Як порівнювати змішані дроби з різними знаменниками. Порівняння змішаних дробів. Порівняння змішаного числа і звичайного дробу

У цій статті мова піде про порівняння змішаних чисел. Спочатку ми розберемося, які змішані числа називаються рівними, а які - нерівними. Далі ми наведемо правило порівняння нерівних змішаних чисел, яке дозволяє з'ясувати, яке число більше, а яке - менше, і розглянемо приклади. Нарешті, ми зупинимося на порівнянні змішаних чисел з натуральними числами і звичайними дробами.

Навігація по сторінці.

Рівні і нерівні змішані числа

Спочатку потрібно знати, які змішані числа називаються рівними, а які - нерівними. Дамо відповідні визначення.

Визначення.

Рівні змішані числа - це змішані числа, у яких рівні і цілі частини, і дробові частини.

Іншими словами, два змішаних числа називаються рівними, якщо їх записи повністю збігаються. Якщо ж записи змішаних чисел відрізняються, то такі змішані числа називають нерівними.

Визначення.

Нерівні змішані числа - це змішані числа, записи яких відрізняються.

Озвучені визначення дозволяють з одного погляду визначити, чи рівні дані змішані числа чи ні. Наприклад, змішані числа і рівні, так як їх записи повністю збігаються. Ці числа мають рівні цілі частини і рівні дробові частини. А змішані числа і - нерівні, так як вони мають нерівні цілі частини. Іншими прикладами нерівних змішаних чисел є і, в тому числі.

Іноді виникає необхідність з'ясувати, яке з двох нерівних змішаних чисел більше іншого, а яке - менше. Як це робиться, розглянемо в наступному пункті.

Порівняння змішаних чисел

Порівняння змішаних чисел можна звести до порівняння звичайних дробів. Для цього досить перевести змішані числа в неправильні дроби.

Для прикладу, порівняємо змішане число і змішане число, представивши їх у вигляді неправильних дробів. Маємо і. Так порівняння вихідних змішаних чисел зводиться до порівняння дробів з різними знаменниками і. Так як, то.

Порівняння змішаних чисел через порівняння рівних їм дробів є не найкращим рішенням. Набагато зручніше використовувати наступне правило порівняння змішаних чисел: Більше то змішане число, ціла частина якого більше, якщо ж цілі частини рівні, то більше то змішане число, дрібна частина якого більше.

Розглянемо, як відбувається порівняння змішаних чисел з озвученого правилом. Для цього розглянемо рішення прикладів.

Приклад.

Яке з змішаних чисел і більше?

Рішення.

Цілі частини порівнюваних змішаних чисел рівні, тому порівняння зводиться до порівняння дрібних частин і. Так як, то . Таким чином, змішане число більше, ніж змішане число.

відповідь:

Порівняння змішаного числа і натурального числа

Розберемося, як порівняти змішане число і натуральне число.

справедливо таке правило порівняння змішаного числа з натуральним числом: Якщо ціла частина змішаного числа менше даного натурального числа, то змішане число менше даного натурального числа, а якщо ціла частина змішаного числа більше або дорівнює даним змішаного числа, то змішане число більше даного натурального числа.

Розберемо приклади порівняння змішаного числа і натурального числа.

Приклад.

Порівняйте числа 6 і.

Рішення.

Ціла частина змішаного числа дорівнює 9. Так як вона більше натурального числа 6, то.

відповідь:

Приклад.

Дано змішане число і натуральне число 34, яке з чисел менше?

Рішення.

Ціла частина змішаного числа менше числа 34 (11<34 ), поэтому .

відповідь:

Змішане число менше, ніж число 34.

Приклад.

Виконайте порівняння числа 5 і змішаного числа.

Рішення.

Ціла частина даного змішаного числа дорівнює натуральному числу 5, отже, дане змішане число більше, ніж 5.

відповідь:

На закінчення цього пункту відзначимо, що будь-який змішане число більше одиниці. Це твердження випливає з правила порівняння змішаного числа і натурального числа, а також з того, що ціла частина будь-якого змішаного числа або більше 1, або дорівнює 1.

Порівняння змішаного числа і звичайного дробу

Спочатку скажемо про порівняння змішаного числа і правильного дробу. Будь-яка правильна дріб менше одиниці (дивіться правильні і неправильні дроби), отже, будь-яка правильна дріб менше будь-якого змішаного числа (так як будь-який змішане число більше 1).

Дана стаття розглядає порівняння дробів. Тут ми з'ясуємо, яка з дробів більше або менше, застосуємо правило, розберемо приклади розв'язання. Порівняємо дроби як з однаковими, так і різними знаменниками. Зробимо порівняння звичайного дробу з натуральним числом.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

Коли проводиться порівняння дробів з однаковими знаменниками, ми працюємо тільки з чисельником, а значить, порівнюємо частки числа. Якщо є дріб 3 7, то вона має 3 частини 1 7, тоді дріб 8 7 має 8 таких часток. Інакше кажучи, якщо знаменник однаковий, проводиться порівняння числителей цих дробів, тобто 3 7 і 8 7 порівнюються числа 3 і 8.

Звідси випливає правило порівняння дробів з однаковими знаменниками: з наявних дробів з однаковими показниками вважається більшою та дріб, у якої чисельник більше і навпаки.

Це говорить про те, що слід звернути увагу на числители. Для цього розглянемо приклад.

приклад 1

Провести порівняння заданих дробів 65 126 і 87 126.

Рішення

Так як знаменники дробів однакові, переходимо до чисельнику. З чисел 87 і 65 очевидно, що 65 менше. Виходячи з правила порівняння дробів з однаковими знаменниками маємо, що 87 126 понад 65 126.

відповідь: 87 126 > 65 126 .

Порівняння дробів з різними знаменниками

Порівняння таких дробів можна співвіднести з порівнянням дробів з однаковими показниками, але є відмінність. Тепер необхідно дробу приводити до спільного знаменника.

Якщо є дроби з різними знаменниками, для їх порівняння необхідно:

знайти спільний знаменник;
порівняти дроби.

Розглянемо дані дії на прикладі.

приклад 2

Провести порівняння дробів 5 12 і 9 16.

Рішення

В першу чергу необхідно привести дроби до спільного знаменника. Це робиться таким чином: знаходиться НОК, тобто найменший спільний дільник, 12 і 16. Це число 48. Необхідно надписати додаткові множники до першого дробу 5 12, це число знаходиться з приватного 48: 12 \u003d 4, для другого дробу 9 16 - 48: 16 \u003d 3. Запишемо вийшло таким чином: 5 12 \u003d 5 · 4 12 · 4 \u003d 20 48 і 9 16 \u003d 9 · 3 16 · 3 \u003d 27 48.

Після порівняння дробів отримуємо, що 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

відповідь: 5 12 < 9 16 .

Є ще один спосіб порівняння дробів з різними знаменниками. Він виконується без приведення до спільного знаменника. Розглянемо на прикладі. Щоб порівняти дроби a b і c d, приводимо до спільного знаменника, тоді b · d, тобто твір цих знаменників. Тоді додаткові множники для дробів будуть знаменники сусідній дробу. Це запишеться так a · d b · d і c · b d · b. Використовуючи правило з однаковими знаменниками, маємо, що порівняння дробів звелося до порівнянь творів a · d і c · b. Звідси отримуємо правило порівняння дробів з різними знаменниками: якщо a · d\u003e b · c, тоді a b\u003e c d, але якщо a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

приклад 3

Провести порівняння дробів 5 18 і 23 86.

Рішення

Даний приклад має a \u003d 5, b \u003d 18, c \u003d 23 і d \u003d 86. Тоді необхідно обчислити a · d і b · c. Звідси випливає, що a · d \u003d 5 · 86 \u003d 430 і b · c \u003d 18 · 23 \u003d 414. Але 430\u003e 414, тоді задана дріб 5 18 більше, ніж 23 86.

відповідь: 5 18 > 23 86 .

Порівняння дробів з однаковими чисельника

Якщо дроби мають однакові чисельники і різні знаменники, тоді можна виконувати порівняння по попередньому пункту. Результат порівняння можливий при порівнянні їх знаменників.

Є правило порівняння дробів з однаковими чисельника : з двох дробів з однаковими чисельника більше та дріб, яка має менший знаменник і навпаки.

Розглянемо на прикладі.

приклад 4

Провести порівняння дробів 54 19 і 54 31.

Рішення

Маємо, що числители однакові, значить, що дріб, що має знаменник 19 більше дробу, яка має знаменник 31. Це зрозуміло, виходячи з правила.

відповідь: 54 19 > 54 31 .

Інакше можна розглянути на прикладі. Є дві тарілки, на яких 1 2 пирога, анна інший 1 16. Якщо з'їсти 1 2 пирога, то наситишся швидше, ніж тільки 1 16. Звідси висновок, що найбільший знаменник при однакових чисельнику є найменшим при порівнянні дробів.

Порівняння дроби з натуральним числом

Порівняння звичайного дробу з натуральним числом йде як і порівняння двох дробів із записом знаменників у вигляді 1. Для детального розгляду нижче наведемо приклад.

приклад 4

Необхідно виконати порівняння 63 8 і 9.

Рішення

Необхідно уявити число 9 у вигляді дробу 9 1. Тоді маємо необхідність порівняння дробів 63 8 і 9 1. Далі слід приведення до спільного знаменника шляхом знаходження додаткових множників. Після цього бачимо, що потрібно порівняти дроби з однаковими знаменниками 63 8 і 72 8. Виходячи з правила порівняння, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

відповідь: 63 8 < 9 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Для порівняння змішаних дробів є послідовність дій з двох кроків:

Крок 1. Порівняти цілі частини змішаних
чисел (дробів).
З двох дробів з різною цілою частиною більше
та, чия ціла частина більше.
Крок 2. Порівняти дробову частину змішаних
чисел (дробів).
Для двох дробів з однаковою цілою частиною
більше та, чия дрібна частина більше.

зауваження:

Будь-яка змішана дріб (змішане
число) більше своєї цілої частини і менше
натурального числа, наступного за ним.
наприклад,
2 < 2½ < 3;
1 < 1¼ < 2;
5 < 5¾ < 6.

Приклади.

Далі у вигляді картинок будуть приведені
приклади змішаних чисел (дробів).
Спробуйте їх порівняти спочатку логічно,
а після - використовуючи правило.

Яких кнопок більше: синіх або помаранчевих?

1) 3¾
3½

Яких кнопок більше: синіх або помаранчевих?

3¾\u003e
3½

Яких кнопок більше: синіх або помаранчевих?

3¾\u003e
3½
Чому ми зробили такий висновок?
Кількість і помаранчевих і синіх
кнопок можна виразити у вигляді дробів, як показано вище. Очевидно, що ці
змішані дроби (числа) мають однакові цілі частини, але різні дробові.
За правилом, в таких випадках потрібно порівняти саме дробові частини. Розглянемо їх
окремо.

Яких кнопок більше: синіх або помаранчевих?

¾
>
½
Навіть просто дивлячись на ці зображення можна сказати, що
помаранчевий шматок кнопки більше, ніж синій.
Та й якщо порівняти самі дробу, ми отримаємо, що ¾\u003e ½.

10. Яких кнопок більше: синіх або помаранчевих?

3¾\u003e
3½
Відповідь: Більше помаранчевих кнопок

Не тільки прості числа можна порівнювати, але і дроби теж. Адже дріб - це таке ж число як, наприклад, і натуральні числа. Потрібно знати тільки правила, за якими порівнюють дробу.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками.

Якщо у двох дробів однакові знаменники, то такі дроби порівняти просто.

Щоб порівняти дроби з однаковими знаменниками, потрібно порівняти їх чисельники. Та дріб більше у якій більше чисельник.

Розглянемо приклад:

Порівняйте дроби \\ (\\ frac (7) (26) \\) і \\ (\\ frac (13) (26) \\).

Знаменники у обох дробів однакові рівні 26, тому порівнюємо числители. Число 13 більше 7. Отримуємо:

\\ (\\ Frac (7) (26)< \frac{13}{26}\)

Порівняння дробів з рівними числителями.

Якщо у дробу однакові чисельники, то більше та дріб, у якої знаменник менше.

Зрозуміти це правило можна, якщо навести приклад з життя. У нас є торт. До нас в гості можуть прийти 5 або 11 гостей. Якщо прийдуть 5 гостей, то ми розріжемо торт на 5 рівних шматків, а якщо прийдуть 11 гостей, то розділимо на 11 рівних шматків. А тепер подумайте в якому випадком на одного гостя доведеться шматок торта більшого розміру? Звичайно, коли прийдуть 5 гостей, шматок торта буде більше.

Або ще приклад. У нас є 20 цукерок. Ми можемо порівну роздати цукерки 4 друзям або порівну поділити цукерки між 10 друзями. В якому випадку у кожного друга буде цукерок більше? Звичайно, коли ми розділимо тільки на 4 друзів, кількість цукерок у кожного друга буде більше. Перевіримо це завдання математично.

\\ (\\ Frac (20) (4)\u003e \\ frac (20) (10) \\)

Якщо ми до вирішуємо ці дроби, то отримаємо числа \\ (\\ frac (20) (4) \u003d 5 \\) і \\ (\\ frac (20) (10) \u003d 2 \\). Отримуємо, що 5\u003e 2

В цьому і полягає правило порівняння дробів з однаковими чисельника.

Розглянемо ще приклад.

Порівняйте дроби з однаковими чисельником \\ (\\ frac (1) (17) \\) і \\ (\\ frac (1) (15) \\).

Так як чисельники однакові, більше та дріб, де знаменник менше.

\\ (\\ Frac (1) (17)< \frac{1}{15}\)

Порівняння дробів з різними знаменниками і числителями.

Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, необхідно дробу привести до, а потім порівняти числители.

Порівняйте дроби \\ (\\ frac (2) (3) \\) і \\ (\\ frac (5) (7) \\).

Спочатку знайдемо спільний знаменник дробів. Він буде дорівнює числу 21.

\\ (\\ Begin (align) & \\ frac (2) (3) \u003d \\ frac (2 \\ times 7) (3 \\ times 7) \u003d \\ frac (14) (21) \\\\\\\\ & \\ frac (5) (7) \u003d \\ frac (5 \\ times 3) (7 \\ times 3) \u003d \\ frac (15) (21) \\\\\\\\ \\ end (align) \\)

Потім переходимо до порівняння числителей. Правило порівняння дробів з однаковими знаменниками.

\\ (\\ Begin (align) & \\ frac (14) (21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Порівняння.

Неправильна дріб завжди більше правильною.Тому що неправильна дріб більше 1, а правильний дріб менше 1.

приклад:
Порівняйте дроби \\ (\\ frac (11) (13) \\) і \\ (\\ frac (8) (7) \\).

Дріб \\ (\\ frac (8) (7) \\) неправильна і вона більше 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

Дріб \\ (\\ frac (11) (13) \\) правильна і вона менше 1. Порівнюємо:

\\ (1\u003e \\ frac (11) (13) \\)

Отримуємо, \\ (\\ frac (11) (13)< \frac{8}{7}\)

Питання по темі:
Як порівняти дроби з різними знаменниками?
Відповідь: треба привести до спільного знаменника дроби і потім порівняти їх чисельники.

Як порівнювати дроби?
Відповідь: спочатку потрібно визначитися до якої категорії відносяться дробу: у них є спільний знаменник, у них є спільний чисельник, у них немає спільного знаменника і чисельника або у вас правильна і неправильна дріб. Після класифікації дробів застосувати відповідне правило порівняння.

Що таке порівняння дробів з однаковими чисельника?
Відповідь: якщо у дробів однакові чисельники, та дріб більше у якій знаменник менше.

Приклад №1:
Порівняйте дроби \\ (\\ frac (11) (12) \\) і \\ (\\ frac (13) (16) \\).

Рішення:
Так як немає однакових числителей або знаменників, застосовуємо правило порівняння з різними знаменниками. Потрібно знайти спільний знаменник. Спільний знаменник буде дорівнює 96. Наведемо дроби до спільного знаменника. Першу дріб \\ (\\ frac (11) (12) \\) помножимо на додатковий множник 8, а другу дріб \\ (\\ frac (13) (16) \\) помножимо на 6.

\\ (\\ Begin (align) & \\ frac (11) (12) \u003d \\ frac (11 \\ times 8) (12 \\ times 8) \u003d \\ frac (88) (96) \\\\\\\\ & \\ frac (13) (16) \u003d \\ frac (13 \\ times 6) (16 \\ times 6) \u003d \\ frac (78) (96) \\\\\\\\ \\ end (align) \\)

Порівнюємо дробу числителями, та дріб більше у якій чисельник більше.

\\ (\\ Begin (align) & \\ frac (88) (96)\u003e \\ frac (78) (96) \\\\\\\\ & \\ frac (11) (12)\u003e \\ frac (13) (16) \\\\\\ Приклад №2:

Порівняйте правильну дріб з одиницею?
Будь-яка правильна дріб завжди менше 1.

Рішення:
Завдання №1:

Син з батьком грали в футбол. Син з 10 підходів в ворота потрапив 5 разів. А тато з 5 підходів влучив у ворота 3 рази. Чий результат краще?
{!LANG-6ed6c9022494d08a6a1750b4ae120782!}

Рішення:
Син потрапив з 10 можливих підходів 5 разів. Запишемо у вигляді дробу \\ (\\ frac (5) (10) \\).
Папа потрапив з 5 можливих підходів 3 раз. Запишемо у вигляді дробу \\ (\\ frac (3) (5) \\).

Порівняємо дробу. У нас різні чисельники і знаменники, приведемо до одного знаменника. Спільний знаменник буде дорівнює 10.

\\ (\\ Begin (align) & \\ frac (3) (5) \u003d \\ frac (3 \\ times 2) (5 \\ times 2) \u003d \\ frac (6) (10) \\\\\\\\ & \\ frac (5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Відповідь: у тата результат краще.

Мета уроку:формувати навички порівняння змішаних чисел.

Завдання уроку:

Вчити порівнювати змішані числа.
Розвивати мислення, увагу.
Виховувати акуратність під час креслення прямокутників.

устаткування:таблиця «Звичайні дроби», набір кіл «Дроби і частки»

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Запис дати в зошит.

Яке число сьогодні? Який місяць? який рік? Який за рахунком місяць? Який за рахунком урок?

II. усна робота

1. Робота по табличці:

347

999

200

127

Прочитати числа.
Назвати найбільше, найменше число.
Назвати числа в порядку убування, зростання.
Назвати сусідів кожного числа.
Порівняння 1 і 2 числа.
Порівняйте 2 і 3 число.
На скільки 3 число менше 4.
Розкладіть останнє число на суму розрядних доданків, назвіть: скільки всього одиниць в цьому числі, скільки всього десятків, скільки сотень.

2. Які числа ми вивчаємо зараз? (Дробові.)