisni, a ako ne, nezavisni.

Vježbajmo malo da odredimo vjerovatnoću.

Primjer 1

Novčić se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da se dva puta uzastopno dobije glava?

Rješenje:

Razmotrite sve moguće opcije:

  1. eagle eagle
  2. tails eagle
  3. repovi orao
  4. Repovi-repovi

Kao što vidite, sve opcije. Od ovih smo samo zadovoljni. To je vjerovatnoća:

Ako uslov jednostavno traži da se pronađe vjerovatnoća, onda se odgovor mora dati kao decimalni razlomak. Ako bi bilo naznačeno da se odgovor mora dati u procentima, onda bismo pomnožili sa.

odgovor:

Primjer 2

U kutiji čokolade svi bomboni su upakovani u isti omot. Međutim, od slatkiša - s orasima, konjakom, trešnjama, karamelom i nugatom.

Kolika je vjerovatnoća da uzmete jedan slatkiš i dobijete bombon sa orasima. Odgovor dajte u procentima.

Rješenje:

Koliko je mogućih ishoda? .

Odnosno, ako uzmete jedan slatkiš, to će biti jedan od onih u kutiji.

I koliko je povoljnih ishoda?

Jer kutija sadrži samo čokolade sa orasima.

odgovor:

Primjer 3

U kutiji loptica. od kojih su bijele i crne.

  1. Kolika je vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?
  2. Dodali smo još crnih loptica u kutiju. Kolika je vjerovatnoća da sada izvučete bijelu loptu?

Rješenje:

a) U kutiji su samo lopte. od kojih su bijele.

Vjerovatnoća je:

b) Sada su loptice u kutiji. I belaca je ostalo isto toliko.

odgovor:

Puna vjerovatnoća

Vjerovatnoća svih mogućih događaja je ().

Na primjer, u kutiji crvenih i zelenih kuglica. Kolika je vjerovatnoća da izvučete crvenu loptu? Zelena lopta? Crvena ili zelena lopta?

Verovatnoća izvlačenja crvene lopte

zelena lopta:

Crvena ili zelena lopta:

Kao što vidite, zbir svih mogućih događaja je jednak (). Razumijevanje ove tačke pomoći će vam da riješite mnoge probleme.

Primjer 4

U kutiji se nalaze flomasteri: zeleni, crveni, plavi, žuti, crni.

Kolika je vjerovatnoća da NE nacrtate crveni marker?

Rješenje:

Hajde da izbrojimo broj povoljni ishodi.

NIJE crveni marker, to znači zeleno, plavo, žuto ili crno.

Vjerovatnoća svih događaja. A vjerovatnoća događaja koje smatramo nepovoljnim (kada izvučemo crveni flomaster) je .

Dakle, vjerovatnoća da NE nacrtate crveni flomaster je -.

odgovor:

Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi je minus vjerovatnoća da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja

Već znate šta su nezavisni događaji.

A ako trebate pronaći vjerovatnoću da će se dva (ili više) nezavisnih događaja dogoditi zaredom?

Recimo da želimo da znamo kolika je verovatnoća da ćemo, bacivši novčić jednom, dvaput videti orla?

Već smo razmotrili - .

Šta ako bacimo novčić? Kolika je vjerovatnoća da ćete vidjeti orla dvaput zaredom?

Ukupno mogućih opcija:

  1. Eagle-eagle-eagle
  2. Eagle-head-tails
  3. Glava-rep-orao
  4. Glava-rep-rep
  5. tails-eagle-eagle
  6. Repovi-glavi-repovi
  7. Repovi-repovi-glave
  8. Repovi-repovi-repovi

Ne znam za vas, ali ja sam jednom pogrešio ovu listu. Vau! I jedina opcija (prva) nam odgovara.

Za 5 rolni možete sami napraviti listu mogućih ishoda. Ali matematičari nisu tako marljivi kao vi.

Stoga su prvo uočili, a zatim i dokazali da se vjerovatnoća određenog niza nezavisnih događaja svaki put smanjuje za vjerovatnoću jednog događaja.

Drugim riječima,

Razmotrimo primjer istog, nesretnog novčića.

Vjerovatnoća da ćete se pojaviti na suđenju? . Sada bacamo novčić.

Kolika je vjerovatnoća da dobijete repove u nizu?

Ovo pravilo ne funkcionira samo ako se od nas traži da pronađemo vjerovatnoću da će se isti događaj dogoditi nekoliko puta zaredom.

Ako želimo da pronađemo sekvencu REP-ORA-REP na uzastopnim okretima, uradili bismo isto.

Verovatnoća dobijanja repova - , glava - .

Verovatnoća dobijanja sekvence REPOVI-ORAO-REPOVI-REPOVI:

To možete sami provjeriti tako što ćete napraviti tabelu.

Pravilo za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja.

Zato prestani! Nova definicija.

Hajde da to shvatimo. Uzmimo naš istrošeni novčić i bacimo ga jednom.
Moguće opcije:

  1. Eagle-eagle-eagle
  2. Eagle-head-tails
  3. Glava-rep-orao
  4. Glava-rep-rep
  5. tails-eagle-eagle
  6. Repovi-glavi-repovi
  7. Repovi-repovi-glave
  8. Repovi-repovi-repovi

Dakle, ovdje su nespojivi događaji, ovo je određeni, dati slijed događaja. su nekompatibilni događaji.

Ako želimo da odredimo kolika je verovatnoća dva (ili više) nekompatibilnih događaja, onda sabiramo verovatnoće tih događaja.

Morate shvatiti da su gubitak orla ili repova dva nezavisna događaja.

Ako želimo da odredimo kolika je verovatnoća da niz) (ili bilo koji drugi) ispadne, onda koristimo pravilo množenja verovatnoća.
Kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu pri prvom bacanju, a rep pri drugom i trećem?

Ali ako želimo da znamo kolika je verovatnoća da dobijemo jednu od nekoliko sekvenci, na primer, kada se glave pojave tačno jednom, tj. opcije i tada moramo dodati vjerovatnoće ovih nizova.

Ukupne opcije nam odgovaraju.

Istu stvar možemo dobiti ako zbrojimo vjerovatnoće pojavljivanja svakog niza:

Stoga, dodajemo vjerovatnoće kada želimo da odredimo vjerovatnoću nekih, nekompatibilnih, nizova događaja.

Postoji sjajno pravilo koje će vam pomoći da se ne zbunite kada množiti, a kada sabirati:

Vratimo se na primjer gdje smo bacili novčić puta i želimo znati vjerovatnoću da ćemo jednom vidjeti glave.
Šta će se dogoditi?

Trebalo bi ispasti:
(glave I repovi I repovi) ILI (repovi I glave I repovi) OR (repovi I repovi I glave).
I tako ispada:

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 5

U kutiji su olovke. crvena, zelena, narandžasta i žuta i crna. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati crvene ili zelene olovke?

Rješenje:

Šta će se dogoditi? Moramo se izvući (crveno ILI zeleno).

Sada je jasno, zbrajamo vjerovatnoće ovih događaja:

odgovor:

Primjer 6

Kocka je bačena dvaput, kolika je vjerovatnoća da će se pojaviti ukupno 8?

Rješenje.

Kako možemo dobiti bodove?

(i) ili (i) ili (i) ili (i) ili (i).

Vjerovatnoća ispadanja s jednog (bilo kojeg) lica je .

Izračunavamo vjerovatnoću:

odgovor:

Vježbati.

Mislim da vam je sada postalo jasno kada treba da brojite verovatnoće, kada da ih saberete, a kada da ih pomnožite. Nije li? Hajde da malo vežbamo.

Zadaci:

Uzmimo špil karata u kojem su karte pik, srca, 13 batina i 13 tambura. Od do Asa svake boje.

  1. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja štapa u nizu (prvu izvučenu kartu vraćamo u špil i miješamo)?
  2. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja crne karte (pik ili trefa)?
  3. Kolika je vjerovatnoća da se izvuče slika (valet, dama, kralj ili as)?
  4. Kolika je vjerovatnoća da se izvuku dvije slike zaredom (izvlačimo prvu izvučenu kartu iz špila)?
  5. Kolika je vjerovatnoća da se, uzimajući dvije karte, sakupi kombinacija - (Valet, Dama ili Kralj) i As. Redoslijed u kojem će karte biti izvučene nije bitan.

odgovori:

  1. U špilu karata svake vrijednosti to znači:
  2. Događaji su zavisni, jer se nakon prve izvučene karte smanjio broj karata u špilu (kao i broj "slika"). Ukupan broj džakova, dama, kraljeva i asova u špilu na početku, što znači vjerovatnoću izvlačenja "slike" s prvom kartom:

    S obzirom da vadimo prvu kartu iz špila, to znači da je u špilu već ostala karta na kojoj se nalaze slike. Verovatnoća crtanja slike sa drugom karticom:

    Pošto nas zanima situacija kada iz špila dobijemo: "slika" I "slika", onda treba da pomnožimo vjerovatnoće:

    odgovor:

  3. Nakon što se prva karta izvuče, broj karata u špilu će se smanjiti, tako da imamo dvije opcije:
    1) Prvom kartom vadimo asa, drugom - džaka, damu ili kralja
    2) Prvom kartom vadimo džaka, damu ili kralja, drugom - asa. (kec i (valet ili dama ili kralj)) ili ((valet ili dama ili kralj) i as). Ne zaboravite na smanjenje broja karata u špilu!

Ako si uspeo sam da rešiš sve probleme, onda si odličan momak! Sada ćete zadatke iz teorije vjerovatnoće na ispitu kliknuti kao ludi!

TEORIJA VEROVATNOSTI. PROSJEČAN NIVO

Razmotrimo primjer. Recimo da bacimo kocku. Kakva je ovo kost, znaš li? Ovo je naziv kocke sa brojevima na stranama. Koliko lica, toliko brojeva: od do koliko? Prije.

Zato bacamo kocku i želimo da se pojavi ili. I ispali smo.

U teoriji vjerovatnoće kažu šta se dogodilo povoljan događaj(ne brkati sa dobrim).

Ako bi ispao, događaj bi takođe bio povoljan. Ukupno se mogu desiti samo dva povoljna događaja.

Koliko loših? Pošto su svi mogući događaji, onda su nepovoljni od njih događaji (ovo je ako ispadne ili).

definicija:

Vjerovatnoća je omjer broja povoljnih događaja i broja svih mogućih događaja.. Odnosno, vjerovatnoća pokazuje koliki je udio svih mogućih događaja povoljan.

Vjerovatnoća je označena latiničnim slovom (iz engleska riječ vjerovatnoća - vjerovatnoća).

Uobičajeno je da se vjerovatnoća mjeri u procentima (pogledajte teme i). Da biste to učinili, vrijednost vjerovatnoće se mora pomnožiti sa. U primjeru kockice, vjerovatnoća.

I u procentima: .

Primjeri (odlučite sami):

  1. Kolika je vjerovatnoća da će bacanje novčića pasti na glave? A kolika je vjerovatnoća repa?
  2. Kolika je vjerovatnoća da će se pojaviti paran broj kada se baci kocka? I sa čime - čudnim?
  3. U ladici običnih, plavih i crvenih olovaka. Nasumično crtamo jednu olovku. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja jednostavnog?

rješenja:

  1. Koliko opcija postoji? Glave i repovi - samo dva. A koliko ih je povoljnih? Samo jedan je orao. Dakle, vjerovatnoća

    Isto sa repovima: .

  2. Ukupno opcija: (koliko strana ima kocka, toliko različitih opcija). Povoljni: (ovo su sve parni brojevi :).
    Vjerovatnoća. Uz čudno, naravno, istu stvar.
  3. Ukupno: . Povoljno: . Verovatnoća: .

Puna vjerovatnoća

Sve olovke u fioci su zelene. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati crvenu olovku? Nema šanse: vjerovatnoća (na kraju krajeva, povoljni događaji -).

Takav događaj se naziva nemogućim.

Kolika je vjerovatnoća da nacrtate zelenu olovku? Pogodnih događaja ima tačno onoliko koliko je ukupno (svi događaji su povoljni). Dakle, vjerovatnoća je ili.

Takav događaj se naziva izvjesnim.

Ako se u kutiji nalaze zelene i crvene olovke, kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati zelenu ili crvenu? Još jednom. Obratite pažnju na sljedeću stvar: vjerovatnoća izvlačenja zelene boje je jednaka, a crvenog je .

Sve u svemu, ove vjerovatnoće su potpuno jednake. To je, zbir vjerovatnoća svih mogućih događaja jednak je ili.

primjer:

U kutiji olovaka, među njima su plave, crvene, zelene, jednostavne, žute, a ostale su narandžaste. Kolika je vjerovatnoća da ne nacrtate zeleno?

Rješenje:

Zapamtite da se sve vjerovatnoće sabiraju. I vjerovatnoća da se izvuče zeleno je jednaka. To znači da je vjerovatnoća da se ne izvuče zeleno jednaka.

Zapamtite ovaj trik: Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi je minus vjerovatnoća da će se događaj dogoditi.

Nezavisni događaji i pravilo množenja

Bacate novčić dva puta i želite da oba puta padne na glavu. Kolika je vjerovatnoća ovoga?

Prođimo kroz sve moguće opcije i odredimo koliko ih ima:

Orao-Orao, Repovi-Orao, Orao-Repi, Repovi-Repi. Šta još?

Cela varijanta. Od njih nam samo jedan odgovara: Orao-Orao. Dakle, vjerovatnoća je jednaka.

U redu. Sada bacimo novčić. Broji se. Desilo se? (odgovor).

Možda ste primijetili da se sa dodavanjem svakog sljedećeg bacanja vjerovatnoća smanjuje za faktor. Opšte pravilo pozvao pravilo množenja:

Vjerovatnoće nezavisnih događaja se mijenjaju.

Šta su nezavisni događaji? Sve je logično: to su oni koji ne zavise jedni od drugih. Na primjer, kada bacimo novčić nekoliko puta, svaki put se napravi novo bacanje, čiji rezultat ne ovisi o svim prethodnim bacanjima. Sa istim uspjehom, možemo baciti dva različita novčića u isto vrijeme.

Više primjera:

  1. Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da će se pojaviti oba puta?
  2. Novčić se baca puta. Kolika je vjerovatnoća da se prvo dobije glava, a zatim dva puta rep?
  3. Igrač baca dvije kockice. Kolika je vjerovatnoća da će zbir brojeva na njima biti jednak?

odgovori:

  1. Događaji su nezavisni, što znači da pravilo množenja radi: .
  2. Vjerovatnoća orla je jednaka. Verovatnoća repova takođe. množimo:
  3. 12 se može dobiti samo ako ispadnu dva -ki: .

Nekompatibilni događaji i pravilo zbrajanja

Nekompatibilni događaji su događaji koji se međusobno nadopunjuju s punom vjerovatnoćom. Kao što naziv implicira, ne mogu se desiti u isto vrijeme. Na primjer, ako bacimo novčić, može ispasti ili glava ili rep.

Primjer.

U kutiji olovaka, među njima su plave, crvene, zelene, jednostavne, žute, a ostale su narandžaste. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati zeleno ili crveno?

Rješenje .

Vjerovatnoća da se nacrta zelena olovka je jednaka. Crvena - .

Povoljni događaji od svih: zeleno + crveno. Dakle, vjerovatnoća da se izvuče zeleno ili crveno je jednaka.

Ista vjerovatnoća se može predstaviti u sljedećem obliku: .

Ovo je pravilo dodavanja: vjerovatnoće nekompatibilnih događaja se zbrajaju.

Mješoviti zadaci

Primjer.

Novčić se baca dva puta. Koja je vjerovatnoća da će rezultat bacanja biti drugačiji?

Rješenje .

To znači da ako se glave pojave prve, repovi bi trebali biti drugi i obrnuto. Ispostavilo se da ovdje postoje dva para nezavisnih događaja, a ti parovi su međusobno nekompatibilni. Kako se ne zbuniti oko toga gdje pomnožiti, a gdje dodati.

Za takve situacije postoji jednostavno pravilo. Pokušajte da opišete šta treba da se desi povezujući događaje sa sindikatima "I" ili "ILI". Na primjer, u ovom slučaju:

Mora se kotrljati (glave i repovi) ili (repovi i glave).

Gdje je spoj "i", bit će množenje, a gdje je "ili" zbrajanje:

Probajte sami:

  1. Kolika je vjerovatnoća da dva bacanja novčića oba puta dođu na istu stranu?
  2. Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da će zbir pasti na poene?

rješenja:

  1. (Glava gore i glava gore) ili (podiže se i diže): .
  2. Koje su opcije? i. onda:
    Valjani (i) ili (i) ili (i): .

Drugi primjer:

Jednom bacimo novčić. Kolika je vjerovatnoća da će se glave barem jednom pojaviti?

Rješenje:

Oh, kako ne želim da prebirem po opcijama... Glava-rep-rep, Orao-glav-rep,... Ali ne morate! Hajde da pričamo o punoj verovatnoći. Zapamtite? Kolika je vjerovatnoća da je orao nikada neće pasti? Jednostavno je: repovi stalno lete, znači.

TEORIJA VEROVATNOSTI. UKRATKO O GLAVNOM

Vjerovatnoća je omjer broja povoljnih događaja i broja svih mogućih događaja.

Nezavisni događaji

Dva događaja su nezavisna ako pojava jednog ne mijenja vjerovatnoću da se drugi dogodi.

Puna vjerovatnoća

Vjerovatnoća svih mogućih događaja je ().

Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi je minus vjerovatnoća da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja

Vjerovatnoća određenog niza nezavisnih događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća svakog od događaja

Nekompatibilni događaji

Nekompatibilni događaji su oni događaji koji se ne mogu dogoditi istovremeno kao rezultat eksperimenta. Brojni nekompatibilni događaji čine kompletnu grupu događaja.

Vjerovatnoće nekompatibilnih događaja se zbrajaju.

Nakon što smo opisali šta bi se trebalo dogoditi, koristeći sindikate "AND" ili "OR", umjesto "AND" stavljamo znak množenja, a umjesto "OR" - sabiranje.

PREOSTALE 2/3 ČLANKA DOSTUPNE SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!

Postanite student YouClevera,

Pripremite se za OGE ili USE iz matematike po cijeni "šoljica kafe mjesečno",

I također dobijte neograničen pristup udžbeniku "YouClever", programu obuke "100gia" (knjiga rješenja), neograničenom probnom USE i OGE, 6000 zadataka sa analizom rješenja i drugim YouClever i 100gia servisima.

UVOD

Mnoge stvari su nam neshvatljive, ne zato što su naši koncepti slabi;
već zato što ove stvari ne ulaze u krug naših pojmova.
Kozma Prutkov

Osnovni cilj studiranja matematike u srednjim specijalizovanim obrazovnim ustanovama je da se studentima pruži skup matematičkih znanja i vještina neophodnih za izučavanje drugih programskih disciplina koje koriste matematiku u ovoj ili drugoj mjeri, za sposobnost izvođenja praktičnih proračuna, za formiranje i razvoj logičkog razmišljanja.

U ovom radu prikazani su svi osnovni koncepti matematičke sekcije "Osnove teorije vjerovatnoće i matematičke statistike", predviđeni programom i Državnim obrazovnim standardima srednjeg stručnog obrazovanja (Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije. M., 2002. ), dosljedno se uvode, formuliraju se glavne teoreme, od kojih većina nije dokazana. Razmatraju se glavni zadaci i metode za njihovo rješavanje i tehnologije za primjenu ovih metoda u rješavanju praktičnih problema. Izlaganje je popraćeno detaljnim komentarima i brojnim primjerima.

Metodička uputstva mogu poslužiti za početno upoznavanje sa gradivom koje se izučava, prilikom vođenja beleški sa predavanja, za pripremu za praktične vežbe, za učvršćivanje stečenih znanja, veština i sposobnosti. Osim toga, priručnik će biti koristan studentima dodiplomskih studija kao referentni alat koji vam omogućava da brzo vratite u memoriju ono što je prethodno proučavano.

Na kraju rada daju se primjeri i zadaci koje učenici mogu izvoditi u načinu samokontrole.

Metodičko uputstvo namijenjeno je studentima dopisnog i redovnog oblika obrazovanja.

OSNOVNI KONCEPTI

Teorija vjerovatnoće proučava objektivne pravilnosti masovnih slučajnih događaja. To je teorijska osnova za matematičku statistiku, koja se bavi razvojem metoda za prikupljanje, opisivanje i obradu rezultata posmatranja. Kroz zapažanja (testovi, eksperimenti), tj. iskustvo u širem smislu te riječi, postoji znanje o fenomenima stvarnog svijeta.

U našim praktičnim aktivnostima često se susrećemo sa pojavama čiji se ishod ne može predvidjeti, a čiji rezultat ovisi o slučaju.

Slučajni fenomen se može okarakterisati odnosom broja njegovih pojavljivanja i broja pokušaja, u svakom od kojih bi se, pod istim uslovima svih ispitivanja, mogao dogoditi ili ne pojaviti.

Teorija vjerovatnoće je grana matematike u kojoj se proučavaju slučajne pojave (događaji) i otkrivaju pravilnosti kada se masovno ponavljaju.

Matematička statistika je grana matematike koja ima za predmet proučavanje metoda prikupljanja, sistematizacije, obrade i korišćenja statističkih podataka za dobijanje naučno utemeljenih zaključaka i donošenje odluka.

Istovremeno, pod statističkim podacima se podrazumijeva skup brojeva koji predstavljaju kvantitativne karakteristike osobina proučavanih objekata koji nas zanimaju. Statistički podaci se dobijaju kao rezultat posebno osmišljenih eksperimenata i posmatranja.

Statistički podaci u svojoj suštini zavise od mnogih slučajnih faktora, pa je matematička statistika usko povezana sa teorijom verovatnoće, koja je njena teorijska osnova.

I. VEROVATNOST. TEOREME ZBIRANJA I MNOŽENJA VEROVATNOTE

1.1. Osnovni pojmovi kombinatorike

U dijelu matematike koji se zove kombinatorika rješavaju se neki problemi vezani za razmatranje skupova i sastavljanje različitih kombinacija elemenata tih skupova. Na primjer, ako uzmemo 10 različitih brojeva 0, 1, 2, 3,:, 9 i napravimo kombinacije od njih, dobićemo različite brojeve, na primjer 143, 431, 5671, 1207, 43, itd.

Vidimo da se neke od ovih kombinacija razlikuju samo po redoslijedu cifara (na primjer, 143 i 431), druge po brojevima koji su u njima (na primjer, 5671 i 1207), a druge se također razlikuju po broju cifara ( na primjer, 143 i 43).

Dakle, dobijene kombinacije zadovoljavaju različite uslove.

Ovisno o pravilima kompilacije, mogu se razlikovati tri vrste kombinacija: permutacije, plasmani, kombinacije.

Hajde da se prvo upoznamo sa konceptom faktorijel.

Zove se proizvod svih prirodnih brojeva od 1 do n uključujući n-faktorski i pisati.

Izračunajte: a) ; b) ; v) .

Rješenje. a) .

b) kao i , onda ga možete izvaditi iz zagrada

Onda dobijamo

v) .

Permutacije.

Kombinacija od n elemenata koji se međusobno razlikuju samo po redoslijedu elemenata naziva se permutacija.

Permutacije su označene simbolom P n , gdje je n broj elemenata u svakoj permutaciji. ( R- prvo slovo francuske riječi permutacija- permutacija).

Broj permutacija se može izračunati pomoću formule

ili sa faktorijalom:

Upamtimo to 0!=1 i 1!=1.

Primjer 2. Na koliko načina šest različitih knjiga može biti raspoređeno na jednoj polici?

Rješenje. Željeni broj načina jednak je broju permutacija 6 elemenata, tj.

Smještaj.

Plasmani iz m elementi u n u svakom se nazivaju takvi spojevi koji se međusobno razlikuju ili po samim elementima (barem jedan), ili po redoslijedu s lokacije.

Lokacije su označene simbolom , gdje m je broj svih dostupnih elemenata, n je broj elemenata u svakoj kombinaciji. ( A- prvo slovo francuske riječi aranžman, što znači "postavljanje, dovođenje u red").

Istovremeno se pretpostavlja da nm.

Broj plasmana se može izračunati pomoću formule

,

one. broj svih mogućih plasmana iz m elementi po n jednak je proizvodu n uzastopni cijeli brojevi, od kojih je veći m.

Ovu formulu zapisujemo u faktorskom obliku:

Primjer 3. Koliko opcija za podjelu tri vaučera u sanatorijum različitih profila može se napraviti za pet kandidata?

Rješenje. Željeni broj opcija jednak je broju plasmana 5 elemenata po 3 elementa, tj.

.

Kombinacije.

Kombinacije su sve moguće kombinacije m elementi po n, koji se međusobno razlikuju po najmanje jednom elementu (ovdje m i n- prirodni brojevi, i n m).

Broj kombinacija od m elementi po n su označeni ( WITH- prvo slovo francuske riječi kombinacija- kombinacija).

Općenito, broj m elementi po n jednak broju plasmana od m elementi po n podijeljeno brojem permutacija iz n elementi:

Koristeći faktorske formule za brojeve plasmana i permutacije, dobijamo:

Primjer 4. U timu od 25 ljudi potrebno je izdvojiti četiri za rad na određenom području. Na koliko načina se to može učiniti?

Rješenje. Pošto poredak četiri izabrane osobe nije bitan, to se može učiniti na različite načine.

Nalazimo po prvoj formuli

.

Osim toga, pri rješavanju problema koriste se sljedeće formule koje izražavaju glavna svojstva kombinacija:

(po definiciji, i pretpostavlja se);

.

1.2. Rješavanje kombinatornih zadataka

Zadatak 1. Na fakultetu se izučava 16 predmeta. U ponedjeljak morate staviti 3 predmeta u raspored. Na koliko načina se to može učiniti?

Rješenje. Postoji onoliko načina da se zakažu tri stavke od 16 koliko ima plasmana od 16 elemenata od po 3.

Zadatak 2. Od 15 objekata potrebno je odabrati 10 objekata. Na koliko načina se to može učiniti?

Zadatak 3. Na takmičenju su učestvovale četiri ekipe. Koliko je opcija za raspodjelu mjesta između njih moguće?

.

Zadatak 4. Na koliko načina se može formirati patrola od tri vojnika i jednog oficira ako ima 80 vojnika i 3 oficira?

Rješenje. Može se odabrati vojnik u patroli

putevi, i službenici putevi. Pošto svaki oficir može ići sa svakim timom vojnika, postoje samo načini.

Zadatak 5. Pronađite da li je poznato da .

Od , dobijamo

,

,

Po definiciji kombinacije slijedi da je , . To. .

1.3. Koncept slučajnog događaja. Vrste događaja. Vjerovatnoća događaja

Svaka radnja, pojava, zapažanje sa više različitih ishoda, ostvarena pod datim skupom uslova, naziva se test.

Rezultat ove radnje ili posmatranja se zove događaj .

Ako je događaj u datim uslovima može se dogoditi ili ne mora, to se zove nasumično . U slučaju da se događaj svakako mora dogoditi, on se zove autentičan , a u slučaju kada se to svakako ne može dogoditi, - nemoguće.

Događaji se zovu nekompatibilno ako se svaki put može pojaviti samo jedan od njih.

Događaji se zovu joint ako, pod datim uslovima, pojava jednog od ovih događaja ne isključuje pojavu drugog u istom testu.

Događaji se zovu suprotno , ako su u uslovima testa oni, kao jedini ishodi, nekompatibilni.

Događaji se obično označavaju velikim slovima latinice: A B C D, : .

Kompletan sistem događaja A 1 , A 2 , A 3 , : , A n je skup nekompatibilnih događaja, od kojih je pojava najmanje jednog obavezna za dati test.

Ako se kompletan sistem sastoji od dva nekompatibilna događaja, onda se takvi događaji nazivaju suprotni i označavaju se sa A i .

Primjer. U kutiji se nalazi 30 numerisanih loptica. Odredite koji od sljedećih događaja su nemogući, sigurni, suprotni:

dobio numerisanu loptu (A);

izvući kuglicu s parnim brojem (V);

izvučena lopta sa neparnim brojem (WITH);

dobio loptu bez broja (D).

Ko od njih čini kompletnu grupu?

Rješenje . A- određeni događaj; D- nemoguć događaj;

U i WITH- suprotni događaji.

Kompletna grupa događaja je A i D, V i WITH.

Vjerovatnoća događaja se smatra mjerom objektivne mogućnosti nastanka slučajnog događaja.

1.4. Klasična definicija vjerovatnoće

Broj, koji je izraz mjere objektivne mogućnosti nastanka događaja, naziva se vjerovatnoća ovaj događaj i označen je simbolom P(A).

Definicija. Vjerovatnoća događaja A je omjer broja ishoda m koji pogoduju nastanku datog događaja A, na broj n svi ishodi (nekompatibilni, jedinstveni i podjednako mogući), tj. .

Stoga, da bi se pronašla vjerovatnoća događaja, potrebno je, nakon razmatranja različitih ishoda testa, izračunati sve moguće nekompatibilne ishode n, izaberite broj ishoda koji nas zanima m i izračunajte omjer m To n.

Sljedeća svojstva proizlaze iz ove definicije:

Vjerovatnoća bilo kojeg pokušaja je nenegativan broj koji ne prelazi jedan.

Zaista, broj m željenih događaja leži unutar . Podjela oba dijela na n, dobijamo

2. Vjerovatnoća određenog događaja jednaka je jedan, jer .

3. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula jer .

Problem 1. Na lutriji ima 200 dobitnika od 1000 listića. Jedna karta se izvlači nasumično. Kolika je vjerovatnoća da ovaj tiket dobije?

Rješenje. Ukupan broj različitih ishoda je n=1000. Broj ishoda koji favorizuju pobjedu je m=200. Prema formuli dobijamo

.

Zadatak 2. U seriji od 18 dijelova nalaze se 4 neispravna. 5 komada se bira nasumično. Pronađite vjerovatnoću da su dva od ovih 5 dijelova neispravna.

Rješenje. Broj svih jednako mogućih nezavisnih ishoda n jednak je broju kombinacija od 18 do 5 tj.

Izračunajmo broj m koji favorizuje događaj A. Među 5 nasumično odabranih dijelova trebala bi biti 3 kvalitetna i 2 neispravna. Broj načina za odabir dva neispravna dijela od 4 dostupna neispravna dijela jednak je broju kombinacija od 4 do 2:

Broj načina za odabir tri kvalitetna dijela od 14 dostupnih kvalitetnih dijelova jednak je

.

Bilo koja grupa kvalitetnih delova može se kombinovati sa bilo kojom grupom neispravnih delova, dakle ukupan broj kombinacija m je

Željena vjerovatnoća događaja A jednaka je omjeru broja ishoda m koji favoriziraju ovaj događaj i broja n svih jednako mogućih nezavisnih ishoda:

.

Zbir konačnog broja događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od njih.

Zbir dva događaja je označen simbolom A + B, a zbir n simbol događaja A 1 +A 2 + : +A n .

Teorema sabiranja vjerovatnoća.

Verovatnoća zbira dva nekompatibilna događaja jednaka je zbiru verovatnoća ovih događaja.

Posledica 1. Ako događaj A 1 , A 2 , : , A n čini kompletan sistem, onda je zbir verovatnoća ovih događaja jednak jedan.

Posljedica 2. Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja i jednak je jedan.

.

Problem 1. Ima 100 srećki. Poznato je da 5 tiketa dobijaju dobitak od 20.000 rubalja, 10 - 15.000 rubalja, 15 - 10.000 rubalja, 25 - 2.000 rubalja. i ništa za ostalo. Pronađite vjerovatnoću da će kupljena karta osvojiti najmanje 10.000 rubalja.

Rješenje. Neka su A, B i C događaji koji se sastoje u tome da na kupljenu kartu pada nagrada od 20.000, 15.000 i 10.000 rubalja. pošto su događaji A, B i C nekompatibilni, onda

Zadatak 2. Uključeno vanredni tehnička škola dobija testove iz matematike iz gradova A, B i WITH. Vjerovatnoća prijema kontrolnog posla od grada A jednako 0,6, od grada V- 0.1. Nađite vjerovatnoću sljedećeg test doći će iz grada WITH.

Mnogi su, suočeni sa konceptom „teorije verovatnoće“, uplašeni, misleći da je to nešto ogromno, veoma složeno. Ali zapravo nije sve tako tragično. Danas ćemo razmotriti osnovni koncept teorije vjerojatnosti, naučiti kako rješavati probleme koristeći konkretne primjere.

Nauka

Šta proučava jedna grana matematike kao što je „teorija verovatnoće“? Ona bilježi obrasce i veličine. Po prvi put, naučnici su se zainteresovali za ovo pitanje još u osamnaestom veku, kada su proučavali kockanje. Osnovni koncept teorije vjerovatnoće je događaj. To je svaka činjenica koja je potvrđena iskustvom ili posmatranjem. Ali šta je iskustvo? Još jedan osnovni koncept teorije vjerovatnoće. To znači da ovaj sklop okolnosti nije stvoren slučajno, već sa određenom svrhom. Što se tiče posmatranja, ovde istraživač sam ne učestvuje u eksperimentu, već je jednostavno svedok ovih događaja, on ni na koji način ne utiče na to što se dešava.

Događaji

Naučili smo da je osnovni koncept teorije vjerovatnoće događaj, ali nismo razmatrali klasifikaciju. Svi oni spadaju u sljedeće kategorije:

  • Pouzdan.
  • Nemoguće.
  • Slučajno.

Bez obzira na to koji se događaji posmatraju ili stvaraju tokom iskustva, svi oni podležu ovoj klasifikaciji. Nudimo da se upoznamo sa svakom od vrsta posebno.

Vjerodostojan događaj

Ovo je okolnost pred kojom je preduzet potreban set mjera. Da bismo bolje razumjeli suštinu, bolje je navesti nekoliko primjera. Fizika, hemija, ekonomija i viša matematika podliježu ovom zakonu. Teorija vjerovatnoće uključuje tako važan koncept kao što je određeni događaj. Evo nekoliko primjera:

  • Radimo i primamo naknadu u vidu plata.
  • Dobro smo položili ispite, prošli konkurs, za to dobijamo nagradu u vidu prijema na obrazovne ustanove.
  • Uložili smo novac u banku, ako treba, vratićemo ga.

Takvi događaji su pouzdani. Ako smo sve uradili neophodne uslove, tada dobijamo očekivani rezultat.

Nemogući događaji

Sada razmatramo elemente teorije vjerovatnoće. Predlažemo da pređemo na objašnjenje sledećeg tipa događaja, naime, nemogućeg. Za početak da navedemo najviše važno pravilo- vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Nemoguće je odstupiti od ove formulacije prilikom rješavanja problema. Da pojasnimo, evo primjera takvih događaja:

  • Voda se smrzla na temperaturi od plus deset (ovo je nemoguće).
  • Nedostatak električne energije ni na koji način ne utiče na proizvodnju (isto nemoguće kao u prethodnom primjeru).

Više primjera ne treba navoditi, jer gore opisani vrlo jasno odražavaju suštinu ove kategorije. Nemogući događaj se nikada neće dogoditi tokom iskustva ni pod kojim okolnostima.

slučajni događaji

Istraživanje elemenata Posebna pažnja treba dati ovoj posebnoj vrsti događaja. To je ono što nauka proučava. Kao rezultat iskustva, nešto se može, ali i ne mora dogoditi. Osim toga, test se može ponoviti neograničen broj puta. Živopisni primjeri može poslužiti:

  • Bacanje novčića je iskustvo, ili test, kurs je događaj.
  • Izvlačenje lopte iz vreće na slepo je test, crvena lopta je uhvaćena je događaj, itd.

Takvih primjera može biti neograničen broj, ali, općenito, suština bi trebala biti jasna. Za sumiranje i sistematizaciju stečenog znanja o događajima data je tabela. Teorija vjerovatnoće proučava samo posljednju vrstu od svih predstavljenih.

naslov

definicija

Vjerodostojno

Događaji koji se dešavaju sa 100% garancijom, pod određenim uslovima.

Prijem u obrazovnu ustanovu sa dobrim polaganjem prijemnog ispita.

Nemoguće

Događaji koji se nikada neće dogoditi ni pod kojim okolnostima.

Pada snijeg na temperaturi vazduha od plus trideset stepeni Celzijusa.

Slučajno

Događaj koji se može ili ne mora dogoditi tokom eksperimenta/testiranja.

Pogodite ili promašite kada bacate košarkašku loptu u obruč.

Zakoni

Teorija vjerovatnoće je nauka koja proučava mogućnost da se neki događaj dogodi. Kao i ostali, ima neka pravila. Postoje sljedeći zakoni teorije vjerovatnoće:

  • Konvergencija nizova slučajnih varijabli.
  • Zakon velikih brojeva.

Prilikom izračunavanja mogućnosti kompleksa, kompleks jednostavnih događaja se može koristiti za postizanje rezultata na lakši i brži način. Imajte na umu da se zakoni teorije vjerovatnoće lako dokazuju uz pomoć nekih teorema. Počnimo s prvim zakonom.

Konvergencija nizova slučajnih varijabli

Imajte na umu da postoji nekoliko vrsta konvergencije:

  • Niz slučajnih varijabli je konvergentan po vjerovatnoći.
  • Gotovo nemoguće.
  • RMS konvergencija.
  • Konvergencija distribucije.

Dakle, u hodu, vrlo je teško doći do dna. Evo nekoliko definicija koje će vam pomoći da razumijete ovu temu. Počnimo s prvim pogledom. Slijed se zove konvergentna po verovatnoći, ako je ispunjen sljedeći uvjet: n teži beskonačnosti, broj kojem niz teži je veći od nule i blizu jedan.

Pređimo na sljedeću, gotovo sigurno. Za niz se kaže da konvergira gotovo sigurno na slučajnu varijablu pri čemu n teži beskonačnosti, a P teži vrijednosti blizu jedinice.

Sljedeća vrsta je RMS konvergencija. Kada se koristi SC-konvergencija, proučavanje vektorskih slučajnih procesa se svodi na proučavanje njihovih koordinatnih slučajnih procesa.

Ostaje zadnja vrsta, hajde da je ukratko analiziramo kako bismo prešli direktno na rješavanje problema. Konvergencija distribucije ima još jedno ime - "slaba", u nastavku ćemo objasniti zašto. Slaba konvergencija je konvergencija funkcija distribucije u svim tačkama kontinuiteta granične funkcije distribucije.

Definitivno ćemo ispuniti obećanje: slaba konvergencija se razlikuje od svega navedenog po tome što slučajna varijabla nije definirana na prostoru vjerovatnoće. To je moguće jer se uvjet formira isključivo korištenjem funkcija distribucije.

Zakon velikih brojeva

Odlični pomoćnici u dokazivanju ovog zakona biće teoreme teorije verovatnoće, kao što su:

  • Čebiševljeva nejednakost.
  • Čebiševljeva teorema.
  • Generalizovana Čebiševljeva teorema.
  • Markova teorema.

Ako uzmemo u obzir sve ove teoreme, onda se ovo pitanje može povući na nekoliko desetina listova. Naš glavni zadatak je primijeniti teoriju vjerovatnoće u praksi. Pozivamo vas da to učinite odmah. Ali prije toga, razmotrimo aksiome teorije vjerojatnosti, oni će biti glavni pomoćnici u rješavanju problema.

Aksiomi

Prvu smo već upoznali kada smo pričali o nemogućem događaju. Podsjetimo: vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula. Naveli smo vrlo živopisan i nezaboravan primjer: snijeg je pao na temperaturi zraka od trideset stepeni Celzijusa.

Drugi je sljedeći: određeni događaj se dešava sa vjerovatnoćom jednakom jedan. Sada ćemo pokazati kako to zapisati matematičkim jezikom: P(B)=1.

Treće: slučajni događaj se može dogoditi ili ne mora, ali mogućnost se uvijek kreće od nule do jedan. Što je vrijednost bliža jedinici, veća je šansa; ako se vrijednost približi nuli, vjerovatnoća je vrlo mala. Zapišimo to matematičkim jezikom: 0<Р(С)<1.

Razmotrimo posljednji, četvrti aksiom, koji zvuči ovako: vjerovatnoća zbira dva događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća. Pišemo matematičkim jezikom: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Aksiomi teorije vjerovatnoće su najjednostavnija pravila koja se lako pamte. Pokušajmo riješiti neke probleme, na osnovu već stečenog znanja.

Lutrijska karta

Za početak, razmotrite najjednostavniji primjer - lutriju. Zamislite da ste kupili jednu lutriju za sreću. Kolika je vjerovatnoća da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupno u opticaju učestvuje hiljadu ulaznica, od kojih jedna ima nagradu od pet stotina rubalja, deset od sto rubalja, pedeset od dvadeset rubalja i sto od pet. Problemi u teoriji vjerovatnoće zasnivaju se na pronalaženju mogućnosti sreće. Pogledajmo zajedno rješenje gornjeg problema.

Ako slovom A označimo dobitak od pet stotina rubalja, tada će vjerovatnoća da dobijemo A biti 0,001. Kako smo to dobili? Potrebno je samo podijeliti broj "sretnih" karata sa njihovim ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000).

B je dobitak od sto rubalja, vjerovatnoća će biti jednaka 0,01. Sada smo postupili po istom principu kao u prethodnoj akciji (10/1000)

C - dobitak je jednak dvadeset rubalja. Nalazimo vjerovatnoću, jednaka je 0,05.

Preostale karte nas ne zanimaju jer je njihov nagradni fond manji od onog navedenog u uslovu. Primijenimo četvrti aksiom: Vjerovatnoća osvajanja najmanje dvadeset rubalja je P(A)+P(B)+P(C). Slovo P označava vjerovatnoću nastanka ovog događaja, već smo ih pronašli u prethodnim koracima. Ostaje samo dodati potrebne podatke, u odgovoru dobijamo 0,061. Ovaj broj će biti odgovor na pitanje zadatka.

špil karata

Problemi u teoriji vjerovatnoće su također složeniji, na primjer, uzmite sljedeći zadatak. Pred vama je špil od trideset i šest karata. Vaš zadatak je da izvučete dvije karte zaredom bez miješanja hrpe, prva i druga karta moraju biti asovi, boja nije bitna.

Za početak, nalazimo vjerovatnoću da će prva karta biti as, za to podijelimo četiri sa trideset šest. Ostavili su to sa strane. Izvadimo drugu kartu, to će biti as sa vjerovatnoćom od tri trideset petine. Verovatnoća drugog događaja zavisi od toga koju kartu smo prvu izvukli, zanima nas da li je to bio kec ili ne. Iz toga slijedi da događaj B zavisi od događaja A.

Sljedeći korak je pronalaženje vjerovatnoće simultane implementacije, odnosno množimo A i B. Njihov proizvod se nalazi na sljedeći način: pomnožimo vjerovatnoću jednog događaja sa uslovnom vjerovatnoćom drugog, koju izračunamo, uz pretpostavku da je prvi desio se događaj, odnosno izvukli smo keca prvom kartom.

Da bi sve bilo jasno, dajmo oznaku takvom elementu kao što su događaji. Izračunava se pod pretpostavkom da se dogodio događaj A. Izračunava se na sljedeći način: P(B/A).

Nastavimo rješavanje našeg problema: P (A * B) = P (A) * P (B / A) ili P (A * B) = P (B) * P (A / B). Verovatnoća je (4/36) * ((3/35)/(4/36). Izračunajte zaokruživanjem na stotinke. Imamo: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 Verovatnoća da ćemo će izvući dva asa u nizu je devet stotinki. Vrijednost je vrlo mala, iz ovoga slijedi da je vjerovatnoća nastanka događaja izuzetno mala.

Zaboravljen broj

Predlažemo da analiziramo još nekoliko opcija za zadatke koje proučava teorija vjerovatnoće. Već ste vidjeli primjere rješavanja nekih od njih u ovom članku, hajde da pokušamo riješiti sljedeći problem: dječak je zaboravio posljednju cifru telefonskog broja svog prijatelja, ali pošto je poziv bio vrlo važan, počeo je birati sve redom. Moramo izračunati vjerovatnoću da će nazvati najviše tri puta. Rješenje problema je najjednostavnije ako su poznata pravila, zakoni i aksiomi teorije vjerovatnoće.

Prije nego što pogledate rješenje, pokušajte ga sami riješiti. Znamo da zadnja cifra može biti od nula do devet, odnosno ukupno ima deset vrijednosti. Verovatnoća da dobijete pravi je 1/10.

Zatim moramo razmotriti opcije za porijeklo događaja, pretpostavimo da je dječak pogodio ispravno i odmah postigao pravi, vjerovatnoća takvog događaja je 1/10. Druga opcija: prvi poziv je promašaj, a drugi je na meti. Izračunavamo vjerovatnoću takvog događaja: pomnožimo 9/10 sa 1/9, kao rezultat dobijamo i 1/10. Treća opcija: ispostavilo se da su prvi i drugi poziv bili na pogrešnoj adresi, tek od trećeg dječak je stigao gdje je htio. Izračunavamo vjerovatnoću takvog događaja: množimo 9/10 sa 8/9 i sa 1/8, dobijamo 1/10 kao rezultat. Prema stanju zadatka druge opcije nas ne zanimaju, pa nam ostaje da saberemo rezultate, kao rezultat imamo 3/10. Odgovor: Vjerovatnoća da dječak ne pozove više od tri puta je 0,3.

Kartice sa brojevima

Pred vama je devet karata, od kojih svaka sadrži broj od jedan do devet, brojevi se ne ponavljaju. Stavljeni su u kutiju i dobro promešani. Morate izračunati vjerovatnoću da

  • pojavit će se paran broj;
  • dvocifren.

Prije nego što pređemo na rješenje, odredimo da je m broj uspješnih slučajeva, a n ukupan broj opcija. Pronađite vjerovatnoću da je broj paran. Neće biti teško izračunati da postoje četiri parna broja, ovo će biti naš m, ukupno je devet opcija, odnosno m = 9. Tada je vjerovatnoća 0,44 ili 4/9.

Razmatramo drugi slučaj: broj opcija je devet, a uspješnih ishoda uopće ne može biti, odnosno m je nula. Verovatnoća da će izvučena karta sadržati dvocifreni broj je takođe nula.

Teorija vjerovatnoće je grana matematike koja proučava obrasce slučajnih pojava: slučajne događaje, slučajne varijable, njihova svojstva i operacije nad njima.

Dugo vremena teorija vjerovatnoće nije imala jasnu definiciju. Formulisan je tek 1929. godine. Pojava teorije vjerovatnoće kao nauke pripisuje se srednjem vijeku i prvim pokušajima matematičke analize kockanja (bacanje, kocka, rulet). Francuski matematičari iz 17. veka Blaise Pascal i Pierre de Fermat otkrili su prve probabilističke obrasce koji nastaju prilikom bacanja kockica dok su proučavali predviđanje dobitaka u kockanju.

Teorija vjerovatnoće je nastala kao nauka iz vjerovanja da određene pravilnosti leže u osnovi masovnih slučajnih događaja. Teorija vjerovatnoće proučava ove obrasce.

Teorija vjerovatnoće bavi se proučavanjem događaja za koje se ne zna sa sigurnošću. Omogućava vam da procenite stepen verovatnoće nastanka nekih događaja u poređenju sa drugim.

Na primjer: nemoguće je nedvosmisleno odrediti rezultat bacanja kovanice glavom ili repom, ali pri ponovljenom bacanju ispadne približno isti broj grla i repa, što znači da je vjerovatnoća da će grla ili repa pasti", jednaka do 50%.

test u ovom slučaju se naziva implementacija određenog skupa uslova, odnosno u ovom slučaju bacanje novčića. Izazov se može igrati neograničen broj puta. U ovom slučaju, kompleks uslova uključuje slučajne faktore.

Rezultat testa je događaj. Događaj se dešava:

  1. Pouzdan (uvijek se javlja kao rezultat testiranja).
  2. Nemoguće (nikad se ne dešava).
  3. Nasumično (može ili ne mora da se pojavi kao rezultat testa).

Na primjer, prilikom bacanja novčića, nemoguć događaj - novčić će završiti na ivici, slučajni događaj - gubitak "glava" ili "repova". Specifični rezultat testa se zove elementarni događaj. Kao rezultat testa, javljaju se samo elementarni događaji. Zove se ukupnost svih mogućih, različitih, specifičnih ishoda testa elementarni prostor za događaje.

Osnovni koncepti teorije

Vjerovatnoća- stepen mogućnosti nastanka događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodi nadjačaju suprotne razloge, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim.

Slučajna vrijednost- ovo je vrijednost koja, kao rezultat testa, može uzeti jednu ili drugu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju. Na primjer: broj vatrogasnih stanica po danu, broj pogodaka sa 10 hitaca itd.

Slučajne varijable se mogu podijeliti u dvije kategorije.

  1. Diskretna slučajna varijabla naziva se takva količina koja, kao rezultat testa, može poprimiti određene vrijednosti s određenom vjerojatnošću, formirajući prebrojiv skup (skup čiji se elementi mogu numerisati). Ovaj skup može biti ili konačan ili beskonačan. Na primjer, broj hitaca prije prvog pogotka u metu je diskretna slučajna varijabla, jer ova vrijednost može poprimiti beskonačan, iako prebrojiv broj vrijednosti.
  2. Kontinuirana slučajna varijabla je veličina koja može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Očigledno, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan.

Prostor vjerovatnoće- koncept koji je uveo A.N. Kolmogorov 1930-ih da formalizuje koncept vjerovatnoće, što je dovelo do brzog razvoja teorije vjerovatnoće kao rigorozne matematičke discipline.

Prostor vjerovatnoće je trostruka (ponekad uokvirena ugaonim zagradama: , gdje

Ovo je proizvoljan skup, čiji se elementi nazivaju elementarni događaji, ishodi ili tačke;
- sigma-algebra podskupova koji se nazivaju (slučajni) događaji;
- vjerovatnoća mjera ili vjerovatnoća, tj. sigma-aditivna konačna mjera takva da .

De Moivre-Laplaceova teorema- jedna od graničnih teorema teorije vjerovatnoće, koju je ustanovio Laplace 1812. Ona navodi da je broj uspjeha u ponavljanju istog slučajnog eksperimenta sa dva moguća ishoda približno normalno raspoređen. Omogućava vam da pronađete približnu vrijednost vjerovatnoće.

Ako je za svaki od nezavisnih pokušaja vjerovatnoća pojave nekog slučajnog događaja jednaka () i predstavlja broj pokušaja u kojima se on stvarno dogodi, tada je vjerovatnoća valjanosti nejednakosti blizu (za velike ) vrijednost Laplaceovog integrala.

Funkcija distribucije u teoriji vjerojatnosti- funkcija koja karakterizira distribuciju slučajne varijable ili slučajnog vektora; vjerovatnoća da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju ili jednaku x, gdje je x proizvoljan realan broj. Pod određenim uslovima, on u potpunosti određuje slučajnu varijablu.

Očekivana vrijednost- prosječna vrijednost slučajne varijable (ovo je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable, razmatrana u teoriji vjerovatnoće). U engleskoj književnosti označava se sa, u ruskoj -. U statistici se često koristi notacija.

Neka su dati prostor vjerovatnoće i slučajna varijabla definirana na njemu. To je, po definiciji, mjerljiva funkcija. Zatim, ako postoji Lebesgueov integral od nad prostorom, onda se to naziva matematičko očekivanje, ili srednja vrijednost, i označava se sa .

Varijanca slučajne varijable- mjera širenja date slučajne varijable, odnosno njenog odstupanja od matematičkog očekivanja. Označeno u ruskoj literaturi i u stranoj. U statistici se često koristi oznaka ili. Kvadratni korijen varijanse naziva se standardna devijacija, standardna devijacija ili standardni raspon.

Neka je slučajna varijabla definirana na nekom prostoru vjerovatnoće. Onda

gdje simbol označava matematičko očekivanje.

U teoriji vjerovatnoće nazivaju se dva slučajna događaja nezavisni ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Slično, pozivaju se dvije slučajne varijable zavisan ako vrijednost jednog od njih utječe na vjerovatnoću vrijednosti drugog.

Najjednostavniji oblik zakona velikih brojeva je Bernulijeva teorema, koja kaže da ako je vjerovatnoća događaja ista u svim pokušajima, onda kako se broj pokušaja povećava, učestalost događaja teži vjerovatnoći događaja i prestaje biti nasumičan.

Zakon velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće kaže da je aritmetička sredina konačnog uzorka iz fiksne distribucije bliska teoretskom srednjem očekivanju te distribucije. U zavisnosti od vrste konvergencije, razlikuje se slab zakon velikih brojeva, kada dolazi do konvergencije u verovatnoći, i jak zakon velikih brojeva, kada se konvergencija gotovo sigurno dešava.

Opšte značenje zakona velikih brojeva je da zajedničko djelovanje velikog broja identičnih i nezavisnih slučajnih faktora dovodi do rezultata koji, u krajnjoj liniji, ne ovisi o slučaju.

Metode za procjenu vjerovatnoće zasnovane na analizi konačnog uzorka zasnivaju se na ovoj osobini. Dobar primjer je predviđanje izbornih rezultata na osnovu ankete uzorka birača.

Centralne granične teoreme- klasa teorema u teoriji vjerovatnoće koja kaže da zbir dovoljno velikog broja slabo zavisnih slučajnih varijabli koje imaju približno istu skalu (nijedan od pojmova ne dominira, ne daje odlučujući doprinos zbiru) ima distribuciju blizu normalno.

Budući da se mnoge slučajne varijable u aplikacijama formiraju pod utjecajem nekoliko slabo zavisnih slučajnih faktora, njihova se raspodjela smatra normalnom. U ovom slučaju mora se uzeti u obzir uslov da nijedan od faktora nije dominantan. Centralne granične teoreme u ovim slučajevima opravdavaju primjenu normalne distribucije.



Preporučujemo čitanje