Ako nájsť oblasť tvaru?

Vedieť a vedieť vypočítať plochy rôznych tvarov je potrebné nielen pri riešení jednoduchých geometrických úloh. Bez týchto znalostí sa nezaobídete pri zostavovaní alebo kontrole odhadov na opravu priestorov, výpočte množstva potrebného spotrebného materiálu. Poďme teda na to, ako nájsť oblasti rôznych tvarov.

Časť roviny uzavretá v uzavretom obryse sa nazýva oblasť tejto roviny. Plocha je vyjadrená počtom štvorcových jednotiek v nej uzavretých.

Ak chcete vypočítať plochu základných geometrických tvarov, musíte použiť správny vzorec.

Plocha trojuholníka

Legenda:

1. Ak sú známe h, a, potom sa plocha požadovaného trojuholníka určí ako súčin dĺžok strany a výšky trojuholníka spadnutého na túto stranu, rozdelená na polovicu: S \u003d (a h) / 2
2. Ak sú známe a, b, c, potom sa požadovaná plocha vypočíta podľa Heronovho vzorca: druhá odmocnina odobratá z produktu polovice obvodu trojuholníka a troch rozdielov polovice obvodu a každej strany trojuholníka: S \u003d √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
3. Ak sú známe a, b, γ, potom sa plocha trojuholníka určí ako polovica súčinu dvoch strán vynásobená hodnotou sínusu uhla medzi týmito stranami: S \u003d (ab sin γ) / 2
4. Ak sú známe a, b, c, R, potom sa požadovaná plocha určí ako vydelenie súčinu dĺžok všetkých strán trojuholníka štyrmi polomermi opísanej kružnice: S \u003d (a b c) / 4R
5. Ak sú známe p, r, potom sa požadovaná plocha trojuholníka určí vynásobením polovice obvodu polomerom vpísanej kružnice: S \u003d p r

Plocha štvorca

Legenda:

1. Ak je strana známa, potom sa plocha tohto obrázku určí ako štvorec dĺžky jej strany: S \u003d a 2
2. Ak je známe d, potom je plocha štvorca definovaná ako polovica štvorca dĺžky jeho uhlopriečky: S \u003d d 2/2

Obdĺžniková oblasť

Legenda:

• S - určená plocha,
• a, b - dĺžky strán obdĺžnika.

1. Ak sú známe a, b, potom je plocha tohto obdĺžnika určená súčinom dĺžok jeho dvoch strán: S \u003d a b
2. Ak nie sú známe dĺžky strán, potom musí byť plocha obdĺžnika rozdelená na trojuholníky. V tomto prípade je plocha obdĺžnika definovaná ako súčet plôch jeho základných trojuholníkov.

Oblasť rovnobežníka

Legenda:

• S je požadovaná plocha,
• a, b - dĺžky strán,
• h je dĺžka výšky tohto rovnobežníka,
• d1, d2 - dĺžky dvoch uhlopriečok,
• α je uhol medzi stranami,
• γ je uhol medzi uhlopriečkami.

1. Ak sú známe a, h, potom sa požadovaná plocha určí vynásobením dĺžok strany a výšky zníženej na túto stranu: S \u003d a h
2. Ak sú známe a, b, α, potom sa plocha rovnobežníka určí vynásobením dĺžok strán rovnobežníka a hodnoty sínusu uhla medzi týmito stranami: S \u003d a b sin α
3. Ak sú známe d 1, d 2, γ, potom sa plocha rovnobežníka určí ako polovica súčinu dĺžok uhlopriečok a hodnoty sínusu uhla medzi týmito uhlopriečkami: S \u003d (d 1 d 2 sinγ) / 2

Oblasť kosoštvorca

Legenda:

• S je požadovaná plocha,
• a - dĺžka strany,
• h - výška,
• α - menší uhol medzi dvoma stranami,
• d1, d2 - dĺžky dvoch uhlopriečok.

1. Ak sú známe a, h, potom sa plocha kosoštvorca určí vynásobením dĺžky strany dĺžkou výšky, ktorá je znížená na túto stranu: S \u003d a h
2. Ak sú známe a, α, potom sa plocha kosoštvorca určí vynásobením štvorca dĺžky strany sínusom uhla medzi stranami: S \u003d a 2 sin α
3. Ak sú známe d 1 a d 2, potom sa požadovaná plocha určí ako polovica súčinu dĺžok uhlopriečok kosoštvorca: S \u003d (d 1 d 2) / 2

Trapézová oblasť

Legenda:

1. Ak sú známe a, b, c, d, potom je požadovaná plocha určená vzorcom: S \u003d (a + b) / 2 * √.
2. Pri známych a, b, h sa požadovaná plocha určí ako súčin polovice súčtu báz a výšky lichobežníka: S \u003d (a + b) / 2 h

Plocha konvexného štvoruholníka

Legenda:

1. Ak sú známe d 1, d 2, α, potom sa plocha konvexného štvoruholníka určí ako polovica súčinu uhlopriečok štvoruholníka vynásobená sínusom uhla medzi týmito uhlopriečkami: S \u003d (d 1 d 2 hriechy α) / 2
2. Pre známe p, r je plocha konvexného štvoruholníka definovaná ako súčin semiperimetra štvoruholníka polomerom kruhu vpísaného do tohto štvoruholníka: S \u003d p r
3. Ak sú známe a, b, c, d, θ, potom sa plocha konvexného štvoruholníka určí ako druhá odmocnina súčinov rozdielu polovičného obvodu a dĺžky každej strany mínus súčin súčinu dĺžky všetkých strán a štvorec kosínusu polovice súčtu dvoch protiľahlých uhlov: S 2 \u003d (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α + β) / 2)

Plocha kruhu

Legenda:

Ak je známe r, potom sa požadovaná plocha určí ako súčin čísla π štvorcom: S \u003d π r 2

Ak je známe d, potom je plocha kruhu definovaná ako súčin π štvorcom priemeru vydeleným štyrmi: S \u003d (π d 2) / 4

Plocha zložitej postavy

Zložitý je možné rozdeliť na jednoduché geometrické tvary. Plocha komplexného útvaru je definovaná ako súčet alebo rozdiel oblastí komponentov. Zvážte napríklad prsteň.

Označenie:

• S je oblasť prstenca,
• R, r - polomery vonkajších a vnútorných kruhov, v danom poradí,
• D, d - priemery vonkajších a vnútorných kruhov.

Aby sme našli oblasť prstenca, je potrebné túto oblasť odčítať od plochy väčšieho kruhu menší kruh. S \u003d S1-S2 \u003d πR2-πr 2 \u003d π (R2-r2).

Ak sú teda známe R a r, potom sa plocha prstenca určí ako rozdiel medzi štvorcami polomerov vonkajšej a vnútornej kružnice vynásobený počtom pi: S \u003d π (R 2-r 2 ).

Ak sú známe D a d, potom sa plocha krúžku určí ako štvrtina rozdielu medzi štvorcami priemerov vonkajšej a vnútornej kružnice vynásobenými počtom pi: S \u003d (1/4) ( D 2 -d 2) π.

Plocha vyplnenej figúry

Predpokladajme, že vo vnútri jedného štvorca (A) je ďalší (B) (menší) a musíme nájsť vyplnenú dutinu medzi tvarmi „A“ a „B“. Povedzme len „rám“ malého štvorca. Pre to:

1. Nájdeme plochu obrázku „A“ (vypočítanú podľa vzorca na vyhľadanie plochy štvorca).
2. Podobne nájdeme oblasť obrázka „B“.
3. Odčítajte oblasť „B“ od oblasti „A“. A tým dostaneme plochu vyplnenej figúry.

Teraz viete, ako nájsť oblasti rôznych tvarov.

Aby ste mohli vyriešiť problémy v geometrii, musíte poznať vzorce - napríklad oblasť trojuholníka alebo oblasť rovnobežníka - a tiež jednoduché triky, o ktorých si povieme.

Najprv sa naučíme vzorce pre oblasti čísel. Špeciálne sme ich zhromaždili v pohodlnej tabuľke. Tlačte, učte sa a prihláste sa!

Nie všetky geometrické vzorce sú samozrejme v našej tabuľke. Napríklad na riešenie problémov v geometrii a stereometrii v druhej časti profilovej skúšky z matematiky sa používajú aj iné vzorce pre oblasť trojuholníka. Určite vám o nich povieme.

Čo však v prípade, že potrebujete nájsť nie oblasť lichobežníka alebo trojuholníka, ale oblasť nejakej zložitej figúry? Existujú univerzálne spôsoby! Ukážeme im to na príkladoch z pracovnej banky FIPI.

1. Ako nájsť oblasť neštandardného tvaru? Napríklad ľubovoľný štvoruholník? Jednoduchým trikom je rozdeliť tento údaj na tie, o ktorých všetci vieme, a nájsť jeho oblasť - ako súčet plôch týchto čísel.

Tento štvoruholník rozdelte vodorovnou čiarou na dva trojuholníky, ktorých spoločná základňa je rovná. Výšky týchto trojuholníkov sú a. Potom sa plocha štvoruholníka rovná súčtu plôch dvoch trojuholníkov :.

Odpoveď :.

2. V niektorých prípadoch možno plochu figúry predstavovať ako rozdiel medzi niektorými oblasťami.

Nie je ľahké vypočítať, aká je výška základne a výšky v tomto trojuholníku! Ale môžeme povedať, že jeho plocha sa rovná rozdielu medzi plochami štvorca s bočnými a tromi pravouhlými trojuholníkmi. Vidíte ich na obrázku? Dostaneme:.

Odpoveď :.

3. Niekedy je v úlohe potrebné nájsť oblasť nie celej postavy, ale jej časti. Zvyčajne hovoríme o ploche sektoru - časti kruhu. Nájdite oblasť sektoru kruhu s polomerom, ktorého dĺžka oblúka je .

Na tomto obrázku vidíme časť kruhu. Plocha celého kruhu je odvtedy rovnaká. Zostáva zistiť, ktorá časť kruhu je zobrazená. Pretože dĺžka celého obvodu je (od) a dĺžka oblúka tohto sektoru je , preto je dĺžka oblúka jednorazovo menšia ako dĺžka celého kruhu. Uhol, pod ktorým spočíva tento oblúk, je tiež jedenkrát menší ako celý kruh (tj. Stupne). To znamená, že plocha sektoru bude raz menšia ako plocha celého kruhu.

Plochých postáv najrôznejších tvarov, správnych aj nepravidelných, je nekonečné množstvo. Spoločnou vlastnosťou všetkých tvarov je, že ktorýkoľvek z nich má plochu. Oblasti tvarov sú rozmery časti roviny obsadenej týmito tvarmi, vyjadrené v konkrétnych jednotkách. Táto hodnota je vždy vyjadrená ako kladné číslo. Jednotkou merania je plocha štvorca, ktorého strana sa rovná jednotke dĺžky (napríklad jeden meter alebo jeden centimeter). Približnú hodnotu plochy ľubovoľného tvaru je možné vypočítať vynásobením počtu jednotkových štvorcov, na ktoré sa delí, plochou jedného štvorca.

Ďalšie definície tohto pojmu sú tieto:

1. Oblasti jednoduchých čísel sú skalárne kladné veličiny, ktoré vyhovujú podmienkam:

Rovnaké čísla majú rovnaké oblasti;

Ak je figúra rozdelená na časti (jednoduché figúry), potom je jej plocha súčtom plôch týchto figúrok;

Ako jednotka plochy slúži štvorec so stranou mernej jednotky.

2. Plochy obrazcov zložitého tvaru (mnohouholníky) sú kladné veličiny s týmito vlastnosťami:

Rovnaké polygóny majú rovnakú plochu;

Ak je mnohouholník zložený z niekoľkých ďalších mnohouholníkov, jeho plocha sa rovná súčtu oblastí druhých polygónov. Toto pravidlo platí pre neprekrývajúce sa mnohouholníky.

Ako axióma sa pripúšťa, že oblasti čísel (polygóny) sú kladné hodnoty.

Definícia oblasti kruhu je uvedená samostatne ako hodnota, ku ktorej inklinuje plocha daného kruhu vpísaného do kruhu - napriek tomu, že počet jeho strán má sklon k nekonečnu.

Plochy nepravidelných tvarov (ľubovoľné tvary) nie sú definované, určujú sa iba metódy ich výpočtu.

Výpočet plôch bol už v staroveku dôležitou praktickou úlohou pri určovaní veľkosti pozemkov. Pravidlá pre výpočet plôch na niekoľko sto rokov formulovali grécki vedci a stanovili ich ako vety Euklidove „Prvky“. Je zaujímavé, že pravidlá určovania oblastí jednoduchých čísel v nich sú rovnaké ako v súčasnosti. Plochy so zakriveným obrysom sa vypočítali pomocou priechodu k limitu.

Výpočet plôch jednoduchého obdĺžnika, štvorca), ktoré poznajú všetci zo školy, je dosť jednoduchý. Nie je ani potrebné pamätať si vzorce pre oblasti čísel, ktoré obsahujú písmenové označenia. Stačí si pamätať niekoľko jednoduchých pravidiel:

2. Plocha obdĺžnika sa počíta vynásobením jeho dĺžky a šírky. V takom prípade je potrebné, aby dĺžka a šírka boli vyjadrené v rovnakých jednotkách merania.

3. Plocha zložitého útvaru sa vypočíta tak, že sa rozdelí na niekoľko jednoduchých a výsledné oblasti sa sčítajú.

4. Uhlopriečka obdĺžnika ho rozdeľuje na dva trojuholníky, ktorých oblasti sú rovnaké a rovnajú sa polovici jeho plochy.

5. Plocha trojuholníka sa počíta ako polovica súčinu jeho výšky a základne.

6. Plocha kruhu sa rovná súčinu štvorca polomeru známym číslom „π“.

7. Plocha rovnobežníka sa počíta ako súčin susedných strán a sínusu uhla ležiaceho medzi nimi.

8. Plocha kosoštvorca je ½ výsledkom vynásobenia uhlopriečok sínusom vnútorného uhla.

9. Plocha lichobežníka sa zistí vynásobením jeho výšky dĺžkou stredovej čiary, ktorá sa rovná aritmetickému priemeru báz. Ďalšou možnosťou určenia plochy lichobežníka je vynásobenie jeho uhlopriečok a sínusu uhla ležiaceho medzi nimi.

Kvôli prehľadnosti majú deti na základnej škole často zadané úlohy: nájsť oblasť postavy nakreslenej na papieri pomocou palety alebo hárku priehľadného papiera nakrájaného na bunky. Takýto list papiera je superponovaný na nameraný údaj, počíta sa počet celých buniek (jednotiek plochy), ktoré sa zmestia do jeho obrysu, potom počet neúplných buniek, ktorý sa rozdelí na polovicu.

Poznatky o tom, ako merať Zem, siahajú do staroveku a postupne sa z nich vyvinula veda o geometrii. Toto slovo je preložené z gréckeho jazyka - „geodetické“.

Meradlom dĺžky a šírky rovnej oblasti Zeme je plocha. V matematike sa zvyčajne označuje latinským písmenom S (z anglického „square“ - „area“, „square“) alebo gréckym písmenom σ (sigma). S označuje plochu figúry v rovine alebo povrchovú plochu tela a σ je prierezová plocha drôtu vo fyzike. Toto sú hlavné symboly, aj keď sa môžu vyskytnúť aj iné, napríklad v oblasti pevnosti materiálov je A plocha prierezu profilu.

V kontakte s

Výpočtové vzorce

Ak poznáte oblasti jednoduchých tvarov, môžete nájsť parametre zložitejších... Starí matematici vyvinuli vzorce, podľa ktorých sa dajú ľahko vypočítať. Tieto tvary sú trojuholník, štvoruholník, mnohouholník, kruh.

Na nájdenie oblasti zložitej plochej postavy je rozdelená na mnoho jednoduchých postáv, ako sú trojuholníky, lichobežníky alebo obdĺžniky. Potom matematické metódy odvodia vzorec pre oblasť tohto obrázku. Táto metóda sa používa nielen v geometrii, ale aj v matematickej analýze na výpočet plôch útvarov ohraničených krivkami.

Trojuholník

Začnime najjednoduchším tvarom - trojuholníkom. Sú obdĺžnikové, rovnoramenné a rovnostranné. Vezmite ľubovoľný trojuholník ABC so stranami AB \u003d a, BC \u003d b a AC \u003d c (∆ ABC). Aby sme našli jeho oblasť, pripomeňme si vety o sínusoch a kosínoch známe zo školského kurzu matematiky. Po uvoľnení všetkých výpočtov prichádzame k nasledujúcim vzorcom:

• S \u003d √ je známy Heronov vzorec, kde p \u003d (a + b + c) / 2 je polovičný obvod trojuholníka;
• S \u003d a h / 2, kde h je výška znížená na stranu a;
• S \u003d a b (sin γ) / 2, kde γ je uhol medzi stranami a a b;
• S \u003d a b / 2, ak ∆ ABC - obdĺžnikové (tu a a b sú nohy);
• S \u003d b² (sin (2 β)) / 2, ak ∆ ABC je rovnoramenný (tu b je jeden z „bokov“, β je uhol medzi „bokmi“ trojuholníka);
• S \u003d a² √¾, ak ∆ ABC je rovnostranný (tu a je strana trojuholníka).

Štvoruholník

Nech je štvoruholník ABCD s AB \u003d a, BC \u003d b, CD \u003d c, AD \u003d d. Ak chcete nájsť oblasť S ľubovoľného štvorgónu, musíte ju rozdeliť uhlopriečkou na dva trojuholníky, ktorých oblasti S1 a S2 sa spravidla nerovnajú.

Potom ich pomocou vzorcov vypočítajte a pridajte, to znamená S \u003d S1 + S2. Ak však 4-uholník patrí do určitej triedy, potom jeho oblasť možno nájsť pomocou predtým známych vzorcov:

• S \u003d (a + c) h / 2 \u003d eh, ak je 4-uholník lichobežníkový (tu a a c sú základy, e je stredová čiara lichobežníka, h je výška znížená k jednej zo základov lichobežník;
• S \u003d a h \u003d a b sin φ \u003d d1 d2 (sin φ) / 2, ak ABCD je rovnobežník (tu φ je uhol medzi stranami a a b, h je výška klesnutá na stranu a, d1 a d2 sú uhlopriečky);
• S \u003d a b \u003d d² / 2, ak ABCD je obdĺžnik (d je uhlopriečka);
• S \u003d a² sin φ \u003d P² (sin φ) / 16 \u003d d1 d2 / 2, ak ABCD je kosoštvorec (a je strana kosoštvorca, φ je jeden z jeho rohov, P je obvod);
• S \u003d a² \u003d P² / 16 \u003d d² / 2, ak ABCD je štvorec.

Polygón

Ak chcete nájsť oblasť n-uholníka, matematici ju rozdelia na najjednoduchšie rovnaké trojuholníky, vyhľadajú oblasť každého z nich a potom ich sčítajú. Ak ale mnohouholník patrí do triedy bežných, potom použite vzorec:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, kde n je počet vrcholov (alebo strán) mnohouholníka, a je strana n-gónu, P je jeho obvod, h je apotém, to znamená , segment nakreslený od stredu mnohouholníka k jednej z jeho strán v uhle 90 °.

Kruh

Kruh je dokonalý mnohouholník s nekonečným počtom strán.... Potrebujeme vypočítať limit výrazu vpravo vo vzorci pre oblasť mnohouholníka, keď počet strán n má sklon k nekonečnu. V tomto prípade sa obvod mnohouholníka zmení na obvod kruhu s polomerom R, ktorý bude hranicou našej kružnice, a stane sa rovným P \u003d 2 π R. Tento výraz nahraďte vyššie uvedeným vzorcom. Dostaneme:

S \u003d (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

Nájdeme hranicu tohto výrazu ako n → ∞. Berte do úvahy, že lim (cos (180 ° / n)) ako n → ∞ sa rovná cos 0 ° \u003d 1 (lim je medzný znak) a lim \u003d lim ako n → ∞ sa rovná 1 / π (mieru stupňa sme preložili na radián pomocou pomeru π rad \u003d 180 ° a prvý pozoruhodný limit lim (sin x) / x \u003d 1 sme použili ako x → ∞). Dosadením získaných hodnôt do posledného výrazu pre S sa dostaneme k dobre známemu vzorcu:

S \u003d π² R² 1 (1 / π) \u003d π R².

Jednotky

Používajú sa systémové a nesystémové jednotky... Systémové jednotky odkazujú na SI (medzinárodný systém). Je to meter štvorcový (meter štvorcový, m²) a jednotky od neho odvodené: mm², cm², km².

Napríklad v štvorcových milimetroch (mm²) merajú prierez vodičov v elektrotechnike, v štvorcových centimetroch (cm²) - prierezy nosníka v stavebnej mechanike, v štvorcových metroch (m²) - byty alebo domy, v štvorcových kilometroch (km²) - územia v geografii ...

Niekedy sa však používajú aj nesystémové jednotky merania, napríklad: tkanie, ar (a), hektár (ha) a aker (ac). Tu sú nasledujúce vzťahy:

• 1 meter štvorcový \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 hektára;
• 1 hektár \u003d 100 a \u003d 100 árov \u003d 10 000 m² \u003d 0,01 km² \u003d 2,471 ac;
• 1 ac \u003d 4046,856 m2 \u003d 40,47 a \u003d 40,47 árov \u003d 0,405 hektára.

Určite integrál. Ako vypočítať plochu tvaru

Prejdeme k úvahám o aplikáciách integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu. ako vypočítať plochu plochého útvaru pomocou určitého integrálu -... Nakoniec tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike - nech ho nájdu. Nikdy nevieš. Budeme musieť priblížiť predmestskú oblasť v živote so základnými funkciami a nájsť jej oblasť pomocou určitého integrálu.

Aby ste materiál úspešne zvládli, musíte:

1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Takže figuríny by si mali najskôr prečítať lekciu Nie.

2) Vedieť použiť Newton-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. Na stránke môžete nadviazať priateľské priateľstvá s jednoznačnými integrálmi Určite integrál. Príklady riešení.

V skutočnosti na nájdenie oblasti figúry človek nepotrebuje toľko znalostí neurčitého a určitého integrálu. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa zostavenie výkresu, preto budú vaše vedomosti a zručnosti v kreslení oveľa naliehavejšou otázkou. V tejto súvislosti je užitočné osviežiť pamäť grafov základných elementárnych funkcií a prinajmenšom vedieť zostrojiť priamku, parabolu a hyperbolu. To sa dá dosiahnuť (veľa ľudí to potrebuje) pomocou metodického materiálu a článku o geometrických transformáciách grafov.

V skutočnosti je každý už od školy oboznámený s problémom hľadania oblasti pomocou určitého integrálu a my nepôjdeme ďaleko pred školské osnovy. Tento článok nemusí vôbec existovať, faktom však je, že problém nastáva v 99 prípadoch zo 100, keď študent trpí nenávidenou vežou s nadšením ovládajúcim kurz vyššej matematiky.

Materiály tohto workshopu sú prezentované jednoducho, podrobne a s minimom teórie.

Začnime zakriveným lichobežníkom.

Zakrivený lichobežník sa nazýva rovinný útvar ohraničený osou, priamkami a grafom spojitej funkcie na segmente, ktorý nemení znamienko na tomto intervale. Nech je tento údaj umiestnený nie menej os úsečky:

Potom plocha krivočarého lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu... Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Na hodine Určite integrál. Príklady riešení Povedal som, že jednoznačný integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalšiu užitočnú skutočnosť. Z hľadiska geometrie je jednoznačným integrálom OBLASŤ.

Tj. určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá oblasti nejakého obrázku... Zvážte napríklad určitý integrál. Celočíselná čiara definuje krivku v rovine, ktorá sa nachádza nad osou (tí, ktorí si želajú, môžu vytvoriť kresbu) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočarého lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typické vyhlásenie o úlohe. Prvým a najdôležitejším bodom riešenia je konštrukcia výkresu... Okrem toho musí byť výkres zostavený SPRÁVNE.

Pri zostavovaní výkresu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie stavať všetky riadky (ak existujú) a iba potom - paraboly, hyperboly, grafy ďalších funkcií. Je výhodnejšie zostavovať grafy funkcií bodovo, techniku \u200b\u200bkonštrukcie bod po bode je možné nájsť v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií... Nájdete tam tiež veľmi užitočný materiál v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo zostaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Poďme nakresliť výkres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem vyliahnuť zakrivený lichobežník, tu je zrejmé, o ktorej oblasti hovoríme. Riešenie pokračuje takto:

V segmente sa nachádza graf funkcie cez os, takže:

Odpoveď:

Kto má ťažkosti s výpočtom určitého integrálu a uplatnením Newton-Leibnizovho vzorca , odkaz na prednášku Určite integrál. Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na podrobný plán a odhadnúť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek na výkrese - dobre, asi 9 bude napísaných, vyzerá to ako pravda. Je úplne zrejmé, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, potom sa očividne niekde stala chyba - uvažovaný údaj sa nezmestí na 20 buniek, najviac na desať. Ak je odpoveď záporná, potom bola úloha tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami a osou

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod osou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami a koordinujte osi.

Rozhodnutie: Vykonajme kresbu:

Ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod osou (alebo nakoniec nie vyššie danej osi), potom jej plochu nájdeme podľa vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak sa od vás vyžaduje, aby ste vyriešili iba určitý integrál bez geometrického významu, môže to byť záporné.

2) Ak sa od vás žiada, aby ste našli plochu figúry pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objaví mínus.

V praxi sa postava najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polorovine, a preto od najjednoduchších školských problémov prejdeme k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej postavy ohraničenej čiarami.

Rozhodnutie: Najprv musíte dokončiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii kreslenia problémov v oblasti nás najviac zaujímajú priesečníky priamok. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. To sa dá urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Je lepšie túto metódu nepoužívať, ak je to možné..

Je oveľa výnosnejšie a rýchlejšie zostaviť riadky bod po bode, zatiaľ čo hranice integrácie sú zrejmé, akoby „samy od seba“. Technika bodového vykreslenia rôznych grafov je podrobne popísaná v pomocníkovi. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií ... Analytická metóda zisťovania limitov sa napriek tomu musí niekedy použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo presná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A zvážime aj taký príklad.

Vraciame sa k nášmu problému: racionálnejšie je najskôr zostrojiť priamku a až potom parabolu. Poďme vykonať výkres:

Opakujem, že v prípade konštrukcie bod po bode sa limity integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec: Ak je na segmente nejaká spojitá funkcia väčší alebo rovný nejakej spojitej funkcie potom plochu obrázka ohraničenú grafmi týchto funkcií a priamkami nájdeme podľa vzorca:

Tu už nemusíte premýšľať o tom, kde sa figúra nachádza - nad osou alebo pod osou a zhruba povedané je dôležité, ktorý harmonogram je NAD Hore(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je NÍŽE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente je parabola umiestnená nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaná postava je hore ohraničená parabolou a dole rovnou čiarou.
V segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť zakriveného lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca ... Pretože os je daná rovnicou, je umiestnený graf funkcie nie vyššie os potom

A teraz niekoľko príkladov nezávislého riešenia

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť postavy ohraničenú čiarami.

V priebehu riešenia problémov výpočtu plochy pomocou určitého integrálu sa niekedy stane zábavná príhoda. Výkres je vykonaný správne, výpočty sú správne, ale z nepozornosti ... je nájdená oblasť nesprávneho obrázku, takto sa tvoj pokorný sluha niekoľkokrát pokazil. Tu je príklad zo skutočného života:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázka ohraničenú čiarami ,,,.

Rozhodnutie: Najprv vykonáme kresbu:

... Eh, vyšla mizerná kresba, ale všetko sa zdá byť čitateľné.

Obrázok, ktorého oblasť musíme nájsť, je vytieňovaný modrou farbou (pozorne si prezrite stav - na čo je figúra obmedzená!). Ale v praxi z nepozornosti často vzniká „závada“, že musíte nájsť plochu postavy, ktorá je zafarbená na zeleno!

Tento príklad je tiež užitočný v tom, že počíta plochu čísla pomocou dvoch určitých integrálov. Naozaj:

1) Na segmente nad osou je čiarový graf;

2) Graf hyperboly sa nachádza v segmente nad osou.

Je celkom zrejmé, že oblasti možno (a mali by sa) pridať, preto:

Odpoveď:

Prejdime k jednej zmysluplnejšej úlohe.

Príklad 8

Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami
Predstavme rovnice v „školskej“ podobe a urobme kreslenie bod po bode:

Z výkresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“ :.
Aká je však dolná hranica?! Je jasné, že nejde o celé číslo, ale ktoré? Možno ? Ale kde je záruka, že kresba je urobená s dokonalou presnosťou, pokojne sa to môže stať. Alebo koreň. Čo keby sme graf vykreslili nesprávne?

V takýchto prípadoch musíte stráviť ďalší čas a analyticky upraviť limity integrácie.

Nájdite priesečníky čiary a paraboly.
Aby sme to dosiahli, vyriešime rovnicu:


,

Naozaj,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zamieňať sa za zámeny a značky, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Na záver lekcie zvážime dve zložitejšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu čísla ohraničeného čiarami,

Rozhodnutie: Vyobrazme túto figúru na výkrese.

Sakra, zabudol som podpísať harmonogram, ale prepracovať obrázok, prepáč, nie horúci. Nekreslí sa, skrátka, dnes je ten deň \u003d)

Pri konštrukcii bod po bode potrebujete poznať vzhľad sínusoidy (a všeobecne je užitočné poznať ju) grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, ktoré možno nájsť v trigonometrická tabuľka... V mnohých prípadoch (ako v tomto) je možné zostrojiť schematický výkres, na ktorom by sa mali principiálne správne zobraziť grafy a integračné limity.

S medzami integrácie nie sú problémy, vyplývajú priamo z podmienky: - „x“ sa zmení z nuly na „pi“. Robíme ďalšie rozhodnutie:

V segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto: