Вектор, мэс засал хийлгэх. Векторууд бүх томъёо нь орон зайд байрладаг

Өөх нэр – энэ бол чиглэсэн шулуун шугам бөгөөд тодорхой урт, тодорхой чиглэлтэй сегмент юм. Цэгцгээе Гэхдээ - векторын эхлэл, цэг Б.. - түүний төгсгөл, дараа нь векторыг тэмдэг тэмдэглэсэн болно эсвэл . Залгасан харалдаа Өөх нэр тэмдэглэж болно .

Бид хэд хэдэн үндсэн тодорхойлолтыг бүрдүүлдэг.

Lё эсвэл өөрчлөлт Өөх нэр Сегментийн уртыг дуудавБайна уу. Вектор тэг урт (түүний мөн чанар - цэг) гэж нэрлэдэг бинт Чиглэлүүд байхгүй. Өөх нэр нэг уртыг нэрлэдэггонө бие Байна уу. Нэгж Вектор, энэ нь векторын чиглэлтэй давхцаж байна , эмэгтэй. эх orta vector .

Векторууд гэж нэрлэдэг сахилга Хэрэв тэд нэг шулуун шугам дээр хэвтвэл эсвэл параллель шулуун шугам дээр хэвтвэл бичнэ үүБайна уу. Collinee Vectors нь эсрэг чиглэлд давхцаж магадгүй юм. Тэг векторыг ямар ч вектор руу холбодог гэж үздэг.

Векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэдэгХэрэв тэд collinear, ижил чиглэлтэй бөгөөд ижил урттай.

Гурван вектор гэж нэрлэдэг таргасан Хэрэв тэд нэг онгоцонд эсвэл параллелийн онгоцонд хэвтэж байвал. Хэрэв гурван векторуудын дунд дор хаяж нэг тэг эсвэл хоёр ямар нэг collinear-т байвал ийм вектор нь тасалгаа юм.

Тэгш өнцөгт координатын системийг 0-ийг анхаарч үзээрэй xyz.Байна уу. Бид тэнхлэг дээрх координатуудыг тодруулна 0 х., 0y-Х., 0z. дан вектор (orts) бөгөөд тэдгээрийг дамжуулж болнотус тусад нь. Сансрын арбитрын векторыг сонгоод координатын эхлэлтэй нийцэж байна. Бид координатын тэнхлэг дээр векторыг боловсруулж, төсөөллийг нь зааж өгдөг a X., a Y., a Z. тус тусад нь. Дараа нь үүнийг харуулахад хэцүү биш юм

. (2.25)

Энэ томъёо нь вектор тооцооны үндсэн үндсэн бөгөөд дуудагддаг ortham координатын тэнхлэгийн векторыг задлах Байна уу. Тоон a X., a Y., a Z.нэв векторын зохицуулалт Байна уу. Тиймээс векторын координат нь координатын координатын тэнхлэгүүд юм. Векторын тэгш байдал (2.25) нь ихэвчлэн бүртгэгддэг

Бид векторын хаалтыг буржгар хаалтанд, векторын координатыг ялгахад хялбар, цэгийн координатуудыг харуулах болно. Сургуулийн геометрээс мэдэгдэж байгаа сегментийн уртыг ашиглан та вектор модулийг тооцоолох илэрхийлэлийг олж чадна:

, (2.26)

энэ бол вектор модуль нь координат квадрат квадрат квадрат талбайтай тэнцүү байна.

Булангийн булангийн хооронд булан, координатын тэнхлэгүүд α, β, γ тус тусад нь. Нарийнааз Эдгээр булангууд нь векторыг дууддаг чиглэл Тэдний хувьд харьцаа нь:Энэхүү тэгш байдлыг үнэнч байх нь дараахь хэсэгт байрлах вектор проектын шинж чанаруудыг ашиглан Vectore-ийн Vection-ийн шинж чанарыг ашиглаж болно.

Векторуудыг гурван хэмжээст орон зайд өгнөкоординатуудтайгаа хамт. Дараахь үйлдлүүд нь тэдэнд дараахь үйлдлүүд: шугаман (Нэмэлт, жишээ нь тэнхлэг эсвэл өөр вектор, дизайны үржүүлэх); Шугаман биш - төрөл бүрийн векторууд (скалбар, вектор, холимог).

1. Нийлбэр Хоёр векторыг төгсгөлд нь гүйцэтгэдэг, энэ нь

Энэ томъёо нь дур зоргоороо хязгааргүй тоогоор явагдана.

Геометрийн хувьд хоёр векторыг хоёр дүрмэнд нугалав.

гэхдээ) дүрэм гурвалжин - Хоёр векторуудын үр дүнгийн үр дүн нь эхний векторын эхлэлийг эхний векторын төгсгөлд давхцаж, хоёр дахь нь эхний векторын төгсгөлд давхцаж байна; Векторуудын нийлбэрийн хувьд энэ нь сүүлийн үеийн векторын үр дүнгийн эхлэл нь өмнөх үеийн векторын эхлэл нь өмнөх үеийнхээс давхцаж байв;

b) дүрэм параллельограм (хоёр векторын хувьд) - Параллельограмууд нь ижил эхлэл дээр байрлах талууд дээр суурилдаг; Ерөнхий эхнээс нь үүссэн параллелеллратын диагональ нь векторуудын нийлбэр юм.

2. Хасах үйлдэл Хоёр векторууд нэмж, нэмэлттэй ижил төстэй нөхөн сэргээлт хийдэг, энэ ньT.

Геометрийн хувьд хоёр векторууд нь аль хэдийн дурдсан Рекелографыг харгалзан үзсэн бөгөөд энэ нь векторын ялгааг харгалзан үзсэн бөгөөд энэ нь векторал бөгөөд энэ нь векторын төгсгөл бөгөөд үүний диагональ юм.

Векторын хор хөнөөлийн үр дагавар нь векторын эхлэл бөгөөд вектинын координатыг мэдэгдэж байгаа бөгөөд дараа нь вектор координатыг тооцоолохын тулд энэ нь координатыг координатаа хасахад зайлшгүй шаардлагатай Байна уу. Үнэхээр, ямар ч вектор орон зай Үүнийг координатын эхнээс гарч буй хоёр векторын зөрүүг илэрхийлж болно.Байна уу. Векторын координатууд ба цэгүүдийн координатуудтай давхцаж байнаГэхдээ ба ДэргэдКоординатын гарал үүслээс хойшТухай(0; 0; 0). Тиймээс, векторын дүрмийн дагуу энэ нь цэгийн координатыг хасахад зайлшгүй шаардлагатай байдагГэхдээцэгийн координатаасДэргэд.

3. В Ч. В. олон вектор нь 6 дугаар Үл тоомсорлох:.

Төлөө λ> 0 - вектор Аядах ; λ< 0 - вектор сөрөг оронтой ; | λ|> 1 - векторын урт Нэмэгддэг b. λ цаг;| λ|< 1 - векторын урт буурдаг λ цаг хугацаа.

4. Орон зайд шууд чиглэсэн шулуун шугам (тэнхлэг) l.), өөх нэр Төгсгөлийг тохируулаад координатыг эхлүүлнэ үү. Төсөөллөөр илэрхийлнэ Т. ба Б.. тэнхлэг дээр l. Үүний дагуу Т.’ ба Б..’ .

Төлөөлөл Өөх нэр тэнхлэг дээр l. Векторын урт гэж нэрлэдэгвектор бол "+" тэмдэгтэй хамт авсан ба тэнхлэг l.хамтран удирддаг, тэмдэглэгээтэй "- -", хэрэв байгаа бол ба l. Сөрөг оронтой.

Хэрэв тэнхлэг шиг бол l.өөр вектор авах, Би векторын төсөөллийг авдаг вектор r дээр r.

Төсөөллийн үндсэн шинж чанарыг авч үзье:

1) вектор төсөөлөл тэнхлэг дээр l. вектор модулийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү вектор ба тэнхлэгийн хоорондох булангийн косин дээр;

2.) Тэнхлэг дээрх векторын төсөөлөл нь эерэг (сөрөг) нь эерэг (сөрөг) бөгөөд хэрэв энэ өнцөг нь шулуун байвал тэг; ZERO;

3) Ижил тэнхлэг дээрх хэд хэдэн векторуудын нийлбэрийг төсөөлөх нь энэ тэнхлэг дээрх төсөөллийн хэмжээ тэнцүү байна.

БИДНИЙ ТӨЛӨВЛӨГӨӨНИЙ ТӨЛӨВЛӨГӨӨНИЙ ТӨЛӨВЛӨГӨӨ, ТЕХНОЛОГИЙН ТӨЛӨВЛӨГӨӨНИЙ ТӨЛӨВЛӨГӨӨНИЙ ТӨЛӨВЛӨГӨӨНИЙ ТӨЛӨВЛӨГӨӨ.

5. Хийн коны ажил вектор I.дугаар (скалар), өнцгийн косин дээр эдгээр векторын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүүφ тэдний хооронд

. (2.27)

Мэдээжийн хэрэг, ямар ч тэг бус векторын скаляр талбай нь өнцгөөс өнцгөөр нь тэнцүү байна Тиймээс, тиймээс түүний косин (2.27 цагт) нь 1-тэй тэнцүү байна.

Теорем 2.2. Хоёр векторын перпендикуляторын хувьд шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл байдал нь тэдний скаляр бүтээгдэхүүн юм

Corollary. Хос үүнтэй скаляр скаляр хийх ажил нь тэг бөгөөд тэг юм

Теорем 2.3. Хоёр векторын скалярын бүтээгдэхүүнТэдний координатууд нь ижил координатын бүтээлүүдийн хэмжээнээс тодорхойлогддог

(2.28)

Векторын векторын скаляр бүтээгдэхүүнийг ашиглан өнцгийг тооцоолох боломжтой Тэдний хооронд. Хэрэв тэг бус хоёр векторууд координатаар зааж өгсөн бол, дараа нь косины буланφ Тэдний хооронд:

(2.29)

Тиймээс тэг бус векторуудын перпендикуляци хийх нөхцөлбас:

(2.30)

Projection Vector-ийг хайж олох вектороор заасан чиглэлд томъёогоор гүйцэтгэж болно

(2.31)

Векторын скалярын бүтээгдэхүүний тусламжтайгаар векторын тусламжтайгаар байнгын хүч чадлыг олдог замын шулуун шугамаар.

Тогтмол хүч чадлын үйл ажиллагааны дор бодъё гэж бодъё материалын цэг нь байрлалаас шууд хөдөлдөг Гэхдээдүрслэлд Б.. Векторын хүч маягт маягт болгон φ Аялалын вектортой (Зураг 2.14). Физик нь хүчний ажил гэдгийг маргаж байна Хөдлөхөдтэнцүү.

Үүний улмаас, аппликешний цэгийн шулуун хөдөлгөөн бүхий байнгын хүч чадлын ажил нь хөдөлгөөний векторын векторын вектортай тэнцүү байна.

Жишээ 2.9.Дээд талд нь өнцгөөр нь өнцгийг олохын тулд векторын скаляр бүтээгдэхүүнийг ашигланТ. ПараллельограмA B C D., автобус вектор дээр

Шийдвэр.Бид вектулуудын модулийг тооцоолж, тэдгээрийн скаларын бүтээгдэхүүнийг теорем (2.3) -аас тооцдог.

Тийм болохоор (2.29) -ийн дагуу (2.29), бид хиймэл өнцгөөр косинаг авдаг

Жишээ 2.10.Нэг тонн кардентын үйлдвэрлэл, материаллаг нөөцийн зардлыг ашигласан бараа, материаллаг нөөцийг хүснэгтэд 2.2 (RUP.) Өгдөг.

Нэг тонн зуслангийн бяслаг үйлдвэрлэхэд зарцуулсан эдгээр нөөцийн нийт үнэ хэд вэ?

Хүснэгт 2.2.

ШийдвэрБайна уу. Бид хоёр хувилбарыг харгалзан үзсэн хоёр хувилбарыг танилцуулж байна: нэг тонн бараа бүтээгдэхүүний зардлын зардал, холбогдох нөөцийн үнийн вектор.

Дараа нь . Нөөцийн нийт үнэвекторын скаляр бүтээгдэхүүн гэж юу вэБайна уу. Toorem 2.3-ийн дагуу томъёоны дагуу (2.28) -ын дагуу тооцоолно уу.

Ийнхүү, нэг тонн кардингийн зардлын нийт зардал нь 279,59,541.5,541.5 рубль юм

Мөнгөн дэвсгэртБайна уу. Жишээ нь (10-р сарын 2.10-д хэрэгжүүлсэн векторууд. MS Excel-ийн векторын скаляторыг олохын тулд Matrices-ийн хэллэгийг () функцийг ашиглана уу. Mathcad-д, хоёр векторын скаляр нь хоёр векторын скаларын бүтээгдэхүүн нь холбогдох матрицын багаж самбарыг ашиглан гүйцэтгэдэг

Жишээ 2.11. Хүчээр хийсэн ажлыг тооцоолохХэрэв түүний програмын цэг нь байрлалаас шууд хөдөлж байвал Т.(2; 4; 6; 6) байрлалд Т.(4; 2; 7). Яаж өнцөг Af чиглэсэн хүч ?

Шийдвэр.Бид хөдлөх, координатын координатаас хүхийн векторыг олдогсОНГОЛТЫН СОНГОЛТ

Байна уу. Томъёоны тусламжтайгаар (2.28) (ажлын нэгж).

Өнцөг булан φ i хооронд. хАРИУЦЛАГА (2.29) -ийн дагуу олоорой

6. Урьдчилан тохиромжгүй гурван векторуудзаасан захиалгын хэлбэрээр авсанзөв троика, гурав дахь векторын төгсгөлөөс ажиглагдсан тохиолдолд Эхний векторын хамгийн богино эргэлт хоёр дахь вектор рууцагийн зүүний эсрэг дуусгасан бататвар мэдэм цагийн зүүний дагуу.

Векторын ажил вектор дээр вектор вектор гэж нэрлэдэг дараахь нөхцлийг хангаж өгөх:

– Векторуудад перпендикуляр ба;

- урттай тэнцүү байнахаана φ - векторууд үүссэн өнцөгба;

- векторууд Баруун гурван хэлбэрийг бүрдүүлнэ (Зураг 2.15).

Теорем 2.4. Хоёр векторын континизаци хийхэд хангалттай, хангалттай нөхцөл бол тэдний векторын ажлын тэгш тэгши юм

Теорем 2.5. Вектор урлагийн бүтээлийн векторуудтэдгээрийн координатууд нь тухайн зүйлийн гурав дахь дарааллаар тодорхойлсон

(2.32)

Тэмдэглэл.Түргэн мөч (2.25) 7 тодорхойлолтын өмчөөр буурсан

Corollary 1.Хоёр векторын континизаци хийх шаардлагатай, хангалттай нөхцөл бол тэдгээр нь тэдний зохицуулгаа эзэлдэг.

Corollary 2.Нэг талын вектор хэсгүүд нь тэнцүү байна

Corollary 3.Ямар ч векторын вектор квадрат нь тэг юм

Векторын ажлын геометрийн тайлбар Энэ нь үр дүнд хүрсэн векторын урт нь тухайн газартай тоонтой тэнцүү юм С сар. Параллеллреллраммыг ижил эхлэлд оруулсан тал дээр байрлуулсан Үнэхээр тодорхойлолтын дагуу векторын вектор урлагийн модуль нь тэнцүү байна. Нөгөө талаар векторуудад баригдсан параллеллратын хэсэг мөн тэнцүү Байна уу. Тиймээс,

. (2.33)

Бас векторын бүтээгдэхүүнийг ашиглах, та цэг, шугаман харьцангуй хүчний мөчийг тодорхойлох боломжтой эргэлтийн хурд.

Цэг дээр Т. хэрэглэсэн хүч үүнийг хий Х. - зайны зарим цэг (Зураг 2.16). Физикийн явцад энэ нь мэдэгддэг хүч чадал цэгтэй харьцуулахад Х. вектор гэж нэрлэдэг энэ нь цэгээр дамждагХ. дараахь нөхцлийг хангаж,

Онгоцоор дамжин өнгөрөх онгоцонд перпендикуляр Х., Т., Б..;

Модуль нь мөрөн дээрх хүчний ажилтай ижил тэнцүү байна.

- баруун троика-г векторуудаар бүрдүүлдэг ба.

Тиймээс, хүчний мөч цэгтэй харьцуулахадХ. нь векторын ажил юм

. (2.34)

Дохилох оноо Дэлхийнар.хатуу бие эргэлддэг өнцгийн хурдтай суурин тэнхлэгийн эргэн тойронд томъёогоор тодорхойлдог Эертер, Х. - зарим нь тогтмол

тэнхлэгийн цэг (Зураг 2.17).

Жишээ 2.12.Гурвалжин хэсгийг олохын тулд векторын бүтээгдэхүүний тусламжтайгаар APCВектор дээр суурилсаннэг эхлэлийг харуулав.

Стандарт тодорхойлолт: "Вектор бол чиглэсэн сегмент юм." Ихэвчлэн, энэ нь векторуудын талаар төгсөлтийн талаархи мэдлэгээр хязгаарлагддаг. Хэн нэг нь "чиглэсэн сегментүүд" хэрэгтэй вэ?

Үнэндээ векторууд юу вэ, яагаад тэд вэ?
Цаг агаарын урьдчилсан мэдээ. "Салхи нь баруун хойд зүгт, секундэд 18 метрийн хурд." Зөвшөөрч, салхины асуудлын чиглэл (энэ нь үлдэгдэл), ба модуль нь түүний хурдыг (энэ нь, үнэмлэхүй утга).

Чиглэл байхгүй утгууд нь скалар гэж нэрлэдэг. Масс, ажил, цахилгаан цэнэгийг хаашаа ч чиглүүлдэггүй. Тэдгээр нь зөвхөн тоон утгаар тодорхойлогддог - "хэдэн килограмм" эсвэл "хичнээн joule" вэ?

Зөвхөн үнэмлэхүй үнэ цэнэтэй биш харин физик хэмжээ, гэхдээ чиглэлийг вектор гэж нэрлэдэг.

Хурд, хүч чадал, хурдатгал - векторууд. Тэдний хувьд энэ нь "Хичнээн их", чухал ач холбогдолтой "хаана" юм. Жишээлбэл, чөлөөт уналтын хурдатгал нь дэлхийн гадаргуу руу чиглэсэн бөгөөд түүний үнэ цэнэ нь 9.8 м / с 2 байна. Пульс, цахилгаан талбайн хүч чадал, соронзон орны индукц, индукцийг сорогчийн утга - бас векторын утга.

Та физик хэмжээг үсэг, Латин эсвэл Грек хэлээр тэмдэглэсэн гэдгийг та санаж байна. Захидлаас дээш захиа нь үнэ цэнэ нь Вектор юм гэдгийг харуулж байна.

Энд бас нэг жишээ байна.
Машин нь a-аас доош шилждэг b. Төгсгөлийн үр дүн нь P цэгээс A цэгээс B цэгээс чиглэнэ B цэгээс гарч, энэ нь вектор дээр хөдөлж байна .

Одоо вектор нь яагаад чиглэсэн сегмент юм бэ? Тэмдэглэл, векторын төгсгөл бол сум хаана байна. Урт вектор Энэ сегментийн уртыг дуудав. Илэрхийлнэ: эсвэл

Одоог хүртэл бид арифметик, элементийн англи хэл дээрх дүрмийн дагуу ажилласан. Векторууд - шинэ ойлголт. Энэ бол Математикийн өөр нэг ангийн объект юм. Тэдний хувьд тэдний дүрмээр.

Нэг удаа бид тоонуудын талаар мэдэхгүй байсан. Тэдэнтэй танилцах нь бага ангийн ангид эхэлсэн. Энэ нь тоог бие биетэйгээ харьцуулж, нугалж, нугалж, хэмжээгээр хасах боломжтой. Нэг тоо, тоог тэг гэж мэдсэн.
Одоо бид векторуудтай танилцаж байна.

Векторуудын хувьд "илүү", "бага" ба "бага" ойлголт байхгүй байна - тэд өөр өөр чиглэл байж болно. Та зөвхөн векторын уртыг харьцуулж болно.

Гэхдээ векторын тэгш байдлын тухай ойлголт.
Тэнцүү Ижил урттай, ижил чиглэлтэй векторууд гэж нэрлэдэг. Энэ нь векторыг онгоцонд хаа сайгүй байршлаар шилжүүлэх боломжтой гэсэн үг юм.
Гонө бие Вектор гэж нэрлэдэг, урт нь 1-тэй тэнцүү байна. Тэг - Вектор, тэг нь тэг байх ёстой, тэгээд энэ нь эцэст нь төгсгөлтэй давхцдаг.

Энэ нь тэгш өнцөгт координатын системд вектортой ажиллах нь хамгийн тохиромжтой юм. Зохицуулагчийн систем бүрт байрлах цэг бүр нь хоёр тоонд тохирч байна.
Вектор нь бас хоёр координатыг тогтоодог:

Хаалтанд байгаа нь векторын координатуудыг тэмдэглэсэн - x ба y.
Тэд бол зүгээр л: Векторын координатын төгсгөлийг эхлүүлэх координатын төгсгөл.

Хэрэв вектор координатыг зааж өгсөн бол түүний урт нь томъёо байрладаг

Векторуудаас гадна

Vectors-ийн нэмэлт зүйлийн хувьд хоёр арга байдаг.

нэг юм. Дүрэмлэгүүд параллеллррам. Векторыг нугалахад бид хоёулаа хоёулаа хоёулаа хоёулаа нэг цэг дээр тавьдаг. Та параллельограмд \u200b\u200bболон ижил цэгээс бид ижил цэгээс гарна. Энэ нь векторуудын нийлбэр бөгөөд.

Хавтан, хорт хавдрын талаар бэхэлгээгээ санаж байна уу? Тэд маш их хичээсэн боловч хэзээ ч дүр зурагнаас хэн ч сольсонгүй. Эцсийн эцэст, машинд хавсаргасан векторын нийлбэр нь тэг байв.

2. Векторыг нэмэх хоёр дахь арга бол гурвалжин дүрмийг захирдаг. Ижил векторуудыг авч,. Эхний векторын төгсгөлд би хоёр дахь эхлэлийг хавсаргана. Одоо хоёр дахь эхний ба төгсгөлийн эхлэлийг холбоно уу. Энэ бол векторуудын нийлбэр юм.

Үүнтэй ижил аргаар, хэд хэдэн векторыг нугалж болно. Бид тэдгээрийг нэг нэгээр нь нэмж, дараа нь эхнийх нь эхнээс нь сүүлний төгсгөлд нэгтгэнэ.

B цэгээс B C C C C, B-ээс C-ээс B-ээс B C, D-ээс D, F-ээс E ба F-д очно гэж төсөөлөөд үз дээ. Эдгээр үйлдлийн эцсийн үр дүн нь F-ээс f-ээс хөдөлж байна.

Вектор нэмэх, авах үед:

Векторуудыг хас

Векторыг эсрэг вектор руу илгээдэг. Векторын урт нь тэнцүү байна.

Одоо энэ нь векторуудын аль хэсгийг арилгах нь тодорхой юм. Векторуудын зөрүү нь вектор ба векторын нийлбэр юм.

Векторыг тоогоор үржүүлнэ

Кектор k дугаарыг үржүүлэх үед векторыг авах үед векторыг олж авах, урт нь уртаас ялгаатай. Энэ нь k нь илүү том бөгөөд хэрэв k нь тэгээс бага хэмжээтэй бол вектороор бүрсэн байдаг.

Scalar бүтээгдэхүүний векторууд

Векторуудыг зөвхөн тоогоор тоогоор тоогоор үржүүлж, гэхдээ бие биендээ бас байдаг.

Векторын скаларын бүтээгдэхүүн нь тэдгээрийн хоорондох булангийн косин дээрх векторуудын урттай бүтээгдэхүүн юм.

Тэмдэглэл - Хоёр векторыг нүүлгэсэн бөгөөд скаляр нь эргэв, энэ нь юм. Жишээлбэл, физик, механик ажил нь хоёр векторын скаляртай тэнцүү байна.

Хэрэв векторууд перпендикуляр байвал тэдний скаларын бүтээгдэхүүн тэг байна.
Ба векторын координатаар илэрхийлэгдсэн скаляр бүтээгдэхүүн нь:

Томъёо-аас скаляр бүтээгдэхүүний томъёо, та векторуудын өнцгийг олох боломжтой.

Энэ томъёо нь ялангуяа Стереометрид маш тохиромжтой. Жишээлбэл, математикийн 14-ний өдөр Профайл шалгалтын 14-ний өдрийн профайлын шалгалтанд та шулуун эсвэл шулуун, хавтгай хоорондох өнцөгийг олох хэрэгтэй. Ихэнхдээ, 14 даалгаврыг сонгодог-аас хэд дахин хурдан шийддэг.

Сургуулийн хөтөлбөрт математикийн хөтөлбөрт хамрагдах, зөвхөн векторын скаларын бүтээгдэхүүнийг судлах болно.
Энэ нь скаляраас бусад тохиолдолд вектор нь векторын үр дүнд вектор юм. Физикийн шалгалтанд хэн өгч байгаа нь Лорентц, амперийн хүчийг мэддэг гэдгийг мэддэг. Эдгээр хүчийг олох томъёо нь вектор урлагт багтдаг.

Векторууд - ашигтай математикийн хэрэгсэл. Үүнд та эхний жилийг харах болно.

Тодорхойлолт 1.Сансарт векторчиглүүлэгч сегмент гэж нэрлэдэг.

Тиймээс, векторууд, скаляр утгаас ялгаатай нь хоёр шинж чанартай, урт ба чиглэлтэй. Бид векторын тэмдгийг тодорхойлох, эсвэл гэхдээ .

(Эсвэлнд) Гэхдээба Дэргэд- энэ векторын эхлэл ба төгсгөл (Зураг.1))) гэхдээ Дэргэд

Векторын уртыг модулийн тэмдэгээр зааж өгсөн болно. .Гэхдээсах зураг Холбоно

Гурван төрлийн векторууд нь тэдний хоорондын тэгш байдлын харьцааг тодорхойлдог.

Мацаг барьсан векторуудтэдгээрийг тэнцүү гэж нэрлэдэг, хэрэв тэд эхлэл, төгсгөл нь давхцаж байвал. Ийм векторын жишээ бол цахилгаан вектор юм.

Гулсах векторуудтэдгээрийг нэг шулуун шугамаар байрлуулсан бол ижил урттай бол ижил урт, чиглэлтэй болно. Ийм векторуудын жишээ бол хурдны вектор юм.

Үнэгүй эсвэл геометрийн векторуудзэрэгцээ шилжүүлэх боломжтой бол тэнцүү гэж үзнэ.

Аналитик геометрийн талаар ярилцах явц зөвхөнсул векторууд.

Тодорхойлолт 2.Вектор, тэг нь тэг гэж нэрлэгддэг бинтвектор, эсвэл тэг -

Өөх нэр.

Мэдээж тэг векторын эхлэл ба төгсгөл давхцаж байна. Тэг вектор нь тодорхой чиглэлгүй эсвэл байгаа биедээчиглэл.

Тодорхойлолт 3.Нэг шулуун эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байгаа хоёр хувилбарыг дууддаг

сахилга(Зураг.2). Илэрхийл:
.т.

б..

Тодорхойлолт 4.Хоёр collinear ба ижил чиглэсэн векторуудыг дууддаг

хоньсон.Илэрхийл:
.

Одоо та үнэгүй векторуудын тэгш байдлыг тодорхойлохыг хүсч байна.

Тодорхойлолт 5.Хоёр үнэгүй векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэдэг, хэрэв тэд бүрсэн бол

ижил урттай.

Тодорхойлолт 6.Нэг эсвэл параллелийн онгоцонд хэвтэж буй гурван векторууд гэж нэрлэдэг

таргасан.

Перпендикуляр векторын хоёр дуудлага харилцан orthogonal:
.

Тодорхойлолт 7.Векторын тусгаарлагдсан уртыг дуудав нэг вактерэсвэл ort.

Ort, тэгээс вектороор бүрсэн гэхдээ очих orta vectorгэхдээ :эьм. т. .

§2. ХӨДӨЛМӨРИЙН АЖИЛЛАГААНЫ АЖИЛЛАГАА.

БЭЛГЭРЭНГҮЙ БАЙГУУЛЛАГУУДЫН НЭГДҮГЭЭР НЭГДСЭН ХӨДӨЛМӨРИЙН ХУДАЛДАН АВАХ: Векторууд болон векторыг тоогоор тоогоор нэмнэ.

I. Векторуудын нэмэлт.

2 векторын нийлбэр нь векторыг вектор гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь эхнийх нь эхлэлтэй давхцаж, хоёрдугаарт ороод хоёрдугаарт ордог.

L. eGCO нь хоёр векторын нийлбэрийг тодорхойлсон, тодорхойлсон

тиймээс (Зураг 3а), векторуудын нийлбэртэй давхцаж байна.

parallellelam-ийн дүрмийн дагуу баригдсан (Зураг 6). б..

Гэсэн хэдий ч энэ дүрэм нь таныг барих боломжийг олгодог т.

ямар ч тооны векторуудын нийлбэр (Зураг 3b).

т. + б..

т.

б.. т. + б.. + с c.

зураг. с c.

Чиглэлийн сегмент гэж нэрлэгдэх сансрын векторын векторууд, I.E. Эхлэл ба төгсгөлийг нь зааж өгсөн. Урт, эсвэл модуль, вектор бол харгалзах сегментийн урт юм. Векторын уртыг тэмдэглэж, тус тусад нь,. Хоёр векторууд ижил урт, чиглэлтэй бол тэнцүү гэж нэрлэдэг. Цэг дээр байрлах вектор нь цэг дээр байрлуулж, цэгээс эхэлж, төгсгөлд нь, төгсгөлд нь, төгсгөлд нь зааж өгсөн бөгөөд энэ нь төгсгөлд давхцаж, аль нь төгсгөлд давхцаж, Байна уу. Бүх тэг векторуудыг хоорондоо тэнцүү гэж үздэг. Тэдгээрийг зааж өгсөн бөгөөд тэдгээрийн урт нь тэг гэж тооцогддог.

Векторуудын векторын гадна талаас нэмэлт. Нэмэлт үйлдлийг тодорхойлдог. Хоёр векторыг нугалж, векторыг дарахын тулд Векторыг хойшлуулав, ингэснээр векторыг хойшлуулав. Вектор, гарал үүсэл нь векторын эхлэлтэй давхцаж, төгсгөлийн төгсгөлтэй давхцаж байна. Векторын төгсгөлд векторын төгсгөлд,

Векторын тоонд олон тооны векторын тоогоор үржүүлсэн тоонд заасан тоонд заасан. Тодорхойлолтоор, тоон -1-ийн векторын үр дүнг эсрэгээр нь векторыг эсрэгээр нь вектор гэж нэрлэдэг бөгөөд вектор нь вектор, векторыг вектор, вектор, векторын эсрэг талбайн эсрэг чиглэлтэй болно. тэнцүү бөгөөд чиглэл нь t\u003e 0, хэрэв t 0, t 0, эсрэгээр өөрчлөгдвөл өөрчлөгдөнө

Векторын шинж чанарууд нь векторыг тоонуудын үржил шимтэй, тоон шинж чанартай төстэй шинж чанаруудын тоонд багтсан вектор гэж нэрлэдэг. Эд хөрөнгө 2. (эхний тархалтын хууль). Эд хөрөнгө 3. (хоёрдахь түгээх хууль).

Тодорхойлол

Хийн дүн - тоогоор тодорхойлогдож болох утга. Жишээлбэл, урт, талбай, жин, жин, температур гэх мэт.

Өөх нэр Чиглэлийн сегмент $ \\ overline (A B) $; POIN $ A $ нь $ нь бол эхлэл нь $ B $ нь векторын төгсгөл юм (Зураг 1).

Векторыг хоёр том үсгээр тэмдэглэсэн байна - түүний эхлэл ба төгсгөл: $ \\ overline (a b) нэг жижиг үсэг, нэг жижиг үсэг: $ overline (A B) нь нэг жижиг үсэг бүхий: $ online (a b) $.

Тодорхойлол

Хэрэв векторын эхлэл ба төгсгөл давхцаж байвал ийм векторыг дууддаг бинтБайна уу. Ихэнхдээ ихэнхдээ тэг векторыг $ \\ overline (0) $ гэж тэмдэглэнэ.

Векторууд гэж нэрлэдэг сахилгаХэрэв тэд нэг шулуун шугам дээр хэвтэж, шулуун шугам дээр хэвтвэл (Зураг 2).

Тодорхойлол

Хоёр Collinee V вектор $ \\ overline (A) $ ба $ ба $ overline (b) $ зохиогчХэрэв тэдний чиглэлд давхцаж байвал: $ \\ overloW (a) \\ uparrow \\ uparrow \\ offlow \\ overlow \\ overlow over (Зураг 3, a). Хоёр Collinee V вектор $ \\ overline (A) $ ба $ ба $ overline (b) $ сөрөг талыг чиглүүлсэнХэрэв тэдний чиглэлүүд эсрэг байвал: $ \\ overloW (a) \\ uparrow \\ lownrow \\ overlow \\ overtrine (B) $ (Зураг 3, B).