Kako se razmatraju frakcije. Kako riješiti primjere frakcijama. Kako pronaći diferencijalni dio s istim nazivnicima
Sa frakcijama, studenti se upoznaju u 5. razredu. Prije toga ljudi koji su znali kako obavljati djela s frakcijama smatrani su vrlo pametnim. Prvi frakcija je bila 1/2, odnosno polovina, tada se 1/3 pojavila itd. Za nekoliko vekova primjeri su smatrani previše komplikovani. Sada su razvili detaljna pravila za transformaciju frakcija, dodavanja, množenja i drugih radnji. Dovoljno je malo shvatiti materijal, a rješenje će biti lako.
Obična frakcija koja se naziva jednostavnom frakcijom, napisana je kao podjela dva broja: M i N.
M je djeljiv, odnosno frakcionalni brojčanik, a razdjelnik n naziva se nazivnik.
Eliminirajte ispravne frakcije (m< n) а также неправильные (m > n).
Ispravan frakcija je manja od jedinice (na primjer 5/6 - to znači da se iz jedinice uzimaju 5 dijelova; 2/8 - od jedinice koja se uzima 2 dijela). Pogrešna frakcija jednaka je ili više od 1 (8/7 - Jedinica će biti 7/7, a plus se uzima drugi dio).
Dakle, jedno, ovo je kada se brojčanik i nazivnik poklopili (3/3, 12/12, 100/100 i drugi).
Radnje sa običnim frakcijama 6. razreda
Uz obične frakcije, možete izvršiti sljedeće radnje:
- Proširite frakciju. Ako umnožite gornji i donji dio frakcije na bilo koji identičan broj (ne samo za nulu), tada se vrijednost frakcije neće promijeniti (3/5 \u003d 6/10 (jednostavno pomnoženo sa 2).
- Smanjenje frakcija slične su širivanju, ali podijeljeni su u bilo koji broj.
- Uporedite. Ako su dvije frakcije brojeva iste, tada će se veća ispostaviti sa manjim nazivnikom. Ako su isti nazivnici, bit će više frakcija s najvećim brojevima.
- Obavljati dodavanje i oduzimanje. S istim nazivnicima to je lako to učiniti (sažetimo gornji dijelovi, a dno se ne mijenja). Ako morate pronaći zajednički nazivnik i dodatne multiplikatore.
- Pomnožite i podijelite frakcije.
Primjeri djelovanja s frakcijama razmatraju u nastavku.
Skraćene frakcije 6. razreda
Smanjite - znači podijeliti gornji i donji dio frakcije na bilo koji identičan broj.
Na slici prikazuje jednostavne primjere smanjenja. U prvoj izvedbi možete odmah pogoditi da su brojčanik i nazivnik podijeljeni u 2.
Na beleži! Ako je broj čak, podijeljen je na bilo koji način na 2. Čak i brojevi - ovo je 2, 4, 6 ... 32 8 (završava na ravnomjernoj), itd.
U drugom slučaju, s podjelom od 6 do 18, odmah se vidi da su brojevi podijeljeni sa 2. Dijelom, dobivamo 3/9. Taj je frakcija podijeljena s drugom 3. Zatim se odziva isključuje 1/3. Ako množite oba razvodne djela: 2 do 3, tada će biti pušten 6. Ispada da je frakcija podijeljena u šest. Takva postepena podjela se zove sekvencijalno smanjenje frakcija na uobičajenim razdjelnicima.
Netko će se odmah podijeliti na 6, neko će trebati dijeljenje dijelova. Glavna stvar je da na kraju postoji frakcija, što više ne sječe.
Imajte na umu da ako se broj sastoji od brojeva, kada je broj dodatak, broj je podijeljen sa 3, a zatim se početak može smanjiti i za 3. Primjer: broj 341. Preklopimo brojeve: 3 + 4 + 1 \u003d 8 ( 8 do 3 nije podijeljeno, pa se broj 341 ne može smanjiti za 3 bez ostatka). Drugi primer: 264. Sklonimo se: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (podijeljeno sa 3). Dobijamo: 264: 3 \u003d 88. Pojednostavit će smanjenje velikih brojeva.
Pored načina dosljednog smanjenja udjela na zajedničkim djelistima, postoje i drugi načini.
Čvor je najveći razvodnik za broj. Pronašli su čvor za nazivnik i brojčanik, možete odmah smanjiti frakciju na željeni broj. Pretraživanje se vrši postepenom podjelom svakog broja. Dalje pogledajte šta se razdjelnici podudaraju ako ih ima nekoliko (kao na slici u nastavku), onda se morate pomnožiti.
Mješoviti frakcije 6. razreda
Sve pogrešne frakcije mogu se pretvoriti u pomiješane, ističući cijeli dio u njima. Integer je napisano na lijevoj strani.
Često dolazi iz pogrešne frakcije za izradu mješovitih broja. Proces konverzije na primjeru u nastavku: 22/4 \u003d 22 Delimis za 4, dobivamo 5 cjeline (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Dobili smo 5 cjeline i 2/4 (nazivnik se ne mijenja). Budući da se frakcija može smanjiti, onda dijelimo gornji i donji dio na 2.
Mješoviti broj se lako pretvori u nepravilnu frakciju (to je potrebno prilikom razdvajanja i množenjem frakcija). Da biste to učinili: cijeli broj pomnožite na dnu frakcije i dodajte broj na ovo. Spremni. Dnominator se ne mijenja.
Proračuni sa frakcijama 6. razreda
Mješoviti brojevi mogu se saviti. Ako su nazivnici isti, onda je lako to učiniti: prekrivamo čitave dijelove i brojeve, nazivnik ostaje na mjestu.
Kada dodajete brojeve različitim nazivačem, proces je teže. Prvo dajemo broj jednom malom denominatoru (nos).
U donjem primjeru, za brojeve 9 i 6, naziv će biti 18. Nakon toga su potrebni dodatni množitelji. Da biste ih pronašli, 18 podijeljeno s 9, tako da postoji dodatni broj - 2. Pomnoženo je Nizer 4, pokazalo se da je 8/18). Isto je i sa drugim frakcijom. Transformirane frakcije su već sklopivi (cijeli brojevi i brojevi zasebno, nazivnik se ne mijenja). U primjeru, odgovor je morao biti pretvoren u ispravan frakciju (u početku se brojčanik pokazao da je veći od nazivnika).
Imajte na umu da je razlika frakcija algoritam akcija isti.
Prilikom množenja frakcija važno je staviti i na jednu liniju. Ako se broj pomiješa, zatim ga pretvorite u jednostavan frakciju. Zatim množite gornji i donji dijelovi i napišite odgovor. Ako možete vidjeti da se frakcija može smanjiti, a zatim odmah smanjiti.
U navedenom primjeru ništa nije moralo skratiti, jednostavno je zabilježio odgovor i dodijelio cijeli dio.
U ovom primjeru morao sam smanjiti brojeve pod jednom funkcijom. Iako je moguće smanjiti odgovor spreman.
Prilikom dijeljenja algoritma je gotovo isti. Prvo, miješali smo mješovitu frakciju u krivu, a zatim upišite brojeve pod jednu funkciju, zamijenite podjelu množenjem. Ne zaboravite gornji i donji dio druge frakcije za promjenu mjesta (ovo je vladavina podjela frakcija).
Ako je potrebno, smanjujući broj (u primjeru u nastavku bio je smanjen na prvih pet i dva). Nepravilan pretvaranje frakcije, ističući cijeli dio.
Osnovni zadaci za frakcije 6. razreda
Video prikazuje još nekoliko zadataka. Za jasnoću, grafičke slike rješenja pomoći će jasno da zamislim frakcije.
Primjeri množenja frakcija 6 sa objašnjenjima
Zaštita frakcija napisane su pod istom linijom. Nakon toga smanjuju se dijeljenjem istih brojeva (na primjer, 15 u nazivniku i 5 u brojevniku mogu se podijeliti u pet).
Usporedba frakcija 6. razreda
Da biste uporedili frakcije, morate se sjetiti dva jednostavna pravila.
Pravilo 1. Ako su različiti nazivnici
Pravilo 2. Kada su nazivnici isti
Na primjer, uspoređujemo frakcije 7/12 i 2/3.
- Gledamo na denominatore, oni se ne podudaraju. Dakle, morate pronaći zajedničku.
- Za frakcije, generalni nazivnik će biti 12.
- Podijelimo 12 prvo na dnu prvog frakcije: 12: 12 \u003d 1 (ovo je dodatni faktor za 1. frakciju).
- Sada 12 Podijelite sa 3, dobivamo 4 - dodaj. Multiplikator 2. frakcije.
- Pomnožite brojke dobivene na brojevima za pretvaranje frakcija: 1 x 7 \u003d 7 (prvi frakcija: 7/12); 4 x 2 \u003d 8 (drugi frakcija: 8/12).
- Sada možemo usporediti: 7/12 i 8/12. Pokazalo se: 7/12.< 8/12.
Za predstavljanje frakcije bolje, moguće je da jasnoća koristi slike u kojima je objekt podijeljen na dijelove (na primjer, tortu). Ako trebate uporediti 4/7 i 2/3, u prvom slučaju, torta je podijeljena na 7 dijelova i odaberite 4 od njih. U drugom - podijelite na 3 dijela i uzmite 2. Goli okom će shvatiti da će 2/3 biti više od 4/7.
Primjeri sa frakcijama 6. razreda za obuku
Sljedeći zadaci možete izvesti kao treninga.
- Uporedite frakcije
- obavlja umnožavanje
Savjet: Ako je teško pronaći najmanji zajednički nazivnik u frakcijama (posebno ako su vrijednosti male), tada možete umnožiti naziva prvog i drugog frakcije. Primjer: 2/8 i 5/9. Pronađite njihov nazivnik jednostavno: 8 Pomnožite sa 9, ispada 72.
Rješavanje jednadžbi sa frakcijama 6. razreda
U rješavanju jednadžbi morate se prisjetiti koraka sa frakcijama: množenje, podjela, oduzimanje i dodatak. Ako je jedan od multiplikatora nepoznat, rad (rezultat) podijeljen je u poznati multiplikator, odnosno frakcije su promjenjive (drugi prelazi).
Ako je nepoznato razdvojeno, nazivnik je pomnožen od razdjelnika, a za potragu za razdjelnikom morate se podijeliti na privatni.
Zamislite jednostavne primjere rješavanja jednadžbi:
To treba samo napraviti razliku u frakcijama, a ne dovodeći do zajedničkog nazivnika.
Odgovor se pokazao u obliku pogrešne frakcije. Može se pretvoriti u 1 cjelinu i 3/5.
U drugoj metodi, brojčanik i nazivnik pomnoženi su sa 4 da bi skratili donji deo, a ne okreću nazivnika.
Uputstvo
Uobičajeno je dijeliti obične i decimalne frakcije, poznanstvo koje započinje u srednjoj školi. Trenutno nema takvih područja znanja u kojem se ne bi koristilo. Čak i mi govorimo o prvom 17. stoljeću, a svi odjednom, koji se namijenjen 1600-1625. Takođe se često moraju suočiti sa osnovnim akcijama iznad frakcija, kao i njihovu pretvorbu iz jedne vrste u drugu.
Dovođenje frakcija široj nazivniku možda je najvažnija akcija u odnosu na obične frakcije. To je osnova za apsolutno sve računanje. Dakle, recimo da postoje dvije frakcije A / B i C / D. Zatim, kako biste ih doveli u zajednički nazivnik, morate pronaći najmanji opći višestruki (M) brojevi B i D, a dodatno pomnožite brojčanika prvog frakcije na (m / b), a drugi broj na ( M / d).
Usporedba frakcija, još jedan važan zadatak. Da biste to učinili, ponesite navedene jednostavne frakcije široj nazivniku i zatim uporedite brojeve čiji će broj biti više, frakcija i još mnogo toga.
Da biste akumulirali ili oduzmili obične frakcije, morate ih dovesti u zajednički nazivnik, a zatim napravite željenu matematičku akciju s ovim brojevima frakcije. Dnominator ostaje nepromijenjen. Pretpostavimo da morate oduzeti C / D iz A / B. Da biste to učinili, potrebno je pronaći najmanji općenito više m brojeva B i D, a nakon oduzimanja od jednog brojeva drugog, bez promjene denominatora: (A * (m / d) - (C * (m / d)) / m
Dovoljno je jednostavno umnožiti jednu frakciju na drugu, za to bi se jednostavno više pomnožili njihovi brojevi i nazivnici:
(A / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) da podijelite jednu frakciju na drugu, morate podijeliti podijeliti u djelić obrnutog razdjelnika. (A / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
Troškova se prisjeti da bi se dobio u obrnutoj frakciji, potreban vam je brojčanik i nazivnik za promjenu mjesta.
Za savijanje 2 frakcije sa identični nazivnici, potrebno je saviti svoje brojeve, a nazivnikeostaviti nepromijenjenim.Usvajanje frakcija, primjeri:
Opća formula za dodavanje uobičajenih frakcija i oduzimanje frakcija s istim nazivnicima:
Bilješka! Provjerite da li je nemoguće smanjiti frakciju koji ste dobili pisanjem odgovora.
Dodavanje frakcija sa različitim nazivnicima.
Pravila za dodavanje frakcija sa različitim nazitorima:
- dajemo frakciju na najmanji generalni nazivnik (br). Da biste to učinili, pronađite najmanje općenito višestruki (NOK) nazivnici;
- skladimo obrasce frakcija, a nazivnici se ne mijenjaju;
- smanjujući frakciju koji imaju;
- ako se dobije pogrešan frakcija - transformiramo pogrešnu frakciju u mješoviti dio.
Primjeri Dodaci frakcije sa različitim nazivnicima:
Dodavanje mješovitih brojeva (miješane frakcije).
Pravila za dodavanje mješovitih frakcija:
- predstavljamo frakcijske dijelove tih brojeva na najmanji generalni nazivnik (br);
- odvojeno prekrižemo cijele dijelove i odvojene frakcijske dijelove, preklopimo rezultate;
- ako su, kada su frakcijski dijelovi dodatni, pogrešan frakcija, dodijelimo cijeli dio toga frakcije i dodaju ga na rezultirajuće cijeli broj;
- smanjite nastali frakciju.
Primer Dodaci mješoviti fraci:
Dodaci decimalne frakcije.
Prilikom propadanja decimalnih frakcija, proces piše "faza" (kao uobičajeno umnožavanje stupca),tako da su elementi ispuštanja bili jedno u drugom bez pomicanja. Zarez je potrebanporavnajte jednoj jednoj drugoj.
Smanjena pravila za decimalne frakcije:
1. Ako je potrebno, izjednačite broj decimalnih znakova. Da biste to učinili, dodajte nule napotrebne frakcije.
2. Zabilježite frakciju tako da su zarez jedni drugima.
3. Skladimo frakcije, ne obraćajući pažnju na zarez.
4. Stavili smo zarez u iznos ispod zareza, frakcije koje savijamo.
Bilješka! Kada navedeni decimalni min ima različit broj znakova (brojeva) nakon zareza,zatim u frakciju, koji ima manje decimalnih znakova pripisuju željeni broj nula, za jednadžbu usnimke broja maraka nakon zareza.
Hajde da smislimo primer. Pronađite iznos decimalnih frakcija:
0,678 + 13,7 =
Izjednačite broj mjesta nakon zareza u decimalnim frakcijama. Dodajte 2 nula prava na decimalnodrobi. 13,7 .
0,678 + 13,700 =
Zapisati odgovor:
0,678 + 13,7 = 14,378
Ako a dodavanje decimalnih frakcija Dovoljno si dobro savladao, tada se nestale nule mogu dodatiu vidu.
Ovaj članak počinje da studiraju akcije sa algebarskim frakcijama: detaljno razmotrite takve akcije kao dodatak i oduzimanje frakcija algebarske frakcije. Mi ćemo analizirati shemu dodatnih i oduzimanjem algebarske frakcije kao i kod istih nazivnika, a s različitim. Proučavamo kako savijati algebarsku frakciju sa polinom i kako ih odbiti. Na konkretnim primjerima objasnit ćemo svaki korak traženja rješavanja problema.
Akcija dodavanja i oduzimanja s istim nazivnicima
Shema dodavanja običnih frakcija primjenjiva je za algebraiku. Znamo da prilikom dodavanja ili oduzimanja običnih frakcija s istim naznatima, potrebno je dodati ili oduzeti njihove brojeve, a nazivnik ostaje početni.
Na primjer: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 i 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.
U skladu s tim, formiranje i oduzimanje algebarske frakcije s istim naznakama bilježe se na sličan način:
Definicija 1.
Da bi se dodali ili oduzmele algebralne frakcije s istim nazitorima, potrebno je sastaviti u skladu s tim ili oduzeti brojeve iz izvora, a nazivnik je zabilježen nepromijenjen.
Ovo pravilo omogućava zaključiti da je rezultat dodavanja ili oduzimanja algebarskog frakcija nova algebarska frakcija (u konkretnom slučaju: polinom, sam ili broj).
Navedite primjer primjene formuliranog pravila.
Primjer 1.
Algebarske frakcije su date: x 2 + 2 · X · Y - 5 X 2 · Y - 2 i 3 - X · Y X 2 · Y - 2. Potrebno je napraviti ih dodavanjem.
Odluka
Početne frakcije sadrže iste anominatore. Prema pravilu, izvršit ćemo dodavanje brojeva danih frakcija, a nazivnik će ostati nepromijenjen.
Nakon preklapanja polinoma, koji su brojčari izvornih frakcija, dobivamo: X 2 + 2 · X · Y - 5 + 3 - X · Y \u003d X 2 + (2 · X · Y - X · Y) - 5 + 3 \u003d X 2 + X · Y - 2.
Tada će željeni iznos biti zabilježen kao: X 2 + X · Y - 2 X 2 · Y - 2.
U praksi, kao u mnogim slučajevima, rješenje donosi lanac jednakosti, vizualno prikazuje sve faze rješenja:
x 2 + 2 · X · Y - 5 X 2 · Y - 2 + 3 - X · YX 2 · Y - 2 \u003d X 2 + 2 · X · Y - 5 + 3 - X · YX 2 · Y - 2 \u003d X 2 + X · Y - 2 X 2 · Y - 2
Odgovor: X 2 + 2 · X · Y - 5 X 2 · Y - 2 + 3 - X · Y X 2 · Y - 2 \u003d X 2 + X · Y - 2 X 2 · Y - 2.
Rezultat dodavanja ili oduzimanja može biti smanjena frakcija, u ovom je slučaju optimalno smanjena.
Primjer 2.
Potrebno je oduzeti od algebarskog frakcije x x 2 - 4 · y 2 frakcija 2 · y x 2 - 4 · y 2.
Odluka
Ranneli početnih frakcija su jednake. Napravit ćemo akcije sa brojevima, naime: bit će oduzeti iz Nizernog nizu prve frakcije drugog, nakon čega ću napisati rezultat, napuštajući denominator nepromijenjen:
x X 2 - 4 · Y 2 - 2 · Y x 2 - 4 · y 2 \u003d X - 2 · Y x 2 - 4 · y 2
Vidimo da se rezultirajuća frakcija smanjuje. Izvodimo njegovo smanjenje, pretvaranjem nazivnika pomoću kvadratne razlike formule:
x - 2 · Y X 2 - 4 · Y 2 \u003d X - 2 · Y (X - 2 · Y) · (x + 2 · y) \u003d 1 x + 2 · y
Odgovor: X X 2 - 4 · Y 2 - 2 · Y x 2 - 4 · y 2 \u003d 1 x + 2 · y.
Za isti princip su oduzeti tri i više algebrijskih frakcija s istim nazivnicima. Na primjer:
1 X 5 + 2 · X 3 - 1 + 3 · X - X 4 X 5 + 2 · X 3 - 1 - X 2 x 5 + 2 · X 3 - 1 - 2 · X 3 X 5 + 2 · X 3 - 1 \u003d 1 + 3 · X - X 4 - X 2 - 2 · X 3 X 5 + 2 · X 3 - 1
Akcija dodavanja i oduzimanja različitih nazivnika
Ponovno se okrenete shemi akcije sa običnim frakcijama: akumulirati ili oduzeti obične frakcije s različitim nazitorima, potrebno ih je donijeti u zajednički nazivnik, a zatim se preklopili rezultirajuće frakcije s istim nazivnicima.
Na primjer, 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 ili 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.
Takođe, analogijom formuliramo pravilo o dodavanju i oduzimanju algebričnih frakcija sa različitim nazivnicima:
Definicija 2.
Da biste napravili dodavanje ili oduzmene algebarske frakcije s različitim nazitorima, potrebno je:
- izvor frakcije vode u zajednički nazivnik;
- obavljate dodavanje ili oduzimanje frakcija dobivenih istim nazivnicima.
Očito će ključ ovdje biti vještina donijeti algebarske frakcije općem nazivniku. Mi ćemo analizirati više.
Donošenje algebričnih frakcija u zajednički nazivnik
Da bi se algebarske frakcije donijeli zajednički nazivnik, potrebno je implementirati identičnu transformaciju frakkata danih frakcijama, kao rezultat kojih su nazivnici početnih frakcija postanu isti. Ovdje je optimalno djelovati na sljedećem algoritmu za algebarske frakcije zajedničkog nazivnika:
- prvo utvrđujemo cjelokupni nazivnik algebarske frakcije;
- zatim pronalazimo dodatne greške za svaku od frakcija, dijeljenjem generalnog nazivnika na znakove početnih frakcija;
- potonje akcije, brojevi i nazivnici navedenih algebričnih frakcija množe se odgovarajućim dodatnim greškama.
Navedene su algebarske frakcije: A + 2 2 · A 3 - 4 · A 2, A + 3 3 · A 2 - 6 · A i A + 1 4 · A 5 - 16 · A 3. Potrebno ih je dovesti do generalnog nazivnika.
Odluka
Ponašamo prema gore navedenom algoritmu. Definiramo cjelokupni nazivnik početnih frakcija. U tu svrhu rasparit ćemo nazivnike frakcija grešaka: 2 · A 3 - 4 · A 2 \u003d 2 · A 2 · (A - 2), 3 · A 2 - 6 · A \u003d 3 · A · (A - 2) i 4 · A 5 - 16 · A 3 \u003d 4 · A 3 · (A - 2) · (A + 2). Odavde možemo napisati zajednički nazivnik: 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2).
Sada moramo pronaći dodatne množitelje. Podjelimo se, prema algoritmu, našli su generalni nazivnik na nazivnicima početnih frakcija:
- za prvi frakcija: 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2): (2 · A 2 · (A - 2)) \u003d 6 · A · (A + 2);
- za drugu frakciju: 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2): (3 · A · (A - 2)) \u003d 4 · A 2 · (A + 2);
- za treći frakciju: 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2): (4 · A 3 · (A - 2) · (A + 2)) \u003d 3 .
Sljedeći korak je umnožavanje brojeva i nazivnika navedenih frakcija za pronađene dodatne faktore:
a + 2 2 · A 3 - 4 · A 2 \u003d (A + 2) · 6 · A · (A + 2) (2 · A 3 - 4 · A 2) · 6 · A · (A + 2) \u003d 6 · A · (A + 2) 2 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2) A + 3 3 · A 2 - 6 · A \u003d (A + 3) · 4 · A 2 · ( A + 2) 3 · A 2 - 6 · A · 4 · A 2 · (A + 2) \u003d 4 · A 2 · (A + 3) · (A + 2) 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2) A + 1 4 · A 5 - 16 · A 3 \u003d (A + 1) · 3 (4 · A 5 - 16 · A 3) · 3 \u003d 3 · (A + 1) 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2)
Odgovor: A + 2 2 · A 3 - 4 · A 2 \u003d 6 · A · (A + 2) 2 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2); A + 3 3 · A 2 - 6 · A \u003d 4 · A 2 · (A + 3) · (A + 2) 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2); A + 1 4 · A 5 - 16 · A 3 \u003d 3 · (A + 1) 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2).
Dakle, vodili smo izvornu frakciju široj nazivniku. Ako je potrebno, možete nastaviti pretvoriti rezultate u vrsti algebarske frakcije, umnoženjem polinoma i univerzija u brojevima i nazivnicima.
Također pojašnjavamo takvi trenutak: ukupni nađeni nazivnik je optimalno ostavljen u obliku rada u slučaju potrebe za smanjenjem konačne frakcije.
Pregledali smo detaljnu shemu za dovođenje početnih algebarskih frakcija na zajednički nazivnik, sada možemo sada nastaviti s analizom primjera dodavanja i oduzimanja frakcija s različitim nazitorima.
Primjer 4.
Frakcije algebrijske frakcije su date: 1 - 2 · x x 2 + x i 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2. Potrebno je učiniti učinak njihovog dodatka.
Odluka
Početne frakcije imaju različite nazivnike, pa ih prvo dajemo zajedničkom nazivniku. Zatvori nanominatori za množitelje: x 2 + x \u003d x · (x + 1) i X 2 + 3 · X + 2 \u003d (x + 1) · (x + 2),jer Kvalite se trostruke tri snimke X 2 + 3 · X + 2 Ovo su brojevi: - 1 i - 2. Odredite general nazivnik: X · (X + 1) · (X + 2), tada će biti dodatne greške: X + 2.i - X.za prve i druge frakcije, respektivno.
Dakle: 1 - 2 · XX 2 + X \u003d 1 - 2 · XX · (x + 1) \u003d (1 - 2 · X) · (x + 2) x · (x + 1) · (x + 2) \u003d X + 2 - 2 · X 2 - 4 · XX · (X + 1) · X + 2 \u003d 2 - 2 · X 2 - 3 · XX · (X + 1) · (X + 2) i 2 · X + 5 x 2 + 3 · X + 2 \u003d 2 · X + 5 (X + 1) · (X + 2) \u003d 2 · X + 5 · X (x + 1) · (X + 2) · X \u003d 2 · X 2 + 5 · XX · (X + 1) · (X + 2)
Sada položite frakcije koje smo vodili do zajedničkog nazivnika:
2 - 2 · X 2 - 3 · XX · (X + 1) · (X + 2) + 2 · X 2 + 5 · X · (X + 1) · (X + 2) \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · X + 2 · X 2 + 5 · XX · (X + 1) · (X + 2) \u003d 2 · 2 · XX · (X + 1) · (X + 2)
Rezultirajuća frakcija moguća je smanjiti ukupni multiplikator X + 1:
2 + 2 · X X · (X + 1) · (X + 2) \u003d 2 · (x + 1) x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 x · (x + 2)
I, na kraju, rezultirajući rezultat zabilježen je u obliku algebarskog frakcije, zamijenivši rad u nazivniku polinoma:
2 X · (X + 2) \u003d 2 x 2 + 2 · X
Odluku odluke nakratko bilježimo kao lanac jednakosti:
1 - 2 · xx 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 1 - 2 · xx · (x + 1) + 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2 ) \u003d \u003d 1 - 2 · X · (x + 2) X · X + 1 · X + 2 + 2 · X + 5 · X (x + 1) · (X + 2) · X \u003d 2 - 2 · X 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · X 2 + 5 · XX · (X + 1) · (X + 2) \u003d 2 · x + 1 x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 x · (x + 2) \u003d 2 X 2 + 2 · X
Odgovor: 1 - 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 · x
Obratite pažnju na ovaj detalj: Prije nego što je moguće, ako je moguće, preklopite ili odbijete, ako je moguće, poželjno pretvoriti ih u pojednostavljenje.
Primjer 5.
Potrebno je izvršiti oduzimanje frakcija: 2 1 1 3 · X - 2 21 i 3 · X - 1 1 7 - 2 · X.
Odluka
Transformiramo izvorne algebarske frakcije da pojednostavimo daljnje rješenje. Prenosit ću broj varijabilnih koeficijenata u nazivniku:
2 1 1 3 · X - 2 21 \u003d 2 4 3 · X - 2 21 \u003d 2 4 3 · X - 1 14 i 3 · X - 1 1 7 - 2 · X \u003d 3 · X - 1 - 2 · X - 1 14.
Ova transformacija nedvosmisleno nam je dala koristi: očito vidimo prisustvo zajedničkog faktora.
Riješit ću se numeričkih koeficijenata u nazivnicima. Da bismo to učinili, koristimo osnovnu imovinu algebarske frakcije: Brojčanik i nazivnik prve frakcije množit će se sa 3 4, a drugi na - 1 2, a zatim dobivamo:
2 4 3 · X - 1 14 \u003d 3 4 · 2 3 4 · 4 3 · X - 1 14 \u003d 3 2 X - 1 14 i 3 · X - 1 - 2 · X - 1 14 \u003d - 1 2 · 3 · X - 1 - 1 2 · - 2 · X - 1 14 \u003d - 3 2 · X + 1 2 X - 1 14.
Izvršit ćemo akciju koja će nam omogućiti da se riješimo frakcijskih koeficijenata: Pomnožite rezultirajuće frakcije na 14:
3 2 X - 1 14 \u003d 14 · 3 2 14 · X - 1 14 \u003d 21 14 · X - 1 i - 3 2 · X + 1 2 X - 1 14 \u003d 14 · - 3 2 · X + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 · X + 7 14 · X - 1.
Konačno, izvršite radnju potrebnu u stanju - oduzimanje:
2 1 1 3 · X - 2 21 - 3 · X - 1 1 7 - 2 · X \u003d 21 14 · X - 1 - - 21 · X + 7 14 · X - 1 \u003d 21 - - 21 · X + 7 14 · X - 1 \u003d 21 · X + 14 14 · X - 1
Odgovor: 2 1 1 3 · X - 2 21 - 3 · X - 1 1 7 - 2 · X \u003d 21 · X + 14 14 · X - 1.
Dodavanje i oduzimanje algebrijskih frakcija i polinoma
Ova akcija se također smanjuje na dodavanje ili oduzimanje algebarske frakcije: Potrebno je dostaviti originalni polinom kao frakciju sa nazivom 1.
Primjer 6.
Potrebno je proizvesti polinom X 2 - 3 sa algebričnim frakcijom 3 · x x + 2.
Odluka
Napišemo polinom kao algebarsku frakciju s nazivom 1: x 2 - 3 1
Sada možemo izvesti dodatak po pravilu djelišća frakcija sa različitim nazivnicima:
x 2 - 3 + 3 · XX + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 · xx + 2 \u003d x 2 - 3 · (x + 2) 1 · x + 2 + 3 · xx + 2 \u003d x 3 + 2 · X 2 - 3 · X - 6 X + 2 + 3 · XX + 2 \u003d X 3 + 2 · X 2 - 3 · X - 6 + 3 · XX + 2 \u003d X 3 + 2 · X 2 - 6 X + 2 .
Odgovor: X 2 - 3 + 3 · X X + 2 \u003d X 3 + 2 · X 2 - 6 X + 2.
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter
Sljedeća radnja koja se može izvesti običnim frakcijama je oduzimanje. Kao dio ovog materijala, pogledat ćemo kako pravilno izračunati razliku frakcija s istim i različitim nazionicama, kako oduzeti frakciju iz prirodnog broja i obrnuto. Svi primjeri bit će ilustrirani zadacima. Unaprijed ćemo odrediti da ćemo rastaviti samo slučajeve kada razlika frakcije daje pozitivan broj kao rezultat.
Kako pronaći diferencijalni dio s istim nazivnicima
Započnimo odmah sa vizuelnim primerom: Na primjer, imamo jabuku koja je podijeljena na osam dijelova. Ostavimo pet dijelova na tanjuru i od njih odmorimo njih. Ova akcija se može napisati ovako:
Kao rezultat toga, ostavili smo 3 osmi režnjevi, od 5 - 2 \u003d 3. Ispada da 5 8 - 2 8 \u003d 3 8.
Zahvaljujući ovom jednostavnom primjeru, vidjeli smo tačno kako pravilo za odbitak djeluje za frakcije, od kojih su nazivnici isti. Reč.
Definicija 1.
Da biste pronašli razliku od frakcija s istim nazivačima, potrebni su vam od brojeva jednog pod oduzimanja broja drugog, a nazivnik je ostavljen za isti. Ovo se pravilo može napisati u obliku a b - c B \u003d A - C B.
Koristićemo takvu formulu u budućnosti.
Poduzimaju posebne primjere.
Primjer 1.
Uklonite iz frakcije 24 15 uobičajena frakcija 17 15.
Odluka
Vidimo da ove frakcije imaju iste nazivnike. Stoga, sve što trebamo učiniti je oduzeti 17 od 24. Dobili smo 7 i dodajemo nazivnika, dobićemo 7 15.
Naši proračuni mogu se napisati na sljedeći način: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Ako je potrebno, možete smanjiti tešku frakciju ili dodijeliti cijeli dio iz pogrešne da biste pročitali bilo je prikladnije.
Primjer 2.
Pronađite razliku 37 12 - 15 12.
Odluka
Koristimo gore opisanu formulu i izračunavamo: 37 12 - 15 12 \u003d 37 - 15 12 \u003d 22 12
Lako je primijetiti da se brojčanik i nazivnik mogu podijeliti u 2 (već smo ranije govorili o tome kada su rastavljali znakove djelistiteljstva). Smanjivanje odgovora, dobivamo 11 6. Ovo je pogrešna frakcija iz kojeg ističemo cijeli dio: 11 6 \u003d 1 5 6.
Kako pronaći razliku od frakcija s različitim nazivnicima
Takva matematička akcija može se smanjiti na ono što smo već opisali gore. Da biste to učinili, jednostavno dajte potrebne frakcije jednom nazivniku. Formuliramo definiciju:
Definicija 2.
Da biste pronašli razliku u frakcijama koje imaju različite nazivatelje, potrebno ih je donijeti u jedan nazivnik i pronaći razliku u brojevima.
Razmislite o primjeru, kao što se radi.
Primjer 3.
Uklonite iz 2 9 frakcije 1 15.
Odluka
Daneli su različite, a trebate ih dovesti do najmanju opće vrijednosti. U ovom slučaju, NOC je 45. Za prvu frakciju potreban je dodatni faktor 5, a drugi - 3.
Izračunavamo: 2 9 \u003d 2 · 5 9 · 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 · 3 15 · 3 \u003d 3 45
Imamo dvije frakcije s istim nazivačem, a sada lako možemo pronaći njihovu razliku prema prethodno opisanom algoritamu: 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45
Kratki zapis o otopini izgleda ovako: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Ne zanemarujte rezultat rezultata ili raspodjele cijelog dijela iz nje, ako je potrebno. U ovom primjeru, ne trebamo to raditi.
Primjer 4.
Pronađite razliku 19 9 - 7 36.
Odluka
Dajemo frakcije navedene u stanju na najmanji generalni nazivnik 36 i dobijaju 76 9 i 7 36, respektivno.
Smatramo odgovor: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Rezultat se može smanjiti za 3 i dobiti 23 12. Brojčanik je veći od nazivnika, što znači da možemo istaknuti cijeli dio. Konačni odgovor je 1 11 12.
Kratki zapis cijelog rješenja - 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
Kako odbiti od uobičajene frakcije prirodni broj
Takva se akcija lako smanjuje i na jednostavnu oduzimanje običnih frakcija. To se može učiniti predstavljanjem prirodnog broja u obliku frakcije. Pokažimo se na primjeru.
Primjer 5.
Pronađite razliku 83 21 - 3.
Odluka
3 je isto kao 3 1. Tada možete izračunati ovo: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Ako stanje treba napraviti čitav broj pogrešnih frakcija, prikladnije je prvo izdvojiti cijeli broj iz njega, pišući ga u obliku mješovitih broja. Tada se prethodni primjer može riješiti na neki drugi način.
Iz frakcije 83 21 Kada se odabere čitav dio, dobit će se 83 21 \u003d 3 20 21.
Sada samo pročitajte 3 od toga: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.
Kako oduzeti običnu frakciju iz prirodnog broja
Ova akcija se vrši slično kao i prethodni: mi prepisujemo prirodni broj u obliku frakcije, dovedi oba na jedan naznaka i pronađi razliku. Ilustriramo ovaj primer.
Primjer 6.
Pronađite razliku: 7 - 5 3.
Odluka
Uzet ćemo 7 frakcija 7 1. Izvrsnimo i pretvorimo konačni rezultat, ističući cijeli broj iz njega: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.
Postoji još jedan način izračuna. Ima neke prednosti koje se mogu koristiti u slučajevima ako su brojke i nazivnici frakcija u problemu veliki broj.
Definicija 3.
Ako je frakcija koju trebate odbiti je tačno, tada prirodni broj iz kojeg ćemo oduzeti, morate biti zastupljeni kao zbroj dva broja, od kojih je jedna 1. Nakon toga morate oduzeti željenu frakciju iz jedinice i dobiti odgovor.
Primjer 7.
Izračunajte razliku 1 065 - 13 62.
Odluka
Frakcija koja je potrebna za odbitak je tačna, jer je njegov broj manji od nazivnika. Stoga moramo oduzeti jedinicu od 1065. godine i oduzeti od njega željeni frakcija: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Sada moramo pronaći odgovor. Koristeći svojstva odbitka, rezultirajući izraz može se napisati kao 1064 + 1 - 13 62. Izračunajte razliku u zagradama. Za to će jedinica biti zamišljena kao udio 1 1.
Ispada da je 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Sada se sećamo oko 1064 i formulisati odgovor: 1064 49 62.
Koristimo stari način da dokažemo da je manje zgodno. Ovi bi proračuni izašli:
1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 · 62 1 · 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
Odgovor je isti, ali on se očito broji, više nezgrapno.
Smatrali smo slučaj kada trebate odbiti ispravnu frakciju. Ako nije u redu, zamjenjujemo ga mješovitim brojem i izvršimo oduzimanje poznatim pravilima.
Primjer 8.
Izračunajte razliku 644 - 73 5.
Odluka
Druga frakcija je netačna, a potrebno je razdvojiti cijeli dio.
Sada izračunavamo sličan kao i prethodni primjer: 630 - 3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
Svojstva oduzimanja pri radu sa frakcijama
Svojstva koja su izdranje prirodnih brojeva distribuirana i u slučajevima oduzimanja običnih frakcija. Razmislite o tome kako ih koristiti prilikom rješavanja primjera.
Primjer 9.
Pronađite razliku 24 4 - 3 2 - 5 6.
Odluka
Već smo riješili slične primjere kada rastavljamo oduzimanje iznosa iz broja, pa djelujemo na već poznatom algoritmu. Prvo izračunavamo razliku od 25 4 - 3 2, a zatim uzmite zadnji frakcija iz njega:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Pretvorajemo odgovor, ističući cijeli dio iz nje. Ishod - 3 11 12.
Sažetak sve odluke:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Ako su frakcije i prirodni brojevi prisutni u izrazu, a preporučuje se grupiranje po tipu kada se izračunava.
Primer 10.
N led razlika 98 + 17 20 - 5 + 3 5.
Odluka
Poznavanje osnovnih svojstava oduzimanja i dodavanja, možemo grupirati brojeve na sljedeći način: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Kompletni proračuni: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter