แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น กฎของทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีความน่าจะเป็นและแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎี ทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์

หลักคำสอนของกฎหมายที่เรียกว่า เหตุการณ์สุ่ม พจนานุกรมคำต่างประเทศรวมอยู่ในภาษารัสเซีย Chudinov A.N. , 1910 ... พจนานุกรมคำต่างประเทศของภาษารัสเซีย

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- - [แอล.จี. ซูเมนโก. พจนานุกรมภาษาอังกฤษของรัสเซียเทคโนโลยีสารสนเทศ M.: GP TsNIIS, 2003.] หัวข้อ เทคโนโลยีสารสนเทศโดยทั่วไป EN ทฤษฎีความน่าจะเป็นทฤษฎีการคำนวณความน่าจะเป็น ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- มีคณิตศาสตร์ส่วนหนึ่งที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็น (ดู ความน่าจะเป็นและสถิติ) ของเหตุการณ์ต่างๆ เราแสดงรายการทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์นี้ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์เท่ากับ ... ... พจนานุกรมสารานุกรมเอฟ Brockhaus และ I.A. เอฟรอน

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ที่ช่วยให้ตามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มบางเหตุการณ์ (ดู) เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มที่เกี่ยวข้องกับ k ล. ด้วยวิธีแรก ทีวีสมัยใหม่ ตามสัจพจน์ (ดูวิธี Axiomatic) ของ A. N. Kolmogorov บน… … สารานุกรมสังคมวิทยารัสเซีย

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- สาขาคณิตศาสตร์ซึ่งตามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มบางเหตุการณ์พบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่นที่เกี่ยวข้องในทางใดทางหนึ่งกับครั้งแรก ทฤษฎีความน่าจะเป็นยังศึกษาตัวแปรสุ่มและกระบวนการสุ่ม หลักอย่างหนึ่ง… … แนวคิดของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่ อภิธานศัพท์ของคำศัพท์พื้นฐาน

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: ภาษาอังกฤษ ทฤษฎีความน่าจะเป็น Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. ทฤษฎีความน่าจะเป็น, f prac theorie des probabilités, f … Fizikos ปลายทาง žodynas

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- ... Wikipedia

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่ม ... จุดเริ่มต้นของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่

ทฤษฎีความน่าจะเป็น- (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ดูความน่าจะเป็น ... พจนานุกรมสังคมวิทยาอธิบายขนาดใหญ่

ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์- (“ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์”) วารสารวิทยาศาสตร์ของภาควิชาคณิตศาสตร์ของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งสหภาพโซเวียต ตีพิมพ์บทความต้นฉบับและ ข้อความสั้นๆตามทฤษฎีความน่าจะเป็น เรื่องทั่วไปสถิติทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและ ... ... ใหญ่ สารานุกรมของสหภาพโซเวียต

หนังสือ

• ทฤษฎีความน่าจะเป็น , Venttsel E.S. หนังสือเล่มนี้เป็นหนังสือเรียนสำหรับผู้ที่คุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ในขอบเขตของหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายทั่วไปและมีความสนใจในการประยุกต์ใช้ทางเทคนิคของทฤษฎีความน่าจะเป็นใน ... ซื้อในราคา 2056 UAH (ยูเครนเท่านั้น)
• ทฤษฎีความน่าจะเป็น , Wentzel E.S. หนังสือเล่มนี้เป็นหนังสือเรียนสำหรับผู้ที่คุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ในขอบเขตของหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายทั่วไปและสนใจในการประยุกต์ใช้ทางเทคนิคของทฤษฎีความน่าจะเป็นใน ...

ความน่าจะเป็นคืออะไร?

เจอคำนี้ครั้งแรกก็ไม่เข้าใจว่ามันคืออะไร ฉันจะพยายามอธิบายให้เข้าใจ

ความน่าจะเป็นคือโอกาสที่เหตุการณ์ที่ต้องการจะเกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่น คุณตัดสินใจไปเยี่ยมเพื่อน จำทางเข้าและแม้แต่ชั้นที่เขาอาศัยอยู่ แต่ฉันลืมหมายเลขและที่ตั้งของอพาร์ตเมนต์ และตอนนี้คุณกำลังยืนอยู่บนบันได และตรงหน้าคุณเป็นประตูให้เลือก

โอกาส (ความน่าจะเป็น) ที่ถ้าคุณกดกริ่งประตูแรก เพื่อนจะเปิดประตูให้คุณคืออะไร? อพาร์ตเมนต์ทั้งหมดและเพื่อนคนหนึ่งอาศัยอยู่ข้างหลังพวกเขาเพียงคนเดียว ด้วยโอกาสที่เท่าเทียมกัน เราสามารถเลือกประตูใดก็ได้

แต่โอกาสนี้คืออะไร?

ประตู, ประตูขวา. ความน่าจะเป็นของการเดาโดยกดกริ่งประตูแรก: . นั่นคือหนึ่งครั้งในสามที่คุณจะเดาได้อย่างแน่นอน

เราอยากรู้ว่าโทรไปซักครั้งจะทายประตูบ่อยแค่ไหน? ลองดูตัวเลือกทั้งหมด:

1. คุณโทรหา ที่ 1ประตู
2. คุณโทรหา ครั้งที่ 2ประตู
3. คุณโทรหา ครั้งที่ 3ประตู

และตอนนี้ให้พิจารณาตัวเลือกทั้งหมดที่เพื่อนสามารถ:

ก. ต่อ ที่ 1ประตู
ข. ต่อ ครั้งที่ 2ประตู
วี ต่อ ครั้งที่ 3ประตู

ลองเปรียบเทียบตัวเลือกทั้งหมดในรูปแบบของตาราง เครื่องหมายถูกระบุตัวเลือกเมื่อตัวเลือกของคุณตรงกับตำแหน่งของเพื่อน เครื่องหมายกากบาท - เมื่อมันไม่ตรงกัน

คุณเห็นทุกอย่างเป็นอย่างไร อาจจะ ตัวเลือกตำแหน่งของเพื่อนและตัวเลือกของคุณว่าจะให้กดกริ่งประตูใด

อา ผลลัพธ์ที่ดีของทุกคน . นั่นคือคุณจะเดาเวลาโดยการกดที่ประตูหนึ่งครั้งเช่น .

นี่คือความน่าจะเป็น - อัตราส่วนของผลลัพธ์ที่น่าพอใจ (เมื่อตัวเลือกของคุณใกล้เคียงกับตำแหน่งของเพื่อน) ต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้

คำจำกัดความคือสูตร ความน่าจะเป็นมักจะแสดง p ดังนั้น:

ไม่สะดวกที่จะเขียนสูตรดังกล่าว ดังนั้นลองมาดู - จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจและสำหรับ - จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

ความน่าจะเป็นสามารถเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้ สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วย:

อาจเป็นเพราะคำว่า "ผลลัพธ์" ที่ดึงดูดสายตาคุณ เนื่องจากนักคณิตศาสตร์เรียกการดำเนินการต่างๆ (สำหรับเรา การกระทำดังกล่าวเป็นเสียงกริ่งประตู) การทดลอง จึงเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกผลลัพธ์ของการทดลองดังกล่าวว่าผลลัพธ์

ดีผลเป็นที่น่าพอใจและไม่เอื้ออำนวย

ลองกลับไปที่ตัวอย่างของเรา สมมติว่าเรากดที่ประตูบานหนึ่ง แต่มีคนแปลกหน้ามาเปิดประตูให้เรา เราไม่ได้เดา ความน่าจะเป็นที่ถ้าเรากดกริ่งที่ประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลือ เพื่อนของเราจะเปิดประตูให้เราเป็นเท่าใด

ถ้าคุณคิดอย่างนั้น แสดงว่านี่คือความผิดพลาด ลองคิดออก

เรามีประตูเหลืออยู่สองประตู ดังนั้นเราจึงมีขั้นตอนที่เป็นไปได้:

1) โทรไปที่ ที่ 1ประตู
2) โทร ครั้งที่ 2ประตู

เพื่อนคนนี้อยู่เบื้องหลังหนึ่งในนั้นอย่างแน่นอน (ท้ายที่สุดแล้ว เขาไม่ได้อยู่เบื้องหลังคนที่เราโทรหา):

ก) เพื่อน ที่ 1ประตู
b) เพื่อนสำหรับ ครั้งที่ 2ประตู

มาวาดตารางกันอีกครั้ง:

อย่างที่คุณเห็นมีตัวเลือกทั้งหมดซึ่งเป็นที่นิยม นั่นคือความน่าจะเป็นเท่ากัน

ทำไมจะไม่ล่ะ?

สถานการณ์ที่เราได้พิจารณาคือ ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกันเหตุการณ์แรกคือกริ่งประตูแรก เหตุการณ์ที่สองคือกริ่งประตูที่สอง

และเรียกว่าขึ้นต่อกันเพราะมีผลต่อการกระทำดังต่อไปนี้ ท้ายที่สุดแล้ว ถ้าเพื่อนเปิดประตูหลังจากเสียงกริ่งแรก ความน่าจะเป็นที่เขาอยู่ข้างหลังหนึ่งในสองคนที่เหลือจะเป็นเท่าใด ถูกต้อง, .

แต่ถ้ามีเหตุขึ้นอยู่ก็ต้องมี เป็นอิสระ? จริงอยู่.

ตัวอย่างหนังสือเรียนคือการโยนเหรียญ

1. เราโยนเหรียญ เช่น ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวเป็นเท่าไหร่? ถูกต้อง เพราะตัวเลือกสำหรับทุกอย่าง (ไม่ว่าจะหัวหรือก้อย เราจะละเลยความน่าจะเป็นที่เหรียญจะยืนอยู่บนขอบ) แต่เหมาะกับเราเท่านั้น
2. แต่หางหลุดออกมา โอเค เรามาทำกันใหม่นะ ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวตอนนี้เป็นเท่าไหร่? ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ทุกอย่างเหมือนเดิม มีกี่ตัวเลือก? สอง. เราพอใจมากแค่ไหน? หนึ่ง.

และปล่อยให้หางหลุดออกมาอย่างน้อยพันครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่จะล้มหัวในครั้งเดียวจะเท่าเดิม มีตัวเลือกอยู่เสมอ แต่ตัวเลือกที่ดี

การแยกแยะเหตุการณ์ที่ขึ้นกับจากเหตุการณ์อิสระเป็นเรื่องง่าย:

1. หากทำการทดลองเพียงครั้งเดียว (เมื่อโยนเหรียญแล้ว กริ่งประตูก็ดังขึ้น 1 ครั้ง ฯลฯ) เหตุการณ์จะเป็นอิสระเสมอ
2. หากทำการทดลองหลายครั้ง (โยนเหรียญหนึ่งครั้ง เสียงกริ่งประตูดังขึ้นหลายครั้ง) เหตุการณ์แรกจะเป็นอิสระเสมอ แล้วถ้าจำนวนที่น่าพอใจหรือจำนวนของผลลัพธ์ทั้งหมดเปลี่ยนแปลง เหตุการณ์ก็ขึ้นอยู่กับ และถ้าไม่ เหตุการณ์เหล่านั้นก็เป็นอิสระ

มาฝึกกันสักหน่อยเพื่อหาความน่าจะเป็นกัน

ตัวอย่างที่ 1

เหรียญถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย:

พิจารณาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

1. อินทรีอินทรี
2. หางนกอินทรี
3. หางอินทรี
4. หาง-ก้อย

อย่างที่คุณเห็นตัวเลือกทั้งหมด ของเหล่านี้เราพอใจเท่านั้น นั่นคือความน่าจะเป็น:

หากเงื่อนไขถามเพียงเพื่อหาความน่าจะเป็น จะต้องให้คำตอบเป็นเศษส่วนทศนิยม ถ้ามันระบุว่าต้องให้คำตอบเป็นเปอร์เซ็นต์แล้วเราจะคูณด้วย

ตอบ:

ตัวอย่าง 2

ในกล่องช็อคโกแลต ลูกอมทั้งหมดจะถูกบรรจุในกระดาษห่อเดียวกัน อย่างไรก็ตามจากขนม - กับถั่ว, คอนยัค, เชอร์รี่, คาราเมลและตังเม

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกอมหนึ่งเม็ดและได้ลูกอมที่มีถั่วเป็นเท่าใด ให้คำตอบเป็นเปอร์เซ็นต์

สารละลาย:

ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีกี่แบบ? .

นั่นคือการเอาขนมไปหนึ่งลูกก็จะเป็นหนึ่งในนั้นในกล่อง

และมีผลดีกี่ประการ?

เพราะในกล่องมีแต่ชอคโกแลตกับถั่ว

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 3

ในกล่องลูกบอล ซึ่งมีสีขาวและสีดำ

1. ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวเป็นเท่าไหร่?
2. เราเพิ่มลูกบอลสีดำเข้าไปในกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวตอนนี้เป็นเท่าไหร่?

สารละลาย:

ก) มีเพียงลูกบอลในกล่อง ซึ่งมีสีขาว

ความน่าจะเป็นคือ:

b) ตอนนี้มีลูกอยู่ในกล่อง และก็เหลือผ้าขาวอีกจำนวนเท่าๆ กัน

ตอบ:

ความน่าจะเป็นเต็ม

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ ()

ตัวอย่างเช่นในกล่องลูกบอลสีแดงและสีเขียว ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดงเป็นเท่าไหร่? ลูกบอลสีเขียว? ลูกบอลสีแดงหรือสีเขียว?

ความน่าจะเป็นของการจั่วลูกบอลสีแดง

ลูกบอลสีเขียว:

ลูกบอลสีแดงหรือสีเขียว:

อย่างที่คุณเห็น ผลรวมของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับ () การเข้าใจประเด็นนี้จะช่วยคุณแก้ปัญหามากมาย

ตัวอย่างที่ 4

มีปากกาสักหลาดในกล่อง: เขียว, แดง, น้ำเงิน, เหลือง, ดำ

ความน่าจะเป็นที่จะวาดไม่ใช่เครื่องหมายสีแดงเป็นเท่าใด

สารละลาย:

มานับเลขกัน ผลลัพธ์ที่ดี

ไม่ใช่เครื่องหมายสีแดง นั่นหมายถึงสีเขียว สีฟ้า สีเหลือง หรือสีดำ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมด และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราพิจารณาว่าไม่เอื้ออำนวย (เมื่อเราดึงปากกาสักหลาดสีแดงออกมา) คือ

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะวาดไม่ใช่ปากกาสักหลาดสีแดงคือ -

ตอบ:

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นคือลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

กฎการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

คุณรู้อยู่แล้วว่ากิจกรรมอิสระคืออะไร

และถ้าคุณต้องการค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ (หรือมากกว่า) จะเกิดขึ้นติดต่อกัน?

สมมุติว่าเราอยากรู้ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญ 1 ครั้ง เราจะเห็นนกอินทรี 2 ครั้งเป็นเท่าไหร่?

เราได้พิจารณาแล้ว - .

ถ้าเราโยนเหรียญล่ะ? ความน่าจะเป็นที่จะเห็นนกอินทรี 2 ครั้งติดต่อกันเป็นเท่าไหร่?

ตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

1. อินทรีอินทรีอินทรี
2. นกอินทรีหัวหาง
3. หัว-หาง-อินทรี
4. หัวหางหาง
5. หางอินทรีอินทรี
6. หาง-หัว-ก้อย
7. หาง-หาง-หัว
8. หางหางหาง

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับคุณ แต่ฉันทำรายการนี้ผิดครั้งเดียว ว้าว! และทางเลือกเดียว (อันแรก) ที่เหมาะกับเรา

สำหรับ 5 ม้วน คุณสามารถสร้างรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ด้วยตัวเอง แต่นักคณิตศาสตร์ไม่ได้ขยันเหมือนคุณ

ดังนั้น ในตอนแรกพวกเขาสังเกตเห็นและพิสูจน์แล้วว่าความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์อิสระบางรายการลดลงในแต่ละครั้งตามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียว

กล่าวอีกนัยหนึ่ง

ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง​เหรียญ​เดียว​กัน​ที่​โชคร้าย.

ความน่าจะเป็นของการขึ้นหัวในการทดลอง? . ตอนนี้เรากำลังโยนเหรียญ

ความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อยติดต่อกันเป็นเท่าไหร่?

กฎนี้ใช้ไม่ได้เฉพาะหากเราถูกขอให้ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เดียวกันจะเกิดขึ้นหลายครั้งติดต่อกัน

หากเราต้องการค้นหาลำดับ TAILS-EAGLE-TAILS ในการพลิกติดต่อกัน เราก็จะทำเช่นเดียวกัน

ความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อย - , หัว - .

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลำดับ TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเองโดยการทำตาราง

กฎสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

ดังนั้นหยุด! นิยามใหม่.

ลองคิดออก หยิบเหรียญที่ชำรุดของเราพลิกดูสักครั้ง
ตัวเลือกที่เป็นไปได้:

1. อินทรีอินทรีอินทรี
2. นกอินทรีหัวหาง
3. หัว-หาง-อินทรี
4. หัวหางหาง
5. หางอินทรีอินทรี
6. หาง-หัว-ก้อย
7. หาง-หาง-หัว
8. หางหางหาง

ดังนั้นนี่คือเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ นี่คือลำดับเหตุการณ์ที่กำหนด เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

หากเราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ (หรือมากกว่า) เราจะเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

คุณต้องเข้าใจว่าการสูญเสียนกอินทรีหรือหางเป็นสองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ

หากเราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของลำดับ (หรืออื่นๆ) ที่หลุดออกมา เราก็ใช้กฎของการคูณความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในการโยนครั้งแรกและก้อยในครั้งที่สองและครั้งที่สามเป็นเท่าไหร่?

แต่ถ้าเราต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จะได้ลำดับหนึ่งในหลายๆ ลำดับเป็นเท่าใด ตัวอย่างเช่น เมื่อหัวขึ้นเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ทางเลือก แล้วเราต้องเพิ่มความน่าจะเป็นของลำดับเหล่านี้

ตัวเลือกทั้งหมดเหมาะกับเรา

เราจะได้สิ่งเดียวกันโดยบวกความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของแต่ละลำดับ:

ดังนั้นเราจึงเพิ่มความน่าจะเป็นเมื่อเราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์บางอย่างที่ไม่เข้ากัน

มีกฎเกณฑ์ที่ดีที่จะช่วยให้คุณไม่สับสนว่าจะคูณเมื่อใดและควรบวกเมื่อใด:

กลับไปที่ตัวอย่างที่เราโยนเหรียญครั้งและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จะเห็นหัวครั้งเดียว
จะเกิดอะไรขึ้น?

ควรดรอป:
(หัวและก้อยและก้อย) หรือ (หางและหัวและก้อย) หรือ (หางและหางและหัว)
และปรากฎว่า:

มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5

ในกล่องมีดินสอ สีแดง สีเขียว สีส้ม สีเหลือง และสีดำ ความน่าจะเป็นในการวาดดินสอสีแดงหรือสีเขียวเป็นเท่าใด

สารละลาย:

จะเกิดอะไรขึ้น? เราต้องดึงออก (แดง หรือ เขียว)

ชัดเจนแล้ว เรารวมความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้เข้าด้วยกัน:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 6

โยนลูกเต๋าสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้ทั้งหมด 8 ลูกเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย.

เราจะได้รับคะแนนได้อย่างไร?

(และ) หรือ (และ) หรือ (และ) หรือ (และ) หรือ (และ)

ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากใบหน้าใดหน้าหนึ่งคือ

เราคำนวณความน่าจะเป็น:

ตอบ:

ออกกำลังกาย.

ฉันคิดว่าตอนนี้มันชัดเจนสำหรับคุณแล้วเมื่อคุณต้องการนับความน่าจะเป็น เมื่อใดควรบวก และเมื่อใดควรคูณ มันไม่ได้เป็น? มาออกกำลังกายกันเถอะ

งาน:

ลองใช้สำรับไพ่ที่ไพ่เป็นโพดำ หัวใจ 13 คลับ และ 13 แทมบูรีน จากสู่เอซของแต่ละชุด

1. ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไม้กอล์ฟติดต่อกันเป็นเท่าไหร่ (เราใส่ไพ่ใบแรกที่จั่วกลับเข้าไปในสำรับและสับไพ่)?
2. ความน่าจะเป็นในการจั่วไพ่สีดำ (โพดำหรือไม้กอล์ฟ) คืออะไร?
3. ความน่าจะเป็นในการวาดภาพ (แจ็ค ควีน คิง หรือเอซ) คืออะไร?
4. ความน่าจะเป็นของการวาดภาพสองภาพติดต่อกันเป็นเท่าใด (เรานำไพ่ใบแรกที่จั่วออกจากสำรับ) เป็นเท่าใด
5. ความน่าจะเป็นในการรับไพ่สองใบเพื่อรวบรวมชุดค่าผสมคืออะไร - (แจ็ค ควีน หรือ คิง) และเอซ ลำดับที่จะจั่วไพ่ไม่สำคัญ

คำตอบ:

1. ในสำรับไพ่แต่ละใบมีความหมายว่า:
2. เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับว่าหลังจากไพ่ใบแรกจั่ว จำนวนไพ่ในสำรับลดลง (รวมถึงจำนวน "รูปภาพ") รวมแจ็ค ควีน คิงส์ และเอซในสำรับแรก ซึ่งหมายถึงความน่าจะเป็นในการวาด "รูปภาพ" ด้วยไพ่ใบแรก:

   เนื่องจากเรานำไพ่ใบแรกออกจากสำรับ หมายความว่ามีไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับซึ่งมีรูปภาพอยู่ ความน่าจะเป็นในการวาดภาพด้วยไพ่ใบที่สอง:

   เนื่องจากเราสนใจสถานการณ์เมื่อเราได้รับจากสำรับ: "รูปภาพ" และ "รูปภาพ" เราจึงต้องคูณความน่าจะเป็น:

   ตอบ:

3. หลังจากจั่วไพ่ใบแรกแล้ว จำนวนไพ่ในสำรับจะลดลง ดังนั้น เรามีสองทางเลือก:
   1) ด้วยไพ่ใบแรกที่เรานำเอซออก ไพ่ใบที่สอง - แจ็ค ราชินีหรือราชา
   2) ด้วยไพ่ใบแรกเรานำแจ็คราชินีหรือราชาใบที่สอง - เอซ (เอซและ (แจ็คหรือควีนหรือคิง)) หรือ ((แจ็คหรือควีนหรือคิง) และเอซ) อย่าลืมเกี่ยวกับการลดจำนวนไพ่ในสำรับ!

หากคุณสามารถแก้ปัญหาทั้งหมดได้ด้วยตัวเอง แสดงว่าคุณเป็นเพื่อนที่ดี! ตอนนี้งานเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นในการสอบคุณจะคลิกเหมือนถั่ว!

ทฤษฎีความน่าจะเป็น ระดับเฉลี่ย

ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง. สมมุติว่าเราโยนลูกเต๋า นี่กระดูกอะไรนะรู้ยัง? นี่คือชื่อของลูกบาศก์ที่มีตัวเลขอยู่บนใบหน้า มีกี่หน้า กี่ตัวเลข จากถึงกี่? ก่อน.

ดังนั้นเราจึงทอยลูกเต๋าและต้องการให้มันเกิดขึ้นกับหรือ และเราหลุดออก

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาบอกว่าเกิดอะไรขึ้น เหตุการณ์ที่ดี(อย่าสับสนกับความดี)

ถ้าหลุดออกมาก็จะเป็นมงคลด้วย โดยรวมแล้วสามารถเกิดขึ้นได้เพียงสองเหตุการณ์เท่านั้น

ตัวร้ายมีกี่ตัว? เนื่องจากเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดดังนั้นเหตุการณ์ที่ไม่เอื้ออำนวยจึงเป็นเหตุการณ์ (นี่คือถ้ามันหลุดออกมาหรือ)

คำนิยาม:

ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เอื้ออำนวยต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด. นั่นคือความน่าจะเป็นแสดงให้เห็นว่าสัดส่วนของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นอย่างไร

ความน่าจะเป็นจะแสดงด้วยตัวอักษรละติน (เห็นได้ชัดว่าจาก คำภาษาอังกฤษความน่าจะเป็น - ความน่าจะเป็น)

เป็นเรื่องปกติที่จะวัดความน่าจะเป็นเป็นเปอร์เซ็นต์ (ดูหัวข้อและ) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ค่าความน่าจะเป็นต้องคูณด้วย ในตัวอย่างลูกเต๋า ความน่าจะเป็น

และเป็นเปอร์เซ็นต์: .

ตัวอย่าง (ตัดสินใจด้วยตัวเอง):

1. ความน่าจะเป็นที่การโยนเหรียญจะตกหัวเป็นเท่าไหร่? และความน่าจะเป็นของหางเป็นเท่าไหร่?
2. ความน่าจะเป็นที่จะออกลูกเต๋าเป็นจำนวนคู่เป็นเท่าใด และด้วยอะไร - แปลก?
3. ในลิ้นชักดินสอธรรมดา น้ำเงินและแดง เราสุ่มวาดดินสอหนึ่งอัน ความน่าจะเป็นที่จะดึงตัวธรรมดาออกมาเป็นเท่าไหร่?

โซลูชั่น:

1. มีกี่ตัวเลือก? หัวและก้อย - เพียงสอง และมีกี่คนที่ชื่นชอบ? เพียงหนึ่งเดียวคือนกอินทรี ดังนั้น ความน่าจะเป็น

   เช่นเดียวกับหาง: .

2. ตัวเลือกทั้งหมด: (ลูกบาศก์มีกี่ด้าน ตัวเลือกต่างกันมากมาย) สิ่งที่ชอบ: (ทั้งหมดนี้เป็นเลขคู่ :)
   ความน่าจะเป็น ด้วยสิ่งแปลก ๆ แน่นอนสิ่งเดียวกัน
3. ทั้งหมด: . ข้อดี: . ความน่าจะเป็น: .

ความน่าจะเป็นเต็ม

ดินสอทั้งหมดในลิ้นชักเป็นสีเขียว ความน่าจะเป็นที่จะวาดด้วยดินสอสีแดงเป็นเท่าไหร่? ไม่มีโอกาส: ความน่าจะเป็น (หลังจากทั้งหมด เหตุการณ์ที่ดี -)

เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าเป็นไปไม่ได้

ความน่าจะเป็นในการวาดดินสอสีเขียวเป็นเท่าใด มีกิจกรรมที่ดีมากพอๆ กับจำนวนกิจกรรมทั้งหมด (กิจกรรมทั้งหมดเป็นที่น่าพอใจ) ดังนั้นความน่าจะเป็นคือหรือ

เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าบางอย่าง

ถ้าในกล่องมีดินสอสีเขียวและสีแดง ความน่าจะเป็นที่จะวาดเป็นสีเขียวหรือสีแดงเป็นเท่าใด อีกแล้ว. สังเกตสิ่งต่อไปนี้ ความน่าจะเป็นของการวาดสีเขียวมีค่าเท่ากัน และสีแดงคือ

สรุปความน่าจะเป็นเหล่านี้เท่ากันทุกประการ นั่นคือ, ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับหรือ

ตัวอย่าง:

ในกล่องดินสอ มีสีฟ้า แดง เขียว เรียบง่าย สีเหลือง และที่เหลือเป็นสีส้ม ความน่าจะเป็นที่จะไม่วาดสีเขียวเป็นเท่าใด

สารละลาย:

จำไว้ว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมกัน และความน่าจะเป็นของการวาดสีเขียวก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะไม่วาดสีเขียวจะเท่ากัน

จำเคล็ดลับนี้:ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นคือลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

เหตุการณ์อิสระและกฎการคูณ

คุณพลิกเหรียญสองครั้งและต้องการให้ขึ้นหัวทั้งสองครั้ง ความน่าจะเป็นของสิ่งนี้คืออะไร?

มาดูตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดและพิจารณาว่ามีกี่ตัวเลือก:

อินทรี-อินทรี หาง-อินทรี นกอินทรี-หาง หาง-หาง อะไรอีก?

ตัวแปรทั้งหมด ในจำนวนนี้ มีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่เหมาะกับเรา: Eagle-Eagle ดังนั้น ความน่าจะเป็นจะเท่ากัน

ตกลง. ทีนี้มาพลิกเหรียญกัน นับตัวเอง. เกิดขึ้น? (คำตอบ).

คุณอาจสังเกตเห็นว่าเมื่อเพิ่มการโยนครั้งต่อไปในแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นลดลงหนึ่งปัจจัย กฎทั่วไปเรียกว่า กฎการคูณ:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระเปลี่ยนไป

เหตุการณ์อิสระคืออะไร? ทุกอย่างมีเหตุผล: สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งที่ไม่พึ่งพาซึ่งกันและกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อเราโยนเหรียญหลายครั้ง ทุกครั้งที่มีการโยนใหม่ ผลที่ได้จะไม่ขึ้นอยู่กับการโยนครั้งก่อนทั้งหมด ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราสามารถโยนเหรียญสองเหรียญที่แตกต่างกันได้พร้อมกัน

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

1. ตายถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นทั้งสองครั้งเป็นเท่าไหร่?
2. เหรียญถูกโยนครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวก่อนแล้วก้อยสองครั้งเป็นเท่าไหร่?
3. ผู้เล่นทอยลูกเต๋าสองลูก ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเลขจะเท่ากันเป็นเท่าใด

คำตอบ:

1. เหตุการณ์เป็นอิสระจากกัน ซึ่งหมายความว่ากฎการคูณทำงาน:
2. ความน่าจะเป็นของนกอินทรีมีค่าเท่ากัน ความน่าจะเป็นก้อยเช่นกัน เราคูณ:
3. สามารถรับ 12 ได้ก็ต่อเมื่อสอง -ki หลุดออกมา: .

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และกฎการเพิ่ม

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้คือเหตุการณ์ที่ส่งเสริมซึ่งกันและกันเพื่อความน่าจะเป็นเต็มที่ ตามชื่อของมัน มันไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราโยนเหรียญ หัวหรือก้อยอาจหลุดออกมาได้

ตัวอย่าง.

ในกล่องดินสอ มีสีฟ้า แดง เขียว เรียบง่าย สีเหลือง และที่เหลือเป็นสีส้ม ความน่าจะเป็นของการวาดสีเขียวหรือสีแดงเป็นเท่าใด

สารละลาย .

ความน่าจะเป็นของการวาดด้วยดินสอสีเขียวมีค่าเท่ากัน สีแดง - .

ฤกษ์งามยามดี เขียว+แดง ดังนั้นความน่าจะเป็นของการวาดสีเขียวหรือสีแดงจึงเท่ากับ

ความน่าจะเป็นเดียวกันสามารถแสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

นี่คือกฎการเพิ่ม:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เพิ่มขึ้น

งานผสม

ตัวอย่าง.

เหรียญถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่ผลการทอยจะต่างกันมากน้อยแค่ไหน?

สารละลาย .

หมายความว่า ถ้าหัวขึ้นก่อน ก้อยควรเป็นรอง และในทางกลับกัน ปรากฎว่ามีเหตุการณ์อิสระสองคู่ที่นี่ และคู่เหล่านี้ไม่เข้ากัน วิธีที่จะไม่สับสนว่าจะคูณที่ไหนและจะเพิ่มที่ไหน

มีกฎง่ายๆสำหรับสถานการณ์ดังกล่าว พยายามอธิบายสิ่งที่ควรเกิดขึ้นโดยเชื่อมโยงเหตุการณ์กับสหภาพ "และ" หรือ "หรือ" ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้:

ต้องม้วน (หัวและก้อย) หรือ (หางและหัว)

ในกรณีที่มีสหภาพ "และ" จะมีการคูณและโดยที่ "หรือ" ถูกบวก:

ลองด้วยตัวคุณเอง:

1. ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญสองเหรียญออกด้านเดียวกันทั้งสองครั้งเป็นเท่าใด
2. ตายถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่ผลรวมจะดรอปเป็นเท่าไหร่?

โซลูชั่น:

1. (หัวขึ้นและหัวขึ้น) หรือ (หางขึ้นและหางขึ้น): .
2. มีตัวเลือกอะไรบ้าง? และ. แล้ว:
   รีด (และ) หรือ (และ) หรือ (และ): .

ตัวอย่างอื่น:

เราโยนเหรียญหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่หัวจะเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้งเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย:

โอ้ฉันไม่ต้องการเรียงลำดับตัวเลือกอย่างไร ... Head-tails-tails, Eagle-heads-tails, ... แต่คุณไม่จำเป็นต้องทำ! มาพูดถึงความน่าจะเป็นแบบเต็มกัน จำได้ไหม ความน่าจะเป็นที่นกอินทรี จะไม่มีวันตก? ง่าย ๆ : หางบินตลอดเวลานั่นหมายถึง

ทฤษฎีความน่าจะเป็น สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เอื้ออำนวยต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เหตุการณ์อิสระ

สองเหตุการณ์จะเป็นอิสระจากกัน หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นเต็ม

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ ()

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นคือลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

กฎการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

ความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์อิสระบางลำดับเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้คือเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้อันเป็นผลมาจากการทดสอบ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จำนวนหนึ่งก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เพิ่มขึ้น

เมื่ออธิบายสิ่งที่ควรเกิดขึ้นโดยใช้สหภาพ "AND" หรือ "OR" แทน "AND" เราใส่เครื่องหมายของการคูณและแทนที่จะเป็น "OR" - นอกจากนี้

บทความที่เหลือ 2/3 มีให้สำหรับนักเรียนที่ฉลาดเท่านั้น!

มาเป็นนักเรียนของ YouClever

เตรียมความพร้อมสำหรับ OGE หรือ USE ในวิชาคณิตศาสตร์ในราคา "กาแฟหนึ่งแก้วต่อเดือน"

และยังเข้าถึงหนังสือเรียน "YouClever" ได้ไม่จำกัด, โปรแกรมฝึกอบรม "100gia" (หนังสือโซลูชัน), USE และ OGE รุ่นทดลองใช้ไม่จำกัดจำนวน, งาน 6000 งานพร้อมการวิเคราะห์โซลูชันและบริการอื่นๆ ของ YouClever และ 100gia

การแนะนำ

มีหลายสิ่งหลายอย่างที่เราไม่สามารถเข้าใจได้ ไม่ใช่เพราะแนวคิดของเราอ่อนแอ
แต่เนื่องจากสิ่งเหล่านี้ไม่เข้าสู่วงกลมของแนวคิดของเรา
Kozma Prutkov

เป้าหมายหลักของการเรียนคณิตศาสตร์ในสถาบันการศึกษาเฉพาะทางระดับมัธยมศึกษาคือการให้ความรู้และทักษะทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับการศึกษาสาขาวิชาอื่น ๆ ของโปรแกรมที่ใช้คณิตศาสตร์ในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่นสำหรับความสามารถในการคำนวณเชิงปฏิบัติเพื่อการก่อตัวและการพัฒนา ของการคิดเชิงตรรกะ

ในบทความนี้ แนวคิดพื้นฐานทั้งหมดของหมวดคณิตศาสตร์ "พื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์" จัดทำโดยโปรแกรมและมาตรฐานการศึกษาของรัฐของอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษา (กระทรวงศึกษาธิการของสหพันธรัฐรัสเซีย. M. , 2002 ) มีการแนะนำอย่างสม่ำเสมอ มีการกำหนดทฤษฎีบทหลัก ซึ่งส่วนใหญ่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ พิจารณางานหลักและวิธีการแก้ปัญหาและเทคโนโลยีสำหรับการใช้วิธีการเหล่านี้ในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ การนำเสนอมาพร้อมกับความคิดเห็นโดยละเอียดและตัวอย่างมากมาย

คำแนะนำที่เป็นระเบียบสามารถใช้สำหรับความคุ้นเคยเบื้องต้นกับเนื้อหาที่ศึกษาเมื่อจดบันทึกการบรรยายเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการฝึกปฏิบัติเพื่อรวบรวมความรู้ทักษะและความสามารถที่ได้รับ นอกจากนี้ คู่มือนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีในฐานะเครื่องมืออ้างอิงที่ช่วยให้คุณฟื้นความจำสิ่งที่ศึกษาไปก่อนหน้านี้ได้อย่างรวดเร็ว

ในตอนท้ายของงาน มีการยกตัวอย่างและงานที่นักเรียนสามารถทำได้ในโหมดการควบคุมตนเอง

คำแนะนำตามระเบียบวิธีมีไว้สำหรับนักเรียนทางจดหมายและรูปแบบการศึกษาเต็มเวลา

แนวคิดพื้นฐาน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษาความสม่ำเสมอตามวัตถุประสงค์ของเหตุการณ์สุ่มจำนวนมาก เป็นพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับสถิติทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาวิธีการรวบรวม อธิบาย และประมวลผลผลการสังเกต ผ่านการสังเกต (การทดสอบ การทดลอง) เช่น มีประสบการณ์ในความหมายกว้างๆ มีความรู้เรื่องปรากฏการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริง

ในกิจกรรมเชิงปฏิบัติ เรามักพบกับปรากฏการณ์ ซึ่งผลลัพธ์ที่ไม่สามารถคาดเดาได้ ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับโอกาส

ปรากฏการณ์สุ่มสามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยอัตราส่วนของจำนวนครั้งที่เกิดขึ้นกับจำนวนการทดลอง ซึ่งในแต่ละครั้ง ภายใต้เงื่อนไขเดียวกันของการทดลองทั้งหมด อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่มีการศึกษาปรากฏการณ์สุ่ม (เหตุการณ์) และความสม่ำเสมอจะถูกเปิดเผยเมื่อมีการทำซ้ำอย่างหนาแน่น

สถิติทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่มีการศึกษาวิธีการรวบรวม จัดระบบ ประมวลผลและการใช้ข้อมูลทางสถิติเพื่อให้ได้ข้อสรุปทางวิทยาศาสตร์และตัดสินใจ

ในเวลาเดียวกัน ข้อมูลทางสถิติเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นชุดของตัวเลขที่แสดงถึงลักษณะเชิงปริมาณของคุณลักษณะของวัตถุที่ศึกษาที่เราสนใจ ข้อมูลทางสถิติได้มาจากการทดลองและการสังเกตที่ออกแบบมาเป็นพิเศษ

ข้อมูลทางสถิติในสาระสำคัญขึ้นอยู่กับปัจจัยสุ่มหลายๆ อย่าง ดังนั้นสถิติทางคณิตศาสตร์จึงมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นพื้นฐานทางทฤษฎี

I. ความน่าจะเป็น ทฤษฎีบทการบวกและการคูณความน่าจะเป็น

1.1. แนวคิดพื้นฐานของ combinatorics

ในส่วนของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า combinatorics ปัญหาบางอย่างได้รับการแก้ไขที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาเซตและการรวบรวมองค์ประกอบต่างๆ ของเซตเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเรานำตัวเลข 10 ตัว 0, 1, 2, 3,:, 9 มารวมกัน เราจะได้ตัวเลขที่แตกต่างกัน เช่น 143, 431, 5671, 1207, 43 เป็นต้น

เราเห็นว่าชุดค่าผสมเหล่านี้บางส่วนแตกต่างกันเฉพาะในลำดับของตัวเลข (เช่น 143 และ 431) ส่วนชุดอื่นๆ ในตัวเลขที่รวมอยู่ในชุดค่าผสม (เช่น 5671 และ 1207) และอื่นๆ ก็ต่างกันในจำนวนหลักเช่นกัน ( ตัวอย่างเช่น 143 และ 43)

ดังนั้นชุดค่าผสมที่ได้รับจึงเป็นไปตามเงื่อนไขต่างๆ

ขึ้นอยู่กับกฎการรวบรวม ชุดค่าผสมสามประเภทสามารถแยกแยะได้: พีชคณิต ตำแหน่ง ชุดค่าผสม.

มาทำความรู้จักกับแนวคิดกันก่อน แฟกทอเรียล.

ผลคูณของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง n รวมเรียกว่า n-factorial และเขียน.

คำนวณ: ก) ; ข) ; วี) .

สารละลาย. ก) .

ข) เช่นเดียวกับ แล้วคุณจะเอามันออกจากวงเล็บ

แล้วเราจะได้

วี) .

พีชคณิต

การรวมกันขององค์ประกอบ n ตัวที่แตกต่างกันตามลำดับขององค์ประกอบเท่านั้นที่เรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน

พีชคณิตแสดงด้วยสัญลักษณ์ พี่นุ โดยที่ n คือจำนวนขององค์ประกอบในการเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้ง ( R- อักษรตัวแรกของคำภาษาฝรั่งเศส การเปลี่ยนแปลง- การเปลี่ยนแปลง)

สามารถคำนวณจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนได้โดยใช้สูตร

หรือด้วยแฟคทอเรียล:

จำไว้ว่า 0!=1 และ 1!=1

ตัวอย่างที่ 2 สามารถจัดหนังสือหกเล่มบนชั้นเดียวได้กี่วิธี?

สารละลาย. จำนวนวิธีที่ต้องการเท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 6 อย่างคือ

ที่พัก.

ตำแหน่งจาก มองค์ประกอบใน นในแต่ละธาตุเรียกว่าสารประกอบที่แตกต่างกันไม่ว่าจะโดยองค์ประกอบเอง (อย่างน้อยหนึ่งรายการ) หรือตามลำดับจากที่ตั้ง

ตำแหน่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ โดยที่ มคือจำนวนขององค์ประกอบที่มีอยู่ทั้งหมด นคือจำนวนองค์ประกอบในแต่ละชุดค่าผสม ( เอ-อักษรตัวแรกของคำภาษาฝรั่งเศส การจัดเตรียมซึ่งหมายถึง "การจัดวาง, การจัดลำดับ")

ในขณะเดียวกันก็สันนิษฐานว่า นาโนเมตร

จำนวนตำแหน่งสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

,

เหล่านั้น. จำนวนตำแหน่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดจาก มองค์ประกอบโดย นเท่ากับสินค้า นจำนวนเต็มต่อเนื่องกัน ซึ่งมากกว่าคือ ม.

เราเขียนสูตรนี้ในรูปแบบแฟกทอเรียล:

ตัวอย่างที่ 3 ผู้สมัครห้าคนสามารถแจกจ่ายบัตรกำนัลสามใบไปยังสถานพยาบาลของโปรไฟล์ต่างๆ ได้กี่ตัวเลือก?

สารละลาย. จำนวนตัวเลือกที่ต้องการจะเท่ากับจำนวนตำแหน่งของ 5 องค์ประกอบ คูณ 3 องค์ประกอบ นั่นคือ

.

ชุดค่าผสม

ชุดค่าผสมเป็นชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ มองค์ประกอบโดย นซึ่งแตกต่างจากกันอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ (ที่นี่ มและ น-ตัวเลขธรรมชาติและ นาโนเมตร).

จำนวนชุดค่าผสมจาก มองค์ประกอบโดย นจะแสดง ( กับ- อักษรตัวแรกของคำภาษาฝรั่งเศส การผสมผสาน- การผสมผสาน).

โดยทั่วไปจำนวน มองค์ประกอบโดย นเท่ากับจำนวนตำแหน่งจาก มองค์ประกอบโดย นหารด้วยจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนจาก นองค์ประกอบ:

การใช้สูตรแฟกทอเรียลสำหรับการจัดตำแหน่งและตัวเลขการเรียงสับเปลี่ยน เราได้:

ตัวอย่างที่ 4 ในทีมที่มีจำนวน 25 คน คุณต้องจัดสรรสี่คนเพื่อทำงานในบางพื้นที่ สามารถทำได้กี่วิธี?

สารละลาย. เนื่องจากคำสั่งของคนสี่คนที่ถูกเลือกไม่สำคัญ สามารถทำได้ในรูปแบบต่างๆ

เราหาได้จากสูตรแรก

.

นอกจากนี้ในการแก้ปัญหาจะใช้สูตรต่อไปนี้ซึ่งแสดงคุณสมบัติหลักของชุดค่าผสม:

(ตามคำจำกัดความและถือว่า)

.

1.2. การแก้ปัญหาแบบผสมผสาน

ภารกิจที่ 1. มีการศึกษา 16 วิชาที่คณะ ในวันจันทร์ คุณต้องใส่ 3 วิชาในกำหนดการ สามารถทำได้กี่วิธี?

สารละลาย. มีหลายวิธีในการกำหนดเวลาสามรายการจาก 16 รายการเนื่องจากมีการจัดวางองค์ประกอบ 16 รายการโดยแต่ละรายการมี 3 รายการ

ภารกิจที่ 2 จาก 15 อ็อบเจ็กต์ ต้องเลือก 10 อ็อบเจ็กต์ สามารถทำได้กี่วิธี?

ภารกิจที่ 3 สี่ทีมเข้าร่วมการแข่งขัน มีกี่ทางเลือกในการกระจายที่นั่งระหว่างกัน?

.

ปัญหาที่ 4. การลาดตระเวนของทหารสามคนและเจ้าหน้าที่หนึ่งนายจะเกิดขึ้นได้กี่วิธีถ้ามีทหาร 80 นายและเจ้าหน้าที่ 3 นาย?

สารละลาย. สามารถเลือกทหารสายตรวจได้

วิถีและวิถีเจ้าหน้าที่ เนื่องจากเจ้าหน้าที่คนใดสามารถไปกับทหารแต่ละทีมได้จึงมีทางเดียวเท่านั้น

ภารกิจที่ 5. ค้นหาว่ารู้จักหรือไม่

เนื่องจาก เราได้รับ

,

,

โดยนิยามของชุดค่าผสมจะเป็นไปตามนั้น ที่. .

1.3. แนวคิดของเหตุการณ์สุ่ม ประเภทเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

การกระทำ ปรากฎการณ์ การสังเกตใด ๆ ที่มีผลต่างกันหลายประการ เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด เรียกว่า ทดสอบ.

ผลของการกระทำหรือการสังเกตนี้เรียกว่า เหตุการณ์ .

หากจัดงานที่ เงื่อนไขที่กำหนดอาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ เรียกว่า สุ่ม . กรณีที่ต้องมีเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างแน่นอน เรียกว่า เชื่อถือได้ และในกรณีที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้อย่างแน่นอน - เป็นไปไม่ได้.

เหตุการณ์เรียกว่า เข้ากันไม่ได้ หากมีเพียงหนึ่งรายการเท่านั้นที่สามารถปรากฏได้ในแต่ละครั้ง

เหตุการณ์เรียกว่า ข้อต่อ หากภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด การเกิดของหนึ่งในเหตุการณ์เหล่านี้ไม่ได้ยกเว้นการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่งในการทดสอบเดียวกัน

เหตุการณ์เรียกว่า ตรงข้าม หากอยู่ภายใต้เงื่อนไขการทดสอบ ผลที่ได้เพียงอย่างเดียวจะไม่เข้ากัน

เหตุการณ์มักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ของอักษรละติน: เอบีซีดี, : .

ระบบที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ A 1 , A 2 , A 3 , : , A n คือชุดของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ซึ่งต้องมีอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์สำหรับการทดสอบที่กำหนด

หากระบบที่สมบูรณ์ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ เหตุการณ์ดังกล่าวจะเรียกว่าตรงกันข้ามและแสดงด้วย A และ

ตัวอย่าง. มี 30 ลูกในกล่อง. พิจารณาว่าเหตุการณ์ใดต่อไปนี้เป็นไปไม่ได้ บางอย่าง ตรงกันข้าม:

ได้บอลเลข (เอ);

จั่วลูกบอลเลขคู่ (วี);

จั่วลูกบอลด้วยเลขคี่ (กับ);

ได้บอลไร้เลข (ง).

คนไหนในกลุ่มที่สมบูรณ์?

สารละลาย . อา- เหตุการณ์บางอย่าง; ดี- เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้

ในและ กับ- เหตุการณ์ตรงกันข้าม

กลุ่มกิจกรรมที่สมบูรณ์คือ อาและ D, Vและ กับ.

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ถือเป็นการวัดความเป็นไปได้ตามวัตถุประสงค์ของการเกิดเหตุการณ์สุ่ม

1.4. ความหมายคลาสสิกของความน่าจะเป็น

จำนวนซึ่งเป็นนิพจน์ของการวัดความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์เรียกว่า ความน่าจะเป็น เหตุการณ์นี้และแสดงด้วยสัญลักษณ์ พี(เอ).

คำนิยาม. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ อาคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ m ที่สนับสนุนการเกิดของเหตุการณ์ที่กำหนด อา, ไปยังหมายเลข นผลลัพธ์ทั้งหมด (เข้ากันไม่ได้ ไม่ซ้ำใคร และเป็นไปได้เท่าเทียมกัน) เช่น .

ดังนั้น ในการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จำเป็นต้องคำนวณผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด หลังจากพิจารณาผลลัพธ์ต่างๆ ของการทดสอบแล้ว น,เลือกจำนวนผลลัพธ์ที่เราสนใจ m และคำนวณอัตราส่วน มถึง น.

คุณสมบัติต่อไปนี้ตามมาจากคำจำกัดความนี้:

ความน่าจะเป็นของการทดลองใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่ติดลบไม่เกินหนึ่ง

อันที่จริง จำนวน m ของเหตุการณ์ที่ต้องการอยู่ภายใน แบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น น, เราได้รับ

2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งมีค่าเท่ากับหนึ่งเพราะ .

3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เป็นศูนย์เพราะ

ปัญหาที่ 1 มีผู้ชนะ 200 คนจากตั๋ว 1,000 ใบในลอตเตอรี สุ่มจับสลากหนึ่งใบ ความน่าจะเป็นที่ตั๋วนี้ชนะเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย. จำนวนผลลัพธ์ที่แตกต่างกันคือ น=1000. จำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนการชนะคือ m=200 ตามสูตรจะได้

.

ภารกิจที่ 2 ในชุด 18 ส่วนมีข้อบกพร่อง 4 ชิ้น 5 ชิ้นจะถูกสุ่มเลือก จงหาความน่าจะเป็นที่ 2 ใน 5 ส่วนนี้มีข้อบกพร่อง

สารละลาย. จำนวนผลลัพธ์อิสระที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมด นเท่ากับจำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ 18 ถึง 5 เช่น

มาคำนวณจำนวน m ที่เหมาะกับเหตุการณ์ A กัน จาก 5 ส่วนที่สุ่มมา ควรมี 3 ส่วนที่มีคุณภาพและ 2 ชิ้นที่บกพร่อง จำนวนวิธีในการเลือกชิ้นส่วนที่บกพร่อง 2 ชิ้นจากชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องที่มีอยู่ 4 ชิ้น เท่ากับจำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ 4 ถึง 2:

จำนวนวิธีในการเลือกชิ้นส่วนคุณภาพ 3 ชิ้นจากชิ้นส่วนคุณภาพที่มีอยู่ 14 ชิ้นเท่ากับ

.

ชิ้นส่วนคุณภาพทุกกลุ่มสามารถรวมกับชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องกลุ่มใดก็ได้ ดังนั้นจำนวนชุดค่าผสมทั้งหมด มเป็น

ความน่าจะเป็นที่ต้องการของเหตุการณ์ A เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ m ที่สนับสนุนเหตุการณ์นี้กับจำนวน n ของผลลัพธ์อิสระที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่าๆ กัน:

.

ผลรวมของจำนวนเหตุการณ์ที่จำกัดคือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์

ผลรวมของสองเหตุการณ์แสดงด้วยสัญลักษณ์ A + B และผลรวม นสัญลักษณ์เหตุการณ์ A 1 +A 2 + : +A n

ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

ข้อพิสูจน์ 1 หากเหตุการณ์ А 1 , А 2 , : , А n สร้างระบบที่สมบูรณ์ ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้จะเท่ากับหนึ่ง

ข้อพิสูจน์ 2 ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามและมีค่าเท่ากับหนึ่ง

.

ปัญหาที่ 1. มีลอตเตอรี 100 ใบ เป็นที่ทราบกันดีว่าตั๋ว 5 ใบได้รับรางวัล 20,000 รูเบิล, 10 - 15,000 รูเบิล, 15 - 10,000 รูเบิล, 25 - 2,000 รูเบิล และไม่มีอะไรเหลือ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตั๋วที่ซื้อจะชนะอย่างน้อย 10,000 รูเบิล

สารละลาย. ให้ A, B และ C เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยรางวัล 20,000, 15,000 และ 10,000 rubles ตกอยู่บนตั๋วที่ซื้อ เนื่องจากเหตุการณ์ A, B และ C ไม่เข้ากัน ดังนั้น

งาน 2. เปิด ภายนอกโรงเรียนเทคนิคได้รับการทดสอบทางคณิตศาสตร์จากเมืองต่างๆ A, Bและ กับ. ความน่าจะเป็นที่จะได้รับงานควบคุมจากเมือง อาเท่ากับ 0.6 จากเมือง วี- 0.1. หาความน่าจะเป็นที่ต่อไป ทดสอบจะมาจากเมือง กับ.

หลายคนที่ต้องเผชิญกับแนวคิดของ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" ต่างตื่นกลัวโดยคิดว่านี่เป็นสิ่งที่ซับซ้อนและซับซ้อนมาก แต่จริงๆแล้วมันไม่ใช่สิ่งที่น่าเศร้าทั้งหมด วันนี้เราจะมาพิจารณาแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

วิทยาศาสตร์

สาขาคณิตศาสตร์เช่น "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" ศึกษาอะไร เธอจดบันทึกรูปแบบและขนาด เป็นครั้งแรกที่นักวิทยาศาสตร์เริ่มให้ความสนใจในประเด็นนี้ในช่วงศตวรรษที่ 18 เมื่อพวกเขาศึกษาเรื่องการพนัน แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์ เป็นความจริงที่พิสูจน์ได้ด้วยประสบการณ์หรือการสังเกต แต่ประสบการณ์คืออะไร? แนวคิดพื้นฐานอีกประการหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็น หมายความว่าองค์ประกอบของสถานการณ์นี้ไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ แต่เพื่อจุดประสงค์เฉพาะ สำหรับการสังเกตที่นี่ผู้วิจัยเองไม่ได้มีส่วนร่วมในการทดลอง แต่เป็นพยานถึงเหตุการณ์เหล่านี้ เขาไม่ได้มีอิทธิพลต่อสิ่งที่เกิดขึ้นในทางใดทางหนึ่ง

กิจกรรม

เราได้เรียนรู้ว่าแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นเหตุการณ์ แต่ไม่ได้พิจารณาการจัดประเภท ทั้งหมดจัดอยู่ในหมวดหมู่ต่อไปนี้:

• เชื่อถือได้.
• เป็นไปไม่ได้.
• สุ่ม.

ไม่ว่าจะสังเกตหรือสร้างเหตุการณ์ประเภทใดในระหว่างประสบการณ์ เหตุการณ์เหล่านั้นล้วนอยู่ภายใต้การจำแนกประเภทนี้ เราเสนอให้ทำความคุ้นเคยกับแต่ละสายพันธุ์แยกกัน

เหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือ

นี่เป็นพฤติการณ์ก่อนที่จะดำเนินมาตรการที่จำเป็น เพื่อให้เข้าใจแก่นแท้ได้ดีขึ้น ควรยกตัวอย่างสองสามตัวอย่าง ฟิสิกส์ เคมี เศรษฐศาสตร์ และคณิตศาสตร์ชั้นสูงอยู่ภายใต้กฎหมายนี้ ทฤษฎีความน่าจะเป็นรวมถึงแนวคิดที่สำคัญเช่นเหตุการณ์บางอย่าง นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

• เราทำงานและรับค่าตอบแทนในรูปของค่าจ้าง
• เราสอบผ่านด้วยดี ผ่านการแข่งขัน ด้วยเหตุนี้เราจึงได้รับรางวัลในรูปแบบของการรับสมัคร สถาบันการศึกษา.
• เรานำเงินไปลงทุนในธนาคาร ถ้าจำเป็น เราจะเอาคืน

เหตุการณ์ดังกล่าวมีความน่าเชื่อถือ ถ้าเราได้ทำทุกอย่าง เงื่อนไขที่จำเป็นแล้วเราจะได้ผลลัพธ์ที่คาดหวัง

เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้

ตอนนี้เราพิจารณาองค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะเป็น เราเสนอให้ไปที่คำอธิบายของเหตุการณ์ประเภทต่อไป กล่าวคือ เป็นไปไม่ได้ มาเริ่มกันเลยดีกว่า กฎสำคัญ- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์

เป็นไปไม่ได้ที่จะเบี่ยงเบนจากสูตรนี้เมื่อแก้ปัญหา เพื่อชี้แจง ต่อไปนี้คือตัวอย่างเหตุการณ์ดังกล่าว:

• น้ำแข็งตัวที่อุณหภูมิบวกสิบ (เป็นไปไม่ได้)
• การขาดไฟฟ้าไม่ได้ส่งผลกระทบต่อการผลิตแต่อย่างใด (เป็นไปไม่ได้เหมือนในตัวอย่างที่แล้ว)

ไม่ควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม เนื่องจากตัวอย่างที่อธิบายข้างต้นสะท้อนให้เห็นถึงสาระสำคัญของหมวดหมู่นี้อย่างชัดเจน เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้จะไม่เกิดขึ้นระหว่างประสบการณ์ไม่ว่าในกรณีใดๆ

เหตุการณ์สุ่ม

สำรวจองค์ประกอบ ความสนใจเป็นพิเศษควรมอบให้กับเหตุการณ์ประเภทนี้โดยเฉพาะ นั่นคือสิ่งที่วิทยาศาสตร์กำลังศึกษาอยู่ จากประสบการณ์ บางสิ่งอาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ นอกจากนี้ การทดสอบสามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง ตัวอย่างที่ชัดเจนสามารถให้บริการ:

• การโยนเหรียญเป็นประสบการณ์ หรือการทดสอบ การมุ่งหน้าเป็นเหตุการณ์
• การดึงลูกบอลออกจากถุงสุ่มสี่สุ่มห้าคือการทดสอบ การจับลูกบอลสีแดงเป็นเหตุการณ์ และอื่นๆ

ตัวอย่างดังกล่าวสามารถมีได้ไม่จำกัดจำนวน แต่โดยทั่วไปแล้ว สาระสำคัญควรมีความชัดเจน เพื่อสรุปและจัดระบบความรู้ที่ได้รับเกี่ยวกับเหตุการณ์จะมีตาราง ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษาเฉพาะประเภทสุดท้ายที่นำเสนอทั้งหมด

ชื่อ	คำนิยาม
น่าเชื่อถือ	เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมการรับประกัน 100% ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขบางประการ	การเข้าศึกษาในสถาบันการศึกษาที่สอบผ่านได้ดี
เป็นไปไม่ได้	เหตุการณ์ที่ไม่มีวันเกิดขึ้นไม่ว่ากรณีใดๆ	หิมะกำลังตกที่อุณหภูมิอากาศบวกสามสิบองศาเซลเซียส
สุ่ม	เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นระหว่างการทดสอบ/ทดสอบ	ตีหรือพลาดเมื่อขว้างบาสเก็ตบอลเข้าห่วง

กฎหมาย

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เช่นเดียวกับคนอื่น ๆ มันมีกฎบางอย่าง มีกฎของทฤษฎีความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้:

• การบรรจบกันของลำดับของตัวแปรสุ่ม
• กฎของตัวเลขจำนวนมาก

เมื่อคำนวณความเป็นไปได้ของความซับซ้อน สามารถใช้เหตุการณ์ที่ซับซ้อนที่ซับซ้อนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ได้ง่ายขึ้นและเร็วขึ้น โปรดทราบว่ากฎของทฤษฎีความน่าจะเป็นสามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทบางข้อ เริ่มจากกฎข้อแรกกันก่อน

การบรรจบกันของลำดับของตัวแปรสุ่ม

โปรดทราบว่าการบรรจบกันมีหลายประเภท:

• ลำดับของตัวแปรสุ่มมาบรรจบกันในความน่าจะเป็น
• แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย
• การบรรจบกันของ RMS
• คอนเวอร์เจนซ์การกระจาย

ดังนั้น ในทันที มันยากมากที่จะไปถึงจุดต่ำสุดของมัน ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความบางส่วนที่จะช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อนี้ มาเริ่มกันที่ลุคแรกกันเลย ลำดับนี้เรียกว่า มาบรรจบกันในความน่าจะเป็นหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: n มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ตัวเลขที่ลำดับมีแนวโน้มจะมากกว่าศูนย์และใกล้กับหนึ่ง

มาต่อกันที่ตอนต่อไป เกือบแน่นอน. ลำดับกล่าวมาบรรจบกัน เกือบแน่นอนเป็นตัวแปรสุ่มที่มี n มุ่งสู่อนันต์ และ P มุ่งไปที่ค่าที่ใกล้เคียงกับเอกภาพ

ประเภทต่อไปคือ การบรรจบกันของ RMS. เมื่อใช้ SC-convergence การศึกษากระบวนการสุ่มเวกเตอร์จะลดลงเหลือการศึกษากระบวนการสุ่มพิกัดของพวกมัน

ประเภทสุดท้ายยังคงอยู่ให้วิเคราะห์สั้น ๆ เพื่อดำเนินการแก้ไขปัญหาโดยตรง การบรรจบกันของการกระจายมีชื่ออื่น - "อ่อนแอ" เราจะอธิบายว่าทำไมด้านล่าง การบรรจบกันที่อ่อนแอคือการบรรจบกันของฟังก์ชันการกระจายที่ทุกจุดต่อเนื่องของฟังก์ชันการกระจายแบบจำกัด

เราจะทำตามสัญญาอย่างแน่นอน: การบรรจบกันที่อ่อนแอนั้นแตกต่างจากทั้งหมดข้างต้นตรงที่ตัวแปรสุ่มไม่ได้ถูกกำหนดบนช่องว่างความน่าจะเป็น สิ่งนี้เป็นไปได้เนื่องจากเงื่อนไขถูกสร้างขึ้นโดยใช้ฟังก์ชันการกระจายเท่านั้น

กฎของตัวเลขขนาดใหญ่

ผู้ช่วยที่ยอดเยี่ยมในการพิสูจน์กฎข้อนี้จะเป็นทฤษฎีบทของทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่น:

• ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev
• ทฤษฎีบทของเชบีเชฟ
• ทฤษฎีบททั่วไปของเชบีเชฟ
• ทฤษฎีบทของมาร์คอฟ

หากเราพิจารณาทฤษฎีบทเหล่านี้ทั้งหมด คำถามนี้สามารถลากไปได้หลายสิบแผ่น งานหลักของเราคือการนำทฤษฎีความน่าจะเป็นมาประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ เราขอเชิญคุณทำสิ่งนี้ทันที แต่ก่อนหน้านั้น ลองพิจารณาสัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นกันก่อน พวกมันจะเป็นตัวช่วยหลักในการแก้ปัญหา

สัจพจน์

เราพบคนแรกแล้วเมื่อเราพูดถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ จำไว้ว่า: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์ เราได้ยกตัวอย่างที่ชัดเจนและน่าจดจำอย่างยิ่ง: หิมะตกลงมาที่อุณหภูมิอากาศ 30 องศาเซลเซียส

ประการที่สองมีดังนี้: เหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้นโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง ตอนนี้เรามาดูวิธีการเขียนโดยใช้ภาษาคณิตศาสตร์กัน: P(B)=1

ประการที่สาม: เหตุการณ์สุ่มอาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ แต่ความเป็นไปได้มีตั้งแต่ศูนย์ถึงหนึ่งเสมอ ยิ่งค่าเข้าใกล้หนึ่งมากเท่าไร โอกาสก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ถ้าค่าเข้าใกล้ศูนย์ ความน่าจะเป็นจะต่ำมาก ลองเขียนมันในภาษาคณิตศาสตร์: 0<Р(С)<1.

พิจารณาสัจพจน์ข้อสุดท้ายที่สี่ ซึ่งฟังดังนี้ ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้น เราเขียนในภาษาคณิตศาสตร์: P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

สัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นกฎที่ง่ายที่สุดที่จำง่าย ลองแก้ปัญหาบางอย่างตามความรู้ที่ได้รับแล้ว

สลากกินแบ่ง

เริ่มต้นด้วยการพิจารณาตัวอย่างที่ง่ายที่สุด - ลอตเตอรี ลองนึกภาพว่าคุณซื้อลอตเตอรีหนึ่งใบเพื่อความโชคดี ความน่าจะเป็นที่คุณจะชนะอย่างน้อยยี่สิบรูเบิลเป็นเท่าไหร่? โดยรวมแล้ว ตั๋วหนึ่งพันใบมีส่วนร่วมในการหมุนเวียน หนึ่งในนั้นได้รับรางวัลห้าร้อยรูเบิล สิบจากหนึ่งร้อยรูเบิล ห้าสิบยี่สิบรูเบิล และหนึ่งร้อยห้า ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นขึ้นอยู่กับการค้นหาความเป็นไปได้ของโชค ลองมาดูวิธีแก้ปัญหาข้างต้นกัน

หากเราแสดงด้วยตัวอักษร A ชนะห้าร้อยรูเบิล ความน่าจะเป็นที่จะได้ A จะเท่ากับ 0.001 เราได้รับมันได้อย่างไร คุณเพียงแค่ต้องหารจำนวนตั๋ว "มีความสุข" ด้วยจำนวนทั้งหมด (ในกรณีนี้: 1/1000)

B ชนะ 100 rubles ความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.01 ตอนนี้เราทำตามหลักการเดียวกันกับในการดำเนินการก่อนหน้า (10/1000)

C - เงินรางวัลเท่ากับยี่สิบรูเบิล เราหาความน่าจะเป็น มันเท่ากับ 0.05

ตั๋วที่เหลือไม่น่าสนใจสำหรับเรา เนื่องจากเงินรางวัลน้อยกว่าที่ระบุไว้ในเงื่อนไข ลองใช้สัจพจน์ที่สี่: ความน่าจะเป็นที่จะชนะอย่างน้อยยี่สิบรูเบิลคือ P(A)+P(B)+P(C) ตัวอักษร P หมายถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ เราได้พบแล้วในขั้นตอนก่อนหน้านี้ ยังคงเป็นเพียงการเพิ่มข้อมูลที่จำเป็นในคำตอบที่เราได้รับ 0.061 ตัวเลขนี้จะเป็นคำตอบสำหรับคำถามของงาน

สำรับไพ่

ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นก็ซับซ้อนเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ทำงานต่อไปนี้ ก่อนที่คุณจะเป็นสำรับไพ่สามสิบหกใบ งานของคุณคือการจั่วไพ่สองใบติดต่อกันโดยไม่ต้องผสมกอง ไพ่ใบแรกและใบที่สองต้องเป็นเอซ ชุดไม่สำคัญ

ในการเริ่มต้น เราพบความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบแรกจะเป็นเอซ สำหรับสิ่งนี้ เราหารสี่ด้วยสามสิบหก พวกเขาวางมันไว้ข้าง ๆ เรานำไพ่ใบที่สองออกมามันจะเป็นเอซที่มีความน่าจะเป็นสามสิบห้า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สองขึ้นอยู่กับไพ่ที่เราจั่วก่อน เราสนใจว่ามันเป็นไพ่เอซหรือไม่ เป็นไปตามเหตุการณ์ B ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ A

ขั้นตอนต่อไปคือการหาความน่าจะเป็นของการใช้งานพร้อมกัน นั่นคือ เราคูณ A และ B ผลคูณของพวกเขาพบได้ดังนี้: เราคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งเราคำนวณโดยสมมติว่าเหตุการณ์แรก เหตุการณ์เกิดขึ้นนั่นคือเราดึงเอซด้วยไพ่ใบแรก

เพื่อให้ทุกอย่างชัดเจน เรามากำหนดองค์ประกอบเช่นเหตุการณ์ คำนวณโดยสมมติว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น คำนวณได้ดังนี้ P(B/A)

มาแก้ปัญหาของเรากันต่อ: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) หรือ P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B) ความน่าจะเป็นคือ (4/36) * ((3/35)/(4/36) คำนวณโดยการปัดเศษเป็นร้อย เรามี: 0.11 * (0.09/0.11)=0.11 * 0, 82 = 0.09 จะดึงเอซสองอันติดต่อกันเป็นเก้าในร้อย ค่าที่น้อยมาก ตามมาว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นน้อยมาก

ลืมเบอร์

เราเสนอให้วิเคราะห์ตัวเลือกเพิ่มเติมสองสามตัวสำหรับงานที่ได้รับการศึกษาโดยทฤษฎีความน่าจะเป็น คุณได้เห็นตัวอย่างการแก้ปัญหาบางส่วนแล้วในบทความนี้ ลองแก้ปัญหาต่อไปนี้กัน: เด็กชายลืมหมายเลขโทรศัพท์ของเพื่อนเขา แต่เนื่องจากการโทรมีความสำคัญมาก เขาจึงเริ่มหมุนทุกอย่างตามลำดับ เราจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่เขาจะโทรไม่เกินสามครั้ง การแก้ปัญหาจะง่ายที่สุดหากรู้กฎ กฎ และสัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็น

ก่อนจะดูวิธีแก้ปัญหา ให้พยายามแก้มันด้วยตัวเอง เรารู้ว่าตัวเลขสุดท้ายสามารถมีค่าได้จากศูนย์ถึงเก้า นั่นคือ มีทั้งหมด 10 ค่า ความน่าจะเป็นที่จะได้คำตอบที่ถูกต้องคือ 1/10

ต่อไป เราต้องพิจารณาทางเลือกสำหรับที่มาของเหตุการณ์ สมมติว่าเด็กชายเดาถูกและทำแต้มถูกต้องทันที ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวคือ 1/10 ตัวเลือกที่สอง: การโทรครั้งแรกพลาด และครั้งที่สองเป็นไปตามเป้าหมาย เราคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว: คูณ 9/10 ด้วย 1/9 ดังนั้นเราจึงได้ 1/10 ตัวเลือกที่สาม: การโทรครั้งแรกและครั้งที่สองปรากฏว่าอยู่ผิดที่ เด็กชายไปถึงที่ที่เขาต้องการจากคนที่สามเท่านั้น เราคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว: เราคูณ 9/10 ด้วย 8/9 และ 1/8 เราจะได้ 1/10 ตามเงื่อนไขของปัญหา เราไม่สนใจตัวเลือกอื่น ดังนั้นจึงยังคงอยู่สำหรับเราที่จะรวมผลลัพธ์ ผลลัพธ์ที่ได้คือ 3/10 คำตอบ: ความน่าจะเป็นที่เด็กชายโทรหาไม่เกินสามครั้งคือ 0.3

การ์ดที่มีตัวเลข

มีไพ่เก้าใบอยู่ข้างหน้าคุณ แต่ละใบมีตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงเก้า ตัวเลขจะไม่ซ้ำกัน พวกเขาถูกวางไว้ในกล่องและผสมให้ละเอียด คุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่

• เลขคู่จะปรากฏขึ้น
• สองหลัก

ก่อนดำเนินการแก้ไข ให้กำหนดว่า m คือจำนวนเคสที่สำเร็จ และ n คือจำนวนตัวเลือกทั้งหมด หาความน่าจะเป็นที่เป็นเลขคู่ คำนวณได้ไม่ยากว่ามีเลขคู่สี่ตัว ซึ่งจะเป็น m ของเรา มีทั้งหมดเก้าตัวเลือก นั่นคือ m = 9 จากนั้นความน่าจะเป็นคือ 0.44 หรือ 4/9

เราพิจารณากรณีที่สอง: จำนวนตัวเลือกคือเก้า และไม่มีผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จเลย นั่นคือ m เท่ากับศูนย์ ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่จั่วจะมีตัวเลขสองหลักก็เป็นศูนย์เช่นกัน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่ม: เหตุการณ์สุ่ม ตัวแปรสุ่ม คุณสมบัติและการดำเนินการกับพวกมัน

เป็นเวลานานที่ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน จัดทำขึ้นในปี พ.ศ. 2472 เท่านั้น การเกิดขึ้นของทฤษฎีความน่าจะเป็นในฐานะวิทยาศาสตร์มีสาเหตุมาจากยุคกลางและความพยายามครั้งแรกในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของการพนัน (การโยน ลูกเต๋า รูเล็ต) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสแห่งศตวรรษที่ 17 แบลส ปาสกาล และปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ ได้ค้นพบรูปแบบความน่าจะเป็นแบบแรกที่เกิดขึ้นเมื่อขว้างลูกเต๋าในขณะที่ศึกษาการทำนายการชนะในการพนัน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกิดขึ้นเป็นวิทยาศาสตร์จากความเชื่อที่ว่าระเบียบบางอย่างรองรับเหตุการณ์สุ่มขนาดใหญ่ ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษารูปแบบเหล่านี้

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับการศึกษาเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นซึ่งไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด ช่วยให้คุณสามารถตัดสินระดับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างเมื่อเปรียบเทียบกับเหตุการณ์อื่น

ตัวอย่างเช่น: เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุผลลัพธ์ของการโยนหัวหรือก้อยอย่างไม่น่าสงสัย แต่ด้วยการโยนซ้ำ ๆ จำนวนหัวและก้อยที่เท่ากันจะหลุดออกมาโดยประมาณ ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่หัวหรือก้อยจะตก " เท่ากัน ถึง 50%

ทดสอบในกรณีนี้เรียกว่าการดำเนินการตามเงื่อนไขบางชุดนั่นคือในกรณีนี้คือการโยนเหรียญ สามารถเล่น Challenge ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง ในกรณีนี้ ความซับซ้อนของเงื่อนไขรวมถึงปัจจัยสุ่ม

ผลการทดสอบคือ เหตุการณ์. เหตุการณ์เกิดขึ้น:

1. เชื่อถือได้ (เกิดขึ้นจากการทดสอบเสมอ)
2. เป็นไปไม่ได้ (ไม่เคยเกิดขึ้น)
3. สุ่ม (อาจหรือไม่อาจเกิดขึ้นจากการทดสอบ)

ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนเหรียญ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ - เหรียญจะจบลงที่ขอบ เหตุการณ์สุ่ม - การสูญเสีย "หัว" หรือ "ก้อย" เรียกผลการทดสอบเฉพาะว่า เหตุการณ์เบื้องต้น. จากการทดสอบจะเกิดเฉพาะเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาเท่านั้น ผลรวมของผลการทดสอบที่เป็นไปได้ แตกต่าง และเฉพาะเจาะจงทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้น.

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎี

ความน่าจะเป็น- ระดับความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ เมื่อเหตุผลของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์นี้จึงเรียกว่าน่าจะเป็นไปได้ มิฉะนั้น - ไม่น่าเป็นไปได้หรือไม่น่าจะเป็นไปได้

ค่าสุ่ม- เป็นค่าที่เป็นผลจากการทดสอบ สามารถใช้ค่าใดค่าหนึ่งได้ และไม่ทราบล่วงหน้าค่าใด ตัวอย่างเช่น จำนวนสถานีดับเพลิงต่อวัน จำนวนครั้งที่ยิง 10 นัด เป็นต้น

ตัวแปรสุ่มสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท

1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องปริมาณดังกล่าวเรียกว่าซึ่งจากการทดสอบสามารถรับค่าบางอย่างด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอนสร้างชุดที่นับได้ (ชุดที่มีองค์ประกอบสามารถนับได้) ชุดนี้สามารถเป็นได้ทั้งแบบมีจำกัดหรือแบบอนันต์ ตัวอย่างเช่น จำนวนช็อตก่อนการยิงครั้งแรกที่เป้าหมายเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเพราะ ค่านี้สามารถใช้กับจำนวนค่าที่นับได้เป็นอนันต์ แม้ว่าจะนับได้ก็ตาม
2. ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องคือปริมาณที่สามารถหาค่าใดๆ จากช่วงจำกัดหรือช่วงอนันต์ได้ เห็นได้ชัดว่าจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

พื้นที่ความน่าจะเป็น- แนวคิดที่นำเสนอโดย A.N. Kolmogorov ในช่วงทศวรรษที่ 1930 เพื่อสร้างแนวความคิดเกี่ยวกับความน่าจะเป็นซึ่งก่อให้เกิดการพัฒนาอย่างรวดเร็วของทฤษฎีความน่าจะเป็นตามระเบียบวินัยทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด

พื้นที่ความน่าจะเป็นเป็นสามเท่า (บางครั้งอยู่ในวงเล็บมุม: โดยที่

นี่คือเซตโดยพลการ องค์ประกอบที่เรียกว่าเหตุการณ์เบื้องต้น ผลลัพธ์หรือคะแนน
- ซิกมา-พีชคณิตของเซตย่อยที่เรียกว่าเหตุการณ์ (สุ่ม)
- การวัดความน่าจะเป็นหรือความน่าจะเป็นเช่น ซิกมา-additive finite วัดเช่นนั้น

ทฤษฎีบท De Moivre-Laplace- หนึ่งในทฤษฎีบทจำกัดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ก่อตั้งโดย Laplace ในปี 1812 เธอกล่าวว่าจำนวนความสำเร็จในการทำการทดลองสุ่มซ้ำแบบเดียวกันกับสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้นั้นมีการแจกแจงแบบปกติโดยประมาณ ช่วยให้คุณหาค่าความน่าจะเป็นโดยประมาณได้

หากสำหรับแต่ละการทดลองอิสระ ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์สุ่มบางเหตุการณ์เท่ากับ () และเป็นจำนวนการทดลองที่เกิดขึ้นจริง ความน่าจะเป็นของความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกันนั้นใกล้เคียงกัน (สำหรับขนาดใหญ่ ) กับค่าของอินทิกรัลลาปลาซ

ฟังก์ชันการกระจายในทฤษฎีความน่าจะเป็น- ฟังก์ชันที่แสดงลักษณะการกระจายของตัวแปรสุ่มหรือเวกเตอร์สุ่ม ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่าที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x โดยที่ x เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ ภายใต้เงื่อนไขบางประการ มันจะกำหนดตัวแปรสุ่มโดยสมบูรณ์

มูลค่าที่คาดหวัง- ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม (นี่คือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ซึ่งพิจารณาในทฤษฎีความน่าจะเป็น) ในวรรณคดีอังกฤษเขียนแทนด้วยในภาษารัสเซีย - ในสถิติมักใช้สัญกรณ์

ให้ช่องว่างความน่าจะเป็นและตัวแปรสุ่มกำหนดไว้ นั่นคือตามนิยามแล้ว ฟังก์ชันที่วัดได้ จากนั้น ถ้ามีอินทิกรัล Lebesgue ของ over space ก็จะเรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์หรือค่ากลาง และแสดงโดย

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม- การวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มที่กำหนด เช่น การเบี่ยงเบนจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ กำหนดไว้ในวรรณคดีรัสเซียและในต่างประเทศ ในสถิติ การกำหนดหรือมักใช้ รากที่สองของความแปรปรวนเรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือค่าสเปรดมาตรฐาน

อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดในพื้นที่ความน่าจะเป็นบางพื้นที่ แล้ว

โดยที่สัญลักษณ์แสดงถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น จะเรียกเหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์ เป็นอิสระหากการเกิดขึ้นของสิ่งใดสิ่งหนึ่งไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของการเกิดอีกสิ่งหนึ่ง ในทำนองเดียวกัน ตัวแปรสุ่มสองตัวถูกเรียก ขึ้นอยู่กับหากค่าของหนึ่งในนั้นส่งผลต่อความน่าจะเป็นของค่าของอีกค่าหนึ่ง

รูปแบบที่ง่ายที่สุดของกฎจำนวนมากคือทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี ซึ่งระบุว่าหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เท่ากันในการทดลองทั้งหมด เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ความถี่ของเหตุการณ์ก็มีแนวโน้มที่จะมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และ สิ้นสุดที่จะสุ่ม

กฎของตัวเลขจำนวนมากในทฤษฎีความน่าจะเป็นระบุว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่างที่มีขอบเขตจากการแจกแจงแบบตายตัวนั้นใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยทางทฤษฎีของการแจกแจงนั้น ขึ้นอยู่กับประเภทของการบรรจบกัน กฎที่อ่อนแอของจำนวนมากจะแตกต่าง เมื่อมีการลู่เข้าในความน่าจะเป็น และกฎที่แข็งแกร่งของจำนวนมาก เมื่อการบรรจบกันเกิดขึ้นเกือบแน่นอน

ความหมายทั่วไปของกฎจำนวนมากคือการกระทำร่วมกันของปัจจัยสุ่มที่เหมือนกันและเป็นอิสระจำนวนมากนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ขึ้นอยู่กับโอกาสในขอบเขต

วิธีการประมาณความน่าจะเป็นตามการวิเคราะห์กลุ่มตัวอย่างที่มีขอบเขตจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างที่ดีคือการทำนายผลการเลือกตั้งจากการสำรวจกลุ่มตัวอย่างผู้มีสิทธิเลือกตั้ง

ทฤษฎีขีดจำกัดกลาง- คลาสของทฤษฎีบทในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ระบุว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบพึ่งพาอาศัยกันอย่างอ่อนแอจำนวนมากเพียงพอซึ่งมีสเกลใกล้เคียงกันโดยประมาณ (ไม่มีเงื่อนไขใดที่ครอบงำ ไม่ได้มีส่วนสนับสนุนผลรวมอย่างเด็ดขาด) มีการแจกแจงที่ใกล้เคียง ปกติ.

เนื่องจากตัวแปรสุ่มจำนวนมากในแอปพลิเคชันเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยสุ่มที่ไม่ขึ้นต่อกันอย่างอ่อนหลายตัว การแจกแจงของตัวแปรเหล่านี้จึงถือว่าเป็นเรื่องปกติ ในกรณีนี้ต้องสังเกตเงื่อนไขว่าไม่มีปัจจัยใดมาครอบงำ ทฤษฎีขีดจำกัดกลางในกรณีเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้การแจกแจงแบบปกติ