Def . Болъё,
,

.

Багцыг хаалттай завсар эсвэл хаалттай баар гэж нэрлэдэг .

Багцыг нээлттэй цоорхой гэж нэрлэдэг

эсвэл нээлттэй баар .

Def . Интервалын хэмжилт ба хэмжээг ингэж нэрлэдэг.

(Илүү нарийн
).

Def . Хэрэв
ийм
дараа нь интервал доройтсон гэж нэрлэдэг ба
.

Зай хэмжих шинж чанарууд:

а). Эерэг байдал:
, ба
хэрэв, зөвхөн бол - доройтсон байна.

б). Эерэг жигд байдал :.

v). Нэмэлт байдал:

* -ийн хувьд
ийм
;

* -ийн хувьд
ба

.

G). Хэмжлийн монотон чанар:

Def . Баарны диаметр (цоорхой) нь дараахь утгыг илэрхийлнэ.

Тэрийг тэмдэглэ
ба
Үүнтэй ижил зүйл биш. Жишээлбэл, хэрэв - тэгвэл доройтно
, а
(ерөнхийдөө).

Үүнд: *;

* ;*
.

Def . Дүүргэгч
дэд зай интервал хуваах гэж нэрлэдэг , хэрэв: *;

*
; *
; *
; *
.

Тоо хэмжээ
хуваалтын параметр гэж нэрлэдэг П(энд
).

Def . Хуваах хуваалтыг боловсронгуй болгох гэж нэрлэдэг хэрэв хуваалтын бүх элементүүд хуваах элементүүдийг хуваах замаар олж авсан .

Үүнийг зааж өгсөн болно:
... Унших: жижиг эсвэл илүү том .

Том, жижиг харилцааны хувьд энэ нь үнэн юм:

*. дамжуулалт -; *.
;

*.


; *.

|
.

§. Олон тооны интегралийн тодорхойлолт

Болъё
- мод (цоорхой) ,
- цоорхойг хуваах Би... Хуваалт бүрийн интервал бүрт цэгийг тэмдэглэ
.

Бид авдаг
гэсэн тэмдэглэгдсэн цэгүүдээр хуваана
.

Тоо хэмжээ
функцийн интеграл Рийманы нийлбэр гэж нэрлэдэг f (x) интервал дээр Би тэмдэглэгдсэн цэгүүдээр хуваах замаар
.

Def :
=
=
.

Тэмдэглэж байна - баар дээр нэгтгэх функцүүдийн багц Би бид бичдэг:

Def : ε > 0 δ>0<.

Хэрэв функцын хувьд f(x) дээр Биба хуваах
- гэж тэмдэглэх
- функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга f(x) дээр Би кдараа нь тоо хэмжээ
=
ба
=
Дарбуксын доод ба дээд нийлбэр гэж нэрлэдэг.

§. Олон тооны интеграл оршин тогтнохын тулд Darboux шалгуур.

Т. 0 . Үйл ажиллагаа явуулах
баар дээр нэгтгэх боломжтой байв (тэдгээр.
) шаардлагатай бөгөөд хангалттай

. Δ▲.

Евклидийн орон зайд баар дээрх функцийг нэгтгэх аргыг тодорхойлно. Евклидийн орон зайнаас дурын хязгаартай олонлог дээр функцийг хэрхэн нэгтгэх вэ?

Функцийн интегралийг тодорхойлъё f багцаар
.

Def : Болъё
ба
- хязгаарлагдмал, өөрөөр хэлбэл
... Чиг үүрэг
олонлогийн онцлог функц гэж нэрлэдэг М..

Дараа нь:
≡
.

Багц дээрх интегралийн тодорхойлолт нь аль мөр агуулсан байхаас хамаардаггүй М.сонгосон, өөрөөр хэлбэл

.

Энэ нь олонлог дээрх интегралийн тодорхойлолт зөв гэсэн үг юм.

Интеграцчлах зайлшгүй нөхцөл.Үйл ажиллагаа явуулах f(x) дээр М.нэгтгэх чадвартай байх нь зайлшгүй шаардлагатай f(x) -ээр хязгаарлагдаж байв М.. Δ▲.

§. Олон тооны интегралуудын шинж чанарууд.

1  . Шугаман байдал: Олон R М.багц дээр нэгтгэх функцууд М -шугаман

орон зай, ба
- шугаман функц.

2  . Хэвийн болгох нөхцөл:
... Тэмдэглэгээний өөр нэг хэлбэр
Үнэндээ Евклидийн орон зайгаас дурын олонлогийн хэмжүүрийг тодорхойлдог.

3  . Хэрэв Lebesgue хэмжээсийн олонлогийн интеграл тэг байгаа бол энэ нь болно

тэг байна.

Тэмдэглэл:Маш их М.Лебегийн хэмжигдэхүүний тэг гэж нэрлэдэг,

хэрэв

ийм
ба
.

4  . a.;б.;

v.хэрэв
ба - тэгээс тусгаарлагдсан М., тэгвэл

5  .
ба f=g p.c. (бараг хаа сайгүй) М., тэгвэл
.

6  . Нэмэлт байдал: Хэрэв
ба
дараа нь

,

Ерөнхийдөө:
.

. Тэгш эрхээс үүдэлтэй: ▲

7  . Монотон:
ба
дараа нь
.

8  . Тэгш бус байдлын интеграци: хэрэв
ito

.

9  . Болъё


... To
, багцын дотоод цэг байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай М., энд f (x)> 0 ба тасралтгүй байна.

10  . Нэгдсэн функцийн модулийн бүрэн бүтэн байдал:
.

11  . Дундаж теорем:
,
дээр М.тэмдгийг хадгалдаг ба
, тэгвэл

.

Хэрэв багц бол М.- холбогдсон ба f(x) Үргэлжлүүлэн асаалттай байна
дараа нь
ийм
.

12  . Сөрөг бус функцын интеграл 0-тэй тэнцүү байхын тулд

шаардлагатай бөгөөд хангалттай f(x) = 0 бараг хаа сайгүй байдаг М..

13  . Фубини теорем.Давхар интегралын хувьд:

Бүс нутгийг зөвшөөрнө үү
- тэгш өнцөгт :. Дараа нь дотоод ганц интегралууд байгаа нөхцөлд давхар интегралийг олохын тулд дахин нэгтгэх ажлыг үргэлжлүүлж болно (А зургийг үз).

, эсвэл

Е

Хэрэв интеграцийн домэйн нь тэгш өнцөгт биш бол Фубини теорем хүчинтэй хэвээр байгаа бөгөөд хэлбэртэй байна (Зураг b -ийг үзнэ үү):
. (*)

Тэмдэглэл:Интеграцийн гадаад хязгаар нь тогтмол байх ёстой бөгөөд интеграцийн дотоод хязгаар нь интеграцийг хийх хувьсагчаас хамаарч болно.

Томъёоны функцийг ашиглан томъёог (*) олж авах боломжтой Д..

Олон тооны интегралын хувьд:

Евклидийн орон зайн зарим дэд бүлгийг үзье ба ... Бид эдгээр багцуудын Декартийн бүтээгдэхүүнийг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь Евклидийн орон зайн дэд хэсэг юм
:.

Дараа нь Фубинигийн теорем
шиг харагдаж байна:
.

Теорем нь баарны хувьд хүчинтэй байна Xба Y, мөн илүү төвөгтэй тохиргооны хувьд.

Жишээ:

1 0 . Тооцоолох
хэрэв тухайн бүс нутгийн хил
тэгшитгэлээр өгсөн:

... Бүс нутгийн хил хязгаарыг тодорхойлдог муруйн огтлолцлын цэгүүдийг олоход бид хоёр цэгийг олж авна.
ба
... Дараа нь давтагдсан интеграл руу шилжих үед интеграцийн хязгаарыг тохируулах боломжтой болно.

а).
;

2

0 . Дахин интегралд нэгтгэх дарааллыг өөрчлөх:
.

–

.

Жор:Давхар интегралд интеграцийн хязгаарыг тогтоохдоо интеграцийн гадаад хязгаараас эхлэхийг зөвлөж байна.

3

0 . Тооцоолох:
, хэрэв

Давтагдсан интеграл руу шилжих нь дараахь зүйлийг өгдөг.
.

Энэ тохиолдолд гурвалсан интегралд хязгаарын зохицуулалт нь интеграцийн дотоод хязгаараас эхлэх ёстой. Дараа нь тухайн талбайг төлөвлөх Vонгоцонд өө

тухайн бүс нутагт хязгаар тогтоох Д.- онгоцонд хэвтэж байна өө.

4 0 . Дахин интеграл дахь интеграцийн дарааллыг өөрчлөх:
.

Остроградскийн олон интеграл дээр хийсэн бүтээлүүдийн талаар илүү дэлгэрэнгүй ярилцъя.

Остроградскийн гурвалсан интегралийг давхар интеграл болгон хувиргах томъёог бид ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг

энд div A нь векторын талбайн ялгаатай байдал,

Ан бол хилийн гадаргуугийн гаднах хэвийн n нэгжийн вектороор А векторын скаляр бүтээгдэхүүн юм; Математикийн уран зохиолд үүнийг өмнө нь Гаусс, Ногоон нэртэй холбож үздэг байв.

Чухамдаа Гауссын бөмбөрцөг татах тухай бүтээлд томъёоны (1) маш онцгой тохиолдлуудыг харж болно, жишээлбэл, P = x, Q = R = 0 гэх мэт. Ж. Гриний хувьд. цахилгааны онол ба томъёо (1) -ийн соронзлол огт байдаггүй; Энэ нь гурвалсан ба давхар интегралуудын хоорондох өөр нэг холбоог, тухайлбал Лаплас операторын Гриний томъёог гаргаж авсан бөгөөд үүнийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Мэдээжийн хэрэг, (2) -оос томъёог (1) гаргаж авах боломжтой

мөн үүнтэй адил та (1) томъёогоор (2) томъёог авч болно, гэхдээ Ногоон үүнийг хийх тухай огт бодоогүй.

эзлэхүүн дээрх интеграл нь зүүн талд, хилийн гадаргуу дээрх интеграл нь баруун талд байгаа бөгөөд эдгээр нь гаднах нормын чиглэлийн косинусууд юм.

Остроградскийн Парисын гар бичмэлүүд интеграл теоремын нээлт болон анхны харилцаа аль аль нь түүнд хамааралтай болохыг бүрэн итгэлтэйгээр гэрчилж байна. Анх удаа үүнийг 1826 оны 2 -р сарын 13 -нд Парисын Шинжлэх Ухааны Академид танилцуулсан "Интеграл тооцооллын теоремын нотолгоо" -д яг одоо хийж байгаа шигээ илэрхийлж, нотолсон бөгөөд үүний дараа уг хэсэгт дахин томъёолсон болно. "Дотор дулаан тархах тухай дурсамж хатуу бодисОстроградский 1827 оны 8 -р сарын 6 -нд танилцуулсан. "Дурсамж" -ыг Фурье, Пуассон нарт хянуулахаар өгсөн бөгөөд сүүлийнх нь үүнийг уншсан нь гар бичмэлийн хоёр хэсгийн эхний хуудсан дээрх бичээсээр нотлогдсон болно. Мэдээжийн хэрэг, Пуассон уян хатан байдлын онолын талаархи бүтээлээ танилцуулахаас хоёр жилийн өмнө Остроградскийн бүтээлд танилцсан теоремоо өөртөө тайлбарлах тухай огт бодож байгаагүй.

Остроградский ба Ногооны олон интегралуудын ажлын хоорондын хамаарлын хувьд "Дулааны онолын тухай тэмдэглэл" -д Гриний өөрийн томъёог агуулсан томъёог маш онцгой тохиолдол болгон гаргаж байсныг бид санаж байна. Остроградскийн "Тэмдэглэл" -д ашигладаг байсан Кошигийн ер бусын бэлгэдэл нь энэхүү чухал нээлтийг судлаачдаас саяхныг хүртэл нуужээ. Мэдээжийн хэрэг, Грин 1828 онд өөрийн нэрээр нэрлэгдсэн Лаплас операторуудын томъёоны нээлт, анхны хэвлэл мэдээллийн нэр хүндийг хадгалж үлдсэн юм.

Гурвалсан интегралийг хоёр дахин интеграл болгон хувиргах томъёог нээсэн нь Остроградскийг n дахин интегралийг өөрчлөх асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалж, өөр өөр хэлбэрийн илэрхийлэлийн интегралийг хувиргах ерөнхий томъёог гаргаж авахад тусалсан юм. n хэмжээст домэйн ба хязгаарлагдах S гадаргуу дээрх интеграл L (x, y, z, ...) = 0 тэгшитгэлээр. Хэрэв бид өмнөх тэмдэглэгээг дагаж мөрдвөл томъёо нь хэлбэртэй байна

Гэсэн хэдий ч Остроградский бидний ашигладаг геометрийн дүрс, нэр томъёог ашигладаггүй байсан: олон хэмжээст орон зайн геометр нь тэр үед хараахан байгаагүй.

Олон тооны интегралуудын хэлбэлзлийн тооцооллын талаархи дурсамж номонд ийм интегралуудын онолын өөр хоёр чухал асуултыг авч үзсэн болно. Нэгдүгээрт, Остроградский олон талт интеграл дахь хувьсагчдын өөрчлөлтийн томъёог гаргадаг; хоёрдугаарт, хувьсагч тус бүрт тохирох хязгаарт n дараалсан интеграцийг ашиглан n дахин интегралийг тооцоолох аргын бүрэн, үнэн зөв тайлбарыг анх удаа өгчээ. Эцэст нь энэхүү дурсамжинд багтсан томъёонуудаас харахад хялбархан дүгнэж болно ерөнхий дүрэминтеграл төдийгүй интеграцийн бүсийн хил хязгаар нь энэ параметрээс хамаардаг бол олон хэмжээст интегралын параметрийн ялгаа. Энэхүү дүрэм нь дурсамжинд байгаа томъёоноос байгалийн жамаар гардаг бөгөөд хожим математикчид үүнийг энэхүү дурсамжийн аль нэг томъёогоор тодорхойлсон байдаг.

Остроградский олон тооны интеграл дахь хувьсагчдын өөрчлөлтөд тусгай ажил зориулжээ. Давхар интегралийн хувьд холбогдох дүрмийг Эйлер, гурвалсан интегралын хувьд Лагранжийн албан ёсны хувиргалтыг ашиглан гаргажээ. Гэсэн хэдий ч Лагранжийн үр дүн зөв боловч түүний үндэслэл үнэн зөв биш байсан: тэрээр хуучин болон шинэ хувьсагч дахь эзлэхүүний элементүүд - координатууд хоорондоо тэнцүү байдгаас үүдэлтэй юм шиг санагдсан. Остроградский хувьсагчийг өөрчлөх дүрмийг саяхан дурьдсантай ижил алдаа гаргасан. Остроградский "Олон тооны интеграл дахь хувьсагчийн хувиргалтын тухай" нийтлэлдээ Лагранжийн алдааг илтгэсэн бөгөөд хувьсагчдыг давхар интеграл болгон хувиргах тодорхой геометрийн аргыг анх удаа танилцуулсан бөгөөд үүнийг арай хатуу хэлбэрээр танилцуулсан болно. манай гарын авлагад. Тухайлбал, интеграл дахь хувьсагчдыг томъёогоор өөрчлөхдөө интеграцийн бүсийг u = const, v = const гэсэн хоёр системийн координатын шугамаар хязгааргүй муруй дөрвөлжин болгон хуваана. Дараа нь хязгааргүй нарийн муруй шугамтай тохирох элементүүдийн элементүүдийг нэмж, дараа нь элементүүдийг бүгдийг нь шавхах хүртэл туузаар үргэлжлүүлэн нэгтгэх замаар интегралийг олж авч болно. Энгийн тооцоолол нь параллелограмм гэж нэрлэгдэх боломжтой хэсгийг илүү өндөр дарааллаар өгдөг бөгөөд энэ талбарыг эерэг байхаар сонгосон болно. Үүний үр дүнд бид сайн мэддэг томъёог олж авдаг

Гэж тодорхойлогдсон хоёр хувьсагчийн функцын хувьд z = f(x, y) .

Давхар интеграл дараах байдлаар бичигдсэн болно.

Энд Д.- давхар интегралийг тооцоолох даалгаварт (тэгшитгэл) илэрхийлсэн шугамуудаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс. Зүүн ба баруун - Зүүн талд байгаа хувьсагчийн тэгш байдал x, ба түүнээс дээш - зүүн талд байгаа хувьсагч байх тэгшитгэлүүд y... Энэ газар ба цаашлаад давхар интегралийг тооцоолох техникийг ойлгоход хамгийн чухал газруудын нэг юм.

Давхар интегралийг тооцоол - дурдсан зургийн талбайтай тэнцүү тоог олохыг хэлнэ Д. .

Бид хүрэх хүртлээ давхар интегралийн тодорхойлолт , гэхдээ бид үүнийг тооцоолж сурах болно. Давхар интеграл гэж юу болохыг ойлгохын тулд хэд хэдэн асуудлыг шийдсэн бол үүнийг ойлгоход хялбар байдаг тул энэ хичээлийн төгсгөлд давхар интегралийн тодорхойлолтыг олох болно. Бага зэрэг урагшлахад давхар интегралийн тодорхойлолт нь дээр дурдсан зурагтай холбоотой болохыг бид зөвхөн тэмдэглэж болно. Д. .

Хэрэв зураг Д.нь тэгш өнцөгт бөгөөд түүнийг хязгаарлах бүх шугамууд нь шулуун шугамууд юм. Хэрэв зураг Д.- муруй шугамтай, дараа нь зүүн ба баруун талд шулуун шугамаар, дээр ба доор нь даалгаварт өгсөн тэгшитгэлээр өгсөн муруй шугамуудаар хязгаарлагдана. Зураг зурах тохиолдол байдаг Д.- гурвалжин, гэхдээ ийм тохиолдлуудын талаар арай илүү.

Давхар интегралийг тооцоолохын тулд зурагтай хиллэсэн шугамыг эрэмбэлэх шаардлагатай байна Д., гэсэн хатуу нэртэй байдаг - интеграцийн бүс. Зүүн ба баруун, дээд ба доод гэж ангилна. Энэ нь хэзээ шаардлагатай болно Давхар интегралийг давтагдах интеграл болгон бууруулах - давхар интегралийг тооцоолох арга.

Тэгш өнцөгт талбайн кейс:

Муруй бүсийн тохиолдол:

Энэ бол интеграцийн дээд ба доод хязгаарыг өгсөн бидний мэддэг зарим интегралуудын шийдэл юм. Дүрсийг холбосон шугамыг тодорхойлдог илэрхийлэл Д., бидний аль хэдийн ойртож буй ердийн тодорхой интегралуудын интеграцийн хязгаар байх болно.

Давхар интегралийг давтагдах интеграл болгон бууруулах

Тэгш өнцөгт талбайн хайрцаг

Ийм функцийг давхар интегралтай болгоё

To Энэ давхар интегралыг тооцоол , үүнийг хэлбэртэй давтан интеграл болгон бууруулах шаардлагатай байна

.

Эхлээд та дотоод (баруун) тодорхой интеграл, дараа нь - гадаад (зүүн) тодорхой интегралийг тооцоолох хэрэгтэй.

Та үүргээ өөрчилж болно xба y

.

Жишээ 1.Давхар интегралийг тооцоол

Бид y -ийг тогтмол гэж үзээд дотоод (баруун) интегралийг тооцоолно. Бид хүлээн авдаг.

.

Жишээ 2.Давхар интегралийг тооцоол

,

Шийдэл. Энэ давхар интегралийг давтагдах интеграл болгон бууруулна уу

Зураг дээр бид интеграцийн талбарыг бий болгодог.

Одоо бид зөвхөн тооцоолсон дотоод (баруун) интегралын гаднах (зүүн) интегралийг тооцоолно.

Үр дүн нь энэхүү давхар интегралийн шийдэл байх болно.

Давхар интегралийг өөрөө тооцоолж, дараа нь шийдлийг нь үзээрэй

Муруй эсвэл гурвалжин хэлбэртэй бүсийн жишээ

Хоёр хувьсагчийн функцийг дахин өгье f(x, y) болон хязгаарлалтууд Д.: арай өөр төрлийн:

Энэ оруулга нь зураг гэсэн үг юм Д.шулуун шугамтай бүсийн нэгэн адил зүүн ба баруун хязгаартай x = aба x = б, харин доор ба дээр тэгшитгэлээр өгөгдсөн муруй байна. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр нь функц юм.

Ийм функцийг давхар интегралтай болгоё

Энэхүү давхар интегралийг тооцоолохын тулд үүнийг хэлбэртэй давтагдах интеграл болгон багасгах шаардлагатай

.

Энд интеграцийн хязгаарлалтууд байна aба бнь тоонууд бөгөөд функцууд юм. Гурвалжин бүсийн хувьд функцүүдийн нэг нь шулуун шугамын тэгшитгэл юм. Энэ хэргийг 3 -р жишээнд шинжлэх болно.

Шулуун шугамтай бүсийн нэгэн адил та эхлээд зөв тодорхой интеграл, дараа нь зүүн тодорхой интегралийг тооцоолох хэрэгтэй.

Үүний нэгэн адил та дүрээ сольж болно xба y... Дараа нь давтагдсан интеграл хэлбэртэй болно

.

Ийм давтагдсан интегралийг яг ижил аргаар шийдэх ёстой: эхлээд дотоод (баруун) интеграл, дараа нь гадаад (зүүн) интеграл.

Жишээ 5.Давхар интегралийг тооцоол

,

Шийдэл. Энэ давхар интегралийг давтагдах интеграл болгон бууруулна уу

.

Зураг дээр бид нэгтгэх талбайг бүтээж, гурвалжин хэлбэртэй болохыг олж харна.

Бид x (тогтмол) -ийг харгалзан дотоод (баруун) интегралийг тооцоолно. Бид хүлээн авдаг.

Одоо бид зөвхөн тооцоолсон дотоод (баруун) интегралын гаднах (зүүн) интегралийг тооцоолно. Нэгдүгээрт, бид энэ интегралийг интегралуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлнэ.

.

Бид эхний нэр томъёог тооцоолно.

Бид хоёр дахь нэр томъёог тооцоолно.

Бид гурав дахь нэр томъёог тооцоолно.

Бид энэ давхар интегралийн шийдэл болох нийлбэрийг авна.

.

Жишээ 6.Давхар интегралийг тооцоол

Шийдэл. Энэ давхар интегралийг давтагдах интеграл болгон бууруулна уу

Зураг дээр бид интеграцийн талбарыг бий болгодог.

Бид x (тогтмол) -ийг харгалзан дотоод (баруун) интегралийг тооцоолно. Бид хүлээн авдаг.

.

Одоо бид зөвхөн тооцоолсон дотоод (баруун) интегралын гаднах (зүүн) интегралийг тооцоолно.

Үр дүн нь энэхүү давхар интегралийн шийдэл байх болно.

x- зөв ба буруу; y- интеграцийн зөв ба буруу домэйн

Давхар интеграл интеграцийн бүсийг ийм шугамаар хязгаарладаг тул интеграцийн бүсийг хэсэг болгон хувааж, харгалзах давтагдсан интеграл бүрийг тусад нь шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Эдгээр нь дараах тохиолдлууд юм.

1) интеграцийн бүс бол доод ба дээд (зүүн эсвэл баруун) хэлбэрийн хоёр ба түүнээс дээш шулуун эсвэл муруй шугамтай дүрс;

2) интеграцийн бүс бол зураг бөгөөд түүний шулуун шугам нь хоёроос дээш цэгээр огтлолцдог.

Хэрэв дээр дурдсан зүйл нь интеграцийн бүсийн зүүн эсвэл баруун хил дээр хамааралтай бол, өөрөөр хэлбэл шугамаар тодорхойлсон хязгаарлалтууд x, дараа нь интеграцийн бүсийг нэрлэдэг x-буруу. Хэрэв шулуун байвал y = y0 харгалзах хилийг зөвхөн нэг цэгээр огтлодог бөгөөд хэрэв зөвхөн нэг шулуун шугам эсвэл муруй нь хилийн үүргийг гүйцэтгэдэг бол интеграцийн бүсийг нэрлэдэг. x- зөв

Үүний нэгэн адил, хэрэв шугамаар тодорхойлогдсон хил хязгаарыг y, Чигээрээ x = x0 нэгээс олон цэг дээр огтлолцдог, эсвэл нэгээс илүү шулуун шугам эсвэл муруй нь хил хязгаар болж байвал интеграцийн бүсийг нэрлэдэг. y-буруу. Тэмдгүүдийг одоо харуул y-Зөв талбар нь маш энгийн байх магадлалтай.

Одоогийн байдлаар бид жишээг авч үзсэн болно x- буруу ба y- интеграцийн зөв чиглэлүүд. Одоо зөв байдлын нөхцлийг зөрчсөн тохиолдлуудыг авч үзье.

Жишээ 7.Интеграцийн талбар нь шугамаар хязгаарлагддаг давхар интегралийг тооцоолно уу y = x , xy = 1 , y = 2 .

Шийдэл. Интеграцийн талбар нь y-Буруу, учир нь түүний доод хилийг нэг мөрөөр тогтоох боломжгүй y = y(x) ... Дээрх зурган дээрээс харахад доод хил нь бүрдсэн байна y = x(хар бургунд) ба xy= 1 (ногоон). Тиймээс шууд x= 1 (хар) бид интеграцийн бүсийг хоёр хэсэгт хувааж болно - ба.

Энэхүү давхар интегралийг дараах байдлаар тооцоолно.

Интеграцийн дарааллыг өөрчлөх

Дээр дурдсанчлан, давхар интегралийг давтагдах интеграл болгон бууруулсны дараа хувьсагчийг өөрчилж болно xба yүүрэг, эсвэл өөрөөр хэлбэл нэгтгэх дарааллыг өөрчлөх.

Интеграцийн дарааллын өөрчлөлтийг "Генригийн тухай" гэсэн дараах үгээр дүрсэлж болно: "Ширэнгэн ойд амьдардаг хүн ийм байдлаар биеэ авч явдаг - араатан, нэг удаа торонд орчихсон, торонд амьдардаг хүн ийм байдлаар биеэ авч явдаг." эргэлзээний ширэнгэн ой. "мөн адил:" Чалмерс захидлыг хамгийн жижиг мянган хэсэг болгон урж, түүний үнэтэй хивсийг урж, урагш нь урж эхлэв. " ( О.Хенри. Мэдисоны талбай дахь Scheherazade.)

Дараа нь хэрэв бид хувьсагчийн хувьд зүүн интегралтай бол x, мөн зөв нэгээр нь y, дараа нь нэгтгэх дарааллыг өөрчилсний дараа бүх зүйл эсрэгээрээ байх болно. Дараа нь "шинэ" тоглоомын интеграцийн хязгаарыг "хуучин" х -ээс "зээлж" авах ёстой бөгөөд "шинэ" х -ийн интеграцийн хязгаарыг хэлбэрээр авах ёстой. урвуу функцТоглоомын хязгаарыг тогтоосон x -ийн тэгшитгэлийг шийдсэн.

Жишээ 8.

.

Шийдэл. Интеграцийн дарааллыг өөрчилсний дараа тоглоомын интеграл зүүн болж, x -ээс дээш интеграл зөв болно. "Шинэ" тоглоомын интеграцийн хязгаарыг "хуучин" x -ээс зээлэх болно, өөрөөр хэлбэл доод хязгаар нь тэгтэй тэнцүү, дээд хязгаар нь нэгтэй тэнцүү байна. "Хуучин" тоглоомын интеграцийн хязгаарыг тэгшитгэл ба. Эдгээр тэгшитгэлүүдийг x -ийн хувьд шийдсэний дараа бид x -ийн интеграцийн шинэ хязгаарыг олж авна.

(доод) ба (дээд).

Тиймээс нэгтгэх дарааллыг өөрчилсний дараа давтан интегралийг дараах байдлаар бичнэ.

.

Давхар интеграл дахь интеграцийн дарааллыг өөрчилсний дараа интеграцийн бүс ихэвчлэн өөрчлөгддөг y-буруу эсвэл x- буруу (өмнөх догол мөрийг үзнэ үү). Дараа нь нэгтгэх бүсийг хэсэг болгон хувааж, харгалзах давтагдсан интеграл бүрийг тусад нь шийдвэрлэх шаардлагатай болно.

Интеграцийн талбарыг хэсэг болгон хуваах нь олон оюутнуудад тодорхой бэрхшээл учруулдаг тул бид өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн жишээнээр хязгаарлагдахгүй, харин хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 9.Дахин интеграл болгохын тулд нэгтгэх дарааллыг өөрчил

.

Шийдэл. Тиймээс энэхүү давтагдсан интегралийг нэгтгэх бүс нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг y = 1 , y = 3 , x = 0 , x = 2y .

Өөр дарааллаар нэгтгэх үед бүс нутгийн доод хил нь хоёр шулуун шугамаас бүрдэнэ. ABба МЭӨтэгшитгэлээр өгсөн болно y= 1 ба y = x/ 2, үүнийг доорх зургаас харж болно.

Энэхүү тодорхой бус байдлаас гарах арга бол интеграцийн бүсийг хоёр хэсэгт хуваах явдал юм. Интеграцийн бүсийг шулуун шугамаар хуваах болно BM... Бид урвуу функцийг олж интеграцийн шинэ хязгаарыг тооцоолно. Энэхүү шийдлийн дагуу нэгтгэх дарааллыг өөрчилсний дараа давтагдсан интеграл нь хоёр интегралийн нийлбэртэй тэнцүү болно.

Мэдээжийн хэрэг, энэ жишээн дээр өгөгдсөн давталттай интеграл хүртэл буурсан давхар интегралийн шийдэл ижил байх болно.

Жишээ 10.Дахин интеграл болгохын тулд нэгтгэх дарааллыг өөрчил

.

Шийдэл. Тиймээс давтагдсан интегралийг нэгтгэх бүс нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг x = 0 , x= 2 ба муруй ба.

Доорх зурагт үзүүлсэн шиг тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам 0x, интеграцийн бүсийн доод хилийг хоёроос дээш цэгээр давах болно.

Тиймээс бид интеграцийн бүсийг зурган дээр хараар зурсан шулуун шугамаар гурван хэсэгт хуваах болно. Бид урвуу функцийг олж интеграцийн шинэ хязгаарыг тооцоолно. Интеграцийн гурван шинэ талбарын хязгаарыг дараах байдлаар тогтооно.

Энэхүү шийдлийн дагуу интеграцийн дарааллыг өөрчилсний дараа давтагдсан интеграл нь гурван интегралийн нийлбэртэй тэнцүү болно.

Гурван интегралийн ижил нийлбэр нь давхар интегралтай тэнцүү байх бөгөөд энэ жишээний нөхцөлд өгөгдсөн давтагдах интеграл болж буурна.

Гэсэн хэдий ч давагдашгүй хүчний нөхцөл байдал нь өмнөх алхам болох оюутнуудад саад учруулдаг. Сэтгэл түгшээх, төөрөгдөл үүсгэх нь тодорхой шалтгаан биш юм: хэрэв интеграцийн бүсийг хэсэг болгон хувааж, интегралуудын хүснэгтийг давтах интегралийг шийдвэрлэхийн тулд зургийг харахад хангалттай бол нэгтгэх хязгаарыг тогтооход сургалтын зарим туршлага шаардлагатай болно. . Зөвхөн интеграцийн хязгаарыг зохицуулах, бараг автоматаар домэйны хуваалт дээр анхаарлаа төвлөрүүлж, шийдлийг өөрөө орхих жишээг авч үзье.

Жишээ 11.Интеграцийн бүс бол давхар интегралийн интеграцийн хязгаарыг ол Д.дараах байдлаар тохируулагдсан болно.

y - 2x ≤ 0;
2y - x ≥ 0;
xy ≤ 2.

Шийдэл. Ойлгомжтой (дамжин xба y"хольцгүй"), интеграцийн бүсийг хязгаарлах шугамыг заагаагүй болно. X -ийн хувьд тэдгээр нь ихэвчлэн тоглоомоор илэрхийлэгддэг дээд ба доод хилийг нэг цэг дээр шулуун шугам болгодог тул бид яг энэ замаар явах болно. Түүгээр ч барахгүй интеграцийн дарааллыг өөрчлөхдөө бид ижил талбайтай интеграцийн бүсийг олж авдаг. Тоглоомын тэгш бус байдлыг шийдэж, дараахь зүйлийг авцгаая.

y ≤ 2x;
y ≥ x/2;
y ≤ 2/x.

Бид зурган дээр үүссэн мөрүүдийг бий болгодог. X-интеграцийн хязгаар нь үнэхээр шугам юм x= 0 ба x= 2. Гэхдээ интеграцийн талбар нь болж хувирав yБуруу, учир нь түүний дээд хил хязгаарыг нэг мөрөөр тогтоох боломжгүй юм y = y(x) .

Depositfiles -аас татаж авах

Лекц 5-6

Сэдэв2. Олон тооны интегралууд.

Давхар интеграл.

Хяналтын асуултууд.

1. Давхар интеграл, түүний геометр, физик утга

2. Давхар интегралийн шинж чанарууд.

3. Декартийн координатын давхар интегралийг тооцоолох.

4. Давхар интеграл дахь хувьсагчдын өөрчлөлт. Туйлын координат дахь давхар интегралийг тооцоолох.

Функцийг зөвшөөрнө үү z = f (x , y) хязгаарлагдмал хаалттай бүсэд тодорхойлогдоно Д.онгоц Энэ газрыг салгая Д.дур мэдэн асаалттай байна nанхан шатны хаалттай бүсүүд  1 , … , nталбайтай  1 , …,   nба диаметр d 1 , …, d n тус тус Бид илэрхийлнэ dбүс нутгийн диаметрүүдийн хамгийн том нь  1 , … ,  n... Бүс бүрт  кдурын цэг сонгох П к (x к , y к) ба зохиох интеграл нийлбэрфункцууд f(x, y)

С. =
(1)

Тодорхойлолт. Давхар интегралфункцууд f(x, y) бүс нутгаар Д.интеграл нийлбэрийн хязгаар гэж нэрлэдэг

, (2)

хэрэв байгаа бол.

Сэтгэгдэл. Интеграл нийлбэр С.тухайн бүс нутгийг хэрхэн хуваахаас хамаарна Д.ба цэгийн сонголт П к (к=1, …, n). Гэсэн хэдий ч хязгаарлалт
, хэрэв байгаа бол тухайн бүс нутгийг хуваах аргаас хамаарахгүй Д.ба цэгийн сонголт П к .

Давхар интеграл оршин тогтнох хангалттай нөхцөл. Функц байвал давхар интеграл (1) байдаг f(x, y) тасралтгүй Д.хязгаарлагдмал тооны гөлгөр муруйгаас бусад хязгаарлагдмал Д.... Цаашид бид авч үзэж буй бүх давхар интегралууд байгаа гэж үзэх болно.

Давхар интегралийн геометрийн утга.

Хэрэв f(x, y) Бүсэд ≥0 Д., дараа нь давхар интеграл (1) нь зураг дээр үзүүлсэн "цилиндр хэлбэртэй" биеийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

V =
(3)

Цилиндр хэлбэртэй биеийг доороос нь талбайгаар хязгаарладаг Д., гадаргуугаас  хэсэг z = f (x , y), хажуу талаас this энэ гадаргуу ба бүс нутгийн хил хязгаарыг холбосон босоо шугамын сегментүүд Д.

Давхар интегралийн физик утга. Хавтгай хавтангийн масс.

Хавтгай таваг өгье Д.мэдэгдэж буй нягтралын функцтэй γ ( NS,-д), дараа нь D хавтанг D хэсэгт хуваана бидурын цэгүүдийг сонгох
, бид хавтангийн массыг олж авдаг
, эсвэл томъёогоор (2) харьцуулж үзвэл:

(4)

4. Давхар интегралийн зарим шинж чанар.

Шугаман байдал.Хэрэв ОРУУЛСАНТэгвэл тоон тогтмол байна

Нэмэлт байдал.Хэрэв талбай Д. Хэсэг болгон "хуваах" Д. 1 ба Д. 2, тэгвэл

3) Хязгаарлагдмал талбайн талбай Д.-тай тэнцүү байна

(5)

Декартын координатын давхар интегралийг тооцоолох.

Бүс нутгийг нь өгөөч

Зураг 1

D = { (x , y ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (x ) ≤ y≤ φ 2 (x ) } (6)

Бүс Д. шулуун шугамын хоорондох туузанд хаалттай байна x = a , y = б, доороос болон дээрээс муруйгаар тус тус хязгаарлагдана y = φ 1 (x ) ба y = φ 2 (x ) .

Талбай дээрх давхар интеграл (1) Д.(4) -ийг давтагдсан интеграл руу шилжүүлэх замаар тооцоолно.

(7)

Энэхүү давтагдсан интегралийг дараах байдлаар тооцоолно. Нэгдүгээрт, дотоод интегралийг тооцоолно

хувьсагчаар y, энд xтогтмол гэж үздэг. Үр дүн нь хувьсагчийн функц юм x, дараа нь хувьсагчийн хувьд энэ функцын "гаднах" интегралийг тооцоолно x .

Сэтгэгдэл. (7) томъёоны дагуу давтагдсан интеграл руу шилжих үйл явцыг ихэвчлэн интегралийн хязгаарыг давхар интеграл дахь зохицуулалт гэж нэрлэдэг. Интеграцийн хязгаарыг тогтоохдоо хоёр зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, интеграцийн доод хязгаар нь дээд хязгаараас хэтрэхгүй байх ёстой, хоёрдугаарт, гадаад интегралийн хязгаар тогтмол байх ёстой бөгөөд дотоод интеграл нь ерөнхийдөө гадаад интегралын интеграцийн хувьсах хэмжигдэхүүнээс хамаарна.

Одоо бүс нутгийг зөвшөөрнө үү Д.хэлбэртэй байна

D = { (x , y ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

Дараа нь

. (9)

Тухайн газар нутаг гэж бодъё Д.(6) ба (8) хэлбэрээр нэгэн зэрэг дүрсэлж болно. Дараа нь тэгш байдал

(10)

Нэг давталттай интегралаас нөгөөд шилжих тэгшитгэлийг (10) гэж нэрлэдэг нэгтгэх дарааллыг өөрчлөх замаардавхар интеграл дотор.

Жишээ.

1) Интегралд нэгтгэх дарааллыг өөрчлөх

Шийдэл. Давтагдсан интеграл хэлбэрээс бид тухайн бүс нутгийг олдог

D = { (x , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Талбайг зурцгаая Д.... Зургаас харахад энэ хэсэг нь шулуун шугамын хоорондох хэвтээ зурвас дотор байрладаг болохыг бид харж байна y =0, y= 2 ба шугамын хооронд x =0 ба x= D

Заримдаа тооцооллыг хялбарчлахын тулд хувьсагчийг өөрчилдөг.

,
(11)

Хэрэв (11) функцууд нь тасралтгүй ялгагдах боломжтой бөгөөд тодорхойлогч (Якобийн) нь авч үзсэн домэйнд тэг биш бол:

(12)

ОХУ -ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам

Курсын ажил

Сахилга бат: Дээд математик

(Үндсэн шугаман програмчлал)

Сэдэв дээр: Олон тооны салшгүй хэсэг

Дууссан: ______________

Багш: ___________

Огноо ___________________

Ангилал _________________

Гарын үсэг ________________

ВОРОНЕЗ 2008 он

1 Олон тооны интегралууд

1.1 Давхар интеграл

1.2 Гурвалсан интеграл

1.3 Муруй шугаман координат дахь олон тооны интегралууд

1.4 Олон тооны интегралуудын геометр ба физик хэрэглээ

2 Муруй ба гадаргуугийн интегралууд

2.1 Муруй шугаман интегралууд

2.2 Гадаргуугийн интеграл

2.3 Геометр ба физик хэрэглээ

Ном зүй

1 Олон тооны интегралууд

1.1 Давхар интеграл

Oxy хавтгайд L шугамаар хязгаарлагдсан хаалттай D бүсийг авч үзье. Бид энэ бүсийг зарим шугамаар n хэсэгт хуваадаг

, эдгээр хэсгүүд тус бүрийн цэгүүдийн хоорондох хамгийн том зайг d 1, d 2, ..., d n гэж тэмдэглэнэ. Хэсэг тус бүрт Р i цэгийг сонгоё.

Z = f (x, y) функцийг D мужид өгье. Энэ функцийн утгыг f (P 1), f (P 2),…, f (P n) гэж тэмдэглээд f (P i) ΔS i хэлбэрийн бүтээгдэхүүний нийлбэрийг гаргая. :

, (1)

D домэйны f (x, y) функцын интеграл нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Хэрэв интеграл нийлбэрийн ижил хязгаар (1) байвал

ба энэ нь D домэйныг хэсэг болгон хуваах арга, эсвэл тэдгээрийн доторх i цэгүүдийг сонгохоос хамаардаггүй бөгөөд үүнийг D ба D домэйн дээрх f (x, y) функцийн давхар интеграл гэж нэрлэдэг. гэж тэмдэглэсэн байна . (2)

Шугамаар хязгаарлагдсан D талбайн давхар интегралийн тооцоо

x = a, x = b (a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла: = (3)

1.2 Гурвалсан интеграл

Гурвалсан интеграл гэдэг ойлголтыг давхар интегралтай адилтган танилцуулсан болно.

Хаалттай гадаргуугаар хязгаарлагдмал орон зайд V домэйныг өгье. Энэ хаалттай мужид тасралтгүй f (x, y, z) функцийг тодорхойлъё. Дараа нь бид V бүсийг хэсэг бүрийн эзэлхүүнийг Δv i -тэй тэнцүү гэж үзээд Δv i дурын хэсгүүдэд хувааж, хэлбэрийн салшгүй нийлбэрийг гаргадаг.

, (4)

Хязгаарлах

V домэйныг хуваах арга, энэ домэйны дэд домайн бүрт P i цэгүүдийн сонголтоос хамаардаггүй интеграл нийлбэр (11) -ийг f (x, y, z) функцийн гурвалсан интеграл гэж нэрлэдэг. домэйн V: . (5)

V мужийн f (x, y, z) функцийн гурвалсан интеграл нь нэг бүсийн 3 дахин их интегралтай тэнцүү байна.

. (6)

1.3 Муруй шугаман координат дахь олон тооны интегралууд

Туйлын координат гэж нэрлэгддэг муруй шугаман координатыг танилцуулъя. O цэг (туйл) ба түүнээс гарах туяаг (туйлын тэнхлэг) сонгоё.

Цагаан будаа. Зураг.2 3

М цэгийн координат (Зураг 2) нь MO сегментийн урт байх болно - туйлын радиус ρ ба MO ба туйл тэнхлэг хоорондын өнцөг φ: M (ρ, φ). Шоноос бусад хавтгайн бүх цэгүүдэд ρ> 0 ба туйлын өнцөг clock цагийн зүүний эсрэг чиглэлд хэмжихэд эерэг, эсрэг чиглэлд хэмжихэд сөрөг гэж тооцогдох болно гэдгийг анхаарна уу.

М цэгийн туйл ба декартын координатын хоорондын хамаарлыг Декартын координатын системийн гарал үүслийг туйлтай, эерэг хагас тэнхлэг Ox - туйлын тэнхлэгт нийцүүлэх замаар тогтоож болно (Зураг 3). Дараа нь x = ρcosφ, у = ρ sinφ. Эндээс

, tg.

The = Φ 1 (φ) ба ρ = Φ 2 (φ) муруйгаар хязгаарлагдсан D домэйнд where 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

(7)

Гурван хэмжээст орон зайд цилиндр ба бөмбөрцөг хэлбэрийн координатыг оруулна.

P (ρ, φ, z) цэгийн цилиндр хэлбэрийн координат нь Oxy хавтгай дээрх энэ цэгийн проекцийн ρ, φ туйлын координат ба энэ цэгийн зүсэлт юм (Зураг 5).

Зураг.5 Зураг 6

Цилиндр хэлбэрийн координатаас декарт координат руу шилжих томъёог дараах байдлаар тодорхойлж болно.

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (найман)

Бөмбөрцөг координатын хувьд орон зайн цэгийн байрлалыг шугаман координатаар тодорхойлно r - цэгээс картезийн координатын системийн эхлэл хүртэлх зай (эсвэл бөмбөрцөг системийн туйл), φ - эерэг хоорондын туйлын өнцөг хагас тэнхлэг Ox ба цэгийн Oxy хавтгай дээрх проекц ба θ - тэнхлэгийн эерэг хагас тэнхлэг ба OP сегментийн хоорондох өнцөг (Зураг 6). Хаана

Бөмбөрцөг координатаас декартийн координат руу шилжих томъёог тодорхойлъё.

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (есөн)

Дараа нь гурвалсан интеграл дахь цилиндр эсвэл бөмбөрцөг координат руу шилжих томъёо иймэрхүү харагдах болно.

, (10)

энд F 1 ба F 2 нь x, y, z -ийн оронд f функцийг цилиндр (8) эсвэл бөмбөрцөг (9) координатаар илэрхийлэх замаар орлуулан олж авсан функцууд юм.

1.4 Олон тооны интегралуудын геометр ба физик хэрэглээ

1) Хавтгай талбайн талбай S:

(11)

Жишээ 1.

Шугамаар хязгаарлагдсан D хэлбэрийн талбайг ол

Гадны хувьсагчийг харгалзан энэ талбайг тооцоолоход тохиромжтой. Дараа нь бүс нутгийн хил хязгаарыг тэгшитгэлээр өгнө

ба
хэсгүүдийг нэгтгэх замаар тооцоолно.