Kako se štejejo ulomki. Kako rešiti primere z ulomki. Kako najti razliko ulomkov z istim imenovalcem
Učenci se v 5. razredu seznanijo z ulomki. Prej so ljudje, ki so znali izvajati dejanja z ulomki, veljali za zelo pametne. Prva frakcija je bila 1/2, torej polovica, nato se je pojavila 1/3 itd. Nekaj \u200b\u200bstoletij so primeri veljali za preveč zapletene. Zdaj so bila razvita podrobna pravila za pretvorbo ulomkov, seštevanje, množenje in druga dejanja. Dovolj je le malo razumevanja materiala in rešitev bo enostavna.
Navaden ulomek, imenovan preprost ulomek, je zapisan kot delitev dveh števil: m in n.
M je dividenda, to je števec ulomka, delitelj n pa se imenuje imenovalec.
Dodelite pravilne frakcije (m< n) а также неправильные (m > n).
Navaden ulomek je manjši od enega (na primer 5/6 - to pomeni, da je 5 delov vzetih iz enega; 2/8 - 2 dela vzeta iz enega). Nepravilen ulomek je enak ali večji od 1 (8/7 - 1 je 7/7 in še en del se vzame kot plus).
Enota je torej, ko števec in imenovalec sovpadata (3/3, 12/12, 100/100 in drugi).
Dejanja z navadnimi ulomki 6. stopnje
S preprostimi ulomki lahko storite naslednje:
- Razširi ulomek. Če zgornji in spodnji del ulomka pomnožite s katerim koli enakim številom (ne pa tudi z ničlo), se vrednost ulomka ne bo spremenila (3/5 \u003d 6/10 (samo pomnoženo z 2).
- Zmanjšanje frakcij je podobno širjenju, vendar je tukaj razdeljeno na neko število.
- Primerjaj. Če imata dva ulomka enake števce, bo večji ulomek ulomek z nižjim imenovalcem. Če so imenovalci enaki, bo ulomek z največjim števcem večji.
- Izvedite seštevanje in odštevanje. Z enakimi imenovalci je to enostavno narediti (zgornje dele povzamemo, spodnji pa se ne spremenijo). Za različne boste morali najti skupni imenovalec in dodatne dejavnike.
- Množi in deli frakcije.
Spodaj bomo obravnavali primere dejanj z ulomki.
Zmanjšane frakcije stopnje 6
Skrajšati pomeni deliti zgornji in spodnji del ulomka s katerim koli istim številom.
Slika prikazuje preproste primere okrajšav. Pri prvi možnosti lahko takoj ugibate, da sta števec in imenovalec deljiva z 2.
Na noto! Če je število sodo, je na kakršen koli način deljivo z 2. Parna števila so 2, 4, 6 ... 32 8 (konča se z enakomerno) itd.
V drugem primeru je pri deljenju 6 z 18 takoj jasno, da so številke deljive z 2. Če delimo, dobimo 3/9. Ta ulomek je deljiv s 3. Potem je odgovor 1/3. Če pomnožite oba faktorja: 2 s 3, potem dobite 6. Izkazalo se je, da je bil ulomek deljen s šestimi. Ta postopna delitev se imenuje zaporedno zmanjševanje frakcij s skupnimi dejavniki.
Nekdo bo takoj delil s 6, nekdo bo potreboval delitev po delih. Glavno je, da je na koncu delček, ki ga nikakor ni mogoče zmanjšati.
Upoštevajte, da če je število sestavljeno iz števk, pri čemer sešteje število, deljivo s 3, potem je mogoče tudi izvirnik zmanjšati za 3. Primer: številka 341. Dodajte številke: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (8 ni mogoče deliti z 3, zato števila 341 ni mogoče zmanjšati za 3 brez ostanka). Drug primer: 264. Dodaj: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (deljivo s 3). Dobimo: 264: 3 \u003d 88. To bo poenostavilo zmanjševanje velikih števil.
Poleg metode zaporednega zmanjševanja frakcij s skupnimi dejavniki obstajajo še druge metode.
GCD je največji delitelj števila. Ko najdete GCD za imenovalec in števec, lahko ulomek takoj zmanjšate za želeno število. Iskanje poteka s postopnim deljenjem vsake številke. Nato pogledajo, kateri delilniki sovpadajo, če jih je več (kot na spodnji sliki), potem morate pomnožiti.
Mešane frakcije razred 6
Vse nepravilne frakcije lahko pretvorimo v mešane, tako da v njih izberemo celoten del. Celotno število je zapisano na levi.
Pogosto morate iz neprimernega ulomka sestaviti mešano število. Postopek transformacije v spodnjem primeru: 22/4 \u003d 22 delimo s 4, dobimo 5 celih števil (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Dobimo 5 celih števil in 2/4 (imenovalec se ne spremeni). Ker je ulomek mogoče preklicati, delimo zgornji in spodnji del z 2.
Mešano število je enostavno spremeniti v neustrezen ulomek (to je potrebno pri deljenju in množenju ulomkov). Če želite to narediti: celo število pomnožite s spodnjim delom ulomka in dodajte števcu. Končano. Imenovalec se ne spremeni.
Izračuni z ulomki 6. stopnje
Dodate lahko mešane številke. Če so imenovalci enaki, je to enostavno: če dodate celotne dele in števce, imenovalec ostane na svojem mestu.
Pri dodajanju števil z različnimi imenovalci je postopek bolj zapleten. Najprej številke pripeljemo do enega najmanjšega imenovalca (NOZ).
V spodnjem primeru je za števki 9 in 6 imenovalec 18. Po tem so potrebni dodatni faktorji. Da bi jih našli, jih je treba 18 deliti z 9, tako da se najde dodatno število - 2. Pomnožimo ga s števcem 4, da dobimo ulomek 8/18). Enako se naredi z drugo frakcijo. Pretvorjene ulomke že seštevamo (cela števila in števci ločeno, imenovalca ne spreminjamo). V primeru je bilo treba odgovor pretvoriti v pravi ulomek (sprva je bil števec večji od imenovalca).
Upoštevajte, da je postopek enak za razliko v ulomkih.
Pri množenju ulomkov je pomembno, da oba postavimo pod isto črto. Če je število mešano, ga spremenimo v preprost ulomek. Nato pomnožimo zgornji in spodnji del ter zapišemo odgovor. Če lahko vidite, da je ulomke mogoče preklicati, jih lahko takoj zmanjšamo.
V zgornjem primeru nam ni bilo treba ničesar rezati, samo odgovor smo zapisali in izbrali celoten del.
V tem primeru sem moral skrajšati številke pod eno vrstico. Čeprav lahko pripravljeni odgovor skrajšate.
Za delitev je algoritem skoraj enak. Najprej pretvorimo mešani ulomek v nepravilen, nato zapišemo številke pod eno vrstico in delitev nadomestimo z množenjem. Ne pozabite zamenjati zgornjega in spodnjega dela drugega ulomka (to je pravilo za delitev ulomkov).
Po potrebi zmanjšamo številke (v spodnjem primeru smo jih zmanjšali za pet in dva). Nepravilni ulomek pretvorimo z izbiro celotnega dela.
Osnovni problemi za ulomke 6. razreda
Video prikazuje še nekaj nalog. Zaradi jasnosti so bile grafične slike rešitev uporabljene za vizualizacijo ulomkov.
Primeri množenja ulomka razreda 6 z razlagami
Množični ulomki so zapisani pod eno vrstico. Po tem se zmanjšajo z deljenjem z enakimi števili (na primer 15 v imenovalcu in 5 v števcu lahko delimo s pet).
Primerjava frakcij razreda 6
Če želite primerjati ulomke, se morate spomniti dveh preprostih pravil.
Pravilo 1. Če so imenovalci različni
Pravilo 2. Ko so imenovalci enaki
Primerjajmo na primer ulomka 7/12 in 2/3.
- Pogledamo imenovalce, ki ne sovpadajo. Torej morate najti skupnega.
- Za ulomke je skupni imenovalec 12.
- 12 najprej delimo s spodnjim delom prve frakcije: 12: 12 \u003d 1 (to je dodaten faktor za 1. frakcijo).
- Zdaj 12 delimo s 3, dobimo 4 - seštejemo. množitelj 2. ulomka.
- Nastala števila pomnožimo s števci, da pretvorimo ulomke: 1 x 7 \u003d 7 (prvi ulomek: 7/12); 4 x 2 \u003d 8 (drugi ulomek: 8/12).
- Zdaj lahko primerjamo: 7/12 in 8/12. Zgodilo se: 7.12< 8/12.
Za boljši prikaz frakcij lahko zaradi jasnosti uporabite risbe, kjer je predmet razdeljen na dele (na primer torta). Če želite primerjati 4/7 in 2/3, je v prvem primeru torta razdeljena na 7 delov in izbrani so 4. V drugem ga razdelijo na 3 dele in odvzamejo 2. S prostim očesom bo jasno, da bo 2/3 več kot 4/7.
Primeri z ulomki 6. razreda za trening
Kot vadbo lahko opravite naslednje naloge.
- Primerjaj ulomke
- izvede množenje
Namig: če je težko najti najmanjši skupni imenovalec za ulomke (še posebej, če so njihove vrednosti majhne), lahko pomnožite imenovalec prvega in drugega ulomka. Primer: 2/8 in 5/9. Iščeti njihov imenovalec je preprosto: pomnožimo 8 z 9, dobimo 72.
Reševanje enačb z ulomki 6. razred
Pri reševanju enačb si morate zapomniti dejanja z ulomki: množenje, deljenje, odštevanje in seštevanje. Če je eden od dejavnikov neznan, potem se zmnožek (skupaj) deli z znanim faktorjem, to pomeni, da se frakcije pomnožijo (drugi se obrne).
Če je dividenda neznana, potem imenovalec pomnožimo z deliteljem, in če želimo najti delitelj, moramo dividendo deliti s količnikom.
Predstavljajmo preproste primere reševanja enačb:
Tu se zahteva le razlika razlike v ulomkih, ne da bi prišlo do skupnega imenovalca.
Odgovor je izšel kot napačen ulomek. Pretvori se lahko v 1 celo število in 3/5.
Pri drugi metodi so bili števec in imenovalec pomnoženi s 4, da bi odstranili dno in ne obrnili imenovalca.
Navodila
V navadi je ločevanje navadnih in decimalnih ulomkov, katerih seznanitev se začne v srednji šoli. Trenutno ni strokovnega področja, ki tega ne bi uporabljalo. Celo v prvem 17. stoletju in naenkrat, kar pomeni 1600-1625. Pogosto se morate spoprijeti tudi z osnovnimi operacijami na frakcijah, pa tudi z njihovim preoblikovanjem iz enega v drugega.
Približevanje ulomkov skupnemu imenovalcu je morda najpomembnejši ukrep pri skupnih ulomkih. To je osnova za popolnoma vse izračune. Recimo, da obstajata dve ulomki a / b in c / d. Nato morate, da jih pripeljete do skupnega imenovalca, najti najmanj skupni večkratnik (M) števil b in d, nato pa števec prvega ulomka pomnožiti z (M / b) in števcem drugi z (M / d).
Primerjava ulomkov je še ena pomembna naloga. Če želite to narediti, dajte preproste ulomke na skupni imenovalec in nato primerjajte števce, katerih števec je večji, ta ulomek in še več.
Če želite izvedeti seštevanje ali odštevanje navadnih ulomkov, jih morate pripeljati do skupnega imenovalca in nato z števci teh ulomkov izvesti želeno matematično dejanje. Imenovalec ostane nespremenjen. Recimo, da morate od a / b odšteti c / d. Če želite to narediti, morate poiskati najmanj skupni večkratnik M števil b in d, nato pa odštevalniku odšteti drugega, ne da bi spremenili imenovalec: (a * (M / b) - (c * (M / d) ) / M
Dovolj je samo, da en ulomek pomnožite z drugim, za to morate samo pomnožiti njihove števce in imenovalce:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Če želite en ulomek deliti z drugim, morate delež dividende pomnožiti z obratno na delitelj. (a / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
Treba je opozoriti, da je treba števec in imenovalec, da dobimo vzajemni ulomek, obrniti.
Če želite dodati 2 ulomka z enake imenovalce, treba je dodati njihove števce in imenovalcepustite nespremenjeno.Dodajanje ulomkov, primeri:
Splošna formula za dodajanje navadnih ulomkov in odštevanje ulomkov z istim imenovalcem je:
Opomba! Preverite, ali lahko z zapisom odgovora zmanjšate ulomek, ki ste ga prejeli.
Dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Pravila za dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci:
- frakcije zmanjšaj na najmanjši skupni imenovalec (LCN). Za to najdemo najmanjšega skupni večkratnik (LCM) imenovalcev;
- seštejemo števce ulomkov in imenovalnike pustimo nespremenjene;
- zmanjšamo delež, ki smo ga prejeli;
- če dobite napačen ulomek, pretvorite napačen ulomek v mešani ulomek.
Primeri dodatki ulomki z različnimi imenovalci:
Seštevanje mešanih števil (mešane frakcije).
Pravila za dodajanje mešanih ulomkov:
- delne dele teh števil pripeljemo na najnižji skupni imenovalec (LCN);
- ločeno dodajte cele dele in ločeno delne dele, seštejte rezultate;
- če smo pri dodajanju delnih delov prejeli napačen ulomek, iz njega izberite celoten del frakcijo in jo dodajte nastalemu celotnemu delu;
- zmanjšamo nastalo frakcijo.
Primer dodatki mešana frakcija:
Dodajanje decimalnih ulomkov.
Pri dodajanju decimalnih ulomkov je postopek zapisan v "stolpec" (kot običajno množenje stolpcev),tako da so istoimenski izpusti med seboj brez premika. Vejice so obveznejasno se poravnamo drug pod drugim.
Pravila za dodajanje decimalnih ulomkov:
1. Po potrebi izenačite število decimalnih mest. Če želite to narediti, dodajte ničlezahtevani ulomek.
2. Ulomke zapisujemo tako, da so vejice drug pod drugim.
3. Dodajte ulomke, ne da bi bili pozorni na vejico.
4. V seštevek pod vejicami damo vejico, zlomke, ki jih seštejemo.
Opomba! Ko imajo dani decimalni ulomki drugačno število števk za decimalno vejico,nato ulomku z manj decimalnimi mesti damo zahtevano število ničel za enačbo vulomki so število decimalnih mest.
Razumejmo primer... Poiščite vsoto decimalnih ulomkov:
0,678 + 13,7 =
Izenačite število decimalnih mest v decimalnih ulomkih. Desno na decimalno mesto dodajte 2 ničlifrakcije 13,7 .
0,678 + 13,700 =
Zapišemo odgovor:
0,678 + 13,7 = 14,378
Če seštevanje decimalnih ulomkov ste ga dovolj dobro obvladali, potem lahko dodate manjkajoče ničlev mislih.
Ta članek začne s preučevanjem dejanj z algebrskimi ulomki: podrobno bomo obravnavali dejanja, kot so seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov. Analizirajmo shemo seštevanja in odštevanja algebrskih ulomkov z istimi imenovalci in različnimi. Naučili se bomo, kako seštevati algebraični ulomek s polinomom in jih odštevati. Vsak korak iskanja rešitve težav razložimo s konkretnimi primeri.
Dejanja seštevanja in odštevanja z istimi imenovalci
Shema dodajanja navadnih ulomkov velja tudi za algebraične. Vemo, da morate pri seštevanju ali odštevanju navadnih ulomkov z enakimi imenovalci dodajati ali odštevati njihove števce, imenovalec pa ostane izvirnik.
Na primer: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 in 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.
Skladno s tem je pravilo seštevanja in odštevanja algebrskih ulomkov z enakimi imenovalci zapisano na podoben način:
Opredelitev 1
Če želite dodati ali odšteti algebraične ulomke z enakimi imenovalci, morate dodati ali odšteti števce prvotnih ulomkov in imenovalec zapisati nespremenjene.
To pravilo omogoča sklepanje, da je rezultat seštevanja ali odštevanja algebrskih ulomkov nov algebrski ulomek (v določenem primeru: polinom, monom ali število).
Navedimo primer uporabe formuliranega pravila.
Primer 1
Navedeni so algebrski ulomki: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 in 3 - x y x 2 y - 2. Treba jih je dodati.
Sklep
Prvotni ulomki vsebujejo enake imenovalce. Po pravilu dodajmo števce danih ulomkov in imenovalec pustimo nespremenjenega.
Če dodamo polinome, ki so števci prvotnih ulomkov, dobimo: x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y \u003d x 2 + (2 x y - x y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x y - 2.
Nato bo zahtevana vsota zapisana kot: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
Tako kot v mnogih primerih je v praksi rešitev podana z verigo enakovrednosti, ki jasno prikazuje vse stopnje rešitve:
x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2
Odgovor: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2.
Rezultat seštevanja ali odštevanja je lahko del, ki ga je mogoče preklicati, v tem primeru ga je najbolje zmanjšati.
2. primer
Od algebrskega ulomka x x 2 - 4 · y 2 je treba odšteti ulomek 2 · y x 2 - 4 · y 2.
Sklep
Imenovalci izvirnih ulomkov so enaki. Izvajali bomo akcije s števci, in sicer: od števca prvega ulomka odštejemo števca drugega in nato zapisujemo rezultat, tako da imenovalec ostane nespremenjen:
x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y x 2 - 4 y 2
Vidimo, da je dobljeni ulomek mogoče preklicati. Zmanjšajmo ga tako, da imenovalec pretvorimo po formuli razlike kvadratov:
x - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) \u003d 1 x + 2 y
Odgovor: x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d 1 x + 2 y.
Po istem principu se dodajo ali odštejejo tri ali več algebrskih ulomkov z istimi imenovalci. Na primer:
1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 \u003d 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1
Dejanja seštevanja in odštevanja za različne imenovalce
Ponovno se obrnimo na shemo dejanj z navadnimi ulomki: če želimo navadne ulomke z različnimi imenovalci seštevati ali odštevati, jih je treba spraviti v skupni imenovalec in nato zbrane delce z istimi imenovalci.
Na primer, 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 ali 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.
Podobno bomo oblikovali pravilo seštevanja in odštevanja algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci:
Opredelitev 2
Za izvedbo seštevanja ali odštevanja algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci morate:
- izvirne ulomke zmanjšaj na skupni imenovalec;
- izvedemo seštevanje ali odštevanje dobljenih ulomkov z enakimi imenovalci.
Očitno bo tu ključna veščina približevanja algebrskih ulomkov skupnemu imenovalcu. Oglejmo si jih od blizu.
Skupni imenovalec algebrskih ulomkov
Da bi algebrske ulomke pripeljali do skupnega imenovalca, je treba izvesti enak preoblikovanje danih ulomkov, zaradi česar imenovalci prvotnih ulomkov postanejo enaki. Tu je optimalno ukrepati v skladu z naslednjim algoritmom za približevanje algebrskih ulomkov skupnemu imenovalcu:
- najprej določimo skupni imenovalec algebrskih ulomkov;
- nato najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek tako, da skupni imenovalec delimo z imenovalci prvotnih ulomkov;
- pri zadnjem dejanju se števci in imenovalci danih algebrskih ulomkov pomnožijo z ustreznimi dodatnimi faktorji.
Navedeni so algebrski ulomki: a + 2 2 a 3 - 4 a 2, a + 3 3 a 2 - 6 a in a + 1 4 a 5 - 16 a 3. Treba jih je pripeljati do skupnega imenovalca.
Sklep
Delujemo po zgornjem algoritmu. Določite skupni imenovalec izvirnih ulomkov. V ta namen izračunamo imenovalce danih ulomkov: 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 2 a 2 (a - 2), 3 a 2 - 6 a \u003d 3 a (a - 2) in 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 4 a 3 (a - 2) (a + 2)... Od tu lahko zapišemo skupni imenovalec: 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Zdaj moramo poiskati dodatne dejavnike. Po algoritmu najdemo skupni imenovalec na imenovalce prvotnih ulomkov:
- za prvi ulomek: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (2 a 2 (a - 2)) \u003d 6 a (a + 2);
- za drugo frakcijo: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (3 a (a - 2)) \u003d 4 a 2 (a + 2);
- za tretjo frakcijo: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) \u003d 3 .
Naslednji korak je pomnožitev števcev in imenovalcev danih ulomkov z dodatnimi najdenimi faktorji:
a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d (a + 3) 4 a 2 (a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (A + 2) a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d (a + 1) 3 (4 a 5 - 16 a 3 ) 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2)
Odgovor: a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Torej, prvotne ulomke smo pripeljali do skupnega imenovalca. Če je potrebno, lahko rezultat še naprej pretvorite v obliko algebrskih ulomkov z množenjem polinoma in monoma v števcih in imenovalcih.
Pojasnimo še naslednjo točko: najdemo skupni imenovalec optimalno, če pustimo končni ulomek v obliki izdelka.
Podrobno smo preučili shemo zmanjšanja prvotnih algebrskih ulomkov na skupni imenovalec, zdaj lahko začnemo analizirati primere za seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
4. primer
Navedeni so algebrski ulomki: 1 - 2 x x 2 + x in 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Izvesti je treba postopek njihovega dodajanja.
Sklep
Izvirni ulomki imajo različne imenovalce, zato je prvi korak, da jih pripeljemo do skupnega imenovalca. Faktor na imenovalce: x 2 + x \u003d x (x + 1) in x 2 + 3 x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2),od kvadratne trinomske korenine x 2 + 3 x + 2 to sta številki: - 1 in - 2. Določite skupni imenovalec: x (x + 1) (x + 2), potem bodo dodatni dejavniki: x + 2in - xza prvi in \u200b\u200bdrugi ulomek.
Tako: 1 - 2 xx 2 + x \u003d 1 - 2 xx (x + 1) \u003d (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) \u003d x + 2 - 2 x 2 - 4 xx (x + 1) x + 2 \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) in 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 X 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2)
Zdaj pa dodamo ulomke, ki smo jih spravili v skupni imenovalec:
2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 2 xx (x + 1) (x + 2)
Nastalo frakcijo lahko zmanjšamo s skupnim faktorjem x + 1:
2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2)
In končno, dobljeni rezultat zapišemo v obliki algebrskega ulomka in izdelek v imenovalcu nadomestimo s polinomom:
2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Naj na kratko zapišemo potek rešitve kot verigo enačb:
1 - 2 xx 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 1 - 2 xx (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 1 - 2 x (x + 2) xx + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Odgovor: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 x
Bodite pozorni na to podrobnost: pred dodajanjem ali odštevanjem algebrskih ulomkov, če je mogoče, je zaželeno, da jih spremenite, da jih poenostavite.
5. primer
Odšteti je treba ulomke: 2 1 1 3 · x - 2 21 in 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.
Sklep
Za poenostavitev nadaljnje rešitve pretvorimo prvotne algebrske frakcije. Vzemimo številčne koeficiente spremenljivk v imenovalniku zunaj oklepajev:
2 1 1 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 1 14 in 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 3 x - 1 - 2 x - 1 14
Ta preobrazba nam je vsekakor prinesla korist: jasno vidimo prisotnost skupnega dejavnika.
V celoti se znebimo številčnih koeficientov v imenovalcih. Za to uporabimo glavno lastnost algebrskih ulomkov: števec in imenovalec prvega ulomka pomnožimo s 3 4, drugega pa z - 1 2, nato dobimo:
2 4 3 x - 1 14 \u003d 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 in 3 x - 1 - 2 x - 1 14 \u003d - 1 2 3 x - 1 - 1 2 - 2 x - 1 14 \u003d - 3 2 x + 1 2 x - 1 14.
Ukrepimo, da se bomo lahko znebili frakcijskih koeficientov: dobljene frakcije pomnožimo s 14:
3 2 x - 1 14 \u003d 14 3 2 14 x - 1 14 \u003d 21 14 x - 1 in - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 x + 7 14 x - 1.
Na koncu izvedemo zahtevano dejanje v stavku problema - odštevanje:
2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 \u003d 21 - - 21 x + 7 14 X - 1 \u003d 21 x + 14 14 x - 1
Odgovor: 2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 x + 14 14 x - 1.
Seštevanje in odštevanje algebrskega ulomka in polinoma
To dejanje se zmanjša tudi na seštevanje ali odštevanje algebrskih ulomkov: prvotni polinom je treba predstaviti kot ulomek z imenovalcem 1.
Primer 6
Treba je dodati polinom x 2 - 3 z algebrskim ulomkom 3 x x + 2.
Sklep
Polinom zapišemo kot algebrski ulomek z imenovalcem 1: x 2 - 3 1
Zdaj lahko izvedemo seštevanje po pravilu za dodajanje ulomkov z različnimi imenovalci:
x 2 - 3 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 X 2 - 3 x - 6 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2
Odgovor: x 2 - 3 + 3 x x + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.
Če v besedilu opazite napako, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter
Naslednje dejanje z ulomki je odštevanje. V okviru tega gradiva bomo razmislili, kako pravilno izračunati razliko ulomkov z enakimi in različnimi imenovalci, kako od naravnega števila odšteti ulomek in obratno. Vsi primeri bodo ponazorjeni z nalogami. Vnaprej pojasnimo, da bomo analizirali samo primere, ko bo razlika ulomkov povzročila pozitivno število.
Kako najti razliko ulomkov z istim imenovalcem
Začnimo takoj z ilustrativnim primerom: recimo, da imamo jabolko, ki je bilo razdeljeno na osem delov. Na krožniku pustimo pet kosov in jih vzamemo dva. To dejanje lahko zapišemo tako:
Kot rezultat imamo še 3 osmine, saj je 5 - 2 \u003d 3. Izkazalo se je, da je 5 8 - 2 8 \u003d 3 8.
S tem preprostim primerom smo natančno videli, kako deluje pravilo odštevanja za ulomke z enakimi imenovalci. Oblikujmo ga.
Opredelitev 1
Če želite najti razliko med ulomki z istim imenovalcem, morate od števca enega odšteti števca drugega in imenovalec pustiti enakega. To pravilo lahko zapišemo kot b - c b \u003d a - c b.
To formulo bomo uporabljali v prihodnosti.
Vzemimo konkretne primere.
Primer 1
Od frakcije 24 15 odštejemo navaden ulomek 17 15.
Sklep
Vidimo, da imajo ti ulomki enake imenovalce. Vse, kar moramo storiti, je odšteti 17 od 24. Dobimo 7 in mu dodamo imenovalec, dobimo 7 15.
Naše izračune lahko zapišemo na naslednji način: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Če je potrebno, lahko zapleteni ulomek zmanjšate ali pa celoten del izberete iz napačnega, da olajšate štetje.
2. primer
Poiščite razliko 37 12 - 15 12.
Sklep
Uporabimo zgoraj opisano formulo in izračunamo: 37 12 - 15 12 \u003d 37 - 15 12 \u003d 22 12
Lahko je videti, da lahko števca in imenovalca delimo z 2 (o tem smo govorili že prej, ko smo preučevali merila delljivosti). Z zmanjšanjem odgovora dobimo 11 6. To je nepravi ulomek, iz katerega bomo izbrali celoten del: 11 6 \u003d 1 5 6.
Kako najti razliko ulomkov z različnimi imenovalci
Takšno matematično delovanje lahko zmanjšamo na tisto, kar smo že opisali zgoraj. Za to preprosto postavimo zahtevane ulomke na en imenovalec. Oblikujmo definicijo:
Opredelitev 2
Če želite najti razliko med ulomki z različnimi imenovalci, jih morate pripeljati do istega imenovalca in najti razliko v števcih.
Oglejmo si primer, kako se to naredi.
3. primer
Odštejte 1 15 od 2 9.
Sklep
Imenovalci so različni in jih morate spraviti na najnižjo skupno vrednost. V tem primeru je LCM 45. Za prvo frakcijo je potreben dodaten faktor 5, za drugo pa dodatni 3.
Izračunajmo: 2 9 \u003d 2 5 9 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 3 15 3 \u003d 3 45
Dobili smo dva ulomka z istim imenovalcem in zdaj lahko z uporabo prej opisanega algoritma zlahka najdemo njihovo razliko: 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45
Kratek zapis rešitve je videti takole: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Po potrebi ne smete zanemariti zmanjšanja rezultata ali iz njega izvleči celega dela. V tem primeru nam tega ni treba storiti.
4. primer
Poiščite razliko 19 9 - 7 36.
Sklep
Prištejmo ulomke, navedene v pogoju, na najmanjši skupni imenovalec 36 in dobimo 76 9 oziroma 7 36.
Odgovor izračunamo: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Rezultat lahko zmanjšamo za 3 in dobimo 23 12. Števec je večji od imenovalca, kar pomeni, da lahko izberemo celoten del. Končni odgovor je 1 11 12.
Povzetek celotne rešitve je 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
Kako od običajnega ulomka odšteti naravno število
To dejanje je mogoče enostavno zmanjšati na preprosto odštevanje navadnih ulomkov. To lahko storimo tako, da predstavimo naravno število kot ulomek. Pokažimo s primerom.
5. primer
Poiščite razliko 83 21 - 3.
Sklep
3 je enako kot 3 1. Potem se lahko izračuna tako: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Če je treba od neprimernega ulomka v stanju odšteti celo število, je primerneje, da iz njega najprej izvlečemo celo število, tako da ga zapišemo kot mešano število. Potem je prejšnji primer mogoče rešiti drugače.
Iz ulomka 83 21, ko je izbran celoten del, dobimo 83 21 \u003d 3 20 21.
Zdaj pa le odštejmo 3: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.
Kako od naravnega števila odštejemo ulomek
To dejanje se izvaja podobno kot prejšnje: naravno število prepišemo kot ulomek, oboje postavimo v en imenovalec in najdemo razliko. Naj to ponazorimo s primerom.
Primer 6
Poiščite razliko: 7 - 5 3.
Sklep
Naredite 7 kot 7 1. Končni rezultat odštejemo in preoblikujemo, iz njega izvlečemo celoten del: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.
Obstaja še en način za izračun. Ima nekaj prednosti, ki jih lahko uporabimo v primerih, ko so števci in imenovalci ulomkov v problemu velika.
Opredelitev 3
Če je ulomek, ki ga je treba odšteti, pravilen, je treba naravno število, od katerega odštejemo, predstaviti kot vsoto dveh števil, od katerih je eno 1. Po tem morate od enega odšteti želeni ulomek in dobiti odgovor.
7. primer
Izračunaj razliko 1 065 - 13 62.
Sklep
Ulomek, ki ga je treba odšteti, je pravilen, ker je njegov števec manjši od imenovalca. Zato moramo od 1065 odšteti enega in od njega odšteti želeni ulomek: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Zdaj moramo najti odgovor. Z uporabo lastnosti odštevanja lahko nastali izraz zapišemo kot 1064 + 1 - 13 62. Izračunajmo razliko v oklepajih. Za to predstavljamo enoto kot ulomek 1 1.
Izkazalo se je, da je 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Zdaj se spomnimo približno 1064 in oblikujmo odgovor: 1064 49 62.
S staro metodo dokazujemo, da je manj priročna. To so izračuni, ki bi jih dobili:
1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 62 1 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
Odgovor je enak, vendar so izračuni očitno bolj okorni.
Upoštevali smo primer, ko morate odšteti pravi ulomek. Če ni pravilno, ga nadomestimo z mešanim številom in odštejemo po znanih pravilih.
Primer 8
Izračunaj razliko 644 - 73 5.
Sklep
Drugi ulomek je napačen in od njega je treba ločiti celoten del.
Zdaj izračunamo podobno kot v prejšnjem primeru: 630 - 3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
Lastnosti odštevanja frakcij
Lastnosti, ki jih ima odštevanje naravnih števil, veljajo tudi za primere odštevanja navadnih ulomkov. Poglejmo, kako jih uporabiti pri reševanju primerov.
Primer 9
Poiščite razliko 24 4 - 3 2 - 5 6.
Sklep
Podobne primere smo že rešili, ko smo analizirali odštevanje vsote od števila, zato delujemo po že znanem algoritmu. Najprej izračunamo razliko 25 4 - 3 2 in nato od nje odštejemo zadnji ulomek:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Odgovor preoblikujmo tako, da iz njega izvlečemo celoten del. Skupaj je 3 11 12.
Povzetek celotne rešitve:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Če izraz vsebuje tako ulomke kot naravna števila, jih je priporočljivo pri izračunu razvrstiti po vrstah.
Primer 10
Poiščite razliko 98 + 17 20 - 5 + 3 5.
Sklep
Če poznamo osnovne lastnosti odštevanja in seštevanja, lahko številke razvrstimo na naslednji način: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Zaključimo izračune: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
Če v besedilu opazite napako, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter