Kaip laikomos frakcijos. Kaip išspręsti pavyzdžius su frakcijomis. Kaip rasti diferencinę frakciją su tais pačiais vardikais
Su frakcijomis studentai susipažins su 5-ojoje klasėje. Anksčiau žmonės, kurie žinojo, kaip atlikti veiksmus su frakcijomis, buvo laikomi labai protingais. Pirmoji frakcija buvo 1/2, tai yra pusė, tada 1/3 pasirodė ir tt Keletą šimtmečių pavyzdžiai buvo laikomi pernelyg sudėtingais. Dabar jie sukūrė išsamias frakcijų transformacijos taisykles, papildymą, dauginimą ir kitus veiksmus. Pakanka šiek tiek išsiaiškinti medžiagą, o tirpalas bus lengvas.
Įprasta frakcija, vadinama paprasta frakcija, parašyta kaip du numeriai: M ir N.
M yra dalijama, tai yra, daliniai skaitiklis, o daliklis n vadinamas vardikliu.
Pašalinkite teisingas frakcijas (m< n) а также неправильные (m > n).
Teisinga frakcija yra mažesnė už įrenginį (pvz., 5/6, tai reiškia, kad 5 dalys yra paimtos iš vieneto; 2/8 - nuo įrenginio, kuris turi būti vartojamas 2 dalys). Neteisinga frakcija yra lygi arba didesnė kaip 1 (8/7 - vienetas bus 7/7, o pliusas yra dar viena dalis).
Taigi, vienas, tai yra tada, kai skaityklė ir denominatorius sutapo (3/3, 12/12, 100/100 ir kt.).
Veiksmai su įprastomis frakcijos 6 laipsniu
Su įprastinėmis frakcijomis galite atlikti šiuos veiksmus:
- Išplėsti frakciją. Jei padauginate viršutinę ir apatinę dalį frakcijos bet kokiu identišku numeriu (ne tik nuliui), frakcijos reikšmė nepasikeis (3/5 \u003d 6/10 (tiesiog padauginta iš 2).
- Sumažinant frakcijas yra panašus į plėtrą, tačiau jie yra suskirstyti į bet kurį numerį.
- Palyginkite. Jei dvi skaitmenų frakcijos yra vienodos, tada didesnis bus su mažesniu vardikliu. Jei tie patys vardikliai, tai bus daugiau frakcijos su didžiausiu numeratoriumi.
- Atlikite papildymą ir atimti. Su tais pačiais vardikais tai lengva padaryti (apibendrinti viršutines dalis, o apačia nesikeičia). Jei turite rasti bendrą vardiklį ir papildomus daugiklius.
- Padauginkite ir padalinkite frakcijas.
Veiksmų pavyzdžiai su frakcijomis Apsvarstykite toliau.
Sutrumpintos 6 laipsnio frakcijos
Sumažinti - tai reiškia padalinti viršutinę ir apatinę dalį frakcijos bet kokiu identišku numeriu.
Šis skaičius rodo paprastus mažinimo pavyzdžius. Pirmuoju įgyvendinimo variantu galite iš karto atspėti, kad skaitiklis ir vardiklis yra suskirstytas į 2.
Pastaba! Jei numeris yra lygus, jis yra suskirstytas į 2. net ir numeriai - tai yra 2, 4, 6 ... 32 8 (baigiasi net) ir tt
Antruoju atveju, su nuo 6 iki 18 skyriaus, ji yra iš karto matyti, kad skaičiai yra padalintas iš 2. dalijant, mes gauname 3/9. Ši frakcija padalinta iš kito 3. Tada atsakydama paaiškėja 1/3. Jei padauginate abu daliklius: 2 iki 3, tada jis bus išleistas 6. Pasirodo, kad frakcija buvo padalinta į šešis. Toks laipsniškas padalinys yra vadinamas nuosekliai sumažinti bendrų divalifikatorių.
Kažkas iš karto padalins 6, ką nors reikės dalytis dalimis. Svarbiausia yra tai, kad galų gale yra frakcija, kuri nebėra supjaustyti.
Atkreipkite dėmesį, kad jei numeris susideda iš numerių, kai numeris yra papildymas, skaičius yra padalintas iš 3, tada pradinis taip pat gali būti sumažintas 3. Pavyzdys: numeris 341. Mes sulenkiame numerius: 3 + 4 + 1 \u003d 8 ( Nuo 8 iki 3 nėra padalintas, todėl numeris 341 negali būti sumažintas 3 be liekanos). Kitas pavyzdys: 264. Mes sulenkiame: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (padalintas iš 3). Mes gauname: 264: 3 \u003d 88. Tai supaprastins didelių skaičių sumažinimą.
Be nuoseklaus darbo už bendrų daliklių sumažėjimo metodo yra ir kitų būdų.
Mazgas yra didžiausias skaičiaus skirstytuvas. Radauriu node danomatorui ir numeratoriui, galite nedelsiant sumažinti frakciją į norimą numerį. Paiešką atlieka laipsniškas kiekvieno numerio padalijimas. Pažvelkite į tai, ką skiriasi, jei yra keletas iš jų (kaip ir žemiau esančiame paveikslėlyje), tada jums reikia dauginti.
Mišrios frakcijos 6 laipsnio
Visos neteisingos frakcijos gali būti suskirstytos į mišrią, pabrėžiant visą jų dalį. Kairėje parašytas sveikasis skaičius.
Dažnai ateina iš netinkamos frakcijos, kad būtų sukurtas mišrus numeris. Konversijos į toliau pateiktą pavyzdį: 22/4 \u003d 22 delimi iki 4, mes gauname 5 iš viso (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Gauta 5 ir 2/4 (vardiklis nesikeičia). Kadangi frakcija gali būti sumažinta, tada padaliname viršutinę ir apatinę dalį iki 2.
Mišrus skaičius yra lengva paversti netaisyklinga frakcija (tai būtina dalijant ir padauginant frakcijas). Norėdami tai padaryti: sveikasis skaičius padaugėja ant frakcijos apačios ir pridėkite skaitiklį. Pasiruošę. Denominatorius nekeičia.
Skaičiavimai su 6 laipsniu
Galima sulenkti sumaišytus numerius. Jei denominačiai yra vienodi, tai lengva tai padaryti: mes sulenkiame visas dalis ir skaitmenis, vardiklis lieka vietoje.
Pridėjus numerius su skirtingais vardikliu, procesas yra sudėtingesnis. Pirma, mes suteikiame numerį į vieną mažą vardiklį (nosį).
Žemiau pateiktame pavyzdyje 9 ir 6 numeriai bus 18. Po to reikalingi papildomi daugikliai. Norėdami juos rasti, 18 padalinta iš 9, todėl yra papildomas skaičius - 2. Jis yra padaugintas iš NIZER 4, paaiškėjo, kad jis yra 8/18). Tas pats daroma su antra frakcija. Transformuotos frakcijos jau yra sulankstomos (sveikieji skaičiai ir skaitmenys atskirai, vardiklis nesikeičia). Pavyzdžiui, atsakymas turėjo būti konvertuojamas į tinkamą frakciją (iš pradžių skaitiklis pasirodė esąs didesnis už vardiklį).
Atkreipkite dėmesį, kad su frakcijų skirtumu veiksmų algoritmas yra tas pats.
Kai dauginant frakcijas, svarbu tiek vienoje eilutėje. Jei numeris yra sumaišytas, tada pasukite jį į paprastą frakciją. Be to, padauginkite viršutines ir apatines dalis ir parašykite atsakymą. Jei matote, kad frakcija gali būti sumažinta, tada nedelsiant sumažinti.
Nurodytame pavyzdyje nieko neturėjo sutrumpinti, tiesiog užregistravo atsakymą ir skyrė visą dalį.
Šiame pavyzdyje turėjau sumažinti skaičių pagal vieną funkciją. Nors galima sumažinti paruoštą atsakymą.
Skiriant algoritmą yra beveik tas pats. Pirma, mes įjunkite mišrią frakciją neteisingai, tada parašykite numerius pagal vieną funkciją, pakeisdami padalijimą dauginant. Nepamirškite viršutinės ir apatinės antros frakcijos dalies keisti vietas (tai yra dalijimosi taisyklės frakcijų).
Jei reikia, sumažinant numerį (toliau pateiktame pavyzdyje, jis buvo sumažintas iki penkių ir dviejų). Neteisinga frakcija konvertavimas, pabrėžiant visą dalį.
Pagrindinės 6 laipsnio frakcijos užduotys
Vaizdo įraše rodomos kelios užduotys. Siekiant aiškumo, sprendimų grafiniai vaizdai padės aiškiai įsivaizduoti frakcijas.
6 laipsnio frakcijų dauginimo pavyzdžiai su paaiškinimais
Frakcijų apsauga yra parašyta pagal ta pačia linija. Po to jie mažinami dalijant į tuos pačius numerius (pvz., 15 vardiklio vardiklyje ir 5 skaitmenyje, galima suskirstyti į penkis).
6 laipsnio frakcijų palyginimas
Palyginti frakcijas, turite prisiminti dvi paprastas taisykles.
1 taisyklė. Jei skirtingi vardikliai
2 taisyklė. Kai denominentai yra vienodi
Pvz., Palyginame 7/12 ir 2/3 frakcijas.
- Pažvelgiame į vardiklius, jie nesutampa. Taigi jums reikia rasti bendrą.
- Frakcijoms Bendrasis denominatorius bus 12.
- Pirmiausia padaliame 12 pirmojo frakcijos apačioje: 12: 12 \u003d 1 (tai yra papildomas 1-osios frakcijos veiksnys).
- Dabar 12 padalinkite iki 3, mes gauname 4 - pridėti. 2-osios frakcijos daugiklis.
- Padauginkite skaičiavimus, gautus skaitmenis konvertuoti frakcijas: 1 x 7 \u003d 7 (pirmoji frakcija: 7/12); 4 x 2 \u003d 8 (antroji frakcija: 8/12).
- Dabar mes galime palyginti: 7/12 ir 8/12. Paaiškėjo: 7/12.< 8/12.
Jei norite geriau atstovauti frakciją, galima aiškiau naudoti nuotraukas, kuriose objektas yra padalintas į dalis (pvz., Cake). Jei reikia palyginti 4/7 ir 2/3, pirmuoju atveju, tortas yra padalintas į 7 dalis ir pasirinkti 4 iš jų. Antrajame - atskirti 3 dalis ir paimkite 2. plika akimi supras, kad 2/3 bus daugiau nei 4/7.
Pavyzdžiai su 6 laipsniu mokymui
Galite atlikti šias užduotis kaip treniruotę.
- Palyginkite frakcijas
- atlikite dauginimą
Patarimas: Jei sunku rasti mažiausią bendrą vardiklį frakcijoms (ypač jei vertės yra mažos), tada galite dauginti pirmos ir antrosios frakcijos vardiklį. Pavyzdys: 2/8 ir 5/9. Raskite savo vardiklį tik: 8 padauginkite iš 9, paaiškėja 72.
Sprendimas lygtis su frakcijos 6 laipsnio
Sprendžiant lygtis, jums reikia prisiminti veiksmus su frakcijomis: dauginimas, padalijimas, atimtumas ir papildymas. Jei vienas iš daugiklių nežinomas, darbas (rezultatas) yra padalintas į gerai žinomą daugiklį, tai yra, frakcijos yra kintamos (antrasis apsisukimas).
Jei nežinoma yra dalijama, denominatorius yra padaugintas iš daliklio, ir ieškant skirstytuvo, jums reikia padalinti į privatų.
Įsivaizduokite paprastus pavyzdžius sprendžiant lygtis:
Ji turi tik padaryti skirtumą frakcijoms, o ne dėl bendro vardiklio.
Atsakymas pasirodė neteisingos frakcijos pavidalu. Jis gali būti konvertuojamas į 1 visą ir 3/5.
Antruoju metodu skaitiklis ir vardiklis buvo padaugintas iš 4, kad sutrumpintumėte apatinę dalį, o ne paversti vardiklį.
Instrukcija
Tai įprasta dalytis įprastinėmis ir dešimtimaliomis frakcijomis, pažįstamu, su kuriais prasideda vidurinėje mokykloje. Šiuo metu nėra tokios žinios, kur jis nebūtų naudojamas. Net mes kalbame apie pirmąjį XVII a. Ir iš karto, kuris yra skirtas 1600-1625 m. Taip pat dažnai turi susidurti su elementarių veiksmų virš frakcijų, taip pat jų konversiją iš vienos rūšies į kitą.
Galbūt svarbiausi veiksmai, susiję su įprastiniais frakcijomis. Tai yra visos skaičiavimo pagrindas. Taigi, tarkime, yra dvi frakcijos A / B ir C / D. Tada, norint juos įtraukti į bendrą vardiklį, turite rasti mažiausius bendruosius kelis (m) numerius B ir D, ir toliau padauginkite pirmosios frakcijos numeratorių (m / b) ir antrą numeratorių ( M / d).
Frakcijų palyginimas, dar viena svarbi užduotis. Norint tai padaryti, nurodykite nurodytas paprastas frakcijas į bendrą vardiklį ir palyginkite numeratorius, kurių skaitiklis bus daugiau, frakcija ir kt.
Norint kaupti ar atimti įprastas frakcijas, turite juos įeiti į bendrą vardiklį ir atlikti norimą matematinį veiksmą su šiais frakcijų skaitmenimis. Denominatorius lieka nepakitęs. Tarkime, jums reikia atimti C / D nuo A / B. Norėdami tai padaryti, reikia rasti mažiausią bendrąjį kelis kartus m numerius B ir D, o po to atimant iš vieno numeratoriaus kito, nekeičiant vardiklio: (a * (m / b) - (C * (m / d)) / M.
Pakanka tiesiog padauginti vieną frakciją į kitą, nes turėtumėte tiesiog padauginti savo skaitmenis ir vardiklius:
(A / b) * (c / d) \u003d (A * c) / (b * d) padalinti vieną frakciją į kitą, jums reikia nuvalyti į atvirkštinio skirstytuvo dalį. (A / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
Tai kainuoja prisiminti, kad norint gauti atvirkštinę frakciją, jums reikia skaitiklio ir vardiklio, kad pakeistumėte vietas.
Sulenkti 2 frakcijas identiški denominatoriai, būtina sulenkti jų skaitmenis ir denomineriuspalikite nepakeistą.Priimti frakcijas, pavyzdžiai. \\ T:
Bendroji formulė už paprastų frakcijų pridėjimo ir atimant frakcijas su tais pačiais vardikliais:
Pastaba! Patikrinkite, ar neįmanoma sumažinti gautos frakcijos rašydami atsakymą.
Frakcijų su skirtingais vardikliais.
Frakcijų su skirtingais vardikomis taisyklės:
- mes suteikiame frakciją mažiausiam bendram vardikui (NOS). Norėdami tai padaryti, rasti mažiausią bendrieji kelis (NOK) vardikliai;
- mes sulenkiame frakcijų modelius, o vardikliai nekeičiasi;
- sumažinti frakciją, kurią jie gavo;
- jei buvo gauta neteisinga frakcija - mes paverčiame neteisingą frakciją į mišrią frakciją.
Pavyzdžiai. \\ T Papildymai. \\ T frakcijos su skirtingais vardikliais:
Mišrių numerių papildymas (mišrios frakcijos).
Mišrių frakcijų pridėjimo taisyklės:
- mes pristatome dalines šių numerių dalis mažiausio generalinio vardiklio (NOS);
- atskirai mes sulenkiame visas dalis ir atskiras dalines dalis, mes sulenkiame rezultatus;
- jei, kai frakcinės dalys yra papildoma, neteisinga frakcija, mes skiriame visą šios dalies dalį frakcijos ir pridėkite jį prie gauto sveikojo skaičiaus;
- sumažinti gautą frakciją.
Pavyzdys Papildymai. \\ T sumaišyti fraci.:
Papildymo dešimtainės frakcijos.
Sumažinant dešimtainius frakcijas, procesas yra parašytas "etapu" (kaip įprasta kolonos dauginimas),taigi, kad išleidimų elementai būtų vieni kitiems be perkėlimo. Reikalinga kableliaissuderinkite aiškų vienas su kitu.
Sumažėję dešimtainių frakcijų taisyklės:
1. Jei reikia, jūs išlyginate dešimtainių ženklų skaičių. Norėdami tai padaryti, pridėkite nulio įbūtinos frakcijos.
2. Įrašykite frakciją, kad kableliai būtų vieni kitiems.
3. Sulenkiame frakcijas, o ne atkreipiame dėmesį į kablelį.
4. Mes įdėjome kablelį pagal kablelius, frakcijas, kurias mes sulenkiame.
Pastaba! Kai nurodyti dešimtainiai dešimtainiai brainai turi skirtingą ženklų skaičių (numerius) po kablelio,tada į frakciją, kuri turi mažiau dešimtainių ženklų, priskiria norimą skaičių nulio, už lygtįŽenklų skaičius po kablelio.
Išsiaiškinkime pavyzdys. Raskite dešimtainių frakcijų sumą:
0,678 + 13,7 =
Jūs išlyginate vietų skaičių po kablelio dešimtainiais frakcijomis. Pridėti 2 nulinę teisę į dešimtainįdrobi. 13,7 .
0,678 + 13,700 =
Record. atsakymas:
0,678 + 13,7 = 14,378
Jeigu dešimtainių frakcijų papildymas Jūs pakankamai gerai įsisavinote, tada trūkstami nuliai gali būti pridedamiomenyje.
Šis straipsnis pradeda studijuoti veiksmus su algebriniais frakcijomis: išsamiai apsvarstyti tokius veiksmus kaip algebrinių frakcijų papildymą ir atimimą. Mes analizuosime papildomų ir atimant algebrines frakcijas kaip tuos pačius vardiklius ir su skirtingais. Mes mokomės, kaip sulenkti algebrinės frakciją su polinominiu ir kaip atskaityti juos. Dėl konkrečių pavyzdžių paaiškinsime kiekvieną problemų sprendimo būdą.
Veiksmai papildant ir atimti tuos pačius vardiklius
Įprastų frakcijų papildymo schema taikoma algebrai. Mes žinome, kad pridėję ar atimdami įprastas frakcijas su tomis pačiomis denominaliais, būtina pridėti arba atimti jų skaitmenis, o vardiklis išlieka pirminiu.
Pavyzdžiui: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 ir 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.
Atitinkamai, formavimas ir atimimas algebrinių frakcijų su tais pačiais denominantų yra registruojamas panašiu būdu:
Apibrėžimas 1.
Norėdami padaryti papildomus ar atimti algebrines frakcijas su tais pačiais vardikomis, būtina atitinkamai surinkti arba atimti šaltinio frakcijų skaitmenis, o vardiklis yra užfiksuotas nepakitusi.
Ši taisyklė leidžia daryti išvadą, kad algebrinių frakcijų pridėjimo ar atimtumo rezultatas yra nauja algebrinė frakcija (konkrečiu atveju: polinominis, vienkartinis arba skaičius).
Nurodykite formuluotės taisyklės taikymo pavyzdį.
1 pavyzdys.
Algebriniai frakcijos pateikiamos: x 2 + 2 · x · Y - 5 x 2 · Y - 2 ir 3 - x · Y x 2 · Y - 2. Būtina juos padaryti.
Sprendimas Šis sprendimas
Pradinėms frakcijoms yra tie patys vardikliai. Pagal taisyklę atliksime frakcijų suteiktų skaitmenų pridėjimą, o vardiklis bus paliktas nepakitęs.
Po sulankstymo polinomials, kurios yra šaltinio frakcijų skaitikliai, mes gauname: x 2 + 2 · x · y - 5 + 3 - x · y \u003d x 2 + (2 · x · y - x · y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x · y - 2.
Tada norima suma bus įrašyta kaip: x 2 + x · Y - 2 x 2 · Y - 2.
Praktiškai, kaip ir daugeliu atvejų, sprendimą pateikia lygių grandinė, vizualiai rodanti visus sprendimo etapus:
x 2 + 2 · x · Y - 5 x 2 · Y - 2 + 3 - x · YX 2 · Y - 2 \u003d x 2 + 2 · x · Y - 5 + 3 - x · YX 2 · Y - 2 \u003d x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2
Atsakymas: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 \u003d x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
Priedo ar atimties rezultatas gali būti mažesnė frakcija, šiuo atveju ji yra optimaliai sumažinta.
2 pavyzdys.
Būtina atimti iš algebrinių frakcijos x 2 - 4 · Y 2 frakcija 2 · Y x 2 - 4 · Y 2.
Sprendimas Šis sprendimas
Pradinių frakcijų ranneliai yra lygūs. Mes padarysime veiksmus su skaitmenimis, būtent: bus atimami iš pirmojo antrojo frakcijos NIZER, po kurio aš parašysiu rezultatą, paliksiu vardiklį:
x2 - 4 · Y 2 - 2 · Y x 2 - 4 · Y2 \u003d x - 2 · Y x 2 - 4 · Y 2
Matome, kad sumažėja frakcija. Mes atliekame savo sumažinimą, konvertuojant vardiklį naudodami kvadratinį skirtumą:
x - 2 · y x 2 - 4 · y 2 \u003d x - 2 · y (x - 2 · y) · (x + 2 · y) \u003d 1 x + 2 · y
Atsakymas: x x 2 - 4 · Y2 - 2 · Y x 2 - 4 · Y 2 \u003d 1 x + 2 · Y.
Tam pačiam principui trys ir daugiau algebrinių frakcijų yra atimtos arba atimamos su tais pačiais vardikais. Pavyzdžiui:
1 x 5 + 2 · x 3 - 1 + 3 · x - x 4 x 5 + 2 · x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 · x 3 - 1 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1 \u003d 1 + 3 · x - x 4 - x 2 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1
Veiksmai ir atimti skirtinguose vardikliuose
Pakartotinai kreipkitės į įprastines frakcijas: kaupti ar atimti įprastas frakcijas su skirtingais vardikliais, būtina juos į bendrą vardiklį, tada sulankstyti gautus frakcijas su tais pačiais vardikomis.
Pavyzdžiui, 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 arba 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.
Be to, pagal analogiją suformulavome algebrinių frakcijų su skirtingais vardikliais papildymo taisyklę ir atimimą:
2 apibrėžimas 2.
Norėdami pridėti ar atimti algebrines frakcijas su skirtingais vardikliais, būtina:
- Šaltinių frakcijos sukelia bendrą vardiklį;
- atlikite frakcijų, gautų su tais pačiais vardikomis, pridėjimą ar atimimą.
Akivaizdu, kad raktas čia bus įgūdis atnešti algebrines frakcijas į bendrą vardiklį. Mes analizuosime daugiau.
Algebrinių frakcijų priėmimas prie bendro vardiklio
Norint atnešti algebrines frakcijas į bendrą vardiklį, būtina įgyvendinti identišką frakcijų transformavimą, dėl kurių pirminių frakcijų vardikliai tampa vienodi. Jis yra optimalus veikti čia tokiu algoritmu algebrinių frakcijų į bendrą vardiklį:
- pirma, mes nustatome bendrą algebrinių frakcijų vardiklį;
- tada mes randame papildomus gedimus kiekvienai iš frakcijų, dalijant bendrą vardiklį į pradinių frakcijų požymius;
- pastarasis veiksmas, nurodytų algebrinių frakcijų skaitmenys ir vardikliai padauginami iš atitinkamų papildomų gedimų.
Algebriniai frakcijos pateikiamos: A + 2 2 · A 3 - 4 · A 2, A + 3 3 · A 2 - 6 · A ir A + 1 4 · A 5 - 16 · A 3. Būtina juos įtraukti į bendrą vardiklį.
Sprendimas Šis sprendimas
Mes elgiamės pagal aukščiau nurodytą algoritmą. Apibrėžiame bendrą pradinių frakcijų vardiklį. Šiuo tikslu suskaidysime gedimų frakcijų vardiklius: 2 · A 3 - 4 · A 2 \u003d 2 · A 2 · (A - 2), 3 · A 2 - 6 · A \u003d 3 · a · a (A - 2) ir 4 · A 5 - 16 · A 3 \u003d 4 · A 3 · (A - 2) · (A + 2). Iš čia mes galime parašyti bendrą vardiklį: 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2).
Dabar turime rasti papildomų daugiklių. Mes padalijame, pagal algoritmą, nustatėme, kad generalinis vardiklis ant pradinių frakcijų vardiklių:
- dėl pirmosios frakcijos: 12 · a 3 · (A - 2) · (A + 2): (2 · a 2 · (a - 2)) \u003d 6 · a · (A + 2);
- antra frakcija: 12 · a 3 · (A - 2) · (A + 2): (3 · a · (A - 2)) \u003d 4 · A + 2);
- dėl trečiosios frakcijos: 12 · 3 · (A - 2) · (A + 2): (4 · A 3 · (A - 2) · (A + 2)) \u003d 3 .
Kitas žingsnis yra numeratorių ir vardinių frakcijų skaitiklių ir vardiklių dauginimas nustatytų papildomų veiksnių:
a + 2 2 · A 3 - 4 · A 2 \u003d (A + 2) · 6 · a · a · (A + 2) (2 · A 3 - 4 · A 2) · 6 · a · (A + 2) \u003d 6 · a · (A + 2) 2 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2) A + 3 3 · A 2 - 6 · A \u003d (A + 3) · 4 · A 2 · ( A + 2) 3 · A2 - 6 · A · 4 · A 2 · (A + 2) \u003d 4 · A 2 · (A + 3) · (A + 2) 12 · (A - 2) · (A + 2) A + 1 4 · A 5 - 16 · A 3 \u003d (A + 1) · 3 (4 · A 5 - 16 · A 3) · 3 \u003d 3 · (A + 1) 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2)
Atsakymas: A + 2 2 · A 3 - 4 · A 2 \u003d 6 · A · (A + 2) 2 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2); A + 3 3 · A 2 - 6 · A \u003d 4 · A 2 · (A + 3) · (A + 2) 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2); A + 1 4 · A 5 - 16 · A 3 \u003d 3 · (A + 1) 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2).
Taigi, mes vedėme šaltinio frakciją į bendrą vardiklį. Jei reikia, galite toliau konvertuoti rezultatą į algebrinių frakcijų tipą, turinti dauginant polinomials ir universitetas skaitmenimis ir vardikliais.
Mes taip pat paaiškinome tokį momentą: bendras rastas vardiklis yra optimaliai paliktas darbe, jei reikia sumažinti galutinę frakciją.
Mes peržiūrėjome išsamią schemą pradinių algebrinių frakcijų priėmimo į bendrą vardiklį, dabar mes galime pereiti prie pavyzdžių pridėjus ir atimti frakcijų su skirtingais vardikliais analizę.
4 pavyzdys.
Algebriniai frakcijos pateikiamos: 1 - 2 · x x 2 + x ir 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2. Būtina padaryti jų papildymo poveikį.
Sprendimas Šis sprendimas
Pradinės frakcijos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia suteikiame jiems bendrą vardiklį. Klubai denominatoriai daugikliai: x 2 + x \u003d x · (x + 1) ir x 2 + 3 · x + 2 \u003d (x + 1) · (x + 2),nes. Šaknų aikštė trijų nuotraukų x 2 + 3 · x + 2 Tai yra numeriai: - 1 ir - 2. Nustatykite generalinį vardiklį: x · (x + 1) · (x + 2), tada papildomi gedimai bus: X + 2.ir. \\ T - X.pirmajai ir antrajai frakcijoms.
Taigi: 1 - 2 · xx 2 + x \u003d 1 - 2 · xx · (x + 1) \u003d (1 - 2 · x) · (x + 2) x · (x + 1) · (x + 2) \u003d x + 2 - 2 · x 2 - 4 · xx · (x + 1) · x + 2 \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) ir 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x \u003d 2 · X 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2)
Dabar padėkite frakcijas, kurias sukūrėme į bendrą vardiklį:
2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · 2 · xx · (x + 1) · (x + 2)
Gauta frakcija yra įmanoma sumažinti bendrą daugiklį X + 1:
2 + 2 · x x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · (x + 1) x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 x · (x + 2)
Ir, galiausiai gautas rezultatas yra įrašomas į algebrinės frakcijos formą, pakeičiant darbą polinominio vardiklio:
2 x · (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 · x
Mes trumpai užrašome sprendimą dėl lygių grandinės:
1 - 2 · xx 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 1 - 2 · xx · (x + 1) + 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2) ) \u003d \u003d 1 - 2 · x · (x + 2) x · x + 1 · x + 2 + 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · x + 1 x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 x · (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 · x
Atsakymas: 1 - 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 · x
Atkreipkite dėmesį į šią detalę: prieš algebrinį frakciją sulenkite arba išskaičiuokite, jei įmanoma, pageidautina, kad juos supaprastintumėte.
5 pavyzdys.
Būtina atlikti frakcijų atimimą: 2 1 1 3 · x - 2 21 ir 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.
Sprendimas Šis sprendimas
Mes transformuojame šaltinio algebrines frakcijas, kad supaprastintume tolesnį sprendimą. Pervediu kintamų koeficientų skaičių vardiklyje:
2 1 1 3 · X - 2 21 \u003d 2 4 3 · X - 2 21 \u003d 2 4 3 · X - 1 14 ir 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14.
Ši transformacija vienareikšmiškai suteikė mums naudą: akivaizdžiai matome bendro veiksnio buvimą.
Aš atsikratysiu denominatorių skaitininkų koeficientų. Norėdami tai padaryti, mes naudojame pagrindinį algebrinių frakcijų turtą: pirmosios frakcijos skaitiklis ir vardiklis bus padaugintas 3 4, o antrasis - 1 2, tada mes gauname:
2 4 3 · x - 1 14 \u003d 3 4 · 2 3 4 · 4 · x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 ir 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14 \u003d - 1 2 · 3 · X - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 \u003d - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14.
Mes atliksime veiksmus, kurie leis mums atsikratyti dalinių koeficientų: Padauginkite gautas frakcijas 14:
3 2 x - 1 14 \u003d 14 · 3 2 14 · x - 1 14 \u003d 21 14 · x - 1 ir - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 · - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 · X + 7 14 · X - 1.
Galiausiai atlikite veiksmus, reikalingus sąlygai - atimtis:
2 1 1 3 · X - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 21 14 · x - 1 - - 21 · x + 7 14 · x - 1 \u003d 21 - - 21 · x + 7 14 · X - 1 \u003d 21 · x + 14 14 · x - 1
Atsakymas: 2 1 1 3 · X - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 21 · x + 14 14 · x - 1.
Algebrinių frakcijų ir polinominio papildymas ir atimtumas
Šis veiksmas taip pat sumažinamas iki algebrinių frakcijų pridėjimo ar atimant: būtina pateikti originalų polinomą kaip frakciją su vardikliu 1.
6 pavyzdys.
Būtina gaminti polinomą x 2 - 3 su algebrine frakcija 3 · x x + 2.
Sprendimas Šis sprendimas
Mes parašytume polinomą kaip algebrinę frakciją su vardikliu 1: X 2 - 3 1
Dabar mes galime atlikti papildomą frakcijų su skirtingais vardikliais taisyklė:
x 2 - 3 + 3 · xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 · xx + 2 \u003d x 2 - 3 · (x + 2) 1 · x + 2 + 3 · xx + 2 \u003d x 3 + 2 · X 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · xx + 2 \u003d x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · xx + 2 \u003d x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2 .
Atsakymas: x 2 - 3 + 3 · x x + 2 \u003d x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2.
Jei pastebėsite klaidą tekste, pasirinkite jį ir paspauskite Ctrl + Enter
Kitas veiksmas, kurį galima atlikti su įprastomis frakcijomis, yra atimta. Kaip dalis šios medžiagos, mes pažvelgsime, kaip teisingai apskaičiuoti frakcijų skirtumą su tų pačių ir skirtingų denominantų, kaip atimti frakciją iš natūralaus numerio ir atvirkščiai. Visi pavyzdžiai bus iliustruoti užduotis. Iš anksto nurodysime, kad mes išarsime tik tuos atvejus, kai frakcijų skirtumas suteikia teigiamą skaičių.
Kaip rasti diferencinę frakciją su tais pačiais vardikomis
Pradėkime iš karto su vizualiu pavyzdžiu: pavyzdžiui, mes turime obuolį, kuris buvo padalintas į aštuonias dalis. Palikime penkias dalis ant plokštės ir paimk du iš jų. Šis veiksmas gali būti parašytas taip:
Kaip rezultatas, mes palikome 3 aštuntomis skilčių, nuo 5 - 2 \u003d 3. Pasirodo, kad 5 8 - 2 8 \u003d 3 8.
Dėl šio paprasto pavyzdžio matėme, kaip atskaitymo taisyklė veikia frakcijoms, kurių vardikliai yra vienodi. Žodis.
Apibrėžimas 1.
Norėdami rasti frakcijų skirtumą su tais pačiais vardikliais, jums reikia iš vieno atimties skaičiaus kito numerio, o vardiklis paliekamas vienodai. Ši taisyklė gali būti parašyta A B-C B \u003d A - C B forma.
Mes naudosime tokią formulę ateityje.
Imtis konkrečių pavyzdžių.
1 pavyzdys.
Nuimkite iš frakcijos 24 15 įprastos frakcijos 17 15.
Sprendimas Šis sprendimas
Matome, kad šios frakcijos turi tuos pačius vardiklius. Todėl viskas, ką turime padaryti, yra atimti 17 iš 24. Mes gauname 7 ir pridėti vardiklį į jį, mes gauname 7 15.
Mūsų skaičiavimai gali būti parašyti taip: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Jei reikia, galite sumažinti sudėtingą frakciją arba paskirstyti visą dalį nuo neteisingos, kad perskaitytumėte, tai buvo patogiau.
2 pavyzdys.
Rasti skirtumą 37 12 - 15 12.
Sprendimas Šis sprendimas
Mes naudojame aukščiau aprašytą formulę ir apskaičiuoti: 37 12 - 15 12 \u003d 37 - 15 12 \u003d 22 12
Tai lengva pastebėti, kad skaitiklis ir vardiklis gali būti suskirstytas į 2 (mes jau kalbėjome anksčiau apie tai, kai jie išmontuoti požymiai dalijimosi). Atsakymo mažinimas, mes gauname 11 6. Tai yra neteisinga frakcija, iš kurios mes pabrėžiame visą dalį: 11 6 \u003d 1 5 6.
Kaip rasti skirtingų vardiklių frakcijų skirtumą
Toks matematinis veiksmas gali būti sumažintas iki to, ką jau aprašėme pirmiau. Norėdami tai padaryti, tiesiog nurodykite reikiamus frakcijas į vieną vardiklį. Mes suformulavome apibrėžimą:
2 apibrėžimas 2.
Norėdami rasti skirtingų vardiklių frakcijų skirtumą, būtina juos nukreipti į vieną vardiklį ir rasti skaitmenų skirtumą.
Apsvarstykite pavyzdį, kaip tai daroma.
3 pavyzdys.
Pašalinti nuo 2 9 frakcijos 1 15.
Sprendimas Šis sprendimas
Dannels yra skirtingi, ir jums reikia juos į mažiausią bendrąją vertę. Šiuo atveju NOC yra 45. Dėl pirmosios frakcijos reikia papildomo 5 faktoriaus ir antrojo - 3.
Apskaičiuojame: 2 9 \u003d 2 · 5 9 · 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 · 3 15 · 3 \u003d 3 45
Mes turime dvi frakcijas su tuo pačiu vardikliu, ir dabar mes galime lengvai rasti jų skirtumą pagal anksčiau aprašytą algoritmą: 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45
Trumpas sprendimas atrodo taip: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Jei reikia, nepamirškite rezultato ar visos dalies paskirstymo. Šiame pavyzdyje mums nereikia to daryti.
4 pavyzdys.
Rasti skirtumą 19 9 - 7 36.
Sprendimas Šis sprendimas
Mes suteikiame frakcijas, nurodytą mažiausio bendro vardiklio 36 ir gauti atitinkamai 76 9 ir 7 36.
Mes manome, kad atsakymas: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Rezultatas gali būti sumažintas 3 ir gaukite 23 12. Skaitiklis yra didesnis už vardiklį, o tai reiškia, kad galime pabrėžti visą dalį. Galutinis atsakymas yra 1 11 12.
Trumpas visas sprendimas - 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
Kaip išskaičiuoti iš įprastos frakcijos natūralaus numerio
Toks veiksmas taip pat lengvai sumažinamas iki paprastos įprastos frakcijos atimtos. Tai galima padaryti pateikiant natūralų skaičių frakcijos pavidalu. Rodyti pavyzdį.
5 pavyzdys.
Rasti skirtumą 83 21 - 3.
Sprendimas Šis sprendimas
3 yra toks pat kaip 3 1. Tada galite apskaičiuoti tai: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Jei būklė turi atlikti visą neteisingos frakcijos skaičių, patogiau pirmiausia paskirstyti sveikąjį skaičių iš jo, rašydami jį mišriam skaičiui. Tada ankstesniame pavyzdyje gali būti išspręsta kitaip.
Iš frakcijos 83 21, kai pasirinkta visa dalis, bus gauta 83 21 \u003d 3 20 21.
Dabar tiesiog perskaitykite 3 iš jo: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.
Kaip atimti įprastą frakciją nuo natūralaus numerio
Šis veiksmas yra panašus į ankstesnį: mes perrašome natūralų skaičių frakcijos pavidalu, atneškite abu į vieną vardiklį ir rasti skirtumą. Mes iliustruojame šį pavyzdį.
6 pavyzdys.
Rasti skirtumą: 7 - 5 3.
Sprendimas Šis sprendimas
Mes užtruksime 7 frakciją 7 1. Mes padarome atimimą ir konvertuoti galutinį rezultatą, pabrėžiant sveikąjį skaičių iš jo: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.
Yra dar vienas būdas apskaičiuoti. Ji turi tam tikrų privalumų, kurie gali būti naudojami tais atvejais, jei problemos skaičiuojami skaičiai ir vardikliai yra dideli skaičiai.
3 apibrėžimas.
Jei frakcija, kurią reikia atskaityti, yra teisinga, tada natūralus skaičius, iš kurio mes būsime atimami, turite būti atstovaujami kaip dviejų numerių suma, iš kurių viena yra 1. Po to reikia atimti norimą frakciją iš įrenginio ir gauti atsakymą.
7 pavyzdys.
Apskaičiuokite skirtumą 1 065 - 13 62.
Sprendimas Šis sprendimas
Frakcija, kurią reikia išskaičiuoti, yra teisinga, nes jo skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Todėl mes turime atimti vienetą nuo 1065 ir atimti iš jo norimą frakciją: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Dabar turime rasti atsakymą. Naudojant atskaitymo savybes, gauta išraiška gali būti parašyta kaip 1064 + 1 - 13 62. Apskaičiuokite skliausteliuose skirtumą. Dėl to įrenginys bus įsivaizduojamas kaip 1 frakcija 1.
Pasirodo, kad 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Dabar prisiminkime apie 1064 ir suformuluoti atsakymą: 1064 49 62.
Mes naudojame senąjį būdą įrodyti, kad tai yra mažiau patogi. Šie skaičiavimai būtų:
1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 · 62 1 · 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
Atsakymas yra tas pats, bet, akivaizdu, yra sudėtingesnis.
Mes apsvarstėme atvejį, kai reikia išskaičiuoti teisingą frakciją. Jei tai neteisinga, mes pakeisime jį su mišriu numeriu ir padarysime atimti pažįstamas taisykles.
8 pavyzdys.
Apskaičiuokite skirtumą 644 - 73 5.
Sprendimas Šis sprendimas
Antroji frakcija yra neteisinga, ir būtina atskirti visą dalį.
Dabar mes apskaičiuojame panašiai į ankstesnį pavyzdį: 630 - 3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
Atimties savybės dirbant su frakcijomis
Properties, kad natūralaus skaičiaus atitikimas yra platinamas ir įprastinių frakcijų atimant. Apsvarstykite, kaip juos naudoti sprendžiant pavyzdžius.
9 pavyzdys.
Rasti skirtumą 24 4 - 3 2 - 5 6.
Sprendimas Šis sprendimas
Mes jau išsprendėme panašius pavyzdžius, kai mes išartiname sumos atimimą nuo skaičiaus, todėl elgiamės jau žinomame algoritme. Pirma, apskaičiuojame skirtumą 25 4 - 3 2, o tada pasiimk paskutinę frakciją iš jo:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Atsakome į atsakymą, išryškiname visą dalį. Rezultatai - 3 11 12.
Visų sprendimų santrauka:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Jei išraiškoje yra frakcijos ir natūralūs numeriai, ir apskaičiuojant juos rekomenduojama juos grupuoti pagal tipą.
10 pavyzdys.
N ledas skirtumas 98 + 17 20 - 5 + 3 5.
Sprendimas Šis sprendimas
Žinant pagrindines atimties savybes ir papildymą, galime grupuoti numerius taip: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Pilnas skaičiavimai: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
Jei pastebėsite klaidą tekste, pasirinkite jį ir paspauskite Ctrl + Enter