Samo o osnovnih formulah teorije verjetnosti. Zgodovina razvoja teorije verjetnosti. Kaj je teorija verjetnosti

Oddelek 12. Teorija verjetnosti.

1. Uvod

2. Najenostavnejši koncepti teorije verjetnosti

3. Algebra dogodkov

4. Verjetnost naključnega dogodka

5. Geometrijske verjetnosti

6. Klasične verjetnosti. Kombinatorične formule.

7. Pogojna verjetnost. Neodvisnost dogodkov.

8. Formula popolne verjetnosti in Bayesova formula

9. Ponovljena preskusna shema. Bernoullijeva formula in njena asimptotika

10. Naključne spremenljivke (RV)

11. Distribucijska serija DSV

12. Funkcija kumulativne porazdelitve

13. Porazdelitvena funkcija NSV

14. Gostota verjetnosti NSV

15. Numerične značilnosti slučajnih spremenljivk

16. Primeri pomembnih SV porazdelitev

16.1. Binomska porazdelitev DSV.

16.2. Poissonova porazdelitev

16.3. Enakomerna porazdelitev NSV.

16.4. Normalna porazdelitev.

17. Mejni izreki teorije verjetnosti.

Uvod

Teorija verjetnosti se je tako kot mnoge druge matematične discipline razvila iz potreb prakse. Hkrati je bilo pri preučevanju realnega procesa potrebno ustvariti abstrakten matematični model realnega procesa. Običajno se upoštevajo glavne, najpomembnejše gonilne sile resničnega procesa, pri čemer se izločijo sekundarne, ki se imenujejo naključne. Seveda je ločena naloga, kaj je glavno in kaj sekundarno. Rešitev tega vprašanja določa stopnjo abstrakcije, enostavnost ali kompleksnost matematičnega modela in stopnjo ustreznosti modela realnemu procesu. V bistvu je vsak abstraktni model rezultat dveh nasprotujočih si teženj: preprostosti in ustreznosti realnosti.

Na primer, v teoriji streljanja so bile razvite dokaj preproste in priročne formule za določanje poti leta izstrelka iz pištole, ki se nahaja na točki (slika 1).

Pod določenimi pogoji zadostuje omenjena teorija, na primer pri masovni artilerijski pripravi.

Jasno pa je, da če bo izstreljenih več strelov iz ene puške pod enakimi pogoji, bodo trajektorije, čeprav blizu, vendarle drugačne. In če je ciljna velikost majhna v primerjavi z območjem razpršitve, se pojavijo posebna vprašanja, ki so posebej povezana z vplivom dejavnikov, ki niso upoštevani v predlaganem modelu. Hkrati bo upoštevanje dodatnih dejavnikov vodilo do preveč zapletenega modela, ki ga je skoraj nemogoče uporabiti. Poleg tega obstaja veliko teh naključnih dejavnikov, njihova narava je največkrat neznana.

V zgornjem primeru so takšna specifična vprašanja, ki presegajo deterministični model, na primer naslednja: koliko strelov je treba izstreliti, da se zagotovi zadetek tarče z določeno gotovostjo (na primer na )? Kako naj se izvede nastavitev na ničlo, da se uporabi najmanjša količina granat za zadetek tarče? in tako naprej.

Kot bomo videli kasneje, bosta besedi "naključno" in "verjetnost" postali strogi matematični izrazi. Hkrati so zelo pogosti v običajnem pogovornem govoru. Menijo, da je pridevnik "naključno" nasprotje "naravnega". Vendar temu ni tako, saj je narava zasnovana tako, da naključni procesi razkrivajo vzorce, vendar pod določenimi pogoji.

Glavni pogoj se imenuje množični značaj.

Na primer, če vržete kovanec, ne morete predvideti, kaj se bo pojavilo, grb ali številka, lahko le ugibate. Če pa ta kovanec vržemo velikokrat, se delež izpadlega grba ne bo veliko razlikoval od določene številke blizu 0,5 (v nadaljevanju bomo temu številu rekli verjetnost). Poleg tega se bo s povečanjem števila metov odstopanje od tega števila zmanjšalo. Ta lastnost se imenuje stabilnost povprečni kazalci (v tem primeru - delež grbov). Povedati je treba, da na prvih korakih teorije verjetnosti, ko je bilo treba v praksi preveriti prisotnost lastnosti stabilnosti, tudi velikim znanstvenikom ni bilo težko izvesti lastnega preverjanja. Tako je slavni poskus Buffona, ki je kovanec vrgel 4040-krat, grb pa se je pojavil 2048-krat, zato je delež (ali relativna frekvenca) izgubljenega grba 0,508, kar je blizu intuitivno pričakovano število 0,5.

Zato je definicija običajno podana predmet teorije verjetnosti kot veje matematike, ki preučuje vzorce množičnih naključnih procesov.

Povedati je treba, da kljub dejstvu, da največji dosežki teorije verjetnosti segajo v začetek prejšnjega stoletja, zlasti zahvaljujoč aksiomatični konstrukciji teorije v delih A.N. Kolmogorov (1903-1987) se je zanimanje za preučevanje nesreč pojavilo že davno.

Začetni interesi so bili poskusi uporabe numeričnega pristopa k igram na srečo. Prve zelo zanimive rezultate teorije verjetnosti običajno povezujemo z deli L. Paciolija (1494), D. Cardana (1526) in N. Tartaglie (1556).

Kasneje so B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) postavili temelje klasične teorije verjetnosti. V začetku 18. stoletja je J. Bernoulli (1654-1705) oblikoval koncept verjetnosti naključnega dogodka kot razmerja med številom ugodnih možnosti in številom vseh možnih. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) so zgradili svoje teorije na uporabi pojma mere množice.

Množično teoretično stališče je bilo predstavljeno v najbolj popolni obliki leta 1933. A.N. Kolmogorov v svoji monografiji "Osnovni koncepti teorije verjetnosti". Od tega trenutka postane teorija verjetnosti stroga matematična veda.

Ruski matematiki P.L. so veliko prispevali k razvoju teorije verjetnosti. Čebišev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) in drugi.

Teorija verjetnosti se trenutno hitro razvija.

Najenostavnejši koncepti teorije verjetnosti

Kot vsaka matematična veda se tudi teorija verjetnosti začne z uvedbo najpreprostejših pojmov, ki niso definirani, ampak samo pojasnjeni.

Eden od glavnih primarnih konceptov je izkušnje. Izkušnjo razumemo kot določen niz pogojev, ki jih je mogoče reproducirati neomejeno številokrat. Vsako izvedbo tega kompleksa bomo imenovali izkušnja ali preizkus. Rezultati eksperimenta so lahko različni in tu se pojavi element naključja. Različne rezultate ali izide izkušnje imenujemo dogodkov(natančneje naključni dogodki). Tako se lahko med izvajanjem poskusa zgodi tak ali drugačen dogodek. Z drugimi besedami, naključni dogodek je izid eksperimenta, ki se lahko zgodi (pojavi) ali ne zgodi med izvajanjem eksperimenta.

Izkušnje bodo označene s črko , naključni dogodki pa so običajno označeni z velikimi črkami

Pogosto je v poskusu mogoče vnaprej določiti njegove rezultate, ki jih lahko imenujemo najpreprostejši, ki jih ni mogoče razstaviti na enostavnejše. Takšni dogodki se imenujejo elementarni dogodki(oz primeri).

Primer 1. Naj vrže kovanec. Rezultati poskusa so: izguba grba (ta dogodek označimo s črko); izguba številk (označeno z ). Potem lahko zapišemo: izkušnja = (met kovanca), rezultati: Jasno je, da so osnovni dogodki v tem poskusu. Z drugimi besedami, naštevanje vseh elementarnih dogodkov izkušnje popolnoma opiše. V zvezi s tem bomo rekli, da je izkušnja prostor elementarnega dogajanja, v našem primeru pa lahko izkušnjo na kratko zapišemo v obliki: = (met kovanca) = (G; C).

Primer 2. =(kovanec se vrže dvakrat)= Sledi besedni opis doživetja in naštevanje vseh elementarnih dogodkov: to pomeni, da je najprej ob prvem metu kovanca padel grb, ob drugem je padel tudi grb; pomeni, da se je grb pojavil ob prvem metu kovanca, številka pri drugem itd.

Primer 3. V koordinatnem sistemu so točke vržene v kvadrat. V tem primeru so osnovni dogodki točke s koordinatami, ki zadoščajo podanim neenakostim. Na kratko je zapisano takole:

Dvopičje v zavitih oklepajih pomeni, da je sestavljeno iz točk, vendar ne poljubnih, temveč samo tistih, ki izpolnjujejo pogoj (ali pogoje), navedene za dvopičjem (v našem primeru so to neenakosti).

Primer 4. Kovanec se meče, dokler se ne pojavi prvi grb. Z drugimi besedami, met kovanca se nadaljuje, dokler glava ne pade na tla. V tem primeru je mogoče našteti osnovne dogodke, čeprav je njihovo število neskončno:

Upoštevajte, da ima v primerih 3 in 4 prostor elementarnih dogodkov neskončno število rezultatov. V primeru 4 jih lahko naštejemo, tj. preračunati. Takšna množica se imenuje števna. V primeru 3 je prostor neštet.

Uvedemo v obravnavo še dva dogodka, ki sta prisotna v vsaki izkušnji in sta teoretično zelo pomembna.

Pokličimo dogodek nemogoče, razen če se zaradi izkušenj to nujno zgodi. Označili ga bomo z znakom prazne množice. Nasprotno, imenujemo dogodek, ki se bo zagotovo zgodil kot rezultat izkušnje zanesljiv. Zanesljiv dogodek je označen na enak način kot sam prostor elementarnega dogajanja - s črko .

Na primer, pri metu kocke je dogodek (manj kot 9 vrženih točk) zanesljiv, dogodek (natančno 9 vrženih točk) pa nemogoč.

Prostor elementarnih dogodkov je torej mogoče določiti z verbalnim opisom, seznamom vseh njegovih elementarnih dogodkov in nastavitvijo pravil ali pogojev, s katerimi se pridobijo vsi njegovi elementarni dogodki.

Algebra dogodkov

Doslej smo govorili le o elementarnih dogodkih kot neposrednih posledicah izkušenj. Vendar pa lahko v okviru izkušenj govorimo o drugih naključnih dogodkih, poleg elementarnih.

Primer 5. Pri metu kocke lahko poleg elementarnih dogodkov ena, dva,..., šest govorimo še o drugih dogodkih: (sodo število), (liho število), (kratnik tri), (število, manjše od 4). ) in tako naprej. V tem primeru lahko podane dogodke poleg verbalne naloge navedemo tako, da navedemo osnovne dogodke:

Oblikovanje novih dogodkov iz osnovnih, pa tudi iz drugih dogodkov, poteka z uporabo operacij (ali dejanj) na dogodkih.

Opredelitev. Produkt dveh dogodkov je dogodek, ki je sestavljen iz dejstva, da se bo zgodil rezultat poskusa in dogodek, in dogodek, tj. oba dogodka se bosta zgodila skupaj (hkrati).

Znak izdelka (pika) je pogosto izpuščen:

Opredelitev. Vsota dveh dogodkov je dogodek, ki je sestavljen iz dejstva, da se bo zgodil rezultat poskusa oz dogodek, oz dogodek, oz oboje skupaj (hkrati).

V obeh definicijah smo namenoma poudarili veznike in in oz- da bi pri reševanju problemov pritegnili pozornost bralca na vaš govor. Če izgovarjamo veznik “in”, potem govorimo o produkciji dogodkov; Če je veznik »ali« izgovorjen, je treba dogodke sešteti. Ob tem ugotavljamo, da se veznik »ali« v vsakdanjem govoru pogosto uporablja v smislu izključitve enega od dveh: »samo ali samo«. V teoriji verjetnosti taka izjema ni predpostavljena: in , in , ter pomenita pojav dogodka

Če so podani z naštevanjem elementarnih dogodkov, potem lahko kompleksne dogodke enostavno pridobimo z uporabo navedenih operacij. Za pridobitev morate poiskati vse elementarne dogodke, ki pripadajo obema dogodkoma; če jih ni, potem je tudi vsoto dogodkov enostavno sestaviti: vzeti morate katerega koli od obeh dogodkov in mu dodati tiste elementarne dogodke iz drugi dogodek, ki ni vključen v prvega.

V primeru 5 dobimo zlasti

Uvedene operacije imenujemo binarne, ker določena za dva dogodka. Naslednja unarna operacija (definirana za posamezen dogodek) je zelo pomembna: dogodek se pokliče nasprotje dogodek, če je sestavljen iz dejstva, da se v dani izkušnji dogodek ni zgodil. Iz definicije je razvidno, da imata vsak dogodek in njegovo nasprotje naslednje lastnosti: Uvedena operacija se imenuje dodatek dogodki A.

Iz tega sledi, da če je podan s seznamom elementarnih dogodkov, potem je ob poznavanju specifikacije dogodka enostavno dobiti, da je sestavljen iz vseh elementarnih dogodkov prostora, ki ne pripadajo. Zlasti na primer 5 dogodek

Če oklepajev ni, je pri izvajanju operacij nastavljena naslednja prioriteta: seštevanje, množenje, seštevanje.

Torej se s pomočjo uvedenih operacij prostor elementarnih dogodkov dopolnjuje z drugimi naključnimi dogodki, ki tvorijo t.i. algebra dogodkov.

Primer 6. Strelec je v tarčo izstrelil tri strele. Upoštevajte dogodke = (strelec je zadel tarčo z i-tim strelom), i = 1,2,3.

Sestavimo nekaj dogodkov iz teh dogodkov (ne pozabimo na nasprotne). Ne dajemo dolgih komentarjev; Verjamemo, da jih bo bralec izvedel samostojno.

Dogodek B = (vsi trije streli so zadeli tarčo). Več podrobnosti: B = ( in prvi, in drugič, in tretji strel je zadel tarčo). Rabljena zveza In, zato se dogodki množijo:

Enako:

C = (noben od strelov ni zadel tarče)

E = (en strel je dosegel cilj)

D = (zadetek tarče pri drugem strelu) = ;

F = (tarča zadeta z dvema streloma)

N = (vsaj en zadetek bo zadel tarčo)

Kot je znano, je v matematiki geometrična interpretacija analitičnih objektov, konceptov in formul zelo pomembna.

V teoriji verjetnosti je priročno vizualno predstaviti (geometrična interpretacija) izkušnje, naključne dogodke in operacije na njih v obliki t.i. Euler-Vennovi diagrami. Bistvo je, da se vsaka izkušnja identificira (interpretira) z metanjem točk v določeno polje. Pike se vržejo naključno, tako da imajo vse pike enake možnosti, da pristanejo kjer koli v kvadratku. Kvadrat definira okvir zadevne izkušnje. Vsak dogodek znotraj izkušnje je identificiran z določenim območjem kvadrata. Z drugimi besedami, pojav dogodka pomeni, da naključna točka pade znotraj območja, ki ga označuje črka.Potem se operacije nad dogodki zlahka interpretirajo geometrijsko (slika 2).

A + B: poljubno

valjenje

Na sliki 2 a) je zaradi jasnosti dogodek A označen z navpičnim senčenjem, dogodek B pa z vodoravnim senčenjem. Nato operacija množenja ustreza dvojni šrafuri - dogodek ustreza tistemu delu kvadrata, ki je prekrit z dvojno šrafuro. Še več, če se potem imenujejo nezdružljivi dogodki. Skladno s tem operacija seštevanja ustreza kateri koli šrafuri - dogodek pomeni del kvadrata, zasenčen s katero koli šrafuro - navpično, vodoravno in dvojno. Na sliki 2 b) je prikazan dogodek, ki ustreza zasenčenemu delu kvadrata - vse, kar ni vključeno v območje. Predstavljene operacije imajo naslednje osnovne lastnosti, nekatere od njih veljajo za istoimenske operacije na številke, obstajajo pa tudi konkretni.

10. komutativnost množenja;

20. komutativnost seštevanja;

trideset. asociativnost množenja;

4 0 . asociativnost dodatka,

50. porazdelitev množenja glede na seštevanje,

6 0 . distributivnost seštevanja glede na množenje;

9 0 . de Morganovi zakoni dualnosti,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Primer 7. Ivan in Peter sta se dogovorila, da se srečata v časovnem intervalu ure T, na primer (0, T). Obenem sta se dogovorila, da bo vsak ob prihodu na sestanek drugega čakal največ eno uro.

Dajmo temu primeru geometrijsko razlago. Označimo: čas Ivanovega prihoda na srečanje; Petrov prihod na srečanje. Po dogovoru: 0 . Nato v koordinatnem sistemu dobimo: = Lahko opazimo, da je v našem primeru prostor elementarnih dogodkov kvadrat. 1

0 x ustreza tistemu delu kvadrata, ki se nahaja nad to črto.Podobno drugi neenačbi y≤x+ in; in ne deluje, če ne delujejo vsi elementi, tj. .Tako se de Morganov drugi zakon dvojnosti: izvaja, ko so elementi povezani vzporedno.

Zgornji primer kaže, zakaj se teorija verjetnosti pogosto uporablja v fiziki, zlasti pri izračunu zanesljivosti resničnih tehničnih naprav.

»Nesreče niso naključne« ... Sliši se kot nekaj, kar je rekel neki filozof, a v resnici je preučevanje naključnosti usoda velike znanosti matematike. V matematiki se z naključjem ukvarja teorija verjetnosti. V članku bodo predstavljene formule in primeri nalog ter glavne definicije te znanosti.

Kaj je teorija verjetnosti?

Teorija verjetnosti je ena od matematičnih disciplin, ki preučuje naključne dogodke.

Da bi bilo malo bolj jasno, navedimo kratek primer: če vržete kovanec navzgor, lahko pristane na glavi ali repu. Medtem ko je kovanec v zraku, sta možni obe verjetnosti. Se pravi, da je verjetnost možnih posledic 1:1. Če je ena izvlečena iz kompleta 36 kart, bo verjetnost navedena kot 1:36. Zdi se, da tukaj ni kaj raziskovati in napovedovati, zlasti s pomočjo matematičnih formul. Če pa določeno dejanje večkrat ponovite, lahko prepoznate določen vzorec in na podlagi tega napoveste razplet dogodkov v drugih pogojih.

Če povzamemo vse zgoraj navedeno, teorija verjetnosti v klasičnem smislu proučuje možnost pojava enega od možnih dogodkov v numerični vrednosti.

S strani zgodovine

Teorija verjetnosti, formule in primeri prvih nalog so se pojavili v daljnem srednjem veku, ko so se prvič pojavili poskusi napovedovanja izida iger s kartami.

Na začetku teorija verjetnosti ni imela nobene zveze z matematiko. Upravičeno je bilo z empiričnimi dejstvi ali lastnostmi dogodka, ki jih je bilo mogoče reproducirati v praksi. Prva dela na tem področju kot matematične discipline so se pojavila v 17. stoletju. Ustanovitelja sta bila Blaise Pascal in Pierre Fermat. Dolgo sta preučevala igre na srečo in videla določene vzorce, o katerih sta se odločila, da bosta povedala javnosti.

Enako tehniko je izumil Christiaan Huygens, čeprav ni bil seznanjen z rezultati raziskav Pascala in Fermata. Uvedel je koncept "teorije verjetnosti", formule in primere, ki veljajo za prve v zgodovini discipline.

Nemalo pomembna so tudi dela Jacoba Bernoullija, Laplaceov in Poissonov izrek. Teorijo verjetnosti so naredili bolj kot matematično disciplino. Teorija verjetnosti, formule in primeri osnovnih nalog so dobili današnjo obliko po zaslugi aksiomov Kolmogorova. Zaradi vseh sprememb je teorija verjetnosti postala ena od matematičnih vej.

Osnovni pojmi teorije verjetnosti. Dogodki

Glavni koncept te discipline je »dogodek«. Obstajajo tri vrste dogodkov:

Zanesljiv. Tisti, ki se bodo vseeno zgodili (kovanec bo padel).
Nemogoče. Dogodki, ki se pod nobenim pogojem ne bodo zgodili (kovanec bo ostal viseti v zraku).
Naključen. Tisti, ki se bodo zgodili ali pa se ne bodo zgodili. Nanje lahko vplivajo različni dejavniki, ki jih je zelo težko predvideti. Če govorimo o kovancu, potem obstajajo naključni dejavniki, ki lahko vplivajo na rezultat: fizične lastnosti kovanca, njegova oblika, prvotni položaj, sila meta itd.

Vsi dogodki v primerih so označeni z velikimi latiničnimi črkami, razen P, ki ima drugačno vlogo. Na primer:

A = "študentje so prišli na predavanje."
Ā = “študentje niso prišli na predavanje.”

Pri praktičnih nalogah so dogodki običajno zapisani z besedami.

Ena najpomembnejših lastnosti dogodkov je njihova enaka možnost. Se pravi, če vržete kovanec, so možne vse različice začetnega padca, dokler ne pade. A dogodki tudi niso enako mogoči. To se zgodi, ko nekdo namerno vpliva na izid. Na primer "označene" igralne karte ali kocke, pri katerih je težišče premaknjeno.

Dogodki so lahko tudi združljivi in nezdružljivi. Združljivi dogodki ne izključujejo pojava drug drugega. Na primer:

A = "študent je prišel na predavanje."
B = "študent je prišel na predavanje."

Ti dogodki so neodvisni drug od drugega in pojav enega od njih ne vpliva na pojav drugega. Nezdružljivi dogodki so opredeljeni z dejstvom, da pojav enega izključuje pojav drugega. Če govorimo o istem kovancu, potem izguba "repov" onemogoča pojav "glav" v istem poskusu.

Ukrepi na dogodkih

Dogodke je mogoče množiti in seštevati, zato sta v disciplini uvedena logična veznika »IN« in »ALI«.

Količina je določena z dejstvom, da se lahko dogodek A ali B ali dva zgodita hkrati. Če sta nezdružljiva, je zadnja možnost nemogoča; vrgla bosta A ali B.

Množenje dogodkov je sestavljeno iz istočasnega pojavljanja A in B.

Zdaj lahko navedemo več primerov, da si bolje zapomnimo osnove, teorijo verjetnosti in formule. Primeri reševanja problemov spodaj.

1. vaja: Podjetje sodeluje v natečaju za pridobitev pogodb za tri vrste del. Možni dogodki, ki se lahko pojavijo:

A = "podjetje bo prejelo prvo pogodbo."
A 1 = "podjetje ne bo prejelo prve pogodbe."
B = "podjetje bo prejelo drugo pogodbo."
B 1 = "podjetje ne bo prejelo druge pogodbe"
C = "podjetje bo prejelo tretjo pogodbo."
C 1 = "podjetje ne bo prejelo tretje pogodbe."

Z dejanji na dogodkih bomo poskušali izraziti naslednje situacije:

K = "podjetje bo prejelo vse pogodbe."

V matematični obliki bo enačba imela naslednjo obliko: K = ABC.

M = "podjetje ne bo prejelo niti ene pogodbe."

M = A 1 B 1 C 1.

Zapletimo nalogo: H = "podjetje bo prejelo eno pogodbo." Ker ni znano, katero pogodbo bo podjetje prejelo (prvo, drugo ali tretjo), je potrebno zabeležiti celotno vrsto možnih dogodkov:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

In 1 pr. n. št. 1 je serija dogodkov, kjer podjetje ne prejme prve in tretje pogodbe, prejme pa drugo. Drugi možni dogodki so bili zabeleženi z ustrezno metodo. Simbol υ v disciplini označuje veznik »ALI«. Če zgornji primer prevedemo v človeški jezik, bo podjetje prejelo ali tretjo pogodbo, ali drugo, ali prvo. Na podoben način lahko zapišete druge pogoje v disciplini "Teorija verjetnosti". Zgoraj predstavljene formule in primeri reševanja problemov vam bodo pomagali, da to storite sami.

Pravzaprav verjetnost

Morda je v tej matematični disciplini verjetnost dogodka osrednji koncept. Obstajajo 3 definicije verjetnosti:

klasična;
statistični;
geometrijski.

Vsak ima svoje mesto v študiji verjetnosti. Teorija verjetnosti, formule in primeri (9. razred) uporabljajo predvsem klasično definicijo, ki zveni takole:

Verjetnost situacije A je enaka razmerju med številom izidov, ki podpirajo njen pojav, in številom vseh možnih izidov.

Formula izgleda takole: P(A)=m/n.

A je pravzaprav dogodek. Če se pojavi primer, nasproten A, ga lahko zapišemo kot Ā ali A 1 .

m je število možnih ugodnih primerov.

n - vsi dogodki, ki se lahko zgodijo.

Na primer, A = "povleci karto srčkane barve." V standardnem kompletu je 36 kart, od tega jih je 9 srčkov. V skladu s tem bo formula za rešitev problema videti tako:

P(A)=9/36=0,25.

Posledično bo verjetnost, da bo iz kompleta potegnjena karta srčaste barve, 0,25.

Proti višji matematiki

Zdaj je postalo malo znano, kaj je teorija verjetnosti, formule in primeri reševanja problemov, ki se pojavljajo v šolskem kurikulumu. Teorijo verjetnosti pa najdemo tudi v višji matematiki, ki se poučuje na univerzah. Najpogosteje operirajo z geometrijskimi in statističnimi definicijami teorije in kompleksnimi formulami.

Teorija verjetnosti je zelo zanimiva. Bolje je začeti študirati formule in primere (višja matematika) z majhnimi - s statistično (ali frekvenčno) definicijo verjetnosti.

Statistični pristop ni v nasprotju s klasičnim, ampak ga nekoliko širi. Če je bilo v prvem primeru treba ugotoviti, s kakšno verjetnostjo se bo dogodek zgodil, potem je treba v tej metodi navesti, kako pogosto se bo zgodil. Tu je uveden nov koncept "relativne frekvence", ki jo lahko označimo z W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Če se za napovedovanje izračuna klasična formula, se statistična izračuna glede na rezultate poskusa. Vzemimo za primer majhno nalogo.

Oddelek tehnološke kontrole preverja kakovost izdelkov. Med 100 izdelki so bili 3 nekakovostni. Kako najti verjetnost frekvence kakovostnega izdelka?

A = "videz kakovostnega izdelka."

W n (A)=97/100=0,97

Tako je frekvenca kakovostnega izdelka 0,97. Od kje ti 97? Od 100 pregledanih izdelkov so bili 3 nekvalitetni. Od 100 odštejemo 3 in dobimo 97, to je količina kakovostnega blaga.

Nekaj malega o kombinatoriki

Druga metoda teorije verjetnosti se imenuje kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je, da če je mogoče določeno izbiro A narediti na m različnih načinov, izbiro B pa na n različnih načinov, potem lahko izbiro A in B izvedete z množenjem.

Na primer, iz mesta A v mesto B vodi 5 cest. Iz mesta B v mesto C vodijo 4 poti. Na koliko načinov lahko prideš iz mesta A v mesto C?

Preprosto je: 5x4=20, torej na dvajset različnih načinov lahko prideš od točke A do točke C.

Zakomplicirajmo nalogo. Na koliko načinov lahko razporedite karte v pasijansu? V kompletu je 36 kart – to je izhodišče. Če želite izvedeti število načinov, morate od začetne točke "odšteti" eno karto naenkrat in pomnožiti.

To pomeni, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultat se ne prilega zaslonu kalkulatorja, zato ga lahko preprosto označimo kot 36!. Podpiši "!" poleg številke pomeni, da je celotna serija števil pomnožena skupaj.

V kombinatoriki obstajajo koncepti, kot so permutacija, postavitev in kombinacija. Vsak od njih ima svojo formulo.

Urejena množica elementov množice se imenuje aranžma. Postavitve se lahko ponavljajo, to pomeni, da se en element lahko uporabi večkrat. In brez ponavljanja, ko se elementi ne ponavljajo. n so vsi elementi, m so elementi, ki sodelujejo pri postavitvi. Formula za umestitev brez ponavljanja bo videti takole:

A n m =n!/(n-m)!

Povezave n elementov, ki se razlikujejo le po vrstnem redu postavitve, imenujemo permutacije. V matematiki je to videti takole: P n = n!

Kombinacije n elementov od m so tiste spojine, pri katerih je pomembno, kateri elementi so bili in koliko je njihovo skupno število. Formula bo videti tako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullijeva formula

V teoriji verjetnosti, tako kot v vsaki disciplini, obstajajo dela izjemnih raziskovalcev na svojem področju, ki so jo dvignili na novo raven. Eno od teh del je Bernoullijeva formula, ki vam omogoča, da določite verjetnost, da se določen dogodek zgodi v neodvisnih pogojih. To nakazuje, da pojav A v poskusu ni odvisen od pojava ali nepojavitve istega dogodka v prejšnjih ali naslednjih poskusih.

Bernoullijeva enačba:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Verjetnost (p) pojava dogodka (A) je konstantna za vsak poskus. Verjetnost, da se bo situacija zgodila natanko m-krat v n številu poskusov, bo izračunana z zgoraj predstavljeno formulo. V skladu s tem se postavlja vprašanje, kako najti število q.

Če se dogodek A zgodi p tolikokrat, se lahko zgodi, da se ne zgodi. Enota je številka, ki se uporablja za označevanje vseh rezultatov situacije v disciplini. Zato je q število, ki označuje možnost, da se dogodek ne zgodi.

Zdaj poznate Bernoullijevo formulo (teorija verjetnosti). Spodaj bomo obravnavali primere reševanja problemov (prva raven).

Naloga 2: Obiskovalec trgovine bo opravil nakup z verjetnostjo 0,2. V trgovino je samostojno vstopilo 6 obiskovalcev. Kakšna je verjetnost, da bo obiskovalec opravil nakup?

Rešitev: Ker ni znano, koliko obiskovalcev naj opravi nakup, eden ali vseh šest, je treba izračunati vse možne verjetnosti z Bernoullijevo formulo.

A = "obiskovalec bo opravil nakup."

V tem primeru: p = 0,2 (kot je navedeno v nalogi). V skladu s tem je q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ker je v trgovini 6 strank). Število m se bo spreminjalo od 0 (noben kupec ne bo kupil) do 6 (vsi obiskovalci trgovine bodo nekaj kupili). Kot rezultat dobimo rešitev:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nobeden od kupcev ne bo opravil nakupa z verjetnostjo 0,2621.

Kako se sicer uporablja Bernoullijeva formula (teorija verjetnosti)? Primeri reševanja problemov (drugi nivo) spodaj.

Po zgornjem primeru se porajajo vprašanja, kam sta šla C in r. Glede na p bo število na potenco 0 enako ena. Kar se tiče C, ga lahko najdete po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Ker je v prvem primeru m = 0, je C = 1, kar načeloma ne vpliva na rezultat. Z novo formulo poskusimo ugotoviti, kakšna je verjetnost, da bosta blago kupila dva obiskovalca.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija verjetnosti ni tako zapletena. Bernoullijeva formula, katere primeri so predstavljeni zgoraj, je neposreden dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova enačba se uporablja za izračun naključnih situacij z majhno verjetnostjo.

Osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

V tem primeru je λ = n x p. Tukaj je preprosta Poissonova formula (teorija verjetnosti). Spodaj bomo obravnavali primere reševanja problemov.

Naloga 3: Tovarna je izdelala 100.000 delov. Pojav okvarjenega dela = 0,0001. Kakšna je verjetnost, da bo v seriji 5 okvarjenih delov?

Kot lahko vidite, je poroka malo verjeten dogodek, zato se za izračun uporablja Poissonova formula (teorija verjetnosti). Primeri reševanja tovrstnih problemov se ne razlikujejo od drugih nalog v disciplini, potrebne podatke nadomestimo v dano formulo:

A = "naključno izbrani del bo pokvarjen."

p = 0,0001 (glede na pogoje naloge).

n = 100000 (število delov).

m = 5 (pokvarjeni deli). Podatke nadomestimo v formulo in dobimo:

100000 R (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Tako kot Bernoullijeva formula (teorija verjetnosti), primeri rešitev, ki uporabljajo zgoraj, ima Poissonova enačba neznano e. Pravzaprav jo lahko najdemo s formulo:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Vendar pa obstajajo posebne tabele, ki vsebujejo skoraj vse vrednosti e.

De Moivre-Laplaceov izrek

Če je v Bernoullijevi shemi število poskusov dovolj veliko in je verjetnost pojava dogodka A v vseh shemah enaka, potem je verjetnost pojava dogodka A določeno število krat v nizu testov mogoče najti z Laplaceova formula:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Da bi si bolje zapomnili Laplaceovo formulo (teorija verjetnosti), so spodaj navedeni primeri problemov.

Najprej poiščemo X m, nadomestimo podatke (vsi so navedeni zgoraj) v formulo in dobimo 0,025. S pomočjo tabel poiščemo število ϕ(0,025), katerega vrednost je 0,3988. Zdaj lahko vse podatke nadomestite s formulo:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Tako je verjetnost, da bo letak deloval točno 267-krat, 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija verjetnosti), primeri reševanja problemov, s pomočjo katere bodo podani spodaj, je enačba, ki opisuje verjetnost dogodka glede na okoliščine, ki bi lahko bile z njim povezane. Osnovna formula je naslednja:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A in B sta dokončna dogodka.

P(A|B) je pogojna verjetnost, kar pomeni, da se dogodek A lahko zgodi, če je dogodek B resničen.

P (B|A) - pogojna verjetnost dogodka B.

Torej, zadnji del kratkega predmeta "Teorija verjetnosti" je Bayesova formula, primeri rešitev težav s katerimi so spodaj.

Naloga 5: V skladišče so pripeljali telefone treh podjetij. Hkrati je delež telefonov, proizvedenih v prvi tovarni, 25%, v drugi - 60%, v tretji - 15%. Znano je tudi, da je povprečni odstotek okvarjenih izdelkov v prvi tovarni 2%, v drugi 4% in v tretji 1%. Ugotoviti morate verjetnost, da bo naključno izbrani telefon okvarjen.

A = "naključno izbran telefon."

B 1 - telefon, ki ga je izdelala prva tovarna. V skladu s tem se pojavita uvodni B 2 in B 3 (za drugo in tretjo tovarno).

Kot rezultat dobimo:

P (B 1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo ugotovili verjetnost vsake možnosti.

Zdaj morate najti pogojne verjetnosti želenega dogodka, to je verjetnost pokvarjenih izdelkov v podjetjih:

P (A/B 1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Zdaj nadomestimo podatke v Bayesovo formulo in dobimo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članek predstavlja teorijo verjetnosti, formule in primere reševanja problemov, vendar je to le vrh ledene gore obsežne discipline. In po vsem napisanem se bo logično vprašati, ali je teorija verjetnosti v življenju potrebna. Običajnemu človeku je težko odgovoriti, bolje je vprašati nekoga, ki je z njim že večkrat osvojil jackpot.

Teorija verjetnosti je veja matematike, ki preučuje vzorce naključnih pojavov: naključne dogodke, naključne spremenljivke, njihove lastnosti in operacije na njih.

Dolgo časa teorija verjetnosti ni imela jasne definicije. Oblikovana je bila šele leta 1929. Nastanek teorije verjetnosti kot vede sega v srednji vek in prve poskuse matematične analize iger na srečo (kosmiči, kocke, ruleta). Francoska matematika iz 17. stoletja Blaise Pascal in Pierre Fermat sta med proučevanjem napovedi dobitkov pri igrah na srečo odkrila prve verjetnostne vzorce, ki nastanejo pri metanju kocke.

Teorija verjetnosti je nastala kot znanost iz prepričanja, da množični naključni dogodki temeljijo na določenih vzorcih. Teorija verjetnosti preučuje te vzorce.

Teorija verjetnosti se ukvarja s proučevanjem dogodkov, katerih pojav ni znan z gotovostjo. Omogoča vam presojo stopnje verjetnosti pojava nekaterih dogodkov v primerjavi z drugimi.

Na primer: nemogoče je nedvoumno določiti rezultat "glav" ali "repov" kot rezultat metanja kovanca, vendar se pri ponovnem metanju pojavi približno enako število "glav" in "repov", kar pomeni, da verjetnost, da bodo padle "glave" ali "repi", je enaka 50%.

Test v tem primeru se imenuje izvajanje določenega niza pogojev, to je v tem primeru met kovanca. Izziv lahko igrate neomejeno številokrat. V tem primeru nabor pogojev vključuje naključne dejavnike.

Rezultat testa je dogodek. Dogodek se zgodi:

Zanesljivo (vedno se pojavi kot rezultat testiranja).
Nemogoče (se nikoli ne zgodi).
Naključno (lahko se zgodi kot rezultat testa).

Na primer, pri metanju kovanca nemogoč dogodek - kovanec bo pristal na robu, naključni dogodek - pojav "glav" ali "repov". Poseben rezultat testa se imenuje osnovni dogodek. Kot rezultat preizkusa se zgodijo le osnovni dogodki. Nabor vseh možnih, različnih, specifičnih izidov testa se imenuje prostor elementarnega dogajanja.

Osnovni koncepti teorije

Verjetnost- stopnjo možnosti nastanka dogodka. Kadar razlogi, da se neki možni dogodek dejansko zgodi, prevladajo nad nasprotnimi razlogi, potem se ta dogodek imenuje verjeten, drugače - malo verjeten ali malo verjeten.

Naključna vrednost- to je količina, ki lahko zaradi testiranja sprejme eno ali drugo vrednost, pri čemer ni vnaprej znano, katero. Na primer: število na gasilski dom na dan, število zadetkov z 10 streli itd.

Naključne spremenljivke lahko razdelimo v dve kategoriji.

Diskretna naključna spremenljivka je količina, ki lahko kot rezultat testiranja z določeno verjetnostjo prevzame določene vrednosti in tvori štetni niz (nabor, katerega elemente je mogoče oštevilčiti). Ta niz je lahko končen ali neskončen. Na primer, število strelov pred prvim zadetkom v tarčo je diskretna naključna spremenljivka, ker ta količina lahko zavzame neskončno, čeprav šteto število vrednosti.
Zvezna naključna spremenljivka je količina, ki lahko zavzame poljubno vrednost iz nekega končnega ali neskončnega intervala. Očitno je število možnih vrednosti zvezne naključne spremenljivke neskončno.

Verjetnostni prostor- koncept, ki ga je predstavil A.N. Kolmogorov v 30. letih 20. stoletja, da bi formaliziral koncept verjetnosti, kar je povzročilo hiter razvoj teorije verjetnosti kot stroge matematične discipline.

Verjetnostni prostor je trojka (včasih zaprta v oglatih oklepajih: , kjer

To je poljubna množica, katere elemente imenujemo elementarni dogodki, izidi ali točke;
- sigma algebra podmnožic, imenovanih (naključni) dogodki;
- verjetnostna mera ali verjetnost, tj. sigma-aditivna končna mera, tako da .

De Moivre-Laplaceov izrek- eden od mejnih izrekov teorije verjetnosti, ki ga je postavil Laplace leta 1812. Navaja, da je število uspehov pri ponavljanju istega naključnega poskusa znova in znova z dvema možnima izidoma približno normalno porazdeljeno. Omogoča vam iskanje približne vrednosti verjetnosti.

Če je za vsakega od neodvisnih poskusov verjetnost pojava nekega naključnega dogodka enaka () in je število poskusov, v katerih se dejansko zgodi, potem je verjetnost, da je neenakost resnična, blizu (za velike vrednosti) vrednost Laplaceovega integrala.

Porazdelitvena funkcija v teoriji verjetnosti- funkcija, ki označuje porazdelitev naključne spremenljivke ali naključnega vektorja; verjetnost, da bo naključna spremenljivka X zavzela vrednost, manjšo ali enako x, kjer je x poljubno realno število. Če so znani pogoji izpolnjeni, popolnoma določi naključno spremenljivko.

Pričakovana vrednost- povprečna vrednost naključne spremenljivke (to je verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke, upoštevana v teoriji verjetnosti). V literaturi v angleškem jeziku je označena z , v ruščini - . V statistiki se pogosto uporablja zapis.

Naj sta podana verjetnostni prostor in v njem definirana naključna spremenljivka. To je po definiciji merljiva funkcija. Potem, če obstaja Lebesgueov integral nad prostorom, se imenuje matematično pričakovanje ali srednja vrednost in je označeno z .

Varianca naključne spremenljivke- merilo razpršenosti dane naključne spremenljivke, to je njen odklon od matematičnega pričakovanja. Označen je v ruski in tuji literaturi. V statistiki se pogosto uporablja oznaka ali . Kvadratni koren variance se imenuje standardni odklon, standardni odklon ali standardni razpon.

Naj bo naključna spremenljivka definirana na nekem verjetnostnem prostoru. Potem

kjer simbol označuje matematično pričakovanje.

V teoriji verjetnosti se imenujeta dva naključna dogodka neodvisen, če pojav enega od njih ne spremeni verjetnosti pojava drugega. Podobno se kličeta dve naključni spremenljivki odvisen, če vrednost enega od njih vpliva na verjetnost vrednosti drugega.

Najenostavnejša oblika zakona velikih števil je Bernoullijev izrek, ki pravi, da če je verjetnost dogodka enaka v vseh poskusih, potem ko se število poskusov poveča, se pogostost dogodka nagiba k verjetnosti dogodka in preneha biti naključen.

Zakon velikih števil v teoriji verjetnosti pravi, da je aritmetična sredina končnega vzorca iz fiksne porazdelitve blizu teoretične sredine te porazdelitve. Glede na vrsto konvergence ločimo šibki zakon velikih števil, ko pride do konvergence po verjetnosti, in močan zakon velikih števil, ko je konvergenca skoraj gotova.

Splošni pomen zakona velikih števil je, da skupno delovanje velikega števila enakih in neodvisnih naključnih dejavnikov vodi do rezultata, ki v meji ni odvisen od naključja.

Na tej lastnosti temeljijo metode za ocenjevanje verjetnosti na podlagi analize končnih vzorcev. Nazoren primer je napoved volilnih rezultatov na podlagi ankete na vzorcu volivcev.

Centralni mejni izreki- razred izrekov v teoriji verjetnosti, ki trdijo, da ima vsota dovolj velikega števila šibko odvisnih naključnih spremenljivk, ki imajo približno enake lestvice (nobeden od členov ne prevladuje ali odločilno prispeva k vsoti), porazdelitev, ki je blizu normalni.

Ker se številne naključne spremenljivke v aplikacijah oblikujejo pod vplivom več šibko odvisnih naključnih dejavnikov, se njihova porazdelitev šteje za normalno. V tem primeru mora biti izpolnjen pogoj, da noben od dejavnikov ni prevladujoč. Centralni mejni izreki v teh primerih upravičujejo uporabo normalne porazdelitve.

Nekateri programerji po delu na področju razvoja običajnih komercialnih aplikacij razmišljajo o tem, da bi obvladali strojno učenje in postali podatkovni analitik. Pogosto ne razumejo, zakaj določene metode delujejo, in večina metod strojnega učenja se zdi kot čarovnija. Pravzaprav strojno učenje temelji na matematični statistiki, ta pa na teoriji verjetnosti. Zato bomo v tem članku pozornost namenili osnovnim konceptom teorije verjetnosti: dotaknili se bomo definicij verjetnosti, porazdelitve in analizirali nekaj preprostih primerov.

Morda veste, da je teorija verjetnosti konvencionalno razdeljena na 2 dela. Diskretna teorija verjetnosti preučuje pojave, ki jih je mogoče opisati s porazdelitvijo s končnim (ali preštetim) številom možnih možnosti obnašanja (metanje kock, kovancev). Kontinuirana teorija verjetnosti preučuje pojave, porazdeljene po nekem gostem nizu, na primer na segmentu ali v krogu.

Predmet teorije verjetnosti lahko obravnavamo na preprostem primeru. Predstavljajte si sebe kot razvijalca streljačin. Sestavni del razvoja iger tega žanra je mehanika streljanja. Jasno je, da bo strelec, v katerem vse orožje strelja popolnoma natančno, za igralce malo zanimiv. Zato je nujno, da svojemu orožju dodate širjenje. Toda preprosto naključno določanje udarnih točk orožja ne bo omogočilo natančnega prilagajanja, zato bo prilagajanje ravnovesja igre težko. Hkrati je mogoče z uporabo naključnih spremenljivk in njihovih porazdelitev analizirati, kako bo orožje delovalo z danim razmakom, in pomagati pri potrebnih prilagoditvah.

Prostor elementarnih rezultatov

Recimo, da lahko iz nekega naključnega eksperimenta, ki ga lahko večkrat ponovimo (na primer met kovanca), izluščimo nekaj formaliziranih informacij (prišlo je do glav ali repov). Te informacije imenujemo elementarni izid in koristno je upoštevati nabor vseh osnovnih izidov, ki jih pogosto označujemo s črko Ω (Omega).

Struktura tega prostora je v celoti odvisna od narave eksperimenta. Na primer, če upoštevamo streljanje na dovolj veliko krožno tarčo, bo prostor elementarnih izidov krog, zaradi priročnosti postavljen s središčem na nič, izid pa bo točka v tem krogu.

Poleg tega se upoštevajo množice elementarnih izidov - dogodkov (npr. zadetek prve desetke je koncentrični krog majhnega radija s tarčo). V diskretnem primeru je vse precej preprosto: v končnem času lahko dobimo kateri koli dogodek, vključno z ali brez elementarnih izidov. V neprekinjenem primeru je vse veliko bolj zapleteno: za preučitev potrebujemo dokaj dobro družino množic, imenovano algebra po analogiji s preprostimi realnimi števili, ki jih je mogoče seštevati, odštevati, deliti in množiti. Množice v algebri se lahko sekajo in združujejo, rezultat operacije pa bo v algebri. To je zelo pomembna lastnost za matematiko, ki je v ozadju vseh teh konceptov. Minimalna družina je sestavljena samo iz dveh množic - prazne množice in prostora elementarnih rezultatov.

Mera in verjetnost

Verjetnost je način sklepanja o obnašanju zelo zapletenih predmetov, ne da bi razumeli, kako delujejo. Tako je verjetnost opredeljena kot funkcija dogodka (iz tiste zelo dobre družine nizov), ki vrne število - nekakšna značilnost, kako pogosto se tak dogodek lahko zgodi v resnici. Zagotovo so se matematiki strinjali, da bi moralo biti to število med nič in ena. Poleg tega ima ta funkcija zahteve: verjetnost nemogočega dogodka je enaka nič, verjetnost celotnega niza izidov je enota in verjetnost združevanja dveh neodvisnih dogodkov (disjunktnih nizov) je enaka vsoti verjetnosti. Drugo ime za verjetnost je verjetnostna mera. Najpogosteje se uporablja Lebesgueova mera, ki posplošuje koncepte dolžine, ploščine, prostornine na poljubne dimenzije (n-dimenzionalni volumen) in je tako uporabna za širok razred množic.

Skupaj se imenuje zbirka niza osnovnih izidov, družine nizov in verjetnostne mere verjetnostni prostor. Razmislimo, kako lahko sestavimo verjetnostni prostor za primer streljanja v tarčo.

Razmislite o streljanju na veliko okroglo tarčo polmera R, ki je ni mogoče zgrešiti. Z nizom elementarnih dogodkov postavimo krog s središčem v izhodišču koordinat polmera R. Ker bomo za opis verjetnosti dogodka uporabili površino (Lebesguevo mero za dvodimenzionalne množice), bomo uporabili družino merljivih (za katere ta mera obstaja) množic.

Opomba Pravzaprav je to tehnična točka in pri preprostih problemih postopek določanja mere in družine množic ne igra posebne vloge. Vendar je treba razumeti, da ta dva predmeta obstajata, saj se v mnogih knjigah o teoriji verjetnosti teoremi začnejo z besedami: " Naj bo (Ω,Σ,P) verjetnostni prostor ...».

Kot je navedeno zgoraj, mora biti verjetnost celotnega prostora elementarnih rezultatov enaka ena. Ploščina (dvodimenzionalna Lebesgueova mera, ki jo označimo z λ 2 (A), kjer je A dogodek) kroga je po znani formuli iz šole enaka π *R 2. Nato lahko uvedemo verjetnost P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2), in ta vrednost bo že ležala med 0 in 1 za vsak dogodek A.

Če predpostavimo, da je zadetek katere koli točke na tarči enako verjeten, se iskanje verjetnosti, da strelec zadene neko področje tarče, zmanjša na iskanje območja tega niza (od tu lahko sklepamo, da je verjetnost udarca v določeno točko je nič, ker je površina točke enaka nič).

Ugotoviti želimo na primer, kakšna je verjetnost, da strelec zadene prvih deset (dogodek A - strelec zadene želeni niz). V našem modelu je "desetka" predstavljena s krogom s središčem na ničli in polmerom r. Potem je verjetnost, da pridemo v ta krog, P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

To je ena najpreprostejših vrst problemov "geometrijske verjetnosti" - večina teh problemov zahteva iskanje območja.

Naključne spremenljivke

Naključna spremenljivka je funkcija, ki pretvori osnovne rezultate v realna števila. Na primer, v obravnavanem problemu lahko uvedemo naključno spremenljivko ρ(ω) - razdaljo od točke udarca do središča tarče. Enostavnost našega modela nam omogoča, da eksplicitno definiramo prostor elementarnih izidov: Ω = (ω = (x,y) taka števila, da je x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Nato je naključna spremenljivka ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Sredstva za abstrakcijo iz verjetnostnega prostora. Porazdelitvena funkcija in gostota

Dobro je, če je struktura prostora dobro poznana, a v resnici ni vedno tako. Tudi če je struktura prostora znana, je lahko kompleksna. Za opis naključnih spremenljivk, če njihov izraz ni znan, obstaja koncept porazdelitvene funkcije, ki jo označimo s F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Distribucijska funkcija ima več lastnosti:

Prvič, je med 0 in 1.
Drugič, ne zmanjša se, ko se njegov argument x poveča.
Tretjič, ko je število -x zelo veliko, je porazdelitvena funkcija blizu 0, in ko je sam x velik, je porazdelitvena funkcija blizu 1.

Verjetno pomen te konstrukcije ob prvem branju ni najbolj jasen. Ena uporabna lastnost je, da vam distribucijska funkcija omogoča iskanje verjetnosti, da vrednost vzame vrednost iz intervala. Torej, P (naključna spremenljivka ξ vzame vrednosti iz intervala) = F ξ (b)-F ξ (a). Na podlagi te enakosti lahko preučujemo, kako se ta vrednost spremeni, če sta meji a in b intervala blizu.

Naj bo d = b-a, potem je b = a+d. In zato je F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Za majhne vrednosti d je tudi zgornja razlika majhna (če je porazdelitev zvezna). Smiselno je upoštevati razmerje p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Če se za dovolj majhne vrednosti d to razmerje malo razlikuje od neke konstante p ξ (a), neodvisno od d, potem ima na tej točki naključna spremenljivka gostoto enako p ξ (a).

Opomba Bralci, ki so se že srečali s konceptom odvoda, bodo morda opazili, da je p ξ (a) odvod funkcije F ξ (x) v točki a. V vsakem primeru lahko preučite koncept derivata v članku na to temo na spletni strani Mathprofi.

Zdaj lahko pomen porazdelitvene funkcije definiramo takole: njen derivat (gostota p ξ, ki smo jo definirali zgoraj) v točki a opisuje, kako pogosto bo naključna spremenljivka padla v majhen interval s središčem v točki a (okolica točke a ) v primerjavi z okolicami drugih točk . Z drugimi besedami, hitreje kot distribucijska funkcija raste, večja je verjetnost, da se bo taka vrednost pojavila v naključnem poskusu.

Vrnimo se k primeru. Izračunamo lahko porazdelitveno funkcijo za naključno spremenljivko, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , ki označuje razdaljo od središča do naključne točke zadetka na tarči. Po definiciji je F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Najdemo lahko gostoto p ρ te naključne spremenljivke. Naj takoj opazimo, da je zunaj intervala nič, ker porazdelitvena funkcija v tem intervalu je nespremenjena. Na koncu tega intervala gostota ni določena. Znotraj intervala ga je mogoče najti s pomočjo tabele izpeljank (na primer s spletne strani Mathprofi) in osnovnih pravil diferenciacije. Odvod t 2 /R 2 je enak 2t/R 2. To pomeni, da smo našli gostoto na celotni osi realnih števil.

Druga uporabna lastnost gostote je verjetnost, da funkcija prevzame vrednost iz intervala, ki se izračuna z uporabo integrala gostote po tem intervalu (kaj je to, lahko izveste v člankih o pravilnih, nepravilnih in nedoločenih integralih na Mathprofi Spletna stran).

Pri prvem branju si lahko integral po intervalu funkcije f(x) predstavljamo kot ploščino ukrivljenega trapeza. Njegove stranice so del osi Ox, vrzel (vodoravna koordinatna os), navpični segmenti, ki povezujejo točke (a,f(a)), (b,f(b)) na krivulji s točkami (a,0), (b,0 ) na osi Ox. Zadnja stran je delček grafa funkcije f od (a,f(a)) do (b,f(b)) . O integralu po intervalu (-∞; b] lahko govorimo, ko se bo pri dovolj velikih negativnih vrednostih a vrednost integrala po intervalu spremenila zanemarljivo v primerjavi s spremembo števila a. Integral po intervalih je na podoben način. Skupaj bo 2Ї2Ї2Ї2 = 16 izidov V skladu s predpostavko, da so rezultati posameznih strelov neodvisni, je treba za določitev verjetnosti teh izidov uporabiti formulo (3) in opombo k njej. , je treba verjetnost izida (y, n.n, n) nastaviti enako 0,2Ї0,8Ї0,8Ї0, 8 = 0,1024; tukaj je 0,8 = 1-0,2 verjetnost zgrešenega zadetka z enim strelom. tarča je zadeta trikrat« je naklonjena izidom (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y) , je verjetnost vsakega enaka:

0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 =...... =0,8Ї0,2Ї0,2Ї0,2 = 0,0064;

zato je zahtevana verjetnost enaka

4Ї0,0064 = 0,0256.

Če posplošimo sklepanje analiziranega primera, lahko izpeljemo eno od osnovnih formul teorije verjetnosti: če so dogodki A1, A2,..., An neodvisni in ima vsak verjetnost p, potem je verjetnost, da se zgodi natanko m od njih, enaka enako

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

tukaj Cnm označuje število kombinacij n elementov od m. Za velike n postanejo izračuni z uporabo formule (4) težavni. Naj bo število strelov v prejšnjem primeru 100, zastavljeno pa je vprašanje, kako najti verjetnost x, da je število zadetkov v območju od 8 do 32. Uporaba formule (4) in adicijskega izreka daje natančno, a praktično neuporaben izraz želene verjetnosti

Približno vrednost verjetnosti x je mogoče najti z uporabo Laplaceovega izreka

in napaka ne presega 0,0009. Ugotovljen rezultat kaže, da je dogodek 8 £ m 32 £ skoraj gotov. To je najenostavnejši, a tipičen primer uporabe mejnih izrekov v teoriji verjetnosti.

Osnovne formule elementarne teorije verjetnosti vključujejo tudi tako imenovano formulo popolne verjetnosti: če so dogodki A1, A2,..., Ar po paru nekompatibilni in je njihova zveza zanesljiv dogodek, potem je za vsak dogodek B njegova verjetnost enaka Vsota

Izrek verjetnostnega množenja je še posebej uporaben pri obravnavi sestavljenih testov. Za poskus T pravimo, da je sestavljen iz poskusov T1, T2,..., Tn-1, Tn, če je vsak rezultat poskusa T kombinacija nekaterih rezultatov Ai, Bj,..., Xk, Yl ustreznega poskusi T1, T2,... , Tn-1, Tn. Iz tega ali onega razloga so verjetnosti pogosto znane