Vzorce. Geometrické postavy. Obdĺžnik. Vzorce Diagonálna kalkulačka

Obsah:

Uhlopriečka je úsečka, ktorá spája dva protiľahlé vrcholy obdĺžnika. Obdĺžnik má dve rovnaké uhlopriečky. Ak sú známe strany obdĺžnika, uhlopriečku možno nájsť pomocou Pytagorovej vety, pretože uhlopriečka rozdeľuje obdĺžnik na dva pravouhlé trojuholníky. Ak strany nie sú dané, ale sú známe iné veličiny, ako je plocha a obvod alebo pomer strán, môžete nájsť strany obdĺžnika a potom použiť Pytagorovu vetu na výpočet uhlopriečky.

Kroky

1 Po stranách

1. 1 Napíšte Pytagorovu vetu. Vzorec: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Nahraďte hodnoty strán do vzorca. Sú uvedené v probléme alebo je potrebné ich zmerať. Bočné hodnoty sú nahradené 3
   • V našom príklade:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Podľa plochy a obvodu

     1. 1 Vzorec: S = l w (Na obrázku je namiesto S použité označenie A.)
     2. 2 Táto hodnota je nahradená S 3 Prepíšte vzorec tak, aby izoloval w 4 Napíšte vzorec na výpočet obvodu obdĺžnika. Vzorec: P = 2 (š + l)
     3. 5 Dosaďte do vzorca obvod obdĺžnika. Táto hodnota je nahradená P6 Vydeľte obe strany rovnice 2. Dostanete súčet strán obdĺžnika, konkrétne š + d 7 Dosaďte do vzorca výraz na výpočet w 8 Zbavte sa zlomku. Za týmto účelom vynásobte obe strany rovnice l 9 Nastavte rovnicu na 0. Ak to chcete urobiť, odčítajte premenný člen prvého rádu od oboch strán rovnice.
        • V našom príklade:
          12 l = 35 + l 2 10 Usporiadajte členy rovnice. Prvým výrazom bude premenný výraz druhého rádu, potom premenný výraz prvého rádu a potom voľný výraz. Zároveň nezabudnite na znaky („plus“ a „mínus“), ktoré sa objavujú pred členmi. Všimnite si, že rovnica bude napísaná ako kvadratická rovnica.
          • V našom príklade 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • V našom príklade je rovnica 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Nájsť l 13 Napíšte Pytagorovu vetu. Vzorec: a 2 + b 2 = c 2
              • Použite Pytagorovu vetu, pretože každá uhlopriečka obdĺžnika ho rozdeľuje na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky. Okrem toho sú strany obdĺžnika nohami trojuholníka a uhlopriečka obdĺžnika je prepona trojuholníka.
            • 14 Tieto hodnoty sú nahradené 15 Utvorte štvorec dĺžky a šírky a potom pridajte výsledky. Pamätajte, že keď odmocníte číslo, násobí sa samo.
              • V našom príklade:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice. Pomocou kalkulačky rýchlo nájdite druhú odmocninu. Môžete tiež použiť online kalkulačku. Nájdete c

                3 Podľa plochy a pomeru strán

                1. 1 Napíšte rovnicu charakterizujúcu pomer strán. Izolovať l 2 Zapíšte si vzorec na výpočet plochy obdĺžnika. Vzorec: S = l w (Na obrázku je namiesto S použité označenie A.)
                   • Táto metóda je použiteľná aj vtedy, keď je známy obvod obdĺžnika, ale potom musíte použiť vzorec na výpočet obvodu, nie plochy. Vzorec na výpočet obvodu obdĺžnika: P = 2 (š + l)
                2. 3 Nahraďte oblasť obdĺžnika do vzorca. Táto hodnota je nahradená S4 Vo vzorci nahraďte výraz charakterizujúci vzťah strán. V prípade obdĺžnika môžete na výpočet l 5 nahradiť výraz Napíšte kvadratickú rovnicu. Ak to chcete urobiť, otvorte zátvorky a nastavte rovnicu na nulu.
                   • V našom príklade:
                     35 = w(w+2)6 Faktor kvadratickej rovnice. Pre podrobné pokyny čítajte ďalej.
                     • V našom príklade je rovnica 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Nájdite w 8 Zistenú šírku (alebo dĺžku) dosaďte do rovnice charakterizujúcej pomer strán. Týmto spôsobom môžete nájsť druhú stranu obdĺžnika.
                       • Ak napríklad vypočítate, že šírka obdĺžnika je 5 cm a pomer strán je daný rovnicou l = w + 2 9 Napíšte Pytagorovu vetu. Vzorec: a 2 + b 2 = c 2
                         • Použite Pytagorovu vetu, pretože každá uhlopriečka obdĺžnika ho rozdeľuje na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky. Okrem toho sú strany obdĺžnika nohami trojuholníka a uhlopriečka obdĺžnika je prepona trojuholníka.
                       • 10 Do vzorca nahraďte hodnoty dĺžky a šírky. Tieto hodnoty sú nahradené 11 Utvorte štvorec dĺžky a šírky a potom pridajte výsledky. Pamätajte, že keď odmocníte číslo, násobí sa samo.
                         • V našom príklade:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice. Pomocou kalkulačky rýchlo nájdite druhú odmocninu. Môžete tiež použiť online kalkulačku. Nájdete c (displaystyle c), teda preponu trojuholníka, a teda uhlopriečku obdĺžnika.
                           • V našom príklade:
                             74 = c 2 (štýl zobrazenia 74 = c^(2))
                             74 = c 2 (štýl zobrazenia (sqrt (74)) = (sqrt (c^(2))))
                             8 , 6024 = c (štýl zobrazenia 8,6024 = c)
                             Uhlopriečka obdĺžnika, ktorého dĺžka je o 2 cm väčšia ako jeho šírka a ktorého plocha je 35 cm2, je teda približne 8,6 cm.

je rovnobežník, v ktorom sú všetky uhly rovné 90° a protiľahlé strany sú rovnobežné a rovnaké v pároch.

Obdĺžnik má niekoľko nevyvrátiteľných vlastností, ktoré sa používajú pri riešení mnohých problémov, vo vzorcoch pre oblasť obdĺžnika a jeho obvodu. Tu sú:

Dĺžka neznámej strany alebo uhlopriečky obdĺžnika sa vypočíta pomocou alebo pomocou Pytagorovej vety. Oblasť obdĺžnika možno nájsť dvoma spôsobmi - súčinom jeho strán alebo vzorcom pre oblasť obdĺžnika cez uhlopriečku. Prvý a najjednoduchší vzorec vyzerá takto:

Príklad výpočtu plochy obdĺžnika pomocou tohto vzorca je veľmi jednoduchý. Keď poznáme dve strany, napríklad a = 3 cm, b = 5 cm, môžeme ľahko vypočítať plochu obdĺžnika:
Zistíme, že v takomto obdĺžniku bude plocha rovná 15 metrom štvorcovým. cm.

Oblasť obdĺžnika cez uhlopriečky

Niekedy musíte použiť vzorec pre oblasť obdĺžnika cez uhlopriečky. Vyžaduje si to nielen zistiť dĺžku uhlopriečok, ale aj uhol medzi nimi:

Pozrime sa na príklad výpočtu plochy obdĺžnika pomocou uhlopriečok. Nech je daný obdĺžnik s uhlopriečkou d = 6 cm a uhlom = 30°. Údaje dosadíme do už známeho vzorca:

Takže príklad výpočtu plochy obdĺžnika cez uhlopriečku nám ukázal, že nájsť plochu týmto spôsobom, ak je daný uhol, je celkom jednoduché.
Pozrime sa na ďalší zaujímavý problém, ktorý nám pomôže trochu natiahnuť mozog.

Úloha: Daný štvorec. Jeho rozloha je 36 metrov štvorcových. cm Nájdite obvod obdĺžnika, ktorého dĺžka jednej strany je 9 cm a ktorého obsah je rovnaký ako vyššie uvedený štvorec.
Takže máme niekoľko podmienok. Pre prehľadnosť si ich zapíšme, aby sme videli všetky známe aj neznáme parametre:
Strany obrázku sú rovnobežné a v pároch rovnaké. Preto sa obvod obrázku rovná dvojnásobku súčtu dĺžok strán:
Zo vzorca pre oblasť obdĺžnika, ktorá sa rovná súčinu dvoch strán obrázku, nájdeme dĺžku strany b
Odtiaľ:
Dosadíme známe údaje a zistíme dĺžku strany b:
Vypočítajte obvod obrázku:
Takto môžete na základe niekoľkých jednoduchých vzorcov vypočítať obvod obdĺžnika a poznať jeho plochu.

Obdĺžnik je štvoruholník, v ktorom je každý uhol pravý.

Dôkaz

Vlastnosť je vysvetlená pôsobením znaku 3 rovnobežníka (to znamená \uhol A = \uhol C , \uholník B = \uhol D )

2. Opačné strany sú si rovné.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Opačné strany sú rovnobežné.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Susedné strany sú na seba kolmé.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké.

AC = BD

Dôkaz

Podľa majetok 1 obdĺžnik je rovnobežník, čo znamená AB = CD.

Preto \triangle ABD = \triangle DCA na dvoch nohách (AB = CD a AD - kĺb).

Ak sú obe čísla ABC a DCA totožné, potom sú ich prepony BD a AC tiež rovnaké.

Takže AC = BD.

Zo všetkých obrázkov (iba rovnobežníkov!) má iba obdĺžnik rovnaké uhlopriečky.

Dokážme aj toto.

ABCD je rovnobežník \Šípka doprava AB = CD, AC = BD podľa podmienky. \Rightarrow \triangle ABD = \trojuholník DCA už na troch stranách.

Ukazuje sa, že \uhol A = \uhol D (ako uhly rovnobežníka). A \uhol A = \uhol C , \uhol B = \uhol D .

Dospeli sme k záveru \uhol A = \uhol B = \uhol C = \uhol D. Všetky majú 90^(\circ) . Celkovo - 360^(\circ) .

Osvedčené!

6. Druhá mocnina uhlopriečky sa rovná súčtu štvorcov jej dvoch susedných strán.

Táto vlastnosť je pravdivá vďaka Pytagorovej vete.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Uhlopriečka rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Priesečník uhlopriečok ich rozdeľuje na polovicu.

AO = BO = CO = DO

9. Priesečník uhlopriečok je stredom obdĺžnika a kružnice opísanej.

10. Súčet všetkých uhlov je 360 ​​stupňov.

\uhol ABC + \uhol BCD + \uhol CDA + \uhol DAB = 360^(\circ)

11. Všetky uhly obdĺžnika sú pravé.

\uhol ABC = \uhol BCD = \uhol CDA = \uhol DAB = 90^(\circ)

12. Priemer kružnice opísanej okolo obdĺžnika sa rovná uhlopriečke obdĺžnika.

13. Vždy môžete opísať kruh okolo obdĺžnika.

Táto vlastnosť je pravdivá, pretože súčet opačných uhlov obdĺžnika je 180^(\circ)

\uhol ABC = \uhol CDA = 180^(\circ),\enspace \uhol BCD = \uhol DAB = 180^(\circ)

14. Obdĺžnik môže obsahovať vpísanú kružnicu a iba jednu, ak má rovnakú dĺžku strán (je to štvorec).

Problém nájdenia uhlopriečky obdĺžnika možno formulovať tromi rôznymi spôsobmi. Pozrime sa bližšie na každý z nich. Metódy závisia od známych údajov, ako teda zistíte uhlopriečku obdĺžnika?

Ak sú známe dve strany

V prípade, že sú známe dve strany obdĺžnika a a b, na nájdenie uhlopriečky je potrebné použiť Pytagorovu vetu: a 2 + b 2 =c 2, tu a a b sú nohy pravouhlého trojuholníka, c je prepona pravouhlého trojuholníka. Keď je uhlopriečka nakreslená v obdĺžniku, je rozdelená na dva pravouhlé trojuholníky. Poznáme dve strany tohto pravouhlého trojuholníka (a a b). To znamená, že na nájdenie uhlopriečky obdĺžnika je potrebný nasledujúci vzorec: c=√(a 2 +b 2), tu c je dĺžka uhlopriečky obdĺžnika.

Podľa známej strany a uhla, medzi stranou a uhlopriečkou

Nech je známa strana obdĺžnika a a uhol, ktorý zviera s uhlopriečkou obdĺžnika α. Najprv si spomeňme na kosínusový vzorec: cos α = a/c, tu c je uhlopriečka obdĺžnika. Ako vypočítať uhlopriečku obdĺžnika z tohto vzorca: c = a/cos α.

Pozdĺž známej strany uhol medzi susednou stranou obdĺžnika a uhlopriečkou.

Keďže uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje samotný obdĺžnik na dva pravouhlé trojuholníky, je logické obrátiť sa na definíciu sínusu. Sínus je pomer nohy oproti tomuto uhlu k prepone.sin α = b/c. Odtiaľ odvodíme vzorec na nájdenie uhlopriečky obdĺžnika, ktorý je zároveň preponou pravouhlého trojuholníka: c = b/sin α.

Teraz ste v tejto veci dôvtipný. Už zajtra môžete potešiť svojho učiteľa geometrie!

Definícia.

Obdĺžnik je štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnaké a všetky štyri uhly sú rovnaké.

Obdĺžniky sa od seba líšia iba pomerom dlhej strany ku krátkej strane, ale všetky štyri rohy sú správne, teda 90 stupňov.

Dlhá strana obdĺžnika je tzv dĺžka obdĺžnika a ten krátky - šírka obdĺžnika.

Strany obdĺžnika sú zároveň jeho výškami.

Základné vlastnosti obdĺžnika

Obdĺžnik môže byť rovnobežník, štvorec alebo kosoštvorec.

1. Protiľahlé strany obdĺžnika majú rovnakú dĺžku, to znamená, že sú rovnaké:

AB = CD, BC = AD

2. Opačné strany obdĺžnika sú rovnobežné:

3. Priľahlé strany obdĺžnika sú vždy kolmé:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Všetky štyri rohy obdĺžnika sú rovné:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Súčet uhlov obdĺžnika je 360 ​​stupňov:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Uhlopriečky obdĺžnika majú rovnakú dĺžku:

7. Súčet štvorcov uhlopriečky obdĺžnika sa rovná súčtu štvorcov strán:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Každá uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké obrazce, konkrétne pravouhlé trojuholníky.

9. Uhlopriečky obdĺžnika sa pretínajú a sú rozdelené na polovicu v priesečníku:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Priesečník uhlopriečok sa nazýva stred obdĺžnika a je tiež stredom kružnice opísanej

11. Uhlopriečka obdĺžnika je priemer kružnice opísanej

12. Vždy môžete opísať kruh okolo obdĺžnika, pretože súčet opačných uhlov je 180 stupňov:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Kruh nemožno vpísať do obdĺžnika, ktorého dĺžka sa nerovná jeho šírke, keďže súčty protiľahlých strán sa navzájom nerovnajú (kruh možno vpísať len v špeciálnom prípade obdĺžnika - štvorca) .

Strany obdĺžnika

Definícia.

Dĺžka obdĺžnika je dĺžka dlhšieho páru jeho strán. Šírka obdĺžnika je dĺžka kratšieho páru jeho strán.

Vzorce na určenie dĺžok strán obdĺžnika

1. Vzorec pre stranu obdĺžnika (dĺžka a šírka obdĺžnika) cez uhlopriečku a druhú stranu:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Vzorec pre stranu obdĺžnika (dĺžka a šírka obdĺžnika) cez oblasť a druhú stranu:

b = dcos	β
	2

Uhlopriečka obdĺžnika

Definícia.

Diagonálny obdĺžnik Akýkoľvek segment spájajúci dva vrcholy protiľahlých rohov obdĺžnika sa nazýva.

Vzorce na určenie dĺžky uhlopriečky obdĺžnika

1. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika s použitím dvoch strán obdĺžnika (prostredníctvom Pytagorovej vety):

d = √ a 2 + b 2

2. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika pomocou plochy a ľubovoľnej strany:

4. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska polomeru kružnice opísanej:

d = 2R

5. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice:

d = D o

6. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika pomocou sínusu uhla susediaceho s uhlopriečkou a dĺžky strany protiľahlej k tomuto uhlu:

8. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika cez sínus ostrého uhla medzi uhlopriečkami a oblasťou obdĺžnika

d = √2S: hriech β

Obvod obdĺžnika

Definícia.

Obvod obdĺžnika je súčet dĺžok všetkých strán obdĺžnika.

Vzorce na určenie dĺžky obvodu obdĺžnika

1. Vzorec pre obvod obdĺžnika pomocou dvoch strán obdĺžnika:

P = 2a + 2b

P = 2 (a + b)

2. Vzorec pre obvod obdĺžnika pomocou plochy a ľubovoľnej strany:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Vzorec pre obvod obdĺžnika pomocou uhlopriečky a ľubovoľnej strany:

P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Vzorec pre obvod obdĺžnika s použitím polomeru kružnice opísanej a ľubovoľnej strany:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Vzorec pre obvod obdĺžnika pomocou priemeru opísanej kružnice a ľubovoľnej strany:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Oblasť obdĺžnika

Definícia.

Oblasť obdĺžnika nazývaný priestor ohraničený stranami obdĺžnika, to znamená v rámci obvodu obdĺžnika.

Vzorce na určenie plochy obdĺžnika

1. Vzorec pre oblasť obdĺžnika s použitím dvoch strán:

S = a b

2. Vzorec pre oblasť obdĺžnika pomocou obvodu a ľubovoľnej strany:

5. Vzorec pre oblasť obdĺžnika pomocou polomeru opísanej kružnice a ľubovoľnej strany:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Vzorec pre oblasť obdĺžnika pomocou priemeru kružnice opísanej a ktorejkoľvek strany:

S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2

Kruh opísaný okolo obdĺžnika

Definícia.

Kruh opísaný okolo obdĺžnika je kružnica prechádzajúca štyrmi vrcholmi obdĺžnika, ktorého stred leží v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika.

Vzorce na určenie polomeru kružnice opísanej okolo obdĺžnika

1. Vzorec pre polomer kružnice opísanej obdĺžniku cez dve strany: