Figürün alanını nasıl bulabilirsiniz?

Çeşitli rakamların alanını hesaplamak ve hesaplamak için, sadece basit geometrik işleri çözmek için gerekli değildir. Bu bilgi olmadan yapmayın ve tesislerin onarımı için tahminleri çekerken veya kontrol ederken, gerekli sarf malzemelerinin sayısını hesaplamak için. Bu nedenle, farklı figürlerin alanlarını nasıl bulacağınızı çözelim.

Kapalı devrenin içinde sonuçlanan uçağın bir kısmı bu düzlemin alanı denir. Kare, içinde kare birim mahpus sayısı tarafından ifade edilir.

Ana geometrik figürlerin alanını hesaplamak için, doğru formülü kullanmak gerekir.

Üçgenin alanı

Adımlar:

1. A bilinirse, istenen üçgenin alanı, yandan uzunluğun ve üçgenin yüksekliğinin bir ürünü olarak tanımlanır, bu tarafa indirilir, yarıya bölünmüştür: S \u003d (A · H) / 2
2. A, B, C bilinirse, istenen alan Geron Formula kullanılarak hesaplanır: üçgenin çevresinin yarısının yarısının ve üçgenin yarısının yarısının ve üçgenin yarısının üçünün üç farkından alınan karekökü. √ (p · (p - a) · (p - b) · (p - c)).
3. A, B, γ biliniyorsa, üçgen alanı, bu taraflar arasındaki köşenin değeri ile çarpılan 2 tarafın yarısı olarak tanımlanır: S \u003d (A · B · günah γ) / 2
4. A, B, C, R biliniyorsa, istenen alan, üçgenin tüm taraflarının uzunluğunun ürünlerinin, tarif edilen dairenin dört yarıçapı ile bölünmesi olarak tanımlanır: S \u003d (A · B · C) / 4R
5. P, R bilinirse, istenen üçgen alanı, içine yazılan yarıçap üzerindeki çevrenin yarısını çarpılarak belirlenir: s \u003d p · r

Kare alan

Adımlar:

1. Yan biliniyorsa, bu rakamın alanı uzunluğunun karesi olarak tanımlanır: S \u003d a 2
2. D, biliniyorsa, karenin karesi uzunluğu çapraz karenin yarısı olarak tanımlanır: S \u003d D 2/2

Kare dikdörtgen

Adımlar:

• S - tanımlanmış alan,
• a, B - Dikdörtgenin tarafının uzunluğu.

1. A, B biliniyorsa, bu dikdörtgenin alanı, kenarlarının uzunluklarının ürünü ile belirlenir: S \u003d A · B
2. Eğer kenarların uzunlukları bilinmiyorsa, dikdörtgenin alanı üçgenlere ayrılmalıdır. Bu durumda, dikdörtgenin alanı, üçgenlerinin bileşenlerinin alanlarının toplamı olarak tanımlanır.

Kare pollogram

Adımlar:

• S - İstenilen alan,
• a, B - Tarafların uzunluğu,
• h - Bu paralelogramın yüksekliğinin uzunluğu,
• d1, D2 - İki köşegenin uzunluğu,
• α - taraflar arasında bulunan açı
• γ, köşegenler arasındaki bir açıdır.

1. A, H biliniyorsa, istenen alan, yandan ve yüksekliğin uzunluklarını çarpmak için belirlenir, bu tarafa indirilir: S \u003d A · H
2. A, B, α biliniyorsa, paralelkenar alanı paralelogramın uzunluklarını ve bu taraflar arasındaki köşenin değerlerini çarparak belirlenir: S \u003d A · B · SIN α
3. D 1, D2, γ biliniyorsa, paralelkenar alanı, köşegenlerin uzunluğunun yarısı ürünü olarak tanımlanır ve bu köşegenler arasındaki açının köşesinin değeri: S \u003d (D 1 · D 2 · Sinyγ) / 2

Romba kare

Adımlar:

• S - İstenilen alan,
• a - Yan uzunluk,
• h - yüksekliğin uzunluğu,
• α, iki taraf arasında daha küçük bir açıdır,
• d1, D2 - iki köşegenin uzunluğu.

1. A, H biliniyorsa, eşkenar dörtgen alanı, bu tarafta atlanmış olan yüksekliğin uzunluğundaki yan uzunluğun çarpılması ile belirlenir: S \u003d A · H
2. A, α biliniyorsa, eşkenar dörtgen alanı, partiler arasında köşenin yan tarafının yan tarafının yan tarafını çarptığı belirlenir: S \u003d a 2 · günah α
3. D1 ve D2 biliniyorsa, istenen alan, eşkenar dörtgenin çaprazlarının uzunluğunun yarısı ürün olarak tanımlanır: S \u003d (D 1 · D 2) / 2

Kare trapez

Adımlar:

1. A, B, C, D bilinirse, istenen alan formül: S \u003d (A + B) / 2 * √ ile belirlenir.
2. Bilinen A, B, H ile istenen alan, yamukun miktarının ve yüksekliği miktarının yarısının bir ürün olarak tanımlanır: S \u003d (A + B) / 2 · H

Dışbükey dörtgen alanı

Adımlar:

1. D1, D 2, a bilinirse, dışbükey dörtgen alanı, dörtgenin köşegenlerinin yarısı olarak tanımlanır, bu köşegen arasındaki köşenin sinüs boyutu ile çarpılır: S \u003d (D 1 · D 2 · günah α) / 2
2. Bilinen P, R, dışbükey dörtgen alanı, bu dörtgen içinde yazılan, çemberin yarıçapındaki dörtgenin yarı-versiyonunun bir ürünü olarak tanımlanır: S \u003d P · R
3. A, B, C, D, θ bilinirse, dışbükey dörtgen alanı, yarım ölçüm seçimi ve her bir yandan eksi uzunluğu olan ürünlerden karenin kökliği olarak tanımlanır. Her tarafın uzunlukları ve iki zıt açının toplamının kosinüs karesi: s 2 \u003d (p - a) (p - b) (p - c) (p - c) (p - d) - ABCD · COS 2 ((α + β) / 2)

Bir dairenin alanı

Adımlar:

R bilinirse, istenen alan, karede yarıçaptaki π numarasının bir ürünü olarak tanımlanır: s \u003d π r 2

Eğer D biliniyorsa, daire alanı, dörtte bölünmüş çapın karesi başına π sayısının bir ürünü olarak tanımlanır: S \u003d (π · D 2) / 4

Kare karmaşık şekil

Karmaşık basit geometrik şekillere ayrılabilir. Karmaşık figürün alanı, alanın bileşenlerinin miktarı veya farkı olarak tanımlanmaktadır. Örneğin, halka düşünün.

Tanımlama:

• S - Halka Meydanı,
• R, R - Dış Çemberin Radii ve Dahili, sırasıyla,
• D, D - Dış çemberin ve iç kısımların çapları.

Halka alanını bulmak için, bölgeyi daha büyük dairenin alanından almak gerekir. daha küçük bir daire. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πR2 \u003d π (R2-R2).

Böylece, eğer R ve R biliniyorsa, halka alanı dış ve iç çevrelerin yarıçapının karelerindeki fark olarak tanımlanır, pi: s \u003d π (R2-R2) sayısıyla çarpılır.

D ve D biliniyorsa, halka alanı, PI: S \u003d (1/4) (D2) sayısının çarptığı dış ve iç çevrelerin çaplarının karelerindeki farkın çeyreğinde tanımlanır. D 2) π.

Kare boyalı şekil

Bir karenin (A) 'ın bir başka (B) (daha küçük) olduğunu varsayalım ve "A" ve "B" rakamları arasındaki boyalı boşluğu bulmamız gerekiyor. Sadece söyleyelim, küçük bir karenin "çerçevesi". Bunun için:

1. "A" şeklinin alanını buluruz (meydanın yerinin formülü ile hesaplanır).
2. Benzer şekilde, "B" şeklinin alanını buluruz.
3. "A" kare "B" alanından çıkardık. Ve böylece boyalı figürün alanını alıyoruz.

Artık farklı rakamların alanlarını nasıl bulacağınızı biliyorsunuz.

Geometri görevlerini çözmek için, üçgen alanı veya paralelkenar alanı gibi formülleri - ve söyleyeceğimiz basit teknikler gibi formülleri bilmeniz gerekir.

Başlamak için, rakamların karelerinin formülünü öğreniyoruz. Özellikle onları uygun bir masada topladık. Yazdır, öğren ve uygula!

Tabii ki, tüm geometri formülleri masamızda değil. Örneğin, diğer üçgen kare formülleri, profil sınavının ikinci bölümünde matematikte geometriye ve stereometriye göre problemleri çözmek için de kullanılır. Kesinlikle onlar hakkında söyleyeceğiz.

Ve ne yapmalı, eğer bir yamuk ya da üçgen bir yer bulmanız gerekiyorsa, ancak bir tür karmaşık şekil? Evrensel yollar var! Onları bankanın görev bankalarından örnekler üzerinde gösterelim.

1. Standart olmayan rakamların bir alanı nasıl bulunur? Örneğin, keyfi bir Quadriller? Basit bir resepsiyon - Bu rakamı hepimizin bildiği kişilerce kırıyoruz ve alanını buluyoruz - bu rakamların alanlarının toplamı olarak.

Bu Quadracier'ı, ortak bir temeli olan iki üçgenle yatay bir çizgi ile ayrılıyoruz. Bu üçgenlerin yükseklikleri eşittir ve. Sonra quadril alanı, iki üçgenlerin alanlarının toplamına eşittir:.

Cevap:.

2. Bazı durumlarda, figürün şekli herhangi bir boşluk arasındaki fark olarak gösterilebilir.

Bu üçgendeki tabanın ve boyun ne olduğunu hesaplamak o kadar kolay değil! Ancak, alanının bir tarafı ve üç dikdörtgen üçgen ile kare karelerdeki farkın eşit olduğunu söyleyebiliriz. Resimlerde onları gördün mü? Alıyoruz :.

Cevap:.

3. Bazen görevde, tüm figürü değil, bölgeyi bulmak için gereklidir. Genellikle burada sektör alanı - dairenin bir parçası. Yarıçapı daire sektörünün alanını, ark eşitliği olan uzunluğu eşittir. .

Bu resimde dairenin bir bölümünü görüyoruz. Tüm dairenin alanı o zamandan itibaren eşittir. Çemberin hangi bölümünün tasvir edildiğini bilmek için kalır. Tüm dairenin uzunluğu (AS) 'e eşit olduğundan ve bu sektörün arkının uzunluğu eşittir. Bu nedenle, arkın uzunluğu, tüm çevrenin uzunluğundan daha azdır. Bu arkın dayandığı açı da tam daireden (yani, derecelerden) daha azdır. Böylece, sektör alanı tüm dairenin alanından daha az olacaktır.

Hem sağ hem de yanlış olan en farklı şekillerden sonsuz sayıda düz figür var. Tüm şekillerin genel mülkü - bunlardan herhangi birinin bir alanı vardır. Şekillerin karesi, bazı birimlerde ifade edilen, bu rakamlar tarafından işgal edilen düzlemin bir kısmının boyutlarıdır. Bu miktar her zaman pozitif bir sayıda ifade edilir. Ölçme birimi, tarafın uzunluğu birimine (örneğin bir metre veya bir santimetre) eşit olan karenin karesidir. Herhangi bir rakamın yaklaşık değeri, bir kare bölgeye kırıldığı tek kareler sayısının çarpılmasıyla hesaplanabilir.

Bu konseptin diğer tanımları şöyle görünüyor:

1. Basit figürlerin karesi - Koşulları tatmin eden skaler pozitif değerler:

Eşit rakamlarda - eşit alan değerleri;

Şekil, parçalara ayrılırsa (basit şekiller), daha sonra alanı, rakamların veri alanlarının toplamıdır;

Ölçüm ünitesinin bir tarafına sahip bir kare, alanın bir birimi olarak hizmet eder.

2. Karmaşık şekil figürünün karesi (çokgenler) - özelliklere sahip pozitif değerler:

Eşit çokgenlerde - alanın aynı değerleri;

Poligon'un diğer birçok çokgen oluşturması durumunda, alanı, ikinci alanların toplamına eşittir. Bu kural alıcı olmayan çokgenler için geçerlidir.

Bir aksiyom olarak, şekil alanlarının (çokgenler) pozitif değerler olduğu onaylanır.

Dairenin alanının belirlenmesi, bu dairenin çevresine yerleştirilen alanın çabaladığı değerler, partilerinin sayısının sonsuzluk için çabaladığına rağmen.

Yanlış şeklin (keyfi şekillerde) tanımları yoktur, sadece hesaplamaları için yöntemler belirlenir.

Meydanın antik çağındaki hesaplanması, arazi arazilerinin büyüklüğünün belirlenmesinde önemli bir pratik görevliydi. Yüzlerce yıl boyunca alan hesaplama kuralları, Yunan bilim adamları tarafından formüle edilmiştir ve "" Euclidea'nın başlangıcında teoremler olarak belirlenmiştir. İlginç bir şekilde, sıradan rakamların alanlarını belirleme kuralları şu anda aynıdır. Eğrisel devreli alan, limit geçişi kullanılarak hesaplandı.

Basit dikdörtgen alanlarının hesaplanması, kare), okul tezgahı olan herkese aşina, oldukça basittir. Şekillerin türlerinin formülünün alfabetik atamalarını bile ezberlemek gerekli değildir. Birkaç basit kuralları hatırlamak yeterli:

2. Dikdörtgenin alanı, uzunluğunun genişliğine çarpılmasıyla hesaplanır. Uzunluk ve genişliğin aynı ölçüm birimlerinde ifade edilmesi gerekir.

3. Karmaşık bir rakamın alanı, onu basit bir şekilde bölen ve elde edilen alanlara katlanarak hesaplanır.

4. Dikdörtgenin köşegeni, alanlarının kendi alanının yarısına eşit olan iki üçgene ayrılır.

5. Üçgenin alanı, yüksekliği ve tabanının ürününün yarısı olarak hesaplanır.

6. Çemberin alanı, "π" sayısındaki bilinen sayıda yarıçaplı karenin ürününe eşittir.

7. Paralelogram alanının, ilişkili tarafların bir ürünü olarak hesaplanır ve aralarında yatan köşenin sinüsü.

8. ROMA alanı - ½ sonuç iç köşe sinüsü üzerindeki köşegenlerin çarpılması.

9. Yamukun alanı, ortalama aritmetik tabana eşit olan orta çizginin uzunluğundaki yüksekliğinin çoğalmasını buluruz. Trapezyumun alanını belirlemek için başka bir seçenek, çapraz ve sinüslerini aralarındaki açının altında çarpmaktır.

İlkokuldaki çocuklar genellikle verilen ödevler verilir: Hücrelerle ayrılmış, bir palet veya bir tabaka şeffaf kağıda kağıt şekillerinde çizilen alanı bulun. Böyle bir sayfa ölçülen şekilde üst üste bindirilir, tüm hücrelerin sayısı, konturuna abone olan, daha sonra ikiye bölünmüş olan eksik sayısını artıran tam hücrelerin sayısı göz önünde bulundurulur (alanın birimleri) kabul edilir.

Dünyayı nasıl ölçeceğiniz hakkında bilgi, antik çağda ortaya çıktı ve yavaş yavaş bilime geometri aldı. Yunanca dilinden, bu kelime çevrildi ve çevrildi - "Amerlemeri".

Dünyanın düz uzağının uzunluğu uzunluğu ve genişliği boyunca uzunluğu alandır. Matematikte, genellikle Latin harfleri (İngilizce'den. Kare - "kare", "kare") veya Yunanca σ (SIGMA) tarafından gösterilir. S, düzlemdeki şeklin veya gövdenin yüzey alanındaki şeklin alanını gösterir ve σ, telin fizikteki enine kesit alanıdır. Bunlar, ana karakterlerdir, örneğin, malzemelerin direniş alanında başka olabilir ve profilin kesiti alanıdır.

Temas halinde

Hesaplama için formüller

Sıradan rakamların alanlarını bilmek, daha karmaşık parametreleri bulabilirsiniz.. Antihiçicilik matematikçileri, onları kolayca hesaplayabileceğiniz formüllerden elde edildi. Bu tür rakamlar bir üçgen, bir kuadricle, bir çokgen, bir dairedir.

Karmaşık bir düz figürün alanını bulmak için üçgenler, yamuklar veya dikdörtgenler gibi birçok basit figüre ayrılır. Daha sonra matematiksel yöntemlerle, bu rakamın alanı için formülü türetir. Benzer bir yöntem sadece geometride değil, aynı zamanda eğrilerle sınırlanan şekil alanlarını hesaplamak için matematiksel analizde de kullanılır.

Üçgen

En basit şekilde başlayalım - bir üçgen. Onlar dikdörtgen, eşit ve eşkenar. Ab \u003d A, BC \u003d B ve AC \u003d C (Δ ABC) ile ABC üçgeni alın. Bölgesini bulmak için, ünlü sinüs ve kosinüs teoremlerini Matematiğin okul süresinden hatırlayın. Tüm hesaplamaları bırakalım, aşağıdaki formüllere gelin:

• S \u003d √ - Geron formülünün tümü, burada p \u003d (a + b + c) / 2 bir üçgenin yarım periyodundadır;
• S \u003d a h / 2, burada H yükseklik, yana indirilmiştir;
• S \u003d a b (günah γ) / 2, burada γ taraflar A ve B arasındaki açıdır;
• S \u003d A B / 2 Δ ABC dikdörtgendir (burada A ve B - katetler);
• S \u003d B² (Günah (2 β)) / 2, Δ ABC'si birleştirilmişse (burada B "kalça" dir, β, üçgenin "kalçaları" arasındaki açıdır);
• S \u003d a² ¾¾ Δ ABC eşleşmesiyse (buraya üçgenin bir tarafı).

Quirhugon

Ab \u003d a, BC \u003d B, CD \u003d C, AD \u003d D olan dört kahverengi bir ABCD olmasına izin verin. Keyfi 4-karenin alanını bulmak için, S1 ve S2 alanlarının genellikle eşit olmadığı iki üçgenin diyagonaliyle bölmek gerekir.

Ardından, formüllere göre, bunları hesaplayın ve katlanır, yani S \u003d S1 + S2. Bununla birlikte, 4-kare belirli bir sınıfa aitse, bölgesi önceden bilinen formüllerde bulunabilir:

• S \u003d (A + C) H / 2 \u003d EH, eğer 4 kare bir trapeziyse (burada A ve C - baz, E, trapezyumun orta çizgisidir, H, bazlarından birine indirilmiş olan H'dir. trapez;
• S \u003d AH \u003d AB SIN φ \u003d D1 D2 (SIN φ) / 2, ABCD paralelogramları (burada φ, A ve B, H - yüksekliği arasındaki açı, A, D1 ve D2 - diyagonal) ;
• S \u003d A B \u003d d² / 2, ABCD bir dikdörtgendir (D - diyagonal);
• S \u003d a² Sin φ \u003d p² (SIN φ) / 16 \u003d D1 D2 / 2, ABCD eşkenar dörtgendir (eşkenar dörtgenin yanı, φ köşelerinden biridir, p çevredir);
• S \u003d a² \u003d p² / 16 \u003d d² / 2, ABCD bir kare ise.

Çokgen

N-kare alanını bulmak için, matematik en basit eşit rakamlar üzerinde kırılır - finaller, her birinin alanını bulun ve ardından katlayın. Ancak, poligon doğru olan sınıfa aitse, formül kullanılır:

S \u003d ANH / 2 \u003d a² n / \u003d p² /, buradaki n, poligonun köşesi (veya taraflarının) sayısı, A, N-karenin yanıdır, P, çevresi, H - Apophem, yani segmentdir. Poligonun ortasından, 90 ° 'lik bir açıyla yanlarından birine yapılır.

Bir daire

Daire, sonsuz sayıda tarafa sahip mükemmel bir poligondur.. Poligon alanının formülündeki ekspresyon sınırını, sonsuzluğa çabalayan, N'nin sayısı ile hesaplamamız gerekiyor. Bu durumda, poligonun çevresi, dairemizin sınırı olacak ve p \u003d 2 π R'ye eşit olacak RADIUS R'nin uzunluğuna dönüşecektir ve p \u003d 2 πR'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi formüle yerleştireceğiz. yukarıda belirtilen. Alacağız:

S \u003d (π² r3² cos (180 ° / n)) / (n günah (180 ° / n)).

Bu ifadenin sınırını n → ∞ olarak bulun. Bunu yapmak için, N → ∞ 'da LIM (COS (180 ° / n)) olarak göz önünde bulundurun 0 ° \u003d 1 (LIM - limit işareti) ve LIM \u003d LIM'de N → ∞ 1 / π'dır (A aktardık derecelendirme radyanın oranı kullanılarak radyana göre Ölçü \u003d 180 ° ve ilk olağanüstü limit sınırı (SIN X) / x \u003d 1 x → ∞ uygulanan). Elde edilen değerlerin son ifadesinde ikame edilmesi, tanınmış formüle gelin:

S \u003d π² r² 1 (1 / π) \u003d π r².

Birimler

Sistem ve sistem dışı birimler kullanılır. Sistem birimleri C (System International). Bu, metrekare (sq. Metre, m²) ve bunlardan türetilmiş birimlerdir: mm², cm², km².

Örneğin, kare milimetrelerde (mm²), elektrik mühendisliğindeki tellerin kesit alanını, santimetre (cm²) - inşaat mekaniğindeki kirişlerin bölümü, metrekare (m²) - dairelerde veya Ev, kilometrekare (km²) - Coğrafya Bölgesi.

Bununla birlikte, bazı ölçüm birimleri bazen: dokuma, AR (A), hektar (ha) ve dönüm (AC) gibi kullanılır. Aşağıdaki oranları veriyoruz:

• 1 dokuma \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0.01 hektar;
• 1 ha \u003d 100 a \u003d 100 dönüm \u003d 10.000 m² \u003d 0.01 km² \u003d 2.471 hoparlör;
• 1 AC \u003d 4046.856 m² \u003d 40.47 A \u003d 40.47 ACRES \u003d 0.405 hektar.

Belirli integral. Şekilin alanını nasıl hesaplanır

İntegral uygulama uygulamaları dikkate alın. Bu derste, tipik ve en yaygın görevi analiz edeceğiz. - Düzlem şeklini belirli bir integral ile nasıl hesaplanır?. Son olarak, daha yüksek matematikte anlamı görmek - onu bulur. Çok az. Ülke alanını hayata ilköğretim fonksiyonlarıyla getirmemiz ve alanını belirli bir integral kullanarak bulacağız.

Başarılı maddi geliştirme için gereklidir:

1) Belirsiz integrali en az bir ortalama düzeyde anlamak. Böylece, TeAPotes dersi aşina olmalıdır Değil.

2) Newton Labnic formülünü uygulayabilmek ve belirli bir bütünlüğü hesaplayabilmek. Sayfada belirli integrallerle sıcak arkadaşlıklar kurmak Belirli integral. Çözüm örnekleri.

Aslında, şeklin alanını bulmak için belirsiz ve tanımlanmış integral hakkında böyle bir bilgi yoktur. "Belirli bir integral yardımı ile alanı hesapla" görevi her zaman çizimin yapımını ifade eder.Bu nedenle, çok daha alakalı bir konu, bina çizimlerinin bilgi ve becerileriniz olacaktır. Bu bağlamda, ana temel fonksiyonların grafiklerinin hafızasında yenilemek faydalıdır ve en azından bir düz, parabol ve hiperbol inşa edebilirsiniz. Bu, metodolojik bir malzeme ve geometrik grafik dönüşümleri üzerine makaleler kullanarak yapılabilir (birçok gerekli).

Aslında, alanı belirli bir integral yardımı ile bulma görevi ile herkes okuldan tanıdık ve okul programından biraz öne çıkacağız. Bu makale bile olamazdı, ancak gerçeği, öğrencinin, öğrencinin daha yüksek matematiğin bir seyrine yol açan coşkuyla nefret dolu bir kuleden muzdarip olması durumunda, görevin 100'ten 99'da bulunması.

Bu atölyenin malzemeleri basit, ayrıntılı olarak ve minimum teori ile sunulmaktadır.

Bir eğrisel trapez ile başlayalım.

Curvilinear Trapezium Düz bir rakam, sınırlı bir eksen, düz ve bu aralıktaki işareti değiştirmeyen bir fonksiyonun segmentinde sürekli bir program denir. Bu rakamın bulunmasına izin ver az değil Abscissa ekseni:

Sonra curvilinear trapezinin alanı, sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir özel integral (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste Belirli integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integral bir sayı olduğunu söyledim. Ve şimdi başka bir faydalı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından, belirli bir integral bir alandır.

Yani, (Varsa) belirli bir integral (varsa) geometrik olarak bir miktardaki alana karşılık gelir. Örneğin, belirli bir bütünlüğü göz önünde bulundurun. Integrand Fonksiyonu, eksenin üzerinde bulunan (istekler çizimi çizebilir) yukarıda bulunan bir eğri ayarlar ve spesifik integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel trapeziumun alanına sayısal olarak eşittir.

Örnek 1.

Bu tipik bir görev formülasyonudur. Kararın ilk ve en önemli noktası - bir çizim oluşturma. Ve çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bir çizim yaparken, aşağıdaki sırayı öneririm: ilk Tüm düz (eğer varsa) ve sadece inşa etmek daha iyidir. sonra - Paraboller, hiperbolalar, diğer fonksiyonların programları. İşlev grafikleri oluşturmak için daha karlı potochoeCheck-in yapımı tekniği ile referans malzemesinde bulunabilir. İlköğretim fonksiyonlarının çizelgeleri ve özellikleri. Orada, malzeme dersimize göre çok faydalı bir malzeme bulabilirsiniz - hızlı bir şekilde bir parabol yapılır.

Bu görevde, karar bunun gibi görünebilir.
Çizimi yapın (denklemin ekseni ayarladığını unutmayın):

Bir eğrisel trapez yapmayacağım, burada hangi alanda bir konuşma olduğu açıktır. Karar bu şekilde devam ediyor:

Segment programında bir işlev bulunur eksen üzerinde, yani:

Cevap:

Belirli bir integrale ve Newton-Leibnia formülünün kullanılmasıyla ilgili zorluk çeken , konferansa bakın Belirli integral. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra, çizim ve tahminlere bakmak her zaman faydalıdır, gerçek olanı ortaya çıktı. Bu durumda, "gözlerde" çizimdeki hücre sayısını sayıyoruz - kuyu, yaklaşık 9 uçacak, gerçeğe benziyor. Olsaydık, söylersek, Cevaplar: 20 kare ünite, bir yerde bir yerde yapıldığı açıktır. Cevap negatif ortaya çıkarsa, görev de yanlış karar verilir.

Örnek 2.

Şeklin, sınırlı çizgilerin ve eksen alanını hesaplayın

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eğrili trapezium bulunursa ne yapmalı eksen altında?

Örnek 3.

Şeklin, sınırlı çizgilerin ve koordinat eksenlerinin alanını hesaplayın.

Karar: Çizim yap:

Eğrili trapezium bulunursa eksen altında (ya da en azından daha yüksek değil Bu eksen), daha sonra alanı formül tarafından bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:

1) Geometrik bir anlam olmadan basit bir ayrımı çözmeye davet edilirseniz, negatif olabilir.

2) Eğer belirli bir integral kullanarak şeklin rakamını bulmaya davetliyseniz, alan her zaman pozitifdir! Bu yüzden sadece kabul edilen formül eksi görünür.

Uygulamada, rakam en sık üst ve alt yarım düzlemde bulunur ve bu nedenle, en basit okul çizelgelerinden daha anlamlı örneklere gidin.

Örnek 4.

Düz figürün alanını, sınırlı çizgilerin bulunduğu alanı bulun.

Karar: İlk önce bir çizim çizmeniz gerekir. Genel olarak konuşursak, bölgeye görevlerde bir çizim yaparken, en çok çizgilerin kavşak noktalarıyla ilgileniyoruz. Parabol'ın kesişme noktalarını ve doğrudan bulun. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Böylece, alt entegrasyon sınırı, entegrasyonun üst sınırı.
Bu şekilde mümkünse daha iyidir, kullanmayın.

Çizginin çizgilerini oluşturmak için çok daha karlı ve daha hızlıdır, entegrasyon sınırları "kendileri" gibi netleşir. Çeşitli grafikler için bırakma tekniği, yardımda ayrıntılı olarak kabul edilir. İlköğretim fonksiyonlarının çizelgeleri ve özellikleri . Bununla birlikte, sonuçları bulmanın analitik bir yolu, örneğin programın yeterince büyükse veya eğitimli bir yapının entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmadığı takdirde, bazen uygulanması gerekmektedir. Ve böyle bir örnek de düşünüyoruz.

Görevimize geri dönüyoruz: daha rasyonel önce doğrudan düz bir çizgi oluşturun ve sadece parabol. Çizimi gerçekleştirin:

Bunu şu anki yapıda, entegrasyon limitleri en sık "otomatik" tarafından bulunur.

Ve şimdi çalışma formülü: Eğer segmentte bazı sürekli işlev daha fazla veya eşit Bazı sürekli fonksiyon, şekilin alanı, bu fonksiyonların grafikleriyle sınırlı ve doğrudan, formül tarafından bulunabilir:

Burada, figürün nerede olduğunu düşünmek, eksen üzerinde veya eksen altında, ve kabaca konuşurken, artık gerekli değildir. Önemli Yukarıdaki grafik nedir(başka bir programa göre) ve ne - aşağıda.

Bu örnekte, Parabol'ın segmentinde düz yukarıda bulunduğu açıktır ve bu nedenle çıkarılması gereklidir.

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenilen rakam, yukarıdan ve doğrudan alttan parabol ile sınırlıdır.
Segmentte, ilgili formüle göre:

Cevap:

Aslında, düşük yarı düzlemde eğrisel trapezyumun bölgesi için okul formülü (bkz. Basit Örnek No. 3) - Özel bir formül durumu . Eksen denklem ile tanımlandığından ve fonksiyon grafiği bulunduğundan daha yüksek değil Axis, T.

Ve şimdi bağımsız bir karar için birkaç örnek

Örnek 5.

Örnek 6.

Şekil sınırlı satırların alanını bulun.

Alanın belirli bir integral ile hesaplanması için görevleri çözme sürecinde, bazen komik bir kasa meydana gelir. Çizim doğru tamamlandı, hesaplamalar - doğru, ama yoğunlaştırılmış ... alanın şekil olmadığı bulunduBu, mütevazi hizmetçinin nasıl doluydu. İşte hayattan gerçek bir durum:

Örnek 7.

Şeklin alanını, sınırlı satırları ,,,.

Karar: İlk önce çizim yapın:

... Ah, Khrenovynsky'nin çizimi çıktı, ama her şey topluyor gibi görünüyor.

Bulmamız gereken bölge mavi renkte gölgeli (Şekilde dikkatlice bakın - rakam sınırlıdır!). Ancak pratikte, "Glitch", genellikle yeşil ile gölgelendirilmiş olan bir alanı bulmanız gereken farkındadır!

Bu örnek hala kullanışlıdır ve bunun içindeki alanın iki spesifik integral kullanılarak kabul edilir. Gerçekten mi:

1) Eksen üzerindeki segmentte düz bir program bulunur;

2) Eksen üzerindeki segmentte hiperbollerin bir grafiği vardır.

Karenin ayrışması için meydanın (ve ihtiyacı) olduğu açıktır, böylece:

Cevap:

Başka bir önemli göreve gidin.

Örnek 8.

Şeklin alanını, sınırlı çizgilerinizi hesaplayın,
"Okul" formundaki denklemi hayal edin ve mevcut çizimi yapın:

Çizimden, "iyi" olduğumuz üst sınırın olduğu açıktır :.
Ama alt sınır nedir?! Bunun bir tamsayı olmadığı açık, ama ne? Olabilir ? Ancak, çizimin mükemmel doğrulukla yapıldığı garantisi nerede olursa olsun, öyle olabilir. Veya kök. Ve genellikle uygunsuz bir şekilde bir program yapılırsak?

Bu gibi durumlarda, fazladan zaman geçirmeniz ve entegrasyon sınırlarını analitik olarak belirlemelisiniz.

Doğrudan ve parabolun kesişme noktalarını bulun.
Bunu yapmak için denklemi çözün:


,

Aslında.

Daha fazla çözüm önemsizdir, asıl şey, ikame ve işaretlerde karıştırılmamasıdır, buradaki hesaplamalar en basit değildir.

Kesim İlgili formüle göre:

Cevap:

İyi ve dersin sonunda iki görevi daha zor göz önünde bulundurun.

Örnek 9.

Şeklin alanını hesaplayın, sınırlı çizgiler ,,

Karar: Bu şekli çizimde gösterin.

Lanet olsun, imzalamanın programını unuttum, ama resmi yinelemek için, üzgünüm, bir hotz değil. Miras alınmamış, kısa, günümüz \u003d)

Mevcut inşaat için sinüzoidlerin görünümünü bilmeniz gerekir (ve genellikle bilmek genellikle yararlıdır. tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, bulunabilirler. trigonometrik masa. Bazı durumlarda (bu şekilde), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının prensip olarak yansıtılması gereken şematik bir çizim yapmasına izin verilir.

Entegrasyonun sınırları ile burada herhangi bir sorun yoktur, doğrudan durumdan takip ediyorlar: - "x" sıfırdan "pi" ye değişir. Başka bir çözüm hazırlıyoruz:

Segmentte, işlev grafiği eksenin üzerinde bulunur, böylece: