الرياضيات،
إذا نظرت إليها بشكل صحيح ،
لا يعكس الحقيقة فقط ،
ولكن أيضًا جمال لا يضاهى.
برتراند راسل.

لقد سمعت بالتأكيد عن الفركتلات. لقد رأيت بالتأكيد هذه الصور المذهلة من Bryce3d والتي هي أكثر واقعية من الواقع نفسه. الجبال والسحب ولحاء الأشجار - كل هذا يتجاوز الهندسة الإقليدية المعتادة. لا يمكننا وصف الحجر أو حدود الجزيرة بالخطوط والدوائر والمثلثات. وهنا تأتي الفركتلات للإنقاذ. من هم هؤلاء الغرباء المألوفون؟ متى ظهروا؟

تاريخ المظهر.

ظهرت الأفكار الأولى للهندسة الكسورية في القرن التاسع عشر. قام كانتور ، باستخدام إجراء تكراري بسيط ، بتحويل الخط إلى مجموعة من النقاط غير المتصلة (ما يسمى بغبار كانتور). أخذ خطًا وأزال المركز الثالث ثم كرر نفس الشيء مع الأجزاء المتبقية. رسم Peano نوعًا خاصًا من الخط (الصورة رقم 1). لرسمه ، استخدم Peano الخوارزمية التالية.

في الخطوة الأولى ، اتخذ خطاً مستقيماً واستبدله بـ 9 أجزاء أقصر بثلاث مرات من طول الخط الأصلي (الجزءان 1 و 2 من الشكل 1). ثم فعل الشيء نفسه مع كل جزء من السطر الناتج. وهكذا إلى ما لا نهاية. تفرده هو أنه يملأ الطائرة بأكملها. ثبت أنه لكل نقطة على المستوى ، يمكن للمرء أن يجد نقطة تنتمي إلى خط Peano. تجاوز منحنى بينو وغبار كانتور الأشياء الهندسية العادية. لم يكن لديهم بعد واضح. تم بناء غبار كانتور على أساس خط مستقيم أحادي البعد ، لكنه يتكون من نقاط (البعد 0). وتم بناء منحنى Peano على أساس خط أحادي البعد ، وكانت النتيجة مستويًا. في كثير من مجالات العلم الأخرى ظهرت مشاكل أدى حلها إلى نتائج غريبة مثل تلك الموصوفة أعلاه (الحركة البراونية ، أسعار الأسهم).

والد الفركتلات

حتى القرن العشرين ، كان هناك تراكم للبيانات حول مثل هذه الأشياء الغريبة ، دون أي محاولة لتنظيمها. كان ذلك حتى أخذها بنوا ماندلبروت ، والد الهندسة الكسورية الحديثة وكلمة كسورية. أثناء عمله في شركة IBM كمحلل رياضي ، درس الضوضاء في الدوائر الإلكترونية التي لا يمكن وصفها باستخدام الإحصائيات. بمقارنة الحقائق تدريجيًا ، توصل إلى اكتشاف اتجاه جديد في الرياضيات - الهندسة الفركتلية.

ما هي الفركتل. اشتق ماندلبروت بنفسه كلمة كسورية من الكلمة اللاتينية fractus ، والتي تعني كسر (مقسم إلى أجزاء). وأحد تعريفات الفركتل هو الشكل الهندسي الذي يتكون من أجزاء والتي يمكن تقسيمها إلى أجزاء ، كل منها سيمثل نسخة مصغرة من الكل (على الأقل تقريبًا).

لتخيل صورة فركتلية بشكل أكثر وضوحًا ، فكر في المثال الذي قدمه ب. الإجابة على هذا السؤال ليست بالبساطة التي تبدو عليها. كل هذا يتوقف على طول الأداة التي سنستخدمها. بعد قياس الساحل بمسطرة كيلومتر ، نحصل على بعض الطول. ومع ذلك ، سوف نتخطى العديد من الخلجان الصغيرة وأشباه الجزر الأصغر بكثير من حاكمنا. من خلال تقليل حجم المسطرة إلى متر واحد ، على سبيل المثال ، سنأخذ في الاعتبار هذه التفاصيل الخاصة بالمناظر الطبيعية ، وبالتالي ، سيزداد طول الساحل. دعنا نمضي قدمًا ونقيس طول الساحل باستخدام مسطرة المليمتر ، وهنا سنأخذ في الحسبان التفاصيل التي تزيد عن المليمتر ، وسيكون الطول أكبر. نتيجة لذلك ، فإن الإجابة على مثل هذا السؤال الذي يبدو بسيطًا يمكن أن تحير أي شخص - فطول ساحل بريطانيا لا نهائي.

قليلا عن الأبعاد.

في حياتنا اليومية ، نواجه الأبعاد باستمرار. نقدر طول الطريق (250 م) ، ونكتشف مساحة الشقة (78 م 2) ونبحث عن حجم زجاجة بيرة (0.33 دي م 3) على الملصق. هذا المفهوم واضح بشكل حدسي تمامًا ويبدو أنه لا يحتاج إلى توضيح. للسطر البعد 1. وهذا يعني أنه بعد اختيار نقطة مرجعية ، يمكننا تحديد أي نقطة على هذا الخط باستخدام رقم واحد - موجب أو سلبي. وهذا ينطبق على جميع الخطوط - دائرة ، مربع ، قطع مكافئ ، إلخ.

البعد 2 يعني أنه يمكننا تحديد أي نقطة بشكل فريد برقمين. لا تعتقد أن ثنائي الأبعاد يعني مسطحة. سطح الكرة ثنائي الأبعاد أيضًا (يمكن تعريفه باستخدام قيمتين - زوايا مثل العرض وخط الطول).

من وجهة نظر رياضية ، يتم تحديد البعد على النحو التالي: بالنسبة للكائنات أحادية البعد - تؤدي مضاعفة حجمها الخطي إلى زيادة الحجم (في هذه الحالة ، الطول) مرتين (2 ^ 1).

بالنسبة للكائنات ثنائية الأبعاد ، ستؤدي مضاعفة الأبعاد الخطية إلى مضاعفة الحجم أربع مرات (على سبيل المثال ، مساحة المستطيل) (2 ^ 2).

بالنسبة للكائنات ثلاثية الأبعاد ، تؤدي الزيادة في الأبعاد الخطية بمقدار مرتين إلى زيادة الحجم ثماني مرات (2 ^ 3) وهكذا.

وبالتالي ، يمكن حساب البعد D بناءً على اعتماد الزيادة في "حجم" الكائن S على الزيادة في الأبعاد الخطية L. D = log (S) / log (L). بالنسبة للخط D = log (2) / log (2) = 1. بالنسبة للمستوى D = log (4) / log (2) = 2. للمجلد D = السجل (8) / السجل (2) = 3. قد يكون الأمر محيرًا بعض الشيء ، لكنه بشكل عام ليس صعبًا ومفهومًا.

لماذا أقول كل هذا؟ ومن أجل فهم كيفية فصل الفركتلات عن النقانق على سبيل المثال. دعنا نحاول حساب أبعاد منحنى Peano. لذلك ، لدينا الخط الأصلي ، المكون من ثلاثة أجزاء بطول X ، يتم استبداله بـ 9 أجزاء أقصر ثلاث مرات. وبالتالي ، مع زيادة الحد الأدنى للقطعة بمقدار 3 مرات ، يزداد طول الخط بالكامل بمقدار 9 مرات و D = log (9) / log (3) = 2 - كائن ثنائي الأبعاد !!!

لذلك ، عندما يكون بُعد الشكل الذي تم الحصول عليه من بعض أبسط العناصر (الأجزاء) أكبر من أبعاد هذه الكائنات ، فإننا نتعامل مع كسورية.

الفركتلات مقسمة إلى مجموعات. أكبر المجموعات هي:

كسور هندسية.

كان معهم أن تاريخ الفركتلات بدأ. يتم الحصول على هذا النوع من الفركتلات من خلال إنشاءات هندسية بسيطة. عادة ، عند بناء هذه الفركتلات ، يقوم المرء بما يلي: تؤخذ "بذرة" - بديهية - مجموعة من المقاطع ، على أساسها سيتم بناء الفركتلات. ثم يتم تطبيق مجموعة من القواعد على هذه "البذرة" ، والتي تحولها إلى نوع من الشكل الهندسي. بعد ذلك ، يتم تطبيق نفس مجموعة القواعد على كل جزء من هذا الشكل. مع كل خطوة ، سيصبح الشكل أكثر تعقيدًا ، وإذا أجرينا (على الأقل في أذهاننا) عددًا لا حصر له من التحولات ، فسنحصل على كسور هندسي.

منحنى Peano الذي تمت مناقشته أعلاه هو كسورية هندسية. يوضح الشكل أدناه أمثلة أخرى للفركتلات الهندسية (من اليسار إلى اليمين Koch Snowflake و Liszt و Sierpinski Triangle).

كوخ ندفة الثلج

ورقة

مثلث سيربينسكي

من بين هذه الفركتلات الهندسية ، الأولى ، ندفة الثلج من كوخ ، مثيرة جدًا للاهتمام ومشهورة إلى حد ما. إنه مبني على أساس مثلث متساوي الأضلاع. كل سطر ___ يتم استبداله بـ 4 أسطر طول كل 1/3 من _ / \ _ الأصلي. وهكذا ، مع كل تكرار ، يزيد طول المنحنى بمقدار الثلث. وإذا قمنا بعدد لا حصر له من التكرارات ، نحصل على كسورية - ندفة ثلجية من نوع Koch بطول لانهائي. اتضح أن منحنىنا اللانهائي يغطي مساحة محدودة. حاول أن تفعل الشيء نفسه باستخدام طرق وأشكال من الهندسة الإقليدية.

أبعاد ندفة الثلج من Koch (عندما تنمو ندفة الثلج 3 مرات ، يزداد طولها 4 مرات) D = log (4) / log (3) = 1.2619 ...

تعتبر الأنظمة المسماة L-Systems مناسبة تمامًا لبناء كسور هندسية. يكمن جوهر هذه الأنظمة في وجود مجموعة محددة من رموز النظام ، يشير كل منها إلى إجراء معين ومجموعة من القواعد لتحويل الأحرف. على سبيل المثال ، وصف ندفة الثلج من Koch باستخدام L-Systems في برنامج Fractint

؛ أدريان ماريانو من كتاب الهندسة الكسورية للطبيعة لماندلبروتكوخ 1 ( ؛ ضبط زاوية الدوران 360/6 = 60 درجةالزاوية 6 ؛ الرسم الأولي للبناءاكسيوم F - F - F ؛ قاعدة تحويل الشخصية F = F + F - F + F)

في هذا الوصف ، تكون المعاني الهندسية للرموز كما يلي:

يشير الحرف F إلى خط الرسم + الانعطاف في اتجاه عقارب الساعة - انعطف عكس اتجاه عقارب الساعة

الخاصية الثانية للفركتلات هي التشابه الذاتي. خذ على سبيل المثال مثلث Sierpinski. لتشكيله من مركز مثلث متساوي الأضلاع ، "اقطع" مثلثًا. نكرر نفس الإجراء للمثلثات الثلاثة المشكلة (باستثناء المثلث المركزي) وهكذا إلى ما لا نهاية. إذا أخذنا الآن أيًا من المثلثات المشكلة وقمنا بتكبيرها ، فسنحصل على نسخة طبق الأصل من الكل. في هذه الحالة ، نحن نتعامل مع تشابه ذاتي كامل.

سأحجز على الفور أن معظم الرسومات الكسورية في هذه المقالة تم الحصول عليها باستخدام برنامج Fractint. إذا كنت مهتمًا بالفركتلات ، فهذا هو البرنامج يجب ان يملكلك. بمساعدتها ، يمكنك بناء المئات من الفركتلات المختلفة ، والحصول على معلومات شاملة عنها ، وحتى الاستماع إلى صوت الفركتلات ؛).

القول بأن البرنامج جيد يعني عدم قول أي شيء. إنه رائع باستثناء شيء واحد - أحدث إصدار 20.0 متاح فقط لـ DOS :(. يمكنك العثور على هذا البرنامج (أحدث إصدار 20.0) على http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html.

اترك تعليقا

التعليقات (1)

حسنًا ، لتناول وجبة خفيفة ، مثال مثير للاهتمام مايكروسوفت اكسلالخلايا A2 و B2 لها نفس القيم بين 0 و 1. بقيمة 0.5 ، لا يوجد أي تأثير.

مرحبًا بكل من تمكن من صنع بروغ على صورة Fratal. من يستطيع أن يخبرني ما هي طريقة الدورة الأفضل بالنسبة لي لاستخدامها لبناء مقاصة للفركتلات السرخسية باستخدام ركيزة ثلاثية الأبعاد بحد أقصى مع تكرار dt 100000 على حجر مع 2800 مللي أمبير في الساعة

هناك كود مصدر مع برنامج لرسم منحنى التنين ، أيضا كسورية.

المقال رائع. ومن المحتمل أن تكون شجرة الفراء السابقة عبارة عن خطأ في المعالج المساعد (في البتات الأخيرة ذات الترتيب المنخفض)

كيف تم اكتشاف الفركتل

تنتمي الأشكال الرياضية المعروفة بالفركتلات إلى عبقرية العالم البارز بينوا ماندلبروت. قام بتدريس الرياضيات في جامعة ييل بالولايات المتحدة الأمريكية لمعظم حياته. في عام 1977 - 1982 ، نشر ماندلبروت أعمالًا علمية مكرسة لدراسة "الهندسة الفركتلية" أو "هندسة الطبيعة" ، حيث قام بتقسيم الأشكال الرياضية العشوائية على ما يبدو إلى عناصر مكوّنة ، عند الفحص الدقيق ، كانت متكررة ، والتي أثبتت وجود نمط معين للنسخ ... كان لاكتشاف ماندلبروت عواقب وخيمة في تطور الفيزياء وعلم الفلك وعلم الأحياء.

فركتلات في الطبيعة

في الطبيعة ، العديد من الكائنات لها خصائص كسورية ، على سبيل المثال: تيجان الأشجار ، والقرنبيط ، والسحب ، والدورة الدموية والأنظمة السنخية للإنسان والحيوان ، والبلورات ، والثلج ، وعناصرها مرتبة في هيكل واحد معقد ، والسواحل (سمح مفهوم الفركتال للعلماء لقياس الخط الساحلي للجزر البريطانية والأشياء الأخرى التي كانت لا تُحصى سابقًا).

ضع في اعتبارك هيكل القرنبيط. إذا قمت بقص إحدى الأزهار ، فمن الواضح أن القرنبيط نفسه لا يزال في يديك ، ولكن بحجم أصغر. يمكنك الاستمرار في التقطيع مرارًا وتكرارًا ، حتى تحت المجهر - ومع ذلك ، كل ما نحصل عليه هو نسخ صغيرة من القرنبيط. في هذه الحالة الأبسط ، حتى جزء صغير من الفراكتل يحتوي على معلومات حول الهيكل النهائي بأكمله.

النمطي هندسي متكرر في التكنولوجيا الرقمية

قدمت الهندسة الفركتالية مساهمة لا تقدر بثمن في تطوير تقنيات جديدة في مجال الموسيقى الرقمية ، فضلاً عن جعل ضغط الصور الرقمية ممكنًا. تعتمد خوارزميات ضغط الصور الكسورية الحالية على مبدأ تخزين صورة مضغوطة بدلاً من الصورة الرقمية نفسها. بالنسبة للصورة المضغوطة ، تظل الصورة الرئيسية نقطة ثابتة. استخدمت Microsoft أحد متغيرات هذه الخوارزمية عند نشر موسوعتها ، ولكن لسبب أو لآخر لم يتم نشر هذه الفكرة على نطاق واسع.

الأساس الرياضي للرسومات الكسورية هو الهندسة الكسورية ، حيث يتم وضع مبدأ الوراثة من "الكائنات الأصلية" على أساس طرق تكوين "صور ورثة". ظهرت مفاهيم الهندسة الكسورية والرسومات الفركتلية منذ حوالي 30 عامًا فقط ، ولكنها أصبحت راسخة بالفعل من قبل مصممي الكمبيوتر وعلماء الرياضيات.

المفاهيم الأساسية لرسومات الحاسوب الكسورية هي:

• المثلث الفركتلي - الشكل الفركتلي - الكائن الفركتلي (التسلسل الهرمي بترتيب تنازلي)
• خط كسوري
• تكوين كسورية
• "الكائن الأصل" و "الكائن الوريث"

تمامًا كما هو الحال في الرسومات المتجهة والرسومات ثلاثية الأبعاد ، يتم حساب إنشاء صور كسورية رياضيًا. يتمثل الاختلاف الرئيسي بين النوعين الأولين من الرسومات في أن الصورة الكسورية مبنية وفقًا لمعادلة أو نظام معادلات - لا يلزم تخزين أي شيء سوى صيغة في ذاكرة الكمبيوتر لإجراء جميع العمليات الحسابية - ومثل هذا الاكتناز من جعل الجهاز الرياضي من الممكن استخدام هذه الفكرة في رسومات الكمبيوتر. ببساطة عن طريق تغيير معاملات المعادلة ، يمكنك بسهولة الحصول على صورة كسورية مختلفة تمامًا - باستخدام العديد من المعاملات الرياضية ، يتم تعيين الأسطح والخطوط ذات الأشكال المعقدة للغاية ، مما يسمح لك بتنفيذ تقنيات التركيب مثل الأفقي والرأسي والتماثل وعدم التناسق واتجاهات قطرية وأكثر من ذلك بكثير.

كيف نبني فراكتل؟

يلعب منشئ الفركتلات دور فنان ومصور ونحات وعالم ومخترع في نفس الوقت. ما هي مراحل عمل تكوين صورة "من الصفر"؟

• اضبط شكل الصورة بواسطة صيغة رياضية
• التحقيق في تقارب العملية وتغيير معاييرها
• حدد نوع الصورة
• اختر لوحة من الألوان

بين محرري الجرافيك الكسوريين وغيرهم برامج الجرافيكسمتميز:

• "Art Dabbler"
• "الرسام" (بدون جهاز كمبيوتر ، لن يصل أي فنان إلى الإمكانيات التي وضعها المبرمجون إلا بمساعدة قلم رصاص وقلم فرشاة)
• "Adobe Photoshop" (ولكن هنا لا يتم إنشاء الصورة "من البداية" ، ولكن كقاعدة عامة ، تتم معالجتها فقط)

ضع في اعتبارك جهاز الشكل الهندسي الكسوري التعسفي. يوجد في وسطه أبسط عنصر - مثلث متساوي الأضلاع ، حصل على نفس الاسم: "فركتلي". في الجزء الأوسط من الأضلاع ، قم بإنشاء مثلثات متساوية الأضلاع مع ضلع يساوي ثلث ضلع المثلث الفركتلي الأصلي. حتى المثلثات الأصغر - ورثة الجيل الثاني مبنية على نفس المبدأ - وهكذا إلى ما لا نهاية. ويسمى الكائن الناتج "الشكل الكسوري" ، ومنه نحصل على "تكوين كسوري".

المصدر: http://www.iknowit.ru/

الفركتلات والماندالا القديمة

هذا ماندالا لجذب المال. يُقال إن اللون الأحمر يعمل كمغناطيس نقود. الأنماط المزخرفة تذكرك بشيء؟ بدت مألوفة جدًا بالنسبة لي وبدأت في البحث عن الماندالا على أنها كسورية.

من حيث المبدأ ، الماندالا هي رمز هندسي لبنية معقدة ، والتي يتم تفسيرها على أنها نموذج للكون ، "خريطة للكون". هذه أول علامة على الانكسار!

مطرزة على قماش ، مطلية على الرمال ، مصنوعة من مساحيق ملونة ومصنوعة من المعدن والحجر والخشب. مظهر مشرق ورائع يجعلها زخرفة جميلةأرضيات وجدران وأسقف المعابد في الهند. في اللغة الهندية القديمة ، تعني كلمة "ماندالا" الدائرة الصوفية للترابط بين الطاقات الروحية والمادية للكون أو ، بعبارة أخرى ، زهرة الحياة.

كنت أرغب في كتابة مراجعة حول الماندالا الكسورية صغيرة جدًا ، مع الحد الأدنى من الفقرات ، مما يوضح أن العلاقة موجودة بوضوح. ومع ذلك ، في محاولة لإيجاد وعي وربط المعلومات حول الفركتلات والماندالا في كل واحد ، شعرت بقفزة نوعية في مساحة غير معروفة بالنسبة لي.

أوضح ضخامة هذا الموضوع باقتباس: "يمكن استخدام مثل هذه التركيبات الكسورية أو الماندالا في شكل لوحات ، وعناصر تصميم لمباني المعيشة والعمل ، وتمائم يمكن ارتداؤها ، في شكل أشرطة فيديو ، وبرامج كمبيوتر ... "بشكل عام ، موضوع دراسة الفركتلات ضخم ببساطة.

شيء واحد يمكنني قوله بالتأكيد ، العالم أكثر تنوعًا وثراءً من الأفكار السيئة لعقولنا حول هذا الموضوع.

الحيوانات البحرية كسورية

لم تكن تخميناتي حول الحيوانات البحرية الفركتالية بلا أساس. هؤلاء هم أول الممثلين. الأخطبوط هو حيوان بحري قاعي من رتبة رأسيات الأرجل.

بالنظر إلى هذه الصورة ، أصبح التركيب الفركتلي لجسمه والمصاصون على جميع مخالب هذا الحيوان الثمانية واضحين لي. تصل أكواب الشفط الموجودة على مخالب الأخطبوط البالغ إلى 2000.

حقيقة مثيرة للاهتمام هي أن الأخطبوط له ثلاثة قلوب: واحد (رئيسي) يدفع الدم الأزرق في جميع أنحاء الجسم ، والآخران - الخيشوم - يدفعان الدم عبر الخياشيم. بعض هذه الفركتلات في أعماق البحار سامة.

من خلال التكيف والتخفي مع بيئته ، يتمتع الأخطبوط بقدرة مفيدة للغاية على تغيير اللون.

تعتبر الأخطبوطات أذكى اللافقاريات. يتعرفون على الناس ، يعتادون على أولئك الذين يطعمونهم. سيكون من المثير للاهتمام أن ننظر إلى الأخطبوطات ، التي يسهل تدريبها ، ولها ذاكرة جيدة ، بل وتميز الأشكال الهندسية. لكن عمر هذه الحيوانات الكسورية قصير العمر - بحد أقصى 4 سنوات.

يستخدم الإنسان حبر هذا الفراكتل الحي ورأسيات الأرجل الأخرى. يبحث عنها الفنانون بسبب متانتها ولونها البني الجميل. في مطبخ البحر الأبيض المتوسط ​​، يعتبر الأخطبوط مصدرًا للفيتامينات B3 و B12 والبوتاسيوم والفوسفور والسيلينيوم. لكني أعتقد أنك بحاجة إلى أن تكون قادرًا على طهي هذه الفركتلات البحرية من أجل الاستمتاع بتناولها.

بالمناسبة ، تجدر الإشارة إلى أن الأخطبوطات هي مفترسة. مع مجساتهم الكسورية ، يحتفظون بفرائسهم في شكل الرخويات والقشريات والأسماك. إنه لأمر مؤسف أن تصبح مثل هذه الرخويات الجميلة طعام هذه الفركتلات البحرية. في رأيي ، أيضًا ممثل نموذجي لفركتلات مملكة البحر.

هذا هو أحد أقارب الحلزونات ، بطنيات الأقدام الدودية الرخوية Glaucus ، المعروفة أيضًا باسم Glaucus ، والمعروفة أيضًا باسم Glaucus atlanticus ، والمعروفة أيضًا باسم Glaucilla marginata. هذا الفراكتل أيضًا غير عادي لأنه يعيش ويتحرك تحت سطح الماء ، ممسكًا بالتوتر السطحي. لأن الرخويات خنثى ، ثم بعد التزاوج يضع كلا "الشريكين" البيض. تم العثور على هذا الفراكتل في جميع المحيطات في المنطقة الاستوائية.

فركتلات مملكة البحر

كل واحد منا على الأقل مرة واحدة في حياته ممسكًا بيديه وفحص صدفة بحر باهتمام طفولي حقيقي.

عادة ما تكون الأصداف تذكارًا جميلًا يذكرنا برحلة إلى البحر. عندما تنظر إلى هذا التكوين اللولبي للرخويات اللافقارية ، فلا شك في طبيعتها الكسورية.

نحن البشر نذكر إلى حد ما هذه الرخويات الرخوة ، نعيش في منازل خرسانية مريحة ، نضع أجسادنا ونحركها في سيارات سريعة.

ممثل نموذجي آخر للعالم النمطي هندسي متكرر تحت الماء هو المرجان.
أكثر من 3500 نوع من الشعاب المرجانية معروفة في الطبيعة ، في لوحة منها ما يصل إلى 350 لونًا مميزًا.

المرجان هو المادة الهيكلية لمستعمرة من البوليبات المرجانية ، أيضًا من عائلة اللافقاريات. تشكل تراكماتها الضخمة شعاب مرجانية كاملة ، والطريقة الكسورية لتكوينها واضحة.

يمكن أن يسمى المرجان بثقة كسورية من مملكة البحر.

كما يستخدمه البشر كتذكار أو مادة خام للمجوهرات والحلي. لكن من الصعب جدًا تكرار جمال الطبيعة الكسورية وكمالها.

لسبب ما ، ليس لدي شك في أن العديد من الحيوانات الكسورية سيتم العثور عليها أيضًا في العالم تحت الماء.

مرة أخرى ، أداء طقوس في المطبخ باستخدام سكين ولوح تقطيع ، ثم إنزال السكين فيه ماء بارد، لقد اكتشفت دموع مرة أخرى كيف أتعامل مع كسور الدمع ، والذي يظهر بشكل شبه يومي في عيني.

مبدأ الانكسارية هو نفس مبدأ ماتريوشكا - التعشيش الشهير. هذا هو السبب في عدم ملاحظة الانكسار على الفور. بالإضافة إلى ذلك ، لون موحد فاتح وقدرته الطبيعية على التسبب عدم ارتياحلا تساهم في المراقبة الدقيقة للكون وتحديد قوانين الرياضيات الكسورية.

لكن الخس ذو اللون البنفسجي ، بسبب لونه وغياب المبيدات النباتية المسيلة للدموع ، أدى إلى انعكاسات على الانكسار الطبيعي لهذه الخضار. بالطبع ، إنها فركتلية بسيطة ، دوائر عادية بأقطار مختلفة ، حتى يمكن للمرء أن يقول أكثر الفركتلات بدائية. لكن لن يضر أن نتذكر أن الكرة تعتبر شخصية هندسية مثالية داخل كوننا.

ا خصائص مفيدةالبصل ، تم نشر العديد من المقالات على الإنترنت ، ولكن بطريقة ما لم يحاول أحد دراسة هذه العينة الطبيعية من وجهة نظر الانكسارية. لا يمكنني إلا أن أذكر حقيقة فائدة استخدام كسورية في شكل بصلة في مطبخي.

ملاحظة. ولقد اشتريت بالفعل قطاعة خضروات لطحن كسورية. الآن عليك أن تفكر في مدى كسور مثل هذه الخضار الصحية مثل الملفوف الأبيض العادي. نفس مبدأ التعشيش.

صور النمطي هندسي متكرر في الفن الشعبي

جذب انتباهي تاريخ اللعبة المشهورة عالمياً "ماتريوشكا". بإلقاء نظرة فاحصة ، يمكننا أن نقول بثقة أن هذه اللعبة التذكارية هي كسورية نموذجية.

يكون مبدأ الانكسار واضحًا عندما تصطف جميع أشكال لعبة خشبية ولا تتداخل مع بعضها البعض.

أظهرت دراساتي الصغيرة عن تاريخ ظهور هذه اللعبة الفركتلية في السوق العالمية أن هذا الجمال له جذور يابانية. لطالما اعتبرت ماتريوشكا تذكارًا روسيًا أصليًا. لكن اتضح أنها النموذج الأولي للتمثال الياباني للحكيم القديم فوكوروم ، الذي تم إحضاره مرة واحدة إلى موسكو من اليابان.

لكن حرفة اللعب الروسية هي التي جلبت شهرة العالم لهذا التمثال الياباني. من أين أتت فكرة التعشيش الفركتلي للعبة ، بالنسبة لي شخصيًا ، ظلت لغزا. على الأرجح ، استخدم مؤلف هذه اللعبة مبدأ تداخل الأشكال في بعضها البعض. وأسهل طريقة للإرفاق هي أشكال متشابهة بأحجام مختلفة ، وهذه بالفعل كسورية.

موضوع البحث مثير للاهتمام بنفس القدر هو رسم لعبة كسورية. هذه لوحة زخرفية - khokhloma. العناصر التقليدية من Khokhloma هي أنماط عشبية من الزهور والتوت والفروع.

مرة أخرى ، كل علامات الانكسار. بعد كل شيء ، يمكن تكرار نفس العنصر عدة مرات في إصدارات ونسب مختلفة. والنتيجة هي لوحة فركتالية شعبية.

وإذا لم تفاجئ أي شخص بالرسم الجديد لفئران الكمبيوتر وأغطية الكمبيوتر المحمول والهواتف ، فإن ضبط السيارة الكسورية على الطراز الشعبي هو شيء جديد في تصميم السيارات. يبقى فقط أن نتفاجأ من ظهور عالم الفركتلات في حياتنا بطريقة غير عادية في مثل هذه الأشياء العادية بالنسبة لنا.

كسورية في المطبخ

في كل مرة أخذت فيها القرنبيط إلى أزهار صغيرة من أجل التبييض في الماء المغلي ، لم ألاحظ أبدًا العلامات الواضحة للانكسار حتى حصلت على هذه العينة في يدي.

كانت كسورية نباتية نموذجية على طاولة مطبخي.

مع كل حبي للقرنبيط ، صادفت دائمًا عينات ذات سطح موحد بدون علامات الانكسار المرئية ، وحتى عدد كبير من النورات المتداخلة داخل بعضها البعض لم تعطيني سببًا لرؤية كسورية في هذه الخضار المفيدة.

لكن سطح هذه العينة المعينة بهندسة كسورية واضحة لم يترك أدنى شك حول الأصل الكسري لهذا النوع من الملفوف.

رحلة أخرى إلى الهايبر ماركت أكدت فقط الحالة الكسورية للملفوف. من بين العدد الهائل من الخضار الغريبة كان هناك صندوق كامل من الفركتلات. كان رومانيسكو ، أو القرنبيط الروماني ، القرنبيط.

اتضح أن المصممين والفنانين ثلاثي الأبعاد معجبون بأشكالها الغريبة التي تشبه الفركتلات.

تنمو براعم الملفوف في دوامة لوغاريتمية. جاءت الإشارات الأولى لملفوف Romanescu من إيطاليا في القرن السادس عشر.

وملفوف البروكلي ليس ضيفًا متكررًا على الإطلاق في نظامي الغذائي ، على الرغم من أنه من حيث المحتوى العناصر الغذائيةوالمغذيات الدقيقة ، فهو يفوق القرنبيط أحيانًا. لكن سطحه وشكله متجانسين لدرجة أنه لم يخطر ببالي أبدًا أن أرى فركتلاً نباتيًا فيه.

النمطي هندسي متكرر في اللف

عند رؤية الحرف المخرمة باستخدام تقنية اللف ، لم أترك أبدًا الشعور بأنهم يذكرونني بشيء ما. تكرار نفس العناصر بأحجام مختلفة - بالطبع هذا هو مبدأ الانكسارية.

بعد مشاهدة الفصل الرئيسي التالي حول اللف ، لم يكن هناك حتى شك حول كسور اللف. بعد كل شيء ، من أجل صنع عناصر مختلفةللف الحرف ، يتم استخدام مسطرة خاصة بدوائر بأقطار مختلفة. لكل جمال وتفرد المنتجات ، هذه تقنية بسيطة بشكل لا يصدق.

تقريبا جميع العناصر الأساسية للف الحرف مصنوعة من الورق. لتخزين ورق اللف مجانًا ، قم بمراجعة أرفف الكتب في المنزل. بالتأكيد ، ستجد هناك بضع مجلات لامعة لامعة.

أدوات اللف بسيطة وغير مكلفة. يمكنك أن تجد كل ما تحتاجه لأعمال اللف للهواة من بين لوازم المكتب المنزلية.

ويبدأ تاريخ اللف في القرن الثامن عشر في أوروبا. خلال عصر النهضة ، استخدم الرهبان من الأديرة الفرنسية والإيطالية اللف لتزيين أغلفة الكتب ولم يشكوا حتى في أن تقنية لف الورق التي اخترعوها كانت كسورية. حتى أن الفتيات من المجتمع الراقي أخذن دورة في اللف في المدارس الخاصة. هذه هي الطريقة التي بدأت بها هذه التقنية في الانتشار عبر البلدان والقارات.

يمكن حتى تسمية هذا الفيديو لفئة اللف الرئيسية لصنع ريش فاخر بـ "فركتلات افعلها بنفسك". بمساعدة الفركتلات الورقية ، يتم الحصول على بطاقات عيد الحب الحصرية الرائعة والعديد من الأشياء الأخرى المثيرة للاهتمام. بعد كل شيء ، الخيال ، مثل الطبيعة ، لا ينضب.

لا يخفى على أحد أن مساحة اليابانيين محدودة للغاية في الحياة ، وبالتالي ، يتعين عليهم بذل قصارى جهدهم لاستخدامها بفعالية. يوضح تاكيشي مياكاوا كيف يمكن القيام بذلك بكفاءة وجمالية. تؤكد خزانة ملابسه الفركتالية أن استخدام الفركتلات في التصميم ليس فقط تكريمًا للموضة ، ولكنه أيضًا حل تصميم متناغم في مساحة محدودة.

أظهر لي هذا المثال لاستخدام الفركتلات في الحياة الواقعية ، المطبق على تصميم الأثاث ، أن الفركتلات حقيقية ليس فقط على الورق في الصيغ الرياضية وبرامج الكمبيوتر.

ويبدو أن الطبيعة تستخدم مبدأ الانكسارية في كل مكان. تحتاج فقط إلى إلقاء نظرة فاحصة عليها ، وسوف تتجلى في كل الوفرة الرائعة واللانهاية من الوجود.

إذن ، الفركتل هو مجموعة رياضية تتكون من كائنات مشابهة لهذه المجموعة. بعبارة أخرى ، إذا نظرنا إلى جزء صغير من شكل فركتلي تحت التكبير ، سيبدو مثل جزء أكبر من هذا الشكل ، أو حتى الشكل ككل. علاوة على ذلك ، بالنسبة للفركتلات ، فإن الزيادة في الحجم لا تعني تبسيط الهيكل. لذلك ، على جميع المستويات ، سنرى صورة معقدة بنفس القدر.

خصائص كسورية

بناءً على التعريف أعلاه ، عادةً ما يتم تمثيل الفركتل كشكل هندسي يفي بواحدة أو أكثر من الخصائص التالية:

له هيكل معقد في أي تكبير ؛

تقريبًا متشابهة (الأجزاء تشبه الكل) ؛

لها بعد كسري أكثر طوبولوجية ؛

يمكن بناؤها باستخدام طريقة العودية.

فركتلات في العالم الخارجي

على الرغم من حقيقة أن مفهوم "الفركتال" يبدو مجرّدًا للغاية ، يمكنك أن تصادف في الحياة العديد من الأمثلة الواقعية وحتى العملية لهذه الظاهرة. علاوة على ذلك ، يجب بالتأكيد التفكير في العالم المحيط ، لأنهم سيعطون فهمًا أفضل للفركتلات وخصائصها.

على سبيل المثال ، تُظهر الهوائيات الخاصة بالأجهزة المختلفة ، والتي يتم تنفيذ تصميماتها بطريقة الفركتال ، كفاءتها بنسبة 20٪ أعلى من الهوائيات التقليدية ذات التصميم. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أن يعمل الهوائي الفركتلي بأداء ممتاز في نفس الوقت على مجموعة متنوعة من الترددات. هذا هو السبب في الحديث الهواتف المحمولةلا يوجد بالفعل عمليًا هوائيات خارجية للجهاز الكلاسيكي في تصميمها - يتم استبدال الأخير بهوائيات كسورية داخلية ، والتي يتم تثبيتها مباشرة على لوحة الدوائر المطبوعة للهاتف.

حظيت الفركتلات باهتمام كبير مع التطور تقنيات المعلومات... في الوقت الحاضر ، تم تطوير خوارزميات لضغط الصور المختلفة باستخدام الفركتلات ، وهناك طرق لبناء كائنات رسومية حاسوبية (الأشجار ، وأسطح الجبال والبحر) بطريقة كسورية ، بالإضافة إلى نظام كسوري لتعيين عناوين IP في بعض الشبكات.

في علم الاقتصاد ، هناك طريقة لاستخدام الفركتلات عند تحليل أسعار الأسهم والعملات. ربما يكون القارئ الذي يتداول في سوق الفوركس قد رأى التحليل النمطي هندسيًا عمليًا في محطة تداول ، أو حتى طبقه في الممارسة العملية.

أيضًا ، بالإضافة إلى الأشياء التي صنعها الإنسان بشكل مصطنع بخصائص كسورية ، توجد أيضًا في الطبيعة الطبيعية العديد من هذه الأشياء. من الأمثلة الجيدة على الفركتل: الشعاب المرجانية وأصداف البحر وبعض الزهور والنباتات (البروكلي والقرنبيط) والجهاز الدوري والشعب الهوائية للإنسان والحيوان والأنماط المتكونة على الزجاج والبلورات الطبيعية. هذه والعديد من الكائنات الأخرى لها شكل كسوري واضح.

عندما لا أفهم كل شيء في ما أقرأ ، لا أشعر بالضيق بشكل خاص. إذا لم يظهر لي الموضوع لاحقًا ، فلن يكون ذا أهمية خاصة (على الأقل بالنسبة لي). إذا تم طرح الموضوع مرة أخرى ، للمرة الثالثة ، سيكون لدي فرص جديدة لفهمه بشكل أفضل. الفركتلات هي من بين هذه الموضوعات. علمت عنها أولاً من كتاب نسيم طالب ، ثم بمزيد من التفصيل من كتاب بنوا ماندلبروت. اليوم ، عند الطلب "fractal" ، يمكنك الحصول على 20 ملاحظة على الموقع.

الجزء الأول. رحلة إلى المصادر

معنى الاسم لاكتشافه.في بداية القرن العشرين ، قال هنري بوانكاريه: "أنت مندهش من القوة التي يمكن أن تمتلكها كلمة واحدة. هذا شيء لا يمكن أن يقال عنه شيء حتى يتم تعميده. كان يكفي أن نطلق عليه اسمًا لحدوث معجزة "(انظر أيضًا). وحدث ذلك عندما وضع عالم الرياضيات الفرنسي من أصل بولندي بينوا ماندلبروت كلمة في عام 1975. من الكلمات اللاتينية frangere(كسر) و كسر(متقطع ، منفصل ، كسري) تم تشكيله كسوري. روج ماندلبروت ببراعة ونشر الفركتال كعلامة تجارية مع التركيز على الجاذبية العاطفية والمنفعة العقلانية. قام بنشر العديد من الدراسات ، بما في ذلك ، الهندسة الكسورية للطبيعة (1982).

كسور في الطبيعة والفن.حدد ماندلبروت ملامح الهندسة الكسورية بخلاف الإقليدية. لم ينطبق الاختلاف على بديهية التوازي ، كما هو الحال في هندسة Lobachevsky أو ​​Riemann. كان الاختلاف في التخلي عن متطلبات النعومة الافتراضية لإقليدس. بعض الأشياء متأصلة في الخشونة أو المسامية أو التجزئة ، والعديد منها له الخصائص المحددة "إلى نفس المدى على أي مقياس." لا يوجد نقص في هذه الأشكال في الطبيعة: عباد الشمس والبروكلي ، الصدف ، السرخس ، رقاقات الثلج ، الصدوع الجبلية ، الخطوط الساحلية ، المضايق ، الصواعد والهوابط ، البرق.

لاحظ الأشخاص المنتبهون والملاحظون منذ فترة طويلة أن بعض الأشكال تظهر نمطًا متكررًا عند عرضها "بالقرب أو البعيد". عند الاقتراب من مثل هذه الكائنات ، نلاحظ أن التفاصيل الصغيرة فقط تتغير ، لكن الشكل ككل يظل دون تغيير تقريبًا. بناءً على ذلك ، من الأسهل تعريف الفركتل كشكل هندسي يحتوي على عناصر متكررة بأي مقياس.

الأساطير والغموض.أصبحت الطبقة الجديدة من الأشكال التي اكتشفها ماندلبروت منجم ذهب للمصممين والمهندسين المعماريين. تم بناء عدد لا يحصى من الفركتلات وفقًا لنفس مبادئ التكرار المتعدد. من هنا ، من الأسهل تعريف الفركتل كشكل هندسي يحتوي على عناصر متكررة على أي مقياس. هذا الشكل الهندسي غير متغير محليًا (ثابت) ، متشابهة ذاتيًا متدرجًا ومتكاملًا في حدودها هو تفرد حقيقي ، يتم الكشف عن تعقيده عندما يقترب ، وعلى مسافة يكون التفاهة نفسها.

سلم الشيطان.تستخدم إشارات كهربائية قوية للغاية لنقل البيانات بين أجهزة الكمبيوتر. هذه الإشارة منفصلة. يحدث التداخل أو الضوضاء بشكل عرضي في الشبكات الكهربائية لأسباب عديدة ويؤدي إلى فقدان البيانات عند نقل المعلومات بين أجهزة الكمبيوتر. للقضاء على تأثير الضوضاء على نقل البيانات في أوائل الستينيات من القرن الماضي ، تم تكليف مجموعة من مهندسي شركة IBM ، والتي شارك فيها ماندلبروت.

أظهر تحليل تقريبي وجود فترات لم يتم خلالها تسجيل خطأ واحد. من خلال تسليط الضوء على فترات مدتها ساعة واحدة ، لاحظ المهندسون أن فترات إرسال الإشارة بدون أخطاء متقطعة أيضًا ، وهنا توجد فترات توقف أقصر تدوم حوالي عشرين دقيقة. وبالتالي ، فإن نقل البيانات الخالية من الأخطاء يتميز بحزم البيانات أطوال مختلفةويتوقف مؤقتًا في الضوضاء ، حيث يتم إرسال الإشارة بدون أخطاء. الحزم ذات الرتبة الأعلى هي ، كما كانت ، حزم مضمنة من فئة أقل. يفترض مثل هذا الوصف وجود شيء مثل الموضع النسبي للحزم ذات الترتيب الأدنى في الحزمة ذات التصنيف الأعلى. وقد أظهرت التجربة أن التوزيع الاحتمالي لهذه المواقع النسبية للحزم مستقل عن ترتيبها. يشير هذا الثبات إلى التشابه الذاتي لعملية تشويه البيانات تحت تأثير الضوضاء الكهربائية. إن الإجراء ذاته المتمثل في التخلص من التوقفات الخالية من الأخطاء في الإشارة أثناء نقل البيانات لا يمكن أن تحدث لمهندسي الكهرباء لسبب أن هذا كان جديدًا بالنسبة لهم.

لكن ماندلبروت ، الذي درس الرياضيات البحتة ، كان مدركًا جيدًا لمجموعة كانتور ، التي تم وصفها في عام 1883 والتي تمثل الغبار من النقاط التي تم الحصول عليها وفقًا لخوارزمية صارمة. فيما يلي جوهر خوارزمية تكوين "غبار كانتور". خذ قطعة خط مستقيم. قم بإزالة الثلث الأوسط من المقطع منه ، مع الاحتفاظ بالطرفين. الآن سنكرر نفس العملية مع مقاطع النهاية وما إلى ذلك. اكتشف ماندلبروت أن هذه هي بالضبط هندسة الحزم وتتوقف مؤقتًا في إرسال الإشارات بين أجهزة الكمبيوتر. الخطأ يتراكم. يمكن نمذجة تراكمها على النحو التالي. في الخطوة الأولى ، سنقوم بتعيين القيمة 1/2 لجميع النقاط من الفاصل الزمني ، في الخطوة الثانية من الفاصل الزمني إلى 1/4 ، القيمة 3/4 إلى النقاط من الفاصل الزمني ، إلخ. يتيح لنا الجمع التدريجي لهذه القيم بناء ما يسمى بـ "سلم الشيطان" (الشكل 1). مقياس "غبار كانتور" هو رقم غير منطقي يساوي 0.618 ... والمعروف باسم "النسبة الذهبية" أو "النسبة الإلهية".

الجزء الثاني. الكسور الجوهر

ابتسم بدون قطة: البعد الكسري.البعد هو أحد المفاهيم الأساسية التي تتجاوز الرياضيات. حدد إقليدس في كتابه الأول "البدايات" المفاهيم الأساسية للهندسة النقطة والخط والمستوى. بناءً على هذه التعريفات ، ظل مفهوم الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد دون تغيير لما يقرب من ألفين ونصف عام. المغازلة العديدة بمساحات من أربعة أو خمسة أبعاد أو أكثر لا تضيف شيئًا جوهريًا ، لكنها تواجه ما لا يمكن للخيال البشري تخيله. مع اكتشاف الهندسة الكسورية ، حدثت ثورة جذرية في مفهوم البعد. ظهرت مجموعة كبيرة ومتنوعة من الأبعاد ، ومن بينها ليس فقط أبعاد كاملة ، ولكن أيضًا أبعاد كسرية ، وحتى أبعاد غير عقلانية. وهذه الأبعاد متاحة للعرض البصري والحسي. في الواقع ، يمكننا بسهولة تخيل الجبن مع الثقوب كنموذج للبيئة ، أبعادها أكثر من اثنين ، لكنها لا تصل إلى ثلاثة بسبب ثقوب الجبن ، مما يقلل من أبعاد كتلة الجبن.

لفهم الأبعاد الكسرية أو الفركتلية ، ننتقل إلى مفارقة ريتشاردسون ، التي جادلت في أن الساحل البريطاني الوعر كان لانهائي الطول! تساءل لويس فراي ريتشاردسون عن تأثير المقياس على الطول المقاس لساحل بريطانيا. عند الانتقال من مقياس الخرائط الكنتورية إلى مقياس "الحصى الساحلية" ، توصل إلى نتيجة غريبة وغير متوقعة: طول الخط الساحلي يزداد إلى ما لا نهاية ، وهذه الزيادة ليس لها حدود. لا تتصرف الخطوط الملساء والمنحنية بهذا الشكل. أشارت البيانات التجريبية لريتشاردسون ، التي تم الحصول عليها على خرائط ذات نطاقات أكبر ، إلى زيادة قانون القوة في طول الخط الساحلي مع انخفاض في خطوة القياس:

في صيغة ريتشاردسون البسيطة هذه إلهناك طول محسوب للساحل ، ε هو مقدار خطوة القياس ، و β ≈ 3/2 درجة الزيادة في طول الساحل مع انخفاض في خطوة القياس التي وجدها. على عكس المحيط ، يزداد طول الخط الساحلي للمملكة المتحدة إلى ما بعد الحد 55. لا نهاية لها! علينا أن نتصالح مع حقيقة أن المنحنيات مكسورة ، غير ملساء ، وليس لها طول محدد.

ومع ذلك ، اقترحت دراسات ريتشاردسون أن لديهم بعض المقاييس المميزة لدرجة زيادة الطول مع تناقص المقياس. اتضح أن هذه هي القيمة التي تحدد بشكل غامض الخط المكسور على أنه بصمة لشخصية الشخص. فسر ماندلبروت الساحل على أنه كائن فركتلي - كائن يتطابق أبعاده مع الأس.

على سبيل المثال ، تبلغ أبعاد منحنيات الحدود الساحلية للساحل الغربي للنرويج 1.52 ؛ للمملكة المتحدة - 1.25 ؛ لألمانيا - 1.15 ؛ لأستراليا - 1.13 ؛ بالنسبة لساحل جنوب إفريقيا الأملس نسبيًا - 1.02 وأخيراً للحصول على دائرة سلسة تمامًا - 1.0.

بالنظر إلى جزء من كسورية ، لا يمكنك تحديد أبعادها. والسبب ليس في التعقيد الهندسي للجزء ، يمكن أن يكون الجزء بسيطًا جدًا ، ولكن في حقيقة أن البعد الكسري لا يعكس فقط شكل القطعة ، ولكن أيضًا تنسيق التحويل للجزء في عملية البناء كسورية. تمت إزالة البعد الكسري ، كما كان ، من النموذج. ونتيجة لذلك ، تظل قيمة البعد الكسري ثابتة ؛ وهي نفسها بالنسبة لأي جزء من الفركتلي على أي مقياس للمسح. لا يمكن "الإمساك بها بأصابعك" ، لكن يمكن حسابها.

تكرار كسور.يمكن نمذجة التكرار باستخدام المعادلات غير الخطية. تتميز المعادلات الخطية بتطابق واحد لواحد للمتغيرات: كل قيمة Xيطابق قيمة واحدة وقيمة واحدة فقط فيوالعكس صحيح. على سبيل المثال ، المعادلة س + ص = 1 خطية. سلوك الوظائف الخطية حتمي تمامًا ، ويتم تحديده بشكل فريد من خلال الشروط الأولية. إن سلوك الوظائف غير الخطية ليس واضحًا للغاية ، لأن شرطين أوليين مختلفين يمكن أن يؤديا إلى نفس النتيجة. على هذا الأساس ، يظهر تكرار تكرار العملية في شكلين مختلفين. يمكن أن يكون لها طابع المرجع الخطي ، عندما يكون هناك عودة إلى الحالة الأولية في كل خطوة من العمليات الحسابية. هذا نوع من "تكرار النمط". الإنتاج التسلسلي على ناقل هو "تكرار النمط". لا يعتمد التكرار في تنسيق المرجع الخطي على الحالات الوسيطة لتطور النظام. هنا ، يبدأ كل تكرار جديد من الموقد. إنها مسألة أخرى تمامًا عندما يكون للتكرار تنسيق عودي ، أي تصبح نتيجة خطوة التكرار السابقة هي الشرط الأولي للخطوة التالية.

يمكن توضيح العودية من خلال سلسلة فيبوناتشي ، ممثلة في شكل تسلسل جيرارد:

u n +2 = u n +1 + u n

والنتيجة هي أرقام فيبوناتشي:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

في هذا المثال ، من الواضح تمامًا أن الوظيفة يتم تطبيقها على نفسها دون الرجوع إلى القيمة الأولية. إنه ينزلق على طول سلسلة فيبوناتشي ، كما كان ، وتصبح كل نتيجة من التكرار السابق القيمة الأولية للقيمة التالية. هذا التكرار هو الذي يتحقق عند بناء الأشكال الكسورية.

دعونا نوضح كيف يتم تنفيذ التكرار النمطي هندسي متكرر في الخوارزميات لبناء "منديل Sierpinski" (باستخدام طريقة القطع وطريقة CIF).

طريقة القطع.خذ مثلث متساوي الأضلاع مع أحد أضلاعه ص... في الخطوة الأولى ، قطعنا في وسطه مثلثًا متساوي الأضلاع بطول ضلعه مقلوبًا رأسًا على عقب ص 1 = ص 0/2. نتيجة لهذه الخطوة ، نحصل على ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع بأطوال أضلاعها ص 1 = ص 0/2 ، الموجود عند رؤوس المثلث الأصلي (الشكل 2).

في الخطوة الثانية ، في كل من المثلثات الثلاثة المشكلة ، قمنا بقطع مثلثات مقلوبة منقوشة بطول ضلع ص 2 = ص 1 /2 = ص 0/4. النتيجة - 9 مثلثات بطول ضلع ص 2 = ص 0/4. نتيجة لذلك ، أصبح شكل منديل Sierpinski تدريجياً أكثر وضوحًا. التثبيت يحدث في كل خطوة. جميع الالتزامات السابقة "شُطبت" كما كانت.

طريقة SIF ، أو طريقة أنظمة دالة بارنسلي المتكررة.معطى: مثلث متساوي الأضلاع بإحداثيات الزوايا أ (0،0) ، ب (1،0) ، ج (1/2 ، √3 / 2). Z 0 - نقطة عشوائية داخل هذا المثلث (الشكل 3). نأخذ نردًا ، يوجد على حوافه حرفان A و B و C.

الخطوة 1. لف العظم. احتمال سقوط كل حرف هو 2/6 = 1/3.

• إذا سقط الحرف A ، فإننا نبني مقطع z 0 –A ، في منتصفه نضع النقطة z 1
• إذا سقط الحرف B ، فأنشئ مقطعًا من z 0 –B ، في منتصفه نضع النقطة z 1
• إذا سقط الحرف C ، فإننا نبني قطعة z 0 –C ، في منتصفها نضع النقطة z 1

الخطوة 2. لف العظم مرة أخرى.

• إذا سقط الحرف A ، فإننا نبني مقطع z 1 –A ، في منتصفه نضع النقطة z 2
• إذا سقط الحرف B ، فأنشئ مقطعًا من z 1 –B ، وفي منتصفه نضع النقطة z 2
• إذا سقط الحرف C ، فإننا نبني قطعة z 1 -C ، في منتصفها نضع النقطة z 2

بتكرار العملية عدة مرات ، نحصل على النقاط z 3 ، z 4 ، ... ، z n. خصوصية كل منهما هي أن النقطة تقع بالضبط في منتصف المسافة من النقطة السابقة إلى قمة تم اختيارها عشوائيًا. الآن ، إذا تجاهلنا النقاط الأولية ، على سبيل المثال ، من z 0 إلى z 100 ، فإن البقية ، مع عدد كبير بما فيه الكفاية ، تشكل هيكل "منديل Sierpinski". كلما زاد عدد النقاط ، زاد عدد التكرارات ، كان من الواضح أن كسورية Sierpinski للمراقب. وهذا على الرغم من حقيقة أن العملية مستمرة ، على ما يبدو ، بطريقة عشوائية (بفضل النرد). "منديل Sierpinski" هو نوع من الجاذب للعملية ، أي الشكل الذي تميل نحوه جميع المسارات التي تم إنشاؤها في هذه العملية مع عدد كبير من التكرارات. في هذه الحالة ، يكون تثبيت الصورة عملية تراكمية. ربما لن تتطابق كل نقطة على حدة مع نقطة الفركتلات Sierpinski ، ولكن كل نقطة لاحقة من هذه العملية يتم تنظيمها "بالصدفة" تنجذب أقرب وأقرب إلى نقاط "منديل Sierpinski".

ردود الفعل حلقة.استخدم مؤسس علم التحكم الآلي ، نوربرت وينر ، قائد القارب كمثال لوصف حلقة التغذية الراجعة. يجب أن يظل قائد الدفة في مساره ويقيم باستمرار مدى جودة القارب في مساره. إذا رأى قائد الدفة أن القارب ينحرف ، فإنه يعيد الدفة إلى المسار المحدد. بعد فترة ، يقوم بتقييم اتجاه الحركة مرارًا وتكرارًا بمساعدة الدفة. وبالتالي ، يتم تنفيذ الملاحة بمساعدة التكرارات والتكرار والنهج المتسلسل لحركة القارب إلى مسار معين.

تظهر حلقة التغذية الراجعة النموذجية في الشكل. 4 يتعلق الأمر بتغيير المعلمات المتغيرة (اتجاه القارب) والمعلمة المتحكم بها С (عنوان القارب).

ضع في اعتبارك رسم خرائط Bernoulli Shift. دع بعض الأرقام يتم تحديدها كحالة أولية ، والتي تنتمي إلى الفاصل الزمني من 0 إلى 1. لنكتب هذا الرقم في نظام الأرقام الثنائية:

× 0 = 0.01011010001010011001010 ...

الآن إحدى خطوات التطور في الوقت المناسب هي أن تسلسل الأصفار والآحاد قد تم إزاحته إلى اليسار بمقدار موضع واحد ، ويتم تجاهل الرقم الموجود على الجانب الأيسر من الفاصلة العشرية:

× 1 = 0.1011010001010011001010 ...

× 2 = 0.011010001010011001010 ...

× 3 = 0.11010001010011001010 ...

لاحظ أنه إذا كانت الأرقام الأصلية × 0عقلاني ، ثم خلال التكرار القيم Xناذهب إلى المدار الدوري. على سبيل المثال ، بالنسبة للبذور 11/24 ، سنحصل على عدد من القيم أثناء التكرار:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

إذا كانت القيم الأصلية × 0غير منطقي ، لن ينتقل العرض إلى الوضع الدوري أبدًا. نطاق القيم الأولية x 0 ∈ يحتوي على عدد لا نهائي من النقاط المنطقية وعدد لا نهائي من النقاط غير المنطقية. وبالتالي ، فإن كثافة المدارات الدورية تساوي كثافة المدارات التي لا تدخل أبدًا في النظام الدوري. في أي حي للقيمة العقلانية × 0هناك قيمة غير منطقية للمعامل الأصلي X'0في هذه الحالة ، تظهر حتماً حساسية خفية للظروف الأولية. هذه علامة مميزة على أن النظام في حالة من الفوضى الديناميكية.

مفصلات التعليقات الأولية.العكس هو شرط ضروريونتائج أي نظرة جانبية تفاجئ نفسها. يمكن أن تكون أيقونة حلقة الانعكاس عبارة عن شريط Mobius ، حيث يتحول جانبها السفلي مع كل دائرة إلى الجزء العلوي ، ويصبح الجزء الداخلي خارجيًا والعكس صحيح. يؤدي تراكم الاختلافات في العملية العكسية أولاً إلى إزالة الصورة من الصورة الأصلية ، ثم العودة إليها. في المنطق ، يتم توضيح الحلقة العكسية من خلال مفارقة إبيمينيدس: "جميع الكريتيين كذابون". لكن إبيمينيدس نفسه كان كريتي.

حلقة غريبة.يتلخص الجوهر الديناميكي لظاهرة الحلقة الغريبة في حقيقة أن الصورة تتحول وتصبح مختلفة أكثر فأكثر عن الصورة الأصلية ، في عملية العديد من التشوهات ، تعود إلى الصورة الأصلية ، لكنها لا تكررها تمامًا أبدًا. في وصف هذه الظاهرة ، يقدم هوفستاتر مصطلح "حلقة غريبة" في الكتاب. ويخلص إلى أن كلاً من Escher و Bach و Gödel اكتشفوا أو بشكل أكثر دقة ، استخدموا حلقات غريبة في أعمالهم وإبداعهم في الفنون المرئية والموسيقى والرياضيات ، على التوالي. في كتاب التحولات ، اكتشف إيشر التماسك الغريب لمختلف مستويات الواقع. يتم تحويل أشكال أحد وجهات النظر الفنية بشكل بلاستيكي إلى أشكال منظور فني آخر (الشكل 5).

أرز. 5. موريتس ايشر. رسم الأيدي. 1948

تجلت هذه الغرابة في الموسيقى بطريقة غريبة. أحد شرائع "عرض الموسيقى" لباخ ( كانون لكل طن- تم تصميم الدرجة اللونية) بطريقة تجعل نهايتها النهائية الظاهرة تنتقل بسلاسة إلى البداية بشكل غير متوقع ، ولكن مع تحول في المفتاح. تأخذ هذه التعديلات المتتالية المستمع أعلى وأعلى بعيدًا عن المفتاح الأولي. ومع ذلك ، بأعجوبة ، بعد ستة تعديلات ، عدنا تقريبًا. كل الأصوات تبدو الآن أعلى بمقدار أوكتاف واحد بالضبط مما كانت عليه في البداية. الغريب الوحيد هو أننا عندما نتسلق مستويات تسلسل هرمي معين ، نجد أنفسنا فجأة في نفس المكان تقريبًا حيث بدأنا رحلتنا - العودة دون اعادتها.

اكتشف Kurt Gödel حلقات غريبة في واحدة من أقدم مجالات الرياضيات وإتقانها - نظرية الأعداد. رأت نظرية جودل النور لأول مرة على أنها النظرية السادسة في مقالته عام 1931 "حول الأحكام غير القابلة للحل رسميًا" في مبدأ الرياضيات. تنص النظرية على ما يلي: تحتوي جميع الصيغ البديهية المتسقة لنظرية الأعداد على افتراضات غير قابلة للتقرير. لا تقول أحكام نظرية الأعداد شيئًا عن أحكام نظرية الأعداد ؛ هم ليسوا أكثر من أحكام نظرية الأعداد. هناك حلقة هنا ، لكن لا يوجد غرابة. حلقة غريبة مخفية في البرهان.

ساحب غريب.جاذب (من اللغة الإنجليزية. جذبجذب) نقطة أو خط مغلق يجذب كل المسارات الممكنة لسلوك النظام. الجاذب مستقر ، أي على المدى الطويل ، النموذج الوحيد الممكن لسلوك الجاذب ، كل شيء آخر مؤقت. الجاذب هو كائن زماني مكاني يشمل العملية برمتها ، ليس سببها ولا تأثيرها. يتكون فقط من أنظمة ذات عدد محدود من درجات الحرية. يمكن أن تكون الجاذبات نقطة ودائرة وحلقة وكسر. في الحالة الأخيرة ، يسمى الجاذب "غريب" (الشكل 6).

يصف جاذب النقاط أي حالة مستقرة للنظام. في فضاء الطور ، هي نقطة تتشكل حولها المسارات المحلية لـ "عقدة" أو "تركيز" أو "سرج". هذه هي الطريقة التي يتصرف بها البندول: عند أي سرعة ابتدائية وأي موضع ابتدائي ، وبعد وقت كافٍ ، وتحت تأثير الاحتكاك ، يتوقف البندول ويصل إلى حالة توازن مستقر. الجاذب الدائري (الدوري) هو حركة ذهابًا وإيابًا ، مثل البندول المثالي (بدون احتكاك) ، في دائرة.

جاذبات غريبة ( جاذبات غريبة)يبدو غريبًا فقط من الخارج ، لكن مصطلح "الجاذب الغريب" انتشر فور ظهور مقال "طبيعة الاضطراب" بقلم ديفيد رويل والهولندي فلوريس تاكنز عام 1971 (انظر أيضًا). تساءل رويل وتاكينز عما إذا كان لدى أي جاذب مجموعة مناسبة من الخصائص: الاستقرار ، وعدد محدود من درجات الحرية ، وعدم التكرار. مع نقطة هندسيةعرض السؤال بدا وكأنه محض لغز. ما الشكل الذي يجب أن يصور فيه مسار طويل بلا حدود مساحة محدودةألا تكرر أو تتخطى نفسها؟ لإعادة إنتاج كل إيقاع ، يجب أن يكون المدار عبارة عن خط طويل بلا حدود فوق منطقة محدودة ، وبعبارة أخرى ، يجب أن يبتلع نفسه بنفسه (الشكل 7).

بحلول عام 1971 ، كان هناك بالفعل رسم تخطيطي واحد لمثل هذا الجذاب في الأدبيات العلمية. جعله إدوارد لورنز ملحقًا لمقاله عام 1963 عن الفوضى الحتمية. كان هذا الجاذب مستقرًا وغير دوري ، ولديه عدد قليل من درجات الحرية ولم يعبر نفسه أبدًا. إذا حدث شيء من هذا القبيل ، وعاد إلى النقطة التي مر بها بالفعل ، فستتكرر الحركة في المستقبل ، وتشكل جاذبًا حلقيًا ، لكن هذا لم يحدث.

تكمن غرابة الجاذب ، كما يعتقد رويل ، في ثلاث سمات غير متكافئة ، ولكن في الممارسة العملية ، توجد معًا ميزات:

• الانكسارية (التداخل والتشابه والاتساق) ؛
• الحتمية (الاعتماد على الشروط الأولية) ؛
• التفردات (عدد محدود من تحديد المعايير).

الجزء الثالث. خفة مذهلة للأشكال الكسرية

الأرقام الخيالية ، صور الطور والإحتمال.تعتمد الهندسة الكسرية على نظرية الأرقام التخيلية وصور الطور الديناميكي ونظرية الاحتمالات. تفترض نظرية الأعداد التخيلية أن هناك جذرًا تربيعيًا لسالب واحد. قدم جيرولامو كاردانو ، في عمله "الفن العظيم" ("Ars Magna" ، 1545) ، حلاً عامًا للمعادلة التكعيبية z 3 + pz + q = 0. يستخدم كاردانو الأرقام التخيلية كأسلوب شكلي فني للتعبير عن جذور معادلة. لاحظ وجود شذوذ ، والذي أوضحه بالمعادلة البسيطة x 3 = 15x + 4. هذه المعادلة لها حل واحد واضح: x = 4. ومع ذلك ، فإن الصيغة العامة تعطي نتيجة غريبة. يحتوي على جذر رقم سالب:

أشار رافائيل بومبيلي في كتابه عن الجبر ("الجبر" ، 1560) إلى أن = 2 ± i ، وهذا سمح له فورًا بالحصول على جذر حقيقي x = 4. في حالات مماثلة ، عندما تترافق الأعداد المركبة ، نحصل على جذر حقيقي ، والأرقام المركبة بمثابة مساعدة فنية في عملية الحصول على حل لمعادلة تكعيبية.

اعتقد نيوتن أن الحلول التي تحتوي على جذر ناقص واحد يجب اعتبارها "غير ذات مغزى ماديًا" والتخلص منها. في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، تم تشكيل فهم أن شيئًا خياليًا وروحيًا وخياليًا لا يقل واقعية عن كل شيء حقيقي معًا. يمكننا حتى تحديد التاريخ الدقيق 10 نوفمبر 1619 ، عندما صاغ ديكارت بيان التفكير الجديد "cogito ergo sum". من الآن فصاعدًا ، أصبح الفكر حقيقة مطلقة لا شك فيها: "إذا كنت أفكر ، فهذا يعني أنني موجود"! بتعبير أدق ، يُنظر الآن إلى الفكر على أنه حقيقة. تكتسب فكرة ديكارت عن نظام الإحداثيات المتعامد ، بفضل الأرقام الخيالية ، اكتمالها. من الممكن الآن ملء هذه الأرقام التخيلية بالمعاني.

في القرن التاسع عشر ، طورت أعمال أويلر وأرجان وكوشي وهاملتون جهازًا حسابيًا للعمل مع الأعداد المركبة. يمكن تمثيل أي رقم مركب على أنه مجموع X + iY ، حيث X و Y هما رقمان حقيقيان اعتدنا عليهما ، و أناوحدة تخيلية (في الحقيقة هي - 1). يتوافق كل رقم مركب مع نقطة ذات إحداثيات (X ، Y) على ما يسمى بالمستوى المركب.

المفهوم الثاني المهم - تم تشكيل صورة المرحلة للنظام الديناميكي في القرن العشرين. بعد أن أظهر أينشتاين أن كل شيء يتحرك بنفس السرعة فيما يتعلق بالضوء ، اكتسبت فكرة إمكانية التعبير عن السلوك الديناميكي لنظام ما في شكل خطوط هندسية مجمدة ، ما يسمى صورة الطور للنظام الديناميكي. معنى فيزيائي واضح.

دعنا نوضحها بمثال البندول. أجرى جان فوكو تجاربه الأولى مع بندول في عام 1851 في قبو ، ثم في مرصد باريس ، ثم تحت قبة البانثيون. أخيرًا ، في عام 1855 ، تم تعليق بندول فوكو تحت قبة كنيسة سان مارتن دي تشان الباريسية. طول حبل بندول فوكو 67 م ووزنه 28 كجم. من مسافة بعيدة ، يبدو البندول كنقطة. النقطة دائما ثابتة. بالاقتراب ، نميز نظامًا بثلاثة مسارات نموذجية: مذبذب توافقي (sinϕ ≈ ϕ) ، بندول (تذبذب ذهابًا وإيابًا) ، مروحة (دوران).

عندما يرى المراقب المحلي أحد التكوينات الثلاثة الممكنة لحركة الكرة ، يمكن للمحلل الذي تم إزالته من العملية أن يفترض أن الكرة تؤدي واحدة من ثلاث حركات نموذجية. يمكن تصوير هذا في خطة واحدة. من الضروري أن نتفق على أننا سنقوم بتحريك "الكرة على خيط" إلى فضاء طور مجرد ، والذي يحتوي على العديد من الإحداثيات مثل درجات حرية النظام قيد الدراسة. في هذه الحالة نحن نتحدث عن درجتين من سرعة الحرية الخامسوزاوية ميل الخيط مع الكرة إلى الرأسي ϕ. في الإحداثيين و v ، يكون مسار المذبذب التوافقي عبارة عن نظام من الدوائر متحدة المركز ، ومع زيادة الزاوية ϕ ، تصبح هذه الدوائر بيضاوية ، وعند ϕ = ± π ضاع إغلاق الشكل البيضاوي. هذا يعني أن البندول قد تحول إلى وضع المروحة: ت = ثوابت(الشكل 8).

أرز. 8. البندول: أ) المسار في فضاء الطور للبندول المثالي. ب) المسار في فضاء الطور للبندول يتأرجح مع التخميد ؛ ج) صورة المرحلة

قد لا تكون هناك أطوال أو مدد أو حركات في فضاء الطور. هنا يكون أي إجراء معطى مسبقًا ، ولكن ليست كلها صالحة. كل ما تبقى من الهندسة هو الطوبولوجيا ، بدلاً من المقاييس والمعلمات بدلاً من الأبعاد والأبعاد. هنا ، أي نظام ديناميكي له بصمة فريدة خاصة به ، صورة طور. ومن بينها صور طور غريبة نوعًا ما: كونها معقدة ، يتم تحديدها بواسطة معلمة واحدة ؛ كونها متناسبة ، فهي غير متناسبة ؛ كونها مستمرة ، فهي منفصلة. إن صور الطور الغريبة هذه هي سمة للأنظمة ذات التكوين النمطي هندسي متكرر للجاذبات. إن التمييز في مراكز الجذب (الجاذبات) يخلق تأثير كمية من العمل ، وتأثير فجوة أو قفزة ، بينما تحافظ المسارات على الاستمرارية وتنتج شكلاً واحدًا متصلًا من جاذب غريب.

تصنيف الكسور.يحتوي الفركتل على ثلاثة أقانيم: رسمية وتشغيلية ورمزية ، متعامدة مع بعضها البعض. وهذا يعني أنه يمكن الحصول على نفس الشكل الكسري باستخدام خوارزميات مختلفة ، ويمكن أن يظهر نفس رقم البعد الكسري بالنسبة للفركتلات المختلفة تمامًا في الشكل. مع أخذ هذه الملاحظات في الاعتبار ، نقوم بتصنيف الفركتلات وفقًا للسمات الرمزية والرسمية والتشغيلية:

• رمزياً ، يمكن أن تكون خاصية البعد للفركتلات كاملة أو كسرية ؛
• على أساس رسمي ، يمكن أن تكون الفركتلات متماسكة ، مثل ورقة أو سحابة ، وغير متماسكة ، مثل الغبار ؛
• على الأساس التشغيلي ، يمكن تقسيم الفركتلات إلى منتظم وصحفي.

يتم إنشاء الفركتلات العادية وفقًا لخوارزمية محددة بدقة. في هذه الحالة ، تكون عملية البناء قابلة للعكس. يمكنك تكرار جميع العمليات بترتيب عكسي ، ومحو أي صورة تم إنشاؤها في عملية الخوارزمية الحتمية ، نقطة بنقطة. يمكن أن تكون الخوارزمية القطعية خطية أو غير خطية.

تظهر الفركتلات العشوائية ، المتشابهة بالمعنى العشوائي ، عندما تتغير أي معلمات عشوائيًا في خوارزمية بنائها ، في سياق التكرارات. مصطلح "العشوائية" يأتي من الكلمة اليونانية العشوائية- تخمين تخمين. العملية العشوائية هي عملية لا يمكن التنبؤ بدقة بطبيعة التغيير. يتم إنتاج الفركتلات حسب نزوة الطبيعة (كسور الصخور ، السحب ، التدفقات المضطربة ، الرغوة ، المواد الهلامية ، ملامح جزيئات السخام ، التغيرات في أسعار الأسهم ومستويات الأنهار ، إلخ) ، خالية من التشابه الهندسي ، ولكنها تتكاثر باستمرار في كل جزء الخصائص الإحصائية للكل في المتوسط. يتيح لك الكمبيوتر إنشاء تسلسلات من الأرقام العشوائية الزائفة ومحاكاة الخوارزميات والأشكال العشوائية على الفور.

كسور خطية.سميت الفركتلات الخطية بهذا الاسم لأنها كلها مبنية وفقًا لخوارزمية خطية معينة. هذه الفركتلات متشابهة مع نفسها ، ولا تشوه بأي تغيير في الحجم ، ولا يمكن تمييزها في أي وقت. لبناء مثل هذه الفركتلات ، يكفي وضع قاعدة وجزء. سيتم تكرار هذه العناصر عدة مرات مع تناقص الحجم إلى ما لا نهاية.

غبار كانتور.في القرن التاسع عشر ، اقترح عالم الرياضيات الألماني جورج فرديناند لودفيج فيليب كانتور (1845-1918) على المجتمع الرياضي مجموعة غريبة من الأرقام في النطاق من 0 إلى 1. احتوت المجموعة على عدد لا حصر له من العناصر في الفترة المشار إليها و ، علاوة على ذلك ، ليس لها بعد. إن السهم الذي يتم إطلاقه بشكل عشوائي لا يكاد يصيب حتى عنصرًا واحدًا من هذا العدد الهائل.

أولاً ، تحتاج إلى تحديد جزء من طول الوحدة (الخطوة الأولى: n = 0) ، ثم تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء وإزالة الثلث الأوسط (n = 1). بعد ذلك ، سنفعل الشيء نفسه مع كل جزء من الأجزاء التي تم تشكيلها. نتيجة لعدد لا حصر له من التكرارات للعملية ، نحصل على المجموعة المطلوبة "غبار كانتور". الآن ، لا يوجد تعارض بين المتقطع وغير القابل للقسمة بلا حدود ، "غبار كانتور" كلاهما (انظر الشكل 1). "غبار كانتور" هو صورة كسورية. أبعاده الكسورية 0.6304 ...

وصف عالم الرياضيات البولندي فاكلاف سيربينسكي أحد النظائر ثنائية الأبعاد لمجموعة كانتور أحادية البعد. يطلق عليه "سجادة كانتور" أو في كثير من الأحيان "سجادة سيربينسكي". إنه يشبه نفسه تمامًا. يمكننا حساب البعد الكسري للصورة ln8 / lnЗ = 1.89 ... (الشكل 9).

خطوط تملأ الطائرة.ضع في اعتبارك عائلة كاملة من الفركتلات العادية ، وهي منحنيات يمكن أن تملأ المستوى. حتى لايبنيز قال: "إذا افترضنا أن شخصًا ما وضع الكثير من النقاط على الورق بالصدفة ،<… >أقول إنه من الممكن تحديد خط هندسي ثابت ومتكامل يخضع لقاعدة معينة يمر عبر جميع النقاط ". تناقض بيان Leibniz هذا مع الفهم الإقليدي للبعد باعتباره أصغر عدد من المعلمات التي يتم من خلالها تحديد موضع نقطة في الفضاء بشكل فريد. في غياب دليل صارم ، ظلت أفكار لايبنيز هذه على هامش الفكر الرياضي.

منحنى بيانو.ولكن في عام 1890 ، قام عالم الرياضيات الإيطالي ، جوزيبي بينو ، ببناء خط يغطي بالكامل سطحًا مستويًا ، ويمر عبر جميع نقاطه. يظهر بناء "منحنى Peano" في الشكل. 10.

في حين أن البعد الطوبولوجي لمنحنى Peano يساوي واحدًا ، فإن أبعاده الكسورية هي d = ln (1/9) / ln (1/3) = 2. في إطار الهندسة الكسورية ، تم حل المفارقة في أكثر الحالات طبيعية طريق. يمكن أن يغطي الخط ، مثل شبكة العنكبوت ، طائرة. في هذه الحالة ، يتم إنشاء تطابق واحد لواحد: كل نقطة من الخط تتوافق مع نقطة على المستوى. لكن هذا التطابق ليس واحدًا لواحد ، لأن كل نقطة على المستوى تقابل نقطة واحدة أو أكثر على الخط.

منحنى هلبرت.بعد عام ، في عام 1891 ، ظهر مقال لعالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت (1862–1943) ، قدم فيه منحنىًا يغطي طائرة بدون تقاطعات أو تماس. يظهر بناء "منحنى هيلبرت" في الشكل. أحد عشر.

كان منحنى هيلبرت هو المثال الأول لمنحنيات FASS (مساحة ملء ، تجنب ذاتي ، بسيط ومشابه للذات ، خطوط بسيطة ومتشابهة ذاتيًا لملء الفراغ). البعد الكسري لخط جيلبرت ، مثل منحنى Peano ، هو اثنان.

شريط مينكوفسكي.قام هيرمان مينكوفسكي ، وهو صديق مقرب لهيلبرت منذ أيام دراسته ، ببناء منحنى لا يغطي المستوى بأكمله ، ولكنه يشكل شيئًا مثل الشريط. عند إنشاء "شريط Minkowski" في كل خطوة ، يتم استبدال كل جزء بخط مكسور يتكون من 8 أجزاء. في المرحلة التالية ، مع كل مقطع جديد ، تتكرر العملية بمقياس 1: 4. البعد الكسري لشريط مينكوفسكي هو d = ln (l / 8) / ln (1/4) = 1.5.

كسور غير خطية.أبسط تعيين غير خطي للمستوى المركب على نفسه هو تعيين Julia zgz 2 + C الذي تم النظر فيه في الجزء الأول. إنه حساب على دورة مغلقة ، يتم فيها ضرب نتيجة الدورة السابقة بنفسها مع إضافة ثابت إلى إنها حلقة تغذية مرتدة من الدرجة الثانية (شكل 13).

في سياق التكرارات بقيمة ثابتة للثابت C ، اعتمادًا على نقطة أولية عشوائية Z 0 ، النقطة Z n عند ن-> يمكن أن تكون محدودة أو غير محدودة. كل هذا يتوقف على موضع Z 0 بالنسبة إلى الأصل z = 0. إذا كانت القيمة المحسوبة محدودة ، يتم تضمينها في مجموعة جوليا ؛ إذا ذهب إلى اللانهاية ، فسيتم قطعه عن مجموعة جوليا.

يتم تحديد الشكل الذي يتم الحصول عليه بعد تطبيق خريطة جوليا على نقاط سطح معين بشكل فريد بواسطة المعلمة C. بالنسبة لـ C الصغيرة ، هذه حلقات متصلة بسيطة ، بالنسبة لـ C الكبيرة ، هذه مجموعات من النقاط غير المتصلة ولكنها مرتبة بدقة. بشكل عام ، يمكن تقسيم جميع نماذج Julia إلى عائلتين كبيرتين - خرائط متصلة وغير متصلة. الأول يذكرنا ندفة الثلج لكوخ ، والأخير هو غبار كانتور.

تسببت أشكال جوليا المتنوعة في تثبيط عزيمة علماء الرياضيات عندما تمكنوا لأول مرة من ملاحظة هذه الأشكال على شاشات الكمبيوتر. كانت محاولات ترتيب هذا المتشعب مشروطة للغاية وتختزلت في حقيقة أن مجموعة ماندلبروت قد اتخذت كأساس لتصنيف تعيينات جوليا ، والتي ، كما اتضح فيما بعد ، متشابهة تقاربيًا مع تعيينات جوليا.

باستخدام C = 0 ، يعطي تكرار خريطة جوليا سلسلة من الأرقام z 0 ، z 0 2 ، z 0 4 ، z 0 8 ، z 0 16 ... نتيجة لذلك ، هناك ثلاثة خيارات ممكنة:

• لـ | z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• لـ | z 0 | > 1 في سياق التكرار ، تزداد الأرقام z n في القيمة المطلقة ، تميل إلى اللانهاية. في هذه الحالة ، يكون الجاذب هو النقطة اللانهائية ، ونحن نستبعد هذه القيم من مجموعة جوليا ؛
• لـ | z 0 | = 1 تستمر جميع نقاط التسلسل في البقاء على دائرة الوحدة هذه. في هذه الحالة ، يكون الجاذب دائرة.

وهكذا ، عند C = 0 ، تكون الحدود بين نقطتي الجذب والمنفرة الأولية دائرة. في هذه الحالة ، يحتوي التعيين على نقطتين ثابتتين: z = 0 و z = 1. أولهما جذاب ، لأن مشتق الدالة التربيعية عند الصفر هو 0 ، والثاني منفِر ، لأن مشتق المعادلة التربيعية الدالة عند قيمة المعلمة تساوي اثنين.

ضع في اعتبارك الموقف عندما يكون الثابت C رقمًا حقيقيًا ، أي يبدو أننا نتحرك على طول محور مجموعة ماندلبروت (الشكل 14). عند С = –0.75 ، تتقاطع حدود مجموعة جوليا مع ظهور جاذب آخر. الفركتل في هذه المرحلة يحمل اسم فركتل سان ماركو ، الذي أعطاه إياه ماندلبروت تكريما لكاتدرائية البندقية الشهيرة. بالنظر إلى الرسم ، ليس من الصعب فهم سبب فكرة ماندلبروت لتسمية الفركتل بدقة بعد هذا الهيكل: التشابه مذهل.

أرز. 14. تغيير شكل مجموعة جوليا عندما تنخفض القيمة الحقيقية C من 0 إلى -1

بالتناقص الإضافي С إلى –1.25 ، نحصل على شكل نموذجي جديد بأربع نقاط ثابتة ، والتي تظل حتى القيم С< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

أرز. 15. ظهور أشكال جديدة من جوليا مع انخفاض القيمة الحقيقية C< –1

لذلك ، حتى بالبقاء على محور فراكتل ماندلبروت (الثابت C هو رقم حقيقي) ، فقد "التقطنا" في مجال الانتباه وبطريقة ما صنفنا مجموعة كبيرة ومتنوعة من أشكال جوليا من دائرة إلى غبار. الآن دعونا ننظر في مناطق الإشارات الخاصة بفركتلات ماندلبروت والأشكال المقابلة من فركتلات جوليا. بادئ ذي بدء ، دعنا نصف فركتلات ماندلبروت من حيث "القلب" و "الكلى" و "البصل" (الشكل 16).

يشكل الشكل القلبي الرئيسي والدائرة المجاورة الشكل الرئيسي لفركتل ماندلبروت. يجاورهم عدد لا حصر له من نسخ منه ، والتي تسمى عادة الكلى. كل من هذه البراعم مغلفة بعدد لا حصر له من البراعم الأصغر ، متشابهة مع بعضها البعض. أكبر اثنين من البراعم أعلى وأسفل القلب الرئيسي يسمى البصل.

أطلق الفرنسي Adrien Daudi والأمريكي Bill Hubbard الذين درسوا الفركتلات النموذجية لهذه المجموعة (С = –0.12 + 0.74i) اسم "كسورية الأرنب" (الشكل 17).

عند عبور حدود فركتلات ماندلبروت ، تفقد فركتلات جوليا دائمًا الاتصال وتتحول إلى غبار ، وهو ما يُطلق عليه عادةً "غبار فاتو" تكريماً لبيير فاتو ، الذي أثبت أنه بالنسبة لقيم معينة لـ C ، فإن نقطة بعيدة بلا حدود تجذب مستوى معقد بالكامل ، باستثناء مجموعة رفيعة جدًا مثل الغبار (شكل 18).

كسور الصدمة.هناك فرق كبير بين منحنى von Koch المتماثل تمامًا ، وساحل النرويج على سبيل المثال. هذا الأخير ، على الرغم من عدم تشابهه مع الذات بشكل صارم ، إلا أنه يظهر تشابهًا بالمعنى الإحصائي. في هذه الحالة ، يتم كسر كلا المنحنيين بشكل كبير بحيث لا يمكنك رسم ظل لأي نقطة من نقاطهما ، أو بعبارة أخرى ، لا يمكنك تمييزه. مثل هذه المنحنيات هي نوع من "الوحوش" بين الخطوط الإقليدية العادية. كان كارل ثيودور فيلهلم وييرستراس أول من أنشأ دالة مستمرة ليس لها ظل في أي نقطة من نقاطها. قُدمت أعماله إلى الأكاديمية الملكية البروسية في 18 يوليو 1872 ونُشرت في عام 1875. تبدو الوظائف التي وصفها Weierstrass وكأنها ضوضاء (الشكل 19).

انظر إلى الرسوم البيانية للبورصة ، وملخصًا لتقلبات درجات الحرارة أو ضغط الهواء ، وستجد نوعًا من عدم الانتظام المنتظم. علاوة على ذلك ، مع زيادة الحجم ، تظل طبيعة المخالفة قائمة. وهذا يشير إلى الهندسة الكسرية.

تعد الحركة البراونية أحد أشهر الأمثلة على عملية عشوائية. في عام 1926 ، حصل جان بيرين على جائزة نوبل لأبحاثه حول طبيعة الحركة البراونية. كان هو الذي لفت الانتباه إلى التشابه الذاتي وعدم التمايز في المسار البراوني.

لقد تعلمت مؤخرًا عن أشياء مثيرة للاهتمام في العالم الرياضي مثل الفركتلات. لكنهم موجودون ليس فقط في الرياضيات. إنهم يحيطون بنا في كل مكان. الفركتلات طبيعية. سأتحدث عن ماهية الفركتلات ، وأنواع الفركتلات ، وأمثلة على هذه الكائنات وتطبيقاتها في هذه المقالة. بادئ ذي بدء ، سأخبرك بإيجاز ما هو الفراكتل.

الفركتل (الكسر اللاتيني - المسحوق ، المكسور ، المكسور) هو شكل هندسي معقد له خاصية التشابه الذاتي ، أي يتكون من عدة أجزاء ، كل منها مشابه للشكل ككل. بمعنى أوسع ، تُفهم الفركتلات على أنها مجموعات من النقاط في الفضاء الإقليدي التي لها بُعد متري كسري (بمعنى Minkowski أو Hausdorff) ، أو بُعد متري بخلاف الطوبولوجي. على سبيل المثال ، سأقوم بإدراج صورة لأربع فركتلات مختلفة.

سأخبرك قليلاً عن تاريخ الفركتلات. أصبحت مفاهيم الهندسة الفركتلية والفركتلية ، التي ظهرت في أواخر السبعينيات ، جزءًا من الحياة اليومية لعلماء الرياضيات والمبرمجين منذ منتصف الثمانينيات. صاغ بينوا ماندلبروت كلمة "كسورية" في عام 1975 للإشارة إلى الهياكل غير المنتظمة ولكنها ذاتية التشابه التي عمل عليها. عادة ما ترتبط ولادة الهندسة الفركتلية بنشر كتاب ماندلبروت عام 1977 بعنوان الهندسة الكسورية للطبيعة. استخدمت أعماله النتائج العلمية لعلماء آخرين عملوا في الفترة 1875-1925 في نفس المجال (بوانكاريه ، فاتو ، جوليا ، كانتور ، هاوسدورف). ولكن فقط في عصرنا كان من الممكن دمج عملهم في نظام واحد.

هناك الكثير من الأمثلة على الفركتلات ، لأنها ، كما قلت ، تحيط بنا في كل مكان. في رأيي ، حتى كوننا بأكمله هو كسور ضخم. بعد كل شيء ، كل شيء فيه ، من بنية الذرة إلى بنية الكون نفسه ، يكرر بعضها البعض تمامًا. ولكن هناك بالطبع أمثلة أكثر تحديدًا على الفركتلات من مجالات مختلفة. الفركتلات ، على سبيل المثال ، موجودة في ديناميكيات معقدة. إنهم هناك تظهر بشكل طبيعي في دراسة اللاخطية أنظمة ديناميكية... الحالة الأكثر دراسة هي عندما يتم تحديد نظام ديناميكي من خلال تكرارات متعددة الحدود أو هولومورفيك دالة لمجموعة متغيراتعلى السطح. بعض أشهر الفركتلات من هذا النوع هي مجموعة جوليا ومجموعة ماندلبروت وأحواض نيوتن. أدناه ، بالترتيب ، الصور تظهر كل من الفركتلات المذكورة أعلاه.

مثال آخر على الفركتلات هو المنحنيات الكسورية. من الأفضل شرح كيفية بناء كسورية باستخدام مثال المنحنيات الكسورية. أحد هذه المنحنيات هو ما يسمى Koch Snowflake. هناك بسيطإجراء للحصول على منحنيات كسورية على مستوى. دعنا نحدد متعدد الخطوط التعسفي مع عدد محدود من الروابط ، يسمى المولد. بعد ذلك ، نستبدل كل جزء فيه بمولد (بتعبير أدق ، خط مكسور مشابه للمولد). في الخط المكسور الناتج ، استبدل كل جزء بمولد مرة أخرى. بالاستمرار إلى اللانهاية ، نحصل على منحنى كسري في النهاية. يتم عرض Koch Snowflake (أو المنحنى) أدناه.

هناك أيضًا مجموعة كبيرة ومتنوعة من المنحنيات الكسورية. أشهرها هي Koch Snowflake التي سبق ذكرها ، بالإضافة إلى منحنى Levi ومنحنى Minkowski ومنحنى Dragon المكسور ومنحنى Piano وشجرة Pythagorean. أعتقد أن صورة هذه الفركتلات وتاريخها ، إذا رغبت في ذلك ، يمكنك بسهولة العثور على ويكيبيديا.

المثال الثالث أو نوع الفركتلات هو الفركتلات العشوائية. تتضمن هذه الفركتلات مسار الحركة البراونية على متن الطائرة وفي الفضاء ، تطور شرام-لونر ، أنواع مختلفةالفركتلات العشوائية ، أي الفركتلات التي تم الحصول عليها باستخدام إجراء تكراري ، حيث يتم إدخال معلمة عشوائية في كل خطوة.

هناك أيضًا فركتلات رياضية بحتة. هذه ، على سبيل المثال ، مجموعة Cantor ، وإسفنجة Menger ، ومثلث Sierpinski ، وغيرها.

لكن ، ربما ، الفركتلات الأكثر إثارة للاهتمام هي الفركتلات الطبيعية. الفركتلات الطبيعية هي أشياء في الطبيعة لها خصائص كسورية. وهنا القائمة طويلة بالفعل. لن أسرد كل شيء ، لأنه ، على الأرجح ، لا يمكنني سردها جميعًا ، لكنني سأخبرك ببعضها. على سبيل المثال ، في الطبيعة ، تشمل هذه الفركتلات الدورة الدموية والرئتين. وكذلك تيجان وأوراق الأشجار. ويشمل أيضًا نجم البحر ، قنافذ البحروالشعاب المرجانية والصدف وبعض النباتات مثل الملفوف أو البروكلي. يتم عرض العديد من هذه الفركتلات الطبيعية من الحياة البرية بوضوح أدناه.

إذا أخذنا في الاعتبار الطبيعة غير الحية ، فهناك أمثلة أكثر إثارة للاهتمام من الطبيعة الحية. البرق ، والثلج ، والغيوم ، والمعروف للجميع ، والأنماط على النوافذ في الأيام الباردة ، والبلورات ، وسلاسل الجبال - كل هذه أمثلة للفركتلات الطبيعية من الطبيعة غير الحية.

لقد درسنا أمثلة وأنواع الفركتلات. أما بالنسبة لاستخدام الفركتلات ، فهي تستخدم في مختلف مجالات المعرفة. في الفيزياء ، تنشأ الفركتلات بشكل طبيعي عند نمذجة العمليات غير الخطية ، مثل تدفق السوائل المضطرب ، وعمليات الانتشار والامتصاص المعقدة ، واللهب ، والسحب ، وما إلى ذلك. تستخدم الفركتلات في نمذجة المواد المسامية ، على سبيل المثال ، في البتروكيماويات. في علم الأحياء ، يتم استخدامها لنمذجة السكان ووصف الأنظمة اعضاء داخلية(نظام الأوعية الدموية). بعد إنشاء منحنى كوخ ، اقترح استخدامه عند حساب طول الخط الساحلي. تُستخدم الفركتلات أيضًا بنشاط في هندسة الراديو وعلوم الكمبيوتر و تكنولوجيا الكمبيوتروالاتصالات السلكية واللاسلكية وحتى الاقتصاد. وبالطبع ، تُستخدم الرؤية الكسورية بنشاط في الفن والعمارة المعاصرين. فيما يلي مثال على اللوحات الفركتالية:

وهكذا ، أعتقد في هذا أن أكمل قصتي حول ظاهرة رياضية غير عادية مثل الفركتال. تعرفنا اليوم على ماهية الفركتلات وكيف ظهرت وأنواع وأمثلة الفركتلات. تحدثت أيضًا عن تطبيقها وعرضت بعضًا من الفركتلات بصريًا. أتمنى أن تكون قد استمتعت بهذه الرحلة القصيرة إلى عالم الأجسام المتساقطة المذهلة والرائعة.