Магадлалын онолын үндсэн ойлголт. Магадлалын онолын хуулиуд. Магадлалын онол ба онолын үндсэн ойлголтууд Математик магадлалын онол

гэж нэрлэгддэг хууль тогтоомжийн сургаал. санамсаргүй үзэгдэл. Орос хэлэнд орсон гадаад үгсийн толь бичиг. Чудинов А.Н., 1910 ... Орос хэлний гадаад үгсийн толь бичиг

магадлалын онол- - [Л.Г.Суменко. Мэдээллийн технологийн англи орос толь бичиг. М .: GP TsNIIS, 2003.] Сэдвүүд мэдээллийн технологимагадлалын тооцооллын ерөнхий EN магадлалын онол ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

Магадлалын онол- янз бүрийн үйл явдлын магадлалын хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн нэг хэсэг байдаг (Магадлал ба Статистикийг үзнэ үү). Бид энэ шинжлэх ухаантай холбоотой хамгийн чухал теоремуудыг жагсаав. Хэд хэдэн зөрчилтэй үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь ... ... тэнцүү байна. Ф.А.-ийн нэвтэрхий толь бичиг. Брокхаус ба И.А. Эфрон

МАГАДЛАЛЫН ОНОЛ- математик. c.-тэй холбоотой санамсаргүй үйл явдлын магадлалыг олох (харна уу) зарим санамсаргүй үйл явдлын магадлалыг олгодог шинжлэх ухаан. эхнийхтэй хамт. Орчин үеийн ТВ аксиоматик дээр үндэслэсэн (үзнэ үү. Арга аксиоматик) A. N. Kolmogorov. Асаалттай…… Оросын социологийн нэвтэрхий толь бичиг

Магадлалын онол- зарим санамсаргүй үйл явдлын өгөгдсөн магадлалын дагуу эхнийхтэй ямар нэгэн байдлаар холбоотой бусад үйл явдлын магадлалыг олдог математикийн салбар. Магадлалын онол нь мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн болон санамсаргүй үйл явцыг судалдаг. Гол зүйлүүдийн нэг ...... Орчин үеийн байгалийн шинжлэх ухааны үзэл баримтлал. Үндсэн нэр томъёоны тайлбар толь

магадлалын онол- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. магадлалын онол vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, Орос. магадлалын онол, f pranc. théorie des probabilités, f ... Fizikos terminų žodynas

Магадлалын онол- ... Википедиа

Магадлалын онол- санамсаргүй үзэгдлийн хуулийг судалдаг математикийн салбар ... Орчин үеийн байгалийн шинжлэх ухааны эхлэл

МАГАДЛАЛЫН ОНОЛ- (магадлалын онол) Магадлалыг үзнэ үү ... Социологийн иж бүрэн тайлбар толь бичиг

Магадлалын онол ба түүний хэрэглээ- ("Магадлалын онол ба түүний хэрэглээ",) ЗХУ-ын ШУА-ийн Математикийн тэнхимийн шинжлэх ухааны сэтгүүл. Анхны нийтлэлүүдийг нийтэлдэг ба богино мессежүүдмагадлалын онол дээр ерөнхий асуудлуудМатематик статистик ба тэдгээрийн байгалийн шинжлэх ухаан, ...... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

• Магадлалын онол. , Wentzel E.S .. Энэхүү ном нь их сургуулийн ердийн курсын хүрээнд математикийн мэдлэгтэй, магадлалын онолын техникийн хэрэглээг сонирхож буй хүмүүст зориулагдсан сурах бичиг бөгөөд ... 2056 UAH-аар худалдаж аваарай (зөвхөн Украин)
• Магадлалын онол. , Wentzel E.S .. Энэхүү ном нь их сургуулийн ердийн курсын хүрээнд математикийн мэдлэгтэй, магадлалын онолын техникийн хэрэглээг сонирхож буй хүмүүст зориулагдсан сурах бичиг юм.

Магадлал гэж юу вэ?

Энэ нэр томъёотой анх удаа тулгарсан ч энэ нь юу болохыг ойлгохгүй байна. Тиймээс би үүнийг хүртээмжтэй байдлаар тайлбарлахыг хичээх болно.

Магадлал гэдэг нь бидэнд хэрэгтэй үйл явдал тохиолдох магадлал юм.

Жишээлбэл, та найздаа зочлохоор шийдсэн, орц, тэр ч байтугай түүний амьдардаг шалыг санаарай. Гэтэл байрны дугаар, байршлыг мартчихаж. Энд та шатан дээр зогсож байгаа бөгөөд таны өмнө сонгох боломжтой хаалганууд байна.

Хэрэв та эхний хаалгыг дуугаргавал найз чинь чамд онгойх магадлал (магадлал) хэд вэ? Бүхэл бүтэн орон сууц, найз нь зөвхөн нэгнийх нь төлөө амьдардаг. Бид ямар ч хаалгыг ижил боломжоор сонгож болно.

Гэхдээ энэ ямар боломж вэ?

Хаалга, баруун хаалга. Эхний хаалгыг дуугаргаж таамаглах магадлал:. Гурав тутмын нэг нь та тодорхой таамаглах болно гэсэн үг юм.

Бид нэг удаа залгаж мэдэхийг хүсч байна, хэр олон удаа хаалгыг таах вэ? Бүх сонголтыг авч үзье:

1. Та залгасан 1-рхаалга
2. Та залгасан 2 дахьхаалга
3. Та залгасан 3 дахьхаалга

Одоо найз байж болох бүх сонголтыг харцгаая.

а. Пер 1-рхаалганы дэргэд
б. Пер 2 дахьхаалганы дэргэд
v. Пер 3 дахьхаалганы дэргэд

Бүх сонголтуудыг хүснэгт хэлбэрээр харьцуулж үзье. Таны сонголт нь найзынхаа байршилтай давхцаж байвал сонголтуудыг тэмдэглэнэ, таарахгүй бол загалмай тэмдэглэнэ.

Та бүх зүйлийг яаж харж байна Магадгүй сонголтууднайзын байршил, аль хаалгыг дуугаргах нь таны сонголт.

А бүхний таатай үр дүн . Өөрөөр хэлбэл та хаалганы хонхыг дарснаар та үе үе таамаглах болно. ...

Энэ нь магадлал юм - таатай үр дүнгийн харьцаа (таны сонголт найзынхаа байршилтай давхцах үед) боломжит үйл явдлын тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Тодорхойлолт бол томъёо юм. Магадлалыг ихэвчлэн p гэж тэмдэглэдэг тул:

Ийм томьёог бичих нь тийм ч тохиромжтой биш тул бид эерэг үр дүнгийн тоо, нийт үр дүнгийн тоог авна.

Магадлалыг хувиар бичиж болно, үүний тулд та гарсан үр дүнг дараах байдлаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Магадгүй "үр дүн" гэдэг үг таны анхаарлыг татсан байх. Математикчид янз бүрийн үйлдлүүдийг (манай тохиолдолд ийм үйлдэл нь хаалганы хонх дуугардаг) туршилт гэж нэрлэдэг тул ийм туршилтын үр дүнг нэрлэх нь заншилтай байдаг.

За, үр дүн нь эерэг, таагүй байдаг.

Өөрийнхөө жишээ рүү буцъя. Бид нэг хаалгыг нь дуугарсан ч танихгүй хүн хаалга онгойлгосон гэж бодъё. Бид таамаглаагүй. Үлдсэн хаалганы аль нэгийг нь дарвал манай найз бидэнд онгойх магадлал хэр вэ?

Хэрэв та тэгж бодож байсан бол энэ бол алдаа юм. Үүнийг олж мэдье.

Бидэнд хоёр хаалга үлдлээ. Тиймээс бидэнд боломжит алхамууд байна:

1) залгана уу 1-рхаалга
2) залгана уу 2 дахьхаалга

Энэ бүхний хажуугаар найз нь тэдний нэгний ард байгаа нь гарцаагүй (эцсийн эцэст тэр бидний дуудсан хүний ​​ард байгаагүй):

a) Найз 1-рхаалганы дэргэд
б) Найз 2 дахьхаалганы дэргэд

Хүснэгтийг дахин зурцгаая:

Таны харж байгаагаар бүх сонголтууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь таатай байдаг. Энэ нь магадлал тэнцүү гэсэн үг юм.

Яагаад үгүй ​​гэж?

Бидний авч үзсэн нөхцөл байдал - хамааралтай үйл явдлын жишээ.Эхний үйл явдал бол эхний хаалганы хонх, хоёр дахь үйл явдал бол хоёр дахь хаалганы хонх юм.

Мөн тэдгээр нь дараах үйлдлүүдэд нөлөөлдөг тул хамааралтай гэж нэрлэдэг. Эцсийн эцэст хэрэв найз нь эхний дуугарсны дараа хаалга онгойлгосон бол нөгөө хоёрын аль нэгнийх нь ард байх магадлал хэд вэ? Зөв, .

Гэхдээ хамааралтай үйл явдлууд байгаа бол заавал байх ёстой бие даасан? Үнэн, байдаг.

Сурах бичгийн жишээ бол зоос шидэх явдал юм.

1. Нэг удаа зоос шид. Жишээ нь толгойнууд гарч ирэх магадлал хэд вэ? Энэ нь зөв - учир нь бүх зүйлд зориулсан сонголтууд (толгой эсвэл сүүлний аль алинд нь бид зоосны ирмэг дээр зогсох магадлалыг үл тоомсорлодог), гэхдээ зөвхөн бидэнд тохирсон.
2. Гэвч энэ нь сүүлээр гарч ирэв. За, дахиад нэг удаа шидье. Одоогийн байдлаар толгой цохих магадлал хэд вэ? Юу ч өөрчлөгдөөгүй, бүх зүйл өмнөх шигээ. Хэдэн сонголт вэ? Хоёр. Энэ нь бидэнд хэр нийцэж байна вэ? Нэг.

Мөн энэ нь дараалан мянган удаа дараалан гарч ирэх болтугай. Нэг удаад толгой авах магадлал ижил байх болно. Үргэлж сонголтууд байдаг, гэхдээ таатай байдаг.

Хараат үйл явдлуудыг бие даасан үйл явдлуудаас ялгахад хялбар байдаг.

1. Туршилтыг нэг удаа хийсэн бол (нэг удаа тэд зоос шидэж, хаалганы хонхыг нэг удаа дарах гэх мэт) үйл явдлууд үргэлж бие даасан байдаг.
2. Туршилтыг хэд хэдэн удаа хийсэн бол (зоосыг нэг удаа шидэж, хаалганы хонх хэд хэдэн удаа дуугардаг), эхний үйл явдал үргэлж бие даасан байдаг. Дараа нь, хэрэв эерэг үр дүнгийн тоо эсвэл бүх үр дүнгийн тоо өөрчлөгдвөл үйл явдлууд нь хамааралтай, хэрэв үгүй ​​бол тэдгээр нь бие даасан байна.

Магадлалыг тодорхойлох дадлага хийцгээе.

Жишээ 1.

Зоосыг хоёр удаа шиддэг. Толгойг хоёр дараалан цохих магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Бүх боломжит хувилбаруудыг авч үзье:

1. Бүргэд-бүргэд
2. Толгой-сүүл
3. Толгой-сүүл
4. Сүүл-сүүл

Таны харж байгаагаар бүхэл бүтэн сонголт. Эдгээрээс зөвхөн бидэнд тохирсон. Энэ нь магадлал:

Хэрэв нөхцөлийг зүгээр л магадлалыг олохыг асуувал хариултыг аравтын бутархай хэлбэрээр өгөх ёстой. Хэрэв хариултыг хувиар өгөх ёстой гэж заасан бол бид үржүүлнэ.

Хариулт:

Жишээ 2.

Шоколадны хайрцагт бүх шоколадыг нэг хайрцагт хийнэ. Гэсэн хэдий ч амттангаас - самар, коньяк, интоор, карамель, нугатай.

Нэг чихэр авбал самартай чихэр авах магадлал хэд вэ. Хариултаа хувиар илэрхийлнэ үү.

Шийдэл:

Боломжит үр дүн хэр их байна вэ? ...

Өөрөөр хэлбэл, нэг чихэр авбал энэ нь хайрцагт байгаа хүмүүсийн нэг болно.

Хэчнээн таатай үр дүн гарсан бэ?

Учир нь хайрцагт зөвхөн самартай шоколад л байдаг.

Хариулт:

Жишээ 3.

Бөмбөгний хайрцагт. тэдгээрийн дотор цагаан, - хар.

1. Цагаан бөмбөгийг сугалах магадлал хэд вэ?
2. Бид хайрцагт илүү олон хар бөмбөг нэмсэн. Одоо цагаан бөмбөг сугалах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

a) Хайрцагт бүх бөмбөг байна. Эдгээрээс цагаан.

Магадлал нь тэнцүү байна:

б) Одоо хайрцагт бөмбөг байна. Мөн ижил тооны цагаан арьстнууд үлдсэн -.

Хариулт:

Бүрэн магадлал

Бүх боломжит үйл явдлын магадлал нь ().

Улаан, ногоон бөмбөлөгтэй хайрцагт гэж хэлье. Улаан бөмбөгийг сугалах магадлал хэд вэ? Ногоон бөмбөг? Улаан эсвэл ногоон бөмбөг үү?

Улаан бөмбөг татах боломж

Ногоон бөмбөг:

Улаан эсвэл ногоон бөмбөг:

Таны харж байгаагаар бүх боломжит үйл явдлын нийлбэр нь (). Энэ мөчийг ойлгох нь олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.

Жишээ 4.

Хайрцагт тэмдэглэгээ байдаг: ногоон, улаан, цэнхэр, шар, хар.

Улаан БУС эсгий үзэг гаргаж авах боломж хэр байдаг вэ?

Шийдэл:

Хэмжээг нь тоолъё таатай үр дүн.

Улаан тэмдэглэгээ БИШ, ногоон, хөх, шар, хар гэсэн утгатай.

Бүх үйл явдлын магадлал. Мөн бидний таагүй гэж үздэг үйл явдлын магадлал (бид улаан эсгий үзэг гаргах үед) -.

Тиймээс улаан эсгий үзэг гаргахгүй байх магадлал өндөр байна.

Хариулт:

Үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал нь тохиолдох магадлалыг хассантай тэнцүү байна.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрэм

Бие даасан үйл явдлууд гэж юу болохыг та аль хэдийн мэддэг болсон.

Гэхдээ хоёр (эсвэл түүнээс дээш) бие даасан үйл явдал дараалан тохиолдох магадлалыг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Бид зоосыг нэг удаа эргүүлэхэд бүргэдийг хоёр удаа харах магадлал хэд вэ гэдгийг мэдмээр байна гэж бодъё?

Бид аль хэдийн тоолсон -.

Хэрэв бид зоосыг нэг удаа эргүүлбэл? Бүргэдийг дараалан харах магадлал хэд вэ?

Бүх боломжит сонголтууд:

1. Бүргэд-бүргэд-бүргэд
2. Толгой-толгой-сүүл
3. Толгой-сүүл-толгой
4. Толгой-сүүл-сүүл
5. Сүүл-толгой-толгой
6. Сүүл-толгой-сүүл
7. Сүүл-сүүл-толгой
8. Сүүл-сүүл-сүүл

Би чамайг мэдэхгүй ч энэ жагсаалтыг гаргахдаа нэг удаа алдаа гаргасан. Хөөх! Зөвхөн сонголт (эхний) бидэнд тохирно.

5 шидэлтийн хувьд та боломжит үр дүнгийн жагсаалтыг өөрөө гаргаж болно. Гэхдээ математикчид чам шиг хөдөлмөрч биш.

Тиймээс тэд эхлээд анзаарч, дараа нь бие даасан үйл явдлын тодорхой дарааллын магадлал нь нэг үйл явдлын магадлалаар буурдаг гэдгийг нотолсон.

Өөрөөр хэлбэл,

Үүнтэй ижил харамсалтай зоосны жишээг авч үзье.

Бэрхшээлд орох магадлал өндөр байна уу? ... Одоо бид зоосыг нэг удаа эргүүлж байна.

Толгойг нь нэг дараалан цохих магадлал хэд вэ?

Энэ дүрэм нь биднээс нэг үйл явдал дараалан хэд хэдэн удаа тохиолдох магадлалыг олохыг хүсэхэд л ажиллана.

Хэрэв бид дараалсан шидэлтийн GRIP-EAGLE-BRILLE дарааллыг олохыг хүсвэл мөн адил хийх болно.

сүүл авах магадлал -, толгой -.

РИЛЛ-БҮРГЭД-БҮРГЭД-СААРАЛТАЙ-СААРАЛТ дарааллаас гарах магадлал:

Хүснэгт хийж өөрөө шалгаж болно.

Тогтворгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх дүрэм.

Тиймээс боль! Шинэ тодорхойлолт.

Үүнийг олж мэдье. Бидний хуучирсан зоосыг аваад нэг удаа шидээрэй.
Боломжит сонголтууд:

1. Бүргэд-бүргэд-бүргэд
2. Толгой-толгой-сүүл
3. Толгой-сүүл-толгой
4. Толгой-сүүл-сүүл
5. Сүүл-толгой-толгой
6. Сүүл-толгой-сүүл
7. Сүүл-сүүл-толгой
8. Сүүл-сүүл-сүүл

Тиймээс үл нийцэх үйл явдлууд нь тодорхой, урьдчилан тодорхойлсон үйл явдлын дараалал юм. нийцэхгүй үйл явдал юм.

Хэрэв бид хоёр (эсвэл түүнээс дээш) үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохыг хүсвэл эдгээр үйл явдлын магадлалыг нэмнэ.

Толгой эсвэл сүүл унах нь бие даасан хоёр үйл явдал гэдгийг та ойлгох хэрэгтэй.

Хэрэв бид дарааллын (эсвэл бусад) магадлал гэж юу болохыг тодорхойлохыг хүсвэл магадлалыг үржүүлэх дүрмийг ашигладаг.
Эхний шидэлт, хоёр, гурав дахь сүүлт дээр толгой гарах магадлал хэд вэ?

Гэхдээ хэрэв бид хэд хэдэн дарааллын аль нэгийг авах магадлал ямар байхыг мэдэхийг хүсвэл, жишээлбэл, толгой яг нэг удаа унах үед, i.e. сонголтууд ба дараа нь бид эдгээр дарааллын магадлалыг нэмэх ёстой.

Бүх сонголтууд бидэнд тохиромжтой.

Дараалал бүрийн магадлалыг нэмснээр бид ижил зүйлийг олж авах боломжтой.

Тиймээс бид зарим нэг үл нийцэх үйл явдлын дарааллын магадлалыг тодорхойлохдоо магадлалыг нэмдэг.

Хэзээ үржүүлэх, хэзээ нэмэх талаар будлианаас зайлсхийхэд туслах маш сайн дүрэм байдаг:

Бид зоосыг нэг удаа эргүүлж байсан жишээ рүү буцаж очоод толгойг нэг удаа харах магадлалыг мэдэхийг хүсч байна.
Юу болох гэж байна?

Унах ёстой:
(толгой, сүүл, сүүл) ЭСВЭЛ (сүүл, толгой, сүүл) OR (сүүл, сүүл, толгой).
Тэгэхээр энэ нь гарч байна:

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 5.

Хайрцаг нь харандаа агуулдаг. улаан, ногоон, улбар шар, шар, хар. Улаан эсвэл ногоон өнгийн харандаа сугалах магадлал хэр вэ?

Шийдэл:

Юу болох гэж байна? Бид сугалж авах ёстой (улаан эсвэл ногоон).

Одоо тодорхой байна, бид эдгээр үйл явдлын магадлалыг нэмж байна:

Хариулт:

Жишээ 6.

Шоог 2 удаа шидээд нийт 8 оноо авах боломж хэд вэ?

Шийдэл.

Бид яаж оноо авах вэ?

(ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба).

Нэг (ямар ч) нүүрнээс унах магадлал -.

Бид магадлалыг тооцоолно:

Хариулт:

Дасгал хийх.

Магадлалыг хэзээ тоолох, хэзээ нэмэх, хэзээ үржүүлэх нь тодорхой болсон гэж бодож байна. Биш гэж үү? Жаахан дасгал хийцгээе.

Даалгаварууд:

Хүз, зүрх, 13 дугуй, 13 очир алмааз зэрэг картуудыг багтаасан хөзрийн тавцан авч үзье. Костюм бүрийн хөзрийн тамга хүртэл.

1. Дараалсан дугуй зурах магадлал хэд вэ (бид эхний зурсан хөзрийг тавцан руу буцааж тавиад холино)?
2. Хар карт (хүрз эсвэл дугуй) зурах магадлал хэд вэ?
3. Зураг (жак, хатан, хаан эсвэл хөзрийн тамга) татах магадлал хэд вэ?
4. Хоёр зураг дараалан зурах магадлал хэд вэ (бид эхний зурсан картыг тавцангаас авдаг)?
5. Хоёр карт авсны дараа (жак, хатан эсвэл хаан) ба хөзрийн хөзрийн хослолыг цуглуулах магадлал хэд вэ Картууд ямар дараалалд байх нь хамаагүй.

Хариултууд:

1. Тавцангийн тавцан дээрх зэрэглэл бүрийн картууд нь:
2. Эхний картыг зурсны дараа тавцан дахь картуудын тоо (мөн "зураг" -ын тоо) багассан тул үйл явдлууд хамаарна. Тавцангийн нийт үүр, хатан, хаад, хөзрийн хөзрийн тоо нь "зураг"-ыг гаргах анхны хөзөр гарах магадлалыг илэрхийлнэ.

   Бид эхний картыг тавцангаас гаргаж байгаа тул тавцан дээр аль хэдийн зураг байгаа карт байгаа гэсэн үг юм. Хоёрдахь картаар зураг татах магадлал:

   Бид тавцангаас "зураг" ба "зураг" гэсэн нөхцөл байдлыг сонирхож байгаа тул магадлалыг үржүүлэх хэрэгтэй.

   Хариулт:

3. Эхний картыг сугалсны дараа тавцан дахь картуудын тоо буурах тул бидэнд хоёр сонголт байна:
   1) Эхний картаар бид Ace, хоёр дахь нь үүр, хатан эсвэл хааныг гаргаж авдаг
   2) Эхний картаар бид үүр, хатан эсвэл хаан, хоёр дахь нь хөзрийн тамга гаргадаг. (акс ба (жак эсвэл хатан эсвэл хаан)) эсвэл ((жак эсвэл хатан эсвэл хаан) болон хөзрийн тамга). Тавцангийн картын тоог багасгах талаар бүү мартаарай!

Хэрэв та бүх асуудлыг өөрөө шийдэж чадсан бол чи үнэхээр мундаг хүн юм! Одоо та шалгалтын магадлалын онолын асуудлууд дээр дарах болно!

МАГАДЛАЛЫН ОНОЛ. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Нэг жишээ авч үзье. Бид үхрийг өнхрүүлье гэж бодъё. Энэ ямар яс вэ, чи мэдэх үү? Энэ бол ирмэг дээр тоонууд бүхий шоо дөрвөлжингийн нэр юм. Хэдэн нүүр царай, ийм олон тоо: хэдээс хэд хүртэл? Өмнө нь.

Тиймээс, бид үхрийг өнхрүүлж, өнхрүүлмээр байна эсвэл. Мөн энэ нь бидэнд унадаг.

Магадлал юу болсныг хэлж байна таатай үйл явдал( чинээлэг хүмүүстэй андуурч болохгүй).

Хэрэв унасан бол үйл явдал ч таатай байх болно. Нийтдээ зөвхөн хоёр таатай үйл явдал тохиолдож болно.

Мөн хэд нь тааламжгүй байдаг вэ? Бүх боломжит үйл явдлууд байдаг тул энэ нь таагүй үйл явдлуудын дунд байгаа гэсэн үг юм (хэрэв энэ нь унасан бол).

Тодорхойлолт:

Магадлал гэдэг нь таатай үйл явдлын тоог бүх боломжит үйл явдлын тоонд харьцуулсан харьцаа юм... Өөрөөр хэлбэл, магадлал нь бүх боломжит үйл явдлын хэдэн хувь нь таатай байгааг харуулж байна.

Тэд магадлалыг латин үсгээр тэмдэглэдэг (мэдээж, -аас англи үгмагадлал - магадлал).

Магадлалыг хувиар хэмжих нь заншилтай байдаг (сэдвийг үзнэ үү). Үүнийг хийхийн тулд магадлалын утгыг үржүүлэх шаардлагатай. Шооны жишээнд магадлал.

Мөн хувиар:.

Жишээ (өөрөө шийднэ үү):

1. Зоос эргүүлэхэд толгой гарах магадлал хэд вэ? Сүүлд гарах магадлал хэр өндөр вэ?
2. Хэмжээ дээр тэгш тоо өнхрөх магадлал хэд вэ? Тэгээд аль нь - хачирхалтай?
3. Харандаа, цэнхэр, улаан өнгийн харандааны хайрцагт. Санамсаргүй байдлаар нэг харандаа зур. Энгийн нэгийг татах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

1. Хэдэн сонголт байгаа вэ? Толгой, сүүл хоёр л байна. Тэдгээрийн хэд нь таатай байна вэ? Зөвхөн нэг нь бүргэд. Тэгэхээр магадлал

   Энэ нь сүүлтэй адил юм:.

2. Нийт сонголтууд: (шоо нь хэдэн талтай, маш олон янзын сонголтууд). Тааламжтай тоонууд: (эдгээр нь бүгд тэгш тоо юм :).
   Магадлал. Хачирхалтай нь мэдээжийн хэрэг ижил зүйл.
3. Нийт: . Таатай:. Магадлал: .

Бүрэн магадлал

Шүүгээнд байгаа бүх харандаа ногоон өнгөтэй байна. Улаан харандаа сугалах магадлал хэд вэ? Ямар ч боломж байхгүй: магадлал (эцсийн эцэст таатай үйл явдлууд -).

Ийм үйл явдлыг боломжгүй гэж нэрлэдэг.

Ногоон харандаа сугалах магадлал хэд вэ? Нийт үйл явдлуудтай яг ижил тооны таатай үйл явдлууд байдаг (бүх үйл явдлууд таатай байдаг). Иймд магадлал нь эсвэл тэнцүү байна.

Ийм үйл явдлыг найдвартай гэж нэрлэдэг.

Хэрвээ хайрцагт ногоон, улаан өнгийн харандаа байгаа бол ногоон эсвэл улаан өнгийн харандааг сугалж авах боломж хэр вэ? Ахиад л. Үүнийг анхаарна уу: ногоон татах магадлал тэнцүү, улаан өнгөтэй байна.

Дүгнэж хэлэхэд эдгээр магадлалууд яг тэнцүү байна. Тэр бол, бүх боломжит үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь тэнцүү буюу.

Жишээ:

Харандааны хайрцагт цэнхэр, улаан, ногоон, энгийн, шар, бусад нь улбар шар өнгөтэй байна. Ногоон татахгүй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Бүх магадлалууд нийлдэг гэдгийг санаарай. Мөн ногоон татах магадлал тэнцүү байна. Энэ нь ногоон татахгүй байх магадлал тэнцүү гэсэн үг юм.

Энэ заль мэхийг санаарай:үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал нь тохиолдох магадлалыг хассантай тэнцүү.

Бие даасан үйл явдлууд ба үржүүлэх дүрэм

Та зоосыг нэг удаа эргүүлж, хоёуланд нь толгой унахыг хүсдэг. Ийм зүйл тохиолдох магадлал юу вэ?

Бүх боломжит хувилбаруудыг авч үзээд хэд нь байгааг тодорхойлъё:

Дарга-толгой, дарга-толгой, дарга-толгой, толгой-толгой. Өөр юу гэж?

Бүхэл бүтэн сонголт. Эдгээрээс зөвхөн нэг нь л бидэнд тохиромжтой: Бүргэд-Бүргэд. Нийт, магадлал нь.

Сайн байна. Одоо бид нэг удаа зоос шиддэг. Та өөрөө тоолоорой. Болсон уу? (хариулт).

Дараагийн шидэлт болгон нэмэгдэх тусам магадлал удаа дараа буурч байгааг та анзаарсан байх. Ерөнхий дүрэмдуудсан үржүүлэх дүрэм:

Бие даасан үйл явдлын магадлал өөрчлөгддөг.

Бие даасан үйл явдлууд юу вэ? Бүх зүйл логик юм: эдгээр нь бие биенээсээ хамаардаггүй зүйлүүд юм. Жишээлбэл, бид зоосыг хэд хэдэн удаа шидэх үед шинэ шидэлт хийх бүрт үр дүн нь өмнөх бүх шидэлтээс хамаардаггүй. Бид хоёр өөр зоосыг нэгэн зэрэг эргүүлэх боломжтой.

Илүү олон жишээ:

1. Шоог хоёр удаа шиднэ. Хоёр удаа өнхрөх магадлал хэд вэ?
2. Зоосыг нэг удаа шиддэг. Эхлээд толгой, дараа нь хоёр удаа сүүл рүүгээ буух магадлал хэр вэ?
3. Тоглогч хоёр шоо шиднэ. Тэдгээрийн тоонуудын нийлбэр тэнцүү байх магадлал хэд вэ?

Хариултууд:

1. Үйл явдал нь бие даасан байдаг бөгөөд энэ нь үржүүлэх дүрэм ажилладаг гэсэн үг юм:.
2. Бүргэд байх магадлал нь. Сүүл үүсэх магадлал бас байдаг. Бид үржүүлдэг:
3. Хоёр -ki өнхрүүлсэн тохиолдолд л 12-ыг авах боломжтой:.

Тохиромжгүй үйл явдал ба нэмэх дүрэм

Тохиромжгүй үйл явдлуудыг бүрэн магадлалаар бие биенээ нөхдөг үйл явдлууд гэж нэрлэдэг. Нэрнээс нь харахад тэд нэгэн зэрэг тохиолдож болохгүй. Жишээлбэл, хэрэв бид зоосыг эргүүлэх юм бол энэ нь толгой эсвэл сүүлтэй байж болно.

Жишээ.

Харандааны хайрцагт цэнхэр, улаан, ногоон, энгийн, шар, бусад нь улбар шар өнгөтэй байна. Ногоон эсвэл улааныг татах магадлал хэд вэ?

Шийдэл.

Ногоон харандаа сугалах магадлал нь юм. Улаан -.

Бүх сайн үйл явдлууд: ногоон + улаан. Энэ нь ногоон эсвэл улаан сугалах магадлал тэнцүү гэсэн үг юм.

Үүнтэй ижил магадлалыг дараах байдлаар илэрхийлж болно:.

Энэ бол нэмэлт дүрэм юм:Тогтворгүй үйл явдлын магадлалууд нэмэгддэг.

Холимог асуудлууд

Жишээ.

Зоосыг хоёр удаа шиддэг. Шидэлтийн үр дүн өөр байх магадлал хэр вэ?

Шийдэл.

Энэ нь хэрэв эхний цохилт нь толгойнууд байвал хоёр дахь нь сүүл байх ёстой, мөн эсрэгээр гэсэн үг юм. Үүнээс үзэхэд бие даасан хоёр хос үйл явдал байдаг бөгөөд эдгээр хосууд хоорондоо нийцэхгүй байна. Хэрхэн будилж болохгүй, хаана үржүүлэх, хаана нэмэх вэ.

Эдгээр нөхцөл байдлын хувьд энгийн дүрэм байдаг. Үйл явдлыг AND эсвэл OR-той холбож, юу болох талаар тайлбарлахыг хичээ. Жишээлбэл, энэ тохиолдолд:

Дээш гарч ирэх ёстой (толгой ба сүүл) эсвэл (сүүл ба толгой).

"Ба" гэсэн холбоос байгаа тохиолдолд үржүүлэх, "эсвэл" - нэмэх нь:

Та өөрөө туршаад үзээрэй:

1. Зоосыг хоёр шидэхэд нэг тал нь хоёуланд нь буух магадлал хэд вэ?
2. Шоог хоёр удаа шиднэ. Нийт оноо болох магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

1. (Толгой унаж, толгой унасан) эсвэл (сүүл унаж, сүүл унасан):.
2. Ямар сонголтууд байна вэ? болон. Дараа нь:
   Сургуулиа орхисон (ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба):.

Өөр нэг жишээ:

Бид нэг удаа зоос шиддэг. Толгойнууд ядаж нэг удаа гарч ирэх магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Өө, та сонголтуудыг хэрхэн давахыг хүсэхгүй байна ... Heads-tails-tails, Heads-heads-tails, ... Мөн болохгүй! Бид бүрэн магадлалыг санаж байна. Санаж байна уу? Бүргэд байх магадлал хэд вэ нэг удаа ч гэсэн буулгахгүй? Энэ нь маш энгийн: сүүл нь байнга нисдэг, тиймээс.

МАГАДЛАЛЫН ОНОЛ. ҮНДСЭН ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧ

Магадлал гэдэг нь таатай үйл явдлын тоог бүх боломжит үйл явдлын тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Бие даасан үйл явдлууд

Хэрэв нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдох магадлал өөрчлөгдөхгүй бол хоёр үйл явдал бие даасан байна.

Бүрэн магадлал

Бүх боломжит үйл явдлын магадлал нь ().

Үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал нь тохиолдох магадлалыг хассантай тэнцүү байна.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрэм

Бие даасан үйл явдлын тодорхой дарааллын магадлал нь үйл явдал тус бүрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Тохиромжгүй үйл явдлууд

Тохиромжгүй үйл явдлуудыг туршилтын үр дүнд нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй үйл явдлууд гэнэ. Олон тооны үл нийцэх үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Тогтворгүй үйл явдлуудын магадлал нэмэгддэг.

Юу тохиолдох ёстойг тайлбарласны дараа "AND" эсвэл "OR" холбоосыг ашиглан "AND"-ын оронд үржүүлгийн тэмдэг, "OR"-ын оронд нэмэх тэмдэг тавина.

ҮЛДСЭН 2/3 НИЙТЛЭЛИЙГ ЗӨВХӨН ЗӨВХӨН ЗӨВХӨН ОЮУТНУУД ТАНД ХИЙХ БОЛОМЖТОЙ!

YouClever оюутан болох,

"Сард нэг аяга кофе" -ийн үнээр OGE эсвэл математикийн хэрэглээнд бэлдээрэй.

Мөн "YouClever" сурах бичиг, "100gia" сургалтын хөтөлбөр (reshebnik), хязгааргүй туршилтын USE болон OGE, шийдлийн дүн шинжилгээ хийх 6000 асуудал болон бусад YouClever болон 100gia үйлчилгээнд хязгааргүй нэвтрэх боломжтой.

ТАНИЛЦУУЛГА

Бидний ойлголт сул учраас олон зүйл бидэнд ойлгомжгүй байдаг;
гэхдээ эдгээр зүйлс бидний ойлголтын хүрээнд ороогүй учраас.
Козьма Прутков

Дунд мэргэжлийн боловсролын сургалтын байгууллагын математикийн хичээлийн гол зорилго нь оюутнуудад математикийг тодорхой хэмжээгээр ашигладаг бусад хөтөлбөрийн хичээлүүдийг судлахад шаардлагатай математикийн мэдлэг, ур чадварыг эзэмшүүлэх, практик тооцоолол хийх, математикийн мэдлэгийг бий болгох, хөгжүүлэхэд оршино. логик сэтгэлгээ.

Энэхүү ажил нь хөтөлбөр, дунд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын стандарт (ОХУ-ын Боловсролын яам. М., 2002) -д заасан математикийн "Магадлалын онолын үндэс ба математикийн статистикийн үндэс" гэсэн бүх үндсэн ойлголтыг тууштай нэвтрүүлсэн. ), ихэнх нь нотлогдоогүй үндсэн теоремуудыг томъёолсон ... Үндсэн даалгавар, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга, эдгээр аргыг практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах технологийг авч үзсэн болно. Танилцуулгад нарийвчилсан тайлбар, олон жишээ дагалддаг.

Арга зүйн зааврыг судалж буй материалтай анхан шатны танилцах, лекцийн тэмдэглэл хөтлөх, практик дасгал хийхэд бэлтгэх, олж авсан мэдлэг, чадвар, ур чадвараа нэгтгэхэд ашиглаж болно. Нэмж дурдахад энэхүү гарын авлага нь ахлах ангийн сурагчдад өмнө нь судалж байсан зүйлийг хурдан эргэн санах боломжийг олгодог лавлах хэрэгсэл болгон ашиглах болно.

Ажлын төгсгөлд оюутнууд өөрийгөө хянах горимд хийж болох жишээ, даалгавруудыг өгсөн болно.

Арга зүйн заавар нь цагийн болон бүтэн цагийн боловсролын оюутнуудад зориулагдсан болно.

ҮНДСЭН ОЙЛГОЛТ

Магадлалын онол нь массын санамсаргүй үйл явдлын объектив хуулиудыг судалдаг. Энэ нь ажиглалтын үр дүнг цуглуулах, дүрслэх, боловсруулах аргыг боловсруулахад оролцдог математик статистикийн онолын үндэс юм. Ажиглалтаар (туршилт, туршилт), i.e. өргөн утгаараа туршлага, бодит ертөнцийн үзэгдлийн танин мэдэхүй явагддаг.

Бидний практикт үр дүнг урьдчилан таамаглах боломжгүй, үр дүн нь тухайн тохиолдлоос шалтгаалдаг үзэгдлүүдтэй байнга тулгардаг.

Санамсаргүй үзэгдлийг түүний дэвшилтүүдийн тоог туршилтын тоонд харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлж болно, тэдгээр нь тус бүрт бүх туршилтын ижил нөхцөлд тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй байж болно.

Магадлалын онол нь санамсаргүй үзэгдлүүдийг (үйл явдлуудыг) судалж, тэдгээрийн асар их давталтын явцад зүй тогтлыг илрүүлдэг математикийн салбар юм.

Математикийн статистик нь шинжлэх ухааны үндэслэлтэй дүгнэлт гаргах, шийдвэр гаргахад статистикийн мэдээллийг цуглуулах, системчлэх, боловсруулах, ашиглах аргыг судлах сэдэв болсон математикийн салбар юм.

Энэ тохиолдолд статистикийн өгөгдөл нь бидний сонирхож буй объектуудын шинж чанарын тоон шинж чанарыг илэрхийлдэг тоонуудын багц гэж ойлгогддог. Статистик мэдээллийг тусгайлан тогтоосон туршилт, ажиглалтын үр дүнд олж авдаг.

Статистик мэдээлэл нь угаасаа олон санамсаргүй хүчин зүйлээс хамаардаг тул математик статистик нь түүний онолын үндэс болох магадлалын онолтой нягт холбоотой байдаг.

I. МАГАДЛАЛ. Магадлалыг НЭМЭХ, ҮРЖҮҮЛЭХ

1.1. Комбинаторикийн үндсэн ойлголтууд

Комбинаторик гэж нэрлэгддэг математикийн хэсэгт олонлогийг авч үзэх, эдгээр олонлогийн элементүүдийн янз бүрийн хослолыг эмхэтгэхтэй холбоотой зарим асуудлыг шийддэг. Жишээ нь: 0, 1, 2, 3,:, 9 гэсэн 10 өөр цифр аваад тэдгээрээс хослол хийвэл өөр өөр тоо гарна, жишээ нь 143, 431, 5671, 1207, 43 гэх мэт.

Эдгээр хослолуудын зарим нь зөвхөн цифрүүдийн дарааллаар (жишээлбэл, 143 ба 431), бусад нь тэдгээрт багтсан тоогоор (жишээлбэл, 5671 ба 1207), бусад нь цифрүүдийн тоогоор ялгаатай байгааг бид харж байна. жишээ нь, 143 ба 43).

Тиймээс олж авсан хослолууд нь янз бүрийн нөхцлийг хангадаг.

Найрлагын дүрмээс хамааран гурван төрлийн хослолыг ялгаж болно. дахин зохион байгуулах, байрлуулах, хослуулах.

Эхлээд ойлголттой танилцъя хүчин зүйл.

1-ээс n хүртэлх бүх натурал тоонуудын үржвэрийг нэрлэдэг n-фактор мөн бичих.

Тооцоолох: a); б); v) .

Шийдэл. a) .

б) Түүнээс хойш ба , дараа нь та хаалтуудыг гаргаж болно

Дараа нь бид авна

v) .

Сэлгээ.

Зөвхөн элементүүдийн дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай n элементийн хослолыг сэлгэлт гэнэ.

Сэлгээг тэмдгээр илэрхийлнэ П н , энд n нь орлуулах бүрт орсон элементүүдийн тоо юм. ( Р- франц үгийн эхний үсэг солих- орлуулах).

Сэлгээний тоог томъёогоор тооцоолж болно

эсвэл факториал ашиглан:

Гэдгийг санах 0! = 1 ба 1! = 1.

Жишээ 2. Нэг тавиур дээр зургаан өөр номыг хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?

Шийдэл. Шаардлагатай тооны арга нь 6 элементийн сэлгэцийн тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

Байр.

-аас байр мдоторх элементүүд nИйм нэгдлүүдийг тус бүрдээ элементүүдээр нь (дор хаяж нэгээр нь), эсвэл зохион байгуулалтын дарааллаар нь ялгаатай гэж нэрлэдэг.

Байршлууд нь тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн байна, хаана м- боломжтой бүх элементүүдийн тоо, n- хослол бүрийн элементийн тоо. ( А-франц үгийн эхний үсэг зохицуулалт, энэ нь "байруулах, эмх цэгцтэй болгох" гэсэн утгатай).

Түүгээр ч барахгүй тийм гэж үздэг nm.

Байршлын тоог томъёогоор тооцоолж болно

,

тэдгээр. -аас бүх боломжит байршлын тоо мэлементүүд nбүтээгдэхүүнтэй тэнцүү nдараалсан бүхэл тоо, үүнээс их байх нь м.

Энэ томъёог хүчин зүйлийн хэлбэрээр бичье.

Жишээ 3. Таван өргөдөл гаргагчид янз бүрийн профайлын сувиллын гурван эрхийн бичгийг хуваарилах хэдэн сонголтыг хийх боломжтой вэ?

Шийдэл. Шаардлагатай тооны хувилбарууд нь 5 элементийн 3 элементийн байршлын тоотой тэнцүү байна, i.e.

.

Хослолууд.

Хослолууд нь бүх боломжит хослолууд юм мэлементүүд nдор хаяж нэг элементээр бие биенээсээ ялгаатай (энд мболон n-натурал тоо, ба н м).

-ийн хослолын тоо мэлементүүд nтэмдэглэгдсэн байна ( ХАМТ-Франц үгийн эхний үсэг хослол- хослол).

Ерөнхийдөө нэг тоо мэлементүүд n-аас байршуулах тоотой тэнцүү байна мэлементүүд n-аас солих тоонд хуваагдана nэлементүүд:

Байршил, сэлгэцийн тоог факториал томъёогоор ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Жишээ 4. 25 хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй багт тодорхой сайт дээр ажиллахын тулд дөрвийг хуваарилах хэрэгтэй. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?

Шийдэл. Сонгогдсон дөрвөн хүний ​​дараалал хамаагүй тул үүнийг хийх хэд хэдэн арга бий.

Бид эхний томъёогоор олдог

.

Үүнээс гадна асуудлыг шийдвэрлэхдээ хослолын үндсэн шинж чанарыг илэрхийлсэн дараах томъёог ашигладаг.

(тодорхойлолтын дагуу, энэ нь таамаглаж байна ба);

.

1.2. Комбинаторын асуудлыг шийдвэрлэх

Даалгавар 1. Тус факультетэд 16 хичээл судалдаг. Даваа гарагт та 3 зүйлийг төлөвлөх хэрэгтэй. Та үүнийг хэр олон аргаар хийж чадах вэ?

Шийдэл. Та тус бүр 3-аас бүрдэх 16 зүйлээс байршуулах боломжтой шиг 16 зүйлээс 3 зүйлийг төлөвлөх олон арга бий.

Бодлого 2. 15 объектоос 10 объектыг сонгох шаардлагатай. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?

Бодлого 3. Тэмцээнд 4 баг оролцов. Тэдний хооронд суудлыг хуваарилах хэдэн хувилбар байж болох вэ?

.

Бодлого 4. 80 цэрэг, 3 офицер байгаа бол гурван цэрэг, нэг офицерын эргүүлийг хэдэн аргаар үүсгэж болох вэ?

Шийдэл. Та эргүүлийн цэрэг сонгож болно

арга замаар, офицерууд арга замаар. Ямар ч офицер цэрэг бүртэй хамт явах боломжтой тул ганц арга зам бий.

Бодлого 5. Мэдэгдэж байгаа бол ол.

Түүнээс хойш бид авдаг

,

,

Хослолын тодорхойлолтоос харахад,. Тэр. ...

1.3. Санамсаргүй үйл явдлын тухай ойлголт. Үйл явдлын төрлүүд. Үйл явдлын магадлал

Өгөгдсөн нөхцлөөр хийгдсэн аливаа үйлдэл, үзэгдэл, хэд хэдэн өөр үр дагавартай ажиглалтыг нэрлэх болно. тест.

Энэ үйлдэл эсвэл ажиглалтын үр дүнг гэж нэрлэдэг үйл явдал .

Хэрэв үйл явдал бол өгөгдсөн нөхцөлтохиолдохгүй байж магадгүй, дараа нь үүнийг дууддаг Санамсаргүй ... Ямар нэгэн үйл явдал зайлшгүй тохиолдох тохиолдолд түүнийг дууддаг найдвартай , мөн энэ нь илт тохиолдох боломжгүй тохиолдолд, - боломжгүй.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг нийцэхгүй хэрэв тэдгээрийн зөвхөн нэг нь нэгэн зэрэг гарч ирвэл.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг хамтарсан хэрэв өгөгдсөн нөхцөлд эдгээр үзэгдлүүдийн аль нэг нь ижил туршилтын явцад нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг эсрэг хэрэв туршилтын нөхцөлд тэдгээр нь түүний цорын ганц үр дүн болохоос үл нийцэх бол.

Үйл явдлыг ихэвчлэн латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэдэг. A B C D, : .

А 1, А 2, А 3,:, А n үйл явдлын иж бүрэн систем нь өгөгдсөн сорилтод дор хаяж нэг нь заавал байх ёстой үл нийцэх үйл явдлын багц юм.

Хэрэв бүрэн систем нь хоёр үл нийцэх үйл явдлаас бүрддэг бол ийм үйл явдлуудыг эсрэг гэж нэрлэдэг ба А ба гэж тэмдэглэнэ.

Жишээ. Хайрцаг нь дугаарласан 30 бөмбөгтэй. Дараах үйл явдлуудын аль нь боломжгүй, найдвартай, эсрэгээрээ болохыг тогтоо.

дугаартай бөмбөг авсан (A);

тэгш тоотой бөмбөг авсан (V);

сондгой тоотой бөмбөг авсан (WITH);

дугааргүй бөмбөг авсан (D).

Аль нь бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг вэ?

Шийдэл ... А- найдвартай үйл явдал; Д- боломжгүй үйл явдал;

болон ХАМТ- эсрэг үйл явдлууд.

үйл явдлын бүрэн бүлэг бүрдэнэ Аболон Д, Бболон ХАМТ.

Үйл явдлын магадлалыг санамсаргүй тохиолдлын объектив боломжийн хэмжүүр гэж үздэг.

1.4. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Үйл явдал тохиолдох объектив боломжийн хэмжүүрийн илэрхийлэл болсон тоог нэрлэнэ магадлал энэ үйл явдал бөгөөд тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн байна P (A).

Тодорхойлолт. Үйл явдлын магадлал Аөгөгдсөн үйл явдлын эхлэлд таатай m үр дүнгийн тооны харьцаа юм А, дугаар руу nбүх үр дүн (тогтворгүй, өвөрмөц, адил боломжтой), i.e. ...

Тиймээс аливаа үйл явдлын магадлалыг олохын тулд туршилтын янз бүрийн үр дүнг авч үзсэний дараа бүх боломжит үл нийцэх үр дүнг тооцоолох шаардлагатай. n,бидний сонирхож буй үр дүнгийн тоог m сонгож, харьцааг тооцоол мруу n.

Энэ тодорхойлолтоос дараахь шинж чанарууд гарч ирнэ.

Аливаа тестийн магадлал нь нэгээс хэтрэхгүй сөрөг бус тоо юм.

Үнэн хэрэгтээ хүссэн үйл явдлын тоо m нь хязгаарт байна. Хоёр хэсэг болгон хуваах n, бид авдаг

2. Найдвартай үйл явдлын магадлал нэгтэй тэнцүү, оноос хойш ...

3. Боломжгүй үйл явдлын магадлал тэг, учир нь.

Бодлого 1. 1000 тасалбарын сугалаанд 200 азтан тодорчээ. Санамсаргүй байдлаар нэг тасалбар гарга. Энэ тасалбар ялагч болох магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Төрөл бүрийн үр дүнгийн нийт тоо n= 1000. Ялалт авахад таатай үр дүнгийн тоо m = 200 байна. Томъёоны дагуу бид авдаг

.

Бодлого 2. 18 хэсэгтэй багцад 4 гэмтэлтэй байна. 5 хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Эдгээр 5 хэсгээс хоёр нь гэмтэлтэй болох магадлалыг ол.

Шийдэл. Бүх адил боломжтой бие даасан үр дүнгийн тоо nнь 18-аас 5 хүртэлх хослолын тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

А үйл явдалд таатай m тоог тоолъё. Санамсаргүй байдлаар авсан 5 хэсгээс 3 нь өндөр чанартай, 2 нь гэмтэлтэй байх ёстой. Боломжтой 4 гэмтэлтэй хэсгээс хоёр гэмтэлтэй хэсгийг сонгох аргын тоо нь 4-өөс 2 хүртэлх хослолын тоотой тэнцүү байна.

Боломжтой 14 өндөр чанартай эд ангиас өндөр чанартай гурван хэсгээс дээж авах аргын тоо

.

Чанарын аль ч бүлгийг гэмтэлтэй хэсгүүдийн аль ч бүлэгтэй нэгтгэж болно, тиймээс нийт хослолын тоо мбайна

А үйл явдлын эрэлхийлж буй магадлал нь энэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн m-ийн тоо, бүх бие даасан үр дүнгийн n-ийн харьцаатай тэнцүү байна.

.

Хязгаарлагдмал тооны үйл явдлын нийлбэр нь тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдлуудыг хэлнэ.

Хоёр үйл явдлын нийлбэрийг A + B тэмдэг, нийлбэрээр тэмдэглэнэ nА 1 + А 2 + тэмдэгт үйл явдлууд: + А n.

Магадлалыг нэмэх теорем.

Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дүгнэлт 1. Хэрэв А 1, А 2,:, А n үйл явдал нь бүтэн системийг бүрдүүлж байвал эдгээр үзэгдлийн магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна.

Дүгнэлт 2. Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү.

.

Бодлого 1. Сугалааны 100 тасалбар байна. 5 тасалбар тус бүр нь 20,000 рубль, 10 тасалбар - тус бүр 15,000 рубль, 15 тасалбар - тус бүр 10,000 рубль, 25 - 2,000 рубль тус бүр шагнал авах нь мэдэгдэж байна. үлдсэн нь юу ч биш. Худалдан авсан тасалбар дээр дор хаяж 10,000 рублийн шагнал авах магадлалыг ол.

Шийдэл. Худалдан авсан тасалбар дээр тус бүр 20,000, 15,000, 10,000 рубльтэй тэнцэх шагнал унасан үйл явдлуудыг A, B, C гэж үзье. А, В, С үйл явдлууд үл нийцэх тул

Асуудал 2. Асаалттай гадуурхтехникум хотуудаас математикийн шалгалт авдаг А, Бболон ХАМТ... Туршилтын ажлыг хотоос хүлээж авах магадлал Ахотоос 0.6-тай тэнцэнэ В- 0.1. Дараагийнх болох магадлалыг ол тестхотоос ирнэ ХАМТ.

Олон хүмүүс "Магадлалын онол" гэсэн ойлголттой тулгарахдаа айж эмээж, энэ бол асар их, маш хэцүү зүйл гэж боддог. Гэхдээ бүх зүйл үнэндээ тийм ч эмгэнэлтэй биш юм. Өнөөдөр бид магадлалын онолын үндсэн ойлголтыг авч үзэх болно, бид тодорхой жишээнүүдийг ашиглан асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Шинжлэх ухаан

"Магадлалын онол" гэх мэт математикийн салбар юуг судалдаг вэ? Тэрээр хэв маяг, тоо хэмжээг тэмдэглэдэг. Эрдэмтэд анх удаа XVIII зуунд мөрийтэй тоглоомын талаар судалж байхдаа энэ асуудлыг сонирхож эхэлсэн. Магадлалын онолын үндсэн ойлголт бол үйл явдал юм. Энэ бол туршлага, ажиглалтаар тогтоогдсон аливаа баримт юм. Гэхдээ туршлага гэж юу вэ? Магадлалын онолын өөр нэг үндсэн ойлголт. Энэ нь тохиолдлоор бус, тодорхой зорилгоор бий болсон гэсэн үг юм. Ажиглалтын хувьд энд судлаач өөрөө туршилтанд оролцдоггүй, харин зүгээр л эдгээр үйл явдлыг гэрчилж, болж буй зүйлд ямар ч байдлаар нөлөөлдөггүй.

Хөгжил

Магадлалын онолын үндсэн ойлголт нь үйл явдал гэдгийг бид мэдсэн боловч ангиллыг авч үзээгүй. Тэд бүгд дараахь ангилалд багтдаг.

• Найдвартай.
• Боломжгүй.
• Санамсаргүй.

Туршилтын явцад ямар төрлийн үйл явдлууд ажиглагдаж, үүссэнээс үл хамааран тэдгээр нь бүгд энэ ангилалд хамаарна. Төрөл бүртэй тус тусад нь танилцахыг урьж байна.

Найдвартай үйл явдал

Энэ бол ийм нөхцөл байдал бөгөөд үүний өмнө шаардлагатай цогц арга хэмжээг авсан. Үүний мөн чанарыг илүү сайн ойлгохын тулд цөөн хэдэн жишээ өгөх нь дээр. Физик, хими, эдийн засаг, дээд математик бүгд энэ хуульд захирагдана. Магадлалын онол нь найдвартай үйл явдал гэх мэт чухал ойлголтыг агуулдаг. Энд зарим жишээ байна:

• Бид ажиллаж, цалин хэлбэрээр цалин авдаг.
• Бид шалгалтаа сайн өгч, тэмцээнд тэнцсэн, үүний төлөө бид элсэлтийн хэлбэрээр шагнал авдаг. боловсролын байгууллага.
• Бид банкинд хөрөнгө оруулсан, шаардлагатай бол буцааж авна.

Иймэрхүү үйл явдлууд үнэмшилтэй байдаг. Хэрэв бид бүгдийг хийсэн бол шаардлагатай нөхцөл, тэгвэл бид хүлээгдэж буй үр дүндээ хүрэх нь гарцаагүй.

Боломжгүй үйл явдлууд

Одоо бид магадлалын онолын элементүүдийг судалж байна. Бид дараагийн төрлийн үйл явдлын тухай, тухайлбал боломжгүй зүйлийн тайлбар руу шилжихийг санал болгож байна. Эхлэхийн тулд бид хамгийн ихийг зааж өгөх болно чухал дүрэм- боломжгүй үйл явдлын магадлал тэг байна.

Асуудлыг шийдэхдээ энэ томъёоллоос хазайж болохгүй. Тодорхой болгохын тулд ийм үйл явдлын жишээг энд харуулав.

• Ус нь аравны температурт хөлдсөн (энэ боломжгүй юм).
• Цахилгаан эрчим хүчний хомсдол нь үйлдвэрлэлд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй (өмнөх жишээн дээрх шиг боломжгүй).

Дээр дурдсан зүйлүүд нь энэ ангиллын мөн чанарыг маш тодорхой тусгасан тул илүү олон жишээ өгөх нь үнэ цэнэтэй зүйл биш юм. Боломжгүй үйл явдал ямар ч нөхцөлд туршлагын үеэр хэзээ ч тохиолдохгүй.

Санамсаргүй үйл явдлууд

Элементүүдийг судлахдаа энэ төрлийн үйл явдалд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Энэ шинжлэх ухаан нь тэднийг судалдаг. Туршлагын үр дүнд ямар нэг зүйл тохиолдож болно, эсвэл болохгүй. Үүнээс гадна туршилтыг хязгааргүй олон удаа хийж болно. Гайхалтай жишээнүүд нь:

• Зоос шидэх нь туршлага эсвэл сорилт, толгой унах нь үйл явдал юм.
• Бөмбөгийг цүнхнээс сохроор гаргах нь сорилт, улаан бөмбөг баригдсан - энэ бол үйл явдал гэх мэт.

Ийм жишээ хязгааргүй олон байж болох ч ерөнхийдөө мөн чанар нь тодорхой байх ёстой. Үйл явдлын талаар олж авсан мэдлэгээ нэгтгэн дүгнэх, системчлэхийн тулд хүснэгтийг өгсөн болно. Магадлалын онол нь танилцуулсан бүх зүйлийн зөвхөн сүүлчийн төрлийг судалдаг.

гарчиг	тодорхойлолт
Найдвартай	Тодорхой нөхцлийн дагуу 100% баталгаатай тохиолдох үйл явдлууд.	Элсэлтийн шалгалтыг сайн өгсөн боловсролын байгууллагад элсэх.
Боломжгүй	Ямар ч нөхцөлд хэзээ ч тохиолдохгүй үйл явдлууд.	Агаарын температураас дээш гучин хэмийн хүйтэнд цас орж байна.
Санамсаргүй	Туршилт / туршилтын явцад тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй байж болзошгүй үйл явдал.	Сагсан бөмбөгийг сагсанд шидэх үед мөргөх, алдах.

Хуулиуд

Магадлалын онол нь аливаа үйл явдал болох магадлалыг судалдаг шинжлэх ухаан юм. Бусадтай адил энэ нь зарим дүрэм журамтай байдаг. Магадлалын онолын дараах хуулиуд байдаг.

• Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дарааллыг нэгтгэх.
• Их тооны хууль.

Цогцолборын боломжийг тооцоолохдоо та үр дүнд хүрэхийн тулд энгийн үйл явдлын багцыг ашиглан илүү хялбар бөгөөд хурдан үр дүнд хүрч чадна. Магадлалын онолын хуулиудыг зарим теоремуудыг ашиглан амархан нотлохыг анхаарна уу. Эхлээд анхны хуультай танилцахыг санал болгож байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дарааллыг нэгтгэх

Хэд хэдэн төрлийн нэгдэл байдгийг анхаарна уу:

• Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал нь магадлалаар нийлдэг.
• Бараг боломжгүй.
• Үндэс дундаж квадратын нэгдэл.
• Түгээлтийн нэгдэл.

Тиймээс, нисч байхдаа мөн чанарыг ойлгоход маш хэцүү байдаг. Энэ сэдвийг ойлгоход тань туслах зарим тодорхойлолтыг энд оруулав. Эхлэхийн тулд эхний харагдац. Дараалал гэж нэрлэдэг магадлалаар нийлэх, хэрэв дараах нөхцөл хангагдсан бол: n нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай бол дарааллын хандлагатай тоо нь тэгээс их бөгөөд нэгтэй ойролцоо байна.

Дараагийн маягт руу шилжье, бараг гарцаагүй... Дараалал нь нийлдэг гэж хэлдэг бараг гарцаагүйсанамсаргүй хэмжигдэхүүн рүү, учир нь n нь хязгааргүй, P нь нэгдмэл утгатай ойролцоо байна.

Дараагийн төрөл нь RMS конвергенц... SK-конвергенцийг ашиглахдаа векторын стохастик процессыг судлах нь тэдгээрийн координатын стохастик процессыг судлахад хүргэдэг.

Сүүлчийн төрөл хэвээр байгаа тул асуудлыг шууд шийдвэрлэхийн тулд товч дүн шинжилгээ хийцгээе. Түгээлтийн нэгдэл нь бас нэг нэртэй байдаг - "сул" гэдгийг доороос бид яагаад тайлбарлах болно. Сул нэгдэлЭнэ нь хязгаарлах хуваарилалтын функцийн тасралтгүй байдлын бүх цэгүүдэд тархалтын функцүүдийн нэгдэл юм.

Бид амлалтаа биелүүлэх нь гарцаагүй: сул нэгдэл нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын орон зайд тодорхойлогдоогүй байдгаараа дээрх бүх зүйлээс ялгаатай. Нөхцөл байдал нь зөвхөн түгээлтийн функцийг ашиглан үүсдэг тул энэ нь боломжтой юм.

Их тооны хууль

Магадлалын онолын теоремууд, тухайлбал:

• Чебышевын тэгш бус байдал.
• Чебышевын теорем.
• Чебышевын ерөнхий теорем.
• Марковын теорем.

Хэрэв бид эдгээр бүх теоремуудыг авч үзвэл энэ асуулт хэдэн арван хуудас үргэлжилж болно. Бидний гол ажил бол магадлалын онолыг практикт хэрэгжүүлэх явдал юм. Бид танд яг одоо үүнийг хийхийг санал болгож байна. Гэхдээ үүнээс өмнө магадлалын онолын аксиомуудыг авч үзье, тэдгээр нь асуудлыг шийдвэрлэхэд гол туслах болно.

Аксиомууд

Боломжгүй үйл явдлын талаар ярилцаж байхдаа бид аль хэдийн анхны уулзсан. Санаж үзье: боломжгүй үйл явдлын магадлал тэг байна. Бид маш тод бөгөөд мартагдашгүй жишээг дурдлаа: Цельсийн гучин градусын температурт цас орсон.

Хоёр дахь нь дараах байдалтай байна: нэгтэй тэнцүү магадлал бүхий найдвартай үйл явдал тохиолддог. Одоо бид үүнийг математик хэлээр хэрхэн бичихийг харуулах болно: P (B) = 1.

Гуравдугаарт: Санамсаргүй үйл явдал тохиолдож болно, болохгүй ч гэсэн боломж үргэлж тэгээс нэг хүртэл хэлбэлздэг. Утга нь нэгд ойртох тусам магадлал өндөр болно; хэрэв утга тэг рүү ойртвол магадлал маш бага байна. Үүнийг математик хэлээр бичье: 0<Р(С)<1.

Сүүлийн дөрөв дэх аксиомыг авч үзье, энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна: хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. Бид математик хэлээр бичдэг: P (A + B) = P (A) + P (B).

Магадлалын онолын аксиомууд нь санахад хэцүү биш хамгийн энгийн дүрэм юм. Өмнө нь олж авсан мэдлэг дээрээ үндэслэн зарим асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе.

Сугалааны тасалбар

Хамгийн энгийн жишээ болох сугалаанаас эхэлцгээе. Та аз өгөхийн тулд нэг сугалааны тасалбар худалдаж авлаа гэж төсөөлөөд үз дээ. Та дор хаяж хорин рубль хожих магадлал хэд вэ? Сугалаанд нийтдээ мянган тасалбар оролцдог бөгөөд тэдгээрийн нэг нь таван зуун рубль, нэг зуун рубль бол арав, хорин рубль бол тавин, тав нь нэг зуун рубль юм. Магадлалын асуудал нь аз тохиох боломжийг олоход суурилдаг. Одоо бид дээр дурдсан даалгаврын шийдлийг хамтдаа шинжлэх болно.

Хэрэв бид таван зуун рублийн ялалтыг А үсгээр тэмдэглэвэл А-г авах магадлал 0.001 болно. Бид яаж авсан бэ? Та зүгээр л "азтай" тасалбарын тоог нийт тоогоор нь хуваах хэрэгтэй (энэ тохиолдолд: 1/1000).

B нь зуун рублийн ялалт, магадлал нь 0.01 байх болно. Одоо бид өмнөх үйлдэлтэй ижил зарчмаар ажилласан (10/1000)

С - ялалт нь хорин рубльтэй тэнцэнэ. Бид магадлалыг олдог, энэ нь 0.05-тай тэнцүү байна.

Үлдсэн тасалбарууд нь бидний сонирхлыг татахгүй, учир нь тэдний шагналын сан нь болзолд заасан хэмжээнээс бага байна. Дөрөв дэх аксиомыг хэрэгжүүлье: Хамгийн багадаа хорин рубль хожих магадлал нь P (A) + P (B) + P (C) юм. P үсэг нь энэ үйл явдал болох магадлалыг илэрхийлдэг тул бид өмнөх үйлдлүүдээс аль хэдийн олж мэдсэн. Зөвхөн шаардлагатай өгөгдлийг нэмэхэд л үлддэг бөгөөд хариултанд бид 0.061-ийг авна. Энэ тоо нь даалгаврын асуултын хариулт болно.

Картын тавцан

Магадлалын онолын асуудлууд илүү төвөгтэй байж болно, жишээлбэл, дараах даалгаврыг авч үзье. Энд гучин зургаан картын тавцан байна. Таны даалгавар бол овоолгыг холихгүйгээр хоёр картыг дараалан зурах явдал юм, эхний болон хоёр дахь картууд нь хөзрийн тамга байх ёстой, костюм нь хамаагүй.

Эхлээд эхний хөзөр хөзрийн хөзөр байх магадлалыг олъё, үүний тулд бид дөрөвийг гучин зургаад хуваана. Тэд үүнийг хойш тавьдаг. Бид хоёр дахь картыг гаргаж авбал энэ нь гучин тавны гуравны магадлал бүхий хөзрийн тамга болно. Хоёрдахь үйл явдлын магадлал нь бид аль картыг түрүүлж зурахаас шалтгаална, энэ нь хөзрийн тамга байсан уу, үгүй ​​юу гэж боддог. Үүнээс үзэхэд В үйл явдал А үйл явдлаас хамаарна.

Дараагийн алхам бол нэгэн зэрэг тохиолдох магадлалыг олох явдал юм, өөрөөр хэлбэл, бид А ба В-ийг үржүүлнэ. Тэдний үржвэр нь дараах байдлаар олддог: нэг үйл явдлын магадлалыг өөр нэг үйл явдлын нөхцөлт магадлалаар үржүүлж, бид үүнийг эхнийх гэж тооцдог. үйл явдал болсон, өөрөөр хэлбэл эхний хөзрөөр бид хөзрийн тамга зурсан.

Бүх зүйлийг тодорхой болгохын тулд бид үйл явдал гэх мэт элементийг тэмдэглэнэ. А үйл явдал болсон гэж үзэн тооцоолно. Дараах байдлаар тооцоолно: P (B / A).

Асуудлаа үргэлжлүүлэн шийдье: P (A * B) = P (A) * P (B / A) эсвэл P (A * B) = P (B) * P (A / B). Магадлал нь (4/36) * ((3/35) / (4/36). Тооцоолох, хамгийн ойрын зуу хүртэл бөөрөнхийл. Бидэнд: 0.11 * (0.09 / 0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09 магадлал. Бид дараалан хоёр хөзрийг зурах болно гэдэг нь есөн зууны нэгтэй тэнцүү Утга нь маш бага бөгөөд энэ нь үйл явдал болох магадлал маш бага гэсэн үг юм.

Мартагдсан дугаар

Бид магадлалын онолыг судалдаг даалгаврын хэд хэдэн хувилбаруудыг шинжлэхийг санал болгож байна. Эдгээрийн заримыг нь шийдэх жишээг та энэ нийтлэлд аль хэдийн үзсэн тул дараах асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе: хүү найзынхаа утасны дугаарын сүүлчийн оронг мартсан боловч дуудлага нь маш чухал байсан тул бүх зүйлийг ээлжлэн залгаж эхлэв. Тэр гурваас илүүгүй удаа залгах магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй. Магадлалын онолын дүрэм, хууль, аксиомыг мэддэг бол асуудлыг шийдэх хамгийн энгийн шийдэл болно.

Шийдлийг харахын өмнө өөрөө шийдэхийг хичээ. Сүүлийн цифр нь тэгээс ес хүртэл байж болно гэдгийг бид мэднэ, өөрөөр хэлбэл аравхан утгууд байдаг. Шаардлагатай нэгийг авах магадлал 1/10 байна.

Дараа нь бид үйл явдлын гарал үүслийн хувилбаруудыг авч үзэх хэрэгтэй бөгөөд хүү зөв таамаглаж, тэр даруй хүссэн зүйлээ бичсэн гэж бодъё, ийм үйл явдлын магадлал 1/10 байна. Хоёр дахь сонголт: эхний дуудлага нь мисс, хоёр дахь нь зорилтот түвшинд байна. Ийм үйл явдлын магадлалыг тооцоолъё: 9/10-ыг 1/9-ээр үржүүл, эцэст нь бид 1/10-ийг авна. Гурав дахь сонголт: эхний болон хоёр дахь дуудлага буруу хаяг дээр байсан, зөвхөн гурав дахь нь хүү хүссэн газартаа очсон. Бид ийм үйл явдлын магадлалыг тооцоолдог: 9/10-ыг 8/9, 1/8-аар үржүүлснээр бид 1/10-ийг авна. Асуудлын нөхцлийн дагуу бид бусад хувилбаруудыг сонирхохгүй байгаа тул олж авсан үр дүнг нэгтгэх ёстой бөгөөд эцэст нь бид 3/10 байна. Хариулт: Хүү 3-аас илүүгүй удаа залгах магадлал 0.3 байна.

Тооны картууд

Таны өмнө есөн карт байгаа бөгөөд тус бүр нь нэгээс ес хүртэлх тоог бичсэн, тоо нь давтагдахгүй. Тэдгээрийг хайрцагт хийж, сайтар холино. Үүний магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй

• тэгш тоо хасагдах болно;
• хоёр оронтой.

Шийдвэр рүү шилжихийн өмнө m нь амжилттай тохиолдсон тохиолдлын тоо, n нь нийт сонголтуудын тоо гэдгийг хэлье. Тоо тэгш байх магадлалыг олъё. Дөрвөн тэгш тоо байгааг тооцоолоход хэцүү биш байх болно, энэ нь бидний m байх болно, нийт есөн сонголт боломжтой, өөрөөр хэлбэл m = 9. Тэгвэл магадлал 0.44 буюу 4/9 байна.

Хоёрдахь тохиолдлыг авч үзье: сонголтуудын тоо есөн боловч амжилттай үр дүн огт гарахгүй, өөрөөр хэлбэл m нь тэгтэй тэнцүү байна. Сугасан картанд хоёр оронтой тоо байх магадлал мөн тэг байна.

Магадлалын онол нь санамсаргүй үзэгдлийн хуулиудыг судалдаг математикийн салбар юм: санамсаргүй үйл явдал, санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тэдгээрийн шинж чанар, тэдгээрт хийх үйлдлүүд.

Удаан хугацааны туршид магадлалын онол тодорхой тодорхойлолтгүй байсан. Үүнийг зөвхөн 1929 онд боловсруулсан. Магадлалын онол шинжлэх ухаан болгон бий болсон нь Дундад зууны үед болон мөрийтэй тоглоомын математикийн шинжилгээ хийх анхны оролдлого (зоос, шоо, рулет) холбоотой юм. 17-р зууны Францын математикч Блез Паскаль, Пьер Фермат нар мөрийтэй тоглоомын хожлын таамаглалыг судалж байхдаа шоо шидсэнээс үүсэх магадлалын анхны хуулиудыг нээсэн.

Магадлалын онол нь санамсаргүй массын үйл явдлын цөмд тодорхой хэв маяг оршдог гэсэн итгэл үнэмшлээс шинжлэх ухаан болж үүссэн. Магадлалын онол эдгээр хэв маягийг судалдаг.

Магадлалын онол нь тохиолдох нь тодорхойгүй байгаа үйл явдлыг судлахтай холбоотой. Энэ нь зарим үйл явдал тохиолдох магадлалын түвшинг бусадтай харьцуулахад дүгнэх боломжийг олгодог.

Жишээлбэл: Зоос шидсэний үр дүнд "толгой" эсвэл "сүүл" авах үр дүнг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжгүй, гэхдээ олон удаа шидэх үед ойролцоогоор ижил тооны "толгой", "сүүл" унадаг. "толгой" эсвэл "сүүл" авах магадлал 50% -тай тэнцүү байна.

Туршилтэнэ тохиолдолд тодорхой нөхцлийн хэрэгжилтийг, өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд зоос шидэх гэж нэрлэдэг. Сорилтыг хязгааргүй олон удаа тоглож болно. Энэ тохиолдолд нөхцлийн цогц нь санамсаргүй хүчин зүйлийг агуулдаг.

Туршилтын үр дүн байна үйл явдал... Үйл явдал болдог:

1. Найдвартай (туршилтын үр дүнд үргэлж тохиолддог).
2. Боломжгүй (хэзээ ч тохиолддоггүй).
3. Санамсаргүй (туршилтын үр дүнд тохиолдож болно, үгүй ​​ч байж болно).

Жишээ нь, зоос шидэх үед боломжгүй үйл явдал - зоос ирмэг дээр байх болно, санамсаргүй үйл явдал - "толгой" эсвэл "сүүл" -ийн уналт. Туршилтын тодорхой үр дүнг гэж нэрлэдэг анхан шатны үйл явдал... Туршилтын үр дүнд зөвхөн энгийн үйл явдлууд тохиолддог. Туршилтын бүх боломжит, ялгаатай, тодорхой үр дүнгийн нийлбэрийг нэрлэдэг анхан шатны үйл явдлын орон зай.

Онолын үндсэн ойлголтууд

Магадлал- үйл явдлын гарал үүслийн боломжийн зэрэг. Зарим боломжит үйл явдлын шалтгаан нь эсрэг шалтгаанаас давсан тохиолдолд тухайн үйл явдлыг магадлалтай, өөрөөр хэлбэл - магадлалгүй эсвэл боломжгүй гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй утгаТуршилтын үр дүнд тодорхой утгыг авч болох үнэ цэнэ бөгөөд аль нь болохыг урьдчилж мэдэгддэггүй. Жишээлбэл: өдөрт гал унтраах анги руу очих тоо, 10 удаа буудсан тоо гэх мэт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хоёр төрөлд хувааж болно.

1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнТуршилтын үр дүнд тодорхой магадлалтайгаар тодорхой утгыг авч, тоолж болох олонлог (элементүүдийг дугаарлаж болох олонлог) үүсгэдэг хэмжигдэхүүн юм. Энэ олонлог нь төгсгөлтэй ба төгсгөлгүй байж болно. Жишээ нь, зорилтот эхний цохилтоос өмнө буудсан тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм Энэ утга нь тоолж болохуйц тооны ч гэсэн хязгааргүй утгыг авч болно.
2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнтодорхой хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй интервалаас ямар ч утгыг авч чаддаг ийм хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Мэдээжийн хэрэг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй юм.

Магадлалын орон зай- A.N-ийн танилцуулсан үзэл баримтлал. Колмогоров 20-р зууны 30-аад оны үед магадлалын тухай ойлголтыг албан ёсоор гаргаж ирсэн нь магадлалын онолыг математикийн хатуу шинжлэх ухаан болгон хурдацтай хөгжүүлэхэд хүргэсэн.

Магадлалын орон зай нь гурвалсан (заримдаа өнцгийн хаалтаар хүрээлэгдсэн байдаг:, хаана

Энэ бол дурын олонлог бөгөөд түүний элементүүдийг энгийн үйл явдал, үр дүн, цэг гэж нэрлэдэг;
- (санамсаргүй) үйл явдал гэж нэрлэгддэг дэд олонлогуудын сигма-алгебр;
- магадлалын хэмжүүр буюу магадлал, i.e. сигма-нэмэлт хязгаарлагдмал хэмжигдэхүүн ийм.

Мойвр-Лапласын теорем- 1812 онд Лаплас тогтоосон магадлалын онолын хязгаарын теоремуудын нэг. Хоёр боломжит үр дүн бүхий нэг санамсаргүй туршилтыг олон удаа давтах амжилтын тоо ойролцоогоор хэвийн тархалттай байна гэж тэр үзэж байна. Энэ нь магадлалын ойролцоо утгыг олох боломжийг танд олгоно.

Хэрэв бие даасан тест бүрийн хувьд санамсаргүй тохиолдлын магадлал нь ()-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь бодитоор тохиолдсон туршилтуудын тоо юм бол тэгш бус байдлын магадлал нь (их хэмжээний хувьд) утгатай ойролцоо байна. Лапласын интеграл.

Магадлалын онол дахь тархалтын функц- санамсаргүй хэмжигдэхүүн эсвэл санамсаргүй векторын тархалтыг тодорхойлдог функц; санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь x-ээс бага буюу тэнцүү утгыг авах магадлал, энд x нь дурын бодит тоо юм. Хэрэв тодорхой нөхцөл хангагдсан бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлно.

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ- санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга (энэ нь магадлалын онолд авч үзсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм). Англи хэл дээрх уран зохиолд үүнийг оросоор - гэж тэмдэглэдэг. Статистикийн хувьд тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.

Магадлалын орон зай ба түүн дээр тодорхойлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хэмжигдэхүйц функц юм. Дараа нь хэрэв орон зайн Лебесгийн интеграл байгаа бол түүнийг математик хүлээлт буюу дундаж утга гэж нэрлээд тэмдэглэнэ.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл- өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл түүний математикийн хүлээлтээс хазайлт. Энэ нь Оросын уран зохиол, гадаадын уран зохиолд тусгагдсан байдаг. Статистикийн хувьд тэмдэглэгээ эсвэл ихэвчлэн ашиглагддаг. Вариацын квадрат язгуурыг стандарт хазайлт, стандарт хазайлт эсвэл стандарт хазайлт гэж нэрлэдэг.

Тодорхой магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. Дараа нь

Энд тэмдэг нь математикийн хүлээлтийг илэрхийлдэг.

Магадлалын онолд санамсаргүй хоёр үйл явдал гэж нэрлэгддэг бие даасанхэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол. Үүний нэгэн адил хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дууддаг хамааралтайХэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь үнэ цэнэ нь нөгөөгийнхөө үнэ цэнийн магадлалд нөлөөлж байвал.

Их тооны хуулийн хамгийн энгийн хэлбэр бол Бернуллигийн теорем бөгөөд хэрэв аливаа үйл явдлын магадлал бүх туршилтанд ижил байвал туршилтын тоо нэмэгдэх тусам үйл явдлын давтамж нь 2-ын магадлалд чиглэдэг. үйл явдал бөгөөд санамсаргүй байхаа болино.

Магадлалын онолын их тооны хуулинд тогтмол тархалтаас авсан хязгаарлагдмал түүврийн арифметик дундаж нь тухайн тархалтын онолын дундаж математик хүлээлттэй ойролцоо байна гэж заасан байдаг. Конвергенцийн төрлөөс хамааран магадлалын хувьд нийлэх үед их тооны сул хууль, нийлэх нь бараг тодорхой үед их тооны хүчтэй хууль гэж ялгадаг.

Их тооны хуулийн ерөнхий утга нь олон тооны ижил ба бие даасан санамсаргүй хүчин зүйлийн хамтарсан үйл ажиллагаа нь хязгаар дахь тохиолдлоос хамаарахгүй үр дүнд хүргэдэг.

Хязгаарлагдмал түүврийн шинжилгээнд үндэслэн магадлалыг тооцоолох аргууд нь энэ шинж чанарт суурилдаг. Үүний тод жишээ бол сонгогчдын дунд явуулсан санал асуулгад үндэслэн сонгуулийн үр дүнгийн таамаглал юм.

Төвийн хязгаарын теоремууд- магадлалын онол дахь теоремуудын ангилал нь ойролцоогоор ижил масштабтай (нэг томьёоны аль нь ч давамгайлахгүй, нийлбэрт тодорхойлогч хувь нэмэр оруулдаггүй) хангалттай олон тооны сул хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр нь тархалттай байдаг гэж үздэг. хэвийн хэмжээнд ойрхон.

Хэрэглээний олон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хэд хэдэн сул хамааралтай санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөн дор үүсдэг тул тэдгээрийн тархалтыг хэвийн гэж үздэг. Энэ тохиолдолд хүчин зүйлийн аль нь ч давамгайлахгүй байх нөхцөлийг хангасан байх ёстой. Эдгээр тохиолдлуудад төвлөрсөн хязгаарын теоремууд нь хэвийн тархалтын хэрэглээг зөвтгөдөг.