व्हॅक्टरवर वेक्टर आणि शस्त्रक्रिया. स्पेसमधील थीम वेक्टरवर सर्व सूत्रे

वेक्टर – ही एक निर्देशित सरळ रेष आहे, म्हणजे, एक विशिष्ट लांबी आणि विशिष्ट दिशानिर्देश आहे. बिंदू द्या परंतु - वेक्टरची सुरूवात आणि बिंदू बी - त्याचा शेवट, मग वेक्टर चिन्हाने सूचित केले आहे किंवा . वेक्टर म्हणतात उलट वेक्टर आणि चिन्हांकित केले जाऊ शकते .

आम्ही अनेक मूलभूत परिभाषा तयार करतो.

लेना किंवा मॉड्यूल वेक्टर सेगमेंटची लांबी म्हटले जाते आणि सूचित आहे. वेक्टर झीरो लांबी (त्याचे सार - पॉइंट) म्हणतात शून्य आणि दिशानिर्देश नाहीत. वेक्टर सिंगल लांबी म्हणतातसिंगल . युनिट वेक्टर, ज्या दिशेने वेक्टरच्या दिशेने सहभाग घेतात , म्हणतात ऑरटा वेक्टर .

वेक्टर म्हणतात कॉलिनर जर ते एका सरळ रेषेवर किंवा समांतर सरळ रेषेवर असले तर, खाली लिहा. कॉलिनियर वेक्टरमध्ये समाकलित किंवा उलट दिशानिर्देश असू शकतात. शून्य वेक्टरला कोणत्याही वेक्टरला एक कोलाइन मानले जाते.

व्हॅक्टरला समान म्हणतातते कॉलिनर असल्यास, समान दिशानिर्देश आणि समान लांबी असल्यास.

तीन victers म्हणतात तक्रार ते एकाच विमानात किंवा समांतर विमानांमध्ये खोटे बोलतात. तीन वेक्टरमध्ये कमीतकमी एक शून्य किंवा दोन कोलाइनर असल्यास, अशा वेक्टर डिपार्टमेंट असतात.

स्पेस आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये विचार करा 0 xyz.. आम्ही axes 0 वर निर्देशांकांना ठळक करतो एक्स, 0वाई., 0झहीर सिंगल वेक्टर (ओआरटीएस) आणि त्यांना दर्शवितातअनुक्रमे क्रमशः जागा अनियंत्रित वेक्टर निवडा आणि समन्वय सुरू होण्याच्या सुरुवातीस सुसंगत. आम्ही वेक्टरला समन्वयकांवर डिझाइन करतो आणि प्रोजेक्ट दर्शवितो एक एक्स, एक वाई, एक झहीर अनुक्रमे क्रमशः मग ते दर्शविणे कठीण नाही

. (2.25)

व्हेक्टर कॅल्क्यूलसमध्ये हा सूत्र प्राथमिक आहे आणि त्याला म्हणतात ऑर्थॅम समन्वय अक्ष च्या वेक्टर च्या विघटन . संख्या एक एक्स, एक वाई, एक झहीरम्हणतात वेक्टरचे समन्वय . अशा प्रकारे, वेक्टरचे समन्वय हे समन्वयक अक्षांवरील अंदाज आहेत. वेक्टर समानता (2.25) सहसा रेकॉर्ड केले जाते

वेक्टरचे समन्वय आणि बिंदूच्या निर्देशांकांमध्ये फरक करणे, आम्ही वेक्टर क्लेली ब्रॅकेट्समध्ये व दृष्टीक्षेप साध्य करू. शाळा भूमितीपासून ओळखल्या जाणार्या सेगमेंट लांबी फॉर्म्युला वापरुन, आपण वेक्टर मॉड्यूलची गणना करण्यासाठी अभिव्यक्ती शोधू शकता:

, (2.26)

म्हणजे, वेक्टर मॉड्यूल त्याच्या समन्वयक चौकटीच्या चौरस स्क्वेअरच्या समान आहे.

वेक्टर आणि समन्वयक axes दरम्यान कोन denothot α, β, γ अनुक्रमे क्रमशः कोसाइन या कोपरांना वेक्टरसाठी म्हणतात मार्गदर्शक आणि त्यांच्यासाठी गुणोत्तर केले जाते:या समानतेचे निष्ठा अक्षांवर वेक्टर प्रोजेक्शनचे गुणधर्म वापरून दर्शविले जाऊ शकते, जे खालील परिच्छेद 4 मध्ये चर्चा केली जाईल.

वेक्टरला त्रि-आयामी जागेमध्ये दिले जाऊ द्यात्याच्या समन्वय सह. खालील ऑपरेशन्स त्यांच्यावर घेण्यात आल्या आहेत: एक्सिस किंवा दुसर्या वेक्टरवरील वेक्टरची संख्या आणि डिझाइनची गुणाकार); रेषीय नाही - विविध वेक्टर (स्केलर, वेक्टर, मिश्रित).

1. या व्यतिरिक्त दोन vectors शेवटी केले जातात, तर, तर

हे सूत्र एक अनियंत्रित मर्यादित अटींसाठी घेते.

भौमितिकदृष्ट्या दोन वेक्टर दोन नियमांमध्ये जोडलेले आहेत:

परंतु) नियम त्रिकोण - दोन वेक्टरच्या बेरीजचा परिणामी वेक्टर दुसऱ्या व्यक्तीच्या सुरूवातीस जोडतो, जो पहिल्या वेक्टरच्या शेवटी असतो. वेक्टरच्या योगासाठी, रकमेच्या परिणामी वेक्टर शेवटच्या वेक्टर-टर्मच्या समाप्तीच्या सुरुवातीच्या सुरूवातीस जोडते, त्यानंतर त्यानंतरच्या कालावधीची सुरूवात मागील एक शेवटच्या समाप्तीशी जुळते;

बी) नियम पॅरललोग्राम (दोन vectors साठी) - समान सुरूवातीस दिलेल्या बाजूंच्या मोड-अटींवर पॅरॅल्लेग्स तयार केले जातात; त्यांच्या सामान्य सुरुवातीपासून उद्भवणार्या पॅरॅललोग्रामचे कर्णकांचे व्हॅक्टरचे बेरीज आहे.

2. घट दोन वेक्टर पुनर्वसन केले जातात, याव्यतिरिक्त, म्हणजे, तरट.

भौमितिकदृष्ट्या दोन वेक्टर आधीच नमूद केलेल्या शासकग्रामाने तयार केले आहेत, सावधगिरी बाळगणे म्हणजे वेक्टरमधील फरक व्हॅक्टरच्या समाप्तीस जोडणारा एक कर्णधार आहे आणि परिणामी वेक्टरने कमी झालेल्या वेक्टरच्या शेवटी संपलेल्या शेवटपर्यंत निर्देशित केले आहे.

वेक्टरच्या घटनेचा एक महत्त्वाचा परिणाम म्हणजे व्हेक्टरच्या सुरूवातीस आणि समाप्तीचे समन्वय म्हणून ओळखले जाते. वेक्टर समन्वय मोजण्यासाठी, त्याच्या समन्वयकांना कमी करण्याच्या समन्वयाच्या समन्वययोग करणे आवश्यक आहे . खरंच, कोणत्याही वेक्टर जागा समन्वयाच्या सुरूवातीपासून दोन वेक्टरच्या बाहेरून फरकाने हे दर्शविले जाऊ शकते:. वेक्टरचे समन्वय आणि गुणांच्या समन्वय सह coincideपरंतु आणि मध्येसमन्वय च्या उत्पत्ति पासूनबद्दल(0; 0; 0). अशा प्रकारे, वेक्टरच्या नियमांनुसार, बिंदू समन्वय कमी करणे आवश्यक आहेपरंतुबिंदू च्या समन्वय पासूनमध्ये.

3. डब्ल्यू संख्येने एकाधिक वेक्टर λ दुर्लक्ष करणे:.

च्या साठी λ> 0 - वेक्टर सायकल ; λ< 0 - वेक्टर उलट निर्देशित ; | λ|> 1 - वेक्टर लांबी वाढते. λ वेळ;| λ|< 1 - वेक्टर लांबी कमी होते λ वेळ

4. समजा स्पेस मध्ये निर्देशित सरळ ओळ (अक्ष एल), वेक्टर शेवट सेट करा आणि समन्वय सुरू करा. प्रोजेक्शन पॉइंटद्वारे सूचित करा ए आणि बी अक्ष वर एल त्यानुसार माध्यमातून ए’ आणि बी’ .

प्रोजेक्शन वेक्टर अक्ष वर एल वेक्टर लांबी म्हणतातवेक्टर असल्यास "+" चिन्हाने घेतले आणि अक्ष एलसह-नियंत्रित, आणि चिन्हासह "-", तर आणि एल उलट निर्देशित.

अक्ष म्हणून असल्यास एलइतर वेक्टर घ्यामला वेक्टरचे प्रक्षेपण मिळते वेक्टर आर वर.

अंदाजांच्या काही मूलभूत गुणधर्मांचा विचार करा:

1) वेक्टर प्रोजेक्शन अक्ष वर एल वेक्टर मॉड्यूल उत्पादन समान वेक्टर आणि एक्सिस दरम्यान कोपऱ्यात कोसाइनवर आहे;

2.) एक्सिसवरील वेक्टरचे प्रक्षेपण सकारात्मक (नकारात्मक) आहे, जर वेक्टर एक तीव्र अक्ष (मूर्ख) कोनासह होते आणि शून्य असेल तर हे कोन सरळ असल्यास;

3) त्याच अक्ष्यावरील अनेक वेक्टरच्या योगाचा अंदाज या अक्षावरील अंदाजानुसार समान आहे.

वेक्टरवर नॉनलाइन ऑपरेशनचे प्रतिनिधीत्व करणार्या वेक्टरच्या कामांवर आम्ही परिभाषा आणि प्रमेय तयार करतो.

5. स्केलर कार्य व्हॅक्टरकोसच्या कोसाइनवर या वेक्टरच्या उत्पादनाच्या समान संख्या (स्केलर) म्हणतात.φ त्यांच्या दरम्यान, ते आहे

. (2.27)

अर्थात, कोणत्याही नॉन-शून्य वेक्टरची स्केलर स्क्वेअर त्याच्या लांबीच्या चौरसापेक्षा समान आहे, जसे की या प्रकरणात एक कोन म्हणून, त्याचे कोसाइन (2.27 वाजता) समान आहे.

प्रमेय 2.2. आवश्यक आणि दोन वेक्टरच्या लंबद्यकतेसाठी आवश्यक असलेली स्थिती त्यांच्या स्केलर उत्पादनाचे समानता आहे

कोरोलरी. जोडीच्या स्केलर सिंगल ऑर्टचे कार्य शून्य आहे, ते आहे

प्रमेय 2.3. दोन vectors च्या स्केलर उत्पादनत्यांच्या निर्देशांकाने परिभाषित केल्याप्रमाणे त्यांच्या समान समन्वयकांच्या कामाच्या समान आहेत

(2.28)

वेक्टरच्या स्केलर उत्पादनाचा वापर करून, आपण कोनाची गणना करू शकता त्यांच्यामध्ये. जर दोन नॉन-शून्य वेक्टर त्यांच्या समन्वयाने निर्दिष्ट केले जातातनंतर कोसाइड कॉर्नरφ त्यांच्यामध्ये:

(2.29)

म्हणून नॉन-शून्य वेक्टरच्या लंबद्यकतेची स्थितीआणि:

(2.30)

शोध प्रोजेके वेक्टर वेक्टरद्वारे निर्दिष्ट दिशेने फॉर्म्युला द्वारे केले जाऊ शकते

(2.31)

व्हॅक्टरच्या स्केलर उत्पादनाच्या मदतीने सतत शक्तीचे काम शोधते मार्गाच्या सरळ रेषेत.

समजा की सतत शक्तीच्या कृती भौतिक बिंदू सरळ स्थितीतून हलवते परंतुनियमन मध्ये बी वेक्टर शक्ती फॉर्म कॉर्नर φ प्रवास वेक्टर सह (आकृती 2.14). भौतिकशास्त्रामुळे बळजबरीने कारणीभूत ठरते हलक्या तेव्हा.समान

परिणामी, त्याच्या अनुप्रयोगाच्या बिंदूच्या सरळ चळवळीच्या स्थिर शक्तीचे कार्य चळवळीच्या वेक्टरवर ताकद वेक्टरच्या स्केलर उत्पादनासारखे आहे.

उदाहरण 2.9.शीर्षस्थानी एक कोन शोधण्यासाठी वेक्टरचे स्केलर उत्पादन वापरणेए पॅरललोग्रामअ ब क ड., बस victerors वर

निर्णय.आम्ही वेक्टर आणि त्यांच्या स्केलर उत्पादनाचे मॉड्यूल मोजतो (2.3):

म्हणून, सूत्र (2.2 9) च्या मते, आम्हाला कृत्रिम कोनाचे कोसाइन मिळते

उदाहरण 2.10.कॉटेज चीज एक टन उत्पादनावर वापरल्या जाणार्या कमोडिटी आणि भौतिक स्रोतांचा खर्च तक्ता 2.2 (रु.) मध्ये दिलेला आहे.

कॉटेज चीज एक टन तयार करण्यासाठी या संसाधनांची एकूण किंमत किती आहे?

टेबल 2.2.

निर्णय. आम्ही दोन आवृत्त्या विचारात घेतो: प्रति टन उत्पादनांच्या किंमती आणि संबंधित स्त्रोतांच्या युनिटचे मूल्य वेक्टर खर्च.

मग . संसाधनांची एकूण किंमतव्हॅक्टरचे स्केलर उत्पादन काय आहे. सूत्र 2.3 नुसार सूत्र (2.28) त्यानुसार त्याची गणना करा:

अशा प्रकारे, कॉटेज चीज एक टन उत्पादन खर्च 279,541.5 rubles आहे

नोट. कार्यान्वित केलेल्या वेक्टरसह क्रिया उदाहरणार्थ 2.10 वैयक्तिक संगणकावर केली जाऊ शकतात. एमएस एक्सेलमधील व्हॅक्टरचे स्केलर उत्पादन शोधण्यासाठी, सिमसी () फंक्शन वापरा, जेथे मॅट्रिसच्या घटकांच्या श्रेणीचे पत्ते वितर्क म्हणून निर्दिष्ट केल्या आहेत, ज्या कार्याचे प्रमाण सापडले पाहिजे. Mathcad मध्ये, दोन vectors च्या स्केलर उत्पादन संबंधित मॅट्रिक्स टूलबार ऑपरेटर वापरून केले जाते

उदाहरण 2.11. सक्तीने केलेल्या कामाची गणना कराजर त्याच्या अनुप्रयोगाचा मुद्दा सरळ स्थितीतून हलवित असेल तर ए(2; 4; 6) स्थितीत ए(4; 2; 7). एक कोन कसे एबी निर्देशित शक्ती ?

निर्णय.आम्ही हलवून, त्याच्या शेवटच्या समन्वयकांमधून सल्फिंगचे वेक्टर शोधतोसुरूवातीचे समन्वय

. सूत्रानुसार (2.28) (कामाचे एकक).

कोन φ i च्या दरम्यान सूत्रानुसार (2.2 9) त्यानुसार शोधा

6. तीन अप्रत्यक्ष वेक्टरनिर्दिष्ट ऑर्डर फॉर्म मध्ये घेतलेउजवा troika, तिसऱ्या वेक्टरच्या शेवटी पाहिल्यास पहिल्या वेक्टर पासून सर्वात कमी रोटेशन द्वितीय वेक्टर करण्यासाठीपूर्ण counterclockwise, आणिलेव्ही घड्याळाच्या दिशेने.

वेक्टर कार्य वेक्टर वर वेक्टर वेक्टर म्हणतात खालील अटी संतुष्ट करणे:

– वेक्टर ते लंबदुभेत आणि;

- एक लांबी समान आहेकुठे φ - वेक्टर द्वारे तयार केलेला कोनआणि;

- vectors. उजवीकडे तीन (आकृती 2.15) तयार करा.

प्रमेय 2.4. दोन वेक्टरच्या उन्हाळ्यासाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती त्यांच्या वेक्टर कामाचे समानता शून्य आहे

प्रमेय 2.5. वेक्टर आर्टवर्क वेक्टरप्रजातींच्या तिसऱ्या क्रमाप्रमाणे त्यांच्या समन्वयाने परिभाषित केल्याप्रमाणे

(2.32)

टीप.निर्धारक (2.25) 7 निर्धारकांच्या मालमत्तेद्वारे नाकारले

Corellary 1.दोन वेक्टरच्या संयोगासाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती त्यांच्या संबंधित समन्वयांची संख्या आहे.

Corellary 2.सिंगल ऑर्टचे वेक्टरचे तुकडे समान आहेत

Corellary 3.कोणत्याही वेक्टरचे वेक्टर स्क्वेअर शून्य आहे

वेक्टर कामाचे भौमितिक व्याख्या हे असे आहे की परिणामी वेक्टरची लांबी अंशतः क्षेत्राच्या समान आहे एस त्याच सुरूवातीस दिलेल्या बाजूने गर्भाशयाच्या वेक्टरमध्ये बांधलेले समांतर. खरं तर, व्याख्यानुसार, वेक्टरचे वेक्टर आर्ट मॉड्यूल समान आहे. दुसरीकडे, वेक्टरमध्ये बांधलेल्या पॅरललोग्रामचे क्षेत्र आणि समान . म्हणून,

. (2.33)

तसेच, वेक्टर उत्पादनाचा वापर करून, आपण बिंदू आणि रेखीय संबंधित शक्तीचा क्षण निर्धारित करू शकता घनता वेग.

बिंदू मध्ये द्या ए लागू शक्ती ते जाऊ द्या ओ. - काही जागा (आकृती 2.16). भौतिकशास्त्राच्या कोर्सपासून ते ओळखले जाते शक्तीचा क्षण बिंदू संबंधित ओ. वेक्टर म्हणतात जे बिंदू माध्यमातून पास होतेओ. आणि खालील अटी संतुष्ट करते:

पॉइंट्सद्वारे प्रवास करणार्या विमानात लंबदुभाजक ओ., ए, बी;

त्याचे मॉड्यूल खांद्यावर सक्तीच्या कामाचे प्रमाण आहे.

- व्हॅक्टरसह योग्य ट्रायिका तयार करते आणि.

परिणामी, शक्ती क्षण बिंदू संबंधितओ. एक वेक्टर काम आहे

. (2.34)

लाइन वेग गुण एम.कठोर शरीर फिरवणे कोणीतरी वेगाने स्थिर अक्ष सुमारे फॉर्म्युला द्वारे निर्धारित आहे Euler, ओ. - काही निश्चित

एक अक्ष बिंदू (आकृती 2.17).

उदाहरण 2.12.त्रिकोण क्षेत्र शोधण्यासाठी वेक्टर उत्पादनाच्या मदतीने एबीसीवेक्टर मध्ये बांधलेएक सुरू दर्शविले.

मानक व्याख्या: "वेक्टर एक निर्देशित विभाग आहे." सहसा, हे वेक्टरबद्दल पदवीधरांच्या ज्ञानापर्यंत मर्यादित आहे. काही "निर्देशित विभाग" ची गरज आहे?

आणि खरं तर, व्हॅक्टर काय आहेत आणि ते का आहेत?
हवामान अंदाज. "वारा उत्तर-पश्चिम, 18 मीटर प्रति सेकंद वेग आहे." सहमत आहे, वायुशंस (जिथे ते बुडतो) आणि त्याच्या वेगाने मॉड्यूल (ते, परिपूर्ण मूल्य) च्या दिशेने सहमत आहे.

दिशानिर्देश नसलेल्या मूल्यांना स्केलर म्हटले जाते. मास, काम, इलेक्ट्रिक चार्ज कोठेही निर्देशित नाही. ते केवळ संख्यात्मक मूल्याने ओळखले जातात - "किती किलोग्राम" किंवा "किती जौल".

शारीरिक प्रमाणात जे केवळ परिपूर्ण मूल्य नसतात, परंतु दिशानिर्देश देखील वेक्टर म्हणतात.

वेग, शक्ती, प्रवेग - वेक्टर. त्यांच्यासाठी, "किती" आणि महत्वाचे "कुठे" महत्वाचे आहे. उदाहरणार्थ, फ्री पतन च्या प्रवेग पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर निर्देशित केले जाते आणि त्याचे मूल्य 9.8 मीटर / एस 2 आहे. पल्स, इलेक्ट्रिक फील्ड सामर्थ्य, चुंबकीय क्षेत्राचा प्रेरण - वेक्टर मूल्य देखील.

आपल्याला आठवते की भौतिक प्रमाणात अक्षरे, लॅटिन किंवा ग्रीकद्वारे दर्शविल्या जातात. पत्र वरील Aroogo दर्शवते की मूल्य वेक्टर आहे:

येथे दुसरे उदाहरण आहे.
कार एक मध्ये चालते. शेवटचा परिणाम म्हणजे पॉईंट ए पॉईंट बी ते पॉईंट बी, म्हणजे वेक्टरवर फिरत आहे .

आता स्पष्ट आहे की वेक्टर निर्देशित विभाग का आहे. लक्षात घ्या, वेक्टरचा शेवट तिथे बाण आहे. लांबी वेक्टर या विभागाची लांबी म्हणतात. Denotes: किंवा

आतापर्यंत, अंकगणित आणि प्राथमिक बीजगणित नियमांनुसार, आम्ही स्केलर मूल्यांसह कार्य केले आहे. वेक्टर - एक नवीन संकल्पना. हे गणितीय वस्तूंचे आणखी एक वर्ग आहे. त्यांच्यासाठी, त्यांचे स्वतःचे नियम.

एकदा आम्हाला संख्यांबद्दल माहित नव्हते. कनिष्ठ वर्गात त्यांच्याशी परिचित झाले. असे दिसून आले की ते संख्यांची तुलना एकमेकांना, कपात, गुणाकार आणि विभाजित केली जाऊ शकते. आम्ही शिकलो की एक संख्या एक आणि संख्या शून्य आहे.
आता आम्ही वेक्टरसह परिचित होतो.

व्हॅक्टरसाठी "अधिक" आणि "कमी" संकल्पना अस्तित्वात नाहीत - ते भिन्न दिशानिर्देश असू शकतात. आपण केवळ वेक्टरच्या लांबींची तुलना करू शकता.

परंतु वेक्टरसाठी समानतेची संकल्पना आहे.
समान समान लांबी आणि त्याच दिशेने व्हॅक्टर म्हणतात. याचा अर्थ असा आहे की वेक्टरला विमानात कुठेही समांतरपणे हस्तांतरित केले जाऊ शकते.
सिंगल वेक्टर म्हणतात, ज्याची लांबी 1 आहे. शून्य - वेक्टर, ज्याची लांबी शून्य आहे, ती आहे, ती सुरूवात शेवटी संपते.

आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये वेक्टरसह काम करणे सर्वात सोयीस्कर आहे - ज्या कार्यात कार्ये काढतात. समन्वय प्रणालीमधील प्रत्येक बिंदू दोन नंबरशी संबंधित आहे - त्याचे निर्देशांक एक्स आणि वाईचे समन्वय आणि सन्मान.
वेक्टरने दोन समन्वय देखील सेट केले:

येथे ब्रॅक्ट्समध्ये वेक्टरचे निर्देशांक रेकॉर्ड केले - एक्स आणि वाई द्वारे.
ते फक्त आहेत: वेक्टर मिन्ससच्या प्रारंभीचे समन्वय समाप्त.

जर वेक्टर समन्वय निर्दिष्ट केले असेल तर त्याची लांबी सूत्राद्वारे स्थित आहे

वेक्टर जोडणे

व्हॅक्टरच्या व्यतिरिक्त दोन मार्ग आहेत.

एक नियम समांतर. वेक्टरला पटविणे आणि आम्ही एकाच वेळी दोन्ही सुरूवात ठेवली. आपण समांतर आणि त्याच बिंदू पासून पूर्ण होईल आम्ही समांतरक्रमाचे कर्णमधे पार पाडतो. हे वेक्टरचे बेरीज असेल आणि.

हंस, कर्करोग आणि पाईक बद्दल फास्टनर लक्षात ठेवा? त्यांनी खूप प्रयत्न केला, परंतु दृश्यातून कधीही कधीही हलविली नाही. शेवटी, कारशी संलग्न असलेल्या सैन्याचे वेक्टर बेरीज शून्य होते.

2. वेक्टर जोडण्याचा दुसरा मार्ग एक त्रिकोण नियम आहे. त्याच vectors घ्या आणि. पहिल्या वेक्टरच्या शेवटी, मी दुसऱ्याच्या सुरूवातीस संलग्न करतो. आता दुसर्या पहिल्या आणि शेवटच्या सुरूवातीस कनेक्ट करा. हे वेक्टरचे बेरीज आहे आणि.

त्याचप्रमाणे, अनेक vectors folded जाऊ शकते. आम्ही त्यांना एक करून जोडतो आणि नंतर प्रथमच्या सुरुवातीच्या सुरुवातीस एकत्र करतो.

कल्पना करा की आपण बी मधील सी मधील ई आणि एफ मधील बी मधील बी सी मधील ए आणि एफ मधील परिच्छेद बी ते परिच्छेद बी पर्यंत जा. या कृतींचा शेवटचा परिणाम एफ मध्ये हलवित आहे.

वेक्टर जोडताना आणि मिळवा:

Vectors घट

वेक्टर उलट वेक्टरकडे पाठविला जातो. वेक्टरची लांबी समान आहेत.

आता वेक्टरचा कोणता घट आहे हे स्पष्ट आहे. वेक्टरमधील फरक वेक्टर व वेक्टरचा फरक आहे.

नंबरद्वारे वेक्टरचे गुणाकार

जेव्हा वेक्टर क्रमांक के गुणाकार करीत असेल तर वेक्टर प्राप्त होतो, ज्याची लांबी लांबीच्या भिन्न आहे. के जर मोठा असेल तर वेक्टर सह लेपित आहे आणि जर के शून्यपेक्षा कमी असेल तर.

स्केलर उत्पादन वेक्टर

व्हॅक्टर केवळ संख्येतच नव्हे तर एकमेकांवर देखील गुणा ठरवू शकतात.

वेक्टरचे स्केलर उत्पादन हे त्यांच्या दरम्यान कोसच्या कोसाइनच्या किनार्यावरील वेक्टरच्या लांबीचे उत्पादन आहे.

टीप - दोन वेक्टर हलविले आणि स्केलर बाहेर वळले, म्हणजे संख्या. उदाहरणार्थ, भौतिकशास्त्रात, यांत्रिक कार्य दोन वेक्टरच्या स्केलर उत्पादनाच्या समान आहे - दल आणि हालचाली:

जर वेक्टर लांबीचे असतील तर त्यांचे स्केलर उत्पादन शून्य आहे.
आणि येथे व्हॅक्टरच्या समन्वय माध्यमातून व्यक्त स्केलर उत्पादन आहे:

स्केलर उत्पादनासाठी सूत्रापासून, आपण वेक्टर दरम्यान कोन शोधू शकता:

हे सूत्र स्टिरिओमेट्रीमध्ये विशेषतः सोयीस्कर आहे. उदाहरणार्थ, गणितातील 14 प्रोफाइल परीक्षेच्या परीक्षेत, आपल्याला क्रॉस-जा थेट किंवा सरळ आणि विमानात दरम्यान कोन शोधण्याची आवश्यकता आहे. बर्याचदा, कार्य 14 क्लासिकपेक्षा बर्याच वेळा वेगाने वाढते.

गणितातील शाळेच्या कार्यक्रमात, केवळ वेक्टरचे स्केलर उत्पादन अभ्यास केले जात आहे.
असे दिसून येते की स्केलर वगळता वेक्टर उत्पादनाचे प्रमाण वाढते तेव्हा वेक्टर उत्पादन देखील आहे. भौतिकशास्त्रातील परीक्षा कोण देते, ते पालन करते, lorentz आणि अम्पर शक्ती काय आहे हे माहित आहे. या सैन्याला शोधण्यासाठी सूत्र व्हेक्टर आर्ट समाविष्ट आहे.

वेक्टर - उपयुक्त गणितीय साधन. यामध्ये आपण पहिल्या वर्षासाठी पहाल.

व्याख्या 1.जागा मध्ये वेक्टरदिशात्मक विभाग म्हणतात.

अशा प्रकारे, vixtors, स्केलर मूल्यांच्या विरूद्ध, दोन वैशिष्ट्ये आहेत: लांबी आणि दिशानिर्देश. आम्ही वेक्टर चिन्हे नियुक्त करू, किंवा परंतु .

(येथे परंतुआणि मध्ये- या वेक्टरची सुरुवात आणि समाप्ती (आकृती 1)) परंतु मध्ये

व्हेक्टरची लांबी मॉड्यूल चिन्हाद्वारे दर्शविली आहे: .परंतुआकृती क्रं 1

त्यांच्यात समानतेच्या गुणोत्तराने तीन प्रकारचे व्हॅक्टर्स परिभाषित केले आहेत:

उपवास vectorsते अनुक्रमे प्रारंभ आणि समाप्ती एकत्र केल्यास ते समान म्हणतात. अशा वेक्टरचे उदाहरण पॉवर वेक्टर आहे.

वेक्टर स्लाइडिंगते एक सरळ रेषेवर स्थित असल्यास, समान लांबी आणि दिशानिर्देश आहेत. अशा वेक्टरचे उदाहरण एक वेग आहे.

मुक्त किंवा भौमितिक vctorsसमांतर हस्तांतरणासह एकत्रित केले जाऊ शकते तर समान मानले जाते.

विश्लेषणात्मक भूमिती कोर्स चर्चा फक्तढीग vectors.

व्याख्या 2.वेक्टर, ज्याची लांबी शून्य आहे, असे म्हणतात शून्यवेक्टर, किंवा शून्य -

वेक्टर.

अर्थात, शून्य वेक्टर समागम सुरूवातीस आणि समाप्ती. शून्य वेक्टरमध्ये काही दिशा किंवा नाही कोणीहीदिशा.

व्याख्या 3.एक सरळ किंवा समांतर रेषांवर पडलेला दोन आवृत्त्या म्हणतात

कॉलिनर(चित्र 2). सूचित करा:
.ए

बी

व्याख्या 4.दोन collinear आणि समान निर्देशित व्हॅक्टर म्हणतात

सोनेसूचित करा:
.

आता आपण विनामूल्य वेक्टरच्या समानतेची कठोर ओळख देऊ शकता:

व्याख्या 5.दोन विनामूल्य वेक्टर समान आहेत, जर ते लेपित असतील आणि असतात

समान लांबी.

व्याख्या 6.एक किंवा समांतर विमानांमध्ये पडलेल्या तीन वेक्टर म्हणतात

तक्रार.

दोन लांबीचे वेक्टर कॉल परस्पर ऑर्थोगोनल:
.

व्याख्या 7.वेक्टर पृथक लांबी म्हणतात सिंगल वेक्टरकिंवा ऑर्ट

ऑर्ट, नॉनझेरो वेक्टरसह लेपित परंतु कॉल ऑरटा वेक्टरपरंतु :ई. ए .

§2. वेक्टरवर लाइन ऑपरेशन्स.

व्हॅक्टरच्या संचावर रेखीय ऑपरेशन्स: नंबरद्वारे वेक्टरचे वेक्टर आणि गुणाकार जोडणे.

Ictors व्यतिरिक्त.

2 वेक्टरची बेरीज वेक्टर असे म्हणतात, ज्याची सुरूवात प्रथम सुरुवातीच्या सुरूवातीस आणि दुसऱ्याच्या समाप्तीसह समाप्त होते, जे प्रथमच्या शेवटच्या शेवटी असते.

एल ईजीसीओ पहा की दोन वेक्टरची बेरीज

अशा प्रकारे (अंजीर 3 ए), वेक्टरच्या बेरीजशी जुळते,

पॅरललोग्राम (आकृती 6) च्या नियमानुसार बांधले. बी

तथापि, हा नियम आपल्याला तयार करण्यास परवानगी देतो ए

कोणत्याही व्हॅक्टरची बेरीज (आकृती 3 बी).

ए + बी

ए

बी ए + बी + सी

अंजीर. सी

दिशानिर्देशित विभागातील वेक्टर वेक्टर, I.E. सेगमेंट ज्यामध्ये त्याची सुरूवात आणि शेवट दर्शविली जाते. लांबी किंवा मॉड्यूल, वेक्टर ही संबंधित विभागाची लांबी आहे. वेक्टरची लांबी अनुक्रमे आहे. दोन वेक्टरला समान लांबी आणि दिशा असल्यासारखे म्हणतात. बिंदूच्या सुरूवातीस एक आणि शेवटच्या वेळी व्हेक्टरला सूचित केले जाते आणि बिंदूच्या सुरुवातीस बाणाने एक बाणाने दर्शविलेले आणि चित्रित केले जाते. आम्ही शून्य वेक्टर देखील विचारतो, जे शेवटी संपले . सर्व शून्य वेक्टर एकमेकांना समान मानले जातात. ते सूचित केले जातात आणि त्यांची लांबी शून्य असल्याचे मानली जाते.

वेक्टरसाठी वेक्टर व्युत्पन्न अतिरिक्त ऑपरेशन परिभाषित केले आहे. दोन वेक्टरला गुंडाळण्यासाठी आणि वेक्टर स्थगित केले जाते जेणेकरून ती वेक्टरच्या शेवटी जुळते. वेक्टर, ज्याचे मूळ वेक्टरच्या सुरूवातीस आणि शेवटच्या वेक्टरच्या शेवटी - वेक्टरचे बेरीज म्हटले जाते आणि सूचित केले जाते

टी वर वेक्टरच्या संख्येवरील वेक्टर गुणाकार टीवर सूचित केले आहे. परिभाषेनुसार, क्रमांक -1 मधील वेक्टरचे उत्पादन म्हणजे परिभाषेद्वारे वेक्टर म्हणून ओळखले जाते आणि वेक्टरच्या व्हेक्टरच्या उत्पादनास वेक्टर म्हणून विरुद्ध आहे, ज्याची संख्या आहे. समान आहे, आणि टी\u003e 0, आणि टी 0 च्या उलट असल्यास आणि टी विरुद्ध बदल असल्यास बदल समान राहतात.

वेक्टरच्या गुणधर्मांना वेक्टर म्हणतात, जे गुणधर्मांच्या मूल्यांची संख्या मोजण्यासाठी दर्शविल्या जातात, उदा. प्रॉपर्टी 1. (फॅशन). मालमत्ता 2. (प्रथम वितरण कायदा). मालमत्ता 3. (दुसरा वितरण कायदा).

परिभाषा

स्केलर मूल्य - संख्या जे संख्येने दर्शविले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, लांबी, क्षेत्र, वजन, तापमान इत्यादी.

वेक्टर दिशानिर्देशक सेगमेंट $ \\ ओव्हरलाइन (ए बी) $ म्हणतात; पॉईंट $ एक $ प्रारंभ आहे, पॉईंट $ बी $ म्हणजे वेक्टरचा शेवट (आकृती 1).

वेक्टर एकतर दोन मोठे अक्षरे दर्शवितात - त्याची सुरूवात आणि शेवट: $ \\ ओव्हरलाइन (ए बी) एकतर एक लहान अक्षरासह $ एकतर: $ \\ ओव्हरलाइन (ए) $.

परिभाषा

व्हेक्टरची सुरूवात आणि शेवट असल्यास अशा वेक्टरला म्हणतात शून्य. बर्याचदा, शून्य वेक्टरला $ \\ overline (0) $ म्हणून सूचित केले आहे.

वेक्टर म्हणतात कॉलिनरते एकतर सरळ रेषेवर झोपतात, एकतर समांतर सरळ रेषेवर (आकृती 2).

परिभाषा

दोन कोलेयर वेक्टर $ \\ overline (ए) $ आणि $ \\ overline (बी) $ म्हणतात पुण्यत्यांचे दिशानिर्देश एकत्र असल्यास: $ \\ overline (ए) \\ अपर्रो \\ अपर्रो \\ overline (बी) $ (आकृती 3, अ). दोन कोलेयर वेक्टर $ \\ overline (ए) $ आणि $ \\ overline (बी) $ म्हणतात योग्यरित्या निर्देशितजर त्यांचे दिशानिर्देश उलट असतील: $ \\ overline (ए) \\ अपर्रो \\ डाउनर्रो \\ ओव्हरलाइन (बी) $ (आकृती 3, बी).