संभाव्यतेच्या सिद्धांताची मूलभूत संकल्पना. संभाव्यतेच्या सिद्धांताचे नियम. संभाव्यता सिद्धांत आणि सिद्धांताच्या मूलभूत संकल्पना गणितीय संभाव्यतेचा सिद्धांत

कायद्यांचे सिद्धांत, जे तथाकथित अधीन आहेत. यादृच्छिक घटना. रशियन भाषेत समाविष्ट परदेशी शब्दांचा शब्दकोश. चुडीनोव ए.एन., 1910 ... रशियन भाषेतील परदेशी शब्दांचा शब्दकोश

संभाव्यता सिद्धांत- - [एल.जी. सुमेन्को. माहिती तंत्रज्ञानाचा इंग्रजी रशियन शब्दकोश. M.: GP TsNIIS, 2003.] विषय माहिती तंत्रज्ञानएकूण EN संभाव्यता सिद्धांत संभाव्यता गणनाचा सिद्धांत ... तांत्रिक अनुवादक मार्गदर्शक

संभाव्यता सिद्धांत- गणिताचा एक भाग आहे जो विविध घटनांच्या संभाव्यता (संभाव्यता आणि आकडेवारी पहा) यांच्यातील संबंधांचा अभ्यास करतो. आम्ही या विज्ञानाशी संबंधित सर्वात महत्त्वाच्या प्रमेयांची यादी करतो. अनेक विसंगत घटनांपैकी एकाची संभाव्यता समान आहे ... ... एफ.ए.चा एनसायक्लोपेडिक डिक्शनरी. Brockhaus आणि I.A. एफ्रॉन

संभाव्यतेचा सिद्धांत- गणितीय. एक विज्ञान जे काही यादृच्छिक घटनांच्या संभाव्यतेस अनुमती देते (पहा) c. l शी संबंधित यादृच्छिक घटनांच्या संभाव्यता शोधण्यासाठी. पहिल्या सह मार्ग. आधुनिक टीव्ही axiomatics वर आधारित (पहा. पद्धत स्वयंसिद्ध) A. N. Kolmogorov. चालू…… रशियन समाजशास्त्रीय विश्वकोश

संभाव्यता सिद्धांत- गणिताची एक शाखा, ज्यामध्ये, काही यादृच्छिक घटनांच्या दिलेल्या संभाव्यतेनुसार, इतर घटनांच्या संभाव्यता, काही प्रकारे पहिल्याशी संबंधित, आढळतात. संभाव्यता सिद्धांत यादृच्छिक चल आणि यादृच्छिक प्रक्रियांचा देखील अभ्यास करतो. मुख्य पैकी एक ...... आधुनिक नैसर्गिक विज्ञानाच्या संकल्पना. मूलभूत संज्ञांचा शब्दकोष

संभाव्यता सिद्धांत- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. संभाव्यता सिद्धांत vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. संभाव्यता सिद्धांत, f pranc. théorie des probabilités, f ... Fizikos terminų žodynas

संभाव्यता सिद्धांत- ... विकिपीडिया

संभाव्यता सिद्धांत- एक गणितीय शिस्त जी यादृच्छिक घटनेच्या नियमांचा अभ्यास करते ... आधुनिक नैसर्गिक विज्ञानाची सुरुवात

संभाव्यतेचा सिद्धांत- (संभाव्यता सिद्धांत) संभाव्यता पहा ... व्यापक स्पष्टीकरणात्मक समाजशास्त्रीय शब्दकोश

संभाव्यता सिद्धांत आणि त्याचे अनुप्रयोग- ("संभाव्यता सिद्धांत आणि त्याचे अनुप्रयोग",) यूएसएसआरच्या विज्ञान अकादमीच्या गणित विभागाचे वैज्ञानिक जर्नल. मूळ लेख प्रकाशित करते आणि लहान संदेशसंभाव्यता सिद्धांतावर, सामान्य समस्यागणितीय सांख्यिकी आणि त्यांचे नैसर्गिक विज्ञानातील अनुप्रयोग आणि ... ... ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया

पुस्तके

• संभाव्यता सिद्धांत. , Wentzel E.S .. हे पुस्तक एक पाठ्यपुस्तक आहे ज्यांना नियमित युनिव्हर्सिटी अभ्यासक्रमाच्या व्याप्तीमध्ये गणिताची माहिती आहे आणि ज्यांना संभाव्यतेच्या सिद्धांताच्या तांत्रिक अनुप्रयोगांमध्ये स्वारस्य आहे, 2056 UAH (केवळ युक्रेन) साठी खरेदी करा
• संभाव्यता सिद्धांत. , Wentzel E.S.. हे पुस्तक नियमित विद्यापीठ अभ्यासक्रमाच्या व्याप्तीमध्ये गणिताशी परिचित असलेल्या आणि संभाव्यता सिद्धांताच्या तांत्रिक अनुप्रयोगांमध्ये स्वारस्य असलेल्या व्यक्तींसाठी एक पाठ्यपुस्तक आहे.

संभाव्यता म्हणजे काय?

प्रथमच या संज्ञेचा सामना केला, मला ते काय आहे ते समजले नाही. म्हणून, मी ते सुलभ मार्गाने स्पष्ट करण्याचा प्रयत्न करेन.

संभाव्यता ही आपल्याला आवश्यक असलेली घटना घडण्याची संधी आहे.

उदाहरणार्थ, आपण एखाद्या मित्राला भेट देण्याचा निर्णय घेतला, प्रवेशद्वार आणि तो ज्या मजल्यावर राहतो तो देखील लक्षात ठेवा. पण मी अपार्टमेंटचा नंबर आणि लोकेशन विसरलो. आणि इथे तुम्ही जिन्यावर उभे आहात आणि तुमच्या समोर निवडण्यासाठी दरवाजे आहेत.

जर तुम्ही पहिला दरवाजा वाजवला तर तुमचा मित्र तुमच्यासाठी उघडेल अशी शक्यता (संभाव्यता) काय आहे? संपूर्ण अपार्टमेंट आणि मित्र त्यापैकी फक्त एकासाठी राहतो. आम्ही समान संधीने कोणताही दरवाजा निवडू शकतो.

पण ही संधी काय आहे?

दरवाजे, उजवीकडे दार. पहिला दरवाजा वाजवून अंदाज लावण्याची शक्यता :. म्हणजेच, तीनपैकी एक वेळ तुम्ही निश्चितपणे अंदाज लावाल.

आम्हाला एकदा फोन करून जाणून घ्यायचे आहे, आम्ही किती वेळा दरवाजाचा अंदाज लावू? चला सर्व पर्यायांचा विचार करूया:

1. तू आत बोलावलास १लादरवाजा
2. तू आत बोलावलास 2रादरवाजा
3. तू आत बोलावलास 3रादरवाजा

आता मित्र कुठे असू शकतात ते सर्व पर्याय पाहू:

a प्रति १लादारापाशी
b प्रति 2रादारापाशी
वि. प्रति 3रादारापाशी

चला टेबलच्या स्वरूपात सर्व पर्यायांची तुलना करूया. जेव्हा तुमची निवड मित्राच्या स्थानाशी, क्रॉसशी जुळते तेव्हा एक टिक पर्यायांना चिन्हांकित करते - जेव्हा ते जुळत नाही.

सगळं कसं बघतोस कदाचित पर्यायमित्राचे स्थान आणि कोणता दरवाजा वाजवावा याची तुमची निवड.

ए सर्वांचे अनुकूल परिणाम . म्हणजेच दारावरची बेल वाजवून तुम्ही वेळोवेळी अंदाज लावाल. ...

ही संभाव्यता आहे - अनुकूल परिणामाचे गुणोत्तर (जेव्हा तुमची निवड एखाद्या मित्राच्या स्थानाशी जुळते) संभाव्य घटनांच्या संख्येशी.

व्याख्या एक सूत्र आहे. संभाव्यता सहसा p म्हणून दर्शविली जाते, म्हणून:

असे सूत्र लिहिणे फारसे सोयीचे नाही, म्हणून आम्ही घेऊ - अनुकूल परिणामांची संख्या आणि साठी - एकूण निकालांची संख्या.

संभाव्यता टक्केवारी म्हणून लिहिली जाऊ शकते, यासाठी आपल्याला परिणामी परिणाम गुणाकार करणे आवश्यक आहे:

कदाचित "परिणाम" या शब्दाने तुमचे लक्ष वेधले असेल. गणितज्ञ विविध क्रियांना (आमच्या बाबतीत, अशी कृती म्हणजे दारावरची बेल वाजणारी) प्रयोग म्हणत असल्याने, अशा प्रयोगांचे परिणाम म्हणण्याची प्रथा आहे.

बरं, परिणाम अनुकूल आणि प्रतिकूल आहेत.

चला आपल्या उदाहरणाकडे परत जाऊया. समजा आम्ही एक दरवाजा वाजवला, पण एका अनोळखी व्यक्तीने तो आमच्यासाठी उघडला. आम्हाला अंदाज आला नाही. जर आपण उरलेल्या दारांपैकी एक वाजवला तर आपला मित्र आपल्यासाठी उघडेल याची शक्यता काय आहे?

जर तुम्हाला असे वाटले असेल तर ही चूक आहे. चला ते बाहेर काढूया.

आम्हाला दोन दरवाजे बाकी आहेत. अशा प्रकारे, आमच्याकडे संभाव्य चरण आहेत:

1) कॉल करा १लादरवाजा
२) कॉल करा 2रादरवाजा

मित्र, या सर्वांसह, त्यांच्यापैकी एकाच्या मागे नक्कीच आहे (आम्ही ज्याला बोलावले त्याच्या मागे तो नव्हता):

अ) साठी मित्र १लादारापाशी
ब) साठी मित्र 2रादारापाशी

चला पुन्हा सारणी काढू:

जसे आपण पाहू शकता, तेथे सर्व पर्याय आहेत, त्यापैकी अनुकूल आहेत. म्हणजेच संभाव्यता समान आहे.

का नाही?

आम्ही विचारात घेतलेल्या परिस्थिती - अवलंबून घटनांचे उदाहरण.पहिली घटना पहिली डोरबेल आहे, दुसरी घटना दुसरी डोरबेल आहे.

आणि त्यांना अवलंबित म्हटले जाते कारण ते पुढील क्रियांवर परिणाम करतात. शेवटी, जर पहिल्या रिंगनंतर एखाद्या मित्राने दार उघडले, तर तो इतर दोनपैकी एकाच्या मागे असल्याची संभाव्यता किती असेल? बरोबर, .

पण जर अवलंबित घटना असतील, तर ते असलेच पाहिजेत स्वतंत्र? खरे, आहेत.

पाठ्यपुस्तकातील उदाहरण म्हणजे नाणे फेकणे.

1. एकदा नाणे फेकून द्या. संभाव्यता काय आहे की, उदाहरणार्थ, डोके बाहेर येतील? ते बरोबर आहे - कारण प्रत्येक गोष्टीसाठी पर्याय (एकतर डोके किंवा शेपटी, आम्ही नाणे काठावर उभे राहण्याच्या संभाव्यतेकडे दुर्लक्ष करतो), परंतु केवळ आपल्यासाठी अनुकूल आहे.
2. पण तो शेपूट वर आला. ठीक आहे, आणखी एकदा फेकून देऊ. डोके मिळण्याची सध्याची संभाव्यता किती आहे? काहीही बदलले नाही, सर्व काही समान आहे. किती पर्याय? दोन. ते आम्हाला किती अनुकूल आहे? एक.

आणि ते सलग एक हजार वेळा शेपूट वर येऊ द्या. एका वेळी डोके मिळण्याची शक्यता समान असेल. नेहमीच पर्याय असतात, परंतु अनुकूल असतात.

अवलंबून असलेल्या घटनांना स्वतंत्र घटनांपासून वेगळे करणे सोपे आहे:

1. जर प्रयोग एकदाच केला गेला (एकदा नाणे फेकले, एकदा दाराची बेल वाजवली, इ.), तर घटना नेहमीच स्वतंत्र असतात.
2. जर प्रयोग अनेक वेळा केला गेला (नाणे एकदा फेकले गेले, दाराची बेल अनेक वेळा वाजली), तर पहिली घटना नेहमीच स्वतंत्र असते. आणि मग, अनुकूल संख्या किंवा सर्व परिणामांची संख्या बदलल्यास, घटना अवलंबून असतात, आणि नसल्यास, ते स्वतंत्र असतात.

चला संभाव्यता निश्चित करण्याचा थोडासा सराव करूया.

उदाहरण १.

नाणे दोनदा फेकले जाते. सलग दोनदा डोके आपटण्याची संभाव्यता किती आहे?

उपाय:

चला सर्व संभाव्य पर्यायांचा विचार करूया:

1. गरुड-गरुड
2. डोके-शेपटी
3. डोके-शेपटी
4. शेपटी-शेपटी

जसे आपण पाहू शकता, संपूर्ण पर्याय. यापैकी, फक्त आम्हाला सूट. म्हणजेच, संभाव्यता:

जर स्थितीला फक्त संभाव्यता शोधण्यासाठी विचारले असेल, तर उत्तर दशांश अपूर्णांकाच्या स्वरूपात दिले पाहिजे. उत्तरे टक्केवारीप्रमाणे द्यावीत असे सूचित केले असेल तर आपण गुणाकार करू.

उत्तर:

उदाहरण २.

चॉकलेटच्या बॉक्समध्ये, सर्व चॉकलेट एकाच रॅपरमध्ये पॅक केले जातात. तथापि, मिठाईपासून - नट, कॉग्नाक, चेरी, कारमेल आणि नौगटसह.

संभाव्यता काय आहे, एक कँडी घेऊन, काजू सह एक कँडी मिळविण्यासाठी. तुमचे उत्तर टक्केवारीनुसार द्या.

उपाय:

किती संभाव्य परिणाम आहेत? ...

म्हणजेच, एक कँडी घेतल्यास, ती बॉक्समधील एक असेल.

किती अनुकूल परिणाम?

कारण बॉक्समध्ये फक्त नटांसह चॉकलेट्स असतात.

उत्तर:

उदाहरण ३.

बॉल्सच्या बॉक्समध्ये. त्यापैकी पांढरा, - काळा.

1. पांढरा चेंडू बाहेर काढण्याची संभाव्यता किती आहे?
2. आम्ही बॉक्समध्ये आणखी काळे गोळे जोडले आहेत. आता पांढरा चेंडू बाहेर काढण्याची शक्यता किती आहे?

उपाय:

अ) बॉक्समध्ये सर्व बॉल आहेत. यापैकी, पांढरा.

संभाव्यता समान आहे:

b) आता बॉक्समध्ये गोळे आहेत. आणि गोरे समान संख्या राहिले -.

उत्तर:

पूर्ण संभाव्यता

सर्व संभाव्य घटनांची संभाव्यता () आहे.

चला लाल आणि हिरव्या बॉलच्या बॉक्समध्ये म्हणूया. लाल चेंडू बाहेर काढण्याची संभाव्यता किती आहे? हिरवा चेंडू? लाल की हिरवा चेंडू?

लाल चेंडू खेचण्याची शक्यता

हिरवा चेंडू:

लाल किंवा हिरवा चेंडू:

तुम्ही बघू शकता, सर्व संभाव्य घटनांची बेरीज () आहे. हा क्षण समजून घेतल्यास अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यात मदत होईल.

उदाहरण ४.

बॉक्समध्ये मार्कर आहेत: हिरवा, लाल, निळा, पिवळा, काळा.

नॉट लाल फील्ट-टिप पेन बाहेर काढण्याची संधी काय आहे?

उपाय:

चला रक्कम मोजूया अनुकूल परिणाम.

लाल मार्कर नाही, याचा अर्थ हिरवा, निळा, पिवळा किंवा काळा असा होतो.

सर्व घटनांची संभाव्यता. आणि घटनांची संभाव्यता ज्याला आम्ही प्रतिकूल मानतो (जेव्हा आम्ही लाल वाटले-टिप पेन बाहेर काढतो) -.

अशा प्रकारे, लाल नसलेले वाटले-टिप पेन बाहेर काढण्याची संभाव्यता आहे.

उत्तर:

घटना घडणार नाही याची संभाव्यता घटना घडण्याची संभाव्यता वजा करण्याइतकी आहे.

स्वतंत्र घटनांच्या संभाव्यतेचा गुणाकार करण्याचा नियम

स्वतंत्र घटना काय आहेत हे तुम्हाला आधीच माहीत आहे.

पण जर तुम्हाला दोन (किंवा अधिक) स्वतंत्र घटना सलग घडण्याची शक्यता शोधायची असेल तर?

आपण नाणे एकदा फ्लिप केल्यावर आपल्याला दोनदा गरुड दिसण्याची शक्यता काय आहे हे जाणून घेऊया?

आम्ही आधीच मोजले आहे -.

आणि जर आपण नाणे एकदा फ्लिप केले तर? एका ओळीत गरुड पाहण्याची संभाव्यता किती आहे?

सर्व संभाव्य पर्यायः

1. गरुड-गरुड-गरुड
2. डोके-डोके-शेपटी
3. डोके-शेपटी-डोके
4. डोके-शेपटी-शेपटी
5. शेपटी-डोके-डोके
6. शेपटी-डोके-शेपटी
7. शेपटी-शेपटी-डोके
8. शेपटी-शेपटी-शेपटी

मला तुमच्याबद्दल माहिती नाही, पण ही यादी बनवताना मी एकदा चूक केली होती. व्वा! आणि फक्त पर्याय (प्रथम) आम्हाला अनुकूल आहे.

5 थ्रोसाठी, आपण स्वतः संभाव्य परिणामांची यादी तयार करू शकता. पण गणितज्ञ तुमच्यासारखे कष्टाळू नाहीत.

म्हणून, त्यांनी प्रथम लक्षात घेतले आणि नंतर सिद्ध केले की स्वतंत्र घटनांच्या विशिष्ट क्रमाची संभाव्यता प्रत्येक वेळी एका घटनेच्या संभाव्यतेने कमी होते.

दुसऱ्या शब्दात,

त्याच दुर्दैवी नाण्याच्या उदाहरणाचा विचार करा.

आव्हानात डोके मिळण्याची शक्यता? ... आता आपण एकदा नाणे फ्लिप करतो.

सलग एकदा डोके आपटण्याची संभाव्यता किती आहे?

हीच घटना सलग अनेक वेळा घडण्याची संभाव्यता शोधण्यास सांगितले तरच हा नियम कार्य करत नाही.

जर आम्हाला सलग फेकण्यासाठी GRIP-EAGLE-GRILLE क्रम शोधायचा असेल तर आम्ही तेच करू.

शेपटी मिळण्याची शक्यता -, डोके -.

GRILLE-EAGLE-GRILLE-GRILLE या क्रमातून बाहेर पडण्याची शक्यता:

टेबल बनवून तुम्ही ते स्वतः तपासू शकता.

विसंगत घटनांच्या संभाव्यता जोडण्याचा नियम.

तर थांबा! नवीन व्याख्या.

चला ते बाहेर काढूया. आमचे जीर्ण झालेले नाणे घ्या आणि ते एकदा फेकून द्या.
संभाव्य पर्याय:

1. गरुड-गरुड-गरुड
2. डोके-डोके-शेपटी
3. डोके-शेपटी-डोके
4. डोके-शेपटी-शेपटी
5. शेपटी-डोके-डोके
6. शेपटी-डोके-शेपटी
7. शेपटी-शेपटी-डोके
8. शेपटी-शेपटी-शेपटी

तर, विसंगत घटना हा घटनांचा एक निश्चित, पूर्वनिर्धारित क्रम आहे. विसंगत घटना आहेत.

दोन (किंवा अधिक) विसंगत घटनांची संभाव्यता काय आहे हे निर्धारित करायचे असल्यास, आम्ही या घटनांच्या संभाव्यता जोडतो.

आपल्याला हे समजून घेणे आवश्यक आहे की डोके किंवा शेपटी पडणे या दोन स्वतंत्र घटना आहेत.

जर आपल्याला क्रमाची संभाव्यता काय आहे हे ठरवायचे असेल (किंवा इतर), तर आपण संभाव्यतेच्या गुणाकाराचा नियम वापरतो.
पहिल्या थ्रोवर आणि दुसऱ्या आणि तिसऱ्या शेपटीवर डोके मिळण्याची संभाव्यता काय आहे?

परंतु जर आपल्याला हे जाणून घ्यायचे असेल की अनेक अनुक्रमांपैकी एक मिळण्याची संभाव्यता काय आहे, उदाहरणार्थ, जेव्हा हेड एकदाच बाहेर पडतात, म्हणजे. पर्याय आणि, नंतर आपल्याला या क्रमांची संभाव्यता जोडावी लागेल.

सर्व पर्याय आमच्यासाठी योग्य आहेत.

प्रत्येक क्रमाची संभाव्यता जोडून आपण समान गोष्ट मिळवू शकतो:

अशा प्रकारे, जेव्हा आम्हाला घटनांच्या काही विसंगत अनुक्रमांची संभाव्यता निर्धारित करायची असते तेव्हा आम्ही संभाव्यता जोडतो.

गुणाकार केव्हा करायचा आणि कधी जोडायचा हे संभ्रम टाळण्यात मदत करण्यासाठी एक चांगला नियम आहे:

आपण एकदा नाणे फ्लिप केले तेव्हाच्या उदाहरणाकडे परत जाऊ आणि आपल्याला एकदा डोके दिसण्याची संभाव्यता जाणून घ्यायची आहे.
काय होणार आहे?

सोडले पाहिजे:
(डोके आणि शेपटी आणि शेपटी) किंवा (शेपटी आणि डोके आणि शेपटी) किंवा (शेपटी आणि शेपटी आणि डोके).
तर ते बाहेर वळते:

चला काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण ५.

बॉक्समध्ये पेन्सिल असतात. लाल, हिरव्या भाज्या, संत्रा आणि पिवळे आणि काळे. लाल किंवा हिरव्या पेन्सिल बाहेर काढण्याची शक्यता काय आहे?

उपाय:

काय होणार आहे? आम्हाला बाहेर काढावे लागेल (लाल किंवा हिरवा).

आता हे स्पष्ट आहे, आम्ही या घटनांच्या संभाव्यता जोडतो:

उत्तर:

उदाहरण 6.

फासे दोनदा गुंडाळले जातात, एकूण 8 गुणांची शक्यता किती आहे?

उपाय.

आम्ही गुण कसे मिळवू शकतो?

(आणि) किंवा (आणि) किंवा (आणि) किंवा (आणि) किंवा (आणि).

एका (कोणत्याही) चेहऱ्यावरून पडण्याची शक्यता -.

आम्ही संभाव्यतेची गणना करतो:

उत्तर:

व्यायाम.

मला वाटते की संभाव्यता कधी मोजायची, त्यांना कधी जोडायचे आणि त्यांचा गुणाकार कधी करायचा हे आता तुम्हाला स्पष्ट झाले आहे. नाही का? चला थोडा सराव करूया.

कार्ये:

चला एक कार्ड डेक घेऊ, ज्यामध्ये कुदळ, हृदय, 13 क्लब आणि 13 हिरे यांचा समावेश आहे. प्रत्येक सूट च्या एक्का पासून.

1. सलग क्लब काढण्याची संभाव्यता किती आहे (आम्ही पहिले काढलेले कार्ड परत डेकमध्ये ठेवतो आणि ते बदलतो)?
2. काळे कार्ड (कुदळ किंवा क्लब) काढण्याची संभाव्यता काय आहे?
3. चित्र (जॅक, राणी, राजा किंवा निपुण) खेचण्याची संभाव्यता किती आहे?
4. सलग दोन चित्रे काढण्याची संभाव्यता किती आहे (आम्ही डेकमधून पहिले काढलेले कार्ड काढून टाकतो)?
5. संभाव्यता काय आहे, दोन कार्डे घेतल्याने, एक संयोजन गोळा करण्यासाठी - (जॅक, राणी किंवा राजा) आणि एक इक्का कार्ड कोणत्या क्रमाने काढले जातील याने काही फरक पडत नाही.

उत्तरे:

1. डेकमध्ये, प्रत्येक रँकची कार्डे म्हणजे:
2. इव्हेंट्स अवलंबून असतात, कारण पहिले कार्ड काढल्यानंतर, डेकमधील कार्ड्सची संख्या कमी झाली आहे (तसेच "चित्रांची संख्या"). सुरुवातीला डेकमध्ये एकूण जॅक, राणी, राजा आणि एसेस, याचा अर्थ "चित्र" काढण्यासाठी प्रथम कार्डची संभाव्यता:

   आम्ही डेकमधून पहिले कार्ड काढत असल्याने, याचा अर्थ असा आहे की डेकमध्ये आधीच एक कार्ड आहे, ज्यामध्ये चित्रे आहेत. दुसऱ्या कार्डसह चित्र काढण्याची शक्यता:

   जेव्हा आम्ही डेकमधून येतो तेव्हा आम्हाला त्या परिस्थितीत रस असतो: "चित्र" आणि "चित्र", तर आम्हाला संभाव्यता गुणाकार करणे आवश्यक आहे:

   उत्तर:

3. पहिले कार्ड काढल्यानंतर, डेकमधील कार्ड्सची संख्या कमी होईल, म्हणून आमच्याकडे दोन पर्याय आहेत:
   1) पहिल्या कार्डसह आम्ही निपुण काढतो, दुसरा - जॅक, राणी किंवा राजा
   2) पहिल्या कार्डसह आम्ही एक जॅक, राणी किंवा राजा काढतो, दुसरा - एक निपुण. (ऐस आणि (जॅक किंवा राणी किंवा राजा)) किंवा ((जॅक किंवा राणी किंवा राजा) आणि निपुण). डेकमधील कार्ड्सची संख्या कमी करण्याबद्दल विसरू नका!

जर तुम्ही स्वतः सर्व समस्या सोडवू शकलात, तर तुम्ही एक महान सहकारी आहात! आता तुम्ही परीक्षेतील संभाव्यतेच्या सिद्धांतावरील समस्यांवर क्लिक कराल!

संभाव्यतेचा सिद्धांत. सरासरी पातळी

एक उदाहरण पाहू. समजा आम्ही डाय रोल करतो. हे कोणत्या प्रकारचे हाड आहे, तुम्हाला माहिती आहे? हे कडांवर संख्या असलेल्या घनाचे नाव आहे. किती चेहरे, किती संख्या: ते किती? आधी.

तर, आम्ही डाय रोल करतो आणि रोल करू इच्छितो किंवा. आणि तो आपल्याला पडतो.

संभाव्यता म्हणते काय झाले अनुकूल घटना(समृद्ध सह गोंधळून जाऊ नये).

ती पडली तर प्रसंगही अनुकूल होईल. एकूण, फक्त दोन अनुकूल घटना घडू शकतात.

आणि किती प्रतिकूल आहेत? सर्व संभाव्य घटना असल्याने, याचा अर्थ असा आहे की प्रतिकूल घटना त्यांच्यामध्ये आहेत (हे बाहेर पडल्यास किंवा).

व्याख्या:

संभाव्यता म्हणजे सर्व संभाव्य घटनांच्या संख्येशी अनुकूल घटनांच्या संख्येचे गुणोत्तर... म्हणजेच, संभाव्यता दर्शवते की सर्व संभाव्य घटनांचे प्रमाण किती अनुकूल आहे.

ते लॅटिन अक्षराने संभाव्यता दर्शवितात (वरवर पाहता, पासून इंग्रजी शब्दसंभाव्यता - संभाव्यता).

टक्केवारी म्हणून संभाव्यता मोजण्याची प्रथा आहे (विषय आणि पहा). हे करण्यासाठी, संभाव्यता मूल्याने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. फासे उदाहरणात, संभाव्यता.

आणि टक्केवारी म्हणून:.

उदाहरणे (स्वतःसाठी ठरवा):

1. नाणे फ्लिप करताना डोके मिळण्याची शक्यता किती आहे? शेपूट वर येण्याची शक्यता किती आहे?
2. डायवर सम संख्या आणण्याची संभाव्यता किती आहे? आणि ज्यासह - विषम?
3. पेन्सिल, निळ्या आणि लाल पेन्सिलच्या बॉक्समध्ये. यादृच्छिकपणे एक पेन्सिल काढा. एक साधा बाहेर काढण्याची संभाव्यता काय आहे?

उपाय:

1. किती पर्याय आहेत? डोके आणि शेपटी फक्त दोन आहेत. त्यापैकी किती अनुकूल आहेत? फक्त एक गरुड आहे. त्यामुळे संभाव्यता

   हे शेपटी सारखेच आहे:.

2. एकूण पर्याय: (क्यूबला किती बाजू आहेत, इतके भिन्न पर्याय). अनुकूल: (हे सर्व सम संख्या आहेत :).
   संभाव्यता. विचित्र सह, अर्थातच, समान गोष्ट.
3. एकूण: . अनुकूल:. संभाव्यता: .

पूर्ण संभाव्यता

ड्रॉवरमधील सर्व पेन्सिल हिरव्या आहेत. लाल पेन्सिल बाहेर काढण्याची संभाव्यता किती आहे? कोणतीही संधी नाही: संभाव्यता (सर्व केल्यानंतर, अनुकूल घटना -).

अशा घटनेला असंभव म्हणतात.

हिरवी पेन्सिल बाहेर काढण्याची संभाव्यता किती आहे? एकूण घटनांइतक्याच अनुकूल घटना आहेत (सर्व घटना अनुकूल आहेत). म्हणून, संभाव्यता समान आहे किंवा.

अशा घटनेला विश्वसनीय म्हणतात.

बॉक्समध्ये हिरव्या आणि लाल पेन्सिल असल्यास, हिरवा किंवा लाल काढण्याची संधी काय आहे? तरीही पुन्हा. ही गोष्ट लक्षात घ्या: हिरवा खेचण्याची संभाव्यता समान आहे आणि लाल आहे.

बेरीज मध्ये, या संभाव्यता अगदी समान आहेत. ते आहे, सर्व संभाव्य घटनांच्या संभाव्यतेची बेरीज किंवा समान आहे.

उदाहरण:

पेन्सिलच्या बॉक्समध्ये, त्यापैकी निळा, लाल, हिरवा, साधा, पिवळा आणि बाकीचे नारिंगी आहेत. हिरवा न खेचण्याची संभाव्यता काय आहे?

उपाय:

लक्षात ठेवा की सर्व संभाव्यता जोडल्या जातात. आणि हिरवा खेचण्याची संभाव्यता समान आहे. याचा अर्थ असा की हिरवा खेचत नसण्याची संभाव्यता समान आहे.

ही युक्ती लक्षात ठेवा:घटना घडणार नाही याची संभाव्यता घटना घडण्याची संभाव्यता वजा करण्याइतकी आहे.

स्वतंत्र घटना आणि गुणाकार नियम

तुम्ही नाणे एकदाच फ्लिप करा आणि दोन्ही वेळा डोके पडावे असे तुम्हाला वाटते. हे घडण्याची शक्यता काय आहे?

चला सर्व संभाव्य पर्यायांचा विचार करूया आणि त्यात किती आहेत ते ठरवूया:

डोके-डोके, डोके-डोके, डोके-डोके, डोके-डोके. अजून काय?

संपूर्ण पर्याय. यापैकी, फक्त एक आमच्यासाठी योग्य आहे: ईगल-ईगल. एकूण, संभाव्यता आहे.

चांगले. आणि आता आम्ही एकदा नाणे फेकतो. ते स्वतः मोजा. घडले? (उत्तर).

तुमच्या लक्षात आले असेल की प्रत्येक पुढील थ्रोच्या जोडीने, संभाव्यता काही वेळा कमी होते. सामान्य नियमम्हणतात गुणाकार नियम:

स्वतंत्र घटनांच्या संभाव्यता बदलतात.

स्वतंत्र घटना काय आहेत? सर्व काही तार्किक आहे: हे असे आहेत जे एकमेकांवर अवलंबून नाहीत. उदाहरणार्थ, जेव्हा आपण एखादे नाणे अनेक वेळा नाणेफेक करतो, तेव्हा प्रत्येक वेळी नवीन टॉस केला जातो, ज्याचा परिणाम मागील सर्व टॉसवर अवलंबून नसतो. आपण एकाच वेळी दोन भिन्न नाणी फ्लिप करू शकतो.

अधिक उदाहरणे:

1. फासे दोनदा गुंडाळले जातात. दोन्ही वेळा गुंडाळले जाण्याची शक्यता किती आहे?
2. नाणे एकदा फेकले जाते. ते प्रथम डोके आणि नंतर दोनदा शेपूट उतरण्याची शक्यता काय आहे?
3. खेळाडू दोन फासे फिरवतो. त्यांच्यावरील संख्यांची बेरीज समान असण्याची संभाव्यता किती आहे?

उत्तरे:

1. घटना स्वतंत्र आहेत, याचा अर्थ गुणाकार नियम कार्य करतो:.
2. गरुडाची संभाव्यता आहे. पुच्छांची शक्यता देखील आहे. आम्ही गुणाकार करतो:
3. 12 फक्त दोन -की आणले तरच मिळू शकतात:.

विसंगत घटना आणि अतिरिक्त नियम

विसंगत घटनांना अशा घटना म्हणतात ज्या पूर्ण संभाव्यतेसाठी एकमेकांना पूरक असतात. नावाप्रमाणेच, ते एकाच वेळी होऊ शकत नाहीत. उदाहरणार्थ, जर आपण नाणे फ्लिप केले तर ते डोके किंवा शेपटी वर येऊ शकते.

उदाहरण.

पेन्सिलच्या बॉक्समध्ये, त्यापैकी निळा, लाल, हिरवा, साधा, पिवळा आणि बाकीचे नारिंगी आहेत. हिरवा किंवा लाल खेचण्याची संभाव्यता काय आहे?

उपाय .

हिरवी पेन्सिल बाहेर काढण्याची शक्यता आहे. लाल -.

सर्वांमध्ये शुभ घटना: हिरवा + लाल. याचा अर्थ असा की हिरवा किंवा लाल बाहेर काढण्याची संभाव्यता समान आहे.

समान संभाव्यता खालीलप्रमाणे दर्शविली जाऊ शकते:

हा जोडण्याचा नियम आहे:विसंगत घटनांची शक्यता वाढते.

संमिश्र समस्या

उदाहरण.

नाणे दोनदा फेकले जाते. थ्रोचा परिणाम वेगळा असण्याची शक्यता काय आहे?

उपाय .

याचा अर्थ असा की जर पहिली हिट डोक्यावर असेल तर दुसरी शेपटी असावी आणि उलट. असे दिसून आले की स्वतंत्र घटनांच्या दोन जोड्या आहेत आणि या जोड्या एकमेकांशी विसंगत आहेत. गोंधळात कसे पडायचे नाही, कुठे गुणाकार करायचा आणि कुठे जोडायचे.

या परिस्थितींसाठी थंबचा एक साधा नियम आहे. घटनांना AND किंवा OR सह जोडून काय घडणार आहे याचे वर्णन करण्याचा प्रयत्न करा. उदाहरणार्थ, या प्रकरणात:

वर आले पाहिजे (डोके आणि शेपटी) किंवा (शेपटी आणि डोके).

जेथे "आणि" संयोग असेल तेथे गुणाकार असेल आणि जेथे "किंवा" - जोड असेल:

हे स्वतः वापरून पहा:

1. नाण्याच्या दोन टॉसवर दोन्ही वेळी एकच बाजू उतरण्याची शक्यता किती?
2. फासे दोनदा गुंडाळले जातात. एकूण गुण असण्याची संभाव्यता किती आहे?

उपाय:

1. (डोके पडले आणि डोके पडले) किंवा (शेपटी पडले आणि शेपटी पडले):.
2. पर्याय काय आहेत? आणि मग:
   बाहेर पडले (आणि) किंवा (आणि) किंवा (आणि):.

दुसरे उदाहरण:

आम्ही एकदा नाणे फेकतो. किमान एकदा डोके बाहेर येण्याची शक्यता किती आहे?

उपाय:

अगं, तुम्हाला पर्यायांमधून कसे जायचे नाही ... हेड्स-टेल्स-टेल्स, हेड्स-हेड्स-टेल्स, ... आणि नको! आम्हाला पूर्ण संभाव्यता आठवते. आठवले? एक गरुड की संभाव्यता काय आहे एकदाही टाकले जाणार नाही? हे सोपे आहे: शेपटी सर्व वेळ उडत आहेत, म्हणून.

संभाव्यतेचा सिद्धांत. मुख्य बद्दल थोडक्यात

संभाव्यता म्हणजे सर्व संभाव्य घटनांच्या संख्येशी अनुकूल घटनांच्या संख्येचे गुणोत्तर.

स्वतंत्र घटना

दोन घटना स्वतंत्र आहेत जर एकाच्या घटनेने दुसर्‍याच्या घटनेची संभाव्यता बदलली नाही.

पूर्ण संभाव्यता

सर्व संभाव्य घटनांची संभाव्यता () आहे.

घटना घडणार नाही याची संभाव्यता घटना घडण्याची संभाव्यता वजा करण्याइतकी आहे.

स्वतंत्र घटनांच्या संभाव्यतेचा गुणाकार करण्याचा नियम

स्वतंत्र घटनांच्या एका विशिष्ट क्रमाची संभाव्यता प्रत्येक घटनांच्या संभाव्यतेच्या गुणानुरूप असते.

विसंगत घटना

विसंगत घटनांना अशा घटना म्हणतात ज्या प्रयोगाच्या परिणामी एकाच वेळी घडू शकत नाहीत. अनेक विसंगत घटना घटनांचा एक संपूर्ण समूह तयार करतात.

विसंगत घटनांची शक्यता वाढते.

काय घडले पाहिजे याचे वर्णन केल्यावर, "AND" किंवा "OR" या संयोगांचा वापर करून, "AND" ऐवजी आम्ही गुणाकाराचे चिन्ह ठेवले आणि "OR" ऐवजी - जोड.

उर्वरित 2/3 लेख फक्त तुमच्या विद्यार्थ्यांसाठी उपलब्ध आहेत!

YouClever विद्यार्थी व्हा,

"दर महिन्याला एक कप कॉफी" या किमतीत OGE किंवा गणितात वापरा.

आणि "YouClever" पाठ्यपुस्तक, "100gia" प्रशिक्षण कार्यक्रम (reshebnik), अमर्यादित चाचणी USE आणि OGE, समाधानांच्या विश्लेषणासह 6000 समस्या आणि इतर YouClever आणि 100gia सेवांमध्ये अमर्यादित प्रवेश देखील मिळवा.

परिचय

आपल्या संकल्पना कमकुवत असल्यामुळे अनेक गोष्टी आपल्याला समजत नाहीत;
परंतु कारण या गोष्टी आपल्या संकल्पनांच्या श्रेणीत समाविष्ट नाहीत.
कोझमा प्रुत्कोव्ह

दुय्यम विशेष शैक्षणिक संस्थांमध्ये गणिताचा अभ्यास करण्याचे मुख्य उद्दिष्ट विद्यार्थ्यांना गणिताचे ज्ञान आणि कौशल्ये प्रदान करणे हे आहे जे काही प्रमाणात गणिताचा वापर करणाऱ्या इतर कार्यक्रम विषयांचा अभ्यास करण्यासाठी, व्यावहारिक गणना करण्याची क्षमता, निर्मिती आणि विकासासाठी आवश्यक आहे. तार्किक विचार.

हे कार्य सातत्याने गणिताच्या विभागातील सर्व मूलभूत संकल्पनांचा परिचय करून देते "संभाव्यतेच्या सिद्धांताची मूलभूत तत्त्वे आणि गणितीय सांख्यिकी" कार्यक्रमाद्वारे प्रदान केलेले आणि माध्यमिक व्यावसायिक शिक्षणाचे राज्य शैक्षणिक मानके (रशियन फेडरेशनचे शिक्षण मंत्रालय. एम., 2002). ), मुख्य प्रमेय तयार करते, त्यापैकी बहुतेक सिद्ध झालेले नाहीत ... त्यांच्या निराकरणासाठी मुख्य कार्ये आणि पद्धती आणि व्यावहारिक समस्या सोडवण्यासाठी या पद्धती लागू करण्यासाठी तंत्रज्ञानाचा विचार केला जातो. सादरीकरण तपशीलवार टिप्पण्या आणि असंख्य उदाहरणांसह आहे.

पद्धतशीर सूचनांचा वापर अभ्यास केलेल्या सामग्रीशी प्रारंभिक परिचय, व्याख्यानांच्या नोट्स घेताना, व्यावहारिक व्यायामाची तयारी करण्यासाठी, प्राप्त ज्ञान, क्षमता आणि कौशल्ये एकत्रित करण्यासाठी केला जाऊ शकतो. याशिवाय, मॅन्युअल ज्येष्ठ विद्यार्थ्यांसाठी संदर्भ साधन म्हणून उपयुक्त ठरेल जे तुम्हाला पूर्वी काय अभ्यासले होते ते पटकन आठवू देते.

कामाच्या शेवटी, उदाहरणे आणि असाइनमेंट दिले जातात जे विद्यार्थी स्वयं-नियंत्रण मोडमध्ये करू शकतात.

पद्धतशीर सूचना अर्धवेळ आणि पूर्ण-वेळ शिक्षणाच्या विद्यार्थ्यांसाठी आहेत.

मूलभूत संकल्पना

संभाव्यता सिद्धांत वस्तुमान यादृच्छिक घटनांच्या वस्तुनिष्ठ नियमांचा अभ्यास करतो. हे गणितीय आकडेवारीसाठी एक सैद्धांतिक आधार आहे, जो निरीक्षण परिणाम गोळा करण्यासाठी, वर्णन करण्यासाठी आणि प्रक्रिया करण्याच्या पद्धतींच्या विकासामध्ये गुंतलेला आहे. निरीक्षणाद्वारे (चाचण्या, प्रयोग), म्हणजे. शब्दाच्या व्यापक अर्थाने अनुभव, वास्तविक जगाच्या घटनांचे आकलन होते.

आपल्या सरावात, आपण बर्‍याचदा अशा घटना पाहतो, ज्याच्या परिणामाचा अंदाज लावता येत नाही, ज्याचा निकाल केसवर अवलंबून असतो.

एक यादृच्छिक घटना त्याच्या प्रगतीच्या संख्येच्या चाचण्यांच्या संख्येच्या गुणोत्तराद्वारे दर्शविली जाऊ शकते, ज्यापैकी प्रत्येकामध्ये, सर्व चाचण्यांच्या समान परिस्थितीत, ती उद्भवू शकते किंवा नसू शकते.

संभाव्यता सिद्धांत ही गणिताची एक शाखा आहे ज्यामध्ये यादृच्छिक घटना (घटना) चा अभ्यास केला जातो आणि त्यांच्या मोठ्या पुनरावृत्ती दरम्यान नमुने प्रकट होतात.

गणितीय सांख्यिकी ही गणिताची एक शाखा आहे ज्याचा अभ्यासाचा विषय आहे सांख्यिकीय डेटा गोळा करणे, पद्धतशीर करणे, प्रक्रिया करणे आणि वैज्ञानिकदृष्ट्या आधारित निष्कर्ष प्राप्त करणे आणि निर्णय घेणे.

या प्रकरणात, सांख्यिकीय डेटा हा संख्यांचा संच म्हणून समजला जातो जो आम्हाला स्वारस्य असलेल्या वस्तूंच्या वैशिष्ट्यांच्या परिमाणवाचक वैशिष्ट्यांचे प्रतिनिधित्व करतो. सांख्यिकीय डेटा विशेष सेट केलेल्या प्रयोग आणि निरीक्षणांच्या परिणामी प्राप्त केला जातो.

सांख्यिकीय डेटा मूळतः अनेक यादृच्छिक घटकांवर अवलंबून असतो, म्हणून, गणितीय आकडेवारी संभाव्यतेच्या सिद्धांताशी जवळून संबंधित आहे, जो त्याचा सैद्धांतिक आधार आहे.

I. संभाव्यता. संभाव्यता जोडणे आणि गुणाकार

१.१. संयोजनशास्त्राच्या मूलभूत संकल्पना

कॉम्बिनेटोरिक्स नावाच्या गणिताच्या विभागात, संचांच्या विचारात आणि या संचांच्या घटकांच्या विविध संयोजनांच्या संकलनाशी संबंधित काही समस्या सोडवल्या जातात. उदाहरणार्थ, जर आपण 0, 1, 2, 3,:, 9 असे 10 वेगवेगळे अंक घेतले आणि त्‍यांचे संयोग बनवले तर आपल्याला वेगवेगळे आकडे मिळतील, उदाहरणार्थ, 143, 431, 5671, 1207, 43 इ.

आम्ही पाहतो की यापैकी काही संयोजन फक्त अंकांच्या क्रमाने (उदाहरणार्थ, 143 आणि 431), इतरांमध्ये समाविष्ट केलेल्या संख्येमध्ये (उदाहरणार्थ, 5671 आणि 1207) भिन्न आहेत आणि तरीही इतर अंकांच्या संख्येमध्ये भिन्न आहेत ( उदाहरणार्थ, 143 आणि 43).

अशा प्रकारे, प्राप्त केलेले संयोजन विविध अटी पूर्ण करतात.

संरचनेच्या नियमांनुसार तीन प्रकारचे संयोजन वेगळे केले जाऊ शकतात: पुनर्रचना, प्लेसमेंट, संयोजन.

चला प्रथम संकल्पनेशी परिचित होऊ या तथ्यात्मक.

1 ते n पर्यंतच्या सर्व नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकार म्हणतात n-घटकीय आणि लिहा.

गणना करा: अ); b); v) .

उपाय. अ)

b) पासून आणि , नंतर तुम्ही कंस काढू शकता

मग आम्हाला मिळते

v) .

क्रमपरिवर्तन.

केवळ घटकांच्या क्रमाने एकमेकांपासून भिन्न असलेल्या n घटकांच्या संयोजनास क्रमपरिवर्तन म्हणतात.

क्रमपरिवर्तन चिन्हाद्वारे सूचित केले जाते पी एन , जेथे n प्रत्येक क्रमपरिवर्तनामध्ये समाविष्ट केलेल्या घटकांची संख्या आहे. ( आर- फ्रेंच शब्दाचे पहिले अक्षर क्रमपरिवर्तन- क्रमपरिवर्तन).

क्रमपरिवर्तनांची संख्या सूत्राद्वारे मोजली जाऊ शकते

किंवा फॅक्टोरियल वापरणे:

ते लक्षात ठेवा 0! = 1 आणि 1! = 1.

उदाहरण 2. एका शेल्फवर सहा वेगवेगळी पुस्तके किती प्रकारे मांडली जाऊ शकतात?

उपाय. मार्गांची आवश्यक संख्या 6 घटकांच्या क्रमपरिवर्तनांच्या संख्येइतकी आहे, म्हणजे.

राहण्याची सोय.

पासून राहण्याची सोय मीमध्ये घटक nप्रत्येकामध्ये अशा संयुगे म्हणतात जे एकतर स्वतः घटकांनुसार (किमान एक), किंवा व्यवस्थेच्या क्रमाने एकमेकांपासून भिन्न असतात.

नियुक्ती चिन्हाद्वारे दर्शविली जाते, कुठे मी- सर्व उपलब्ध घटकांची संख्या, n- प्रत्येक संयोजनातील घटकांची संख्या. ( अ-फ्रेंच शब्दाचे पहिले अक्षर व्यवस्था, ज्याचा अर्थ "प्लेसमेंट, क्रमाने ठेवणे").

शिवाय, असे मानले जाते nm

सूत्र वापरून प्लेसमेंटची संख्या मोजली जाऊ शकते

,

त्या पासून सर्व संभाव्य प्लेसमेंटची संख्या मीद्वारे घटक nउत्पादनाच्या समान nसलग पूर्णांक, ज्यापैकी मोठे आहे मी.

चला हे सूत्र फॅक्टोरियल फॉर्ममध्ये लिहू:

उदाहरण 3. पाच अर्जदारांसाठी विविध प्रोफाइलच्या सेनेटोरियममध्ये तीन व्हाउचरच्या वितरणासाठी किती पर्याय तयार केले जाऊ शकतात?

उपाय. व्हेरियंटची आवश्यक संख्या 3 घटकांद्वारे 5 घटकांच्या प्लेसमेंटच्या संख्येइतकी आहे, म्हणजे.

.

संयोजन.

संयोजन सर्व संभाव्य जोड्या आहेत मीद्वारे घटक nजे कमीतकमी एका घटकाने एकमेकांपासून वेगळे आहेत (येथे मीआणि n-नैसर्गिक संख्या आणि n मी).

च्या संयोजनांची संख्या मीद्वारे घटक nदर्शविले जातात ( सह- फ्रेंच शब्दाचे पहिले अक्षर संयोजन- संयोजन).

सर्वसाधारणपणे, पासून एक संख्या मीद्वारे घटक nपासून प्लेसमेंटच्या संख्येइतके आहे मीद्वारे घटक nपासून क्रमपरिवर्तनांच्या संख्येने भागले nघटक:

प्लेसमेंट आणि क्रमपरिवर्तनांच्या संख्येसाठी फॅक्टोरियल फॉर्म्युला वापरून, आम्हाला मिळते:

उदाहरण 4. 25 लोकांच्या टीममध्ये, तुम्हाला एका विशिष्ट साइटवर काम करण्यासाठी चार वाटप करणे आवश्यक आहे. हे किती प्रकारे करता येईल?

उपाय. निवडलेल्या चार लोकांच्या क्रमाने काही फरक पडत नसल्याने, हे करण्याचे अनेक मार्ग आहेत.

आम्ही पहिल्या सूत्रानुसार शोधतो

.

याव्यतिरिक्त, समस्या सोडवताना, खालील सूत्रे वापरली जातात जी संयोजनांचे मुख्य गुणधर्म व्यक्त करतात:

(व्याख्यानुसार, हे गृहित धरले जाते आणि);

.

१.२. एकत्रित समस्या सोडवणे

कार्य 1. विद्याशाखामध्ये 16 विषयांचा अभ्यास केला जातो. सोमवारी, आपण 3 आयटम शेड्यूल करणे आवश्यक आहे. तुम्ही हे किती मार्गांनी करू शकता?

उपाय. 16 पैकी तीन आयटम शेड्यूल करण्याचे अनेक मार्ग आहेत कारण तुम्ही प्रत्येकी 3 च्या 16 आयटममधून प्लेसमेंट करू शकता.

समस्या 2. 15 वस्तूंमधून 10 वस्तू निवडणे आवश्यक आहे. हे किती प्रकारे करता येईल?

समस्या 3. स्पर्धेत चार संघांनी भाग घेतला. त्यांच्यामध्ये जागा वाटपासाठी किती पर्याय शक्य आहेत?

.

समस्या 4. जर 80 शिपाई आणि 3 अधिकारी असतील तर तुम्ही तीन शिपाई आणि एक अधिकारी यांची गस्त किती प्रकारे तयार करू शकता?

उपाय. आपण गस्तीवर एक सैनिक निवडू शकता

मार्गाने आणि अधिकारी मार्गाने. सैनिकांच्या प्रत्येक तुकडीसोबत कोणताही अधिकारी जाऊ शकतो, फक्त मार्ग आहेत.

समस्या 5. शोधा, जर हे माहित असेल तर.

पासून, आम्हाला मिळते

,

,

संयोजनाच्या व्याख्येनुसार ते खालीलप्रमाणे आहे,. ते. ...

१.३. यादृच्छिक घटनेची संकल्पना. घटनांचे प्रकार. घटना संभाव्यता

दिलेल्या परिस्थितीच्या संचाच्या अंतर्गत लक्षात आलेली कोणतीही क्रिया, घटना, अनेक भिन्न परिणामांसह निरीक्षण, असे म्हटले जाईल. चाचणी

या कृती किंवा निरीक्षणाचा परिणाम म्हणतात कार्यक्रम .

येथे कार्यक्रम असल्यास दिलेल्या अटीघडू शकते किंवा होऊ शकत नाही, मग त्याला म्हणतात यादृच्छिक ... अशा परिस्थितीत जेव्हा एखादी घटना नक्कीच घडली पाहिजे, तेव्हा त्याला म्हणतात विश्वसनीय , आणि जेव्हा हे स्पष्टपणे होऊ शकत नाही अशा बाबतीत, - अशक्य.

कार्यक्रम म्हणतात विसंगत जर त्यापैकी फक्त एकच एका वेळी दिसू शकेल.

कार्यक्रम म्हणतात संयुक्त जर दिलेल्या परिस्थितीत यापैकी एकाची घटना त्याच चाचणी दरम्यान दुसरी घटना वगळत नाही.

कार्यक्रम म्हणतात विरुद्ध जर, चाचणीच्या अटींनुसार, ते, केवळ त्याचे परिणाम म्हणून, विसंगत आहेत.

इव्हेंट सहसा लॅटिन वर्णमाला कॅपिटल अक्षरांद्वारे नियुक्त केले जातात: अ ब क ड, : .

इव्हेंट्सची संपूर्ण प्रणाली А 1, А 2, А 3,:, А n विसंगत घटनांचा एक संच आहे, ज्यापैकी किमान एकाची सुरूवात दिलेल्या चाचणीसाठी अनिवार्य आहे.

जर संपूर्ण प्रणालीमध्ये दोन विसंगत घटनांचा समावेश असेल, तर अशा घटनांना विरुद्ध म्हटले जाते आणि त्यांना A आणि नियुक्त केले जाते.

उदाहरण. बॉक्समध्ये 30 क्रमांकित बॉल आहेत. खालीलपैकी कोणत्या घटना अशक्य, विश्वासार्ह, विरुद्ध आहेत हे स्थापित करा:

क्रमांकित चेंडू मिळाला (अ);

सम संख्या असलेला चेंडू मिळाला (V);

एक विषम क्रमांकाचा चेंडू मिळाला (सह);

नंबर नसलेला बॉल मिळाला (डी).

कोणते संपूर्ण गट बनवतात?

उपाय ... ए- एक विश्वसनीय घटना; डी- एक अशक्य घटना;

मध्ये आणि सह- विरुद्ध घटना.

इव्हेंटच्या संपूर्ण गटामध्ये समाविष्ट आहे एआणि डी, बीआणि सह.

यादृच्छिक घटना घडण्याच्या वस्तुनिष्ठ संभाव्यतेचे मोजमाप म्हणून घटनेची संभाव्यता मानली जाते.

१.४. संभाव्यतेची शास्त्रीय व्याख्या

एखादी घटना घडण्याच्या वस्तुनिष्ठ संभाव्यतेच्या मोजमापाची अभिव्यक्ती असलेली संख्या म्हणतात संभाव्यता ही घटना आणि चिन्हाद्वारे दर्शविली जाते पी (ए).

व्याख्या. कार्यक्रमाची संभाव्यता एदिलेल्या इव्हेंटच्या प्रारंभास अनुकूल, परिणामांच्या संख्येचे m गुणोत्तर आहे ए, क्रमांकावर nसर्व परिणाम (विसंगत, अद्वितीय आणि तितकेच शक्य), उदा. ...

म्हणून, एखाद्या घटनेची संभाव्यता शोधण्यासाठी, चाचणीच्या विविध परिणामांचा विचार केल्यानंतर, सर्व संभाव्य विसंगत परिणामांची गणना करणे आवश्यक आहे. n, m मध्ये आपल्याला स्वारस्य असलेल्या निकालांची संख्या निवडा आणि गुणोत्तर काढा मीला n.

या व्याख्येवरून खालील गुणधर्म आढळतात:

कोणत्याही चाचणीची संभाव्यता ही एक पेक्षा जास्त नसलेली नकारात्मक संख्या असते.

खरंच, इच्छित घटनांची संख्या m मर्यादेत आहे. दोन्ही भागांमध्ये विभागणे n, आम्हाला मिळते

2. विश्वासार्ह घटनेची संभाव्यता एक समान आहे, पासून ...

3. अशक्य घटनेची संभाव्यता शून्य आहे, कारण.

समस्या 1. 1000 तिकिटांच्या लॉटरीमध्ये 200 विजयी आहेत. यादृच्छिकपणे एक तिकीट काढा. हे तिकीट विजेते असण्याची शक्यता किती आहे?

उपाय. विविध निकालांची एकूण संख्या आहे n= 1000. विजय मिळविण्यासाठी अनुकूल परिणामांची संख्या m = 200 आहे. सूत्रानुसार, आम्हाला मिळते

.

समस्या 2. 18 भागांच्या बॅचमध्ये 4 दोषपूर्ण भाग आहेत. 5 भाग यादृच्छिकपणे निवडले जातात. या 5 भागांपैकी 2 भाग सदोष असण्याची शक्यता शोधा.

उपाय. सर्व समान शक्य स्वतंत्र परिणामांची संख्या nहे 18 ते 5 च्या संयोगांच्या संख्येइतके आहे.

इव्हेंट A साठी अनुकूल m संख्या मोजू या. यादृच्छिकपणे घेतलेल्या 5 भागांपैकी, 3 उच्च-गुणवत्तेचे आणि 2 दोषपूर्ण असावेत. 4 उपलब्ध सदोष भागांमधून दोन दोषपूर्ण भाग निवडण्याच्या मार्गांची संख्या 4 ते 2 च्या संयोगांच्या संख्येइतकी आहे:

उपलब्ध 14 उच्च-गुणवत्तेच्या भागांमधून तीन उच्च-गुणवत्तेच्या भागांचे नमुने घेण्यासाठी पद्धतींची संख्या आहे

.

दर्जेदार भागांचा कोणताही गट सदोष भागांच्या कोणत्याही गटासह एकत्र केला जाऊ शकतो, म्हणून संयोजनांची एकूण संख्या मीआहे

इव्हेंट A ची अपेक्षित संभाव्यता परिणाम m च्या संख्येच्या गुणोत्तराइतकी आहे, या घटनेला अनुकूल आहे, सर्व समान संभाव्य स्वतंत्र परिणामांच्या n संख्येशी आहे:

.

इव्हेंटच्या मर्यादित संख्येची बेरीज ही एक घटना आहे ज्यामध्ये त्यांच्यापैकी किमान एक घटना असते.

दोन घटनांची बेरीज A + B या चिन्हाने आणि बेरीज द्वारे दर्शविली जाते nА 1 + А 2 + चिन्हाद्वारे इव्हेंट: + А n.

संभाव्यतेसाठी अतिरिक्त प्रमेय.

दोन विसंगत घटनांच्या बेरजेची संभाव्यता या घटनांच्या संभाव्यतेच्या बेरजेइतकी आहे.

परिणाम 1. जर घटना А 1, А 2,:, А n ही संपूर्ण प्रणाली तयार करते, तर या घटनांच्या संभाव्यतेची बेरीज एक असेल.

परिणाम 2. विरुद्ध घटनांच्या संभाव्यतेची बेरीज एक आहे.

.

समस्या 1. लॉटरीची 100 तिकिटे आहेत. हे ज्ञात आहे की 5 तिकिटांना प्रत्येकी 20,000 रूबल, 10 तिकिटे - प्रत्येकी 15,000 रूबल, 15 तिकिटे - प्रत्येकी 10,000 रूबल, 25 - 2,000 रूबल प्रत्येकी बक्षीस मिळेल. आणि बाकीसाठी काहीही नाही. खरेदी केलेल्या तिकिटावर किमान 10,000 रूबलचे बक्षीस मिळण्याची शक्यता शोधा.

उपाय. खरेदी केलेल्या तिकिटावर अनुक्रमे 20,000, 15,000 आणि 10,000 रूबल इतके बक्षीस पडते या वस्तुस्थितीचा समावेश असलेल्या ए, बी आणि सी इव्हेंट असू द्या. घटना A, B आणि C विसंगत असल्याने, नंतर

समस्या 2. चालू बाह्यतांत्रिक शाळा शहरांमधून गणिताच्या चाचण्या घेतात ए, बीआणि सह... शहरातून चाचणी कामाची पावती मिळण्याची शक्यता एशहरापासून 0.6 च्या बरोबरीचे व्ही- ०.१. पुढील संभाव्यता शोधा चाचणीशहरातून येईल सह.

"संभाव्यता सिद्धांत" या संकल्पनेचा सामना करताना, बरेच जण घाबरतात आणि विचार करतात की हे काहीतरी जबरदस्त, खूप कठीण आहे. परंतु प्रत्यक्षात सर्वकाही इतके दुःखद नाही. आज आपण संभाव्यतेच्या सिद्धांताच्या मूळ संकल्पनेचा विचार करू, विशिष्ट उदाहरणे वापरून समस्या कशा सोडवायच्या हे आपण शिकू.

विज्ञान

"संभाव्यता सिद्धांत" म्हणून गणिताची अशी शाखा काय अभ्यास करते? ती नमुने आणि प्रमाण लक्षात ठेवते. अठराव्या शतकात, जेव्हा त्यांनी जुगाराचा अभ्यास केला तेव्हा पहिल्यांदाच शास्त्रज्ञांना या समस्येत रस निर्माण झाला. संभाव्यतेच्या सिद्धांताची मूळ संकल्पना ही घटना आहे. हे अनुभव किंवा निरीक्षणाद्वारे निश्चित केलेले कोणतेही तथ्य आहे. पण अनुभव म्हणजे काय? संभाव्यतेच्या सिद्धांताची आणखी एक मूलभूत संकल्पना. याचा अर्थ असा आहे की परिस्थितीचा हा संच योगायोगाने तयार केला गेला नाही, परंतु विशिष्ट हेतूसाठी. निरीक्षणासाठी, येथे संशोधक स्वतः प्रयोगात भाग घेत नाही, परंतु या घटनांचा साक्षीदार आहे, जे घडत आहे त्यावर तो कोणत्याही प्रकारे परिणाम करत नाही.

विकास

आम्ही शिकलो की संभाव्यता सिद्धांताची मूळ संकल्पना ही एक घटना आहे, परंतु आम्ही वर्गीकरणाचा विचार केला नाही. ते सर्व खालील श्रेणींमध्ये येतात:

• विश्वासार्ह.
• अशक्य.
• यादृच्छिक.

प्रयोगादरम्यान कोणत्या प्रकारच्या घटना पाहिल्या जातात किंवा तयार केल्या जातात त्याकडे दुर्लक्ष करून, ते सर्व या वर्गीकरणाच्या अधीन आहेत. आम्ही तुम्हाला प्रत्येक प्रकाराशी स्वतंत्रपणे परिचित होण्यासाठी आमंत्रित करतो.

विश्वासार्ह घटना

ही अशी परिस्थिती आहे, ज्याच्या समोर आवश्यक उपाययोजना करण्यात आल्या आहेत. सार चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, काही उदाहरणे देणे चांगले आहे. भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, अर्थशास्त्र आणि उच्च गणित हे सर्व या कायद्याच्या अधीन आहेत. संभाव्यता सिद्धांतामध्ये विश्वासार्ह घटना म्हणून महत्त्वपूर्ण संकल्पना समाविष्ट आहे. येथे काही उदाहरणे आहेत:

• आम्ही काम करतो आणि मजुरी स्वरूपात मोबदला घेतो.
• आम्ही परीक्षा चांगल्या प्रकारे उत्तीर्ण झालो, स्पर्धेत उत्तीर्ण झालो, यासाठी आम्हाला प्रवेशाच्या स्वरूपात बक्षीस मिळते शैक्षणिक संस्था.
• आम्ही बँकेत पैसे गुंतवले आहेत, गरज पडल्यास ते परत मिळवून देऊ.

अशा घटना विश्वासार्ह आहेत. आम्ही सर्वकाही केले असेल तर आवश्यक अटी, तर आपल्याला अपेक्षित परिणाम नक्कीच मिळेल.

अशक्य घटना

आता आपण संभाव्यतेच्या सिद्धांताचे घटक पाहत आहोत. आम्ही पुढील प्रकारच्या इव्हेंटच्या स्पष्टीकरणाकडे जाण्याचा प्रस्ताव देतो, म्हणजे, अशक्य. सुरुवातीला, आम्ही सर्वात जास्त अट घालू महत्त्वाचा नियम- अशक्य घटनेची संभाव्यता शून्य आहे.

समस्या सोडवताना या सूत्रापासून विचलित होऊ शकत नाही. स्पष्टीकरणासाठी, अशा घटनांची उदाहरणे येथे आहेत:

• अधिक दहा तापमानात पाणी गोठले (हे अशक्य आहे).
• विजेच्या कमतरतेमुळे उत्पादनावर कोणत्याही प्रकारे परिणाम होत नाही (मागील उदाहरणाप्रमाणेच अशक्य).

अधिक उदाहरणे देणे योग्य नाही, कारण वर वर्णन केलेले या श्रेणीचे सार अगदी स्पष्टपणे प्रतिबिंबित करतात. कोणत्याही परिस्थितीत अनुभवादरम्यान अशक्य घटना घडणार नाही.

यादृच्छिक घटना

घटकांचा अभ्यास करताना, या विशिष्ट प्रकारच्या कार्यक्रमाकडे विशेष लक्ष दिले पाहिजे. त्यांचाच हे विज्ञान अभ्यास करते. अनुभवाच्या परिणामी, काहीतरी घडू शकते किंवा नाही. याव्यतिरिक्त, चाचणी अमर्यादित वेळा केली जाऊ शकते. धक्कादायक उदाहरणे आहेत:

• नाणे फेकणे हा एक अनुभव किंवा चाचणी आहे; डोके पडणे ही एक घटना आहे.
• आंधळेपणाने बॅगमधून बॉल बाहेर काढणे ही एक चाचणी आहे, एक लाल बॉल पकडला जातो - ही एक घटना आहे आणि असेच.

अशा उदाहरणांची अमर्याद संख्या असू शकते, परंतु, सर्वसाधारणपणे, सार स्पष्ट असावे. इव्हेंटबद्दल मिळवलेल्या ज्ञानाचा सारांश आणि पद्धतशीर करण्यासाठी, एक सारणी दिली आहे. संभाव्यता सिद्धांत सादर केलेल्या सर्वांपैकी फक्त शेवटच्या प्रजातींचा अभ्यास करतो.

शीर्षक	व्याख्या
विश्वासार्ह	काही अटींच्या अधीन 100% हमीसह घडणाऱ्या घटना.	प्रवेश परीक्षेत उत्तीर्ण झालेल्या शैक्षणिक संस्थेत प्रवेश.
अशक्य	कोणत्याही परिस्थितीत कधीही होणार नाही अशा घटना.	अधिक तीस अंश सेल्सिअस हवेच्या तापमानात हिमवर्षाव होत आहे.
यादृच्छिक	प्रयोग/चाचणी दरम्यान घडणारी किंवा घडणारी घटना.	बास्केटमध्ये बास्केटबॉल टाकताना मारणे किंवा गहाळ होणे.

कायदे

संभाव्यता सिद्धांत हे एक विज्ञान आहे जे घटना घडण्याच्या शक्यतेचा अभ्यास करते. इतरांप्रमाणे, त्याचे काही नियम आहेत. संभाव्यतेच्या सिद्धांताचे खालील नियम आहेत:

• यादृच्छिक चलांच्या अनुक्रमांचे अभिसरण.
• मोठ्या संख्येचा कायदा.

कॉम्प्लेक्सच्या शक्यतेची गणना करताना, आपण परिणाम साधण्यासाठी सोप्या आणि जलद मार्गाने साध्या इव्हेंटचा संच वापरू शकता. लक्षात घ्या की संभाव्यता सिद्धांताचे नियम काही प्रमेयांचा वापर करून सहज सिद्ध केले जातात. आम्ही सुचवितो की आपण प्रथम प्रथम कायद्याशी परिचित व्हा.

यादृच्छिक चलांच्या अनुक्रमांचे अभिसरण

लक्षात घ्या की अभिसरणाचे अनेक प्रकार आहेत:

• यादृच्छिक चलांचा क्रम संभाव्यतेमध्ये एकत्रित होतो.
• जवळजवळ अशक्य.
• रूट-मीन-स्क्वेअर अभिसरण.
• वितरणात अभिसरण.

तर, उडत असताना, त्याचे सार समजून घेणे फार कठीण आहे. येथे काही व्याख्या आहेत ज्या तुम्हाला हा विषय समजण्यास मदत करतील. सुरुवातीच्यासाठी, पहिले दृश्य. क्रम म्हणतात संभाव्यतेमध्ये अभिसरण, जर खालील अट पूर्ण झाली असेल: n अनंताकडे झुकतो, ज्या क्रमांकाकडे अनुक्रम झुकतो ती संख्या शून्यापेक्षा मोठी असते आणि एकाच्या जवळ असते.

चला पुढील फॉर्मवर जाऊया, जवळजवळ खात्रीने... क्रम अभिसरण असे म्हणतात जवळजवळ खात्रीनेयादृच्छिक व्हेरिएबलकडे n हे अनंताकडे झुकते आणि P एकतेच्या जवळ असलेल्या मूल्याकडे झुकते.

पुढील प्रकार आहे RMS अभिसरण... एसके-कन्व्हर्जन्स वापरताना, वेक्टर स्टोकास्टिक प्रक्रियांचा अभ्यास त्यांच्या समन्वय स्टोकास्टिक प्रक्रियेच्या अभ्यासासाठी कमी केला जातो.

शेवटचा प्रकार शिल्लक आहे, समस्या सोडवण्याकडे थेट पुढे जाण्यासाठी त्याचे थोडक्यात विश्लेषण करूया. वितरणातील अभिसरणाचे आणखी एक नाव आहे - “कमकुवत”, खाली आम्ही याचे कारण स्पष्ट करू. कमकुवत अभिसरणमर्यादित वितरण कार्याच्या निरंतरतेच्या सर्व बिंदूंवर वितरण कार्यांचे अभिसरण आहे.

आम्ही आमचे वचन निश्चितपणे पाळू: कमकुवत अभिसरण वरील सर्वांपेक्षा वेगळे आहे कारण यादृच्छिक चल संभाव्यतेच्या जागेवर परिभाषित केलेले नाही. हे शक्य आहे कारण ही स्थिती केवळ वितरण कार्ये वापरून तयार केली जाते.

मोठ्या संख्येचा कायदा

संभाव्यता सिद्धांताची प्रमेये, जसे की:

• चेबिशेव्हची असमानता.
• चेबिशेव्हचे प्रमेय.
• चेबिशेव्हचे सामान्यीकृत प्रमेय.
• मार्कोव्हचे प्रमेय.

जर आपण या सर्व प्रमेयांचा विचार केला तर हा प्रश्न अनेक दहा पानांपर्यंत पुढे जाऊ शकतो. संभाव्यतेचा सिद्धांत व्यवहारात लागू करणे हे आमचे मुख्य कार्य आहे. आम्ही सुचवतो की तुम्ही हे आत्ताच करा आणि ते करा. परंतु त्याआधी, संभाव्यता सिद्धांताच्या स्वयंसिद्धांचा विचार करा, ते समस्यांचे निराकरण करण्यात मुख्य सहाय्यक असतील.

स्वयंसिद्ध

जेव्हा आम्ही एका अशक्य घटनेबद्दल बोललो तेव्हा आम्ही प्रथम भेटलो. चला लक्षात ठेवा: अशक्य घटनेची संभाव्यता शून्य आहे. आम्ही एक अतिशय ज्वलंत आणि संस्मरणीय उदाहरण दिले: तीस अंश सेल्सिअस तापमानात हिमवर्षाव झाला.

दुसरी खालीलप्रमाणे आहे: एक विश्वासार्ह घटना एक समान संभाव्यतेसह उद्भवते. आता आपण हे गणितीय भाषा वापरून कसे लिहायचे ते दाखवू: P (B) = 1.

तिसरा: एक यादृच्छिक घटना घडू शकते किंवा नाही, परंतु शक्यता नेहमी शून्य ते एक बदलते. मूल्य जितके जवळ असेल तितके जास्त शक्यता; जर मूल्य शून्यापर्यंत पोहोचते, तर संभाव्यता खूपच लहान असते. चला ते गणितीय भाषेत लिहू: 0<Р(С)<1.

शेवटचा, चौथा स्वयंसिद्ध विचारात घ्या, जो यासारखा वाटतो: दोन घटनांच्या बेरजेची संभाव्यता त्यांच्या संभाव्यतेच्या बेरजेइतकी आहे. आम्ही गणितीय भाषेत लिहितो: P (A + B) = P (A) + P (B).

संभाव्यतेच्या सिद्धांताचे स्वयंसिद्ध हे सर्वात सोपे नियम आहेत जे लक्षात ठेवणे कठीण होणार नाही. आधीपासून मिळवलेल्या ज्ञानाच्या आधारे काही समस्या सोडवण्याचा प्रयत्न करूया.

लॉटरीचे तिकीट

चला सर्वात सोपं उदाहरण बघून सुरुवात करूया - लॉटरी. कल्पना करा की तुम्ही शुभेच्छासाठी एक लॉटरीचे तिकीट विकत घेतले आहे. आपण किमान वीस rubles जिंकण्याची शक्यता काय आहे? एकूण, एक हजार तिकिटे रेखांकनात भाग घेतात, त्यापैकी एकास पाचशे रूबलचे बक्षीस आहे, शंभर रूबलसाठी दहा, वीस रूबलसाठी पन्नास आणि पाचसाठी शंभर. संभाव्यता समस्या नशिबाची संधी शोधण्यावर आधारित आहेत. आता आपण वरील सादर केलेल्या कार्याच्या समाधानाचे एकत्र विश्लेषण करू.

जर आपण A अक्षराने पाचशे रूबलचा विजय दर्शविला तर A मिळण्याची संभाव्यता 0.001 असेल. आम्हाला ते कसे मिळाले? तुम्हाला फक्त "भाग्यवान" तिकिटांची संख्या त्यांच्या एकूण संख्येने विभाजित करण्याची आवश्यकता आहे (या प्रकरणात: 1/1000).

बी हा शंभर रूबलचा विजय आहे, संभाव्यता 0.01 असेल. आता आम्ही मागील कृती (10/1000) प्रमाणेच तत्त्वावर कार्य केले.

С - विजय वीस रूबलच्या बरोबरीचे आहेत. आम्हाला संभाव्यता आढळते, ती 0.05 च्या बरोबरीची आहे.

बाकीची तिकिटे आम्हाला स्वारस्य नाहीत, कारण त्यांचा बक्षीस निधी अटीत नमूद केलेल्यापेक्षा कमी आहे. चला चौथा स्वयंसिद्ध लागू करू: किमान वीस रूबल जिंकण्याची संभाव्यता P (A) + P (B) + P (C) आहे. पी हे अक्षर या घटनेच्या घटनेची संभाव्यता दर्शवते, आम्हाला ते आधीच्या कृतींमध्ये सापडले आहे. हे फक्त आवश्यक डेटा जोडण्यासाठी राहते, उत्तरात आम्हाला 0.061 मिळेल. ही संख्या टास्क प्रश्नाचे उत्तर असेल.

कार्ड डेक

संभाव्यता सिद्धांत समस्या अधिक जटिल असू शकतात, उदाहरणार्थ, खालील कार्य घेऊ. येथे छत्तीस कार्ड्सचा डेक आहे. आपले कार्य ढीग मिसळल्याशिवाय सलग दोन कार्डे काढणे आहे, पहिली आणि दुसरी कार्डे एसेस असणे आवश्यक आहे, सूट काही फरक पडत नाही.

प्रथम, पहिले कार्ड एक एक्का असेल याची संभाव्यता शोधू या, यासाठी आपण चारला छत्तीसने विभाजित करतो. त्यांनी ते बाजूला ठेवले. आम्ही दुसरे कार्ड काढतो, ते तीन पस्तीसव्या संभाव्यतेसह एक एक्का असेल. दुसर्‍या कार्यक्रमाची शक्यता आपण प्रथम कोणते कार्ड काढतो यावर अवलंबून असते, आम्हाला आश्चर्य वाटते की तो एक एक्का होता की नाही. यावरून असे दिसून येते की घटना B ही घटना A वर अवलंबून आहे.

पुढची पायरी म्हणजे एकाचवेळी घडण्याची संभाव्यता शोधणे, म्हणजे, आपण A आणि B चा गुणाकार करतो. त्यांचे उत्पादन खालीलप्रमाणे आढळते: एका घटनेची संभाव्यता दुसर्‍याच्या सशर्त संभाव्यतेने गुणाकार केली जाते, ज्याची आपण गणना करतो, असे गृहीत धरून की प्रथम घटना घडली, म्हणजेच पहिल्या कार्डने आम्ही एक एक्का काढला.

सर्व काही स्पष्ट करण्यासाठी, आम्ही अशा घटकास इव्हेंट म्हणून पदनाम देऊ. घटना A आली आहे असे गृहीत धरून गणना केली जाते. खालीलप्रमाणे गणना केली: पी (बी / ए).

चला आमची समस्या सोडवणे सुरू ठेवू: P (A * B) = P (A) * P (B / A) किंवा P (A * B) = P (B) * P (A / B). संभाव्यता (4/36) * (3/35) / (4/36) आहे. गणना करा, जवळच्या शंभरव्या भागापर्यंत पूर्ण करा. आमच्याकडे आहे: 0.11 * (0.09 / 0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09 संभाव्यता की आपण एका ओळीत दोन एसेस काढू हे नऊशेव्या भागाच्या बरोबरीचे आहे मूल्य खूपच लहान आहे, याचा अर्थ घटना घडण्याची संभाव्यता अत्यंत लहान आहे.

नंबर विसरला

आम्ही संभाव्यता अभ्यासाच्या सिद्धांताच्या कार्यांसाठी आणखी अनेक पर्यायांचे विश्लेषण करण्याचा प्रस्ताव देतो. आपण या लेखात त्यापैकी काही सोडवण्याची उदाहरणे आधीच पाहिली आहेत, चला खालील समस्या सोडवण्याचा प्रयत्न करूया: मुलगा त्याच्या मित्राच्या फोन नंबरचा शेवटचा अंक विसरला, परंतु कॉल खूप महत्वाचा असल्याने, त्याने प्रत्येक गोष्ट बदलून डायल करण्यास सुरुवात केली. आम्हाला संभाव्यतेची गणना करणे आवश्यक आहे की तो तीनपेक्षा जास्त वेळा कॉल करणार नाही. संभाव्यता सिद्धांताचे नियम, कायदे आणि स्वयंसिद्ध माहिती असल्यास समस्येचे निराकरण सर्वात सोपा आहे.

उपाय पाहण्याआधी, ते स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न करा. आपल्याला माहित आहे की शेवटचा अंक शून्य ते नऊ असू शकतो, म्हणजेच फक्त दहा मूल्ये आहेत. आवश्यक ते मिळण्याची शक्यता 1/10 आहे.

पुढे, आपल्याला इव्हेंटच्या उत्पत्तीसाठी पर्यायांचा विचार करणे आवश्यक आहे, समजा की मुलाने योग्य अंदाज लावला आणि लगेच इच्छित टाईप केला, अशा घटनेची संभाव्यता 1/10 आहे. दुसरा पर्याय: पहिला कॉल मिस आहे आणि दुसरा लक्ष्यावर आहे. चला अशा घटनेच्या संभाव्यतेची गणना करूया: 9/10 ला 1/9 ने गुणाकार करा, शेवटी आपल्याला 1/10 देखील मिळेल. तिसरा पर्याय: पहिला आणि दुसरा कॉल चुकीच्या पत्त्यावर होता, फक्त तिसर्‍यापासून मुलगा त्याला हवा होता तिथे आला. आम्ही अशा घटनेच्या संभाव्यतेची गणना करतो: 9/10 ला 8/9 ने गुणाकार करतो आणि 1/8 ने गुणाकार करतो, परिणामी आम्हाला 1/10 मिळेल. आम्हाला समस्येच्या स्थितीनुसार इतर पर्यायांमध्ये स्वारस्य नाही, म्हणून आम्हाला मिळालेले परिणाम जोडावे लागतील, शेवटी आमच्याकडे 3/10 आहेत. उत्तर: मुलगा तीनपेक्षा जास्त वेळा कॉल करणार नाही याची संभाव्यता 0.3 आहे.

क्रमांक कार्ड

तुमच्या समोर नऊ कार्डे आहेत, ज्यामध्ये प्रत्येकी एक ते नऊ पर्यंतची संख्या लिहिलेली आहे, संख्यांची पुनरावृत्ती होत नाही. ते एका बॉक्समध्ये ठेवले आणि नख मिसळले. आपल्याला संभाव्यतेची गणना करणे आवश्यक आहे

• सम संख्या टाकली जाईल;
• दोन अंकी

समाधानाकडे जाण्यापूर्वी, m ही यशस्वी प्रकरणांची संख्या आहे आणि n ही एकूण पर्यायांची संख्या आहे असे नमूद करूया. संख्या सम असण्याची शक्यता शोधू या. चार सम संख्या आहेत हे काढणे कठीण होणार नाही, ही आमची m असेल, एकूण नऊ पर्याय शक्य आहेत, म्हणजे m = 9. नंतर संभाव्यता 0.44 किंवा 4/9 आहे.

दुसर्‍या केसचा विचार करा: पर्यायांची संख्या नऊ आहे, परंतु कोणतेही यशस्वी परिणाम होऊ शकत नाहीत, म्हणजे, m शून्य. काढलेल्या कार्डमध्ये दोन अंकी संख्या असण्याची शक्यता देखील शून्य आहे.

संभाव्यता सिद्धांत ही गणिताची एक शाखा आहे जी यादृच्छिक घटनांच्या नियमांचा अभ्यास करते: यादृच्छिक घटना, यादृच्छिक चल, त्यांचे गुणधर्म आणि त्यावरील ऑपरेशन्स.

बर्याच काळापासून, संभाव्यतेच्या सिद्धांताची स्पष्ट व्याख्या नव्हती. हे फक्त 1929 मध्ये तयार केले गेले. विज्ञान म्हणून संभाव्यता सिद्धांताचा उदय मध्य युग आणि जुगार (नाणे, फासे, रूलेट) च्या गणितीय विश्लेषणाच्या पहिल्या प्रयत्नांना दिले जाते. 17 व्या शतकातील फ्रेंच गणितज्ञ ब्लेझ पास्कल आणि पियरे फर्मेट यांनी जुगारातील विजयाच्या अंदाजाची तपासणी करून, फासे फेकण्यापासून उद्भवणारे पहिले संभाव्यतेचे नियम शोधून काढले.

यादृच्छिक वस्तुमान घटनांच्या केंद्रस्थानी विशिष्ट नमुने असतात या विश्वासातून संभाव्यता सिद्धांत एक विज्ञान म्हणून उद्भवला. संभाव्यता सिद्धांत या नमुन्यांचा अभ्यास करतो.

संभाव्यता सिद्धांत घटनांच्या अभ्यासाशी संबंधित आहे, ज्याची घटना निश्चितपणे ज्ञात नाही. हे आपल्याला इतरांच्या तुलनेत काही घटनांच्या घटनेच्या संभाव्यतेची डिग्री तपासण्याची परवानगी देते.

उदाहरणार्थ: नाणे टॉसच्या परिणामी "हेड्स" किंवा "शेपटी" मिळविण्याचा परिणाम स्पष्टपणे निर्धारित करणे अशक्य आहे, परंतु वारंवार नाणेफेक केल्याने, अंदाजे समान संख्या "डोके" आणि "पुच्छ" बाहेर पडतात, याचा अर्थ की "डोके" किंवा "शेपटी" मिळण्याची संभाव्यता ५०% इतकी आहे.

चाचणीया प्रकरणात, अटींच्या विशिष्ट संचाची अंमलबजावणी म्हणतात, म्हणजेच या प्रकरणात, नाणे फेकणे. आव्हान अमर्यादित वेळा खेळले जाऊ शकते. या प्रकरणात, परिस्थितीच्या जटिलमध्ये यादृच्छिक घटकांचा समावेश आहे.

चाचणी निकाल आहे कार्यक्रम... घटना घडते:

1. विश्वासार्ह (नेहमी चाचणीच्या परिणामी घडते).
2. अशक्य (कधीच होत नाही).
3. अपघाती (चाचणीच्या परिणामी घडू शकते किंवा होणार नाही).

उदाहरणार्थ, जेव्हा नाणे फेकले जाते तेव्हा एक अशक्य घटना - नाणे काठावर असेल, एक यादृच्छिक घटना - "डोके" किंवा "पुच्छ" पडणे. विशिष्ट चाचणी निकाल म्हणतात प्राथमिक घटना... चाचणीच्या परिणामी, केवळ प्राथमिक घटना घडतात. सर्व संभाव्य, भिन्न, विशिष्ट चाचणी परिणामांची संपूर्णता म्हणतात प्राथमिक घटनांची जागा.

सिद्धांताच्या मूलभूत संकल्पना

संभाव्यता- घटनेच्या उत्पत्तीच्या संभाव्यतेची डिग्री. जेव्हा एखादी संभाव्य घटना प्रत्यक्षात घडण्याची कारणे उलट कारणांपेक्षा जास्त असतात, तेव्हा त्या घटनेला संभाव्य म्हटले जाते, अन्यथा - संभव किंवा असंभाव्य.

यादृच्छिक मूल्यहे एक मूल्य आहे जे चाचणीच्या परिणामी, एक विशिष्ट मूल्य घेऊ शकते आणि कोणते हे आधीच माहित नाही. उदाहरणार्थ: दररोज फायर स्टेशनची संख्या, 10 शॉट्ससह हिट्सची संख्या इ.

रँडम व्हेरिएबल्स दोन श्रेणींमध्ये विभागले जाऊ शकतात.

1. स्वतंत्र यादृच्छिक चलहे एक प्रमाण आहे जे, चाचणीच्या परिणामी, विशिष्ट संभाव्यतेसह विशिष्ट मूल्ये घेऊ शकतात, एक मोजण्यायोग्य संच तयार करतात (एक संच, ज्याचे घटक क्रमांकित केले जाऊ शकतात). हा संच मर्यादित आणि अनंत दोन्ही असू शकतो. उदाहरणार्थ, लक्ष्यावर प्रथम हिट होण्यापूर्वी शॉट्सची संख्या एक स्वतंत्र यादृच्छिक चल आहे, कारण हे मूल्य अनंत असू शकते, जरी मोजण्यायोग्य मूल्यांची संख्या.
2. सतत यादृच्छिक चलठराविक मर्यादित किंवा अमर्याद मध्यांतरातून कोणतीही मूल्ये घेऊ शकतील अशा प्रमाणाला म्हणतात. स्पष्टपणे, सतत यादृच्छिक चलच्या संभाव्य मूल्यांची संख्या अनंत आहे.

संभाव्यता जागा- ए.एन.ने मांडलेली संकल्पना. XX शतकाच्या 30 च्या दशकात कोल्मोगोरोव्ह यांनी संभाव्यतेची संकल्पना औपचारिकपणे मांडली, ज्याने संभाव्यतेच्या सिद्धांताच्या वेगवान विकासास एक कठोर गणितीय शिस्त म्हणून जन्म दिला.

संभाव्यता जागा त्रिगुण आहे (कधीकधी कोन कंसांनी वेढलेली असते:, कुठे

हा एक अनियंत्रित संच आहे, ज्याच्या घटकांना प्राथमिक घटना, परिणाम किंवा बिंदू म्हणतात;
- उपसंचांचे सिग्मा-बीजगणित (यादृच्छिक) घटना म्हणतात;
- एक संभाव्य उपाय किंवा संभाव्यता, म्हणजे सिग्मा-अॅडिटिव्ह मर्यादित माप जसे की.

Moivre-Laplace प्रमेय- 1812 मध्ये लाप्लेसने स्थापित केलेल्या संभाव्यता सिद्धांताच्या मर्यादा प्रमेयांपैकी एक. तिचे म्हणणे आहे की दोन संभाव्य परिणामांसह समान यादृच्छिक प्रयोगाच्या अनेक पुनरावृत्तीसह यशांची संख्या अंदाजे सामान्य वितरण आहे. हे आपल्याला संभाव्यतेचे अंदाजे मूल्य शोधण्याची परवानगी देते.

जर, प्रत्येक स्वतंत्र चाचणीसाठी, काही यादृच्छिक घटना घडण्याची संभाव्यता () च्या बरोबरीची असेल आणि ती प्रत्यक्षात घडलेल्या चाचण्यांची संख्या असेल, तर असमानतेची संभाव्यता मूल्याच्या जवळ (मोठ्यासाठी) असेल. Laplace इंटिग्रल च्या.

संभाव्यता सिद्धांतामध्ये वितरण कार्य- एक फंक्शन जे यादृच्छिक व्हेरिएबल किंवा यादृच्छिक वेक्टरचे वितरण दर्शवते; यादृच्छिक चल X हे x पेक्षा कमी किंवा समान मूल्य घेईल याची संभाव्यता, जेथे x ही अनियंत्रित वास्तविक संख्या आहे. काही अटी पूर्ण झाल्यास, ते यादृच्छिक चल पूर्णपणे निर्धारित करते.

अपेक्षित मूल्य- यादृच्छिक व्हेरिएबलचे सरासरी मूल्य (हे यादृच्छिक चलचे संभाव्य वितरण आहे, संभाव्यतेच्या सिद्धांतामध्ये मानले जाते). इंग्रजी भाषेच्या साहित्यात, हे रशियन भाषेत - द्वारे दर्शविले जाते. आकडेवारीमध्ये, नोटेशन बहुतेकदा वापरले जाते.

संभाव्यता स्पेस आणि त्यावर परिभाषित केलेले यादृच्छिक चल देऊ द्या. म्हणजेच, व्याख्येनुसार, हे एक मोजण्यायोग्य कार्य आहे. नंतर, जर ओव्हर स्पेसचे लेबेस्ग्यू इंटिग्रल असेल, तर त्याला गणितीय अपेक्षा, किंवा सरासरी मूल्य असे म्हणतात आणि सूचित केले जाते.

यादृच्छिक व्हेरिएबलचे भिन्नता- दिलेल्या यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या प्रसाराचे मोजमाप, म्हणजे, त्याचे गणितीय अपेक्षेपासूनचे विचलन. हे रशियन साहित्य आणि परदेशी साहित्यात सूचित केले आहे. आकडेवारीमध्ये, पदनाम किंवा अनेकदा वापरले जाते. प्रसरणाच्या वर्गमूळाला मानक विचलन, मानक विचलन किंवा मानक विचलन असे म्हणतात.

ठराविक संभाव्यतेच्या जागेवर परिभाषित केलेले यादृच्छिक चल असू द्या. मग

जेथे चिन्ह गणितीय अपेक्षा दर्शवते.

संभाव्यता सिद्धांतामध्ये, दोन यादृच्छिक घटना म्हणतात स्वतंत्रजर त्यापैकी एकाच्या घटनेने दुसर्‍याच्या घटनेची संभाव्यता बदलली नाही. त्याचप्रमाणे, दोन यादृच्छिक चल म्हणतात अवलंबूनजर त्यापैकी एकाचे मूल्य दुसर्‍याच्या मूल्यांच्या संभाव्यतेवर परिणाम करत असेल.

मोठ्या संख्येच्या नियमाचा सर्वात सोपा प्रकार म्हणजे बर्नौलीचे प्रमेय, जे असे सांगते की जर एखाद्या घटनेची संभाव्यता सर्व चाचण्यांमध्ये सारखीच असेल, तर चाचण्यांच्या संख्येत वाढ झाल्यास, घटनेची वारंवारता संभाव्यतेकडे झुकते. घटना आणि यादृच्छिक होणे थांबवते.

संभाव्यता सिद्धांतातील मोठ्या संख्येचा नियम असे सांगतो की एका निश्चित वितरणातील मर्यादित नमुन्याचा अंकगणितीय माध्य हा त्या वितरणाच्या सैद्धांतिक सरासरीच्या गणितीय अपेक्षेच्या जवळ असतो. अभिसरणाच्या प्रकारावर अवलंबून, मोठ्या संख्येच्या कमकुवत नियमामध्ये, जेव्हा संभाव्यतेमध्ये अभिसरण असते आणि जेव्हा अभिसरण जवळजवळ निश्चित असते तेव्हा मोठ्या संख्येच्या मजबूत नियमामध्ये फरक केला जातो.

मोठ्या संख्येच्या कायद्याचा सामान्य अर्थ असा आहे की मोठ्या संख्येने समान आणि स्वतंत्र यादृच्छिक घटकांच्या संयुक्त कृतीमुळे असा परिणाम होतो जो मर्यादेतील केसवर अवलंबून नाही.

मर्यादित नमुन्याच्या विश्लेषणावर आधारित संभाव्यतेचा अंदाज लावण्याच्या पद्धती या गुणधर्मावर आधारित आहेत. मतदारांच्या नमुन्याच्या सर्वेक्षणावर आधारित निवडणूक निकालांचा अंदाज हे एक उदाहरणात्मक उदाहरण आहे.

केंद्रीय मर्यादा प्रमेये- संभाव्यतेच्या सिद्धांतातील प्रमेयांचा वर्ग, अंदाजे समान स्केल असलेल्या कमकुवतपणे अवलंबून असलेल्या यादृच्छिक चलांच्या पुरेशा मोठ्या संख्येची बेरीज (कोणत्याही अटींवर प्रभुत्व नाही, बेरीजमध्ये निश्चित योगदान देत नाही) वितरण आहे सामान्य जवळ.

अनुप्रयोगांमधील अनेक यादृच्छिक चल अनेक कमकुवतपणे अवलंबून असलेल्या यादृच्छिक घटकांच्या प्रभावाखाली तयार होत असल्याने, त्यांचे वितरण सामान्य मानले जाते. या प्रकरणात, अट पूर्ण करणे आवश्यक आहे की कोणतेही घटक प्रभावी नाहीत. या प्रकरणांमध्ये मध्यवर्ती मर्यादा प्रमेये सामान्य वितरणाच्या वापराचे समर्थन करतात.