വിപരീത മാട്രിക്സ് പരിശോധിക്കുക. സ്ലോവ് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മാട്രിക്സ് രീതി: വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം. ഗൗസിയൻ ഉന്മൂലനം വഴി വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നു
സാധാരണഗതിയിൽ, സങ്കീർണ്ണമായ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാൻ വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രശ്നത്തിൽ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിന്റെ പ്രവർത്തനമുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അതിനെ ഒരു വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, അത് വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ്. മാത്രമല്ല, മെട്രിക്സുകളെ വിഭജിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ നിങ്ങൾ മാട്രിക്സിന്റെ വിപരീതം കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു 3x3 മാട്രിക്സിന്റെ വിപരീതം കണക്കാക്കുന്നത് മടുപ്പിക്കുന്നതാണ്, പക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് സ്വമേധയാ ചെയ്യാൻ കഴിയേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു നല്ല ഗ്രാഫിംഗ് കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് പരസ്പരവും കണ്ടെത്താനാകും.
പടികൾ
ഒരു അനുബന്ധ മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച്
യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സ് ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്യുക.മാട്രിക്സിന്റെ പ്രധാന ഡയഗണലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിരകൾ ഉപയോഗിച്ച് വരികൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതാണ് ട്രാൻസ്പോസ്, അതായത്, നിങ്ങൾ ഘടകങ്ങൾ (i, j), (j, i) എന്നിവ സ്വാപ്പ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രധാന ഡയഗണലിന്റെ ഘടകങ്ങൾ (മുകളിൽ ഇടത് മൂലയിൽ ആരംഭിച്ച് താഴെ വലത് കോണിൽ അവസാനിക്കുന്നു) മാറില്ല.
- നിരകൾക്കായി വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യ നിരയിലെ ആദ്യ നിര ഇനങ്ങൾ, രണ്ടാമത്തെ നിരയിലെ രണ്ടാമത്തെ നിര ഇനങ്ങൾ, മൂന്നാം നിരയിലെ ഇനങ്ങൾ എന്നിവ എഴുതുക. മൂലകങ്ങളുടെ സ്ഥാനം മാറ്റുന്നതിനുള്ള ക്രമം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിൽ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ നിറമുള്ള സർക്കിളുകളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
ഓരോ 2x2 മാട്രിക്സിന്റെയും നിർവചനം കണ്ടെത്തുക.ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്‌തത് ഉൾപ്പെടെ ഏതൊരു മാട്രിക്സിന്റെയും ഓരോ ഘടകവും അനുബന്ധ 2x2 മാട്രിക്സുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഘടകവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന 2x2 മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഈ ഘടകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരിയും നിരയും മറികടക്കുക, അതായത്, നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ 3x3 മാട്രിക്സിന്റെ അഞ്ച് ഘടകങ്ങൾ മറികടക്കേണ്ടതുണ്ട്. നാല് ഘടകങ്ങൾ ക്രോസ് ചെയ്യപ്പെടാതെ അവശേഷിക്കുന്നു, അവ അനുബന്ധ 2x2 മാട്രിക്സിന്റെ ഘടകങ്ങളാണ്.
- ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെയും ആദ്യ നിരയുടെയും കവലയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു ഘടകത്തിന് 2x2 മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെ വരിയിലും ആദ്യ നിരയിലും ഉള്ള അഞ്ച് ഘടകങ്ങൾ ക്രോസ് ചെയ്യുക. ബാക്കിയുള്ള നാല് ഘടകങ്ങൾ അനുബന്ധ 2x2 മാട്രിക്സിന്റെ മൂലകങ്ങളാണ്.
- ഓരോ 2x2 മാട്രിക്സിന്റെയും ഡിറ്റർമിനന്റ് കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പ്രധാന ഡയഗണലിന്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ദ്വിതീയ ഡയഗണലിന്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം കുറയ്ക്കുക (ചിത്രം കാണുക).
- 3x3 മാട്രിക്സിന്റെ പ്രത്യേക ഘടകങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട 2x2 മെട്രിക്സുകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിശദമായ വിവരങ്ങൾ ഇന്റർനെറ്റിൽ കണ്ടെത്താനാകും.
കോഫാക്ടറുകളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് സൃഷ്ടിക്കുക.കോഫാക്ടറുകളുടെ ഒരു പുതിയ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ നേരത്തെ ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, 3x3 മാട്രിക്സിന്റെ അനുബന്ധ ഘടകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഓരോ 2x2 മാട്രിക്സിന്റെയും കണ്ടെത്തിയ ഡിറ്റർമിനന്റ് എഴുതുക. ഉദാഹരണത്തിന്, മൂലകത്തിന് (1,1) 2x2 മാട്രിക്സ് പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് സ്ഥാനത്ത് (1,1) എഴുതുക. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത സ്കീം അനുസരിച്ച് അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുക.
- അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നതിനുള്ള പദ്ധതി: ആദ്യ വരിയുടെ ആദ്യ മൂലകത്തിന്റെ അടയാളം മാറില്ല; ആദ്യ വരിയുടെ രണ്ടാമത്തെ മൂലകത്തിന്റെ അടയാളം വിപരീതമാണ്; ആദ്യ വരിയിലെ മൂന്നാമത്തെ മൂലകത്തിന്റെ അടയാളം മാറില്ല, അങ്ങനെ വരി വരിയിൽ. ഡയഗ്രാമിൽ (ചിത്രം കാണുക) കാണിച്ചിരിക്കുന്ന "+", "-" എന്നീ അടയാളങ്ങൾ, അനുബന്ധ ഘടകം പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "+" ചിഹ്നം മൂലകത്തിന്റെ ചിഹ്നം മാറുന്നില്ലെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ - ചിഹ്നം മൂലകത്തിന്റെ ചിഹ്നം മാറിയെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
- കോഫാക്ടറുകളുടെ മെട്രിക്സിനെക്കുറിച്ചുള്ള വിശദമായ വിവരങ്ങൾ ഇന്റർനെറ്റിൽ കണ്ടെത്താനാകും.
- ഇത് യഥാർത്ഥ മെട്രിക്സിന്റെ അനുബന്ധ മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തും. ഇതിനെ ചിലപ്പോൾ കോംപ്ലക്സ് കൺജഗേറ്റ് മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ മാട്രിക്സിനെ adj (M) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
അനുബന്ധ മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ മൂലകവും ഡിറ്റർമിനന്റ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.മാട്രിക്സിന്റെ വിപരീതം നിലവിലുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ M എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് കണക്കാക്കി. ഇപ്പോൾ ഈ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഉപയോഗിച്ച് അനുബന്ധ മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ മൂലകവും ഹരിക്കുക. ഓരോ ഡിവിഷൻ പ്രവർത്തനത്തിന്റെയും ഫലം എഴുതുക. ഇത് യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിന്റെ വിപരീതം കണ്ടെത്തും.
- ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് 1 ആണ്. അതിനാൽ, ഇവിടെ അനുബന്ധ മാട്രിക്സ് വിപരീത മാട്രിക്സ് ആണ് (കാരണം ഏത് സംഖ്യയും 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അത് മാറില്ല).
- ചില സ്രോതസ്സുകളിൽ, വിഭജനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനം 1 / det (M) കൊണ്ട് ഗുണനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനം വഴി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അന്തിമ ഫലം മാറില്ല.
മാട്രിക്സിന്റെ വിപരീതം എഴുതുക.വലിയ മാട്രിക്സിന്റെ വലത് പകുതിയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മൂലകങ്ങളെ ഒരു പ്രത്യേക മെട്രിക്സ് ആയി എഴുതുക, അത് മാട്രിക്സിന്റെ വിപരീതമാണ്.
ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കുന്നു
മെട്രിക്സുകൾക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ തിരഞ്ഞെടുക്കുക.ലളിതമായ കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ടെക്സസ് ഇൻസ്ട്രുമെന്റ്സ് TI-83 അല്ലെങ്കിൽ TI-86 പോലുള്ള ഒരു നല്ല ഗ്രാഫിംഗ് കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്കത് ചെയ്യാൻ കഴിയും.
കാൽക്കുലേറ്ററിന്റെ മെമ്മറിയിലേക്ക് യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സ് നൽകുക.ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ലഭ്യമെങ്കിൽ Matrix ബട്ടൺ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. ഒരു ടെക്സാസ് ഇൻസ്ട്രുമെന്റ് കാൽക്കുലേറ്ററിനായി, നിങ്ങൾ 2 nd, Matrix ബട്ടണുകൾ അമർത്തേണ്ടതുണ്ട്.
എഡിറ്റ് മെനു തിരഞ്ഞെടുക്കുക.കാൽക്കുലേറ്റർ കീബോർഡിന്റെ മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന അമ്പടയാള ബട്ടണുകളോ അനുബന്ധ ഫംഗ്‌ഷൻ ബട്ടണോ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യുക (ബട്ടണിന്റെ സ്ഥാനം കാൽക്കുലേറ്റർ മോഡലിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു).
മാട്രിക്സ് പദവി നൽകുക.മിക്ക ഗ്രാഫിംഗ് കാൽക്കുലേറ്ററുകൾക്കും 3-10 മെട്രിക്സുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും, അത് എ-ജെ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കാം. സാധാരണ, യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സ് സൂചിപ്പിക്കാൻ [A] തിരഞ്ഞെടുക്കുക. തുടർന്ന് എന്റർ ബട്ടൺ അമർത്തുക.
മാട്രിക്സിന്റെ വലുപ്പം നൽകുക.ഈ ലേഖനം 3x3 മെട്രിക്സുകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഗ്രാഫിംഗ് കാൽക്കുലേറ്ററുകൾക്ക് വലിയ മെട്രിക്സുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയും. വരികളുടെ എണ്ണം നൽകുക, എന്റർ കീ അമർത്തുക, തുടർന്ന് നിരകളുടെ എണ്ണം നൽകി വീണ്ടും എന്റർ കീ അമർത്തുക.
മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ ഘടകങ്ങളും നൽകുക.കാൽക്കുലേറ്റർ ഒരു മാട്രിക്സ് പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു. കാൽക്കുലേറ്ററിൽ മുമ്പ് ഒരു മാട്രിക്സ് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് സ്ക്രീനിൽ ദൃശ്യമാകും. കഴ്സർ മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ ഘടകം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യും. ആദ്യത്തെ ഇനത്തിന്റെ മൂല്യം നൽകി എന്റർ അമർത്തുക. കഴ്സർ യാന്ത്രികമായി മാട്രിക്സിന്റെ അടുത്ത ഘടകത്തിലേക്ക് നീങ്ങും.
ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് പരിഗണിക്കുക. Δ = det A അതിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. A * B = B * A = E എന്ന ഉൽപ്പന്നം A * B = B * A = E ആണെങ്കിൽ, അതേ ക്രമത്തിലുള്ള A സ്ക്വയർ A യ്ക്ക് B എന്നത് (OM) ആണ്, ഇവിടെ E ആണ് A, B എന്നിവയ്‌ക്കുള്ള അതേ ക്രമത്തിന്റെ ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ്.
ഒരു ചതുരം A-യെ നോൺ-ഡീജനറേറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ നോൺ-ഏകവചനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഡീജനറേറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഏകവചനം, Δ = 0 ആണെങ്കിൽ.
സിദ്ധാന്തം. A ന് വിപരീതം ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, അതിന്റെ നിർണ്ണയം പൂജ്യമല്ല എന്നത് ആവശ്യവും പര്യാപ്തവുമാണ്.
(OM) A, A -1 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ B = A -1 ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു
, (1)
ഇവിടെ А i j എന്നത് a i j, Δ = detA മൂലകങ്ങളുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളാണ്.
ഹൈ-ഓർഡർ മെട്രിക്സുകൾക്കായി ഫോർമുല (1) അനുസരിച്ച് എ -1 കണക്കാക്കുന്നത് വളരെ ശ്രമകരമാണ്, അതിനാൽ പ്രായോഗികമായി പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതി (ഇപി) ഉപയോഗിച്ച് എ -1 കണ്ടെത്തുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. നിരകൾ മാത്രമുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ വരികൾ മാത്രം) EP മുഖേനയുള്ള ഏതെങ്കിലും നോൺ-ഏകവചനം A എന്നത് യൂണിറ്റ് E ആയി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. മാട്രിക്സ് A-ന് മുകളിലുള്ള EP-കൾ യൂണിറ്റ് E-യിലേക്ക് അതേ ക്രമത്തിൽ പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം A -1 ആയിരിക്കും. ഒരേ സമയം A, E എന്നിവയിൽ EP നടത്തുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, A | E എന്ന വരിയിലൂടെ ഇരുവശവും എഴുതുക. നിങ്ങൾക്ക് A -1 കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, പരിവർത്തന പ്രക്രിയയിൽ നിങ്ങൾ വരികൾ അല്ലെങ്കിൽ നിരകൾ മാത്രം ഉപയോഗിക്കണം.
ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നു
ഉദാഹരണം 1... വേണ്ടി 
എ -1 കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.നമ്മൾ ആദ്യം ഡിറ്റർമിനന്റ് എ കണ്ടെത്തുന്നു 
അതിനാൽ, (ഒഎം) നിലവിലുണ്ട്, നമുക്ക് അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം: 
, ഇവിടെ A i j (i, j = 1,2,3) എന്നത് യഥാർത്ഥ A യുടെ a i j മൂലകങ്ങളുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളാണ്.
a ij എന്ന മൂലകത്തിന്റെ ബീജഗണിത പൂരകം ഒരു ഡിറ്റർമിനന്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു മൈനർ M ij ആണ്. നിര i, വരി j എന്നിവ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിലൂടെ ഇത് ലഭിക്കും. അപ്പോൾ മൈനർ (-1) i + j കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, അതായത്. A ij = (- 1) i + j M ij
എവിടെ 
.
പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നു
ഉദാഹരണം 2... പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഇതിനായി A -1 കണ്ടെത്തുക: A =.
പരിഹാരം.വലത് വശത്തുള്ള ഒറിജിനൽ എ യ്ക്ക് ഞങ്ങൾ അതേ ഓർഡറിന്റെ ഒരു യൂണിറ്റ് നൽകുന്നു: 
... നിരകളുടെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, ഞങ്ങൾ ഇടത് "പകുതി" ഒന്നിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു, ഒരേ സമയം വലത് "പകുതി" യിൽ ഒരേ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു.
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒന്നും രണ്ടും നിരകൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യാം: 
~
... ആദ്യത്തേത് മൂന്നാമത്തെ നിരയിലേക്ക് ചേർക്കുക, ആദ്യത്തേത് രണ്ടാമത്തേത് -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക: 
... ആദ്യ നിരയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തേത് ഇരട്ടിയായി കുറയ്ക്കുന്നു, മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് - രണ്ടാമത്തേത് 6 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു; 
... ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തേതിലേക്കും മൂന്നാമത്തെ കോളം ചേർക്കാം: 
... നമുക്ക് അവസാന നിരയെ -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം: 
... ലംബ ബാറിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചതുര പട്ടിക A -1 ന്റെ വിപരീതമാണ്. അതിനാൽ, 
.
n-ആം ക്രമത്തിന്റെ ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ
മാട്രിക്സ് എ -1 എന്ന് വിളിക്കുന്നു വിപരീത മാട്രിക്സ്മാട്രിക്സ് A യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, A * A -1 = E ആണെങ്കിൽ, E എന്നത് n-th ഓർഡറിന്റെ യൂണിറ്റ് മാട്രിക്സ് ആണ്.
യൂണിറ്റ് മാട്രിക്സ്- അത്തരമൊരു ചതുര മാട്രിക്സ്, അതിൽ മുകളിൽ ഇടത് കോണിൽ നിന്ന് താഴെ വലത് കോണിലേക്ക് കടന്നുപോകുന്ന പ്രധാന ഡയഗണലിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഒന്നാണ്, ബാക്കിയുള്ളവ പൂജ്യങ്ങളാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:
വിപരീത മാട്രിക്സ്നിലനിന്നേക്കാം സ്ക്വയർ മെട്രിക്സിന് മാത്രംആ. ഒരേ എണ്ണം വരികളും നിരകളും ഉള്ള ആ മെട്രിക്സുകൾക്ക്.
ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സിന്റെ നിലനിൽപ്പിനുള്ള വ്യവസ്ഥയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം
ഒരു മാട്രിക്‌സിന് വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉണ്ടായിരിക്കണമെങ്കിൽ, അത് ഡീജനറേറ്റ് അല്ലാത്തത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്.
മാട്രിക്സ് A = (A1, A2, ... A n) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ജീർണ്ണതയില്ലാത്തനിര വെക്റ്ററുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിൽ. ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര കോളം വെക്റ്ററുകളുടെ എണ്ണത്തെ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലനിൽക്കണമെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് അതിന്റെ അളവിന് തുല്യമായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യവും പര്യാപ്തവുമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, അതായത്. r = n.
വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം
- ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പട്ടികയിൽ മാട്രിക്സ് എ എഴുതുക, വലതുവശത്ത് (സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്ത്) മാട്രിക്സ് ഇ നൽകുക.
- ജോർദാൻ രൂപാന്തരം ഉപയോഗിച്ച്, മാട്രിക്സ് എയെ യൂണിറ്റ് നിരകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു മാട്രിക്സായി കുറയ്ക്കുക; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരേസമയം മാട്രിക്സ് E പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
- ആവശ്യമെങ്കിൽ, അവസാന പട്ടികയുടെ വരികൾ (സമവാക്യങ്ങൾ) പുനഃക്രമീകരിക്കുക, അങ്ങനെ ഒറിജിനൽ ടേബിളിന്റെ മാട്രിക്സ് A ന് കീഴിൽ നമുക്ക് യൂണിറ്റ് മാട്രിക്സ് E ലഭിക്കും.
- ഒറിജിനൽ ടേബിളിന്റെ മെട്രിക്സ് E യുടെ കീഴിലുള്ള അവസാന പട്ടികയിലുള്ള വിപരീത മാട്രിക്സ് A -1 എഴുതുക.
മാട്രിക്സ് എയ്ക്ക്, വിപരീത മാട്രിക്സ് എ -1 കണ്ടെത്തുക
പരിഹാരം: ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് എ എഴുതുകയും വലതുവശത്ത് ഐഡന്റിറ്റി മെട്രിക്സ് ഇ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. ജോർദാൻ ട്രാൻസ്ഫോർമുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, മാട്രിക്സ് എയെ ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ഇ ആയി കുറയ്ക്കുന്നു. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പട്ടിക 31.1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.
യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സ് എയും വിപരീത മാട്രിക്സ് എ -1 യും ഗുണിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൃത്യത പരിശോധിക്കാം.
മാട്രിക്സ് ഗുണനത്തിന്റെ ഫലമായി, യൂണിറ്റ് മാട്രിക്സ് ലഭിക്കുന്നു. അതിനാൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശരിയാണ്.
ഉത്തരം: 
മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു
മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിലാകാം:
AX = B, XA = B, AXB = C,
ഇവിടെ A, B, C എന്നിവ നിർദ്ദിഷ്ട മെട്രിക്സുകളാണ്, X ആണ് ആവശ്യമായ മാട്രിക്സ്.
സമവാക്യത്തെ അതിന്റെ വിപരീത മെട്രിക്സുകൾ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ് മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത്.
ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആ സമവാക്യത്തെ ഇടത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തി അതിനെ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളും സമാനമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.
എങ്കിൽ AX = B എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക 
പരിഹാരം: മാട്രിക്സിന്റെ വിപരീതം ആയതിനാൽ (ഉദാഹരണം 1 കാണുക)
സാമ്പത്തിക വിശകലനത്തിൽ മാട്രിക്സ് രീതി
മറ്റുള്ളവർക്കൊപ്പം, അവർ ആപ്ലിക്കേഷനും കണ്ടെത്തുന്നു മാട്രിക്സ് രീതികൾ... ഈ രീതികൾ ലീനിയർ, വെക്റ്റർ-മാട്രിക്സ് ബീജഗണിതത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. സങ്കീർണ്ണവും ബഹുമുഖവുമായ സാമ്പത്തിക പ്രതിഭാസങ്ങളെ വിശകലനം ചെയ്യാൻ ഇത്തരം രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. മിക്കപ്പോഴും, ഓർഗനൈസേഷനുകളുടെയും അവയുടെ ഘടനാപരമായ യൂണിറ്റുകളുടെയും പ്രവർത്തനത്തിന്റെ താരതമ്യ വിലയിരുത്തൽ ആവശ്യമായി വരുമ്പോൾ ഈ രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
വിശകലനത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് രീതികൾ പ്രയോഗിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, നിരവധി ഘട്ടങ്ങൾ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.
ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽസാമ്പത്തിക സൂചകങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കുകയും അതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രാരംഭ ഡാറ്റയുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് കംപൈൽ ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു, ഇത് സിസ്റ്റം നമ്പറുകൾ അതിന്റെ പ്രത്യേക വരികളിൽ കാണിക്കുന്ന ഒരു പട്ടികയാണ്. (i = 1,2, ...., n), ഒപ്പം ലംബ നിരകളോടൊപ്പം - സൂചകങ്ങളുടെ എണ്ണം (j = 1,2, ...., m).
രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽഓരോ ലംബ നിരയ്ക്കും, സൂചകങ്ങളുടെ ലഭ്യമായ മൂല്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലുത് വെളിപ്പെടുത്തുന്നു, അത് ഒരു യൂണിറ്റായി എടുക്കുന്നു.
അതിനുശേഷം, ഈ നിരയിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്ന എല്ലാ തുകകളും ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യത്താൽ വിഭജിക്കുകയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് കോഫിഫിഷ്യന്റുകളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.
മൂന്നാം ഘട്ടത്തിൽമാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ ഘടകഭാഗങ്ങളും ചതുരാകൃതിയിലാണ്. അവയ്ക്ക് വ്യത്യസ്ത പ്രാധാന്യമുണ്ടെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ സൂചകത്തിനും ഒരു നിശ്ചിത വെയ്റ്റിംഗ് ഘടകം നൽകിയിരിക്കുന്നു കെ... രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യം വിദഗ്ദ്ധ വിധിയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.
അവസാനമായി, നാലാം ഘട്ടംറേറ്റിംഗുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി ആർ ജെകൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്ന ക്രമത്തിൽ ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഔട്ട്ലൈൻ ചെയ്ത മാട്രിക്സ് രീതികൾ ഉപയോഗിക്കണം, ഉദാഹരണത്തിന്, വിവിധ നിക്ഷേപ പദ്ധതികളുടെ താരതമ്യ വിശകലനത്തിലും അതുപോലെ തന്നെ ഓർഗനൈസേഷനുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മറ്റ് സാമ്പത്തിക സൂചകങ്ങളുടെ വിലയിരുത്തലിലും.
А * А -1 = Е ആണെങ്കിൽ А മാട്രിക്സുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് А -1 എന്ന മാട്രിക്സിനെ വിപരീത മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇവിടെ Е എന്നത് n-th ഓർഡർ യൂണിറ്റ് മാട്രിക്സ് ആണ്. സമചതുര മെട്രിക്സിന് മാത്രമേ ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലനിൽക്കൂ.
സേവന ഉദ്ദേശം... ഓൺലൈനിൽ ഈ സേവനത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ, നിങ്ങൾക്ക് ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ, ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് A T, അഡ്‌ജോയിന്റ് മാട്രിക്സ്, ഇൻവേഴ്സ് മെട്രിക്സ് എന്നിവ കണ്ടെത്താനാകും. പരിഹാരം നേരിട്ട് വെബ്‌സൈറ്റിൽ (ഓൺലൈനിൽ) നടത്തുന്നു, ഇത് സൗജന്യമാണ്. കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങൾ ഒരു വേഡ് റിപ്പോർട്ടിലും Excel ഫോർമാറ്റിലും അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (അതായത്, പരിഹാരം പരിശോധിക്കാൻ സാധിക്കും). ഡിസൈൻ ഉദാഹരണം കാണുക.
നിർദ്ദേശം. ഒരു പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നതിന്, മാട്രിക്സിന്റെ അളവ് സജ്ജമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അടുത്തതായി, ഒരു പുതിയ ഡയലോഗ് ബോക്സിൽ, മാട്രിക്സ് എ പൂരിപ്പിക്കുക.
ജോർദാൻ-ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള വിപരീത മാട്രിക്സും കാണുക
വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം
- ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് എ ടി കണ്ടെത്തുന്നു.
- ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളുടെ നിർവചനം. മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ മൂലകവും അതിന്റെ ബീജഗണിത പൂരകവുമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.
- ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകളിൽ നിന്ന് ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് രചിക്കുന്നു: തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ മൂലകവും യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് യഥാർത്ഥ മെട്രിക്സിന്റെ വിപരീതമാണ്.
- മാട്രിക്സ് ചതുരമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക. ഇല്ലെങ്കിൽ, അതിന് വിപരീത മാട്രിക്സ് ഇല്ല.
- മാട്രിക്സ് എയുടെ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ. ഇത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ പരിഹാരം തുടരും; അല്ലെങ്കിൽ, വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലില്ല.
- ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളുടെ നിർവചനം.
- യൂണിയൻ പൂരിപ്പിക്കൽ (പരസ്പരം, അനുബന്ധം) മാട്രിക്സ് സി.
- ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് രചിക്കുന്നു: അനുബന്ധ മാട്രിക്സ് C യുടെ ഓരോ മൂലകവും യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് യഥാർത്ഥ മെട്രിക്സിന്റെ വിപരീതമാണ്.
- ഒരു പരിശോധന നടത്തി: ഒറിജിനൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മെട്രിക്സുകൾ ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു. ഫലം ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ആയിരിക്കണം.
ഉദാഹരണം # 1. നമുക്ക് മാട്രിക്സ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
| എ -1 = |
|
വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു അൽഗോരിതം
വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമുക്ക് മറ്റൊരു സ്കീം നൽകാം.- തന്നിരിക്കുന്ന ചതുര മാട്രിക്സ് A യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് കണ്ടെത്തുക.
- മാട്രിക്സ് എയുടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.
- വരി മൂലകങ്ങളുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ നിരകളായി (ട്രാൻസ്പോസിഷൻ) ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു.
- തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ ഘടകത്തെയും ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് എ യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.
ഒരു പ്രത്യേക കേസ്: ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് E യുടെ വിപരീതം ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് E ആണ്.