เวกเตอร์และการผ่าตัดข้ามเวกเตอร์ เวกเตอร์สูตรทั้งหมดบนเวกเตอร์ธีมในอวกาศ

เวกเตอร์ – นี่คือบรรทัดที่ตรงไปตรงมานั่นคือส่วนที่มีความยาวและทิศทางที่แน่นอน ปล่อยให้ประเด็น แต่ - จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และจุด B. - สิ้นสุดแล้วเวกเตอร์จะถูกระบุด้วยสัญลักษณ์ หรือ . เวกเตอร์เรียกว่า ตรงข้าม เวกเตอร์ และสามารถทำเครื่องหมาย .

เรากำหนดจำนวนคำจำกัดความพื้นฐานจำนวนหนึ่ง

เลนา หรือ โมดูล เวกเตอร์ เรียกว่าความยาวของส่วนและระบุ. เวกเตอร์ศูนย์ยาว (เอสเซ้นส์ - จุด) เรียกว่า ศูนย์ และทิศทางไม่มี เวกเตอร์ ความยาวเดียวเรียกว่าเดี่ยว . หน่วยเวกเตอร์ทิศทางซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของเวกเตอร์ เรียกว่า orta vector .

เวกเตอร์ถูกเรียก นักเลง หากพวกเขานอนบนเส้นตรงหนึ่งเส้นหรือเส้นตรงขนานเขียนลง. เวกเตอร์ Collinear อาจมีทิศทางที่เหมือนกันหรือตรงกันข้าม เวกเตอร์ศูนย์ถือว่าเป็น collinear ในเวกเตอร์ใด ๆ

เวกเตอร์เรียกว่าเท่ากันหากพวกเขาเป็น collinear กำกับอย่างเท่าเทียมกันและมีความยาวเท่ากัน

สามเวกเตอร์ถูกเรียก การสนทนา หากพวกเขาอยู่ในระนาบเดียวกันหรือเครื่องบินขนาน หากมีทั้งสามเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งศูนย์หรือสอง collinear ใด ๆ เวกเตอร์ดังกล่าวเป็นช่อง

พิจารณาในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 0 xyz. เราเน้นพิกัดบนแกน 0 เอ็กซ์, 0y., 0z. เวกเตอร์เดี่ยว (orts) และแสดงให้เห็นถึงพวกเขาผ่านตามลำดับ เลือกเวกเตอร์อวกาศโดยพลการและเข้ากันได้กับจุดเริ่มต้นด้วยการเริ่มต้นของพิกัด เราออกแบบเวกเตอร์บนแกนพิกัดและแสดงถึงการฉายภาพผ่าน เอ็กซ์, y., z ตามลำดับ จากนั้นก็ไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่า

. (2.25)

สูตรนี้เป็นหลักในแคลคูลัสเวกเตอร์และเรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ของ ortham พิกัดแกน . ตัวเลข เอ็กซ์, y., zเรียกว่า พิกัดของเวกเตอร์ . ดังนั้นพิกัดของเวกเตอร์คือการคาดการณ์ของแกนพิกัด ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ (2.25) มักจะถูกบันทึกเป็น

เราจะใช้การกำหนดของเวกเตอร์ในวงเล็บปีกกาเพื่อให้มองเห็นง่ายต่อการแยกความแตกต่างของพิกัดของเวกเตอร์และพิกัดของประเด็น การใช้สูตรความยาวเซ็กเมนต์ที่รู้จักจากเรขาคณิตของโรงเรียนคุณสามารถค้นหานิพจน์สำหรับการคำนวณโมดูลเวกเตอร์:

, (2.26)

นั่นคือโมดูลเวกเตอร์เท่ากับสแควร์สแควร์ของสี่เหลี่ยมพิกัด

แสดงมุมระหว่างเวกเตอร์และแกนพิกัดผ่าน α, β, γ ตามลำดับ โคไซน์ มุมเหล่านี้เรียกว่าสำหรับเวกเตอร์ คำแนะนำ และสำหรับพวกเขาอัตราส่วนจะดำเนินการ:ความภักดีของความเท่าเทียมกันนี้สามารถแสดงได้โดยใช้คุณสมบัติของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนซึ่งจะถูกกล่าวถึงในวรรคต่อไปนี้ 4

ให้เวกเตอร์ได้รับในพื้นที่สามมิติด้วยพิกัดของมัน การดำเนินการต่อไปนี้ถูกนำมาใช้กับพวกเขา: เชิงเส้น (นอกจากนี้การลบการคูณการคูณของจำนวนและการออกแบบเวกเตอร์บนแกนหรือเวกเตอร์อื่น); ไม่ใช่เชิงเส้น - เวกเตอร์ต่าง ๆ (สเกลาร์, เวกเตอร์, ผสม)

1. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป สองเวกเตอร์จะดำเนินการในตอนท้ายนั่นคือถ้า

สูตรนี้จะเกิดขึ้นสำหรับจำนวนที่ จำกัด โดยพลการ

เวกเตอร์สองตัวแบบเรขาคณิตถูกพับในสองกฎ:

แต่) กฎ สามเหลี่ยม - เวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวมของทั้งสองเวกเตอร์เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของคนแรกที่มีปลายวินาทีโดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นของวินาทีเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก; สำหรับผลรวมของเวกเตอร์เวกเตอร์ที่เกิดขึ้นของจำนวนเงินที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของคนแรกที่มีจุดสิ้นสุดของเทอมเวกเตอร์ล่าสุดโดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นของคำที่ตามมาจะเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของหนึ่งก่อนหน้า;

b) กฎ สี่เหลี่ยมด้านขนาน (สำหรับสองเวกเตอร์) - รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกสร้างขึ้นบนโหมดคำศัพท์ดังที่ด้านข้างที่กำหนดให้เริ่มต้นเดียวกัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เปล่งออกมาจากการเริ่มต้นทั่วไปของพวกเขาคือผลรวมของเวกเตอร์

2. การลบ สองเวกเตอร์ได้รับการฟื้นฟูสมรรถภาพคล้ายกับนอกจากนี้นั่นคือถ้าต.

ทางภูมิศาสตร์สองเวกเตอร์ถูกสร้างขึ้นโดย RuleLogram ที่กล่าวถึงแล้วโดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์เป็นเส้นทแยงมุมที่เชื่อมต่อปลายของเวกเตอร์และเวกเตอร์ที่เกิดขึ้นถูกนำมาจากท้ายที่สุดสิ้นสุดลงในตอนท้ายของเวกเตอร์ที่ลดลง

ผลที่สำคัญของการลบเวกเตอร์คือความจริงที่ว่าถ้าพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เป็นที่รู้จักแล้ว ในการคำนวณพิกัดเวกเตอร์จำเป็นต้องใช้พิกัดของจุดสิ้นสุดเพื่อหักพิกัดของมัน . แน่นอนว่าพื้นที่เวกเตอร์ใด ๆ มันสามารถแสดงในรูปแบบของความแตกต่างของสองเวกเตอร์ออกจากจุดเริ่มต้นของพิกัด:. พิกัดของเวกเตอร์ และ ตรงกับพิกัดของคะแนนแต่ และ ในตั้งแต่ต้นกำเนิดของพิกัดเกี่ยวกับ(0; 0; 0) ดังนั้นตามกฎของเวกเตอร์มีความจำเป็นต้องลบพิกัดจุดแต่จากพิกัดของจุดใน.

3. ว. หลายเวกเตอร์โดยหมายเลขλ มองข้าม:.

สำหรับ λ> 0 - เวกเตอร์ เกี่ยวกับกระดูก ; λ< 0 - เวกเตอร์ ตรงข้ามกำกับ ; | λ|> 1 - ความยาวเวกเตอร์ เพิ่ม B. λ เวลา;| λ|< 1 - ความยาวเวกเตอร์ลดลง λ เวลา.

4. สมมติว่าในพื้นที่เส้นตรงกำกับ (แกน l.), เวกเตอร์ ตั้งค่าสิ้นสุดและเริ่มพิกัด แสดงโดยจุดฉายภาพ ก. และ B. บนแกน l. ดังนั้น ก.’ และ B.’ .

การฉาย เวกเตอร์ บนแกน l. เรียกว่าความยาวเวกเตอร์ถ่ายด้วยเครื่องหมาย "+" ถ้าเวกเตอร์ และแกน l.ควบคุมร่วมและด้วยเครื่องหมาย "-" ถ้า และ l. ตรงข้ามกำกับ.

ถ้าเป็นแกน l.ใช้เวกเตอร์อื่น ๆฉันได้รับการฉายภาพของเวกเตอร์ บนเวกเตอร์ R

พิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของการคาดการณ์:

1) การฉายภาพเวกเตอร์ บนแกน l. เท่ากับผลิตภัณฑ์ของโมดูลเวกเตอร์ บนโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์และแกนนั่นคือ;

2. ) การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนเป็นบวก (ลบ) ถ้ารูปแบบเวกเตอร์ที่มีมุมแกนเฉียบพลัน (โง่) และเป็นศูนย์ถ้ามุมนี้ตรง

3) การฉายภาพของผลรวมของหลายเวกเตอร์บนแกนเดียวกันเท่ากับจำนวนการฉายภาพในแกนนี้

เรากำหนดคำจำกัดความและทฤษฎีเกี่ยวกับผลงานของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการดำเนินงานที่ไม่เชิงเส้นมากกว่าเวกเตอร์

5. งานสเกลาร์ เวกเตอร์ไอเรียกว่าหมายเลข (สเกลาร์) เท่ากับผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์เหล่านี้บนโคไซน์ของมุมφ ระหว่างพวกเขานั่นคือ

. (2.27)

เห็นได้ชัดว่า Scalar Square ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใด ๆ เท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวเช่นเดียวกับในกรณีนี้มุมนี้ ดังนั้นโคไซน์ (ที่ 2.27) เท่ากับ 1

ทฤษฎีบท 2.2 สภาพที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของสองเวกเตอร์คือศูนย์ความเท่าเทียมกันของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกเขา

conollary งานสเกลาร์คู่ของเดี่ยว ORT เป็นศูนย์นั่นคือ

ทฤษฎีบท 2.3 ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสองเวกเตอร์ตามที่กำหนดโดยพิกัดของพวกเขาเท่ากับจำนวนเงินของพิกัดเดียวกันนั่นคือ

(2.28)

ใช้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คุณสามารถคำนวณมุม ระหว่างพวกเขา. หากสองเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ถูกระบุโดยพิกัดของพวกเขาจากนั้นโคไซน์มุมφ ระหว่างพวกเขา:

(2.29)

ดังนั้นสภาพสำหรับการตั้งฉากของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์และ:

(2.30)

ค้นหาเวกเตอร์การฉายภาพ ในทิศทางที่ระบุโดยเวกเตอร์ อาจดำเนินการโดยสูตร

(2.31)

ด้วยความช่วยเหลือของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ค้นหางานของความแข็งแกร่งคงที่ ในแนวเส้นตรงของเส้นทาง

สมมติว่าภายใต้การกระทำของความแข็งแรงคงที่ จุดวัสดุย้ายตรงจากตำแหน่ง แต่ในกฎระเบียบ B. พลังเวกเตอร์ มุมรูปแบบ φ ด้วยเวกเตอร์การเดินทาง (รูปที่ 2.14) ฟิสิกส์ให้เหตุผลว่าการทำงานของแรง เมื่อเคลื่อนไหวเท่ากัน.

ดังนั้นการทำงานของความแข็งแรงคงที่ด้วยการเคลื่อนไหวที่ตรงไปตรงมาของประเด็นของแอปพลิเคชันนั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ความแข็งแรงในการเคลื่อนไหวของการเคลื่อนไหว

ตัวอย่างที่ 2.9ใช้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เพื่อค้นหามุมที่ด้านบนก. สี่เหลี่ยมด้านขนานเอบีซีดี., รถบัส บนเวกเตอร์

การตัดสินใจเราคำนวณโมดูลของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกเขาโดยทฤษฎีบท (2.3):

ดังนั้นตามสูตร (2.29) เราได้รับโคไซน์ของมุมประดิษฐ์

ตัวอย่างที่ 2.10ค่าใช้จ่ายของสินค้าโภคภัณฑ์และทรัพยากรวัสดุที่ใช้ในการผลิตชีสกระท่อมหนึ่งตันจะได้รับในตารางที่ 2.2 (ถู)

ราคาทั้งหมดของทรัพยากรเหล่านี้ใช้ไปกับการผลิตชีสกระท่อมหนึ่งตันคืออะไร?

ตารางที่ 2.2

การตัดสินใจ. เราแนะนำให้พิจารณาสองรุ่น: ต้นทุนของต้นทุนทรัพยากรต่อผลิตภัณฑ์หนึ่งตันและเวกเตอร์ราคาของหน่วยทรัพยากรที่สอดคล้องกัน

จากนั้น . ราคารวมของทรัพยากรผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คืออะไร. คำนวณตามสูตร (2.28) ตามทฤษฎีบท 2.3:

ดังนั้นค่าใช้จ่ายทั้งหมดของต้นทุนการผลิตชีสกระท่อมหนึ่งตันคือ 279,541.5 รูเบิล

บันทึก. การดำเนินการกับเวกเตอร์ที่ดำเนินการในตัวอย่าง 2.10 สามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล ในการค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ใน MS Excel ให้ใช้ฟังก์ชั่น Sumpacy () ที่ที่อยู่ของช่วงขององค์ประกอบของเมทริกซ์จะถูกระบุเป็นอาร์กิวเมนต์จำนวนของงานที่ต้องพบ ใน Mathcad ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสองเวกเตอร์จะดำเนินการโดยใช้ตัวดำเนินการแถบเครื่องมือเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง 2.11 คำนวณงานที่ทำโดยแรงหากจุดของแอปพลิเคชันเคลื่อนที่อย่างตรงไปตรงมาจากตำแหน่ง ก.(2; 4; 6) ในตำแหน่ง ก.(4; 2; 7) วิธีการมุม ab อำนาจที่กำกับ ?

การตัดสินใจเราพบว่าเวกเตอร์ของการเคลื่อนย้ายซัลเฟิงจากพิกัดของจุดสิ้นสุดพิกัดของจุดเริ่มต้น

. โดยสูตร (2.28) (หน่วยงาน)

มุม φ ระหว่างฉัน ค้นหาตามสูตร (2.29) นั่นคือ

6. สามเวกเตอร์ noncompleteถ่ายในแบบฟอร์มการสั่งซื้อที่ระบุtroika ขวา, หากพบเมื่อสิ้นสุดการสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สาม การหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรก ไปยังเวกเตอร์ที่สองเสร็จสมบูรณ์ทวนเข็มนาฬิกาและจัดเก็บ ถ้าตามเข็มนาฬิกา

งานเวกเตอร์ เวกเตอร์บนเวกเตอร์ เรียกว่าเวกเตอร์ เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

– ตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ;

- มีความยาวเท่ากันที่ไหน φ - มุมที่เกิดขึ้นโดยเวกเตอร์และ;

- เวกเตอร์ รูปแบบที่สามขวา (รูปที่ 2.15)

ทฤษฎีบท 2.4 เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการจัดคอลลอนของทั้งสองเวกเตอร์เป็นศูนย์ความเท่าเทียมกันของการทำงานเวกเตอร์ของพวกเขา

ทฤษฎีบท 2.5 เวกเตอร์เวกเตอร์เวกเตอร์ตามที่กำหนดโดยพิกัดของพวกเขาเท่ากับลำดับที่สามของสปีชีส์

(2.32)

บันทึก.กำหนด (2.25) ปฏิเสธโดยอสังหาริมทรัพย์ 7 ตัวกำหนด

Conollary 1.เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการจัดคอลลอยของเวกเตอร์สองตัวคือสัดส่วนของพิกัดที่เกี่ยวข้อง

Conollary 2.ชิ้นส่วนของชิ้นส่วนเวกเตอร์เดียวเท่ากับ

COOLLARY 3.เวกเตอร์สแควร์ของเวกเตอร์ใด ๆ เป็นศูนย์

การตีความทางเรขาคณิตของการทำงานเวกเตอร์ มันคือความยาวของเวกเตอร์ที่เกิดขึ้นนั้นเท่ากับพื้นที่ S. สี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นในเวกเตอร์ Wombing เช่นเดียวกับด้านที่ให้การเริ่มต้นเดียวกัน แน่นอนตามคำนิยามโมดูลศิลปะเวกเตอร์ของเวกเตอร์มีค่าเท่ากับ. ในทางกลับกันพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นในเวกเตอร์ และยังเท่าเทียมกัน . ดังนั้น

. (2.33)

นอกจากนี้การใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์คุณสามารถกำหนดช่วงเวลาของแรงที่สัมพันธ์กับจุดและเชิงเส้น ความเร็วในการหมุน

ปล่อยให้ในจุด ก. พลังงานที่ใช้ ปล่อยมันไป O. - บางจุดของพื้นที่ (รูปที่ 2.16) จากหลักสูตรของฟิสิกส์เป็นที่รู้จักกันว่า ช่วงเวลาแห่งอำนาจ สัมพันธ์กับประเด็น O. เรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งผ่านจุดO. และเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ตั้งฉากกับเครื่องบินที่ผ่านคะแนน O., ก., B.;

โมดูลของมันเท่ากับการทำงานของแรงบนไหล่.

- แบบฟอร์ม Troika ที่เหมาะสมพร้อมเวกเตอร์ และ.

ดังนั้นช่วงเวลาของการบังคับ สัมพันธ์กับประเด็นO. เป็นงานเวกเตอร์

. (2.34)

ความเร็วสาย คะแนน เอ็มยาก ร่างกายหมุน ด้วยความเร็วเชิงมุม รอบแกนนิ่งถูกกำหนดโดยสูตร ออยเลอร์ O. - บางอย่างคงที่

จุดแกน (รูปที่ 2.17)

ตัวอย่าง 2.12ด้วยความช่วยเหลือของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เพื่อค้นหาพื้นที่สามเหลี่ยม abcสร้างขึ้นในเวกเตอร์แสดงให้เห็นถึงการเริ่มต้นหนึ่งรายการ

คำจำกัดความมาตรฐาน: "เวกเตอร์เป็นส่วนที่กำกับ" โดยปกตินี่คือความรู้เกี่ยวกับบัณฑิตเกี่ยวกับเวกเตอร์ ใครต้องการ "กลุ่มกำกับ" บางอย่าง?

และในความเป็นจริงเวกเตอร์คืออะไรและทำไมพวกเขา?
พยากรณ์อากาศ. "ลมตะวันตกเฉียงเหนือความเร็ว 18 เมตรต่อวินาที" เห็นด้วยทิศทางของลม (ที่มันพัดจาก) และโมดูล (นั่นคือค่าที่แน่นอน) ของความเร็ว

ค่าที่ไม่มีทิศทางเรียกว่าสเกลาร์ มวลทำงานค่าไฟฟ้าไม่ได้มุ่งไปที่ใดก็ได้ พวกเขามีลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขเท่านั้น - "กี่กิโลกรัม" หรือ "จูลขนาดเท่าไหร่"

ปริมาณทางกายภาพที่ไม่เพียง แต่ค่าสัมบูรณ์ แต่ยังทิศทางที่เรียกว่าเวกเตอร์

ความเร็วความแข็งแรงการเร่งความเร็ว - เวกเตอร์ สำหรับพวกเขาเป็นสิ่งสำคัญ "เท่าไหร่" และที่สำคัญ "อยู่ที่ไหน" ตัวอย่างเช่นการเร่งความเร็วของฤดูใบไม้ร่วงฟรีมุ่งไปที่พื้นผิวของโลกและค่าของมันคือ 9.8 m / s 2 ชีพจร, ความแข็งแรงของสนามไฟฟ้า, การเหนี่ยวนำของสนามแม่เหล็ก - นอกจากนี้ค่าเวกเตอร์

คุณจำไว้ว่าปริมาณทางกายภาพจะถูกแสดงด้วยตัวอักษรละตินหรือกรีก Arrogo เหนือตัวอักษรแสดงให้เห็นว่าค่าคือเวกเตอร์:

นี่คืออีกตัวอย่างหนึ่ง
รถเคลื่อนที่จาก A ใน b ผลลัพธ์ที่ได้คือการเคลื่อนไหวจากจุด A ถึงจุด B นั่นคือการย้ายที่เวกเตอร์ .

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าทำไมเวกเตอร์เป็นส่วนที่กำกับ หมายเหตุจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คือที่ลูกศร เวกเตอร์ความยาว เรียกว่าความยาวของส่วนนี้ หมายถึง: หรือ

จนถึงตอนนี้เราได้ทำงานกับค่าสเกลาร์ตามกฎของเลขคณิตและพีชคณิตระดับประถมศึกษา เวกเตอร์ - แนวคิดใหม่ นี่เป็นอีกหนึ่งคลาสของวัตถุทางคณิตศาสตร์ สำหรับพวกเขากฎของตัวเอง

เมื่อเราไม่รู้เกี่ยวกับตัวเลข ความคุ้นเคยกับพวกเขาเริ่มขึ้นในชั้นเรียนของจูเนียร์ ปรากฎว่าตัวเลขสามารถเปรียบเทียบซึ่งกันและกันพับหักทวีคูณและหาร เราเรียนรู้ว่ามีหมายเลขหนึ่งและหมายเลขศูนย์
ตอนนี้เราทำความคุ้นเคยกับเวกเตอร์

แนวคิดของ "เพิ่มเติม" และ "น้อย" สำหรับเวกเตอร์ไม่มีอยู่ - พวกเขาสามารถเป็นทิศทางที่แตกต่างกัน คุณสามารถเปรียบเทียบความยาวของเวกเตอร์เท่านั้น

แต่แนวคิดของความเท่าเทียมกันสำหรับเวกเตอร์คือ
เท่ากัน เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันและทิศทางเดียวกันเรียกว่า ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์สามารถถ่ายโอนแบบขนานกับตัวเองได้ทุกที่ในเครื่องบิน
เดี่ยว เรียกว่าเวกเตอร์ความยาวซึ่งเท่ากับ 1 ศูนย์ - เวกเตอร์ความยาวซึ่งเป็นศูนย์นั่นคือการเริ่มต้นของมันก็เกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุด

มันสะดวกที่สุดในการทำงานกับเวกเตอร์ในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชั่น แต่ละจุดในระบบพิกัดสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว - พิกัดของ x และ y, abscissa และ ordinate
เวกเตอร์ยังตั้งค่าสองพิกัด:

ที่นี่ในวงเล็บที่บันทึกพิกัดของเวกเตอร์ - โดย x และบน y
พวกเขาเป็นเพียง: จุดจบพิกัดของเวกเตอร์ลบพิกัดของการเริ่มต้น

หากมีการระบุพิกัดเวกเตอร์ความยาวของมันจะอยู่ที่สูตร

นอกจากนี้ของเวกเตอร์

สำหรับการเพิ่มเวกเตอร์มีสองวิธี

หนึ่ง. กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน เพื่อพับเวกเตอร์และเราใส่จุดเริ่มต้นของทั้งสองจุด คุณจะเสร็จสมบูรณ์ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและจากจุดเดียวกันกับที่เราทำตามแนวทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน นี่จะเป็นผลรวมของเวกเตอร์และ

จำสกรูเกี่ยวกับ Swan มะเร็งและหอก? พวกเขาพยายามมาก แต่ไม่เคยเปลี่ยนใครจากที่เกิดเหตุ ท้ายที่สุดผลรวมเวกเตอร์ของกองกำลังที่ติดอยู่กับรถเป็นศูนย์

2. วิธีที่สองของการเพิ่มเวกเตอร์เป็นกฎสามเหลี่ยม ใช้เวกเตอร์เดียวกันและ ในตอนท้ายของเวกเตอร์แรกฉันแนบจุดเริ่มต้นของวินาที ตอนนี้เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของครั้งแรกและปลายวินาที นี่คือผลรวมของเวกเตอร์และ

ในลักษณะเดียวกันหลายเวกเตอร์สามารถพับได้ เราเพิ่มพวกเขาทีละชิ้นแล้วรวมจุดเริ่มต้นของครั้งแรกด้วยจุดสิ้นสุดของหลัง

ลองนึกภาพว่าคุณไปจากจุด A ถึงวรรค B จาก B C จาก C ใน D แล้วใน E และใน F ผลสุดท้ายของการกระทำเหล่านี้กำลังเคลื่อนย้ายจากใน f

เมื่อเพิ่มเวกเตอร์และรับ:

ลบเวกเตอร์

เวกเตอร์ถูกส่งไปยังเวกเตอร์ตรงข้าม ความยาวของเวกเตอร์มีค่าเท่ากัน

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าการลบเวกเตอร์อะไร ความแตกต่างของเวกเตอร์คือผลรวมของเวกเตอร์และเวกเตอร์

การคูณเวกเตอร์ตามจำนวน

เมื่อเวกเตอร์ทวีคูณจำนวน K เวกเตอร์จะได้รับความยาวที่แตกต่างจากความยาว มันเคลือบด้วยเวกเตอร์ถ้า k มีขนาดใหญ่ขึ้นและถูกส่งตรงข้ามกับที่ k น้อยกว่าศูนย์

เวกเตอร์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์

เวกเตอร์สามารถทวีคูณไม่เพียง แต่ในตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมกัน

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เป็นผลิตภัณฑ์ของความยาวของเวกเตอร์บนโคไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา

หมายเหตุ - ย้ายเวกเตอร์สองตัวและสเกลาร์ปรากฏขึ้นนั่นคือจำนวน ตัวอย่างเช่นในฟิสิกส์งานวิศวกรรมเท่ากับผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของทั้งสองเวกเตอร์ - กองกำลังและการเคลื่อนไหว:

หากเวกเตอร์อยู่ในแนวตั้งฉากผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกเขาเป็นศูนย์
และนี่คือผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่แสดงผ่านพิกัดของเวกเตอร์และ:

จากสูตรสำหรับผลิตภัณฑ์สเกลาร์คุณสามารถค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์:

สูตรนี้สะดวกโดยเฉพาะอย่างยิ่งใน Hereometry ตัวอย่างเช่นในภารกิจของการสอบโปรไฟล์ 14 ครั้งในวิชาคณิตศาสตร์คุณต้องค้นหามุมระหว่างไขว้ตรงหรือระหว่างเส้นตรงและเครื่องบิน บ่อยครั้งที่งาน 14 ได้รับการแก้ไขเร็วกว่าคลาสสิกหลายครั้ง

ในโปรแกรมโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์มีการศึกษาเฉพาะผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เท่านั้น
ปรากฎว่ายกเว้นสเกลาร์นอกจากนี้ยังมีผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เมื่อเวกเตอร์เป็นผลมาจากการทวีคูณเวกเตอร์ ใครให้การสอบในฟิสิกส์รู้ว่าพลังของ Lorentz และพลังของ AMPER คืออะไร สูตรสำหรับการค้นหากองกำลังเหล่านี้รวมถึงศิลปะเวกเตอร์

เวกเตอร์ - เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ ในนี้คุณจะเห็นในปีแรก

คำนิยาม 1.เวกเตอร์ในอวกาศเรียกว่าส่วนทิศทาง

ดังนั้นเวกเตอร์ตรงกันข้ามกับค่าสเกลาร์มีสองลักษณะ: ความยาวและทิศทาง เราจะกำหนดสัญลักษณ์เวกเตอร์หรือ แต่ .

(ที่นี่ แต่และ ใน- จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์นี้ (รูปที่ 1)) แต่ ใน

ความยาวของเวกเตอร์ถูกระบุโดยสัญลักษณ์โมดูล: .แต่รูปที่ 1

มีเวกเตอร์มีสามประเภทที่กำหนดโดยอัตราส่วนความเสมอภาคระหว่างพวกเขา:

เวกเตอร์อดอาหารพวกเขาเรียกว่าเท่ากันถ้าพวกเขาตรงจุดเริ่มต้นและสิ้นสุดตามลำดับ ตัวอย่างของเวกเตอร์ดังกล่าวคือเวกเตอร์พลังงาน

เวกเตอร์เลื่อนพวกเขาเรียกว่าเท่ากันหากตั้งอยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้นมีความยาวและทิศทางเดียวกัน ตัวอย่างของเวกเตอร์ดังกล่าวคือ Velocity Vector

เวกเตอร์ฟรีหรือเรขาคณิตถือว่าเท่ากับหากสามารถใช้ร่วมกับการถ่ายโอนแบบขนาน

เส้นทางของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์กล่าวถึง เฉพาะเวกเตอร์หลวม

นิยาม 2.เวกเตอร์ความยาวซึ่งเป็นศูนย์เรียกว่า ศูนย์เวกเตอร์หรือ ศูนย์ -

เวกเตอร์.

เห็นได้ชัดว่าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของศูนย์เวกเตอร์ตรง ศูนย์เวกเตอร์ไม่มีทิศทางที่แน่นอนหรือมี ทุกคนทิศทาง.

นิยาม 3.สองรุ่นที่โกหกบนเส้นตรงหรือเส้นขนานที่เรียกว่า

นักเลง(รูปที่ 2) แสดง:
.ก.

คำนิยาม 4.ทั้งสอง collinear และผู้เวกเตอร์กำกับอย่างเท่าเทียมกันเรียกว่า

sonatedแสดง:
.

ตอนนี้คุณสามารถให้การระบุอย่างเข้มงวดของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ฟรี:

คำนิยาม 5.เวกเตอร์ฟรีสองตัวเรียกว่าเท่ากันหากเคลือบและมี

ความยาวเท่ากัน

คำนิยาม 6.สามเวกเตอร์นอนอยู่ในระนาบเดียวหรือขนานกัน

การสนทนา.

สองเวกเตอร์ตั้งฉากโทร เกี่ยวกับมุมฉาก:
.

นิยาม 7.เวกเตอร์ความยาวแยกที่เรียกว่า เวกเตอร์เดียวหรือ ort

ort, เคลือบด้วย nonzero vector แต่ โทร orta vectorแต่ :อี. ก. .

§2การดำเนินงานสายมากกว่าเวกเตอร์

ในชุดของเวกเตอร์ที่ระบุการดำเนินงานเชิงเส้น: การเพิ่มเวกเตอร์และการคูณของเวกเตอร์ตามจำนวน

I. การเพิ่มเวกเตอร์แล้ว

ผลรวมของ 2 เวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์จุดเริ่มต้นที่เกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของครั้งแรกและจุดสิ้นสุดของวินาทีที่สองโดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นของวินาทีที่เกิดขึ้นกับจุดสิ้นสุดของครั้งแรก

L. เอ็กโกเห็นว่าผลรวมของสองเวกเตอร์ที่กำหนดไว้

ดังนั้น (รูปที่ 3a), เกิดขึ้นพร้อมกับผลรวมของเวกเตอร์

สร้างขึ้นตามกฎของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 6) b.

อย่างไรก็ตามกฎนี้ช่วยให้คุณสร้าง ก.

ผลรวมของจำนวนของเวกเตอร์ (รูปที่ 3b)

ก. + b.

ก.

b. ก. + b. + ค.

รูปที่ 3b ค.

เวกเตอร์เวกเตอร์ในอวกาศที่เรียกว่ากลุ่มทิศทาง, I.e. ส่วนที่เริ่มต้นและจุดสิ้นสุดจะถูกระบุ ความยาวหรือโมดูลเวกเตอร์คือความยาวของส่วนที่สอดคล้องกัน ความยาวของเวกเตอร์ถูกแสดงตามลำดับ สองเวกเตอร์เรียกว่าเท่ากันหากมีความยาวและทิศทางเท่ากัน เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด A และจุดสิ้นสุดที่จุดในนั้นแสดงและวาดด้วยลูกศรที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด A และจุดสิ้นสุดที่ Point V. เรายังพิจารณาศูนย์ Zero ซึ่งเริ่มตรงกับจุดสิ้นสุด . เวกเตอร์ศูนย์ทั้งหมดถือว่าเท่ากับกัน พวกเขาจะระบุและความยาวของพวกเขาถือว่าเป็นศูนย์

การเพิ่มเวกเตอร์สำหรับเวกเตอร์การดำเนินการเพิ่มเติมจะถูกกำหนดไว้ เพื่อที่จะพับเวกเตอร์สองเวกเตอร์และเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไปเพื่อให้การเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ เวกเตอร์ที่มีต้นกำเนิดเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และจุดสิ้นสุด - เมื่อสิ้นสุดเวกเตอร์เรียกว่าผลรวมของเวกเตอร์และถูกระบุ

การคูณแบบเวกเตอร์ในจำนวนเวกเตอร์ทำงานบนหมายเลข T ที่ระบุ ตามคำนิยามผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์บนหมายเลข -1 เรียกว่าเวกเตอร์ตรงข้ามและหมายถึงคำนิยามเวกเตอร์มีทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์เป็นหมายเลขที่เรียกว่าเวกเตอร์ความยาวซึ่ง เท่ากับและทิศทางยังคงเหมือนเดิมถ้า t\u003e 0 และการเปลี่ยนแปลงที่ตรงกันข้ามถ้า t 0 และเปลี่ยนเป็นตรงกันข้ามถ้า t

คุณสมบัติของเวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์ซึ่งแสดงให้เห็นว่าจะคูณเวกเตอร์กับจำนวนค่าของคุณสมบัติคล้ายกับคุณสมบัติการคูณของตัวเลขคือ: คุณสมบัติ 1. (แฟชั่น) คุณสมบัติ 2. (กฎหมายการจัดจำหน่ายครั้งแรก) คุณสมบัติ 3. (กฎหมายการจัดจำหน่ายครั้งที่สอง)

คำนิยาม

ค่าสเกลาร์ - ค่าที่สามารถโดดเด่นด้วยจำนวน ตัวอย่างเช่นความยาวพื้นที่น้ำหนักอุณหภูมิ ฯลฯ

เวกเตอร์ เรียกว่าส่วนทิศทาง $ \\ overline (a b) $; จุด $ A $ คือจุดเริ่มต้นจุด $ B $ คือจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (รูปที่ 1)

เวกเตอร์ถูกแสดงด้วยตัวอักษรขนาดใหญ่สองตัว - จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด: $ \\ overline (a b) $ ด้วยตัวอักษรขนาดเล็กหนึ่งตัว: $ \\ overline (a) $

คำนิยาม

หากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ตรงนั้นเวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า ศูนย์. บ่อยที่สุดเวกเตอร์ศูนย์จะถูกระบุว่าเป็น $ \\ overline (0) $

เวกเตอร์ถูกเรียก นักเลงหากพวกเขาโกหกทั้งสองเส้นตรงทั้งบนเส้นตรงขนาน (รูปที่ 2)

คำนิยาม

สองเวกเตอร์ collinear $ \\ overline (a) $ และ $ \\ overline (b) $ เรียกว่า ที่ได้ทำหากทิศทางของพวกเขาตรง: $ \\ overline (a) \\ uparrow \\ uparrow \\ overline (b) $ (รูปที่ 3, a) สองเวกเตอร์ collinear $ \\ overline (a) $ และ $ \\ overline (b) $ เรียกว่า ตรงไปตรงมาหากทิศทางของพวกเขาตรงกันข้าม: $ \\ overline (a) \\ uparrow \\ downarrow \\ overline (b) $ (รูปที่ 3, b)