Як вважаються дробу. Як вирішувати приклади з дробом. Як знайти різницю дробів з однаковими знаменниками
З дробом учні знайомляться ще в 5 класі. Раніше людей, які вміли робити дії з дробами, вважали дуже розумними. Першою дробом була 1/2, тобто половина, далі з'явилися 1/3 і т.д. Кілька століть приклади вважалися занадто складними. Зараз же розроблені детальні правила по перетворенню дробів, додавання, множення і іншим діям. Досить трохи розібратися в матеріалі, і рішення буде даватися легко.
Звичайна дріб, яку називають простий дробом, записується як поділ двох чисел: m і n.
M - це ділене, тобто чисельник дробу, а дільник n називають знаменником.
Виділяють правильні дроби (m< n) а также неправильные (m > n).
Правильна дріб менше одиниці (наприклад 5/6 - це значить, що від одиниці взято 5 частин; 2/8 - від одиниці взято 2 частини). Неправильна дріб дорівнює або більше 1 (8/7 - одиницею буде 7/7 і плюсом взята ще одна частина).
Так, одиниця, це коли чисельник і знаменник збіглися (3/3, 12/12, 100/100 і інші).
Дії зі звичайними дробами 6 клас
З простими дробами можна проводити наступні дії:
- Розширювати дріб. Якщо помножити верхню і нижню частину дробу на яке-небудь однакове число (тільки не на нуль), то значення дробу не поміняється (3/5 \u003d 6/10 (просто помножили на 2).
- Скорочення дробів - схоже розширення, але тут ділять на якесь число.
- Порівнювати. Якщо у двох дробів чисельники однаковими, то більшою виявиться дріб з меншим знаменником. Якщо однакові знаменники, то більше буде дріб з найбільшим чисельником.
- Виконувати додавання і віднімання. При однакових знаменниках це зробити просто (підсумовуємо верхні частини, а нижня не змінюється). При різних доведеться знайти спільний знаменник і додаткові множники.
- Помножити і розділити дробу.
Приклади дій з дробами розглянемо нижче.
Скорочені дробу 6 клас
Скоротити - значить поділити верхню і нижню частину дробу на яке-небудь однакове число.
На малюнку представлені прості приклади скорочення. У першому варіанті можна відразу здогадатися, що чисельник і знаменник діляться на 2.
На замітку! Якщо число парне, то воно по-любому ділиться на 2. Парні числа - це 2, 4, 6 ... 32 8 (Закінчується на парне) і т. Д.
У другому випадку при діленні 6 на 18 відразу видно, що числа діляться на 2. Розділивши, отримуємо 3/9. Ця дріб ділиться ще на 3. Тоді у відповіді виходить 1/3. Якщо перемножити обидва подільника: 2 на 3, то вийде 6. Виходить, що дріб була розділена на шістку. Таке поступове розподіл називається послідовним скороченням дробу на загальні дільники.
Хтось відразу поділить на 6, комусь знадобиться розподіл частинами. Головне, щоб в кінці залишилася дріб, яку вже ніяк не скоротити.
Відзначимо, що якщо число складається з цифр, при додаванні яких вийде число, що ділиться на 3, то і початкове також можна скоротити на 3. Приклад: число 341. Складаємо цифри: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (8 на 3 не ділиться, значить, число 341 можна скоротити на 3 без залишку). Інший приклад: 264. Складаємо: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (ділиться на 3). Отримуємо: 264: 3 \u003d 88. Це спростить скорочення великих чисел.
Крім методу послідовного скорочення дробу на загальні дільники є й інші способи.
НСД - це найбільший дільник для числа. Знайшовши НСД для знаменника і чисельника, можна відразу скоротити дріб на потрібне число. Пошук здійснюється шляхом поступового поділу кожного числа. Далі дивляться, які подільники збігаються, якщо їх декілька (як на зображенні нижче), то потрібно перемножити.
Змішані дробу 6 клас
Всі неправильні дроби можна перетворити в змішані, виділивши в них цілу частину. Ціле число пишеться зліва.
Часто доводиться з неправильного дробу робити змішане число. Процес перетворення на прикладі нижче: 22/4 \u003d 22 ділимо на 4, отримуємо 5 цілих (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Отримуємо 5 цілих і 2/4 (знаменник не змінюється). Оскільки дріб можна скоротити, то ділимо верхню і нижню частину на 2.
Змішане число легко перетворити в неправильну дріб (це необхідно при розподілі і примноження дробів). Для цього: ціле число помножимо на нижню частину дробу і додамо до цього чисельник. Готово. Знаменник не змінюється.
Обчислення з дробом 6 клас
Змішані числа можна складати. Якщо знаменники однакові, то зробити це просто: складаємо цілі частини і числители, знаменник залишається на місці.
При додаванні чисел з різними знаменниками процес складніше. Спочатку наводимо числа до одного найменшому знаменника (НСЗ).
У прикладі нижче для чисел 9 і 6 знаменником буде 18. Після цього потрібні додаткові множники. Щоб їх знайти, слід 18 розділити на 9, так знаходиться додаткове число - 2. Його множимо на чисельник 4 вийшла дріб 8/18). Те ж саме роблять і з другої дробом. Перетворені дробу вже складаємо (цілі числа і числители окремо, знаменник не змінюємо). У прикладі відповідь довелося перетворити в правильну дріб (спочатку чисельник виявився більше знаменника).
Зверніть увагу, що при різниці дробів алгоритм дій такий же.
При множенні дробів важливо помістити обидві під одну риску. Якщо число змішане, то перетворюємо його в простий дріб. Далі множимо верхню і нижню частини і записуємо відповідь. Якщо видно, що дроби можна скоротити, то скорочуємо відразу.
У зазначеному прикладі скорочувати нічого не довелося, просто записали відповідь і виділили цілу частину.
У цьому прикладі довелося скоротити числа під однією рисою. Хоча скорочувати можна і готову відповідь.
При розподілі алгоритм майже такий же. Спочатку перетворюємо змішану дріб в неправильну, потім записуємо числа під однією рисою, замінивши поділ множенням. Не забуваємо верхню і нижню частину другого дробу поміняти місцями (це правило ділення дробів).
При необхідності скорочуємо числа (в прикладі нижче скоротили на п'ятірку і двійку). Неправильну дріб перетворимо, виділивши цілу частину.
Основні завдання на дробу 6 клас
На відео показано ще кілька завдань. Для наочності використані графічні зображення рішень, які допоможуть наочно уявити дробу.
Приклади множення дробу 6 клас з поясненнями
Перемножуємо дроби записуються під однією лінією. Після цього їх скорочують шляхом ділення на одні й ті ж числа (наприклад, 15 в знаменнику і 5 в чисельнику можна розділити на п'ятірку).
Порівняння дробів 6 клас
Щоб порівняти дроби, потрібно запам'ятати два простих правила.
Правило 1. Якщо знаменники різні
Правило 2. Коли знаменники однакові
Наприклад, порівняємо дробу 7/12 і 2/3.
- Дивимося на знаменники, вони не збігаються. Значить потрібно знайти спільну.
- Для дробів спільним знаменником буде 12.
- Ділимо 12 спочатку на нижню частину першого дробу: 12: 12 \u003d 1 (це доп. Множник для 1-й дробу).
- Тепер 12 ділимо на 3, отримуємо 4 - дод. множник 2-й дробу.
- Множимо отримані цифри на числители, щоб перетворити дробу: 1 х 7 \u003d 7 (перша дріб: 7/12); 4 х 2 \u003d 8 (друга дріб: 8/12).
- Тепер можемо порівнювати: 7/12 і 8/12. Вийшло: 7/12< 8/12.
Щоб представляти дробу краще, можна для наочності використовувати малюнки, де предмет ділиться на частини (наприклад, торт). Якщо потрібно порівняти 4/7 і 2/3, то в першому випадку торт ділять на 7 частин і вибирають 4 з них. У другому - ділять на 3 частини і беруть 2. Неозброєним поглядом буде зрозуміло, що 2/3 буде більше 4/7.
Приклади з дробом 6 клас для тренування
В якості тренування можна виконати наступні завдання.
- Порівняти дроби
- виконати множення
Порада: якщо складно знайти найменший спільний знаменник у дробів (особливо, якщо значення їх невеликі), то можна перемножити знаменник першої і другої дробу. Приклад: 2/8 і 5/9. Знайти їх знаменник просто: 8 множимо на 9, вийде 72.
Рішення рівнянь з дробом 6 клас
У рішенні рівнянь потрібно згадати дії з дробами: множення, ділення, віднімання і додавання. Якщо невідомий один з множників, то твір (підсумок) ділиться на відомий множник, тобто дроби перемножуються (друга перевертається).
Якщо невідомо ділене, то знаменник множиться на дільник, а для пошуку дільника потрібно ділене поділити на приватне.
Уявімо прості приклади розв'язання рівнянь:
Тут потрібно лише провести різницю дробів, не приводячи до спільного знаменника.
Відповідь вийшла у вигляді неправильного дробу. Її можна перетворити в 1 цілу і 3/5.
У другому способі чисельник і знаменник помножили на 4, щоб скоротити нижню частину, а не перевертати знаменник.
Інструкція
Прийнято розділяти звичайні і десяткові дроби, знайомство з якими починається ще в середній школі. В даний немає такої галузі знань, де не застосовувалося б це. Навіть в ми говоримо перша 17 століття, і все відразу, що маються на увазі 1600-1625 роки. Також часто доводиться стикатися з елементарними діями над дробами, а також їх перетворенням з одного виду в інший.
Зведення дробів до спільного знаменника є, мабуть, найбільш важливим дією над звичайними дробами. Це основа проведення абсолютно всіх обчислень. Отже, припустимо є дві дробу a / b і c / d. Тоді, для того щоб привести їх до спільного знаменника, потрібно знайти найменше спільне кратне (М) чисел b і d, і далі помножити чисельник першого дробу на (М / b), а чисельник другого на (M / d).
Порівняння дробів, ще одна важлива задача. Для того щоб це зробити, приведіть задані прості дроби до спільного знаменника і потім порівняйте чисельники, чий чисельник виявиться більше, та дріб і більше.
Для того щоб виконати додавання чи віднімання звичайних дробів, потрібно привести їх до спільного знаменника, а після справити потрібне математичне дію з числителями цих дробів. Знаменник ж залишається без зміни. Припустимо потрібно з a / b відняти c / d. Для цього потрібно знайти найменше спільне кратне M чисел b і d, і після відняти від одного чисельника інший, не змінюючи при цьому знаменник: (a * (M / b) - (c * (M / d)) / M
Досить просто помножити одну дріб на іншу, для цього слід просто перемножити їх чисельники і знаменники:
(A / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Щоб розділити одну дріб на іншу, потрібно дріб діленого помножити на дріб зворотну дільнику. (A / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
Коштувати нагадати, що для того щоб отримати зворотній дріб, потрібно чисельник і знаменник поміняти місцями.
Щоб скласти 2 дроби з однаковими знаменниками, Необхідно скласти їх чисельники, а знаменникизалишити без змін.додавання дробів, приклади:
Загальна формула для складання звичайних дробів і віднімання дробів з однаковими знаменниками:
Зверніть увагу! Перевірте чи не можна скоротити дріб, яку ви отримали, записуючи відповідь.
Додавання дробів з різними знаменниками.
Правила складання дробів з різними знаменниками:
- наводимо дроби до найменшого спільного знаменника (НСЗ). Для цього знаходимо найменше спільне кратне (НОК) знаменників;
- складаємо числители дробів, а знаменники залишаємо не змінюючи;
- скорочуємо дріб, яку отримали;
- якщо отримали неправильна дріб - перетворюємо неправильну дріб в змішану дріб.
приклади складання дробів з різними знаменниками:
Додавання мішаних чисел (змішаних дробів).
Правила складання змішаних дробів:
- наводимо дробові частини цих чисел до найменшого спільного знаменника (НСЗ);
- окремо складаємо цілі частини і окремо дробові частини, складаємо результати;
- якщо при додаванні дрібних частин отримали неправильну дріб, виділяємо цілу частину з цієї дроби і додаємо її до отриманої цілої частини;
- скорочуємо отриману дріб.
приклад складання змішаної дробу:
Додавання десяткових дробів.
При додаванні десяткових дробів процес записують «стовпчиком» (як звичайне множення стовпчиком),так щоб однойменні розряди знаходилися один під одним без зміщення. коми обов'язкововирівнюємо чітко один під одним.
Правила складання десяткових дробів:
1. Якщо потрібно, зрівнює кількість знаків після коми. Для цього додаємо нулі донеобхідної дробу.
2. Записуємо дробу так, щоб коми знаходилися один під одним.
3. Складаємо дробу, не звертаючи уваги на кому.
4. Ставимо кому в сумі під запитом, дробів, які складаємо.
Зверніть увагу! Коли у заданих десяткових дробів різну кількість знаків (цифр) після коми,то до дробу, у якої менше десяткових знаків приписуємо потрібну кількість нулів, для рівняння вдробах кількість знаків після коми.
розберемося на прикладі. Знайти суму десяткових дробів:
0,678 + 13,7 =
Зрівнює число знаків після коми в десяткових дробах. Дописуємо 2 нуля справа до десятковогодроби 13,7 .
0,678 + 13,700 =
записуємо відповідь:
0,678 + 13,7 = 14,378
якщо складання десяткових дробів ви освоїли досить добре, то відсутні нулі можна дописуватив розумі.
Дана стаття починає вивчення дій з алгебраїчними дробами: розглянемо докладно такі дії як додавання і віднімання алгебраїчних дробів. Розберемо схему додавання і віднімання алгебраїчних дробів як з однаковими знаменниками, так і з різними. Вивчимо, як скласти алгебраїчну дріб з многочленом і як зробити їх віднімання. На конкретних прикладах пояснимо кожен крок пошуку вирішення завдань.
Дії додавання і віднімання при однакових знаменниках
Схема складання звичайних дробів застосовна і для алгебраїчних. Ми знаємо, що при додаванні або відніманні звичайних дробів з однаковими знаменниками необхідно скласти або відняти їх чисельники, а знаменник залишається вихідним.
Наприклад: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 і 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.
Відповідно аналогічним чином записується правило додавання і віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками:
визначення 1
Щоб здійснити додавання чи віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками, потрібно відповідно скласти або відняти числители вихідних дробів, а знаменник записати без змін.
Дане правило дає можливість зробити висновок, що результат додавання або віднімання алгебраїчних дробів - нова алгебраїчна дріб (в окремому випадку: многочлен, одночлен або число).
Зазначимо приклад застосування сформульованого правила.
приклад 1
Задані алгебраїчні дроби: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 і 3 - x · y x 2 · y - 2. Необхідно здійснити їх складання.
Рішення
Вихідні дробу містять однакові знаменники. Згідно з правилом, виконаємо додавання числителей заданих дробів, а знаменник залишимо незмінним.
Склавши многочлени, які є числителями вихідних дробів, отримаємо: x 2 + 2 · x · y - 5 + 3 - x · y \u003d x 2 + (2 · x · y - x · y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x · y - 2.
Тоді шукана сума буде записана як: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
У практиці, як у багатьох випадках, рішення наводиться ланцюжком рівності, наочно показує всі етапи рішення:
x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · yx 2 · y - 2 \u003d x 2 + 2 · x · y - 5 + 3 - x · yx 2 · y - 2 \u003d x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2
відповідь: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 \u003d x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
Результатом додавання або віднімання може стати скоротна дріб, в цьому випадку оптимально її скоротити.
приклад 2
Необхідно вилучити з алгебри дробу x x 2 - 4 · y 2 дріб 2 · y x 2 - 4 · y 2.
Рішення
Знаменники вихідних дробів рівні. Зробимо дії з числителями, а саме: віднімемо з чисельника першого дробу чисельник другого, після чого запишемо результат, залишаючи знаменник незмінним:
x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 \u003d x - 2 · y x 2 - 4 · y 2
Ми бачимо, що отримана дріб - скоротна. Здійснимо її скорочення, перетворивши знаменник за допомогою формули різниці квадратів:
x - 2 · y x 2 - 4 · y 2 \u003d x - 2 · y (x - 2 · y) · (x + 2 · y) \u003d 1 x + 2 · y
відповідь: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 \u003d 1 x + 2 · y.
За таким же принципом складаються або віднімаються три і більше алгебраїчних дробів при однакових знаменниках. Наприклад:
1 x 5 + 2 · x 3 - 1 + 3 · x - x 4 x 5 + 2 · x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 · x 3 - 1 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1 \u003d 1 + 3 · x - x 4 - x 2 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1
Дії додавання і віднімання при різних знаменниках
Знову звернемося до схеми дій з звичайними дробами: щоб виконати додавання чи віднімання звичайних дробів з різними знаменниками, необхідно привести їх до спільного знаменника, а потім скласти отримані дробу з однаковими знаменниками.
Наприклад, 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 або 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.
Так само за аналогією сформулюємо правило додавання і віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:
визначення 2
Щоб здійснити додавання чи віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, необхідно:
- вихідні дробу привести до спільного знаменника;
- виконати додавання чи віднімання отриманих дробів з однаковими знаменниками.
Очевидно, що ключовим тут буде навик приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника. Розберемо докладніше.
Приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника
Щоб привести алгебраїчні дроби до спільного знаменника, необхідно здійснити тотожне перетворення заданих дробів, в результаті якого знаменники вихідних дробів стають однаковими. Тут оптимально діяти за таким алгоритмом приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника:
- спочатку визначаємо загальний знаменник алгебраїчних дробів;
- потім знаходимо додаткові множники для кожного з дробів, розділивши загальний знаменник на знаменники вихідних дробів;
- останньою дією числители і знаменники заданих алгебраїчних дробів множаться на відповідні додаткові множники.
Задані алгебраїчні дроби: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2, a + 3 3 · a 2 - 6 · a і a +1 4 · a 5 - 16 · a 3. Необхідно привести їх до спільного знаменника.
Рішення
Діємо за вказаною вище алгоритмом. Визначимо загальний знаменник вихідних дробів. З цією метою розкладемо знаменники заданих дробів на множники: 2 · a 3 - 4 · a 2 \u003d 2 · a 2 · (a - 2), 3 · a 2 - 6 · a \u003d 3 · a · (a - 2) і 4 · a 5 - 16 · a 3 \u003d 4 · a 3 · (a - 2) · (a + 2). Звідси можемо записати спільний знаменник: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2).
Тепер нам належить знайти додаткові множники. Розділимо, згідно з алгоритмом, знайдений загальний знаменник на знаменники вихідних дробів:
- для першого дробу: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2): (2 · a 2 · (a - 2)) \u003d 6 · a · (a + 2);
- для другого дробу: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2): (3 · a · (a - 2)) \u003d 4 · a 2 · (a + 2);
- для третьої дробу: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2): (4 · a 3 · (a - 2) · (a + 2)) \u003d 3 .
Наступний крок - множення числителей і знаменників заданих дробів на знайдені додаткові множники:
a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 \u003d (a + 2) · 6 · a · (a + 2) (2 · a 3 - 4 · a 2) · 6 · a · (a + 2) \u003d 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) a + 3 3 · a 2 - 6 · a \u003d (a + 3) · 4 · a 2 · ( a + 2) 3 · a 2 - 6 · a · 4 · a 2 · (a + 2) \u003d 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 \u003d (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 \u003d 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2)
відповідь: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 \u003d 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2); a + 3 3 · a 2 - 6 · a \u003d 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2); a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 \u003d 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2).
Так, ми привели вихідні дроби до спільного знаменника. У разі необхідності далі можна перетворити отриманий результат в вид алгебраїчних дробів, здійснивши множення многочленів і одночленним в чисельнику і знаменниках.
Уточнимо також такий момент: знайдений загальний знаменник оптимально залишати у вигляді твору на випадок необхідності скоротити кінцеву дріб.
Ми розглянули детально схему приведення вихідних алгебраїчних дробів до спільного знаменника, тепер можемо приступити до розбору прикладів на додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.
приклад 4
Задані алгебраїчні дроби: 1 - 2 · x x 2 + x і 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2. Необхідно здійснити дію їх складання.
Рішення
Вихідні дроби мають різні знаменники, тому першою дією наведемо їх до спільного знаменника. Розкладаємо знаменники на множники: x 2 + x \u003d x · (x + 1), а x 2 + 3 · x + 2 \u003d (x + 1) · (x + 2),тому коріння квадратного тричлена x 2 + 3 · x + 2 це числа: - 1 і - 2. Визначаємо загальний знаменник: x · (x + 1) · (x + 2), Тоді додаткові множники будуть: x + 2і - xдля першої і другої дробів відповідно.
Таким чином: 1 - 2 · xx 2 + x \u003d 1 - 2 · xx · (x + 1) \u003d (1 - 2 · x) · (x + 2) x · (x + 1) · (x + 2) \u003d x + 2 - 2 · x 2 - 4 · xx · (x + 1) · x + 2 \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) і 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x \u003d 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2)
Тепер складемо дробу, які ми привели до спільного знаменника:
2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · 2 · xx · (x + 1) · (x + 2)
Отриману дріб можливо скоротити на загальний множник x + 1:
2 + 2 · x x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · (x + 1) x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 x · (x + 2)
І, наостанок, отриманий результат запишемо в вигляді алгебраїчної дробу, замінивши твір в знаменнику многочленом:
2 x · (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 · x
Запишемо хід рішення коротко у вигляді ланцюжка рівностей:
1 - 2 · xx 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 1 - 2 · xx · (x + 1) + 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2 ) \u003d \u003d 1 - 2 · x · (x + 2) x · x + 1 · x + 2 + 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · x + 1 x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 x · (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 · x
відповідь: 1 - 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 · x
Зверніть увагу ще на таку деталь: перед тим, як алгебраїчні дроби скласти або відняти, при наявності можливості їх бажано перетворити з метою спрощення.
приклад 5
Необхідно здійснити віднімання дробів: 2 1 1 3 · x - 2 21 і 3 · x - 1 + 1 7 - 2 · x.
Рішення
Перетворимо вихідні алгебраїчні дроби для спрощення подальшого вирішення. Винесемо за дужки числові коефіцієнти змінних в знаменнику:
2 1 1 3 · x - 2 21 \u003d 2 4 3 · x - 2 21 \u003d 2 4 3 · x - 1 14 і 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14
Дане перетворення однозначно дало нам користь: ми явно бачимо наявність загального множника.
Позбудемося взагалі від числових коефіцієнтів в знаменниках. Для цього використовуємо основну властивість алгебраїчних дробів: чисельник і знаменник першого дробу помножимо на 3, 4, а другий на - 1, 2, тоді отримаємо:
2 4 3 · x - 1 14 \u003d 3 4 · 2 3 4 · 4 3 · x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 і 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14 \u003d - 1 2 · 3 · x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 \u003d - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14.
Зробимо дію, яке нам дозволить позбутися від дрібних коефіцієнтів: помножимо отримані дробу на 14:
3 2 x - 1 14 \u003d 14 • 3 2 14 · x - 1 14 \u003d 21 14 · x - 1 і - 3 2 × x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 · - 3 2 × x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 · x + 7 14 · x - 1.
Нарешті, виконаємо необхідну в умові завдання дію - віднімання:
2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 21 14 · x - 1 - - 21 · x + 7 14 · x - 1 \u003d 21 - - 21 · x + 7 14 · x - 1 \u003d 21 · x + 14 14 · x - 1
відповідь: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 21 · x + 14 14 · x - 1.
Додавання і віднімання алгебраїчних дроби і многочлена
Дана дія зводиться також до складання або віднімання алгебраїчних дробів: необхідно представити вихідний многочлен як дріб зі знаменником 1.
приклад 6
Необхідно провести складання многочлена x 2 - 3 з алгебри дробом 3 · x x + 2.
Рішення
Запишемо поліном як алгебраїчну дріб зі знаменником 1: x 2 - 3 1
Тепер можемо виконати додавання за правилом додавання дробів з різними знаменниками:
x 2 - 3 + 3 · xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 · xx + 2 \u003d x 2 - 3 · (x + 2) 1 · x + 2 + 3 · xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · xx + 2 \u003d x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2
відповідь: x 2 - 3 + 3 · x x + 2 \u003d x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter
Наступна дія, яке можна виконувати з звичайними дробами, - віднімання. В рамках цього матеріалу ми розглянемо, як правильно обчислити різницю дробів з однаковими і різними знаменниками, як відняти дріб з натурального числа і навпаки. Всі приклади будуть проілюстровані завданнями. Заздалегідь уточнимо, що ми будемо розбирати лише випадки, коли різниця дробів дає в підсумку позитивне число.
Як знайти різницю дробів з однаковими знаменниками
Почнемо відразу з наочного прикладу: припустимо, у нас є яблуко, яке розділили на вісім частин. Залишимо п'ять частин на тарілці і заберемо дві з них. Цю дію можна записати так:
В результаті у нас залишилося 3 восьмих частки, оскільки 5 - 2 \u003d 3. Виходить, що 5 8 - 2 8 \u003d 3 8.
Завдяки цьому простому наприклад ми побачили, як саме працює правило віднімання для дробів, знаменники яких однакові. Сформулюємо його.
визначення 1
Щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, потрібно з чисельника однієї відняти чисельник другого, а знаменник залишити колишнім. Це правило можна записати у вигляді a b - c b \u003d a - c b.
Таку формулу ми будемо використовувати і надалі.
Візьмемо конкретні приклади.
приклад 1
Відніміть з дробу 24 15 звичайну дріб 17 15.
Рішення
Ми бачимо, що ці дроби мають однакові знаменники. Тому все, що нам потрібно зробити, - це відняти 17 з 24. Ми отримуємо 7 і дописуємо до неї знаменник, отримуємо 7 15.
Наші підрахунки можна записати так: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Якщо необхідно, можна скоротити складну дріб або виділити цілу частину з неправильною, щоб вважати було зручніше.
приклад 2
Знайдіть різницю 37 12 - 15 12.
Рішення
Скористаємося описаної вище формулою і підрахуємо: 37 12 - 15 12 \u003d 37 - 15 12 \u003d 22 12
Легко помітити, що чисельник і знаменник можна розділити на 2 (про це ми вже говорили раніше, коли розбирали ознаки подільності). Скоротивши відповідь, отримаємо 11 6. Це неправильна дріб, з якої ми виділимо цілу частину: 11, 6 \u003d 1 5 6.
Як знайти різницю дробів з різними знаменниками
Таке математичне дію можна звести до того, що ми вже описували вище. Для цього просто наведемо потрібні дроби до одного знаменника. Сформулюємо визначення:
визначення 2
Щоб знайти різницю дробів, у яких різні знаменники, необхідно привести їх до одного знаменника і знайти різницю числителей.
Розглянемо на прикладі, як це робиться.
приклад 3
Відніміть з 2 9 дріб 1 15.
Рішення
Знаменники різні, і потрібно привести їх до найменшого спільного значенням. В даному випадку НОК одно 45. Для першого дробу необхідний додатковий множник 5, а для другої - 3.
Підрахуємо: 2 9 \u003d 2 · 5 9 · 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 · 3 15 · 3 \u003d 3 45
У нас вийшли дві дробу з однаковим знаменником, і тепер ми легко можемо знайти їх різницю за описаним раніше алгоритмом: 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45
Короткий запис вирішення виглядає так: 2 9 посилання - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Не варто нехтувати скороченням результату або виділенням з нього цілої частини, якщо це необхідно. В даному прикладі нам цього не потрібно робити.
приклад 4
Знайдіть різницю 19 9 - 7 36.
Рішення
Наведемо зазначені в умові дроби до найменшого спільного знаменника 36 і отримаємо відповідно 76 9 і 7 36.
Вважаємо відповідь: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Результат можна скоротити на 3 та отримати 23 12. Чисельник більше знаменника, а значить, ми можемо виділити цілу частину. Підсумковий відповідь посилання - 1 11 12.
Короткий запис всього рішення - 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
Як відняти від звичайного дробу натуральне число
Така дія також легко звести до простого віднімання звичайних дробів. Це можна зробити, представивши натуральне число у вигляді дробу. Покажемо на прикладі.
приклад 5
Знайдіть різницю 83 21 - 3.
Рішення
3 - те ж саме, що і 3 Розділ 1. Тоді можна підрахувати так: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Якщо в умові необхідно відняти ціле число з неправильного дробу, зручніше спочатку виділити з неї ціле, записавши її у вигляді змішаного числа. Тоді попередній приклад можна вирішити інакше.
З дробу 83 21 при виділенні цілої частини вийде 83 21 \u003d 3 20 21.
Тепер просто віднімемо 3 з нього: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.
Як відняти звичайну дріб з натурального числа
Ця дія робиться аналогічно попередньому: ми переписуємо натуральне число у вигляді дробу, наводимо обидві до єдиного знаменника і знаходимо різницю. Проілюструємо це прикладом.
приклад 6
Знайдіть різницю: 7 - 5 3.
Рішення
Зробимо 7 дробом 7 1. Робимо віднімання і перетворимо кінцевий результат, виділяючи з нього цілу частину: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.
Є й інший спосіб провести розрахунки. Він володіє деякими перевагами, якими можна скористатися в тих випадках, якщо числители і знаменники дробів в завданню - великі числа.
визначення 3
Якщо та дріб, яку потрібно відняти, є правильною, то натуральне число, з якого ми віднімаємо, потрібно представити у вигляді суми двох чисел, одне з яких дорівнює 1. Після цього потрібно відняти потрібну дріб з одиниці і отримати відповідь.
приклад 7
Обчисліть різницю 1 065 - 13 62.
Рішення
Дріб, яку потрібно відняти - правильна, адже її чисельник менше знаменника. Тому нам потрібно відняти одиницю від 1065 та відняти від неї потрібну дріб: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Тепер нам потрібно знайти відповідь. Використовуючи властивості віднімання, отриманий вираз можна записати як 1064 + 1 - 13 62. Підрахуємо різницю в дужках. Для цього одиницю представимо як дріб 1 + 1.
Виходить, що 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Тепер згадаємо про 1064 та сформулюємо відповідь: 1064 Отримати 49 62.
Використовуємо старий спосіб, щоб довести, що він менш зручний. Ось такі обчислення вийшли б у нас:
1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 · 62 1 · 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
Відповідь та сама, але підрахунки, очевидно, більш громіздкі.
Ми розглянули випадок, коли потрібно відняти правильну дріб. Якщо вона неправильна, ми замінюємо її змішаним числом і виробляємо віднімання по знайомим правилами.
приклад 8
Обчисліть різницю 644 - 73 5.
Рішення
Друга дріб - неправильна, і від неї треба відокремити цілу частину.
Тепер обчислюємо аналогічно до попереднього прикладу: 630 - 3 +5 \u003d (629 + 1) - 3 +5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
Властивості віднімання при роботі з дробами
Ті властивості, якими володіє віднімання натуральних чисел, поширюються і на випадки віднімання звичайних дробів. Розглянемо, як використовувати їх при вирішенні прикладів.
приклад 9
Знайдіть різницю 24 4 - 3 2 - 5 6.
Рішення
Схожі приклади ми вже вирішували, коли розбирали віднімання суми з числа, тому діємо за вже відомим алгоритмом. Спочатку підрахуємо різниця 25 4 - 3 2, а потім віднімемо від неї останню дріб:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Перетворимо відповідь, виділивши з нього цілу частину. Підсумок - Перша 3 11 12.
Короткий запис всього рішення:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Якщо у виразі присутні і дробу, і натуральні числа, то рекомендується при підрахунках згрупувати їх за типами.
приклад 10
Н айдіте різниця 98 + 17 20 - 5 +3 5.
Рішення
Знаючи основні властивості віднімання та додавання, ми можемо згрупувати числа наступним чином: 98 + 17 20 - 5 +3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Завершимо розрахунки: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter