Как се броят фракциите. Как да решаваме примери с дроби. Как да намерим разликата на дроби с един и същ знаменател
Учениците се запознават с дроби в 5 клас. Преди това хората, които знаеха как да извършват действия с фракции, бяха смятани за много умни. Първата фракция беше 1/2, тоест половината, след това се появи 1/3 и т.н. В продължение на няколко века примерите се смятаха за твърде сложни. Сега са разработени подробни правила за преобразуване на дроби, събиране, умножение и други действия. Достатъчно е да разберете малко материала и решението ще бъде лесно.
Обикновена дроб, наречена проста дроб, се записва като деление на две числа: m и n.
M е дивидентът, тоест числителят на фракцията, а делителят n се нарича знаменател.
Разпределете правилните фракции (m< n) а также неправильные (m > н).
Обикновената дроб е по-малка от една (например 5/6 - това означава, че 5 части са взети от една; 2/8 - 2 части са взети от една). Неправилната част е равна или по-голяма от 1 (8/7 - 1 е 7/7 и още една част се приема като плюс).
И така, единица е, когато числителят и знаменателят съвпадат (3/3, 12/12, 100/100 и други).
Действия с обикновени фракции клас 6
С прости фракции можете да направите следното:
- Разгъване на фракцията. Ако умножите горната и долната част на фракцията с някое от същото число (но не и нула), тогава стойността на фракцията няма да се промени (3/5 \u003d 6/10 (просто умножена по 2).
- Намаляването на фракциите е подобно на разширяването, но тук е разделено на някакъв брой.
- Сравнете. Ако две фракции имат еднакви числители, тогава по-голямата фракция ще бъде фракцията с по-ниския знаменател. Ако знаменателите са еднакви, тогава дробът с най-големия числител ще бъде по-голям.
- Извършете събиране и изваждане. Със същите знаменатели това е лесно да се направи (обобщаваме горните части, а долните не се променят). За различните ще трябва да намерите общ знаменател и допълнителни фактори.
- Умножете и разделете фракциите.
Ще разгледаме примери за действия с дроби по-долу.
Намалени фракции степен 6
Да се \u200b\u200bсъкрати означава да се разделят горната и долната част на фракцията с което и да е от същото число.
Фигурата показва прости примери за съкращения. В първата опция можете веднага да предположите, че числителят и знаменателят се делят на 2.
На бележка! Ако числото е четно, то по някакъв начин се дели на 2. Четните числа са 2, 4, 6 ... 32 8 (завършва с четно) и т.н.
Във втория случай, когато разделяме 6 на 18, веднага става ясно, че числата се делят на 2. Разделяйки, получаваме 3/9. Тази дроб се дели на 3. Тогава отговорът е 1/3. Ако умножите двата фактора: 2 по 3, тогава ще получите 6. Оказва се, че фракцията е разделена на шест. Това постепенно разделение се нарича последователно намаляване на фракциите от общи фактори.
Някой веднага ще дели на 6, някой ще се нуждае от деление на части. Основното е, че в края има част, която не може да бъде намалена по никакъв начин.
Имайте предвид, че ако дадено число се състои от цифри, като се събира до число, делимо на 3, тогава оригиналът също може да бъде намален с 3. Пример: номер 341. Добавете числата: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (8 не могат да бъдат разделени на 3, следователно числото 341 не може да бъде намалено с 3 без остатък). Друг пример: 264. Добавяне: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (делимо на 3). Получаваме: 264: 3 \u003d 88. Това ще опрости намаляването на големи числа.
В допълнение към метода на последователно намаляване на фракциите от общи фактори, има и други методи.
GCD е най-големият делител за число. След като намерихте GCD за знаменателя и числителя, можете веднага да намалите фракцията с желаното число. Търсенето се извършва чрез постепенно разделяне на всяко число. След това те разглеждат кои делители съвпадат, ако има няколко от тях (както е на снимката по-долу), тогава трябва да умножите.
Смесени фракции клас 6
Всички неправилни фракции могат да се превърнат в смесени, като се избере цялата част в тях. Цялото число е записано вляво.
Често трябва да направите смесено число от неподходяща дроб. Процесът на трансформация в примера по-долу: 22/4 \u003d 22 делим на 4, получаваме 5 цели числа (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Получаваме 5 цели числа и 2/4 (знаменателят не се променя). Тъй като фракцията може да бъде отменена, разделяме горната и долната част на 2.
Лесно е да превърнете смесено число в неподходяща дроб (това е необходимо при разделяне и умножаване на дроби). За да направите това: умножете цялото число по долната част на фракцията и добавете числителя към това. Свършен. Знаменателят не се променя.
Изчисления с фракции степен 6
Могат да се добавят смесени номера. Ако знаменателите са еднакви, тогава това е лесно да се направи: добавете цели части и числители, знаменателят остава на място.
При добавяне на числа с различни знаменатели процесът е по-сложен. Първо, довеждаме числата до един най-малък знаменател (NOZ).
В примера по-долу за числата 9 и 6 знаменателят е 18. След това са необходими допълнителни фактори. За да ги намерим, 18 трябва да се разделят на 9, така че е намерено допълнителното число - 2. Умножаваме го по числителя 4, за да получим дроби 8/18). Същото се прави и с втората фракция. Вече събираме преобразуваните дроби (цели числа и числители поотделно, не променяме знаменателя). В примера отговорът трябваше да бъде преобразуван в правилна дроб (първоначално числителят беше по-голям от знаменателя).
Моля, обърнете внимание, че процедурата е еднаква за разликата във фракциите.
Когато умножавате дроби, е важно да поставите и двете под една и съща линия. Ако числото е смесено, тогава го превръщаме в проста дроб. След това умножаваме отгоре и отдолу и записваме отговора. Ако можете да видите, че фракциите могат да бъдат отменени, тогава можем да ги намалим незабавно.
В горния пример не трябваше да изрязваме нищо, просто записахме отговора и избрахме цялата част.
В този пример трябваше да съкратя числата под един ред. Въпреки че можете да съкратите готов отговор.
За разделяне алгоритъмът е почти същият. Първо, превръщаме смесената фракция в неправилна, след това записваме числата под един ред, заменяйки делението с умножение. Не забравяйте да размените горната и долната част на втората фракция (това е правилото за разделяне на фракциите).
Ако е необходимо, намаляваме числата (в примера по-долу сме ги намалили с пет и две). Преобразуваме неправилната фракция, като изберем цялата част.
Основни задачи за фракции клас 6
Видеото показва още няколко задачи. За по-голяма яснота са използвани графични изображения на решения, които помагат да се визуализират фракциите.
Примери за умножение на фракция клас 6 с обяснения
Умножаващите се фракции се записват под един ред. След това те се намаляват чрез разделяне на едни и същи числа (например 15 в знаменателя и 5 в числителя могат да бъдат разделени на пет).
Сравнение на фракциите клас 6
За да сравните дроби, трябва да запомните две прости правила.
Правило 1. Ако знаменателите са различни
Правило 2. Когато знаменателите са еднакви
Например, нека сравним дроби 7/12 и 2/3.
- Разглеждаме знаменателите, те не съвпадат. Затова трябва да намерите общ.
- За дроби общият знаменател е 12.
- Разделяме 12 първо на долната част на първата фракция: 12: 12 \u003d 1 (това е допълнителен фактор за 1-ва фракция).
- Сега разделяме 12 на 3, получаваме 4 - добавяне. умножител на 2-ра фракция.
- Умножаваме получените числа по числителите, за да преобразуваме дроби: 1 x 7 \u003d 7 (първа дроб: 7/12); 4 x 2 \u003d 8 (втора дроб: 8/12).
- Сега можем да сравним: 7/12 и 8/12. Случи се: 7/12< 8/12.
За да представите по-добре фракциите, можете да използвате рисунки за по-голяма яснота, където обектът е разделен на части (например торта). Ако искате да сравните 4/7 и 2/3, тогава в първия случай тортата е разделена на 7 части и са избрани 4 от тях. Във второто го разделят на 3 части и отнемат 2. За простото око ще е ясно, че 2/3 ще бъде повече от 4/7.
Примери с фракции клас 6 за обучение
Като тренировка можете да изпълнявате следните задачи.
- Сравнете фракциите
- извърши умножение
Съвет: ако е трудно да се намери най-ниският общ знаменател за дроби (особено ако стойностите им са малки), тогава можете да умножите знаменателя на първата и втората дроби. Пример: 2/8 и 5/9. Намирането на знаменателя им е просто: умножаваме 8 по 9, получаваме 72.
Решаване на уравнения с фракции степен 6
При решаването на уравнения трябва да запомните действия с дроби: умножение, деление, изваждане и събиране. Ако един от факторите е неизвестен, тогава продуктът (общо) се разделя на известен коефициент, тоест фракциите се умножават (вторият се преобръща).
Ако дивидентът е неизвестен, тогава знаменателят се умножава по делителя и за да се намери делителят, дивидентът трябва да бъде разделен на коефициента.
Нека представим прости примери за решаване на уравнения:
Тук се изисква само да се получи разликата във фракциите, без да се стига до общ знаменател.
Отговорът излезе като неправилна дроб. Може да се преобразува в 1 цяло число и 3/5.
При втория метод числителят и знаменателят се умножават по 4, за да се премахне дъното, вместо да се обърне знаменателят.
Инструкции
Прието е да се разделят обикновени и десетични дроби, запознаването с които започва в гимназията. Понастоящем няма област на опит, която да не прилага това. Дори в ние казваме първия 17 век, и то наведнъж, което означава 1600-1625. Също така често се налага да се справяте с елементарни операции върху дроби, както и с тяхното преобразуване от един тип в друг.
Привеждането на дроби до общ знаменател е може би най-важното действие върху общите дроби. Това е основата за абсолютно всички изчисления. И така, да кажем, че има две фракции a / b и c / d. След това, за да ги доведете до общ знаменател, трябва да намерите най-малкото общо кратно (M) на числата b и d и след това да умножите числителя на първата дроб по (M / b) и числителя на втората от (M / d).
Сравнението на фракциите е друга важна задача. За да направите това, доведете дадените прости дроби до общ знаменател и след това сравнете числителите, чийто числител е по-голям, тази дроб и други.
За да извършите събиране или изваждане на обикновени дроби, трябва да ги доведете до общ знаменател и след това да извършите желаното математическо действие с числителите на тези дроби. Знаменателят остава непроменен. Да приемем, че трябва да извадите c / d от a / b. За да направите това, трябва да намерите най-малкото общо кратно M на числата b и d и след това да извадите другия от един числител, без да променяте знаменателя: (a * (M / b) - (c * (M / d) ) / М
Достатъчно е просто да умножите една дроб по друга, за това просто трябва да умножите техните числители и знаменатели:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) За да разделите една дроб от друга, трябва да умножите частта от дивидента по обратната на делителя. (a / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
Струва си да се припомни, че за да се получи реципрочната дроб, числителят и знаменателят трябва да бъдат обърнати.
За да добавите 2 фракции с същите знаменатели, е необходимо да добавите техните числители и знаменателитеоставете непроменено.Добавяне на фракции, примери:
Общата формула за добавяне на обикновени дроби и изваждане на дроби със същия знаменател е:
Забележка! Проверете дали можете да намалите частта, която сте получили, като запишете отговора.
Добавяне на дроби с различни знаменатели.
Правилата за добавяне на дроби с различни знаменатели:
- намалете фракциите до най-ниския общ знаменател (LCN). За това намираме най-малкия общ кратен (LCM) на знаменателите;
- съберете числителите на дроби и оставете знаменателите непроменени;
- намаляваме фракцията, която получихме;
- ако получите неправилна дроб, преобразувайте неправилната дроб в смесена дроб.
Примери за допълнения дроби с различни знаменатели:
Добавяне на смесени числа (смесени фракции).
Правила за добавяне на смесени фракции:
- довеждаме дробните части на тези числа до най-ниския общ знаменател (LCN);
- отделно добавете цели части и отделно частични части, добавете резултатите;
- ако при добавяне на дробни части получихме неправилна дроб, изберете цялата част от това фракция и я добавете към получената цяла част;
- намаляваме получената фракция.
Пример допълнения смесена фракция:
Добавяне на десетични дроби.
При добавяне на десетични дроби процесът се записва в "колона" (както обикновено умножение на колона),така че едноименните зауствания да са един под друг без изместване. Изискват се запетаиподравняваме ясно един под друг.
Правилата за добавяне на десетични дроби:
1. Ако е необходимо, изравнете броя на десетичните знаци. За да направите това, добавете нули къмнеобходимата фракция.
2. Записваме дроби, така че запетаите да са една под друга.
3. Добавете дроби, без да обръщате внимание на запетая.
4. Поставяме запетая в сумата под запетаите, дроби, които добавяме.
Забележка! Когато дадените десетични дроби имат различен брой цифри след десетичната запетая,след това приписваме необходимия брой нули на фракцията с по-малко десетични знаци за уравнението вфракциите са броят на десетичните знаци.
Нека разберем пример... Намерете сумата на десетичните дроби:
0,678 + 13,7 =
Изравнете броя на десетичните знаци в десетични дроби. Добавете 2 нули вдясно към десетичната запетаяфракции 13,7 .
0,678 + 13,700 =
Записваме отговор:
0,678 + 13,7 = 14,378
Ако добавяне на десетични дроби сте го овладели достатъчно добре, тогава липсващите нули могат да се добавятв съзнанието.
Тази статия започва изследването на действията с алгебрични дроби: ние ще разгледаме подробно такива действия като събиране и изваждане на алгебрични дроби. Нека анализираме схемата на събиране и изваждане на алгебрични дроби както с едни и същи знаменатели, така и с различни. Ще научим как да добавяме алгебрична дроб с полином и как да ги изваждаме. Нека обясним всяка стъпка от търсенето на решение на проблеми с конкретни примери.
Действия за събиране и изваждане със същите знаменатели
Схемата за добавяне на обикновени дроби е приложима и за алгебрични. Знаем, че когато добавяте или изваждате обикновени дроби със същите знаменатели, трябва да добавяте или изваждате техните числители, а знаменателят остава оригиналът.
Например: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 и 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.
Съответно правилото за събиране и изваждане на алгебрични дроби с едни и същи знаменатели се пише по подобен начин:
Определение 1
За да добавите или извадите алгебрични дроби със същите знаменатели, трябва да добавите или извадите съответно числителите на оригиналните дроби и да запишете знаменателя непроменен.
Това правило дава възможност да се заключи, че резултатът от събирането или изваждането на алгебрични фракции е нова алгебрична фракция (в конкретен случай: полином, моном или число).
Нека дадем пример за прилагане на формулираното правило.
Пример 1
Дадени са алгебрични дроби: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 и 3 - x y x 2 y - 2. Необходимо е да ги добавите.
Решение
Оригиналните фракции съдържат едни и същи знаменатели. Според правилото, нека добавим числителите на дадените дроби и оставим знаменателя непроменен.
Добавяйки многочлените, които са числителите на оригиналните дроби, получаваме: x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y \u003d x 2 + (2 x y - x y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x y - 2.
Тогава необходимата сума ще бъде записана като: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
На практика, както в много случаи, решението се дава чрез верига от равенства, ясно показващи всички етапи на решението:
x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2
Отговор: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2.
Резултатът от събирането или изваждането може да бъде отменяема фракция, в този случай е оптимално да се намали.
Пример 2
Необходимо е да се извади от алгебричната дроб x x 2 - 4 · y 2 фракцията 2 · y x 2 - 4 · y 2.
Решение
Знаменателите на оригиналните дроби са равни. Ще извършваме действия с числителите, а именно: изваждаме числителя на втория от числителя на първата дроб и след това записваме резултата, оставяйки знаменателя непроменен:
x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y x 2 - 4 y 2
Виждаме, че получената фракция е отменяема. Нека го намалим, като трансформираме знаменателя, като използваме формулата за разлика на квадратите:
x - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) \u003d 1 x + 2 y
Отговор: x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d 1 x + 2 y.
Съгласно същия принцип се добавят или изваждат три или повече алгебрични дроби с едни и същи знаменатели. Например:
1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 \u003d 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1
Действия за събиране и изваждане за различни знаменатели
Нека отново се обърнем към схемата на действия с обикновени дроби: за да добавите или извадите обикновени дроби с различни знаменатели, е необходимо да ги доведете до общ знаменател и след това да добавите получените дроби със същите знаменатели.
Например 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 или 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.
По същия начин ще формулираме правилото за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:
Определение 2
За да извършите събиране или изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели, трябва:
- намаляване на първоначалните дроби до общ знаменател;
- извършете събиране или изваждане на получените дроби със същите знаменатели.
Очевидно ключът тук ще бъде умението да се привеждат алгебрични дроби до общ знаменател. Нека да разгледаме отблизо.
Общ знаменател на алгебрични дроби
За да се приведат алгебрични дроби до общ знаменател, е необходимо да се извърши идентична трансформация на дадените дроби, в резултат на което знаменателите на първоначалните дроби стават еднакви. Тук е оптимално да се действа съгласно следния алгоритъм за привеждане на алгебрични дроби до общ знаменател:
- първо определяме общия знаменател на алгебрични дроби;
- след това намираме допълнителни фактори за всяка от фракциите, като разделяме общия знаменател на знаменателите на първоначалните дроби;
- последното действие числителите и знаменателите на дадените алгебрични дроби се умножават по съответните допълнителни множители.
Дадени са алгебрични дроби: a + 2 2 a 3 - 4 a 2, a + 3 3 a 2 - 6 a и a + 1 4 a 5 - 16 a 3. Необходимо е да ги доведем до общ знаменател.
Решение
Действаме съгласно горния алгоритъм. Определете общия знаменател на първоначалните дроби. За тази цел разлагаме знаменателите на дадените дроби: 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 2 a 2 (a - 2), 3 a 2 - 6 a \u003d 3 a (a - 2) и 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 4 a 3 (a - 2) (a + 2)... Оттук можем да запишем общия знаменател: 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Сега трябва да намерим допълнителни фактори. Нека разделим, според алгоритъма, намереният общ знаменател на знаменателите на оригиналните дроби:
- за първата фракция: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (2 a 2 (a - 2)) \u003d 6 a (a + 2);
- за втората фракция: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (3 a (a - 2)) \u003d 4 a 2 (a + 2);
- за третата фракция: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) \u003d 3 .
Следващата стъпка е да се умножат числителите и знаменателите на дадените дроби по намерените допълнителни фактори:
a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d (a + 3) 4 a 2 (a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (A + 2) a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d (a + 1) 3 (4 a 5 - 16 a 3 ) 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2)
Отговор: a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
И така, доведохме оригиналните дроби до общ знаменател. Ако е необходимо, можете допълнително да трансформирате резултата под формата на алгебрични дроби, като умножите полиноми и мономи в числителите и знаменателите.
Нека изясним и следната точка: оптимално е намереният общ знаменател да се остави под формата на произведение, в случай че е необходимо да се отмени крайната дроб.
Разгледахме подробно схемата за намаляване на първоначалните алгебрични дроби до общ знаменател, сега можем да започнем да анализираме примери за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.
Пример 4
Дадени са алгебрични дроби: 1 - 2 x x 2 + x и 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Необходимо е да се извърши действието на тяхното добавяне.
Решение
Оригиналните дроби имат различни знаменатели, така че първата стъпка е да ги доведете до общ знаменател. Фактор на знаменателите: x 2 + x \u003d x (x + 1) и x 2 + 3 x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2),от квадратни триномиални корени x 2 + 3 x + 2 това са числа: - 1 и - 2. Определете общия знаменател: x (x + 1) (x + 2), тогава допълнителните фактори ще бъдат: x + 2и - хза първата и втората фракции, съответно.
По този начин: 1 - 2 xx 2 + x \u003d 1 - 2 xx (x + 1) \u003d (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) \u003d x + 2 - 2 x 2 - 4 xx (x + 1) x + 2 \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) и 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 X 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2)
Сега нека добавим дробовете, които доведохме до общ знаменател:
2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 2 xx (x + 1) (x + 2)
Получената фракция може да бъде намалена с общ коефициент x + 1:
2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2)
И накрая, записваме получения резултат под формата на алгебрична дроб, като заместваме произведението в знаменателя с полином:
2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Нека запишем хода на решението накратко като верига от равенства:
1 - 2 xx 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 1 - 2 xx (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 1 - 2 x (x + 2) xx + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Отговор: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 x
Обърнете внимание на тази подробност: преди да добавяте или изваждате алгебрични дроби, ако е възможно, е желателно да ги трансформирате, за да опростите.
Пример 5
Необходимо е да се извадят дроби: 2 1 1 3 · x - 2 21 и 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.
Решение
Ние трансформираме оригиналните алгебрични дроби, за да опростим по-нататъшното решение. Нека извадим числовите коефициенти на променливите в знаменателя извън скобите:
2 1 1 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 1 14 и 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 3 x - 1 - 2 x - 1 14
Тази трансформация определено ни даде полза: ясно виждаме наличието на общ фактор.
Нека се отървем изцяло от числовите коефициенти в знаменателите. За целта използваме основното свойство на алгебричните дроби: умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по 3 4, а втората по - 1 2, след което получаваме:
2 4 3 x - 1 14 \u003d 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 и 3 x - 1 - 2 x - 1 14 \u003d - 1 2 3 x - 1 - 1 2 - 2 x - 1 14 \u003d - 3 2 x + 1 2 x - 1 14.
Нека да предприемем действие, което ще ни позволи да се отървем от дробните коефициенти: умножете получените дроби по 14:
3 2 x - 1 14 \u003d 14 3 2 14 x - 1 14 \u003d 21 14 x - 1 и - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 x + 7 14 x - 1.
Накрая изпълняваме необходимото действие в изявлението за проблема - изваждане:
2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 \u003d 21 - - 21 x + 7 14 X - 1 \u003d 21 x + 14 14 х - 1
Отговор: 2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 x + 14 14 x - 1.
Събиране и изваждане на алгебрична дроб и полином
Това действие също се свежда до събиране или изваждане на алгебрични дроби: необходимо е да се представи оригиналният полином като дроб с знаменател 1.
Пример 6
Необходимо е да се добави полиномът x 2 - 3 с алгебрична дроб 3 x x + 2.
Решение
Записваме полинома като алгебрична дроб с знаменател 1: x 2 - 3 1
Сега можем да извършим събиране според правилото за добавяне на дроби с различни знаменатели:
x 2 - 3 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 X 2 - 3 x - 6 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2
Отговор: x 2 - 3 + 3 x x + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.
Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter
Следващото действие, което можете да направите с дроби, е изваждането. В рамките на този материал ще разгледаме как правилно да изчислим разликата на фракциите с еднакви и различни знаменатели, как да извадим дроб от естествено число и обратно. Всички примери ще бъдат илюстрирани със задачи. Нека изясним предварително, че ще анализираме само случаите, когато разликата във фракциите води до положително число.
Как да намерим разликата на дроби с един и същ знаменател
Нека започнем веднага с илюстративен пример: да речем, че имаме ябълка, която е разделена на осем части. Нека оставим пет парчета в чинията и вземем две от тях. Това действие може да бъде написано по следния начин:
В резултат остават 3 осми, тъй като 5 - 2 \u003d 3. Оказва се, че 5 8 - 2 8 \u003d 3 8.
С този прост пример видяхме как точно работи правилото за изваждане за фракции със същите знаменатели. Нека го формулираме.
Определение 1
За да намерите разликата между дроби с един и същ знаменател, трябва да извадите числителя на другия от числителя на един и да оставите знаменателя същия. Това правило може да бъде записано като a b - c b \u003d a - c b.
Ще използваме тази формула в бъдеще.
Да вземем конкретни примери.
Пример 1
Извадете обикновената фракция 17 15 от фракцията 24 15.
Решение
Виждаме, че тези дроби имат еднакви знаменатели. Така че всичко, което трябва да направим, е да извадим 17 от 24. Получаваме 7 и добавяме знаменателя към него, получаваме 7 15.
Нашите изчисления могат да бъдат написани по следния начин: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Ако е необходимо, можете да намалите сложната фракция или да изберете цялата част от грешната, за да улесните преброяването.
Пример 2
Намерете разликата 37 12 - 15 12.
Решение
Нека използваме описаната по-горе формула и изчислим: 37 12 - 15 12 \u003d 37 - 15 12 \u003d 22 12
Лесно е да се види, че числителят и знаменателят могат да бъдат разделени на 2 (говорихме за това по-рано, когато разгледахме критериите за делимост). Намалявайки отговора, получаваме 11 6. Това е неправилна дроб, от която ще изберем цялата част: 11 6 \u003d 1 5 6.
Как да намерим разликата в дроби с различни знаменатели
Такова математическо действие може да се сведе до това, което вече описахме по-горе. За целта просто привеждаме необходимите дроби до един знаменател. Нека формулираме дефиницията:
Определение 2
За да намерите разликата между дроби с различни знаменатели, трябва да ги доведете до един и същ знаменател и да намерите разликата в числителите.
Нека разгледаме пример как се прави това.
Пример 3
Извадете 1 15 от 2 9.
Решение
Знаменателите са различни и трябва да ги доведете до най-ниската обща стойност. В този случай LCM е 45. За първата фракция се изисква допълнителен коефициент 5, а за втората допълнителен 3.
Нека изчислим: 2 9 \u003d 2 5 9 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 3 15 3 \u003d 3 45
Получихме две дроби с един и същ знаменател и сега можем лесно да намерим разликата им, използвайки алгоритъма, описан по-рано: 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45
Кратък запис на решението изглежда така: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Не трябва да пренебрегвате намаляването на резултата или извличането на цяла част от него, ако е необходимо. В този пример не е нужно да правим това.
Пример 4
Намерете разликата 19 9 - 7 36.
Решение
Нека доведем дробовете, посочени в условието, до най-ниския общ знаменател 36 и да получим съответно 76 9 и 7 36.
Изчисляваме отговора: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Резултатът може да бъде намален с 3 и да получите 23 12. Числителят е по-голям от знаменателя, което означава, че можем да изберем цялата част. Крайният отговор е 1 11 12.
Обобщение на цялото решение е 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
Как да извадим естествено число от обикновена дроб
Това действие също може лесно да се сведе до просто изваждане на обикновени дроби. Това може да стане чрез представяне на естествено число като дроб. Нека да покажем с пример.
Пример 5
Намерете разликата 83 21 - 3.
Решение
3 е същото като 3 1. Тогава може да се изчисли по следния начин: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Ако е необходимо да се извади цяло число от неправилна дроб в условие, е по-удобно първо да се извлече цяло число от него, като се запише като смесено число. Тогава предходният пример може да бъде решен по различен начин.
От фракцията 83 21, когато е избрана цялата част, получаваме 83 21 \u003d 3 20 21.
Сега нека просто извадим 3 от него: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.
Как да извадим дроб от естествено число
Това действие се извършва подобно на предишното: пренаписваме естественото число като дроб, довеждаме и двете до един знаменател и намираме разликата. Нека илюстрираме това с пример.
Пример 6
Намерете разликата: 7 - 5 3.
Решение
Направете 7 като 7 1. Изваждаме и трансформираме крайния резултат, като извличаме цялата част от него: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.
Има и друг начин за извършване на изчисления. Той има някои предимства, които могат да се използват в случаите, когато числителите и знаменателите на фракциите в задачата са големи числа.
Определение 3
Ако дробът, който трябва да бъде изваден, е правилен, тогава естественото число, от което изваждаме, трябва да бъде представено като сбор от две числа, едното от които е 1. След това трябва да извадите желаната дроб от една и да получите отговора.
Пример 7
Изчислете разликата 1 065 - 13 62.
Решение
Дробът, който трябва да бъде изваден, е правилен, тъй като неговият числител е по-малък от знаменателя. Следователно трябва да извадим един от 1065 и да извадим желаната част от него: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Сега трябва да намерим отговора. Използвайки свойствата на изваждането, полученият израз може да бъде записан като 1064 + 1 - 13 62. Нека изчислим разликата в скобите. За това представяме единицата като дроб 1 1.
Оказва се, че 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Сега нека си спомним за 1064 и да формулираме отговора: 1064 49 62.
Използваме стария метод, за да докажем, че е по-малко удобен. Това са изчисленията, които бихме получили:
1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 62 1 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
Отговорът е същият, но изчисленията очевидно са по-тромави.
Ние разгледахме случая, когато трябва да извадите правилна дроб. Ако не е правилно, заместваме го със смесено число и изваждаме, като използваме познати правила.
Пример 8
Изчислете разликата 644 - 73 5.
Решение
Втората дроб е неправилна и цялата част трябва да бъде отделена от нея.
Сега изчисляваме подобно на предишния пример: 630 - 3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
Свойства на изваждане за дроби
Свойствата, които притежава изваждането на естествените числа, важат и за случаите на изваждане на обикновени дроби. Нека да видим как да ги използваме при решаване на примери.
Пример 9
Намерете разликата 24 4 - 3 2 - 5 6.
Решение
Вече решихме подобни примери, когато анализирахме изваждането на сума от число, така че действаме съгласно вече известен алгоритъм. Първо изчисляваме разликата 25 4 - 3 2 и след това изваждаме последната фракция от нея:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Нека трансформираме отговора, като извлечем цялата част от него. Общата сума е 3 11 12.
Резюме на цялото решение:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Ако изразът съдържа както дроби, така и естествени числа, препоръчително е да ги групирате по тип при изчисляване.
Пример 10
Намерете разликата 98 + 17 20 - 5 + 3 5.
Решение
Познавайки основните свойства на изваждането и събирането, можем да групираме числата, както следва: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Нека завършим изчисленията: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter