Проверете обратната матрица. Матричен метод за решаване на слауг: пример за решаване с помощта на обратна матрица. Намиране на обратната матрица чрез елиминиране на Гаус

Обикновено обратните операции се използват за опростяване на сложни алгебрични изрази. Например, ако задачата съдържа операцията за деление на дроб, можете да я замените с операцията на умножение по обратна дроб, която е обратната операция. Освен това матриците не могат да бъдат разделени, така че трябва да умножите по обратното на матрицата. Изчисляването на обратното на матрица 3x3 е досадно, но трябва да можете да го правите ръчно. Можете също да намерите реципрочното с добър графичен калкулатор.

Стъпки

Със съединена матрица

Транспонирайте оригиналната матрица.Транспонирането е замяна на редове с колони спрямо главния диагонал на матрицата, тоест трябва да размените елементите (i, j) и (j, i). В този случай елементите на главния диагонал (започвайки от горния ляв ъгъл и завършващи в долния десен ъгъл) не се променят.

  • За да размените редове с колони, напишете елементите от първия ред в първата колона, елементите от втория ред във втората колона и елементите от третия ред в третата колона. Редът на промяна на позицията на елементите е показан на фигурата, на която съответните елементи са заобиколени от цветни кръгове.

  • Намерете дефиницията на всяка 2x2 матрица.Всеки елемент от всяка матрица, включително транспонираната, е свързан със съответната матрица 2x2. За да намерите матрица 2x2, която съответства на конкретен елемент, зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент, тоест трябва да зачеркнете пет елемента от оригиналната матрица 3x3. Некръстосани остават четири елемента, които са елементи от съответната матрица 2x2.

    • Например, за да намерите матрица 2x2 за елемент, който се намира в пресечната точка на втория ред и първата колона, зачеркнете петте елемента, които са във втория ред и първата колона. Останалите четири елемента са елементи от съответната матрица 2x2.
    • Намерете детерминанта на всяка 2x2 матрица. За да направите това, извадете произведението на елементите на вторичния диагонал от произведението на елементите на главния диагонал (виж фигурата).
    • Подробна информация за матрици 2x2, съответстващи на конкретни елементи от матрица 3x3, може да бъде намерена в Интернет.

  • Създайте матрица от кофактори.Запишете получените по-рано резултати под формата на нова матрица от кофактори. За да направите това, напишете намерения детерминант на всяка матрица 2x2, където се намира съответният елемент от матрицата 3x3. Например, ако разглеждаме матрица 2x2 за елемента (1,1), запишете детерминантата му в позиция (1,1). След това променете знаците на съответните елементи според определена схема, която е показана на фигурата.

    • Схемата за промяна на знаците: знакът на първия елемент от първия ред не се променя; знакът на втория елемент от първия ред е обърнат; знакът на третия елемент от първия ред не се променя и така нататък ред по ред. Моля, имайте предвид, че знаците "+" и "-", които са показани на диаграмата (вижте фигурата), не означават, че съответният елемент ще бъде положителен или отрицателен. В този случай знакът "+" показва, че знакът на елемента не се променя, а знакът - показва, че знакът на елемента се е променил.
    • Подробна информация за матриците на кофактори може да се намери в Интернет.
    • Това ще намери свързаната матрица на оригиналната матрица. Понякога се нарича комплексна конюгирана матрица. Тази матрица се нарича adj (M).

  • Разделете всеки елемент от прилежащата матрица на детерминанта.Детерминантата на матрицата M беше изчислена в самото начало, за да се провери дали съществува обратната стойност на матрицата. Сега разделете всеки елемент от присъединената матрица на този детерминант. Запишете резултата от всяка операция на деление, където е съответният елемент. Това ще намери обратното на оригиналната матрица.

    • Детерминантата на матрицата, показана на фигурата, е 1. По този начин, тук присъединената матрица е обратната матрица (защото когато произволно число се раздели на 1, то не се променя).
    • В някои източници операцията на деление се заменя с операцията умножение по 1 / det (M). В този случай крайният резултат не се променя.

  • Запишете обратното на матрицата.Запишете елементите, разположени в дясната половина на голямата матрица като отделна матрица, която е обратна на матрицата.

    Използване на калкулатор

      Изберете калкулатор, който работи с матрици.Не можете да намерите обратната матрица с прости калкулатори, но можете да го направите с добър графичен калкулатор като Texas Instruments TI-83 или TI-86.

      Въведете оригиналната матрица в паметта на калкулатора.За да направите това, щракнете върху бутона Матрица, ако е наличен. За калкулатор на Texas Instruments може да се наложи да натиснете бутоните 2 nd и Matrix.

      Изберете менюто Редактиране.Направете това, като използвате бутоните със стрелки или съответния функционален бутон, разположен в горната част на клавиатурата на калкулатора (местоположението на бутона зависи от модела на калкулатора).

      Въведете обозначението на матрицата.Повечето графични калкулатори могат да работят с 3-10 матрици, които могат да бъдат обозначени с буквите A-J. Обикновено просто изберете [A], за да посочите оригиналната матрица. След това натиснете бутона Enter.

      Въведете размера на матрицата.Тази статия говори за 3x3 матрици. Но графичните калкулатори могат да се справят с големи матрици. Въведете броя на редовете, натиснете клавиша Enter, след това въведете броя на колоните и натиснете клавиша Enter отново.

      Въведете всеки елемент от матрицата.Калкулаторът показва матрица. Ако матрица е била въведена преди това в калкулатора, тя ще се появи на екрана. Курсорът ще маркира първия елемент от матрицата. Въведете стойността за първия елемент и натиснете Enter. Курсорът автоматично ще се премести към следващия елемент от матрицата.

    Помислете за квадратна матрица. Нека Δ = det A означава неговия детерминант. Квадрат B е (OM) за квадрат A от същия ред, ако техният продукт е A * B = B * A = E, където E е идентичната матрица от същия ред като A и B.

    Квадрат А се нарича неизроден или неособен, ако неговият детерминант е различен от нула, и изроден или сингулярен, ако Δ = 0.

    Теорема. За да има обратен, е необходимо и достатъчно неговият детерминант да е различен от нула.

    (OM) A, означено с A -1, така че B = A -1 и се изчислява по формулата

    , (1)

    където А i j са алгебричните допълнения на елементите a i j, Δ = detA.

    Изчисляването на A -1 съгласно формула (1) за матрици от висок порядък е много трудоемко, следователно на практика е удобно да се намери A -1 с помощта на метода на елементарните трансформации (EP). Всяко неединствено A посредством EP само от колони (или само редове) може да бъде редуцирано до единица E. Ако EP перфектни над матрица A се прилагат в същия ред към единица E, тогава резултатът ще бъде A -1. Удобно е да изпълнявате EP върху A и E едновременно, като пишете и двете едно до друго през реда A | E. Ако искате да намерите A -1, трябва да използвате само редове или само колони в процеса на преобразуване.

    Намиране на обратната матрица с помощта на алгебрични допълнения

    Пример 1... За намерете A -1.

    Решение.Първо намираме детерминанта А
    следователно, (ОМ) съществува и можем да го намерим по формулата: , където A i j (i, j = 1,2,3) са алгебричните допълнения на елементите a i j на оригиналното A.

    Алгебричното допълнение на елемент a ij е детерминанта или минор M ij. Получава се чрез изтриване на колона i и ред j. Тогава минорът се умножава по (-1) i + j, т.е. A ij = (- 1) i + j M ij

    където .

    Намиране на обратната матрица с помощта на елементарни трансформации

    Пример 2... Използвайки метода на елементарните трансформации, намерете A -1 за: A =.

    Решение.Приписваме на оригиналното А вдясно единица от същия ред: ... С помощта на елементарни трансформации на колоните привеждаме лявата „половина“ към една, като едновременно извършваме точно същите трансформации в дясната „половина“.
    За да направите това, нека разменим първата и втората колона: ~... Добавете първата към третата колона и първата, умножена по -2, към втората: ... От първата колона изваждаме втората удвоена, а от третата - втората, умножена по 6; ... Нека добавим третата колона към първата и втората: ... Нека умножим последната колона по -1: ... Получената квадратна таблица вдясно от вертикалната лента е обратната на A -1. Така,
    .

    Нека има квадратна матрица от n-ти ред

    Матрицата A -1 се нарича обратна матрицапо отношение на матрицата A, ако A * A -1 = E, където E е единичната матрица от n-тия ред.

    Единична матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, преминаващи от горния ляв ъгъл към долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:

    обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици със същия брой редове и колони.

    Теорема за условието за съществуване на обратна матрица

    За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да е неизродена.

    Матрицата A = (A1, A2, ... A n) се нарича неизродениако векторите на колоните са линейно независими. Броят на линейно независими вектори на колона на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.

    Алгоритъм за намиране на обратната матрица

    1. Запишете матрица A в таблицата за решаване на системи от уравнения по метода на Гаус и отдясно (на мястото на дясната страна на уравненията) задайте матрица E.
    2. Използвайки преобразуването на Йордан, намалете матрицата A до матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
    3. Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че под матрицата A на оригиналната таблица да получим единичната матрица E.
    4. Запишете обратната матрица A -1, която е в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.
    Пример 1

    За матрица A намерете обратната матрица A -1

    Решение: Записваме матрицата A и отдясно присвояваме идентичната матрица E. Използвайки трансформациите на Йордан, намаляваме матрицата A до матрицата на идентичността E. Изчисленията са показани в таблица 31.1.

    Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.

    В резултат на умножението на матрицата се получава единичната матрица. Следователно изчисленията са правилни.

    Отговор:

    Решаване на матрични уравнения

    Матричните уравнения могат да бъдат от вида:

    AX = B, XA = B, AXB = C,

    където A, B, C са посочените матрици, X е необходимата матрица.

    Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по неговите обратни матрици.

    Например, за да намерите матрица от уравнение, умножете това уравнение по ляво.

    Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.

    Други уравнения се решават по подобен начин.

    Пример 2

    Решете уравнението AX = B, ако

    Решение: Тъй като обратното на матрицата е (вижте пример 1)

    Матричен метод в икономическия анализ

    Заедно с други намират приложение и в матрични методи... Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за анализ на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се направи сравнителна оценка на функционирането на организациите и техните структурни звена.

    В процеса на прилагане на матричните методи за анализ могат да се разграничат няколко етапа.

    На първия етапформира се система от икономически показатели и въз основа на нея се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която номерата на системата са показани на отделни редове (i = 1,2, ...., n), а по вертикалните колони - номерата на индикаторите (j = 1,2, ...., m).

    Във втория етапза всяка вертикална колона се разкрива най-голямата от наличните стойности на индикаторите, която се приема като единица.

    След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.

    В третия етапвсички съставни части на матрицата са на квадрат. Ако те имат различно значение, тогава на всеки индикатор от матрицата се присвоява определен коефициент на тежест к... Стойността на последните се определя с експертна преценка.

    на последния, четвърти етапнамерени стойности на оценките R jса групирани в ред на нарастване или намаляване.

    Очертаните матрични методи трябва да се използват например при сравнителния анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценката на други икономически показатели за дейността на организациите.

    Матрица A -1 се нарича обратна матрица по отношение на матрица A, ако A * A -1 = E, където E е единичната матрица от n-ти порядък. Обратна матрица може да съществува само за квадратни матрици.

    Цел на услугата... С помощта на тази услуга онлайн можете да намерите алгебрични допълнения, транспонирана матрица A T, присъединена матрица и обратна матрица. Решението се извършва директно на уебсайта (онлайн) и е безплатно. Резултатите от изчисленията се представят в отчет на Word и във формат на Excel (т.е. възможно е да се провери решението). виж пример за дизайн.

    Инструкция. За да се получи решение, е необходимо да се зададе размерността на матрицата. След това в нов диалогов прозорец попълнете матрицата A.

    Вижте също Обратна матрица с помощта на метода на Джордан-Гаус

    Алгоритъм за намиране на обратната матрица

    1. Намиране на транспонираната матрица A T.
    2. Дефиниция на алгебричните допълнения. Заменете всеки елемент от матрицата с неговото алгебрично допълнение.
    3. Съставяне на обратна матрица от алгебрични допълнения: всеки елемент от получената матрица се дели на детерминанта на оригиналната матрица. Получената матрица е обратна на оригиналната матрица.
    Следващия обратен матричен алгоритъме подобен на предишния, с изключение на някои стъпки: първо се изчисляват алгебричните допълнения и след това се определя присъединената матрица C.
    1. Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
    2. Изчисляване на детерминанта на матрицата A. Ако не е равно на нула, продължаваме с решението; в противен случай обратната матрица не съществува.
    3. Дефиниция на алгебричните допълнения.
    4. Попълване на съюзната (реципрочна, съединена) матрица C.
    5. Съставяне на обратна матрица от алгебрични допълнения: всеки елемент от присъединената матрица C се разделя на детерминанта на оригиналната матрица. Получената матрица е обратна на оригиналната матрица.
    6. Прави се проверка: оригиналната и получените матрици се умножават. Резултатът трябва да бъде матрицата за идентичност.

    Пример №1. Нека напишем матрицата, както следва:

    Алгебрични допълнения. ∆ 1,2 = - (2 4 - (- 2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = - (2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = - (- 1 5 - (- 2 2)) = 1 ∆ 3,2 = - (- 1 (-2) -2 3) = 4
    A -1 =
    0,6 -0,4 0,8
    0,7 0,2 0,1
    -0,1 0,4 -0,3

    Друг алгоритъм за намиране на обратната матрица

    Да дадем друга схема за намиране на обратната матрица.
    1. Намерете детерминанта на дадена квадратна матрица A.
    2. Намерете алгебричните допълнения към всички елементи на матрицата A.
    3. Записваме алгебричните допълнения на елементите на ред в колони (транспониране).
    4. Разделяме всеки елемент от получената матрица на детерминанта на матрицата A.
    Както можете да видите, операцията по транспониране може да се приложи както в началото, върху оригиналната матрица, така и в края, върху получените алгебрични допълнения.

    Специален случай: Обратното на идентичната матрица E е идентичната матрица E.



    Препоръчва се за четене