Vektoriai ir chirurgija per vektorių. Vectors visos formulės ant teminių vektorių erdvėje

Vector. – tai yra nukreipta tiesia linija, ty segmentas, turintis tam tikrą ilgį ir tam tikrą kryptį. Tegul taškas Bet - vektoriaus pradžia ir taškas B. - jo pabaiga, tada vektorius yra pažymėtas simboliu Or. Vektorius vadinamas priešingas Vector. ir gali būti pažymėtas .

Mes suformuluoti keletą pagrindinių apibrėžimų.

Lena. arba. \\ T modulis. \\ T Vector. vadinamas segmento ilgiu ir yra nurodyta. Vektorius nulio ilgis (jo esmė - taškas) yra vadinamas nulis Ir nurodymai neturi. Vector. vienintelis ilgis vadinamasvienišas . Vieneto vektorius, kurio kryptis sutampa su vektoriaus kryptimi , vadinama orta Vector. .

Vektoriai vadinami collinear. Jei jie guli ant vienos tiesios linijos arba lygiagrečios tiesios linijos, užrašykite. "Collinear" vektoriai gali turėti sutampančių ar priešingų krypčių. Nulinio vektoriniai laikomi kololinetu į bet kokį vektorių.

Vektoriai yra vadinami lygiaisJei jie yra collinear, vienodai nukreipta ir turi tokius pačius ilgius.

Yra vadinami trys vektoriai suderinamieji Jei jie guli toje pačioje plokštumoje arba lygiagrečiose lėktuvuose. Jei tarp trijų vektorių bent vienas nulis ar du kollinys, tada tokie vektoriai yra skyrius.

Apsvarstykite erdvės stačiakampio koordinačių sistemą 0 xYZ.. Pažymėjome koordinates ant ašių 0 x., 0y., 0z. vieninteliai vektoriai (orts) ir nurodykite juosatitinkamai. Pasirinkite savavališką erdvės vektorių ir suderinamą savo pradžią su koordinatės pradžia. Mes projektuojame vektorių ant koordinačių ašių ir nurodome projekciją x., a Y., z. atitinkamai. Tada tai nėra sunku tai parodyti

. (2.25)

Ši formulė yra pagrindinė vektoriaus skaičiuoklė ir vadinama ortham koordinatės ašių vektorinio skilimas . Skaičiai. \\ T x., a Y., z.vadinamas vektoriaus koordinatės . Taigi vektorinių koordinatės yra jos projekcijos koordinatės ašyse. Vektoriaus lygybė (2,25) dažnai įrašoma kaip

Mes naudosime vektoriaus pavadinimą garbanotais skliausteliuose, vizualiai lengviau atskirti vektoriaus koordinates ir taško koordinates. Naudojant segmento ilgio formulę, žinomą iš mokyklos geometrijos, galite rasti vektoriaus modulio skaičiavimo išraišką:

, (2.26)

tai reiškia, kad vektoriaus modulis yra lygus kvadratiniam kvadratiniam jo koordinatės aikštei.

Žymi kampus tarp vektoriaus ir koordinuoja ašis α, β, γ atitinkamai. Cosine. Šie kampai vadinami vektoriumi vadovai Ir jiems yra atliktas santykis:Šio lygybės lojalumas gali būti rodomas naudojant vektorinio projekcijos savybes ant ašies, kuri bus aptarta šioje 4 dalyje.

Leiskite vektoriams pateikiami trimatėje erdvėjesu koordinatėmis. Jų imami šios operacijos: linijinis (papildymas, atimtumas, vektoriaus skaičiaus ir dizaino dauginimasis ant ašies ar kito vektoriaus); Ne linijiniai - įvairūs vektoriai (skaliaras, vektorius, mišrus).

1. Be to Pabaigoje atliekami du vektoriai, ty jei

Ši formulė vyksta savavališkai baigtiniam terminų skaičiui.

Geometriškai du vektoriai yra sulankstyti dviem taisyklėmis:

bet) taisyklių taisyklė trikampis - dviejų vektorių sumos vektorius jungia pirmojo su antrojo pabaigoje, su sąlyga, kad antrojo sutampa su pirmojo vektoriaus pabaiga pradžia; Dėl vektorių sumos, gautas sumos vektorius jungia pirmojo su paskutinio vektorinio laikotarpio pradžioje, su sąlyga, kad vėlesnio termino pradžia sutampa su ankstesnio pabaigos;

b) b) taisyklių taisyklė parallelogram. (dviem vektoriams) - lygiagramogramos yra pastatytos ant rūšių terminų, kaip antai tos pačios pradžios šonuose; Parallelogramos įstrižainė iš jų bendrojo starto yra vektorių suma.

2. Atimti Reabilitatuoja du vektoriai, panašūs į papildomus, tai yra, jeiT.

Geometriškai du vektoriai yra suformuoti jau minėta "Rulelograma", atsižvelgiant į tai, kad skirtumas tarp vektorių yra įstrižainės jungiantis vektorių galus, o gautas vektorius yra nukreiptas nuo galo baigėsi sumažėjusio vektoriaus pabaigoje.

Svarbi vektorių atimtumo pasekmė yra tai, kad jei žinoma, kad vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinatės yra žinomos norėdami apskaičiuoti vektoriaus koordinates, būtina iš jo pabaigos koordinates atimti savo koordinates . Iš tiesų, bet kokia vektorinė erdvė Jis gali būti atstovaujamas dviejų vektorių skirtumu iš koordinačių pradžios:. Koordinatės vektorių ir. \\ T sutampa su taškų koordinatėmisBet ir. \\ T ĮNuo koordinatės kilmėsApie tai(0; 0; 0). Taigi, atsižvelgiant į vektorių taisyklę, būtina atimti taškų koordinatesBetnuo taško koordinatėsĮ.

3. W. keli vektorius pagal numerį λ nepastebėkite:.

Dėl λ> 0 - Vektorius. \\ T Parcedental. ; λ< 0 - Vektorius. \\ T priešingai ; | λ|> 1 - Vector ilgis Padidina B. λ laikas;| λ|< 1 - Vector ilgis mažėja λ laikas.

4. Tarkime, kad erdvė nukreipta tiesia linija (ašis l.), vector. Nustatykite pabaigos ir pradėkite koordinates. Reiškia projekcinių taškų A. ir. \\ T B. ant ašies. \\ t l. atitinkamai per A.’ ir. \\ T B.’ .

Projektavimas vector. ant ašies. \\ t l. Vadinamas vektoriniu ilgiuPaimta su "+" ženklu, jei vektorius ir ašis. l.cO-Controlled, ir su ženklu "-", jei ir. \\ T l. Priešingai.

Jei kaip ašis l.paimkite kitą vektorių, Aš gaunu vektoriaus projekciją ant vektorinio r.

Apsvarstykite kai kurias pagrindines projekcijų savybes:

1) Vektorius projekcija ant ašies. \\ t l. lygus vektoriaus modulio produktui ant kampo tarp vektoriaus ir ašies, tai yra;

2.) Vektoriaus ant ašies projekcija yra teigiama (neigiama), jei vektoriaus formos su ūmine ašimi (kvaila) kampu ir yra nulis, jei šis kampas yra tiesus;

3) kelių tos pačios ašies vektorių sumos projekcija yra lygi šios ašies prognozėms.

Suformulavome vektorių darbų apibrėžimus ir teoremus, kurie yra netiesiniai operacijos per vektorių darbus.

5. Scalar darbas Vectors I.vadinamas numeriu (skalaru), lygus šių vektorių produktui ant kampo kosintoφ tarp jų, tai yra

. (2.27)

Akivaizdu, kad bet kokio nulinio vektoriaus skalės aikštė yra lygi jo ilgio kvadratams, nes šiuo atveju yra kampas Todėl jos kosinas (2,27) yra lygus 1.

2.2 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga dviejų vektorių statmenai yra lygybės nulis jų skalarinio produkto

Pasekmė. Susieti Scalar kūriniai vienos Ort yra nulis, tai yra

2.3 teorema. Scalar produktas iš dviejų vektoriųkaip apibrėžta jų koordinatėse, lygios jų tos pačios koordinatės darbų sumai, ty

(2.28)

Naudojant vektorių skalės produktą, galite apskaičiuoti kampą Tarp jų. Jei jų koordinatės yra nurodyti du nuliniai vektoriai, tada Cosine Cornerφ Tarp jų:

(2.29)

Taigi ne nulinio vektorių statmens sąlygair:

(2.30)

Projekcijos vektoriaus paieška Vektoriaus nustatyta kryptimi gali būti atliekamas pagal formulę

(2.31)

Vektorių skalės produkto pagalba suranda nuolatinio stiprumo darbą tiesia kelio linija.

Tarkime, kad esant pastovaus stiprumo veikimui medžiagos taškas juda tiesiai nuo padėties Betreglamente B. Vektorius galia forma kampas φ Su kelionių vektoriais (2.14 pav.). Fizika teigia, kad jėgos darbas Judantlygus.

Todėl pastovaus stiprumo darbai su paprastu jo taikymo taško judėjimu yra lygus stiprumo vektoriaus skaliarui judėjimo vektoriui.

2.9 pavyzdys.Naudojant vektorių skalavimo produktą, kad rastumėte kampą viršujeA. Parallelogram.Abcd., autobusas. \\ T dėl vektorių

Sprendimas.Apskaičiuojame vektorių ir jų skalarino produkto modulius teorijos (2.3):

Taigi, pagal formulę (2.29), mes gauname dirbtinio kampo kosiną

2.10 pavyzdys.Prekių ir reikšmingų išteklių, naudojamų vienos tonos sūrio gamybai, išlaidos pateiktos 2.2 lentelėje (patrinti.).

Kokia yra bendra šių išteklių kaina, skirta vienos tonos sūrio tonui gaminti?

2.2 lentelė.

Sprendimas Šis sprendimas. Atsižvelgiame į dvi versijas: išteklių sąnaudų už toną produktų ir atitinkamo išteklių vieneto kainų vektorius.

Tada . Bendra išteklių kainaKas yra skaliaro vektorių produktas. Apskaičiuoti pagal formulę (2.28) pagal 2.3 teoriją:

Taigi bendros vienos tonos sūrio gamybos sąnaudos yra 279,541,5 rublių

Pastaba. Veiksmai su vektoriais, įdiegtais 2.10 pavyzdžiu, gali būti atliekami asmeniniame kompiuteryje. Norėdami rasti "Scalar" produktą vektorių MS Excel, naudokite "Sumpacy" () funkciją, kur matricų elementų intervalų adresai yra nurodyti kaip argumentai, kurių darbų suma turi būti nustatyta. Mathcad, dviejų vektorių skalar produktas atliekamas naudojant atitinkamą matricos įrankių juostos operatorių

2.11 pavyzdys. Apskaičiuokite jėgos atliktą darbąJei jo paraiškos taškas juda tiesiai nuo pozicijos A.(2; 4; 6) padėtyje A.(4; 2; 7). Kaip kampas į AB. nukreipta galia ?

Sprendimas.Mes randame judančio, sulfing nuo jo pabaigos koordinatėspradžios koordinatės

. Pagal formulę (2.28) (darbo vienetai).

Kampas φ tarp I. rezultatas pagal formulę (2.29), tai yra

6. Trys nesukurtos vektoriaiimtasi nurodytos užsakymo formosteisė trejetas, jei pastebėsite nuo trečiojo vektoriaus pabaigos Trumpiausias rotacija nuo pirmojo vektoriaus į antrąjį vektoriųbaigė prieš laikrodžio rodyklę irlevy. Jei laikrodžio rodyklė.

Vektorinis darbas vektorius ant vektoriaus vadinamas vektoriumi atitinka šias sąlygas:

– Statmenai vektoriams ir;

- turi ilgio lygųkur φ - Vektorių suformuotas kampasir;

- Vectors. Sudaro dešinę (2.15 pav.).

2.4 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga dviejų vektorių kollineirumą yra jų vektoriaus darbo lygybės nulis

2.5 teorema. Vektoriniai meno kūriniaikaip apibrėžta jų koordinatėse, lygus trečiam tipo nurodymui

(2.32)

Pastaba.Lemiamas (2.25) sumažėjo 7 veiksnių nuosavybė

Corollary 1.Būtina ir pakankama dviejų vektorių kolorinės būklė yra jų atitinkamų koordinačių proporcingumas.

Corollary 2.Vienos ORT vektoriniai gabalai yra lygūs

Corollary 3.Vektorinis kvadratas yra nulinis

Geometrinis vektoriaus darbo interpretavimas Tai yra, kad gauto vektoriaus ilgis yra vienodas lygus vietovei S. Kartelograma, pastatyta į odos vektorių, kaip ant šoninės į tą pačią pradžią. Iš tiesų, atsižvelgiant į apibrėžimą, vektorinis meno modulis vektorių yra lygus. Kita vertus, vektorių pastatytos lygiagrogramos plotas ir lygus . Taigi,

. (2.33)

Be to, naudojant vektorinį produktą, galite nustatyti jėgos momentą, palyginti su tašku ir linijiniu sukimosi greitis.

Tegul A. taikoma galia Paleisk O. - kai erdvės taškas (2.16 pav.). Nuo fizikos eigos yra žinoma galios momentas palyginti su tašku O. vadinamas vektoriumi kuris eina per taškąO. ir tenkina šias sąlygas:

Statmenai plokštumui, einančiam per taškus O., A., B.;

Jo modulis yra skaitmuo lygus jėgos darbui ant peties.

- sudaro teisingą troiką su vektoriais ir. \\ T.

Todėl jėgos momentas palyginti su taškuO. yra vektorinis darbas

. (2.34)

Linijos greitis points. M.sunku kūnas sukasi su kampiniu greičiu aplink stacionarią ašį nustatoma pagal formulę Euler, O. - kai kurie fiksuoti

ašies taškas (2.17 pav.).

2.12 pavyzdys.Naudojant vektorinį produktą, kad surastumėte trikampio plotą Abc.pastatytas vektoriujerodoma į vieną pradžią.

Standartinė apibrėžtis: "Vektorius yra nukreiptas segmentas". Paprastai tai apsiriboja absolventų žiniomis apie vektorių. Kam reikia "nukreiptų segmentų"?

Ir iš tiesų, kas yra vektoriai ir kodėl jie?
Orų prognozė. "Vėjas yra šiaurės vakarų, 18 metrų per sekundę greitis." Sutinku, vėjo klausimų kryptis (kur jis pučia) ir modulį (tai yra absoliuti vertė) jo greičio.

Vertybės, neturinčios nurodymų, vadinamos skalaru. Mišios, darbas, elektros įkrovimas nėra nukreiptas bet kur. Jiems būdinga tik skaitmeninė vertė - "kiek kilogramų" arba "kiek džaulė".

Fiziniai kiekiai, kurie turi ne tik absoliučią vertę, bet ir kryptis vadinama vektoriumi.

Greitis, stiprumas, pagreitis - vektoriai. Jiems svarbu "kiek" ir svarbiausia "kur". Pavyzdžiui, laisvos rudens pagreitis yra nukreiptas į žemės paviršių, o jo vertė yra 9,8 m / s 2. Pulsas, elektrinis lauko stiprumas, magnetinio lauko indukcija - taip pat vektoriniai vertės.

Prisimenate, kad fiziniai kiekiai žymimi raidėmis, lotynų ar graikų kalba. Arogo virš laiško rodo, kad vertė yra vektorius:

Čia yra dar vienas pavyzdys.
Automobilis juda iš b. Galutinis rezultatas yra jo judėjimas nuo A taško B taško, tai yra, judantis ant vektoriaus .

Dabar aišku, kodėl vektorius yra nukreiptas segmentas. Pastaba, vektoriaus galas yra kur rodyklė. Ilgis Vector. Vadinamas šio segmento ilgiu. Žymi: Or

Iki šiol dirbome su skalės reikšmėmis pagal aritmetinio ir pradinio algebros taisykles. Vectors - nauja koncepcija. Tai dar viena matematinių objektų klasė. Už juos, savo taisykles.

Kai mes nežinojome apie numerius. Pažintis su jais prasidėjo jaunesnėse klasėse. Paaiškėjo, kad numeriai gali būti lyginami tarpusavyje, sulankstyti, išskaičiuoti, padauginti ir padalinti. Sužinojome, kad yra numeris ir nulis.
Dabar mes susipažinti su vektoriais.

"Daugiau" ir "mažiau" koncepcijos vektoriams neegzistuoja - jie gali būti skirtingos kryptys. Galite palyginti tik vektorių ilgius.

Tačiau vektorių lygybės sąvoka yra.
Lygus. \\ T Vektoriai, turintys tuos pačius ilgius ir ta pačia kryptimi. Tai reiškia, kad vektoriai gali būti perkeliami lygiagrečiai sau bet kurioje plokštumoje.
Vienišas Vadinamas vektoriumi, kurio ilgis yra lygus 1. Nulinis - vektorius, kurio ilgis yra nulis, tai yra, jo pradžia sutampa su galu.

Labiausiai patogu dirbti su vektoriais stačiakampio koordinačių sistemoje - tai, kas yra funkcijų grafikai. Kiekvienas koordinačių sistemos taškas atitinka du numerius - jo koordinates X ir Y, abscissa ir ordinato.
Vektorius taip pat nustato dvi koordinates:

Čia skliausteliuose įrašytos vektoriaus koordinatės - X ir ant y.
Jie yra tiesiog: koordinačių pabaiga vektorinio minuso koordinatės jo pradžios.

Jei yra nurodyti vektoriniai koordinatės, jo ilgis yra formulėje

Vektorių pridėjimas

Be vektorių yra du būdai.

vienas. Taisyklė lygiagražinė. Norėdami sulenkti vektorių ir mes įdėti tiek viename taške. Jūs būsite baigti į lygiagramą ir iš to paties taško, mes atliekame lygiagramos įstrižainę. Tai bus vektorių ir. \\ T

Prisiminkite tvirtinimo elementą apie gulbę, vėžį ir lydeką? Jie bandė labai daug, bet niekada nesikeitė, kas iš scenos. Galų gale, prie automobilio prijungtų jėgų vektorinė suma buvo nulis.

2. Antrasis vektorių pridėjimo būdas yra trikampio taisyklė. Paimkite tuos pačius vektorių ir. Iki pirmojo vektoriaus pabaigos pridedu antrojo pradžioje. Dabar prijunkite pirmojo ir antrojo galo pradžią. Tai yra vektorių ir. \\ T

Taip pat gali būti sulankstyti keli vektoriai. Mes juos įtraukiame po vieną, o tada sujunkite pirmojo nuo pastarojo pabaigos.

Įsivaizduokite, kad jūs einate iš A taško iki B dalies nuo B C, nuo C į D, tada E ir f. Galutinis šių veiksmų rezultatas yra perkeliamas iš f.

Pridedant vektorių ir gauti:

Atimti vektoriai

Vektorius siunčiamas į priešingą vektorių. Vektorių ilgis yra lygūs.

Dabar aišku, kas atimta vektorių. Vektorių skirtumas yra vektoriaus ir vektoriaus suma.

Vektoriaus dauginimas pagal numerį

Kai vektorius padauginus numerį k, gaunamas vektorius, kurio ilgis skiriasi nuo ilgio. Jis padengtas vektoriumi, jei k yra didesnis, ir yra nukreiptas priešingai, jei k yra mažesnis nei nulis.

Scalar produkto vektoriai

Vektoriai gali būti padauginti ne tik skaičiais, bet ir vienas į kitą.

Vektorių skalarinas produktas yra vektorių ilgio tarp jų kampe.

Pastaba - persikėlė du vektoriai, o skalaras pasirodė, tai yra numeris. Pavyzdžiui, fizikoje mechaninis darbas yra lygus dviejų vektorių ir judėjimų skaliarui:

Jei vektoriai yra statmenai, jų skalar produktas yra nulis.
Ir čia yra skalar produktas, išreikštas per vektorių koordinates ir:

Nuo skalarino produkto formulės, galite rasti kampą tarp vektorių:

Ši formulė yra ypač patogi stereometrijoje. Pavyzdžiui, į 14 iš profilio egzamino į matematikos užduotį, jums reikia rasti kampą tarp kryžiaus einate tiesiai arba tarp tiesios ir plokštumos. Dažnai 14 užduotis yra išspręsta kelis kartus greičiau nei klasikinis.

Matematikos mokykloje programoje tiriamas tik skalės produktas vektorių.
Pasirodo, kad išskyrus skaliarą, taip pat yra vektorinis produktas, kai vektorius yra dauginant vektorių. Kas suteikia egzaminą fizikoje, žino, kokia Lorentz galia ir Amper galia. Šių jėgų paieškos formulė apima vektoriaus meną.

Vektoriai - naudinga matematinė priemonė. Tai pamatysite pirmuosius metus.

Apibrėžimas 1.Vektorius erdvėjevadinamas krypties segmentu.

Taigi, vektoriai, priešingai nei skalės vertės, turi dvi charakteristikas: ilgis ir kryptis. Mes nurodysime vektorinius simbolius, arba bet .

(Čia Betir. \\ T Į- šio vektoriaus pradžia ir pabaiga (1 pav.)) bet Į

Vektoriaus ilgis nurodomas modulio simboliu: .Bet1 pav

Yra trijų tipų vektorių, apibrėžtų pagal jų lygybės santykį:

Nevalgius vektoriaijie vadinami lygiais, jei jie sutampa su pradžia ir baigiasi atitinkamai. Tokio vektoriaus pavyzdys yra maitinimo vektorius.

Stumdomi vektoriaijie vadinami lygūs, jei jie yra vienoje tiesioje linijoje, turi tokius pačius ilgius ir kryptis. Tokių vektorių pavyzdys yra greičio vektorius.

Nemokami arba geometriniai vektoriailaikomi lygiais, jei jie gali būti derinami su lygiagrečiu pervedimu.

Analitinės geometrijos eiga aptaria tiklaisvi vektoriai.

2 apibrėžimas 2.Vektorius, kurio ilgis yra nulis, vadinamas nulisvektorius, Or - nulis -

vector..

Akivaizdu, kad nulio vektorinio pradžia ir pabaiga sutampa. Nulinis vektorius neturi tam tikros krypties ar turi kas norskryptis.

3 apibrėžimas.Vadinami dvi versijos, esančios viena tiesi arba lygiagrečiomis linijomis

collinear.(2 pav.). Žymi:
.a.

Apibrėžimas 4.Vadinami du collinear ir vienodai nukreipti vektoriai

soneded.Žymi:
.

Dabar galite suteikti griežtą laisvų vektorių lygybės identifikavimą:

5 apibrėžimas.Du laisvi vektoriai yra lygūs, jei jie yra padengti ir turėti

tos pačios ilgio.

6 apibrėžimas.Yra trys vektoriai, esantys vienoje ar lygiagrečiose lėktuvuose

suderinamieji.

Du statmenai vektoriai skamba abipusiai orthogonal.:
.

Apibrėžimas 7.Vektorius izoliuotas ilgis vadinamas vienas vektoriusarba. \\ T oRT.

ORT, padengtas nulinio vektoriaus bet skambinkite orta Vector.bet :e. a. .

§2. Linijos operacijos per vektorių.

Vektorių rinkinyje nustatytos linijinės operacijos: vektorių pridėjimas ir vektoriaus dauginimas pagal numerį.

I. Vektorių pridėjimas.

2 vektorių suma vadinama vektoriu, kurio pradžia sutampa su pirmojo pradžia, o pabaigoje su antrojo pabaigoje, su sąlyga, kad antrojo pradžia sutampa su pirmojo pabaigos pradžia.

L. egco mato, kad dviejų vektorių suma, apibrėžta

taigi (3a pav.) Sutampa su vektorių sumomis,

pastatyta pagal lygiagramos taisyklę (6 pav.). b.

Tačiau ši taisyklė leidžia jums sukurti a.

bet kokio vektorių skaičiaus suma (3B pav.).

a. + b.

b. a. + b. + c.

3b fig. c.

Vektoriniai vektoriai erdvėje, vadinami krypties segmentu, t.e. Segmentas, kuriame nurodomi jo pradžia ir pabaiga. Ilgis arba modulis, vektorius yra atitinkamo segmento ilgis. Vektorių ilgis yra pažymėtas atitinkamai. Du vektoriai yra lygūs, jei jie turi tą patį ilgį ir kryptį. Vektorius su pradžia A ir pabaigoje taške yra žymimos ir vaizduojamos su rodykle su pradžia A ir V tašto pabaigoje mes taip pat apsvarstysime nulinį vektorių, kurie pradėjo sutapti su galu . Visi nuliniai vektoriai laikomi lygiais vieni kitiems. Jie nurodomi, o jų ilgis laikomas nuliu.

Vektorių papildymas vektorių papildymo operacija yra apibrėžta. Norint sulenkti du vektorių ir, vektorius atidedamas taip, kad jo pradžia sutampa su vektoriaus galu. Vektorius, kurio kilmė sutampa su vektoriaus pradžia, o galas - su vektoriaus galu, vadinamas vektorių sumą ir yra nurodyta

Nurodomas vektorinis dauginimas nuo vektorinio skaičiaus t numerio t numerio. Pagal apibrėžimą, vektoriaus produktas numeriu -1 yra vadinamas vektoriaus priešais ir žymi pagal apibrėžimą, vektorius turi priešingą kryptį priešais vektoriui ir vektoriaus produktui į numerį t vadinamą vektoriumi, kurio ilgis yra yra lygi, o kryptis išlieka tokia pati, jei t\u003e 0 ir pasikeis priešais, jei t 0, ir priešingai, jei t

Vektorių savybės vadinamos vektoriu, kuris yra pažymėtas vektoriui padauginti į savybių verčių skaičių, panašų į numerių dauginimo savybes, būtent: turtą 1. (mada). Nuosavybė 2. (pirmojo platinimo įstatymas). Nuosavybė 3. (antrasis platinimo įstatymas).

Apibrėžimas

Scalar vertė - vertė, kurią galima apibūdinti pagal numerį. Pavyzdžiui, ilgis, plotas, svoris, temperatūra ir kt.

Vector. vadinamas krypties segmentu $ online (a b) $; $ $ A $ yra pradžia, taškas $ B $ yra vektoriaus galas (1 pav.).

Vektorius žymi dviem dideliais raidėmis - jo pradžia ir pabaiga: $ perviršis (A b) $ arba su vienu mažu laišku: $ perjungimas (a) $.

Apibrėžimas

Jei vektoriaus pradžia ir pabaiga sutampa, toks vektorius vadinamas nulis. Dažniausiai nulinis vektorius yra nurodomas kaip $ perjungimas (0) $.

Vektoriai vadinami collinear.Jei jie yra vienoje tiesioje linijoje, arba lygiagrečiomis tiesiomis linijomis (2 pav.).

Apibrėžimas

Du collinear vektoriniai $ online (a) $ ir $ online (b) $ vadinama soned.Jei jų kryptys sutampa: $ online (a) "Catarrow \\ per perkrauti (b) $ (3 pav., A). Du collinear vektoriniai $ online (a) $ ir $ online (b) $ vadinama priešingai nukreiptaJei jų kryptys yra priešingos: $ online (a) "Cairwarrow" pervertinkite (b) $ (3 pav., B).