Вектори і операції над векторами. Вектори Всі формули по темі вектори в просторі

вектор – це спрямований прямолінійний відрізок, тобто відрізок, який має певну довжину і певний напрям. нехай точка А - початок вектора, а точка B - його кінець, тоді вектор позначається символом або. вектор називається протилежним вектору і може бути позначений .

Сформулюємо ряд базових визначень.

довжиною або модулем вектора називається довжина відрізка і позначається. Вектор нульової довжини (його суть - точка) називається нульовим і напрямки не має. вектор одиничної довжини, називаєтьсяодиничним . Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямком вектора , називається ортом вектора .

вектори називаються колінеарними , Якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих, записують. Колінеарні вектори можуть мати співпадаючі або протилежні напрямки. Нульовий вектор вважають колінеарну будь-якому вектору.

Вектори називаються рівними, Якщо вони колінеарні, однаково спрямовані і мають однакові довжини.

Три вектора в просторі називаються компланарними , Якщо вони лежать в одній площині або на паралельних площинах. Якщо серед трьох векторів хоча б один нульовий або два будь-які колінеарні, то такі вектори компланарні.

Розглянемо в просторі прямокутну систему координат 0 xyz. Виділимо на осях координат 0 x, 0y, 0z одиничні вектори (орти) і позначимо їх черезвідповідно. Виберемо довільний вектор простору і сумісний його початок з початком координат. Спроектуємо вектор на координатні осі і позначимо проекції через a x, a y, a z відповідно. Тоді неважко показати, що

. (2.25)

Ця формула є основною в векторному численні і називається розкладанням вектора по ортам координатних осей . числа a x, a y, a zназиваються координатами вектора . Таким чином, координати вектора є його проекціями на осі координат. Векторне рівність (2.25) часто записують у вигляді

Ми будемо використовувати позначення вектора в фігурних дужках, щоб візуально легше розрізняти координати вектора і координати точки. З використанням формули довжини відрізка, відомої з шкільної геометрії, можна знайти вираз для обчислення модуля вектора:

, (2.26)

тобто модуль вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат.

Позначимо кути між вектором і осями координат через α, β, γ відповідно. косинуси цих кутів називаються для вектора направляючими , І для них виконується співвідношення:Вірність даного рівності можна показати за допомогою властивості проекції вектора на вісь, яке буде розглянуто в наступному пункті 4.

Нехай в тривимірному просторі задані векторисвоїми координатами. Трапляються такі операції над ними: лінійні (додавання, віднімання, множення на число і проектування вектора на вісь або інший вектор); нелінійно - різні твори векторів (скалярний, векторний, змішане).

1. додавання двох векторів проводиться покоординатно, тобто якщо

Дана формула має місце для довільного кінцевого числа доданків.

Геометрично два вектора складаються з двох правил:

а) правило трикутника - результуючий вектор суми двох векторів з'єднує початок першого з них з кінцем другого за умови, що початок другого збігається з кінцем першого вектора; для суми векторів - результуючий вектор суми з'єднує початок першого з них з кінцем останнього вектора-доданка за умови, що початок наступного доданка збігається з кінцем попереднього;

б) правило паралелограма (Для двох векторів) - паралелограм будується на векторах-доданків як на сторонах, приведених до одного початку; діагональ паралелограма яка виходить із їх загального початку, є сумою векторів.

2. віднімання двох векторів проводиться покоординатно, аналогічно додаванню, тобто якщо, то

Геометрично два вектора складаються з уже згаданим правилом паралелограма з урахуванням того, що різницею векторів є діагональ, що з'єднує кінці векторів, причому результуючий вектор направлений з кінця від'ємника в кінець зменшуваного вектора.

Важливим наслідком віднімання векторів є той факт, що якщо відомі координати початку і кінця вектора, то для обчислення координат вектора необхідно з координат його кінця відняти координати його початку . Дійсно, будь-який вектор простору може бути представлений у вигляді різниці двох векторів, що виходять з початку координат:. координати векторів і збігаються з координатами точокА і В, Так як початок координатПро(0; 0; 0). Таким чином, за правилом віднімання векторів слід зробити віднімання координат точкиАз координат точкиВ.

3. У множення вектора на число λ покоординатно:.

при λ> 0 - вектор сонаправлени ; λ< 0 - вектор протилежно спрямований ; | λ|> 1 - довжина вектора збільшується в λ раз;| λ|< 1 - довжина вектора зменшується в λ раз.

4. Нехай в просторі задана спрямована пряма (вісь l), вектор заданий координатами кінця і початку. Позначимо проекції точок A і B на вісь l відповідно через A’ і B’ .

проекцією вектора на вісь l називається довжина вектора, Взята зі знаком «+», якщо вектор і вісь lсонаправлени, і зі знаком «-», якщо і l протилежно спрямовані.

Якщо в якості осі lвзяти деякий інший вектор, То отримаємо проекцію вектора на ВЕКТА р.

Розглянемо деякі основні властивості проекцій:

1) проекція вектора на вісь l дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю, тобто;

2.) проекція вектора на вісь позитивна (негативна), якщо вектор утворює з віссю гострий (тупий) кут, і дорівнює нулю, якщо цей кут - прямий;

3) проекція суми декількох векторів на одну і ту ж вісь дорівнює сумі проекцій на цю вісь.

Сформулюємо визначення та теореми про твори векторів, що представляють нелінійні операції над векторами.

5. скалярним добутком векторів іназивається число (скаляр), яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кутаφ між ними, тобто

. (2.27)

Очевидно, що скалярний квадрат будь-якого ненульового вектора дорівнює квадрату його довжини, так як в цьому випадку кут , Тому його косинус (в 2.27) дорівнює 1.

Теорема 2.2. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності двох векторів є рівність нулю їх скалярного твори

Слідство. Попарні скалярні твори одиничних орт дорівнюють нулю, тобто

Теорема 2.3. Скалярний добуток двох векторів, Заданих своїми координатами, дорівнює сумі творів їх однойменних координат, тобто

(2.28)

За допомогою скалярного добутку векторів можна обчислити кут між ними. Якщо задані два ненульових вектора своїми координатами, То косинус кутаφ між ними:

(2.29)

Звідси випливає умова перпендикулярності ненульових векторіві:

(2.30)

Знаходження проекції вектора на напрям, заданий вектором , Може здійснюватися за формулою

(2.31)

За допомогою скалярного добутку векторів знаходять роботу постійної сили на прямолінійній ділянці шляху.

Припустимо, що під дією постійної сили матеріальна точка переміщується прямолінійно з положення Ав положення B. вектор сили утворює кут φ з вектором переміщення (Рис. 2.14). Фізика стверджує, що робота сили при переміщеннідорівнює.

Отже, робота постійної сили при прямолінійному переміщенні точки її застосування дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення.

Приклад 2.9.За допомогою скалярного добутку векторів знайти кут при вершиніA паралелограмаABCD, постро енного на векторах

Рішення.Обчислимо модулі векторів і їх скалярний твір по теоремі (2.3):

Звідси згідно з формулою (2.29) отримаємо косинус шуканого кута

Приклад 2.10.Витрати сировинних і матеріальних ресурсів, використовуваних на виробництво однієї тонни сиру, задані в таблиці 2.2 (руб.).

Яка загальна вартість цих ресурсів, що витрачаються на виготовлення однієї тонни сиру?

Таблиця 2.2

Рішення. Введемо в розгляд два вектора: вектор витрат ресурсів на тонну продукції і вектор ціни одиниці відповідного ресурсу.

тоді . Загальна ціна ресурсів, Що представляє собою скалярний добуток векторів. Обчислимо його за формулою (2.28) відповідно до теореми 2.3:

Таким чином, загальна ціна витрат на виробництво однієї тонни сиру становить 279 541,5 рублів

Примітка. Дії з векторами, здійснені в прикладі 2.10, можна виконати на персональному комп'ютері. Для знаходження скалярного твори векторів в MS Excel використовують функцію СУММПРОИЗВ (), де в якості аргументів указуються адреси діапазонів елементів матриць, суму творів яких необхідно знайти. У MathCAD скалярний добуток двох векторів виконується за допомогою відповідного оператора панелі інструментів Matrix

Приклад 2.11. Обчислити роботу, вироблену силою, Якщо точка її застосування переміщається прямолінійно з положення A(2, 4, 6) в положення A(4; 2; 7). Під яким кутом до AB спрямована сила ?

Рішення.Знаходимо вектор переміщення, віднімаючи з координат його кінцякоординати початку

. За формулою (2.28) (Одиниць роботи).

кут φ між і знаходимо за формулою (2.29), тобто

6. Три некомпланарних вектора, Взяті в зазначеному порядку, утворюютьправу трійку, якщо при спостереженні з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого векторувідбувається проти годинникової стрілки, іліву , Якщо за годинниковою стрілкою.

векторним твором вектора на вектор називається вектор , Що задовольняє наступним умовам:

– перпендикулярний векторам і;

- має довжину, рівну, де φ - кут, утворений векторамиі;

- вектори утворюють праву трійку (рис. 2.15).

Теорема 2.4. Необхідною і достатньою умовою коллинеарности двох векторів є рівність нулю їх векторного твори

Теорема 2.5. Векторний добуток векторів, Заданих своїми координатами, так само определителю третього порядку виду

(2.32)

Примітка.визначник (2.25) розкладається по властивості 7 визначників

Слідство 1.Необхідною і достатньою умовою коллинеарности двох векторів є пропорційність їхній відповідних координат

Слідство 2.Векторні твори одиничних орт рівні

Слідство 3.Векторний квадрат будь-якого вектора дорівнює нулю

Геометрична інтерпретація векторного твори полягає в тому, що довжина результуючого вектора чисельно дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах-співмножник як на сторонах, приведених до одного початку. Дійсно, згідно з визначенням, модуль векторного добутку векторів дорівнює. З іншого боку, площа паралелограма, побудованого на векторах і, також дорівнює . отже,

. (2.33)

Також за допомогою векторного твори можна визначити момент сили відносно точки і лінійну швидкість обертання.

Нехай в точці A прикладена сила і нехай O - деяка точка простору (рис. 2.16). З курсу фізики відомо, що моментом сили щодо точки O називається вектор , Який проходить через точкуO і задовольняє таким умовам:

Перпендикулярний до площини, що проходить через точки O, A, B;

Його модуль чисельно дорівнює добутку сили на плече.

- утворює праву трійку з векторами і.

Отже, момент сили щодо точкиO являє собою векторний добуток

. (2.34)

лінійна швидкість точки Мтвердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі, визначається формулою Ейлера, O - деяка нерухома

точка осі (рис. 2.17).

Приклад 2.12.За допомогою векторного твори знайти площу трикутника ABC, Побудованого на векторах, Приведених до одного початку.

Стандартне визначення: «Вектор - це спрямований відрізок». Зазвичай цим і обмежуються знання випускника про вектори. Кому потрібні якісь «спрямовані відрізки»?

А справді, що таке вектори і навіщо вони?
Прогноз погоди. «Вітер північно-західний, швидкість 18 метрів в секунду». Погодьтеся, має значення і напрямок вітру (звідки він дме), і модуль (тобто абсолютна величина) його швидкості.

Величини, що не мають напрямки, називаються скалярними. Маса, робота, електричний заряд нікуди не спрямовані. Вони характеризуються лише числовим значенням - «скільки кілограм» або «скільки джоулів».

Фізичні величини, які мають не тільки абсолютне значення, а й напрямок, називаються векторними.

Швидкість, сила, прискорення - вектори. Для них важливо «скільки» і важливо «куди». Наприклад, прискорення вільного падіння направлено до поверхні Землі, а величина його дорівнює 9,8 м / с 2. Імпульс, напруженість електричного поля, індукція магнітного поля - теж векторні величини.

Ви пам'ятаєте, що фізичні величини позначають буквами, латинськими або грецькими. Стрілочка над буквою показує, що величина є векторної:

Ось ще один приклад.
Автомобіль рухається з A в B. Кінцевий результат - його переміщення з точки A в точку B, тобто переміщення на вектор .

Тепер зрозуміло, чому вектор - це спрямований відрізок. Зверніть увагу, кінець вектора - там, де стрілочка. довжиною вектора називається довжина цього відрізка. Позначається: або

До сих пір ми працювали з скалярними величинами, за правилами арифметики і елементарної алгебри. Вектори - нове поняття. Це інший клас математичних об'єктів. Для них свої правила.

Колись ми і про числах нічого не знали. Знайомство з ними почалося в молодших класах. Виявилося, що числа можна порівнювати один з одним, складати, віднімати, множити і ділити. Ми дізналися, що є число одиниця і число нуль.
Тепер ми знайомимося з векторами.

Поняття «більше» і «менше» для векторів не існує - адже напрямки їх можуть бути різними. Порівнювати можна тільки довжини векторів.

А ось поняття рівності для векторів є.
рівними називаються вектори, які мають однакові довжини і однаковий напрямок. Це означає, що вектор можна перенести паралельно собі в будь-яку точку площини.
одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює 1. Нульовим - вектор, довжина якого дорівнює нулю, тобто його початок збігається з кінцем.

Найзручніше працювати з векторами в прямокутній системі координат - тій самій, в якій малюємо графіки функцій. Кожній точці в системі координат відповідають два числа - її координати по x і y, абсциса і ордината.
Вектор також задається двома координатами:

Тут в дужках записані координати вектора - по x і по y.
Знаходяться вони просто: координата кінця вектора мінус координата його початку.

Якщо координати вектора задані, його довжина знаходиться за формулою

Сума векторів

Для додавання векторів є два способи.

1. Правило паралелограма. Щоб скласти вектори і, поміщаємо початку обох в одну точку. Добудовуємо до паралелограма і з тієї ж точки проводимо діагональ паралелограма. Це і буде сума векторів і.

Пам'ятаєте байку про лебедя, рака і щуку? Вони дуже старалися, але так і не зрушили віз з місця. Адже векторна сума сил, прикладених ними до воза, дорівнювала нулю.

2. Другий спосіб додавання векторів - правило трикутника. Візьмемо ті ж вектори і. До кінця першого вектора влаштуємо початок другого. Тепер з'єднаємо початок першого і кінець другого. Це і є сума векторів і.

За тим же правилом можна скласти і кілька векторів. Пристроюємо їх один за іншим, а потім з'єднуємо початок першого з кінцем останнього.

Уявіть, що ви йдете з пункту А в пункт В, з В в С, з З в D, потім в Е і в F. Кінцевий результат цих дій - переміщення з А в F.

При додаванні векторів і отримуємо:

віднімання векторів

Вектор спрямований протилежно вектору. Довжини векторів та є рівними.

Тепер зрозуміло, що таке віднімання векторів. Різниця векторів і - це сума вектора і вектора.

Множення вектора на число

При множенні вектора на число k виходить вектор, довжина якого в k раз відрізняється від довжини. Він сонаправлени з вектором, якщо k більше нуля, і спрямований протилежно, якщо k менше нуля.

Скалярний добуток векторів

Вектори можна множити не тільки на числа, а й друг на друга.

Скалярним добутком векторів називається твір довжин векторів на косинус кута між ними.

Зверніть увагу - перемножили два вектора, а вийшов скаляр, тобто число. Наприклад, у фізиці механічна робота дорівнює скалярному добутку двох векторів - сили і переміщення:

Якщо вектори перпендикулярні, їх скалярний добуток дорівнює нулю.
А ось так скалярний твір виражається через координати векторів і:

З формули для скалярного твори можна знайти кут між векторами:

Ця формула особливо зручна в стереометрії. Наприклад, в завданні 14 Профільної ЄДІ з математики потрібно знайти кут між перехресними прямими або між прямою і площиною. Часто завдання 14 вирішується в кілька разів швидше, ніж класичним.

У шкільній програмі з математики вивчають тільки скалярний добуток векторів.
Виявляється, крім скалярного, є ще і векторний добуток, коли в результаті множення двох векторів виходить вектор. Хто здає ЄДІ з фізики, знає, що таке сила Лоренца і сила Ампера. У формули для знаходження цих сил входять саме векторні твори.

Вектори - найкорисніший математичний інструмент. У цьому ви переконаєтеся на першому курсі.

Визначення 1.Вектором в просторіназивається спрямований відрізок.

Таким чином, вектори на відміну від скалярних величин мають дві характеристики: довжину і напрямок. Будемо позначати вектори символами, або а .

(Тут Аі В- початок і кінець даного вектора (рис.1)) а В

Довжина вектора позначається символом модуля: .Арис.1

Розрізняють три види векторів, що задаються відношенням рівності між ними:

закріплені векториназиваються рівними, якщо у них збігаються початку і кінці відповідно. Прикладом такого вектора є вектор сили.

ковзаючі векториназиваються рівними, якщо вони розташовані на одній прямій, мають однакові довжини та напрямки. Прикладом таких векторів є вектор швидкості.

Вільні або геометричні векторивважаються рівними, якщо вони можуть бути суміщені з допомогою паралельного перенесення.

В курсі аналітичної геометрії розглядаються тількивільні вектори.

Визначення 2.Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовимвектором, або нуль -

вектором.

Очевидно, початок і кінець нульового вектора збігаються. Нульовий вектор не має певного напряму або має будь-якийнапрямок.

Визначення 3.Два вектора, що лежать на одній прямій або паралельних прямих називаються

колінеарними(Рис.2). позначають:
.a

Визначення 4.Два колінеарних і однаково спрямованих вектора називаються

сонаправленнимі.позначають:
.

Тепер можна дати суворе визначення рівності вільних векторів:

Визначення 5.Два вільних вектора називаються рівними, якщо вони сонаправлени і мають

однакову довжину.

Визначення 6.Три вектора, що лежать в одній або паралельних площинах називаються

компланарними.

Два перпендикулярних вектора називають взаємно ортогональними:
.

Визначення 7.Вектор одиничної довжини називається одиничним векторомабо ортом.

Орт, сонаправленнимі ненульових векторів а називають ортом вектораа :e a .

§2.Лінейние операції над векторами.

На безлічі векторів визначені лінійні операції: додавання векторів і множення вектора на число.

I. Сума векторів.

Сумою 2 - х векторів називається вектор, початок якого збігається з початком першого, а кінець з кінцем другого, за умови, що початок другого збігається з кінцем першого.

Л легко бачити, що сума двох векторів, певна

таким чином (рис.3), збігається з сумою векторів,

побудованої за правилом паралелограма (рис.6). b

Однак, дане правило дозволяє будувати a

суму будь-якого числа векторів (ріс.3б).

a + b

b a + b + c

ріс.3б c

Вектори Вектором в просторі називається спрямований відрізок, тобто відрізок, в якому зазначені його початок і кінець. Довжиною, або модулем, вектора називається довжина відповідного відрізка. Довжина векторів, позначається відповідно ,. Два вектора називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину і напрямок. Вектор з початком в точці А і кінцем в точці В позначається і зображується стрілкою з початком в точці А і кінцем в точці В. Розглядають також нульові вектори, у яких початок збігається з кінцем. Всі нульові вектори вважаються рівними між собою. Вони позначаються, і їх довжина вважається рівною нулю.

Сума векторів Для векторів визначена операція додавання. Для того щоб скласти два вектора і, вектор відкладають так, щоб його початок збігся з кінцем вектора. Вектор, у якого початок збігається з початком вектора, а кінець - з кінцем вектора, називається сумою векторів і, позначається

Множення вектора на число Твір вектора на число t позначається. За визначенням, Твір вектора на число -1 називається вектором, протилежним і позначається За визначенням, вектор має напрямок, протилежний вектору і Твором вектора на число t називається вектор, довжина якого дорівнює, а напрямок залишається колишнім, якщо t\u003e 0, і змінюється на протилежне, якщо t 0, і змінюється на протилежне, якщо t

Властивості Різницею векторів і називається вектор, який позначається Для множення вектора на число справедливі властивості, аналогічні властивостям множення чисел, а саме: Властивість 1. (сполучний закон). Властивість 2. (перший розподільний закон). Властивість 3. (другий розподільний закон).

визначення

скалярна величина - величина, яка може бути охарактеризована числом. Наприклад, довжина, площа, маса, температура і т.д.

вектором називається спрямований відрізок $ \\ overline (A B) $; точка $ A $ - початок, точка $ B $ - кінець вектора (рис. 1).

Вектор позначається або двома великими літерами - своїм початком і кінцем: $ \\ overline (A B) $ небудь однієї малої буквою: $ \\ overline (a) $.

визначення

Якщо початок і кінець вектора збігаються, то такий вектор називається нульовим. Найчастіше нульовий вектор позначається як $ \\ overline (0) $.

вектори називаються колінеарними, Якщо вони лежать або на одній прямій, або на паралельних прямих (рис. 2).

визначення

Два колінеарних вектора $ \\ overline (a) $ і $ \\ overline (b) $ називаються сонаправленнимі, Якщо їх напрямки збігаються: $ \\ overline (a) \\ uparrow \\ uparrow \\ overline (b) $ (рис. 3, а). Два колінеарних вектора $ \\ overline (a) $ і $ \\ overline (b) $ називаються протилежно спрямованими, Якщо їхні напрямки протилежні: $ \\ overline (a) \\ uparrow \\ downarrow \\ overline (b) $ (рис. 3, б).