Як знайти площу фігури?

Знати і вміти розраховувати площі різних фігур необхідно не тільки для вирішення простих геометричних задач. Не обійтися без цих знань і при складанні або перевірці кошторисів на ремонт приміщень, розрахунку кількості необхідних витратних матеріалів. Тому давайте розберемося, як знаходити площі різних фігур.

Частина площини, укладена всередині замкнутого контуру, називається площею цій площині. Виражається площа кількістю укладених в ній квадратних одиниць.

Щоб обчислити площу основних геометричних фігур, необхідно використовувати правильну формулу.

Площа трикутника

позначення:

1. Якщо відомі h, a, то площа шуканого трикутника визначається як добуток довжин сторони і висоти трикутника, опущеною до цієї сторони, розділене навпіл: S \u003d (a · h) / 2
2. Якщо відомі a, b, c, то шукана площа розраховується за формулою Герона: корінь квадратний, взятий з твору половини периметра трикутника і трьох різниць половини периметра і кожної сторони трикутника: S \u003d √ (p · (p - a) · (p - b) · (p - c)).
3. Якщо відомі a, b, γ, то площа трикутника визначається як половина твори 2-х сторін, помножена на значення синуса кута між цими сторонами: S \u003d (a · b · sin γ) / 2
4. Якщо відомі a, b, c, R, то шукана площа визначається як поділ праці довжин всіх сторін трикутника на чотири радіусу описаного кола: S \u003d (a · b · c) / 4R
5. Якщо відомі p, r, то шукана площа трикутника визначається множенням половини периметра на радіус вписаного в нього кола: S \u003d p · r

Площа квадрата

позначення:

1. Якщо відома сторона, то площа цієї фігури визначається як квадрат довжини його сторони: S \u003d a 2
2. Якщо відома d, то площа квадрата визначається як половина квадрата довжини його діагоналі: S \u003d d 2/2

Площа прямокутника

позначення:

• S - обумовлена \u200b\u200bплоща,
• a, b - довжини сторін прямокутника.

1. Якщо відомі a, b, то площа даного прямокутника визначається твором довжин двох його сторін: S \u003d a · b
2. Якщо довжини сторін невідомі, то площа прямокутника потрібно розбити на трикутники. У цьому випадку площа прямокутника визначається як сума площ складових його трикутників.

Площа паралелограма

позначення:

• S - шукана площа,
• a, b - довжини сторін,
• h - довжина висоти даного паралелограма,
• d1, d2 - довжини двох діагоналей,
• α - кут, що знаходиться між сторонами,
• γ - кут, що знаходиться між діагоналями.

1. Якщо відомі a, h, то шукана площа визначається перемножением довжин сторони і висоти, опущеної на цю сторону: S \u003d a · h
2. Якщо відомі a, b, α, то площа паралелограма визначається перемножением довжин сторін паралелограма і значення синуса кута між цими сторонами: S \u003d a · b · sin α
3. Якщо відомі d 1, d 2, γ то площа паралелограма визначається як половина твори довжин діагоналей і значення синуса кута між цими діагоналями: S \u003d (d 1 · d 2 · sinγ) / 2

Площа ромба

позначення:

• S - шукана площа,
• a - довжина сторони,
• h - довжина висоти,
• α - менший кут між двома сторонами,
• d1, d2 - довжини двох діагоналей.

1. Якщо відомі a, h, то площа ромба визначається множенням довжини сторони на довжину висоти, яка опущена на цю сторону: S \u003d a · h
2. Якщо відомі a, α, то площа ромба визначається перемножением квадрата довжини сторони на синус кута між сторонами: S \u003d a 2 · sin α
3. Якщо відомі d 1 і d 2, то шукана площа визначається як половина твори довжин діагоналей ромба: S \u003d (d 1 · d 2) / 2

Площа трапеції

позначення:

1. Якщо відомі a, b, c, d, то шукана площа визначається за формулою: S \u003d (a + b) / 2 * √.
2. При відомих a, b, h, шукана площа визначається як добуток половини суми підстав і висоти трапеції: S \u003d (a + b) / 2 · h

Площа опуклого чотирикутника

позначення:

1. Якщо відомі d 1, d 2, α, то площа опуклого чотирикутника визначається як половина твори діагоналей чотирикутника, помножена на величину синуса кута між цими діагоналями: S \u003d (d 1 · d 2 · sin α) / 2
2. При відомих p, r площа опуклого чотирикутника визначається як добуток напівпериметр чотирикутника на радіус кола, вписаного в цей чотирикутник: S \u003d p · r
3. Якщо відомі a, b, c, d, θ, то площа опуклого чотирикутника визначається як корінь квадратний з творів різниці напівпериметр і довжини кожної сторони за мінусом твори довжин всіх сторін і квадрата косинуса половини суми двох протилежних кутів: S 2 \u003d (p - a ) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd · cos 2 ((α + β) / 2)

Площа кола

позначення:

Якщо відомий r, то шукана площа визначається як добуток числа π на радіус в квадраті: S \u003d π r 2

Якщо відома d, то площа кола визначається як добуток числа π на квадрат діаметра, поділене на чотири: S \u003d (π · d 2) / 4

Площа складної фігури

Складну можна розбити на прості геометричні фігури. Площа складної фігури визначається як сума або різниця складових площ. Розглянемо, наприклад, кільце.

позначення:

• S - площа кільця,
• R, r - радіуси зовнішньої окружності і внутрішньої відповідно,
• D, d - діаметри зовнішньої окружності і внутрішньої відповідно.

Для того щоб знайти площу кільця, треба з площі більшого кола відняти площу меншого кола. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

Таким чином, якщо відомі R і r, то площа кільця визначається як різниця квадратів радіусів зовнішньої і внутрішньої кіл, помножена на число пі: S \u003d π (R 2 -r 2).

Якщо відомі D і d, то площа кільця визначається як чверть різниці квадратів діаметрів зовнішньої і внутрішньої кіл, помножена на число пі: S \u003d (1/4) (D 2 -d 2) π.

Площа зафарбованою фігури

Припустимо, що всередині одного квадрата (А) знаходиться інший (Б) (меншого розміру), і нам потрібно знайти зафарбовані порожнину між фігурами "А" і "Б". Скажімо так, "рамку" маленького квадрата. Для цього:

1. Знаходимо площа фігури "А" (обчислюється за формулою знаходження площі квадрата).
2. Аналогічним чином знаходимо площа фігури "Б".
3. Віднімаємо з площі "А" площа "Б". І таким чином отримуємо площа зафарбованою фігури.

Тепер ви знаєте, як знаходити площі різних фігур.

Щоб вирішити завдання з геометрії, треба знати формули - такі, як площа трикутника або площа паралелограма - а також прості прийоми, про які ми розповімо.

Для початку вивчимо формули площ фігур. Ми спеціально зібрали їх в зручну таблицю. Роздрукуйте, вивчіть і застосовуйте!

Звичайно, не всі формули з геометрії є в нашій таблиці. Наприклад, для вирішення завдань з геометрії і стереометрії у другій частині профільного ЄДІ з математики застосовуються і інші формули площі трикутника. Про них ми обов'язково розповімо.

А що робити, якщо треба знайти не площа трапеції або трикутника, а площа будь-якої складної фігури? Є універсальні способи! Покажемо їх на прикладах з банку завдань ФІПІ.

1. Як знайти площу нестандартної фігури? Наприклад, довільного чотирикутника? Простий прийом - розіб'ємо цю фігуру на такі, про яких ми все знаємо, і знайдемо її площа - як суму площ цих фігур.

Розділимо цей чотирикутник горизонтальною лінією на два трикутника із загальним підставою, рівним. Висоти цих трикутників рівні і. Тоді площа чотирикутника дорівнює сумі площ двох трикутників:.

Відповідь:.

2. У деяких випадках площа фігури можна подати як різницю будь-яких площ.

Не так-то просто порахувати, чому дорівнюють підставу і висота в цьому трикутнику! Зате ми можемо сказати, що його площа дорівнює різниці площ квадрата зі стороною і трьох прямокутних трикутників. Бачите їх на малюнку? Отримуємо:.

Відповідь:.

3. Іноді в завданні треба знайти площу не всієї фігури, а її частини. Зазвичай мова тут йде про площу сектора - частини круга.Найдіте площа сектора кола радіуса, довжина дуги якого дорівнює .

На цьому малюнку ми бачимо частина кола. Площа всього кола дорівнює, так як. Залишається дізнатися, яка частина кола зображена. Оскільки довжина всьому колу дорівнює (так як), а довжина дуги даного сектора дорівнює , Отже, довжина дуги в раз менше, ніж довжина всьому колу. Кут, на який спирається ця дуга, також в раз менше, ніж повне коло (тобто градусів). Значить, і площа сектора буде в раз менше, ніж площа всього кола.

Існує нескінченна кількість плоских фігур самої різної форми, як правильних, так і неправильних. Загальна властивість всіх фігур - будь-яка з них має площу. Площі фігур - це розміри частини площині, займаної цими фігурами, виражені в певних одиницях. Величина ця завжди буває виражена позитивним числом. Одиницею вимірювання служить площа квадрата, чия сторона дорівнює одиниці довжини (наприклад, одному метру або одному сантиметру). Приблизне значення площі будь-якої фігури можна обчислити, помноживши кількість одиничних квадратів, на які вона розбита, на площу одного квадрата.

Інші визначення даного поняття виглядають наступним чином:

1. Площі простих фігур - скалярні позитивні величини, що задовольняють умовам:

У рівних фігур - рівні величини площ;

Якщо фігура ділиться на частини (прості фігури), то її площа - сума площ даних фігур;

Квадрат, який має стороною одиницю виміру, служить одиницею площі.

2. Площі фігур складної форми (багатокутників) - позитивні величини, які мають властивості:

У рівних багатокутників - однакові величини площ;

У разі, якщо багатокутник становлять кілька інших багатокутників, його площа дорівнює сумі площ останніх. Це правило справедливо для неперекривающіхся багатокутників.

Як аксіоми прийнято твердження, що площі фігур (багатокутників) - позитивні величини.

Визначення площі кола дається окремо як величини, до якої прагне площа вписаного в коло даного кола - при тому, що число його сторін прагне до нескінченності.

Площі фігур неправильної форми (довільних фігур) не мають визначення, визначаються лише способи їх обчислення.

Обчислення площ вже в давнину було важливим практичним завданням при визначенні розмірів земельних ділянок. Правила обчислення площ за кілька сотень років були сформульовані грецькими вченими і викладені в «Засадах» Евкліда як теореми. Цікаво, що правила визначення площ простих фігур в них - ті ж, що і в даний час. Площі мають криволінійний контур, розраховувалися із застосуванням граничного переходу.

Обчислення площ простих прямокутника, квадрата), знайомих всім зі шкільної лави, досить просто. Необов'язково навіть запам'ятовувати містять літерні позначення формули площ фігур. Досить пам'ятати кілька простих правил:

2. Площа прямокутника обчислюється множенням його довжини на ширину. При цьому необхідно, щоб довжина і ширина були виражені в одних і тих же одиницях виміру.

3. Площа складної фігури обчислюємо, розділивши її на кілька простих і склавши отримані площі.

4. Діагональ прямокутника ділить його на два трикутники, чиї площі рівні і дорівнюють половині його площі.

5. Площа трикутника обчислюється як половина твори його висоти і підстави.

6. Площа кола дорівнює добутку квадрата радіуса на всім відоме число «π».

7. Площа паралелограма обчислюємо як твір суміжних сторін і синуса лежачого між ними кута.

8. Площа ромба - ½ результату множення діагоналей на синус внутрішнього кута.

9. Площа трапеції знаходимо множенням її висоти на довжину середньої лінії, яка дорівнює середньому арифметичному підстав. Інший варіант визначення площі трапеції - перемножити її діагоналі і синус лежить між ними кута.

Дітям в початковій школі для наочності часто даються завдання: знайти площу намальованої на папері фігури за допомогою палетки або листа прозорого паперу, розграфленій на клітинки. Такий лист паперу накладається на вимірювану фігуру, вважається число повних клітин (одиниць площі), помістилися в її контурі, потім число неповних, яке ділиться навпіл.

Знання про те, як виміряти Землю, з'явилися ще в давнину і поступово оформилися в науку геометрію. З грецької мови це слово так і перекладається - «землемір».

Мірою довжини плоского ділянки Землі по довжині і ширині є площа. В математиці вона зазвичай позначається латинською буквою S (від англ. «Square» - «площа», «квадрат») або грецькою буквою σ (сигма). S позначає площа фігури на площині або площа поверхні тіла, а σ - площа поперечного перерізу проводу в фізиці. Це основні символи, хоча можуть бути і інші, наприклад, в сфері опору матеріалів, А - площа перерізу профілю.

Вконтакте

формули розрахунку

Знаючи площі простих фігур, можна знаходити параметри більш складних. Античними математиками були виведені формули, за якими можна легко їх обчислювати. Такими особами є трикутник, чотирикутник, багатокутник, коло.

Щоб знайти площу складної плоскої фігури, її розбивають на безліч простих фігур, таких як трикутники, трапеції або прямокутники. Потім математичними методами виводять формулу для площі цієї фігури. Подібний метод використовують не тільки в геометрії, а й в математичному аналізі для обчислення площ фігур, обмежених кривими.

трикутник

Почнемо з найпростішої фігури - трикутника. Вони бувають прямокутні, рівнобедрені і равносторонние. Візьмемо будь-який трикутник ABC зі сторонами AB \u003d a, BC \u003d b і AC \u003d c (Δ ABC). Щоб знайти його площа, згадаємо відомі зі шкільного курсу математики теореми синусів і косинусів. Відпускаючи все викладки, прийдемо до наступних формулах:

• S \u003d √ - відома всім формула Герона, де p \u003d (a + b + c) / 2 - напівпериметр трикутника;
• S \u003d a h / 2, де h - висота, опущена на сторону a;
• S \u003d a b (sin γ) / 2, де γ - кут між сторонами a і b;
• S \u003d a b / 2, якщо Δ ABC - прямокутний (тут a і b - катети);
• S \u003d b² (sin (2 β)) / 2, якщо Δ ABC - рівнобедрений (тут b - одне з «стегон», β - кут між «стегнами» трикутника);
• S \u003d a² √¾, якщо Δ ABC - рівносторонній (тут a - сторона трикутника).

чотирикутник

Нехай є чотирикутник ABCD, у якого AB \u003d a, BC \u003d b, CD \u003d c, AD \u003d d. Щоб знайти площу S довільного 4-кутника, потрібно розділити його діагоналлю на два трикутника, площі яких S1 і S2 в загальному випадку не рівні.

Потім за формулами обчислити їх і скласти, т. Е. S \u003d S1 + S2. Однак, якщо 4-кутник належить до певного класу, то його площа можна знайти по заздалегідь відомим формулами:

• S \u003d (a + c) h / 2 \u003d e h, якщо 4-кутник - трапеція (тут a і c - підстави, e - середня лінія трапеції, h - висота, опущена на одну з підстав трапеції;
• S \u003d a h \u003d a b sin φ \u003d d1 d2 (sin φ) / 2, якщо ABCD - паралелограм (тут φ - кут між сторонами a і b, h - висота, опущена на сторону a, d1 і d2 - діагоналі);
• S \u003d a b \u003d d² / 2, якщо ABCD - прямокутник (d - діагональ);
• S \u003d a² sin φ \u003d P² (sin φ) / 16 \u003d d1 d2 / 2, якщо ABCD - ромб (a - сторона ромба, φ - один з його кутів, P - периметр);
• S \u003d a² \u003d P² / 16 \u003d d² / 2, якщо ABCD - квадрат.

багатокутник

Щоб знайти площу n-кутника, математики розбивають його на найпростіші рівні фігури -треугольнікі, знаходять площа кожного з них і потім складають. Але якщо багатокутник ставиться до класу правильних, то використовують формулу:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, де n - кількість вершин (або сторін) багатокутника, a - сторона n-кутника, P - його периметр, h - апофема, т. Е. Відрізок, проведений з центру багатокутника до однієї з його сторін під кутом 90 °.

коло

Коло - це досконалий багатокутник, що має нескінченне число сторін. Нам необхідно обчислити межа вираження справа у формулі площі багатокутника при числі сторін n, який прагне до нескінченності. В цьому випадку периметр багатокутника перетвориться в довжину окружності радіуса R, яка буде межею нашого кола, і стане дорівнює P \u003d 2 π R. Підставами цей вислів в зазначену вище формулу. Ми отримаємо:

S \u003d (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

Знайдемо межа цього виразу при n → ∞. Щоб це зробити, врахуємо, що lim (cos (180 ° / n)) при n → ∞ дорівнює cos 0 ° \u003d 1 (lim - знак межі), а lim \u003d lim при n → ∞ дорівнює 1 / π (ми перевели градусну міру в Радіан, використовуючи співвідношення π рад \u003d 180 °, і застосували перший чудовий межа lim (sin x) / x \u003d 1 при x → ∞). Підставивши в останній вираз для S отримані значення, прийдемо до відомої формули:

S \u003d π² R² 1 (1 / π) \u003d π R².

Одиниці виміру

Застосовуються системні і позасистемні одиниці виміру. Системні одиниці відносяться до СІ (Система Інтернаціональна). Це квадратний метр (кв. Метр, м²) і одиниці, похідні від нього: мм², см², км².

У квадратних міліметрах (мм ²), наприклад, вимірюють площу перерізу проводів в електротехніці, в квадратних сантиметрах (см) - перетину балки в будівельній механіці, в квадратних метрах (м²) - квартири або будинку, в квадратних кілометрах (км) - території в географії .

Однак іноді використовуються і позасистемні одиниці виміру, такі, як: сотка, ар (а), гектар (га) і акр (ас). Наведемо наступні співвідношення:

• 1 сотка \u003d 1 а \u003d 100 м² \u003d 0,01 га;
• 1 га \u003d 100 а \u003d 100 соток \u003d 10000 м² \u003d 0,01 км² \u003d 2,471 ас;
• 1 ас \u003d 4046.856 м² \u003d 40,47 а \u003d 40,47 соток \u003d 0,405 га.

Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури

Переходимо до розгляду додатків інтегрального числення. На цьому уроці ми розберемо типову і найбільш поширену задачу - як за допомогою певного інтеграла обчислити площу плоскої фігури. Нарешті шукають сенс у вищій математиці - нехай знайдуть його. Хіба мало. Доведеться ось в житті наближати дачну ділянку елементарними функціями і знаходити його площа за допомогою певного інтеграла.

Для успішного освоєння матеріалу, необхідно:

1) Розбиратися в невизначеному інтегралі хоча б на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитися з уроком Чи не.

2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца і обчислювати визначений інтеграл. Налагодити теплі дружні стосунки з певними інтегралами можна на сторінці Визначений інтеграл. приклади рішень.

Насправді, для того щоб знаходити площа фігури не треба так вже й багато знань по невизначеному і певного інтеграла. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтеграла» завжди передбачає побудову креслення, Тому набагато більш актуальним питанням будуть ваші знання і навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, параболу і гіперболу. Зробити це можна (багатьом - потрібно) за допомогою методичного матеріалу та статті про геометричні перетвореннях графіків.

Власне, з завданням знаходження площі за допомогою визначеного інтеграла всі знайомі ще зі школи, і ми мало підемо вперед від шкільної програми. Цієї статті взагалі могло б і не бути, але справа в тому, що завдання зустрічається в 99 випадків з 100, коли студент страждає від ненависної вишки з захопленням освоює курс вищої математики.

Матеріали даного практикуму викладені просто, докладно і з мінімумом теорії.

Почнемо з криволінійної трапеції.

криволінійної трапецією називається плоска фігура, обмежена віссю, прямими, і графіком безперервної на відрізку функції, яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай дана фігура розташована не нижче осі абсцис:

тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює визначеному інтегралу. У будь-якого певного інтеграла (який існує) є дуже хороший геометричний сенс. На уроці Визначений інтеграл. приклади рішень я говорив, що визначений інтеграл - це число. А зараз прийшла пора констатувати ще один корисний факт. З точки зору геометрії визначений інтеграл - це ПЛОЩА.

Тобто, певного інтеграла (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, розташовану вище осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

приклад 1

Це типова формулювання завдання. Перший і найважливіший момент рішення - побудова креслення. Причому, креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочатку краще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім - параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати поточечно, З технікою поточечного побудови можна ознайомитися в довідковому матеріалі Графіки і властивості елементарних функцій. Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал - як швидко побудувати параболу.

У цьому завданню рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

Штрихована криволинейную трапецію я не буду, тут очевидно, про яку площі йдеться. Рішення триває так:

На відрізку графік функції розташований над віссю, Тому:

відповідь:

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтеграла і застосуванням формули Ньютона-Лейбніца , Зверніться до лекції Визначений інтеграл. приклади рішень.

Після того, як завдання виконано, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальний вийшов відповідь. В даному випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок в кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби у нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь допущена помилка - в розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшов негативним, то завдання теж вирішено некоректно.

приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,, і віссю

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Що робити, якщо криволинейная трапеція розташована під віссю?

приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю (Або, принаймні, не вище даної осі), то її площа можна знайти за формулою:
В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без всякого геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому в тільки що розглянутої формулою фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і в верхній і в нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних задачок переходимо до більш змістовним прикладів.

приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженої лініями,.

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. Взагалі кажучи, при побудові креслення в задачах на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи і прямої. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб - аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.
Цим способом краще, по можливості, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, при цьому межі інтегрування з'ясовуються як би «самі собою». Техніка поточечного побудови для різних графіків докладно розглянута в довідці Графіки і властивості елементарних функцій . Проте, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточені побудова не виявило меж інтегрування (вони можуть бути дробовими або ірраціональними). І такий приклад, ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і тільки потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторюся, що при поточечной побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматом».

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнює деякої неперервної функції, то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими,, можна знайти за формулою:

Тут вже не треба думати, де розташована фігура - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік ВИЩЕ(Щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У розглянутому прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому з необхідно відняти

Завершення рішення може виглядати так:

Шукана фігура обмежена параболою зверху і прямий знизу.
На відрізку, за відповідною формулою:

відповідь:

Насправді шкільна формула для площі криволінійної трапеції в нижній півплощині (див. Простенький приклад №3) - окремий випадок формули . Оскільки вісь задається рівнянням, а графік функції розташований не вище осі, то

А зараз кілька прикладів для самостійного рішення

приклад 5

приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженої лініями,.

В ході вирішення задач на обчислення площі за допомогою визначеного інтеграла іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки - правильно, але через неуважність ... знайдена площа не тієї фігури, Саме так кілька разів лажа ваш покірний слуга. Ось реальний випадок з життя:

приклад 7

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,,,.

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

... Ех, креслення хреновенький вийшов, але начебто все розбірливо.

Фігура, площа якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором (Уважно дивіться на умова - чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад ще корисний і тим, що в ньому площу фігури вважається за допомогою двох визначених інтегралів. дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямої;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

відповідь:

Переходимо до ще одного змістовного завданням.

приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,
Уявімо рівняння в «шкільному» вигляді, і виконаємо поточечной креслення:

З креслення видно, що верхня межа у нас «хороший»:.
Але чому дорівнює нижня межа ?! Зрозуміло, що це не ціле число, але яке? Може бути ? Але де гарантія, що креслення виконаний з ідеальною точністю, цілком може виявитися що. Або корінь. А якщо ми взагалі неправильно побудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час і уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину прямої і параболи.
Для цього вирішуємо рівняння:


,

Дійсно,.

Подальше рішення тривіально, головне, не заплутатися в підстановках і знаках, обчислення тут не найпростіші.

на відрізку , За відповідною формулою:

відповідь:

Ну, і на закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.

приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,,

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні.

Блін, забув графік підписати, а переробляти картинку, вибачте, не Хотц. Чи не креслярський, коротше, сьогодні день \u003d)

Для поточечного побудови необхідно знати зовнішній вигляд синусоїди (і взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій), А також деякі значення синуса, їх можна знайти в тригонометричної таблиці. У ряді випадків (як в цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки і межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони йдуть прямо з умови: - «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформляємо подальше рішення:

На відрізку графік функції розташований над віссю, тому: