Основные понятия геометрии Лобачевского. Некоторые. В какой геометрии параллельные прямые пересекаются? Лобачевский прямые пересекаются

Плоскость Лобачевского

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия ) - одна из неевклидовых геометрий , геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия , за исключением аксиомы о параллельных , которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского .

Евклидова аксиома о параллельных гласит:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её.

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще.

История

Попытки доказательства пятого постулата

Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида - аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных . Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида). Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его из остальных постулатов Евклида.

Среди пытавшихся доказать были следующие учёные:

древнегреческие математики Птолемей (II в.), Прокл (V в.) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными),
Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец - начало вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию),
иранский математики Омар Хайям (2-я половина - начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения),
немецкий математик Клавиус (),
итальянские математики
- Катальди (впервые в 1603 году напечатал работу, целиком посвященную вопросу о параллельных),
английский математик Валлис ( , опубликовано в ) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура),
французский математик Лежандр () (основывался на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла; у него также были другие попытки доказательства).

При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным.

Были предприняты попытки использовать доказательство от противного:

итальянский математик Саккери () (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным),
немецкий математик Ламберт (около , опубликовано в ) (проведя исследования , он признал, что не смог обнаружить в построенной им системе противоречия).

Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате:

немецкие математики Ф. Швейкарт () и Тауринус () (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной).

Создание неевклидовой геометрии

Лобачевский в работе «О началах геометрии» (), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.

Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи , а Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше. Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям. Например, в письме 1846 года астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так отзывается о работе Лобачевского:

Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет ее «воображаемой геометрией»; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение.

В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист этой теории.

Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации и тем полностью решён вопрос о её реальном смысле, логической непротиворечивости.

Утверждение геометрии Лобачевского

угол - ещё сложнее.

Модель Пуанкаре

Содержание геометрии Лобачевского

Пучок параллельных прямых в геометрии Лобачевскоого

Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют так называемую абсолютную геометрию , к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

Приведём (в современных обозначениях) несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

Через точку P , не лежащую на данной прямой R (см. рисунок), проходит бесконечно много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние x , y , которые и называются параллельными прямой R в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) R общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек).

Угол между перпендикуляром PB из P на R и каждой из параллельных (называемый углом параллельности ) по мере удаления точки P от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) асимптотически приближается к а , а с другой - бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).

Для точки, находящейся от заданной прямой на расстоянии PB = a (см. рисунок), Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(a) :

Здесь q - некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского. Она может служить абсолютной единицей длины аналогично тому, как в сферической геометрии особое положение занимает радиус сферы.

Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.

Сумма углов всякого треугольника меньше π и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность δ = π − (α + β + γ) , где α , β , γ - углы треугольника, пропорциональна его площади:

Из формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число: πq 2 .

Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой , или гиперциклом .

Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью , или орициклом .

Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера ; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее. В частности, в геометрии Лобачевского число π не может быть определено как отношение длины окружности к её диаметру.

Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от π ; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2π , и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.

Приложения

Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов .
В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского помогла построить теорию автоморфных функций . Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре , который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».
Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел , в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел ».
Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности . Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

при делении на t 2 , то есть для скорости света, даёт

- уравнение сферы в пространстве с координатами v x , v y , v z - составляющими скорости по осям х , у , z (в «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, так как они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с , то есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности . Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается возможным, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.
При помощи модели Клейна, даётся очень простое и короткое доказательство

LV 1 . (Аксиома параллельности Лобачевского). В любой плоскости существует прямая а 0 и точка А 0 , не принадлежащая этой прямой, такие, что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а 0 .

Множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих аксиомам принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности и аксиоме параллельности Лобачевского будем называть трехмерным пространством Лобачевского и обозначать через Л 3 . Большинство геометрических свойств фигур будут рассматриваться нами на плоскости пространства Л 3 , т.е. на плоскости Лобачевского. Обратим внимание на то, что формальное логическое отрицание аксиомы V 1 , аксиомы параллельности евклидовой геометрии, имеет именно ту формулировку, которую мы привели в качестве аксиомы LV 1 . На плоскости существует, по крайней мере, одна точка и одна прямая, для которых не выполнено утверждение аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Докажем теорему, из которой следует, что утверждение аксиомы параллельности Лобачевского справедливо для любой точки и любой прямой плоскости Лобачевского.

Теорема 13.1. Пусть а – произвольная прямая, А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует по крайней мере две прямые, проходящие через А и не пересекающие прямую а.

Доказательство. Доказательство проведем методом «от противного», при этом воспользуемся теоремой 11.1 (см. § 11). Пусть в пространстве Лобачевского существует такая точка А и прямая а, что в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, через точку А проходит единственная прямая, не пересекающая а. Опустим и точки А перпендикуляр АВ на прямую а и в точке А восставим перпендикуляр h к прямой АВ (рис. 50). Как следует из теоремы 4.2 (см § 4) прямые h и а не пересекаются. Прямая h, в силу предположения, - единственная прямая, проходящая через А и не пересекающая а. Выберем на прямой а произвольную точку С. Отложим от луча АС в полуплоскости с границей АВ, не содержащей точку В, угол САМ, равный АСВ. Тогда, как следует из той же теоремы 4.2, прямая АМ не пересекает а. Из нашего предположения следует, что она совпадает с h. Поэтому точка М принадлежит прямой h. Треугольник АВС – прямоугольный, . Вычислим сумму углов треугольника АВС: . Из теоремы 11.1 следует, что выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Поэтому в рассматриваемой плоскости не может существовать таких точки А 0 и прямой а 0 , что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а 0 . Мы пришли к противоречию с условием аксиомы параллельности Лобачевского. Теорема доказана.

Следует заметить, что в дальнейшем мы будем пользоваться утверждением именно теоремы 13.1, по сути, заменяя им утверждение аксиомы параллельности Лобачевского. Кстати, во многих учебниках именно это утверждение принято в качестве аксиомы параллельности геометрии Лобачевского.

Из теоремы 13.1 легко получить следующее следствие.

Следствие 13.2. В плоскости Лобачевского через точку, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную.

Действительно, пусть а данная прямая, а А – точка, ей не принадлежащая, h 1 и h 2 – прямые, проходящие через А и не пересекающие а (рис. 51). Очевидно, что все прямые, которые проходят через точку А и лежат в одном из углов, образованных h 1 и h 2 (см. рис. 51), не пересекают прямую а.

В главе 2 мы доказали ряд утверждений, эквивалентных аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Их логические отрицания характеризуют свойства фигур на плоскости Лобачевского.

Во первых, на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание пятого постулата Евклида. В параграфе 9 нами был сформулирован сам постулат и доказана теорема о его эквивалентности аксиоме параллельности евклидовой геометрии (см. теорему 9.1). Его же логическое отрицание имеет вид:

Утверждение 13.3. На плоскости Лобачевского существуют две непересекающиеся прямые, которые при пересечении с третьей прямой образуют внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов.

В § 12 нами было сформулировано предложение Посидония: на плоскости существуют по крайней мере три коллинеарные точки, расположенные в одной полуплоскости от данной прямой и равноудаленные от нее. Также мы доказали теорему 12.6: предложение Посидония эквивалентно утверждению аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Таким образом, на плоскости Лобачевского действует отрицание этого утверждения.

Утверждение 13.4. Множество точек, равноудаленных от прямой на плоскости Лобачевского и расположенных в одной полуплоскости относительно ее, в свою очередь не лежат на одной прямой.

На плоскости Лобачевского множество точек, равноудаленных от прямой и принадлежащей одной полуплоскости относительно этой прямой, образуют кривую линию, так называемую эквидистанту. Ее свойства будут рассмотрены нами позже.

Рассмотрим теперь предложение Лежандра: пДоказанная нами теорема 11.6 (см. § 11) утверждает, что Отсюда следует, на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание этого предложения.

Утверждение 13.5. На стороне любого острого угла существует такая точка, что перпендикуляр к ней, восставленный в этой точке, не пересекает вторую сторону угла.

Отметим свойства треугольников и четырехугольников плоскости Лобачевского, которые непосредственно следуют из результатов параграфов 9 и 11. Прежде всего, теорема 11.1. утверждает, что предположение о существовании треугольника, сумма углов которого совпадает с суммой двух прямых углов, равносильно аксиоме параллельности евклидовой плоскости. Отсюда и из первой теоремы Лежандра (см. теорему 10.1, § 10) следует следующее утверждение

Утверждение 13.6. На плоскости Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 2d.

Отсюда непосредственно вытекает, что сумма углов любого выпуклого четырехугольника меньше 4d, а сумма углов любого выпуклого n – угольника меньше 2(n-1)d.

Так как на евклидовой плоскости углы, прилежащие к верхнему основанию четырехугольника Саккери равны прямым углам, что в соответствии с теоремой 12.3 (см. § 12) равносильно аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то можно сделать следующий вывод.

Утверждение 13.7. Углы, прилегающие к верхнему основанию четырехугольника Саккери – острые.

Нам осталось рассмотреть еще два свойства треугольников на плоскости Лобачевского. Первое из них связано с предложением Валлиса: на плоскости существует хотя бы одна пара треугольников с соответственно равными углами, но не равными сторонами. В параграфе 11 мы доказали, что это предложение эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии (см. теорему 11.5). Логическое отрицание этого утверждения приводит нас к следующему выводу: на плоскости Лобачевского не существует треугольников с равными углами, но не равными сторонами. Таким образом, справедливо следующее предложение.

Утверждение 13.8. (четвертый признак равенства треугольников на плоскости Лобачевского). Любые два треугольника на плоскости Лобачевского, имеющие соответственно равные углы, равны между собой.

Рассмотрим теперь следующий вопрос. Вокруг любого ли треугольника на плоскости Лобачевского можно описать окружность? Ответ на него дает теорема 9.4 (см. § 9). В соответствии с этой теоремой, если вокруг любого треугольника на плоскости можно описать окружность, то на плоскости выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Поэтому логическое отрицание утверждения этой теоремы приводит нас к следующему предложению.

Утверждение 13.9. На плоскости Лобачевского существует треугольник, вокруг которого нельзя описать окружность.

Легко построить пример такого треугольника. Выберем некоторую прямую а и точку А, которая ей не принадлежит. Опустим из точки А перпендикуляр h на прямую а. В силу аксиомы параллельности Лобачевского существует прямая b, проходящая через А и не перпендикулярная h, которая не пересекает а (рис. 52). Как известно, если вокруг треугольника описана окружность, то ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Поэтому нам достаточно привести пример такого треугольника, серединные перпендикуляры которого не пересекаются. Выберем точку М на прямой h, так как показано на рисунке 52. Симметрично отобразим ее относительно прямых а и b, получим точки N и P. Так как прямая b не перпендикулярна h, то точка Р не принадлежит h. Поэтому точки M, N и P составляют вершины треугольника. Прямые а и b служат по построению его серединными перпендикулярами. Они же, как было сказано выше, не пересекаются. Треугольник MNP – искомый.

Легко построить пример треугольника плоскости Лобачевского, вокруг которого можно описать окружность. Для этого достаточно взять две пересекающиеся прямые, выбрать точку, которая им не принадлежит, и отразить ее относительно этих прямых. Проведите подробное построение самостоятельно.

Определение 14.1. Пусть даны две направленные прямые и . Они называются параллельными, если выполнены условия:

1. прямые а и b не пересекаются;

2. для произвольных точек А и В прямых а и b любой внутренний луч h угла АВB 2 пересекает прямую а (рис. 52).

Обозначать параллельные прямые будем так же, как принято в школьном курсе геометрии: a || b. Заметим, что этому определению удовлетворяют параллельные прямые на евклидовой плоскости.

Теорема 14.3. Пусть на плоскости Лобачевского дана направленная прямая и точка В, которая ей не принадлежит. Тогда через данную точку проходит единственная направленная прямая такая, что прямая а параллельна прямой b.

Доказательство. Опустим из точки В перпендикуляр ВА на прямую а и из точки В восставим перпендикуляр р к прямой ВА (рис. 56 а). Прямая р, как уже неоднократно отмечалось, не пересекает данную прямую а. Выберем на ней произвольную точку С, разобьем точки отрезка АС на два класса и . Первому классу будут принадлежать такие точки S этого отрезка, для которых луч BS пересекает луч АА 2 , а второму классу принадлежат такие точки T, для которых луч ВТ не пересекает луч АА 2 . Покажем, что такое разбиение на классы производит дедекиндово сечение отрезка АС. В соответствии с теоремой 4.3 (см. § 4) нам следует проверить, что:

2. и классы и содержат точки, отличные от А и С;

3. любая точка класса , отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса .

Первое условие очевидно, все точки отрезка принадлежат одному или другому классу, при этом сами классы, исходя из их определения, не имеют общих точек.

Второе условие также легко проверить. Очевидно, что и . Класс содержит точки, отличные от А, для проверки этого утверждения достаточно выбрать какую либо точку луча АА 2 и соединить ее с точкой В. Этот луч пересечет отрезок ВС в точке первого класса. Класс также содержит точки, отличные от С, иначе мы придем к противоречию с аксиомой параллельности Лобачевского.

Докажем третье условие. Пусть существует такая точка S первого класса, отличная от А, и такая точка Т второго класса, что точка Т лежит между А и S (см. рис 56 а). Так как , то луч BS пересекает луч АА 2 в некоторой точке R. Рассмотрим луч ВТ. Он пересекает сторону AS треугольника ASR в точке Т. В соответствии с аксиомой Паша этот луч должен пересечь либо сторону AR, либо сторону SR этого треугольника. Предположим, что луч ВТ пересекает сторону SR в некоторой точке О. Тогда через точки В и О проходит две различные прямые ВТ и BR, что противоречит аксиоме аксиоматики Гильберта. Таким образом, луч ВТ пересекает сторону AR, откуда следует, что точка Т не принадлежит классу К 2 . Полученное противоречие приводит к утверждению, точка S лежит между А и Т. Условие теоремы 4.3 проверено полностью.

В соответствии с заключением теоремы 4.3 о дедекиндовом сечении на отрезке АС существует такая точка , для которой любая точка, лежащая между А и принадлежит классу , а любая точка, лежащая между и С - принадлежит классу . Покажем, что направленная прямая параллельна прямой . По сути, нам осталось доказать, что не пересекает прямую а, так как в силу выбора точек класса К 1 любой внутренний луч угла пересекает . Предположим, что прямая пересекает прямую а в некоторой точке Н (рис 56 б). Выберем произвольную точку Р на луче НА 2 и рассмотрим луч ВР. Тогда он пересекает отрезок М 0 С в некоторой точке Q (докажите это утверждение самостоятельно). Но внутренние точки отрезка М 0 С принадлежат второму классу, луч ВР не может иметь общих точек с прямой а. Таким образом, наше предположение о пересечении прямых ВМ 0 и а неверно.

Легко проверить, что прямая единственная направленная прямая, проходящая через точку В и параллельная . Действительно, пусть через точку В проходит еще одна направленная прямая , которая, как и , параллельна . При этом будем считать, что М 1 – точка отрезка АС. Тогда, исходя из определения класса К 2 , . Поэтому, луч ВМ 0 является внутренним лучом угла , следовательно, в силу определения 14.1 пересекает прямую . Мы пришли к противоречию с доказанным выше утверждением. Теорема 14.3 доказана полностью.

Рассмотрим точку В и направленную прямую , которая ее не содержит. В соответствии с доказанной теоремой 14.3 через точку В проходит направленная прямая , параллельная а. Опустим из точки В перпендикуляр BH на прямую а (рис. 57). Легко видеть, что угол HBB 2 – острый . Действительно, если предположить, что этот угол прямой, то из определения 14.1 следует, что любая прямая, проходящая через точку В пересекает прямую а, что противоречит теореме 13.1, т.е. аксиоме LV 1 параллельности Лобачевского (см. § 13). Легко видеть, что предположение о том, что этот угол тупой, также приводит к противоречию теперь уже с определением 14.1 и теоремой 4.2 (см. §4), так как внутренний луч угла HBB 2 , перпендикулярный ВН не пересекает луч АА 2 . Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 14.4. Пусть направленная прямая параллельна направленной прямой . Если из точки В прямой опустить перпендикуляр ВН на прямую , то угол HBB 2 – острый.

Из этой теоремы с очевидностью вытекает следующее следствие.

Следствие. Если существует общий перпендикуляр направленных прямых и , то прямая не параллельна прямой .

Введем понятие параллельности для ненаправленных прямых. Будем считать, что две ненаправленные прямые параллельны, если на них можно выбрать направления так, чтобы они удовлетворяли определению 14.1. Как известно, прямая имеет два направления. Поэтому, из теоремы 14.3 следует, что через точку В, не принадлежащей прямой а проходит две ненаправленные прямые, параллельные данной прямой. Очевидно, они симметричны относительно перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую а. Эти две прямые и являются теми самыми пограничными прямыми, разделяющими пучок прямых, проходящих через точку В и пересекающих а, от пучка прямых, проходящих через В и не пересекающих прямую а (рис. 57).

Теорема 15.2. (Свойство симметричности параллельных прямых на плоскости Лобачевского). Пусть направленная прямая параллельна направленной прямой . Тогда направленная прямая параллельна прямой .

Свойство симметричности понятия параллельности прямых на плоскости Лобачевского позволяет нам не указывать порядок направленных параллельных прямых, т.е. не уточнять, какая прямая является первой, а какая второй. Очевидно, что свойство симметричности понятия параллельности прямых имеет место и на евклидовой плоскости. Оно непосредственно следует из определения параллельных прямых в евклидовой геометрии. В евклидовой геометрии выполняется также свойство транзитивности для параллельных прямых. Если прямая а параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой с. то прямые а и с также параллельны между собой. Аналогичное свойство справедливо и для направленных прямых на плоскости Лобачевского.

Теорема 15.3. (Свойство транзитивности параллельных прямых на плоскости Лобачевского). Пусть даны три различные направленные прямые , . Если и , то .

Рассмотрим направленную прямую , параллельную направленной прямой . Пересечем их прямой . Точки А и В соответственно точки пересечения прямых , и , (рис. 60). Справедлива следующая теорема.

Теорема 15.4. Угол больше угла .

Теорема 15.5. Внешний угол вырожденного треугольника больше внутреннего угла, не смежного с ним.

Доказательство непосредственно следует из теоремы 15.4. Проведите его самостоятельно.

Рассмотрим произвольный отрезок АВ. Через точку А проведем прямую а, перпендикулярную к АВ, а через точку В прямую b, параллельную а (рис. 63). Как следует из теоремы 14.4 (см. § 14) прямая bне перпендикулярна прямой АВ.

Определение 16.1. Острый угол, образованный прямыми АВ и b называется углом параллельности отрезка АВ.

Ясно, что каждому отрезку соответствует некоторый угол параллельности. Справедлива следующая теорема.

Теорема 16.2. Равным отрезкам соответствуют равные углы параллельности.

Доказательство. Пусть даны два равных отрезкаАВ и А¢В¢. Проведем через точки А и А¢ направленные прямые и , перпендикулярные соответственно АВ и А¢В¢, а через точки В и В¢ направленные прямые и , параллельные соответственно и (рис. 64). Тогда и соответственно углы параллельности отрезков АВ и А¢В¢. Предположим, что

Отложим от луча ВА в полуплоскости ВАА 2 угол a 2 , (см. рис. 64). В силу неравенства (1), луч l – внутренний луч угла АВВ 2 . Так как ½½ , то l пересекает луч АА 2 в некоторой точке Р. Отложим на луче А¢А 2 ¢ от точки А¢ отрезок А¢Р¢, равный АР. Рассмотрим треугольники АВР и А¢В¢Р¢. Они прямоугольные, по условию теоремы имеют равные катеты АВ и А¢В¢, по построению равны между собой вторая пара катетов АР и А¢Р¢. Таким образом, прямоугольный треугольник АВР равен треугольнику А¢В¢Р¢. Поэтому . С другой стороны, луч В¢Р¢, пересекает луч А¢А 2 ¢, а направленная прямая В 1 ¢В 2 ¢ параллельна прямой А 1 ¢А 2 ¢. Следовательно луч В¢Р¢- внутренний луч угла А¢В¢В 2 ¢, . Полученное противоречие опровергает наше предположение, неравенство (1) – ложно. Аналогично доказывается, что угол не может быть меньше угла . Теорема доказана.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой углы параллельности неравных отрезков.

Теорема 16.3. Пусть отрезок АВ больше отрезка А¢В¢, а углы и соответственно их углы параллельности. Тогда .

Доказательство. Доказательство этой теоремы непосредственно следует из теоремы 15.5 (см. § 15) о внешнем угле вырожденного треугольника. Рассмотри отрезок АВ. Проведем через точку А направленную прямую , перпендикулярную АВ, а через точку В направленную прямую , параллельную (рис. 65). Отложим на луче АВ отрезок АР, равный А¢В¢. Так как , то Р – внутренняя точка отрезка АВ. Проведем через Р направленную прямую С 1 С 2 , так же параллельную . Угол служит углом параллельности отрезка А¢В¢, а угол - углом параллельности отрезка АВ. С другой стороны, из теоремы 15.2 о симметричности понятия параллельности прямых (см. § 15) следует, что прямая С 1 С 2 параллельна прямой . Поэтому треугольник РВС 2 А 2 – вырожденный, - внешний, а - его внутренний углы. Из теоремы 15.5 следует истинность доказываемого утверждения.

Легко доказать обратное утверждение.

Теорема 16.4. Пусть и углы параллельности отрезков АВ и А¢В¢. Тогда, если , то АВ > А¢В¢.

Доказательство. Предположим противное, . Тогда из теорем 16.2 и 16.3 следует, что , что противоречит условию теоремы.

И так мы доказали, что каждому отрезку соответствует свой угол параллельности, причем большему отрезку соответствует меньший угол параллельности. Рассмотрим утверждение, в котором доказывается, что для любого острого угла существует отрезок, для которого этот угол является углом параллельности. Тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между отрезками и острыми углами на плоскости Лобачевского.

Теорема 16.5. Для любого острого угла существует отрезок, для которого этот угол является углом параллельности.

Доказательство. Пусть дан острый угол АВС (рис. 66). Будем считать, что все рассматриваемые в дальнейшем точки на лучах ВА и ВС лежат между точками В и А и В и С. Назовем луч допустимым, если его начало принадлежит стороне угла ВА, он перпендикулярен прямой ВА и расположен в той же полуплоскости относительно прямой ВА, что и сторона ВС данного угла. Обратимся к предложению Лежандра: перпендикуляр, проведенный к стороне острого угла в любой точке этой стороны, пересекает вторую сторону угла. Нами была доказана теорема 11.6 (см. § 11), в которой утверждается, что предложение Лежандра эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Отсюда мы сделали вывод, что на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание этого утверждения, а именно, на стороне любого острого угла существует такая точка, что перпендикуляр к ней, восставленный в этой точке, не пересекает вторую сторону угла (см. § 13). Таким образом, существует такой допустимый луч m с началом в точке М, который не пересекает сторону ВС данного угла (см. рис. 66).

Разобьем точки отрезка ВМ на два класса. Классу будут принадлежать те точки этого отрезка, для которых допустимые лучи с началами в этих точках пересекают сторону ВС данного угла, а классу принадлежат те точки отрезка ВС, для которых допустимые лучи с началами в этих точках сторону ВС не пересекают. Покажем, что такое разбиение отрезка ВМ образует дедекиндово сечение (см. теорему 4.3, § 4). Для этого следует проверить, что

5. и классы и содержат точки, отличные от В и М;

6. любая точка класса , отличная от В, лежит между точкой В и любой точкой класса .

Первое условие с очевидностью выполняется. Любая точка отрезка ВМ принадлежит либо классу К 1 , либо классу К 2 . При этом точка, в силу определения этих классов, не может принадлежать двум классам одновременно. Очевидно, можно считать, что , точка М принадлежит К 2 , так как допустимый луч с началом в точке М не пересекает ВС. Класс К 1 содержит по крайней мере одну точку, отличную от В. Для ее построения достаточно выбрать произвольную точку P на стороне ВС и опустить из нее перпендикуляр PQ на луч ВА. Если предположить, что точка Q лежит между точками М и А, то тогда точки Р и Q лежат в различных полуплоскостях относительно прямой, содержащей луч m (см. рис. 66). Поэтому отрезок РQ пересекает луч m в некоторой точке R. Мы получим, что из точки R на прямую ВА опущено два перпендикуляра, что противоречит теореме 4.2 (см. § 4). Таким образом, точка Q принадлежит отрезку ВМ, класс К 1 содержит точки, отличные от В. Легко объяснить, почему на луче ВА существует отрезок, содержащий по крайней мере одну точку, принадлежащую классу К 2 и отличную от его конца. Действительно, если класс К 2 рассматриваемого отрезка ВМ содержит единственную точку М, то тогда выберем произвольную точку М¢ между М и А. Рассмотрим допустимый луч m¢ с началом в точке М¢. Он не пересекает луч m, иначе из точки опущены два перпендикуляра на прямую АВ, поэтому m¢ не пересекает луч ВС. Отрезок ВМ¢ искомый, и все дальнейшие рассуждения следует проводить для отрезка ВМ¢.

Проверим справедливость третьего условия теоремы 4.3. Предположим, что существуют такие точки и , что точка Р лежит между точкой U и М (рис. 67). Проведем допустимые лучи u и p с началами в точках U и P. Так как , то луч р пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Q. Прямая, содержащая луч u, пересекает сторону ВР треугольника ВРQ, поэтому согласно аксиоме аксиоматике Гильберта (аксиома Паша, см. § 3) она пересекает либо сторону ВQ, либо сторону PQ этого треугольника. Но, , поэтому луч u не пересекает сторону ВQ, следовательно, лучи р и u пересекаются в некоторой точке R. Мы снова пришли к противоречию, так как построили точку, из которой опущены два перпендикуляра на прямую АВ. Условие теоремы 4.3 выполнено полностью.

М. Отсюда следует, что . Мы получили противоречие, так как построили точку класса К 1 , расположенную между точками и М. Нам осталось показать, что любой внутренний луч угла пересекает луч ВС. Рассмотрим произвольный внутренний луч h этого угла. Выберем на нем произвольную точку К, принадлежащую углу , и опустим из нее перпендикуляр на прямую ВА (рис. 69). Основание S этого перпендикуляра, очевидно, принадлежит отрезку ВМ 0 , т.е. классу К 1 (докажите этот факт самостоятельно). Отсюда следует, что перпендикуляр KS пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Т (см. рис. 69). Луч h пересек сторону ST треугольника BST в точке К, согласно аксиоме (аксиоме Паша), он должен пересечь либо сторону BS, либо сторону ВТ этого треугольника. Ясно, что h не пересекает отрезок BS, иначе через две точки, и эту точку пересечения, проходят две прямые, h и ВА. Таким образом, h пересекает сторону ВТ, т.е. луч ВА. Теорема доказана полностью.

И так, мы установили, что каждому отрезку в геометрии Лобачевского можно поставить в соответствие острый угол – его угол параллельности. Будем считать, что нами введена мера углов и отрезков, отметим, что мера отрезков будет введена нами позже, в § . Ведем следующее определение.

Определение 16.6. Если под х понимается длина отрезка, а под j - величина угла, то зависимостьj = P(х), ставящая в соответствие длине отрезка величину его угла параллельности, называется функцией Лобачевского.

Ясно, что . Используя свойства угла параллельности отрезка, доказанные выше (см. теоремы 16.3 и 16.4), можно сделать следующий вывод: функция Лобачевского является монотонно убывающей. Николаем Ивановичем Лобачевским была получена следующая замечательная формула:

где k – некоторое положительное число. Оно имеет важное значение в геометрии пространства Лобачевского, и носит название его радиуса кривизны. Два пространства Лобачевского, имеющие один и тот же радиус кривизны, изометричны. Из приведенной формулы, как нетрудно видеть, также следует, что j = P(х) монотонно убывающая непрерывная функция, значения которой принадлежат интервалу .

На евклидовой плоскости зафиксируем окружность w с центром в некоторой точке O и радиусом, равным единице, которую будем называть абсолютом . Множество всех точек круга, ограниченного окружностью w, обозначим через W¢, а множество всех внутренних точек этого круга - через W. Таким образом, . Точки множества W будем называть L‑точками Множество W всех L-точек составляет L-плоскость , на которой мы и будем строить модель Кэли-Кляйна плоскости Лобачевского. Будем называть L‑прямыми произвольные хорды окружности w. Будем считать, что L-точка X принадлежит L‑прямой x тогда и только тогда, когда точка X как точка евклидовой плоскости принадлежит хорде x абсолюта.

L‑плоскости имеет место аксиома параллельности Лобачевского: через L‑точку B, не лежащую на L‑прямой a проходят по крайней мере две L‑прямые b и c, не имеющие общих точек с L‑прямой a. На рисунке 94 приведена иллюстрация этого утверждения. Легко также понять, что из себя представляют параллельные направленные прямые L-плоскости. Рассмотрим рисунок 95. L-прямая b проходит через точку пересечения L-прямой a с абсолютом. Поэтому направленная L-прямая А 1 А 2 параллельна направленной L-прямой В 1 А 2 . Действительно, эти прямые не пересекаются, и, если выбрать произвольные L-точки А и В, принадлежащие соответственно этим прямым, то любой внутренний луч h угла А 2 ВА пересекает прямую а. Таким образом, две L-прямые параллельны, если они имеют общую точку пересечения с абсолютом. Ясно, что выполняется свойство симметричности и транзитивности понятия параллельности L-прямых. В параграфе 15 свойство симметричности нами было доказано, свойство же транзитивности иллюстрируется на рисунке 95. Прямая А 1 А 2 параллельна прямой В 1 А 2 , они пересекают абсолют в точке А 2 . Прямые В 1 А 2 и С 1 А 2 также параллельны, они также пересекают абсолют в той же точке А 2 . Поэтому прямые А 1 А 2 и С 1 А 2 параллельны между собой.

Таким образом, определенные выше основные понятия удовлетворяют требованиям аксиом I 1 -I 3 , II, III, IV групп аксиоматики Гильберта и аксиоме параллельности Лобачевского, следовательно являются моделью плоскости Лобачевского. Нами доказана содержательная непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Сформулируем это утверждение как следующую теорему.

Теорема 1. Геометрия Лобачевского содержательно непротиворечива.

Мы построили модель плоскости Лобачевского, с построением же пространственной модели, аналогичной рассмотренной на плоскости, можно познакомиться в пособии .

Из теоремы 1 следует важнейший вывод. Аксиома параллельности не является следствием аксиом I – IV аксиоматики Гильберта. Так как пятый постулат Евклида равносилен аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то этот постулат также не зависит от остальных аксиом Гильберта.

», посвященного отношениям российской и британской науки, математик Валентина Кириченко рассказывает ПостНауке о революционности идей Лобачевского для геометрии XIX века.

Параллельные прямые не пересекаются даже в геометрии Лобачевского. Где-то в фильмах часто можно встретить фразу: «А у нашего Лобачевского параллельные прямые пересеклись». Звучит красиво, но не соответствует действительности. Николай Иванович Лобачевский действительно придумал необыкновенную геометрию, в которой параллельные прямые ведут себя совсем не так, как мы привыкли. Но все же не пересекаются.

Мы привыкли думать, что две параллельные прямые не сближаются и не удаляются. То есть, какую бы точку на первой прямой мы ни взяли, расстояние от нее до второй прямой одно и то же, от точки не зависит. Но действительно ли это так? И почему это так? И как это вообще можно проверить?

Если речь идет о физических прямых, то для наблюдения нам доступен только небольшой участок каждой прямой. А учитывая погрешности измерения, мы не сможем сделать никаких определенных выводов о том, как прямые ведут себя очень-очень далеко от нас. Подобные вопросы возникали уже у древних греков. В III веке до нашей эры древнегреческий геометр Евклид очень точно изложил основное свойство параллельных линий, которое он не мог ни доказать, ни опровергнуть. Поэтому он назвал его постулатом - утверждением, которое следует принять на веру. Это знаменитый пятый постулат Евклида: если две прямые на плоскости пересечь с секущей, так что сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то есть меньше 180 градусов, то при достаточном продолжении эти две прямые пересекутся, причем именно по ту сторону от секущей, по которую сумма меньше двух прямых углов.

Ключевые слова в этом постулате - «при достаточном продолжении». Именно из-за этих слов постулат невозможно проверить опытным путем. Может быть, прямые пересекутся в зоне видимости. Может быть, через 10 километров или за орбитой Плутона, а может быть, вообще в другой галактике.

Свои постулаты и результаты, которые из них логически следуют, Евклид изложил в знаменитой книге «Начала». От древнегреческого названия этой книги происходит русское слово «стихии», а от латинского названия - слово «элементы». «Начала» Евклида - это самый популярный учебник всех времен и народов. По числу изданий он уступает только Библии.

Особенно хочется отметить замечательное британское издание 1847 года с очень наглядной и красивой инфографикой. Вместо унылых обозначений на чертежах там используются цветные рисунки - не то, что в современных школьных учебниках геометрии.

Вплоть до прошлого века «Начала» Евклида были обязательны для изучения на всех образовательных программах, где подразумевалось интеллектуальное творчество, то есть не просто обучение ремеслу, а что-то более интеллектуальное. Неочевидность пятого постулата Евклида вызвала естественный вопрос: нельзя ли его доказать, то есть вывести логически из остальных допущений Евклида? Это пытались сделать очень многие математики от современников Евклида до современников Лобачевского. Как правило, они сводили пятый постулат к какому-то более наглядному утверждению, в которое проще поверить.

Например, в XVII веке английский математик Джон Валлис свел пятый постулат к такому утверждению: существует два подобных, но неравных треугольника, то есть два треугольника, у которых углы равны, а размеры разные. Казалось бы, что может быть проще? Просто изменим масштаб. Но, оказывается, возможность менять масштаб с сохранением всех углов и пропорций - это эксклюзивное свойство евклидовой геометрии, то есть геометрии, в которой выполнены все постулаты Евклида, включая пятый.

В XVIII веке шотландский ученый Джон Плейфэр переформулировал пятый постулат в том виде, в котором он обычно фигурирует в современных школьных учебниках: две прямые, пересекающие друг друга, не могут быть одновременно параллельны третьей прямой. Именно в таком виде пятый постулат фигурирует в современных школьных учебниках.

К началу XIX века у многих сложилось впечатление, что доказывать пятый постулат - это все равно что изобретать вечный двигатель - совершенно бесполезное занятие. Но и предположить, что геометрия Евклида не единственно возможная, ни у кого не хватило духу: слишком велик был авторитет Евклида. В такой ситуации открытия Лобачевского были, с одной стороны, закономерны, а с другой - абсолютно революционны.

Лобачевский заменил пятый постулат на прямо противоположное утверждение. Аксиома Лобачевского звучала так: если из точки, не лежащей на прямой, выпустить все лучи, пересекающие эту прямую, то слева и справа эти лучи будут ограничены двумя предельными лучами, которые прямую уже не пересекут, но будут становиться к ней все ближе и ближе. Причем угол между этими предельными лучами будет строго меньше 180 градусов.

Из аксиомы Лобачевского сразу следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну прямую, параллельную данной, как у Евклида, а сколько угодно. Но вести себя эти прямые будут иначе, чем у Евклида. Например, если у нас есть две параллельные прямые, то они могут сначала сближаться, а потом удаляться. То есть расстояние от точки на первой прямой до второй прямой будет зависеть от точки. Будет разным для разных точек.

Геометрия Лобачевского противоречит нашей интуиции отчасти потому, что на небольших расстояниях, с которыми мы обычно имеем дело, она очень мало отличается от евклидовой. Похожим образом мы воспринимаем кривизну поверхности Земли. Когда мы идем от дома к магазину, нам кажется, что мы идем по прямой, а Земля плоская. Но если мы летим, скажем, из Москвы в Монреаль, то мы уже замечаем, что самолет летит по дуге окружности, потому что именно это кратчайший путь между двумя точками на поверхности Земли. То есть мы замечаем, что Земля больше похожа на футбольный мяч, чем на блин.

Геометрию Лобачевского тоже можно проиллюстрировать с помощью футбольного мяча, только не обычного, а гиперболического. Гиперболический футбольный мяч склеен примерно как обычный. Только в обычном мяче к черным пятиугольникам приклеиваются белые шестиугольники, а в гиперболическом мяче вместо пятиугольников нужно делать семиугольники и тоже обклеивать их шестиугольниками. При этом получится уже, конечно, не мяч, а скорее седло. И на этом седле реализуется геометрия Лобачевского.

О своих открытиях Лобачевский пытался рассказать в 1826 году в Казанском университете. Но текста доклада не сохранилось. В 1829 году он опубликовал статью о своей геометрии в университетском журнале. Результаты Лобачевского многим казались бессмысленными - не только потому, что они разрушали привычную картину мира, но потому, что изложены были не самым понятным образом.

Однако были у Лобачевского публикации и в высокорейтинговых журналах, как мы их сегодня называем. Например, в 1836 году он опубликовал статью под названием «Воображаемая геометрия» на французском в знаменитом журнале Крелля, в одном номере со статьями известнейших математиков того времени - Дирихле, Штейнера и Якоби. А в 1840 году Лобачевский издал небольшую и очень понятно написанную книгу под названием «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Книга была на немецком и издана была в Германии. Тут же появилась разгромная рецензия. Рецензент особенно издевался над фразой Лобачевского: «Чем далее продолжаем прямые в сторону их параллелизма, тем больше они приближаются друг к другу». «Одно это высказывание, - писал рецензент, - уже достаточно характеризует сочинение господина Лобачевского и освобождает рецензента от необходимости дальнейшей его оценки».

Но нашелся у книги и один непредвзятый читатель. Это был Карл Фридрих Гаусс, также известный под прозвищем Король Математиков, один из величайших математиков в истории. Он высоко оценил книгу Лобачевского в одном из своих писем. Но его отзыв опубликовали только после его смерти вместе с остальной перепиской. И вот тогда начался настоящий бум геометрии Лобачевского.

В 1866 году его книгу перевели на французский язык, затем на английский. Причем английское издание было переиздано еще три раза из-за необычайной популярности. К сожалению, Лобачевский до этого времени не дожил. Он умер в 1856 году. А в 1868-м появилось русское издание книги Лобачевского. Оно вышло не книгой, а статьей в старейшем российском журнале «Математический сборник». Но тогда этот журнал был совсем молодым, ему не исполнилось еще и двух лет. Но более известен русский перевод 1945 года, выполненный замечательным российским и советским геометром Вениамином Федоровичем Каганом.

К концу XIX века математики разделились на два лагеря. Одни сразу приняли результаты Лобачевского и стали дальше развивать его идеи. А другие так и не смогли отказаться от веры, что геометрия Лобачевского описывает что-то несуществующее, то есть геометрия Евклида единственно верная и ничего другого быть не может. К сожалению, к числу последних относился и математик, больше известный как автор «Алисы в стране чудес», - Льюис Кэрролл. Его настоящее имя Чарльз Доджсон. В 1890 году он опубликовал статью под названием «Новая теория параллельных», где защищал исключительно наглядную версию пятого постулата. Аксиома Льюиса Кэрролла звучит так: если в круг вписать правильный четырехугольник, то площадь этого четырехугольника будет строго больше, чем площадь любого из сегментов круга, лежащих вне четырехугольника. В геометрии Лобачевского эта аксиома неверна. Если мы возьмем достаточно большой круг, то, какой бы четырехугольник мы в него ни вписали, какие бы длинные стороны у этого четырехугольника ни были, площадь четырехугольника будет ограничена универсальной физической постоянной. Вообще наличие физических констант и универсальных мер длины - это выгодное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

Зато Артур Кэли, другой известный английский математик, в 1859 году, то есть всего через три года после смерти Лобачевского, издал статью, которая впоследствии помогла легализовать постулат Лобачевского. Интересно, что Кэли в это время подрабатывал юристом в Лондоне и лишь потом получил профессорскую позицию в Кембридже. Фактически Кэли построил первую модель геометрии Лобачевского, хотя и решал, на первый взгляд, совсем другую задачу.

А другой замечательный английский математик, которого звали Уильям Кингдон Клиффорд, глубоко проникся идеями Лобачевского. И в частности, он первый высказал идею задолго до создания общей теории относительности, что гравитация вызвана искривлением пространства. Клиффорд так оценил вклад Лобачевского в науку в одной из своих лекций о философии науки: «Лобачевский для Евклида стал тем же, кем Коперник стал для Птолемея». Если до Коперника человечество полагало, что мы знаем о Вселенной все, то теперь нам ясно, что мы наблюдаем лишь небольшую часть Вселенной. Так же и до Лобачевского человечество считало, что есть только одна геометрия - евклидова, о ней все давно известно. Теперь мы знаем, что геометрий много, а знаем мы о них далеко не все.

Пятый постулат Евклида «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых» многим математикам еще в античности казался каким-то не очень ясным, отчасти в связи со сложностью его формулировки.

Представлялось, что постулатами должны быть только элементарные предложения, простые по форме. В связи с этим 5-ый постулат стал предметом особого внимания математиков, причем исследования на эту тему можно разделить на два направления, на деле тесно связанные между собой. Первое стремилось к замене этого постулата более простым и интуитивно ясным, как, например, сформулированное еще Проклом утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной»: именно в таком виде 5-ый постулат, вернее, эквивалентная ему аксиома о параллельных фигурирует в современных учебниках.

Представители второго направления пытались доказать пятый постулат на основе других, то есть превратить его в теорему. Попытки такого рода начали ряд арабских математиков средневековья: ал-Аббас ал-Джаухари (нач. IX в.), Сабит ибн Корра, Ибн ал-Хайсам, Омар Хайям, Насиреддин ат-Туси. Позже в эти исследования включились европейцы: писавшие по-древнееврейски Леви Бен Гершон (XIV в.) и Альфонсо (XV в.), а затем немец-иезуит Х. Клавий (1596), англичанин Дж. Валлис (1663) и др. Особенный интерес к этой проблеме возник в XVIII в.: с 1759 по 1800 г. вышло 55 сочинений, анализирующих данную проблему, в т. ч. весьма важные сочинения итальянца-иезуита Дж. Саккери и немца И. Г. Ламберта.

Доказательства обычно велись методом «от противного»: из допущения, что 5-ый постулат не выполняется, пытались вывести следствия, которые противоречили бы другим постулатам и аксиомам. В действительности, однако, в конечном итоге получали противоречие не с другими постулатами, а с неким явным или неявным «очевидным» предложением, которое, однако, было невозможно установить на основе других постулатов и аксиом евклидовой геометрии: таким образом, доказательства не достигали своей цели, – получалось, что на место 5-го постулата опять-таки ставилось какое-то другое равносильное ему утверждение. В качестве такого утверждения брались, например, следующие положения:

Рис. 2. Существуют прямые, равноотстоящие друг от друга

Рис. 4. Две сходящиеся прямые пересекаются

Геометрия, в которой эти утверждения не выполняются, конечно, не такова, как мы привыкли, но из этого еще не следует, что она невозможна или что эти утверждения вытекают из других постулатов и аксиом Евклида, так что во всех доказательствах были те или иные пробелы или натяжки. Клавий обосновывал допущение о том, что существуют прямые, равноотстоящие друг от друга, евклидовым «определением» прямой как линии, равно расположенной по отношению к точкам на ней. Валлис впервые положил в основание своего доказательства 5-го постулата «естественное» положение, согласно которому для любой фигуры существует подобная сколь угодно большого размера, и обосновывал это утверждение 3-м постулатом Евклида, утверждающим из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг (в действительности утверждение о существовании, например, неравных подобных треугольников или даже окружностей эквивалентно 5-му постулату). А. М. Лежандр в последовательных изданиях учебника «Начала геометрии» (1794, 1800, 1823) приводил новые доказательства 5-го постулата, но внимательный анализ показывал пробелы в этих доказательствах. Подвергнув Лежандра справедливой критике, наш соотечественник С. Е. Гурьев в книге «Опыт о усовершенствовании элементов геометрии» (1798), однако, сам допустил ошибку в доказательстве 5-го постулата.

Довольно быстро была осознана связь между суммой углов треугольника и четырехугольника и 5-ым постулатом: 5-ый постулат следует из утверждения о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым, которое можно вывести из существования прямоугольников. В связи с этим получил распространение подход (ему следовали Хайям, ат-Туси, Валлис, Саккери), при котором рассматривается четырехугольник, получающийся в результате откладывания равных отрезков на двух перпендикулярах к одной прямой. Исследуются три гипотезы: два верхних угла являются острыми, тупыми либо прямыми; при этом осуществляется попытка показать, что гипотезы тупых и острых углов ведут к противоречию.

При другом подходе (его применяли Ибн ал-Хайсам, Ламберт) анализировались аналогичные три гипотезы для четырехугольника с тремя прямыми углами.

Саккери и Ламберт показали, что гипотезы тупых углов действительно ведут к противоречию, но им не удалось найти противоречия при рассмотрении гипотез острых углов: вывод о таком противоречии Саккери сделал лишь в результате ошибки, а Ламберт заключил, что видимое отсутствие противоречия в гипотезе острого угла связано с какой-то фундаментальной причиной. Ламберт нашел, что, при принятии гипотезы острого угла, сумма углов каждого треугольника меньше 180° на величину, пропорциональную его площади, и сравнил с этим открытое в нач. XVII в. положение, согласно которому площадь сферического треугольника, напротив, больше 180° на величину, пропорциональную его площади.

В 1763 г. Г. С. Клюгель опубликовал «Обзор важнейших попыток доказательства теории параллельных линий», где рассмотрел около 30 доказательств 5-го постулата и выявил в них ошибки. Клюгель заключил, что Евклид вполне обосновано поместил свое утверждение среди постулатов.

Тем не менее, попытки доказательства 5-го постулата сыграли весьма важную роль: пытаясь привести противоположные ему утверждения к противоречию, указанные исследователи на деле открыли многие важные теоремы неевклидовой геометрии – в частности, такой геометрии, где место 5-го постулата занимает утверждение о возможности провести через заданную точку, по крайней мере, двух прямых, не пересекающих данную. Это утверждение, эквивалентное гипотезе острого угла, и было положено в основу первооткрывателями неевклидовой геометрии.

К мысли о том, что допущение альтернативы 5-му постулату ведет к построению геометрии, отличной от евклидовой, но столь же непротиворечивой, независимо пришли несколько ученых: К. Ф. Гаусс, Н. И. Лобачевский и Я. Бояи (а также Ф. К. Швейкарт и Ф. А. Тауринус, чей вклад в новую геометрию, впрочем, был более скромным и которые не публиковали своих исследований). Гаусс, судя по записям, сохранившимся в его архиве (и опубликованным только в 1860-е гг.), осознал возможность новой геометрии еще в 1810-е гг., но также никогда не публиковал своих открытий на эту тему: «Я опасаюсь крика беотийцев (т. е. глупцов: жители области Беотия считались в Древней Греции самыми глупыми), если выскажу мои воззрения целиком», – писал он в 1829 г. своему другу математику Ф. В. Бесселю. Непонимание в полной мере выпало на долю Лобачевского, сделавшего первый доклад о новой геометрии в 1826 г. и опубликовавшего полученные результаты в 1829 г. В 1842 г. Гаусс добился избрания Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества: это было единственным признанием заслуг Лобачевского при жизни. Отец Я. Бояи – математик Фаркаш Бояи, также пытавшийся доказать 5-й постулат – предостерегал сына от исследований в этом направлении: «...это может лишить тебя твоего досуга, здоровья, покоя, всех радостей жизни. Эта черная пропасть в состоянии, быть может, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон, на Земле это никогда не прояснится...». Тем не менее, Я. Бояи в 1832 г. опубликовал свои результаты в приложении к учебнику геометрии, написанному его отцом. Бояи также не добился признания, к тому же был огорчен тем, что Лобачевский опередил его: больше неевклидовой геометрией он не занимался. Так что только Лобачевский в течение всей оставшейся жизни, во-первых, продолжал исследования в новой области, а во-вторых, пропагандировал свои идеи, опубликовал еще ряд книг и статей по новой геометрии.

Итак, в плоскости Лобачевского через точку C вне данной прямой AB проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие AB . Все прямые, проходящие через C , делятся на два класса – на пересекающие и на не пересекающие AB . Эти последние лежат в некотором угле, образованном двумя крайними прямыми, не пересекающими AB . Именно эти прямые Лобачевский называет параллельными прямой AB , а угол между ними и перпендикуляром – углом параллельности. Этот угол зависит от расстояния от точки C до прямой AB : чем больше это расстояние, тем меньше угол параллельности. Прямые, лежащие внутри угла, называются расходящимися по отношению к AB .

Любые две расходящиеся прямые p и q имеют единственный общий перпендикуляр t , который является самым коротким отрезкам от одной до другой. Если точка M движется по p в направлении от t , то расстояние от M до q будет возрастать до бесконечности, причем основания перпендикуляров, опущенных из M на q , заполнят лишь конечный отрезок.

Если прямые p и q пересекают друг друга, то проекции точек одной из них на другую также заполняют ограниченный отрезок.

Если прямые p и q параллельны, то в одном направлении расстояния между их точками неограниченно убывают, а в другом неограниченно возрастают; одна прямая проецируется на луч другой.

На рисунках показаны различные взаимные положения прямых p и q , возможные в геометрии Лобачевского; r и s – перпендикуляры, параллельные q . (Мы вынуждены рисовать искривленную линию q , хотя речь идет о прямой. Даже если бы наш мир в целом подчинялся бы законам геометрии Лобачевского, мы бы все равно не смогли изобразить в малом масштабе без искажений то, как все выглядит в большом: в геометрии Лобачевского нет подобных фигур, которые не были бы равными).

Внутри угла существует прямая, параллельная обеим сторонам угла. Она делит все точки внутри угла на два типа: через точки первого типа можно провести прямые, пересекающие обе стороны угла; через точки второго типа нельзя провести ни одной такой прямой. То же верно и для пространства между параллельными прямыми. Между двумя расходящимися прямыми есть две прямые, параллельные им обеим; они делят пространство между расходящимися прямыми на три области: через точки в одной области можно провести прямые, пересекающие обе стороны угла; через точки в двух других областях таких прямых провести нельзя.

На диаметр окружности всегда опирается острый, а не прямой угол. Сторона вписанного в окружность правильного шестиугольника всегда больше ее радиуса. Для любого n > 6 можно построить такую окружность, что сторона вписанного в нее правильного n -угольника равна ее радиусу.

Лобачевский интересовался вопросом о геометрии физического пространства, в частности, используя данные астрономических наблюдений подсчитывал сумму углов больших, межзвездных треугольников: однако отличие этой суммы углов от 180° лежало целиком внутри ошибки наблюдений. Непонимание, выпавшее на долю Лобачевского, который сам называл свою геометрию «воображаемой», во многом связано с тем, что в его время такие идеи казались чистыми абстракциями и игрой воображения. Действительно ли новая геометрия непротиворечива? (Ведь если даже Лобачевскому не удалось встретить противоречия, это не гарантирует, что оно не будет обнаружено впоследствии). Насколько она соотносится с реальным миром, а также с другими областями математики? Это стало ясно далеко не сразу, и успех, в конечном итоге выпавший на долю новых идей, был связан с открытием моделей новой геометрии.