Ako pochopiť, že funkcia je párna alebo nepárna. Funkčná parita. Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale
Funkcia sa nazýva párna (nepárna), ak je akákoľvek a rovnosť 
.
Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi 
.
Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.
Príklad 6.2. Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna
1)
;
2)
;
3)
.
Riešenie.
1) Funkcia je definovaná kedy 
. nájdeme 
.
Tie. 
. To znamená, že táto funkcia je párna.
2) Funkcia je definovaná kedy 
Tie. 
. Táto funkcia je teda zvláštna.
3) funkcia je definovaná pre , t.j. Pre
,
. Preto funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Nazvime to funkcia všeobecného tvaru.
3. Štúdium funkcie pre monotónnosť.
Funkcia 
sa nazýva zvyšovanie (klesanie) v určitom intervale, ak v tomto intervale každá väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej (menšej) hodnote funkcie.
Funkcie rastúce (klesajúce) v určitom intervale sa nazývajú monotónne.
Ak je funkcia 
diferencovateľné na intervale 
a má kladnú (negatívnu) deriváciu 
, potom funkciu 
sa v tomto intervale zvyšuje (klesá).
Príklad 6.3. Nájdite intervaly monotónnosti funkcií
1)
;
3)
.
Riešenie.
1) Táto funkcia je definovaná na celom číselnom rade. Poďme nájsť derivát.
Derivácia sa rovná nule, ak 
A 
. Definičnou doménou je číselná os delená bodkami 
,
v intervaloch. Určme znamienko derivácie v každom intervale.
V intervale 
derivácia je záporná, funkcia na tomto intervale klesá.
V intervale 
derivácia je kladná, preto sa funkcia v tomto intervale zvyšuje.
2) Táto funkcia je definovaná, ak 
alebo
.
V každom intervale určíme znamienko kvadratického trinomu.
Teda doména definície funkcie
Poďme nájsť derivát 
,
, Ak 
, t.j. 
, Ale 
. Určme znamienko derivácie v intervaloch 
.
V intervale 
derivácia je záporná, preto funkcia na intervale klesá 
. V intervale 
derivácia je kladná, funkcia sa v intervale zvyšuje 
.
4. Štúdium funkcie na extréme.
Bodka 
nazývaný maximálny (minimálny) bod funkcie 
, ak existuje takéto okolie bodu 
to je pre každého 
z tohto susedstva platí nerovnosť 
.
Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú extrémne body.
Ak je funkcia 
v bode 
má extrém, potom sa derivácia funkcie v tomto bode rovná nule alebo neexistuje (nevyhnutná podmienka existencie extrému).
Body, v ktorých je derivácia nulová alebo neexistuje, sa nazývajú kritické.
5. Dostatočné podmienky pre existenciu extrému.
Pravidlo 1. Ak pri prechode (zľava doprava) cez kritický bod 
derivát 
zmení znamienko z „+“ na „–“, potom v bode 
funkciu 
má maximum; ak od „–“ po „+“, potom minimum; Ak 
nezmení znamienko, potom neexistuje extrém.
Pravidlo 2. Nech v bode 
prvá derivácia funkcie 
rovná nule 
a druhá derivácia existuje a je iná ako nula. Ak 
, To 
– maximálny bod, ak 
, To 
– minimálny bod funkcie.
Príklad 6.4 . Preskúmajte maximálne a minimálne funkcie:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Riešenie.
1) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale 
.
Poďme nájsť derivát 
a vyriešiť rovnicu 
, t.j. 
.Odtiaľ 
– kritické body.
Určme znamienko derivácie v intervaloch , 
.
Pri prechode cez body 
A 
derivácia mení znamienko z „-“ na „+“, preto podľa pravidla 1 
- minimálny počet bodov.
Pri prechode cez bod 
derivácia zmení znamienko z „+“ na „–“, takže 
- maximálny bod.
,
.
2) Funkcia je definovaná a spojitá v intervale 
. Poďme nájsť derivát 
.
Po vyriešení rovnice 
, nájdeme 
A 
– kritické body. Ak je menovateľ 
, t.j. 
, potom derivát neexistuje. takže, 
– tretí kritický bod. Určme znamienko derivácie v intervaloch.
Preto má funkcia v bode minimum 
, maximálne v bodoch 
A 
.
3) Funkcia je definovaná a spojitá, ak 
, t.j. pri 
.
Poďme nájsť derivát 
.
Poďme nájsť kritické body: 
Okolie bodov 
nepatria do oblasti definície, preto nie sú extrémy. Poďme sa teda pozrieť na kritické body 
A 
.
4) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale 
. Použime pravidlo 2. Nájdite deriváciu 
.
Poďme nájsť kritické body:
Poďme nájsť druhú deriváciu 
a určiť jej znamienko v bodoch 
V bodoch 
funkcia má minimum.
V bodoch 
funkcia má max.
Dokonca aj funkcia.
Dokonca je funkcia, ktorej znamienko sa pri zmene znamienka nemení X.
X platí rovnosť f(–X) = f(X). Podpísať X nemá vplyv na znamenie r.
Graf párnej funkcie je symetrický podľa súradnicovej osi (obr. 1).
Príklady párnej funkcie:
r=cos X
r = X 2
r = –X 2
r = X 4
r = X 6
r = X 2 + X
Vysvetlenie:
Zoberme si funkciu r = X 2 alebo r = –X 2 .
Za akúkoľvek hodnotu X funkcia je pozitívna. Podpísať X nemá vplyv na znamenie r. Graf je symetrický okolo súradnicovej osi. Toto je rovnomerná funkcia.
Neobyčajná funkcia.
Zvláštny je funkcia, ktorej znamienko sa mení pri zmene znamienka X.
Inými slovami, za akúkoľvek hodnotu X platí rovnosť f(–X) = –f(X).
Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok (obr. 2).
Príklady nepárnych funkcií:
r= hriech X
r = X 3
r = –X 3
Vysvetlenie:
Zoberme si funkciu y = – X 3 .
Všetky významy pri bude mať znamienko mínus. To je znamenie X ovplyvňuje znamenie r. Ak je nezávislá premenná kladné číslo, potom je funkcia kladná, ak je nezávislá premenná záporné číslo, potom je funkcia záporná: f(–X) = –f(X).
Graf funkcie je symetrický podľa počiatku. Toto je zvláštna funkcia.
Vlastnosti párnych a nepárnych funkcií:
POZNÁMKA:
Nie všetky funkcie sú párne alebo nepárne. Sú funkcie, ktoré takéto stupňovanie neposlúchajú. Napríklad koreňová funkcia pri = √X neplatí pre párne ani nepárne funkcie (obr. 3). Pri uvádzaní vlastností takýchto funkcií by sa mal uviesť vhodný opis: ani párne, ani nepárne.
Periodické funkcie.
Ako viete, periodicita je opakovanie určitých procesov v určitom intervale. Funkcie, ktoré popisujú tieto procesy, sa nazývajú periodické funkcie. To znamená, že ide o funkcie, v ktorých grafoch sú prvky, ktoré sa opakujú v určitých číselných intervaloch.
Ktoré vám boli do istej miery povedomé. Bolo tam tiež poznamenané, že zásoba funkčných vlastností sa bude postupne dopĺňať. V tejto časti sa budú diskutovať o dvoch nových vlastnostiach.
Definícia 1.
Funkcia y = f(x), x є X sa volá aj vtedy, ak pre ľubovoľnú hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) = f (x).
Definícia 2.
Funkcia y = f(x), x є X sa nazýva nepárna, ak pre ľubovoľnú hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) = -f (x).
Dokážte, že y = x 4 je párna funkcia.
Riešenie. Máme: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4. To znamená, že pre ľubovoľné x platí rovnosť f(-x) = f(x), t.j. funkcia je párna.
Podobne sa dá dokázať, že funkcie y - x 2, y = x 6, y - x 8 sú párne.
Dokážte, že y = x 3 ~ nepárna funkcia.
Riešenie. Máme: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. To znamená, že pre ľubovoľné x platí rovnosť f (-x) = -f (x), t.j. funkcia je nepárna.
Podobne sa dá dokázať, že funkcie y = x, y = x 5, y = x 7 sú nepárne.
O tom, že nové pojmy v matematike majú najčastejšie „pozemský“ pôvod, t.j. dajú sa nejako vysvetliť. To je prípad párnych aj nepárnych funkcií. Pozri: y - x 3, y = x 5, y = x 7 sú nepárne funkcie, zatiaľ čo y = x 2, y = x 4, y = x 6 sú párne funkcie. A vo všeobecnosti, pre akúkoľvek funkciu tvaru y = x" (nižšie budeme konkrétne študovať tieto funkcie), kde n je prirodzené číslo, môžeme dospieť k záveru: ak je n nepárne číslo, potom funkcia y = x" je zvláštny; ak je n párne číslo, potom funkcia y = xn je párna.
Existujú aj funkcie, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takou je napríklad funkcia y = 2x + 3. Skutočne, f(1) = 5 a f (-1) = 1. Ako vidíte, tu teda ani identita f(-x) = f (x), ani identitu f(-x) = -f(x).
Takže funkcia môže byť párna, nepárna alebo žiadna.
Štúdium toho, či je daná funkcia párna alebo nepárna, sa zvyčajne nazýva štúdium parity.
Definície 1 a 2 sa týkajú hodnôt funkcie v bodoch x a -x. To predpokladá, že funkcia je definovaná v bode x aj v bode -x. To znamená, že bod -x patrí do definičného oboru funkcie súčasne s bodom x. Ak číselná množina X spolu s každým jej prvkom x obsahuje aj opačný prvok -x, potom sa X nazýva symetrická množina. Povedzme, že (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sú symetrické množiny, zatiaľ čo ; (∞;∞) sú symetrické množiny a , [–5;4] sú asymetrické.
– Majú párne funkcie definičný obor, ktorý je symetrickou množinou? Tie zvláštne?
– Ak D( f) je asymetrická množina, aká je potom funkcia?
– Ak teda funkcia pri = f(X) – párne alebo nepárne, potom je jeho doména definície D( f) je symetrická množina. Platí opačné tvrdenie: ak je definičný obor funkcie symetrická množina, je párna alebo nepárna?
– To znamená, že prítomnosť symetrickej množiny definičnej oblasti je nevyhnutnou podmienkou, nie však dostatočnou.
– Ako teda skúmate funkciu na paritu? Skúsme vytvoriť algoritmus.
Šmykľavka
Algoritmus na štúdium funkcie pre paritu
1. Určte, či je definičný obor funkcie symetrický. Ak nie, funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Ak áno, prejdite na krok 2 algoritmu.
2. Napíšte výraz pre f(–X).
3. Porovnaj f(–X).A f(X):
- Ak f(–X).= f(X), potom je funkcia párna;
- Ak f(–X).= – f(X), potom je funkcia nepárna;
- Ak f(–X) ≠ f(X) A f(–X) ≠ –f(X), potom funkcia nie je ani párna, ani nepárna.
Príklady:
Preskúmajte paritu funkcie a). pri= x 5+; b) pri= ; V) pri= .
Riešenie.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symetrická množina.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funkcia h(x)= x 5 + nepárne.
b) y =,
pri = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymetrická množina, čo znamená, že funkcia nie je ani párna, ani nepárna.
V) f(X) = , y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Možnosť 2
1. Je daná množina symetrická: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Graf funkcie pri = f(X), Ak pri = f(X) je párna funkcia.
Graf funkcie pri = f(X), Ak pri = f(X) je zvláštna funkcia.
Vzájomná kontrola zapnutá šmykľavka.
6. Domáce úlohy: №11.11, 11.21,11.22;
Dôkaz geometrického významu vlastnosti parity.
*** (Pridelenie možnosti Jednotnej štátnej skúšky).
1. Na celej číselnej osi je definovaná nepárna funkcia y = f(x). Pre akúkoľvek nezápornú hodnotu premennej x sa hodnota tejto funkcie zhoduje s hodnotou funkcie g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Nájdite hodnotu funkcie h( X) = at X = 3.
7. Zhrnutie