आकृतीचे क्षेत्र कसे शोधायचे?

विविध आकृत्यांच्या क्षेत्राची गणना करण्यास आणि सक्षम होण्यासाठी, केवळ साध्या भौमितीय कार्यांचे निराकरण करण्यासाठीच आवश्यक आहे. या ज्ञानशिवाय आणि परिसर दुरुस्तीसाठी अंदाज तपासत असताना किंवा आवश्यक उपभोगाच्या संख्येची गणना करताना. म्हणून, भिन्न आकृत्यांचे क्षेत्र कसे शोधायचे ते समजूया.

बंद सर्किटमध्ये संपलेल्या विमानाचा एक भाग या विमानाचा क्षेत्र म्हणून ओळखला जातो. स्क्वेअर युनिट्स कैद्यांच्या संख्येने स्क्वेअर व्यक्त केले आहे.

मुख्य भौमितीय आकृत्यांच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, योग्य सूत्र वापरणे आवश्यक आहे.

त्रिकोण क्षेत्र

पदनामः

1. जर एच माहित असेल तर, वांछित त्रिकोणाचे क्षेत्र साइड लांबी आणि त्रिकोणाच्या उंचीचे उत्पादन म्हणून परिभाषित केले जाते, या बाजूने कमी होते, अर्ध्या: एस \u003d (ए · एच) / 2
2. जर ए, बी, सी ज्ञात असेल तर इच्छित क्षेत्र गणना गेरॉन फॉर्म्युला वापरुन गणना केली जाईल: त्रिकोणाच्या अर्ध्या परिमितीच्या अर्ध्या परिमितीच्या अर्ध्या भाग आणि त्रिकोणाच्या प्रत्येक बाजूला तीन फरक: एस \u003d √ (पी (पी - ए) · (पी - बी) · (पी - सी)).
3. जर ए, बी, γ ज्ञात असेल तर त्रिकोण क्षेत्राच्या अर्ध्या भागाच्या अर्ध्या भागाचा परिभाषित केला जातो, या बाजूंच्या कोपऱ्याच्या मूल्याने गुणाकार केला आहे: एस \u003d (ए · बिन γ) / 2
4. जर ए, बी, सी, आर ज्ञात असेल तर इच्छित क्षेत्र वर्णन केलेल्या मंडळाच्या चार त्रिज्याद्वारे त्रिकोणाच्या सर्व बाजूंच्या लांबीच्या उत्पादनाचे वर्णन म्हणून परिभाषित केले आहे: एस \u003d (ए · बी) / 4 आर
5. जर पी, आर ज्ञात असेल तर इच्छित त्रिकोण क्षेत्रामध्ये त्रिज्यामध्ये लिहून ठेवलेल्या परिमितीच्या अर्ध्या भागांना गुणाकार करून निर्धारित केले आहे: एस \u003d पी · आर

चौरस क्षेत्र

पदनामः

1. जर बाजूला ज्ञात असेल तर या आकृतीचे क्षेत्र त्याच्या लांबीच्या चौरस म्हणून परिभाषित केले आहे: एस \u003d 2
2. जर डी माहित असेल तर स्क्वेअरच्या स्क्वेअरला त्याच्या लांबीच्या तिरकाचे अर्धा चौरस म्हणून परिभाषित केले आहे: एस \u003d डी 2/2

चौरस आयत

पदनामः

• एस - परिभाषित क्षेत्र,
• ए, बी - आयत बाजूला लांबी.

1. जर, बी माहित असेल तर या आयताचा क्षेत्र त्याच्या बाजूंच्या त्याच्या लांबीच्या उत्पादनाद्वारे निर्धारित केला जातो: एस \u003d एबी
2. जर बाजूंच्या लांबी अज्ञात असतील तर आयताचे क्षेत्र त्रिकोणांमध्ये विभागले पाहिजे. या प्रकरणात, आयत क्षेत्र त्याच्या त्रिकोणाच्या घटकांच्या भागाच्या बेरीज म्हणून परिभाषित केले जाते.

चौरस मतदारसंघ

पदनामः

• एस - इच्छित क्षेत्र,
• ए, बी - पक्षांची लांबी,
• एच - या पॅरललोग्रामच्या उंचीची लांबी,
• डी 1, डी 2 - दोन कर्ण च्या लांबी,
• α - पक्षांच्या दरम्यान स्थित कोन
• γ कर्णधार दरम्यान एक कोन आहे.

1. जर, एच माहित असेल तर इच्छित क्षेत्र दृढ आणि उंचीच्या लांबीच्या लांबी वाढवण्याचा दृढनिश्चय करतो: एस \u003d ए.
2. जर, बी, α ज्ञात असेल तर, पॅरललोग्राम क्षेत्र समांतर आणि समांतरांच्या लांबी आणि या बाजूंच्या कोपर्यातील मूल्यांचे मूल्य वाढवून निर्धारित केले जाते: एस \u003d ए · पाप α
3. डी 1, डी 2, डी 2, γ हे ज्ञात आहे, पॅरललोग्राम क्षेत्र डेरीगोन्सच्या लांबीच्या अर्ध्या उत्पादनास मान्य आहे आणि या कर्णांमधील कोपऱ्याच्या कोपर्याचे मूल्य: एस \u003d (डी 1 · डी 2 · ') / 2.

रुंबा स्क्वेअर

पदनामः

• एस - इच्छित क्षेत्र,
• एक साइड लांबी,
• एच - उंचीची लांबी,
• α दोन्ही बाजूंच्या दरम्यान एक लहान कोन आहे,
• डी 1, डी 2 - दोन कर्ण च्या लांबी.

1. जर ए, एच ज्ञात असेल तर, समभुज क्षेत्रास उंचीच्या लांबीच्या लांबीच्या लांबीच्या गुणाकाराद्वारे निर्धारित केले जाते, जे या बाजूला वगळले जाते: एस \u003d ए.
2. जर, α ज्ञात आहे, तर समभुज क्षेत्र पक्षांच्या दरम्यान कोपर्याच्या बाजूने बाजूने बाजुच्या बाजूला गुणाकार करण्याचा निर्धारित आहे: एस \u003d 2 · पाप α
3. डी 1 आणि डी 2 ज्ञात असल्यास, वांछित क्षेत्र rhambus च्या कर्ण च्या लांबीच्या अर्धा उत्पादन म्हणून परिभाषित केले आहे: एस \u003d (डी 1 · डी 2) / 2

स्क्वेअर ट्रॅपेझियम

पदनामः

1. जर ए, बी, सी, डी ज्ञात असेल तर इच्छित क्षेत्र सूत्राद्वारे निर्धारित केले आहे: एस \u003d (ए + बी) / 2 * √.
2. ज्ञात ए, बी, एच, वांछित क्षेत्र ट्रिपझॉइडच्या बेस आणि उंचीच्या अर्ध्या प्रमाणाचे उत्पादन म्हणून परिभाषित केले आहे: एस \u003d (ए + बी) / 2 · एच

Convex चतुर्भुज क्षेत्र

पदनामः

1. जर डी 1, डी 2, डी 2, α ज्ञात आहे, Convex चतुर्भुज क्षेत्र quargand च्या कर्ण च्या अर्धा उत्पादन म्हणून परिभाषित आहे, या digoonals दरम्यान कोपर च्या Sine आकार द्वारे गुणाकार: एस \u003d (डी 1 · 1 · 1 · डी 2 · पाप α) / 2
2. ज्ञात पी सह, आर, चतुर्भुज क्षेत्रातील परिसरात मंडळाच्या त्रिज्यावरील अर्ध-आवृत्तीचे उत्पादन म्हणून परिभाषित केले जाते, या चतुर्भुज मध्ये लिहिलेले आहे: एस \u003d पी · आर
3. जर ए, बी, सी, डी, θ ओळखले जाते तर, coverx चतुर्भुज क्षेत्र अर्ध-माप च्या निवडीच्या उत्पादनांमधून स्क्वेअरचे रूट म्हणून परिभाषित केले जाते आणि प्रत्येक बाजूची लांबीची लांबी कमी असते सर्व बाजूंच्या आणि कोसाइन स्क्वेअरची लांबी आणि कोसाइन स्क्वेअरचा अर्ध बेरीज: एस 2 \u003d (पी - ए) (पी - बी) (पी - डी) - एबीसीडी · सीएस 2 ((α + β) / 2)

मंडळाचे क्षेत्र

पदनामः

जर आर ज्ञात असेल तर वांछित क्षेत्र स्क्वेअरमधील त्रिज्यावरील नंबरचे उत्पादन म्हणून परिभाषित केले जाते: एस \u003d π आर 2

जर डी ज्ञात असेल तर सर्कल क्षेत्र व्यासाच्या प्रति स्क्वेअरच्या संख्येचे उत्पादन म्हणून परिभाषित केले जाते: एस \u003d (π · डी 2) / 4

स्क्वेअर जटिल आकृती

जटिल साध्या भौमितीय आकारांमध्ये विभागली जाऊ शकते. जटिल आकृती क्षेत्र क्षेत्राच्या घटकांची रक्कम किंवा फरक म्हणून परिभाषित केली आहे. उदाहरणार्थ, अंगठी.

पदनामः

• एस - रिंग स्क्वेअर,
• आर, आर - बाह्य सर्कल आणि अंतर्गत, अनुक्रमे,
• डी, डी - बाह्य सर्कल आणि आतल्या आतल्या व्यास.

रिंग क्षेत्र शोधण्यासाठी, मोठ्या वर्तुळाच्या क्षेत्रापासून क्षेत्र घेणे आवश्यक आहे लहान वर्तुळ. S \u003d s1-s2 \u003d πr 2-πr 2 \u003d π (आर 2 -आर 2).

अशा प्रकारे, जर आर आणि आर ओळखले जाते, तर बाहेरील आणि आंतरिक मंडळाच्या त्रिज्याच्या त्रिज्यामध्ये फरक म्हणून रिंग क्षेत्र परिभाषित केले जाते, संख्या द्वारे गुणाकार आहे: एस \u003d π (आर 2 -आर 2).

जर डी आणि डी ज्ञात असेल तर, रिंग क्षेत्र बाह्य आणि अंतर्गत मंडळांच्या व्यासांच्या चौरसांमधील फरक म्हणून परिभाषित केले जाते. पीआय: एस \u003d (1/4) (डी 2 - डी 2) π.

चौरस चित्रित आकृती

समजा की एका चौरस (ए) आत (बी) (बी) (लहान) आहे आणि आम्हाला "ए" आणि "बी" आणि "बी" मधील चित्रित गुहा शोधण्याची गरज आहे. चला फक्त एक लहान स्क्वेअर "फ्रेम" म्हणूया. यासाठी:

1. आम्हाला "ए" (स्क्वेअरच्या स्थानाच्या फॉर्म्युलाद्वारे मोजलेले) क्षेत्र शोधते.
2. त्याचप्रमाणे, आम्हाला "बी" हा क्षेत्र सापडतो.
3. आम्ही "ए" स्क्वेअर "बी" क्षेत्रापासून कमी करतो. आणि अशा प्रकारे आम्ही चित्रित आकृतीचे क्षेत्र मिळतो.

आता आपल्याला भिन्न आकृत्यांच्या क्षेत्र कसे शोधायचे ते माहित आहे.

भूमितीच्या कार्यांचे निराकरण करण्यासाठी, आपल्याला सूत्रांची माहिती असणे आवश्यक आहे - जसे त्रिकोण क्षेत्र किंवा समांतरोग्राम क्षेत्र - तसेच साध्या तंत्रे आम्ही सांगू.

सुरुवातीला, आम्ही आकडेवारीच्या चौकटीचे सूत्र शिकतो. आम्ही विशेषतः त्यांना सोयीस्कर टेबलमध्ये संकलित केले. मुद्रित करा, शिका आणि लागू करा!

अर्थात, आमच्या भूमिती सूत्र आमच्या टेबलमध्ये नाहीत. उदाहरणार्थ, इतर त्रिकोण स्क्वेअर फॉर्म्युला देखील गणितातील प्रोफाइल परीक्षेच्या दुसर्या भागामध्ये भूमिती आणि स्टीरिओमेट्रीनुसार समस्या सोडवण्यासाठी वापरली जातात. आम्ही निश्चितपणे त्यांच्याबद्दल सांगू.

आणि काय करावे, जर आपल्याला ट्रॅपीझॉइड किंवा त्रिकोणाची जागा शोधण्याची गरज असेल तर काही प्रकारचे जटिल आकार? सार्वत्रिक मार्ग आहेत! चला त्यांना बँकेच्या कार्यसंघाच्या उदाहरणावरून दाखवूया.

1. नॉन-स्टँडर्ड आकडेवारीचे क्षेत्र कसे शोधायचे? उदाहरणार्थ, एक अनियंत्रित चतुर्भुज? एक साध्या रिसेप्शन - आम्ही हे आकृती त्या लोकांना खंडित करतो आणि त्याचे क्षेत्र शोधतो - या आकडेवारीच्या भागाच्या रूपात.

आम्ही या चतुर्भुजला क्षैतिज लाइनसह दोन त्रिकोणाने दोन त्रिकोणाने विभाजित करतो. या त्रिकोण च्या उंची समान आहेत आणि. मग चतुर्भुज क्षेत्र दोन त्रिकोणाच्या क्षेत्राच्या समान आहे:.

उत्तरः

2. काही प्रकरणांमध्ये, आकृतीची आकृती कोणत्याही जागेत फरक म्हणून दर्शविली जाऊ शकते.

या त्रिकोणातील आधार आणि उंची किती समान आहेत याची गणना करणे इतके सोपे नाही! परंतु आम्ही असे म्हणू शकतो की त्याचे क्षेत्र चौरस चौकटीत बाजूला आणि तीन आयताकृती त्रिकोणांमध्ये फरक आहे. त्यांना चित्रात पहा? आम्हाला मिळते :.

उत्तरः

3. कधीकधी कार्य पूर्ण करणे आवश्यक आहे, परंतु त्याचे भाग नाही. सहसा हे क्षेत्रातील क्षेत्रातील क्षेत्राबद्दल आहे - वर्तुळाचा भाग. त्रिज्या सर्कल सेक्टरचा क्षेत्र समाविष्ट करा, जो समान आहे .

या चित्रात आपण वर्तुळाचा भाग पाहतो. संपूर्ण मंडळाचा क्षेत्र पासून समान आहे. मंडळाचे कोणते भाग चित्रित केले आहे हे जाणून घेणे अवस्थेत आहे. संपूर्ण मंडळाची लांबी (म्हणून) समान असल्याने आणि या क्षेत्राच्या चापाची लांबी समान आहे म्हणून, आर्कची लांबी संपूर्ण परिघाच्या लांबीच्या काळापेक्षा कमी आत असते. ज्यावर हे चाप अवलंबून आहे ते संपूर्ण मंडळापेक्षा (जे आहे, अंश) पेक्षा देखील कमी आहे. तर, सेक्टर क्षेत्र संपूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रापेक्षा कमी असेल.

योग्य आणि चुकीच्या दोन्ही मोठ्या आकाराचे एक अनंत आकृती आहे. सर्व आकारांची एकूण मालमत्ता - त्यांच्यापैकी कोणालाही क्षेत्र आहे. विशिष्ट युनिट्समध्ये व्यक्त केलेल्या विमानाने व्यापलेल्या विमानाच्या स्क्वेअरचे स्क्वेअरचे आयाम आहे. ही रक्कम नेहमीच सकारात्मक संख्येत व्यक्त केली जाते. माप एकक स्क्वेअर स्क्वेअर आहे, ज्यांचे साइड लांबीच्या युनिटच्या समान आहे (उदाहरणार्थ, एक मीटर किंवा एक सेंटीमीटर). कोणत्याही आकृतीच्या क्षेत्रातील अंदाजे मूल्याची गणना एका स्क्वेअरच्या संख्येवर वाढवून गणना केली जाऊ शकते ज्यासाठी ते एका स्क्वेअरच्या क्षेत्रास तोडले जाते.

या संकल्पनेच्या इतर परिभाषा यासारखे दिसतात:

1. साध्या आकडेवारीचे चौरस - स्केलर सकारात्मक मूल्यांचे अटी पूर्ण करणे:

समान आकडेवारीमध्ये - जागेच्या समान मूल्ये;

जर आकृती भागांमध्ये विभागली गेली असेल तर (साधे आकडेवारी), त्यानंतर त्याचे क्षेत्र आकडेवारीच्या डेटा भागात आहे;

माप युनिटच्या बाजूला एक चौरस क्षेत्रातील एकक म्हणून कार्य करते.

2. जटिल आकाराचे आकृती (बहुभुज) चे चौरस - गुणधर्म असलेल्या सकारात्मक मूल्यांचे:

समान बहुभुज - क्षेत्रातील समान मूल्ये;

जरी बहुभुज इतर अनेक बहुभुज बनवते, त्याचे क्षेत्र नंतरच्या भागात समान आहे. हा नियम गैर-प्राप्तकर्त्यासाठी वैध आहे.

एक्सिओमला मंजुरी दिली जाते की आकडेवारी (बहुभुज) क्षेत्र सकारात्मक मूल्ये आहे.

या मंडळाच्या परिघात समाविष्ट केलेल्या क्षेत्रास स्वतंत्रपणे मंडळाच्या क्षेत्राचा दृढनिश्चय केला जातो कारण त्याच्या पक्षांची संख्या अनंतकाळसाठी प्रयत्न करीत आहे.

चुकीच्या आकाराचे क्षेत्र (अनियंत्रित आकडेवारी) क्षेत्रात परिभाषा नसतात, त्यांच्या गणनासाठी केवळ पद्धती निर्धारित केल्या जातात.

पुरातन काळातील स्क्वेअरची गणना जमिनीच्या प्लॉटचे आकार निर्धारित करण्यात एक महत्त्वपूर्ण व्यावहारिक कार्य होते. ग्रीक शास्त्रज्ञांनी अनेक शंभर वर्षे मोजण्यासाठी नियम तयार केले आहेत आणि "युक्लिदी" प्रमेय म्हणून "सुरू होण्याची सुरूवात केली जातात. मनोरंजक गोष्ट म्हणजे, त्यांच्यामध्ये सामान्य आकडेवारीचे क्षेत्र निर्धारित करण्याचे नियम सध्या समान आहेत. Curviliear सर्किट असलेले क्षेत्र मर्यादा संक्रमण वापरून गणना केली गेली.

स्कूल बेंच असलेल्या प्रत्येकास परिचित सोपी आयत, चौरस क्षेत्रांची गणना अगदी सोपी आहे. आकडेवारीच्या प्रजातींच्या फॉर्म्युलाच्या वर्णानुक्रमांची अंमलबजावणी देखील लक्षात घेणे आवश्यक नाही. काही सोप्या नियम लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे:

2. आयत क्षेत्राची लांबी रुंदी वाढवून गणना केली जाते. त्याच मोजमाप युनिट्समध्ये लांबी आणि रुंदी व्यक्त करणे आवश्यक आहे.

3. जटिल आकृतीचे क्षेत्र गणना केलेल्या क्षेत्रांना थोड्या सोप्या आणि तळाशी विभक्त करून गणना केली जाते.

4. आयत च्या कर्णधाराने त्यास दोन त्रिकोणांमध्ये विभाजित केले आहे ज्याचे क्षेत्र समान आणि त्याच्या समान आहेत.

5. त्रिकोणाच्या क्षेत्राची उंची आणि पायाच्या उत्पादनाच्या अर्ध्या उत्पादनाची गणना केली जाते.

6. मंडळाचे क्षेत्र सुप्रसिद्ध संख्या "π" वर त्रिज्या स्क्वेअरच्या उत्पादनाच्या समान आहे.

7. पॅरललोग्रामचा क्षेत्र संबंधित बाजूंच्या आणि त्यांच्या दरम्यान पडलेल्या कोपर्याच्या सायनासची गणना केली जाते.

8. रोमा क्षेत्र - ½ 9 जण आतल्या कोपऱ्याच्या सायनासवर कर्णशक्तीचे गुणाकार करतात.

9. ट्रॅपेझियमचे क्षेत्र आम्हाला त्याच्या उंचीची गुणाकार मध्यभागाच्या लांबीच्या गुणाकार आढळते, जी सरासरी अंकगणित बेसच्या समान आहे. ट्रॅपेझियमचे क्षेत्र निर्धारित करण्याचा दुसरा पर्याय म्हणजे त्यांच्यातील कोनाच्या खाली डोंगोनल आणि साइनला गुणाकार करणे.

प्राथमिक शाळेतील मुलांना नेहमी असाइनमेंट दिले जातात: पेपर आकारावर पटल किंवा पारदर्शी कागदाच्या शीटसह काढलेले क्षेत्र शोधा. मोजलेल्या आकृतीवर पेपरचे अशा पत्रकाचे प्रमाण कमी होते, संपूर्ण पेशींची संख्या (क्षेत्रातील एकक) मानली जाते, ज्याने त्याच्या समोरील सदस्यता घेतली आहे, नंतर अपूर्ण संख्या, जे अर्ध्याद्वारे विभाजित आहे.

पृथ्वीचे मोजमाप कसे करावे याबद्दलचे ज्ञान, पुरातन काळात दिसून आले आणि हळूहळू विज्ञान मध्ये भूमिती केली. ग्रीक भाषेतून, हा शब्द अनुवादित आणि अनुवादित - "Amerlemeri" आहे.

लांबी आणि रुंदीसह पृथ्वीवरील सपाट प्लॉटची लांबी ही क्षेत्र आहे. गणितामध्ये, हे सामान्यत: लॅटिन लेटरच्या (इंग्रजीतून. स्क्वेअर - "स्क्वेअर", "स्क्वेअर") किंवा ग्रीक अक्षर σ (सिग्मा) दर्शविले जाते. एस हे विमान किंवा शरीराच्या पृष्ठभागावर आकृतीचे क्षेत्र दर्शविते आणि भौतिकशास्त्रातील वायरचे क्रॉस-विभागीय क्षेत्र आहे. हे मुख्य पात्र आहेत, जरी इतर असू शकतात, उदाहरणार्थ, सामग्रीच्या प्रतिकार क्षेत्रामध्ये आणि प्रोफाइलच्या क्रॉस विभागाचे क्षेत्र आहे.

संपर्कात

गणना साठी सूत्र

सामान्य आकडेवारीचे क्षेत्र जाणून घेणे, आपण अधिक जटिलांचे पॅरामीटर्स शोधू शकता. अँटिश गणितज्ञ सूत्रांना तयार करण्यात आले होते ज्यासाठी आपण त्यांना सहजपणे गणना करू शकता. अशा आकडे एक त्रिकोण, एक वैकल्पिक, एक बहुभुज, एक मंडळ आहे.

कॉम्प्लेक्स फ्लॅट आकृतीचे क्षेत्र शोधण्यासाठी, ते त्रिकोण, ट्रॅपेझॉइड्स किंवा आयताकृतीसारख्या बर्याच सोप्या आकडेवारीमध्ये विभागलेले आहे. मग गणितीय पद्धतींसह या आकृतीच्या क्षेत्रासाठी सूत्र प्राप्त करा. समान पद्धत केवळ भूमितीमध्येच नाही तर गणितीय विश्लेषणामध्ये देखील वक्रांद्वारे मर्यादित असलेल्या आकडेवारीच्या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी.

त्रिकोण

चला सर्वात सोपा आकृती सह प्रारंभ करू - एक त्रिकोण. ते आयताकृती, समृद्ध आणि समकक्ष आहेत. एबी \u003d ए, बीसी \u003d बी आणि एसी \u003d सी (δ एबीसी) सह कोणताही एबीसी त्रिकोण घ्या. त्याचे क्षेत्र शोधण्यासाठी, प्रसिद्ध साइनस आणि कोसाइन्स प्रमेय लक्षात ठेवा की गणिताच्या शाळेच्या अभ्यासक्रमापासून. सर्व गणना सोडणे, खालील सूत्रांमध्ये येतात:

• एस \u003d √ - सर्व Geron फॉर्म्युला ज्ञात, जेथे पी \u003d (ए + बी + सी) / 2 एक त्रिकोण अर्धा कालावधी आहे;
• एस \u003d ए एच / 2, जेथे एच उंची आहे, बाजूस कमी होते;
• एस \u003d बी (पाप γ) / 2, जेथे γ पक्ष ए आणि बी यांच्यातील कोन आहे;
• एस \u003d ए बी / 2 जर δ एबीसी आयताकृती आहे (येथे ए आणि बी-कॅटेट्स);
• S \u003d b² (पाप (2 β)) / 2, जर δ abc एक अगोदर आहे (येथे बी हा "हिप" असा आहे, β "त्रिकोणाच्या" हिप "मधील कोन आहे);
• एस \u003d A² √¾ जर δ एबीसी एक समतोल आहे (येथे त्रिकोण एक बाजू).

Quirhugon.

तेथे चार-तपकिरी एबीसीडी असू द्या, ज्यामध्ये एबी \u003d ए, बीसी \u003d बी, सीडी \u003d सी, एडी \u003d डी आहे. अनियंत्रित 4-स्क्वेअरचे क्षेत्र शोधण्यासाठी, दोन त्रिकोणांच्या कर्णकांसह ते विभाजन करणे आवश्यक आहे, ज्यांचे क्षेत्र एस 1 आणि एस 2 साधारणतः समान नाहीत.

मग, सूत्रानुसार, त्यांना मोजा आणि folded, i.s s \u003d s1 + s2. तथापि, 4-स्क्वेअर विशिष्ट वर्गाशी संबंधित असल्यास, त्याचे क्षेत्र आगाऊ ज्ञात सूत्रांमध्ये आढळू शकते:

• एस \u003d (ए + सी) एच / 2 \u003d ईएच, जर 4-स्क्वेअर ट्रॅपेझियम आहे (येथे ए आणि सी - बेस, ई ट्रॅपेझियमची मध्यम ओळ आहे, एच \u200b\u200bउंचीच्या एका तळापर्यंत कमी आहे ट्रॅपेझियम;
• S \u003d ah \u003d abin \u003d ab sin φ \u003d d1 d2 (SINE φ) / 2, जर एबीसीडी असेल तर (येथे φ बाजूंच्या ए आणि बी मधील कोन आहे, ए. एच - उंची, साइड ए, डी 1 आणि डी 2 - तिरंगी) आहे. ;
• एस \u003d ए बी \u003d डी डी / 2, जर एबीसीडी एक आयत (डी-डोगोनल) असेल तर;
• S \u003d a² sin φ \u003d p² (पाप φ) / 16 \u003d d1 d2/2, जर एबीसीडी abcd rhombus (combus च्या एक बाजू आहे, φ त्याच्या कोपरांपैकी एक आहे, पी परिमिती आहे);
• एस \u003d a² \u003d p² / 16 \u003d d² / 2, जर एबीसीडी एक चौरस असेल तर.

बहुभुज

एन-स्क्वेअरचे क्षेत्र शोधण्यासाठी गणित हे सोप्या समान आकृत्यांवर खंडित करते - फाइनल, त्यांच्यापैकी प्रत्येकाचे क्षेत्र शोधा आणि नंतर गुंडाळा. परंतु जर पॉलीगॉन योग्य वर्गाशी संबंधित असेल तर फॉर्म्युला वापरला जातो:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d p² /, जेथे no polygon च्या शिर्षकांची संख्या आहे, ए एन-स्क्वेअरची बाजू आहे, पी तिचे परिमिती, एच - अपोफिम, म्हणजे सेगमेंट आहे. बहुसंख्य पॉलीगॉनच्या मध्यभागी 9 0 डिग्रीच्या कोनावर आहे.

एक मंडळ

सर्कल एक अनंत संख्या असलेल्या एक परिपूर्ण बहुभुज आहे. आपल्याला पॉलीगॉन क्षेत्राच्या सूत्राच्या फॉर्म्युलाच्या फॉर्म्युलाच्या उजवीकडील अभिव्यक्तीची मर्यादा मोजण्याची गरज आहे, अनंतकाळच्या प्रयत्नात. या प्रकरणात, पॉलीगॉनच्या परिमिती त्रिज्या आरच्या वर्तुळाच्या लांबीमध्ये वळतील, जी आमच्या मंडळाची सीमा असेल आणि पी \u003d 2 π r r. आम्ही या अभिव्यक्ती फॉर्म्युला मध्ये बदलू. आम्ही या अभिव्यक्तीची पूर्तता करू वर निर्दिष्ट. आम्हाला मिळेल:

एस \u003d (π² r² cos (180 ° / n)) / (180 ° / n)).

N → → येथे या अभिव्यक्तीची मर्यादा शोधा. हे करण्यासाठी, त्या लिम (सीओएस (180 ° / एन) वर विचार करा (सीओएस (180 ° / एन) आहे. 0 ° \u003d 1 (लिम - मर्यादा चिन्ह), आणि Lim \u003d लिम येथे n → 1 / π (आम्ही एक हस्तांतरित केले आहे प्रमाण गुणोत्तर वापरून radian साठी उपाय π आनंद \u003d 180 ° आहे, आणि एक्स → ∞ लागू करण्यासाठी प्रथम उल्लेखनीय मर्यादा मर्यादा (पाप x) / x \u003d 1). प्राप्त केलेल्या मूल्यांकडे शेवटच्या अभिव्यक्तीमध्ये बदल करणे, सुप्रसिद्ध सूत्राकडे जा:

S \u003d π² r² 1 (1 / π) \u003d π r².

युनिट्स

सिस्टम आणि नॉन-सिस्टम युनिट्स वापरली जातात. सिस्टम युनिट्स सी (सिस्टम इंटरनॅशनल) पहा. हे एक चौरस मीटर आहे (चौ. मीटर, एम²) आणि त्यातून मिळविलेले युनिट्स: एमएम², सें.मी., किमी².

स्क्वेअर मिलिमीटरमध्ये (मिमी²), उदाहरणार्थ, स्क्वेअर सेंटीमीटर (सीएमए) मध्ये वायरच्या क्रॉस-विभागीय क्षेत्रामध्ये - कनिष्ठ मेकॅनिक्समधील बीमचे विभाग, चौरस मीटर (एमएएम) - अपार्टमेंट्स किंवा येथे घर, चौरस किलोमीटर (किमी²) - भूगोलमधील क्षेत्र.

तथापि, काही मोजमाप युनिट्स कधीकधी वापरल्या जातात, जसे की: विणकाम, एआर (ए), हेक्टर (हेक्टर) आणि एकर (एसी). आम्ही खालील गुण देतो:

• 1 विणकाम \u003d 1 ए \u003d 100 एमए \u003d 0.01 हेक्टर;
• 1 ha \u003d 100 ए \u003d 100 एकर \u003d 10,000 M² \u003d 0.01 किमी \u003d 2.471 स्पीकर्स;
• 1 एसी \u003d 4046.856 M² \u003d 40.47 ए \u003d 40.47 एकर \u003d 0.405 हेक्टर.

काही अविभाज्य. आकृती क्षेत्राची गणना कशी करावी

इंटीग्रल ऍप्लिकेशन ऍप्लिकेशन्सच्या विचारात जा. या पाठात, आम्ही सामान्य आणि सर्वात सामान्य कार्य विश्लेषण करू. - विशिष्ट अभिन्न सह विमान आकार गणना कशी करावी. शेवटी, उच्च गणितामध्ये अर्थ पाहून - ते सापडेल. थोडे. आम्हाला जीवनातील देश क्षेत्र प्राथमिक कार्यासह आणणे आवश्यक आहे आणि विशिष्ट अभिन्न वापरून त्याचे क्षेत्र शोधावे लागेल.

यशस्वी भौतिक विकासासाठी, हे आवश्यक आहे:

1) किमान सरासरी पातळी अनिश्चितपणे समजून घेण्यासाठी. अशा प्रकारे, teapotes धडा परिचित असणे आवश्यक आहे नाही.

2) न्यूटन लॅबनिक फॉर्म्युला लागू करण्यास आणि विशिष्ट समाकलित गणना करण्यास सक्षम होण्यासाठी. पृष्ठावरील काही समाकलितांसह उबदार मैत्री स्थापित करणे काही अविभाज्य. निराकरण उदाहरणे.

खरं तर, आकृतीचे क्षेत्र शोधण्यासाठी अनिश्चित आणि परिभाषित अभिन्न गोष्टीचे कोणतेही ज्ञान नाही. कार्य "एखाद्या विशिष्ट इंटिग्रलच्या मदतीने क्षेत्राची गणना करा" नेहमीच रेखाचित्र बांधण्याचे ठरवतेत्यामुळे, एक अधिक संबंधित समस्या आपले ज्ञान आणि रेखाचित्रांचे कौशल्य आणि कौशल्य असेल. या संदर्भात, मुख्य प्राथमिक कार्याच्या ग्राफिक्सच्या मेमरीमध्ये रीफ्रेश करणे उपयुक्त आहे आणि कमीतकमी, सरळ, पॅराबोला आणि हायपरबोला तयार करण्यास सक्षम असावे. भौमितिक चार्ट परिवर्तनांवर पद्धतशीर साहित्य आणि लेख वापरून हे (बर्याच आवश्यक) केले जाऊ शकते.

प्रत्यक्षात, विशिष्ट अभिन्न मदतीने क्षेत्र शोधण्याचे कार्य, प्रत्येकजण शाळेत परिचित आहे आणि आम्ही शाळेच्या प्रोग्राममधून थोडेसे खाऊ. हा लेख देखील असू शकत नाही, परंतु खरं आहे की, 100 पैकी 99 प्रकरणे आढळतात जेव्हा विद्यार्थ्यांना उच्च गणिताच्या मार्गावर जाण्याच्या उत्साहाने उत्साहाने ग्रस्त आहे.

या कार्यशाळेचे साहित्य सहजपणे, तपशीलवार आणि किमान सिद्धांतासह सादर केले जातात.

चला curvilinear trapezium सह सुरू करूया.

Curvilinear trapezium एका सपाट आकृतीला मर्यादित अक्ष, सरळ आणि फंक्शनच्या सेगमेंटवर सतत शेड्यूल म्हणतात जे या अंतरावर चिन्ह बदलत नाही. हा आकृती स्थित होऊ द्या कमी नाही Abscissa axis:

मग curviliear trapezium च्या क्षेत्र संख्यात्मकदृष्ट्या एक विशिष्ट अभिन्न आहे. कोणतीही विशिष्ट अभिन्न (जे विद्यमान आहे) एक अतिशय चांगले भौमितिक अर्थ आहे. धड्यावर काही अविभाज्य. निराकरण उदाहरणे मी म्हटलं की एक निश्चित समाकलित एक संख्या आहे. आणि आता हे आणखी एक उपयुक्त सत्य सांगण्याची वेळ आली आहे. भूमितीच्या दृष्टिकोनातून, एक निश्चित अभिन्न अंग आहे.

I.e, एक विशिष्ट अभिन्न (जर अस्तित्वात असेल तर) भौमितिकदृष्ट्या काही आकृतीच्या क्षेत्राशी संबंधित आहे. उदाहरणार्थ, विशिष्ट अभिन्न विचार करा. इंटिग्रंड फंक्शन ऍक्सिसच्या वर असलेल्या विमानावर एक वक्र (जे रेखाचित्र काढू शकतात) आणि विशिष्ट समाकलित केले जाते आणि विशिष्ट इंटिग्रल स्वतःच संबंधित कर्विलीयर्स ट्रॅपेझियमच्या क्षेत्राच्या समान प्रमाणात समान आहे.

उदाहरण 1.

हे एक सामान्य कार्य फॉर्म्युलेशन आहे. निर्णयाचा पहिला आणि सर्वात महत्वाचा मुद्दा - रेखाचित्र तयार करणे. आणि रेखाचित्र बांधणे आवश्यक आहे उजवीकडे.

रेखाचित्र तयार करताना, मी खालील ऑर्डरची शिफारस करतो: पहिला सर्व सरळ (जर ते असतील तर) तयार करणे चांगले आहे नंतर - पॅराबोलस, हायपरबोलास, इतर कार्ये वेळापत्रक. फंक्शन आलेख तयार करणे अधिक फायदेशीर आहे बटोचेोचेक-इन कंस्ट्रक्शनच्या तंत्रासह संदर्भ सामग्रीमध्ये आढळू शकते. प्राथमिक कार्ये चार्ट आणि गुणधर्म. आमच्या धड्याच्या संबंधात आपण एक अतिशय उपयुक्त सामग्री देखील शोधू शकता - त्वरित पॅराबोला कशी तयार करावी.

या कामात, निर्णय असे दिसू शकतो.
रेखाचित्र सादर करा (लक्षात घ्या की समीकरण अक्षांना सेट करते):

मी एक curiliinear trapeze स्ट्रोक करणार नाही, येथे एक भाषण आहे याबद्दल स्पष्ट आहे. निर्णय यासारखे चालू आहे:

सेगमेंट शेड्यूलवर एक फंक्शन स्थित आहे अक्ष वर, तर:

उत्तरः

एखाद्या विशिष्ट अभिन्न आणि न्यूटन-लीब्न्निया फॉर्म्युला वापराच्या वापरासह अडचणी येतात , व्याख्यान पहा काही अविभाज्य. निराकरण उदाहरणे.

कार्य पूर्ण झाल्यानंतर, रेखाचित्र आणि अंदाज पाहणे नेहमीच उपयुक्त आहे, वास्तविक एक बाहेर वळले. या प्रकरणात, "डोळ्यांवर" आम्ही चित्रकला असलेल्या पेशींची संख्या मोजतो - बरं, अंदाजे 9 उडी मारली जाईल, ती सत्य दिसते. हे स्पष्ट आहे की जर आम्हाला असे स्पष्ट आहे की, उत्तरः 20 स्क्वेअर युनिट्स, हे स्पष्ट आहे की एक त्रुटी कुठेतरी बनली आहे - 20 पेशींच्या आकृतीमध्ये, डझनच्या सामर्थ्यापासून ते फिट झाले नाही. जर उत्तर नकारात्मक वळले तर कार्य चुकीचे ठरवले जाते.

उदाहरण 2.

आकार, मर्यादित लाइन आणि अक्ष च्या क्षेत्राची गणना करा

स्वतंत्र समाधानासाठी हे एक उदाहरण आहे. धड्याच्या शेवटी संपूर्ण समाधान आणि उत्तर.

Curvilinear trapezium स्थित असल्यास काय करावे अक्ष अंतर्गत?

उदाहरण 3.

आकार, मर्यादित रेषा आणि समन्वयक axes च्या क्षेत्राची गणना करा.

निर्णय: रेखाचित्र सादर करा:

जर curvilinear trapezium स्थित असेल तर अक्ष अंतर्गत (किंवा कमीत कमी जास्त नाही हे अक्ष), त्यानंतर त्याचे क्षेत्र सूत्राद्वारे आढळू शकते:
या प्रकरणात:

लक्ष! दोन प्रकारच्या कार्ये गोंधळात टाकू नका:

1) आपल्याला कोणत्याही भौमितीय अर्थविना साध्या समाकलित सोडवण्यासाठी आमंत्रित केले असल्यास, ते नकारात्मक असू शकते.

2) विशिष्ट अभिन्न वापरून आकृतीचे आकृती शोधण्यासाठी आपल्याला आमंत्रित केले असल्यास, क्षेत्र नेहमीच सकारात्मक असतो! म्हणूनच मानलेल्या फॉर्म्युला कमी दिसतो.

सराव मध्ये, आकृती बहुतेकदा वरच्या आणि खालच्या अर्ध्या विमानात स्थित आहे, आणि म्हणूनच सर्वात सोप्या शाळेच्या चार्टवरून, अधिक अर्थपूर्ण उदाहरणांवर जा.

उदाहरण 4.

एक फ्लॅट आकृती, मर्यादित ओळी, क्षेत्र शोधा.

निर्णय: प्रथम आपल्याला चित्र काढण्याची गरज आहे. सामान्यपणे बोलताना, क्षेत्रातील कार्यात रेखाचित्र तयार करताना, आम्हाला लाइनच्या छेदनबिंदूच्या मुद्द्यांमध्ये जास्तीत जास्त रस असतो. पॅराबोला आणि थेट च्या छेदनबिंदूचे गुण शोधा. हे दोन मार्गांनी केले जाऊ शकते. प्रथम पद्धत विश्लेषणात्मक आहे. आम्ही समीकरण सोडवतो:

तर, कमी एकत्रीकरण मर्यादा, एकत्रीकरणाची उच्च मर्यादा.
हे शक्य असल्यास, शक्य असल्यास, वापरू नका.

ओळखीची रेखा तयार करण्यासाठी हे अधिक फायदेशीर आणि वेगवान आहे, तर एकत्रीकरण मर्यादा स्पष्ट केली जाते की "स्वतःद्वारे". विविध ग्राफ्ससाठी समाप्तीची तंत्रे मदतीमध्ये तपशीलवार मानली जाते प्राथमिक कार्ये चार्ट आणि गुणधर्म . तथापि, मर्यादा शोधण्याचा एक विश्लेषणात्मक मार्ग, कधीकधी लागू करणे आवश्यक आहे, उदाहरणार्थ, शेड्यूल पुरेसे मोठे असल्यास, किंवा प्रशिक्षित बांधकाम गुंतवणूकीची मर्यादा प्रकट करत नाही (ते फ्रॅक्शनल किंवा अकारण असू शकतात). आणि अशा उदाहरणावर आम्ही देखील विचार करतो.

आम्ही आमच्या कार्याकडे परतलो: अधिक तर्कसंगत प्रथम सरळ रेष तयार करा आणि केवळ पॅराबोला. रेखाचित्र सादर करा:

मी सध्याच्या बांधकामात असे पुन्हा सांगतो की एकत्रीकरण मर्यादा बर्याचदा "स्वयंचलित" द्वारे आढळतात.

आणि आता कार्यप्रणाली: जर काही निरंतर कार्य विभाजित असेल तर अधिक किंवा समान या कार्ये आणि थेट आलेखाने मर्यादित असलेल्या आकृतीचे क्षेत्र, आकृतीचे क्षेत्र सूत्रानुसार आढळू शकते:

येथे आकृती कुठे आहे हे विचार करणे आवश्यक नाही - अक्षावर किंवा अक्षांखाली, आणि, अंदाजे बोलणे, महत्वाचे उपरोक्त आलेख काय आहे(दुसर्या शेड्यूलशी संबंधित) आणि काय - खाली.

या उदाहरणामध्ये, हे स्पष्ट आहे की पॅराबोलाच्या सेगमेंटवर सरळ वर स्थित आहे आणि म्हणून ते कमी करणे आवश्यक आहे

समाधान पूर्ण करणे असे दिसू शकते:

वांछित आकृती वरून पॅराबोलापर्यंत आणि थेट तळाशी मर्यादित आहे.
संबंधित सूत्रानुसार, विभागात:

उत्तरः

खरं तर, खालच्या अर्ध्या-विमानात curvilinear trapezium च्या क्षेत्रासाठी शाळा फॉर्म्युला (साध्या उदाहरण क्रमांक 3 पहा) - फॉर्म्युला एक विशेष केस . एक्सिस समीकरणाद्वारे परिभाषित केल्यापासून आणि फंक्शन ग्राफ स्थित आहे जास्त नाही अक्ष, टी

आणि आता स्वतंत्र निर्णयासाठी दोन उदाहरणे

उदाहरण 5.

उदाहरण 6.

आकृती मर्यादित रेषा क्षेत्र शोधा,.

विशिष्ट अभिन्न असलेल्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी कार्ये सोडविण्याच्या कार्यात कधीकधी एक मजेदार केस होतो. रेखाचित्र योग्यरित्या पूर्ण झाले, गणना - उजवीकडे, परंतु तीव्र ... क्षेत्र आढळले नाहीआपल्या नम्र नोकर पॅक कसे होते. जीवनातून एक वास्तविक केस येथे आहे:

उदाहरण 7.

आकार, मर्यादित ओळी,, गणना करा.

निर्णय: प्रथम रेखाचित्र करा:

... अरे, ख्रेनोयन्स्कीचे चित्र बाहेर आले, परंतु सर्वकाही उचलणे दिसते.

ज्या व्यक्तीचे आपल्याला शोधण्याची गरज आहे ती निळ्या रंगात छायांकित आहे (आकृती मर्यादित पेक्षा - स्थितीवर काळजीपूर्वक पहा!). पण सराव मध्ये, "गोंधळ" बर्याचदा सावधगिरी बाळगतात, ज्याचा आपल्याला आकृतीचा क्षेत्र शोधण्याची गरज आहे, जे हिरव्या रंगाचे छायाचित्र आहे!

हे उदाहरण अद्याप उपयुक्त आहे आणि त्यामध्ये आकृतीच्या क्षेत्रास दोन विशिष्ट समाकलित करण्याचा विचार केला जातो. खरोखर:

1) अक्षांश भागावर थेट शेड्यूल आहे;

2) अक्षावरील सेगमेंटवर हायपरबोलचे आलेख आहे.

हे स्पष्ट आहे की स्क्वेअर (आणि आवश्यक) विघटित करणे शक्य आहे, म्हणून:

उत्तरः

दुसर्या वास्तविक कार्यवा.

उदाहरण 8.

आकार, मर्यादित ओळींच्या क्षेत्राची गणना करा,
"शाळा" फॉर्ममध्ये समीकरण कल्पना करा आणि वर्तमान रेखाचित्र सादर करा:

चित्रातून हे स्पष्ट आहे की आपल्याकडे "चांगले" आहे.
पण कमी मर्यादा काय आहे?! हे स्पष्ट आहे की हे पूर्णांक नाही, परंतु काय? कदाचित ? पण हमी कोठे आहे की रेखाचित्र परिपूर्ण अचूकतेसह बनवले जाते, हे कदाचित ते असू शकते. किंवा रूट. आणि जर आपण सामान्यत: अनुकरण केले तर?

अशा परिस्थितीत, आपल्याला अतिरिक्त वेळ खर्च करावा लागतो आणि विश्लेषणात्मक गुंतवणूकीची मर्यादा निर्दिष्ट करावी लागेल.

थेट आणि पॅराबोला च्या छेदनबिंदू बिंदू शोधा.
हे करण्यासाठी समीकरण सोडवा:


,

खरंच.

पुढील उपाय म्हणजे क्षुल्लक आहे, मुख्य गोष्ट बदल आणि चिन्हे मध्ये गोंधळात पडणार नाही, येथे गणना सर्वात सोपा नाही.

कट वर संबंधित सूत्रानुसार:

उत्तरः

तसेच, आणि धड्याच्या समाप्तीनंतर दोन कार्ये अधिक कठीण विचारात घ्या.

उदाहरण 9.

आकार, मर्यादित ओळींच्या क्षेत्राची गणना करा

निर्णय: चित्रात हा आकार दर्शवा.

धिक्कार, साइन इन करण्यासाठी शेड्यूल विसरला, परंतु चित्र पुन्हा करणे, क्षमस्व, हॉटझ नाही. वारसा नाही, लहान, दिवस आज \u003d)

सध्याच्या बांधकामासाठी आपल्याला साइनसॉईड्सचे स्वरूप माहित असणे आवश्यक आहे (आणि ते सामान्यतः माहित असणे उपयुक्त आहे सर्व प्राथमिक कार्याचे आलेख), तसेच काही साइनस मूल्ये, ते आढळू शकतात त्रिकोणोमेट्रिक टेबल. काही प्रकरणांमध्ये (यामध्ये), एक योजनाबद्ध रेखाचित्र तयार करण्याची परवानगी आहे ज्यावर आलेख आणि एकत्रीकरण मर्यादा सिद्धांतानुसार परावर्तित करणे आवश्यक आहे.

एकत्रीकरणाच्या मर्यादेसह, येथे कोणतीही समस्या नाही, ते थेट स्थितीतून अनुसरण करतात: - "एक्स" शून्य ते "पीआय" वर बदलते. आम्ही आणखी एक उपाय काढतो:

सेगमेंटवर, फंक्शन ग्राफ अक्षापेक्षा वर आहे, म्हणून: