Kaip rasti figūros sritį?

Žinoti ir sugebėti apskaičiuoti įvairių skaičių plotą, būtina ne tik išspręsti paprastas geometrines užduotis. Nedarykite be šių žinių ir rengiant ar tikrinant patalpų remonto įvertinimus, apskaičiuojant būtinų medžiagų skaičių. Todėl išsiaiškinkime, kaip rasti skirtingų skaičių sričių.

Dalis plokštumos, sudarytos uždaroje grandinėje, yra vadinama šios plokštumos sritimi. Kvadratas išreiškiamas kvadratinių vienetų kalinių skaičius jame.

Norint apskaičiuoti pagrindinių geometrinių figūrų plotą, būtina naudoti teisingą formulę.

Trikampio plotas

Pavadinimas:

1. Jei H, yra žinoma, norimo trikampio plotas apibrėžiamas kaip trikampio šoninės ilgio ir aukščio produktas, nuleistas iki šios pusės, padalintas iš pusės: s \u003d (a · h) / 2
2. Jei A, B, C yra žinoma, tada norima sritis apskaičiuojama naudojant Geron formulę: kvadratinė šaknis paimta iš pusę trikampio perimetro ir trijų skirtumų pusė perimetro ir kiekvienos trikampio pusės: s \u003d √ (P · p - a) · (p - b) · (P - C)).
3. Jei A, B, γ yra žinoma, tada trikampio plotas yra apibrėžiamas kaip pusė 2 pusių produkto, padaugintas nuo kampo tarp šių pusių produkto: S \u003d (a · b · Sin γ) / 2
4. Jei yra žinoma, kad A, B, C, R, tada norima sritis yra apibrėžiama kaip dalijant visų trikampio pusių ilgio produkto keturių spinduliu iš rato aprašyta: s \u003d (a · b · c) / 4R
5. Jei P, R yra žinoma, tada norimas trikampio plotas nustatomas padauginus pusę perimetro ant spindulio įterptas į jį: s \u003d p · r

Kvadratinis plotas

Pavadinimas:

1. Jei žinoma pusė, šio skaičiaus plotas apibrėžiamas kaip ilgio kvadratas: s \u003d a 2
2. Jei yra žinoma, kvadrato kvadratas apibrėžiamas kaip pusė jo ilgio įstrižainės kvadrato: s \u003d d 2/2

Kvadratinis stačiakampis

Pavadinimas:

• S - apibrėžta sritis,
• a, B - stačiakampio pusės ilgis.

1. Jei A, B žinoma, šio stačiakampio plotas nustatomas pagal jo pusių ilgio produktą: s \u003d a · b
2. Jei šonų ilgiai nežinomi, stačiakampio plotas turi būti suskirstytas į trikampius. Šiuo atveju stačiakampio plotas apibrėžiamas kaip jos trikampių komponentų sričių suma.

Kvadratinis pologram. \\ T

Pavadinimas:

• S - norima sritis,
• a, B - šalių ilgis,
• h - šios lygiagrogramos aukščio ilgis,
• d1, D2 - dviejų įstrižainių ilgis,
• α - kampas, esantis tarp šalių
• γ yra kampas tarp įstrijų.

1. Jei A, H yra žinoma, tada norima sritis yra pasiryžusi padauginti šoninio ir aukščio ilgio, nuleistos iki šios pusės: s \u003d a · h
2. Jei yra žinoma, kad A, B, α, tada lygiagrečios zona nustatoma padauginus lygiagretės ilgį ir kampo vertes tarp šių pusių: s \u003d a · b · nuodėmės α
3. Jei yra žinoma D1, D 2, γ, lygiagreiogramos plotas yra apibrėžiamas kaip pusę įstrižainių ilgio ir kampo kampo tarp šių įstrižainių kampo produkto: S \u003d (D 1 · D 2 · Sinγ) / 2.

Romba aikštė

Pavadinimas:

• S - norima sritis,
• a - pusė ilgio,
• h - aukščio ilgis,
• α yra mažesnis kampas tarp dviejų pusių,
• d1, D2 - dviejų įstrižainių ilgis.

1. Jei A, H yra žinoma, tada rombo plotas yra nustatomas pagal šoninio ilgio dauginant aukščio ilgį, kuris yra praleistas šioje pusėje: s \u003d a · h
2. Jei yra žinoma, α, tada rombo plotas yra pasiryžęs padauginti kampo pusės pusės pusėje tarp šalių: s \u003d a 2 · nuodėmės α
3. Jei yra žinoma D1 ir D 2, norima sritis apibrėžiama kaip pusė rombo įstrižų ilgio produkto: s \u003d (D 1 · D 2) / 2

Kvadratinė trapecija

Pavadinimas:

1. Jei A, B, C, D yra žinoma, tada norimą plotą nustatoma pagal formulę: S \u003d (A + B) / 2 * √.
2. Su žinoma A, B, H, norima sritis yra apibrėžiama kaip pusę bazės ir aukščio trapecijos: s \u003d (a + b) / 2 · h

Išgaubto keturkampio plotas

Pavadinimas:

1. Jei yra žinoma D1, D 2, α, išgaubto keturkampio plotas apibrėžiamas kaip pusė keturkampio įstrižainių, padaugintų iš sinešto dydžio kampe tarp šių įstrižainių: s \u003d (D 1 · · D 2 · Sin α) / 2
2. Su žinomu P, R, iš išgaubto keturkampio plotas apibrėžiamas kaip pusiau versijos keturkampio ant apskritimo spinduliu, užrašytas šiame keturkampyje: s \u003d p · r
3. Jei yra žinoma, jei yra žinoma, kad A, B, C, D, θ, išgaubto keturkampio plotas apibrėžiamas kaip kvadrato šaknis nuo pusės matavimo produktų ir kiekvienos pusės ilgio, atėmus Visų pusių ir kosino kvadrato pusę dviejų priešingų kampų sumos: S2 \u003d (P - A) (P - C) (P-d) (P - d) - ABCD · cos 2 ((α) + β) / 2)

Apskritimo plotas

Pavadinimas:

Jei yra žinoma, norima sritis apibrėžiama kaip skaičiaus π ant kvadrato spindulio: s \u003d π r 2

Jei yra žinoma, tada apskritimo plotas yra apibrėžiamas kaip skaičius π vienam kvadrato skersmeniui, suskirstytam į keturis: s \u003d (π · d 2) / 4

Kvadratinis kompleksas

Sudėtinga gali būti suskirstyta į paprastas geometrines figūras. Kompleksinio skaičiaus plotas apibrėžiamas kaip ploto sudedamųjų dalių suma arba skirtumas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, žiedas.

Paskyrimas:

• S - žiedo aikštė,
• R, R - radii iš išorinio apskritimo ir vidaus, atitinkamai,
• D, D - išorinis rato ir vidinio, atitinkamai skersmenis.

Norint rasti žiedo sritį, būtina imtis ploto nuo didesnio apskritimo ploto mažesnis apskritimas. S \u003d S1-S2 \u003d πr 2 -πR 2 \u003d π (R2 -R2).

Taigi, jei r ir r yra žinomi, tada žiedo plotas apibrėžiamas kaip iš išorinių ir vidinių apskritimų spindulių kvadratų skirtumas, padaugintas iš numerio PI: s \u003d π (R2 -R2).

Jei yra žinoma D ir D, tada žiedo sritis yra apibrėžiama kaip ketvirtadalis iš išorinių ir vidinių apskritimų skersmenų kvadratų skirtumo, padauginto iš numerio PI: s \u003d (1/4) (D 2 - D 2) π.

Kvadratinių dažytų figūrų

Tarkime, kad vienoje aikštėje (A) yra dar vienas (b) (mažesnis), ir mes turime rasti dažytą ertmę tarp "A" ir "B". Tiesiog pasakykime, kad "rėmas" mažos aikštės. Už tai:

1. Mes randame figūros plotą (apskaičiuotas pagal kvadrato vietos formulę).
2. Panašiai mes randame figūros "B" sritį.
3. Mes atimame iš "A" aikštėje "B". Ir todėl mes gauname dažyto figūros sritį.

Dabar žinote, kaip rasti skirtingų skaičių sričių.

Norėdami išspręsti geometrijos užduotis, turite žinoti formules - pvz., Trikampio zoną arba lygiagramą plotą, taip pat paprastus metodus, kuriuos pasakysime.

Norėdami pradėti, mes išmoksime figūrų kvadratų formulę. Mes specialiai surinkome juos patogioje lentelėje. Spausdinti, mokytis ir taikyti!

Žinoma, ne visos geometrijos formulės yra mūsų lentelėje. Pavyzdžiui, kiti trikampio kvadratiniai formulės taip pat naudojami problemoms spręsti pagal geometriją ir stereometriją antroje profilio egzamino dalyje matematikoje. Mes neabejotinai pasakysime apie juos.

Ir ką daryti, jei reikia rasti trapecijos ar trikampio vietą, bet tam tikrą sudėtingą formą? Yra visuotiniai būdai! Parodykime juos pavyzdžiais iš banko užduočių banko.

1. Kaip rasti nestandartinių figūrų sritį? Pavyzdžiui, savavališkas Quadriller? Paprastas priėmimas - mes nutraukiame šį skaičių tiems, kurie visi žinome ir surastume savo teritoriją - kaip šių veikėjų sričių sumą.

Šį kvadrilateer padalijame horizontalią liniją dviem trikampiais su bendru pagrindu. Šių trikampių aukščiai yra lygūs ir. Tada Quadrilio plotas yra lygus dviejų trikampių sričių sumai :. \\ T

Atsakymas:.

2. Kai kuriais atvejais skaičiaus figūra gali būti atstovaujama kaip skirtumas tarp bet kokios vietos.

Ne taip lengva apskaičiuoti, kas yra pagrindas ir aukštis šiame trikampyje yra lygūs! Bet mes galime pasakyti, kad jo plotas yra lygus skirtumai kvadratinių kvadratų su šone ir trijų stačiakampių trikampių. Pažiūrėkite juos į paveikslėlį? Mes gauname :.

Atsakymas:.

3. Kartais užduotyje būtina rasti plotą, o ne visą figūrą, bet jos dalis. Paprastai tai yra čia apie sektoriaus plotą - dalis apskritimo. Įtraukite spindulio rato sektoriaus plotą, kurio lanko ilgis yra lygus .

Šiame paveikslėlyje matome dalį apskritimo. Viso apskritimo plotas yra lygus nuo to laiko. Lieka žinoti, kuri apskritimo dalis pavaizduota. Kadangi viso apskritimo ilgis yra lygus (kaip), o šio sektoriaus lanko ilgis yra lygus Todėl lanko ilgis yra per kartų mažiau nei viso perimetro ilgio. Kampas, ant kurio remiasi šis lankas, taip pat yra mažesnis už visą ratą (tai yra, laipsniai). Taigi, sektoriaus teritorija bus mažesnė už viso apskritimo plotą.

Yra begalinis skaičius plokščias skaičius skirtingos formos, tiek teisinga ir neteisinga. Bendra visų formų nuosavybė - bet kuri iš jų turi sritį. Skaičių kvadratas yra šių skaitmenų užimamų plokštumos dalis, išreikšta tam tikruose vienetuose. Ši suma visada išreiškiama teigiamu numeriu. Priemonės vienetas yra kvadrato kvadratas, kurio pusė yra lygi ilgio vienetui (pavyzdžiui, vienas metras arba vienas centimetras). Apytikslė bet kurio skaičiaus ploto vertė gali būti apskaičiuojama dauginant vienkartinių kvadratų, kuriems jis yra nutrauktas į vieno kvadrato plotą.

Kitos šios koncepcijos apibrėžimai atrodo taip:

1. Svarbių skaičiavimų kvadratas - Scalar teigiamos vertės, atitinkančios sąlygas:

Vienodais skaičiais - lygiomis erdvės vertėmis;

Jei šis skaičius yra padalintas į dalis (paprastus skaičius), tada jo plotas yra duomenų sričių suma;

Kvadratas su matavimo vieneto puse tarnauja kaip teritorijos vienetas.

2. Kompleksinės formos (daugiakampių) figūros kvadratas - teigiamos vertybės, turinčios savybių:

Vienodais poligonais - tomis pačiomis teritorijos vertybėmis;

Jei daugiakampis yra keletas kitų poligonų, jos plotas yra lygus pastarųjų sričių sumai. Ši taisyklė galioja ne recipientų daugiakampiams.

Patvirtinta aksioma, kad skaičiai (daugiakampiai) yra teigiamos vertės.

Apskritimo ploto nustatymas skiriamas atskirai, nes vertės, į kurias plotas įdėtas į šio rato perimetrą - nepaisant to, kad jos šalių skaičius siekia begalybės.

Neteisingo formos (savavališkų figūrų) plotas neturi apibrėžimų, nustatomi tik jų skaičiavimo metodai.

Antikvariumo kvadrato apskaičiavimas buvo svarbi praktinė užduotis nustatant žemės sklypų dydį. Keletą šimtų metų apskaičiavimo vietų apskaičiavimo taisyklės buvo suformuluotos Graikijos mokslininkai ir yra išdėstyti "Euklidėjos kaip teoremų" pradžioje. Įdomu tai, kad įprastinių figūrų sričių nustatymo taisyklės yra tokios pačios, kaip šiuo metu. Plotas su kreivės grandine buvo apskaičiuotas naudojant ribinį perėjimą.

Paprasto stačiakampio plotų skaičiavimas, kvadratas), susipažinęs su kiekvienu su mokyklos stende, yra gana paprasta. Nereikia netgi įsiminti, kuriuose yra abėcėlės pavadinimai, kurių formulės formulės formulės. Pakanka prisiminti keletą paprastų taisyklių:

2. stačiakampio plotas apskaičiuojamas dauginant jo ilgį iki pločio. Būtina, kad ilgis ir plotis būtų išreikštas tose pačiose matavimo vienetuose.

3. Sudėtingo skaičiaus plotas apskaičiuojamas dalijant jį į keletą paprastų ir sulankstomų plotų.

4. Stačiakampio įstrižainė jį skiria į dvi trikampius, kurių sritys yra lygios ir lygios pusei jos teritorijos.

5. Trikampio plotas apskaičiuojamas kaip pusė jo aukščio ir bazės produkto.

6. Apskritimo plotas yra lygus spindulio aikštės produktui gerai žinomam skaičiui "π".

7. Parallelogramos plotas apskaičiuojamas kaip susijusių pusių produktas ir tarp jų esančio kampo sinusas.

8. Romų plotas - ½ rezultatas įstrižainių dauginimas vidiniame kampe Sinus.

9. Trapezijos plotas randame savo aukščio dauginimą ant vidurinės linijos ilgio, kuris yra lygus vidutiniam aritmetiniam pagrindui. Kita galimybė nustatyti trapecijos plotą yra padauginti savo įstrižainę ir siną po kampu tarp jų.

Vaikai pradinėje mokykloje dažnai skiriamos užduotys: Raskite plotą ant popieriaus formų su paletėmis arba skaidraus popieriaus lapo, atskirtų ląstelių. Toks popieriaus lapas yra antmatuotas iš matuojamo figūros, laikoma pilnų ląstelių skaičius (teritorijos vienetai), kurie pasirašė jo kontūro, tada neišsami, kuris yra padalintas iš pusės.

Žinios apie tai, kaip matuoti žemę, pasirodė senovėje ir palaipsniui ėmėsi geometrijos į mokslą. Iš graikų kalbos šis žodis yra išverstas ir išverstas - "amerlemeri".

Plokščio ilgio ir pločio ilgio ilgis yra plotas. Matematikoje jis paprastai žymi Lotynų raidė S (iš anglų kalbos. Square - "aikštė", "kvadratinė") arba graikų raidė σ (Sigma). S Nurodo paveikslo plotą plokštumoje arba kūno paviršiaus plote, ir σ yra fizikos vielos skerspjūvio plotas. Tai yra pagrindiniai simboliai, nors gali būti, pavyzdžiui, medžiagų atsparumo srityje ir yra profilio skerspjūvio plotas.

Susisiekite su

Skaičiavimo formulės. \\ T

Žinant paprastų skaičių sritis, galite rasti daugiau komplekso parametrus. Antician matematikai buvo išvestos formulės, kurioms juos galite lengvai juos apskaičiuoti. Tokie skaičiai yra trikampis, kvadratinis, daugiakampis, apskritimas.

Norėdami rasti sudėtingos plokščio figūros sritį, jis yra padalintas į daugybę paprastų figūrų, tokių kaip trikampiai, trapecijos arba stačiakampiai. Tada su matematiniais metodais gaunama šio skaičiaus srities formulė. Panašus metodas naudojamas ne tik geometrijoje, bet ir matematinėje analizėje, kad būtų galima apskaičiuoti skaičiaus sritis.

Trikampis

Pradėkime su paprasčiausiu skaičiumi - trikampiu. Jie yra stačiakampiai ir lygiaverčiai. Paimkite bet kokį ABC trikampį su AB \u003d A, BC \u003d B ir AC \u003d C (Δ ABC). Norėdami rasti savo teritoriją, prisiminkite garsų sinusą ir kosiną teoremą nuo matematikos mokyklos. Leisti palikti visus skaičiavimus, ateiti į šias formules:

• S \u003d √ - žinomas visiems Geron formulei, kur P \u003d (A + B + C) / 2 yra pusė laiko trikampio;
• S \u003d a h / 2, kur h yra aukštis, nuleistas į A šoną;
• S \u003d a b (nuodėmė γ) / 2, kur γ yra A ir B šalių kampas;
• S \u003d a b / 2 Jei Δ ABC yra stačiakampis (čia ir b - katets);
• S \u003d b² (nuodėmė (2 β)) / 2, jei Δ ABC yra prieš (čia B yra viena iš "klubo", β yra kampas tarp trikampio "klubų");
• S \u003d a² ¾¾ Jei Δ ABC yra lygiakentas (čia - trikampio pusėje).

Quirhugon.

Tegul yra keturių rudų ABCD, kuri turi ab \u003d a, bc \u003d b, cd \u003d c, ad \u003d d. Norėdami rasti savavališko 4 kvadrato plotą, būtina jį padalinti su dviejų trikampių įstrižais, kurių sritys S1 ir S2 paprastai nėra lygūs.

Tada, pagal formules, apskaičiuokite juos ir sulankstyti, t. Y. s \u003d s1 + s2. Tačiau, jei 4 kvadratas priklauso konkrečiam klasei, tada jo plotą galima rasti iš anksto žinomų formulių:

• S \u003d (A + C) H / 2 \u003d EH, jei 4 kvadratas yra trapezija (čia A ir C - bazė, E yra vidurinė trapecijos linija, h yra aukštis, nuleistas iki vienos iš pagrindų trapecija;
• S \u003d AH \u003d AB SIN φ \u003d D1 D2 (Sin φ) / 2, jei ABCD lyglirogramos (čia yra kampas tarp pusių A ir B, H - aukštis, nuleistas į A, D1 ir D2 pusę - įstrižai) ;
• S \u003d a b \u003d d² / 2, jei abcd yra stačiakampis (D - įstrižainė);
• S \u003d a² nuodėmės φ \u003d p² (sin φ) / 16 \u003d D1 D2 / 2, jei ABCD yra rombas (A - rombo pusė, φ yra vienas iš jo kampų, P yra perimetras);
• S \u003d a² \u003d p² / 16 \u003d d² / 2, jei ABCD yra kvadratas.

Poligonas

Norėdami rasti N-kvadrato sritį, matematika pertrauka jį paprasčiausiais lygiais skaičiais - finalais, suraskite kiekvieno iš jų plotą ir tada sulenkite. Bet jei poligonas priklauso teisingo klasei, tada formulė yra naudojama:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d p² /, kur n yra daugiakampio viršūnių (ar šonų) skaičius, yra N-kvadrato pusė, p yra jos perimetras, h - apophem, ty segmentas Atlikta iš daugiakampio centro iki vienos iš jo pusių 90 ° kampu.

Apskritimas

Apskritimas yra puikus daugiakampis, turintis begalinį šonų skaičių. Turime apskaičiuoti ekspresijos ribą dešinėje esančioje poligono ploto formulėje su N dalies skaičiumi, siekdami į begalybę. Tokiu atveju daugiakampio perimetras taps spindulio R apskritimo ilgiu, kuris bus mūsų apskritimo riba ir taps lygi P \u003d 2 π R. Mes pakeisime šią išraišką į formulę nurodyta pirmiau. Mes gausime:

S \u003d (π² r² cos (180 ° / n)) / (n nuodėmė (180 ° / n)).

Raskite šios išraiškos ribą n → ∞. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite, kad LIM (COS (180 ° / n)) N → ° C yra COS 0 ° \u003d 1 (LIM - Ribinis ženklas) ir LIM \u003d LIM ne → ∞ yra 1 / π (mes perdavėme a Laipsnis Priemonė į radikį naudojant santykį π yra malonu \u003d 180 °, o pirmasis puikus ribinė riba (sin x) / x \u003d 1 ne x → ∞). Pakeičiant paskutinę išraišką gautų vertes, ateina į gerai žinomą formulę:

S \u003d π² r² 1 (1 / π) \u003d π r².

Vienetai. \\ T

Naudojamos sistemos ir ne sistemos vienetai. Sistemos vienetai nurodo C ("System International"). Tai yra kvadratinis metras (kv. M²) ir vienetai, gaunami iš jo: mm², cm², km².

Pavyzdžiui, kvadratiniuose milimetruose (mm²) matuojamas elektros inžinerijos laidų skerspjūvio plotas, kvadratinių centimetrų (cm²) - statybinės mechanikos sijų sekcija kvadratiniais metrais (m²) - apartamentuose arba ne Namai, kvadratiniai kilometrai (km²) - teritorija geografija.

Tačiau kartais naudojami kai kurie matavimo vienetai, pavyzdžiui: audimas, AR (A), ha (ha) ir akras (AC). Mes pateikiame šiuos santykius:

• 1 audimas \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 ha \u003d 100 A \u003d 100 akrų \u003d 10 000 m² \u003d 0,01 km² \u003d 2.471 garsiakalbiai;
• 1 AC \u003d 4046,856 m² \u003d 40,47 A \u003d 40,47 ha \u003d 0,405 ha.

Tam tikras neatsiejamas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Eikite į neatsiejamų taikymo programų svarstymą. Šioje pamokoje analizuojame tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį. - kaip apskaičiuoti plokštumos formą su konkrečiu neatsiejama. Galiausiai, matydamas reikšmę aukštesnėje matematikoje - tai ras. Mažai. Turėsime atnešti šalies teritoriją gyvenime su elementarinėmis funkcijomis ir rasti savo teritoriją naudojant konkretų integralą.

Sėkmingam materialinei plėtrai būtina:

1) Suprasti neapibrėžtą integrumą bent vidutinį lygį. Taigi, arbaščiai turėtų būti susipažinę su pamoka Ne.

2) Gebėti taikyti Niutono Labninės formulę ir apskaičiuoti konkretų integralą. Nustatyti šiltus draugystes su tam tikrais integruotais puslapyje Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai..

Tiesą sakant, norint rasti figūros sritį, tokių žinių apie neaiškią ir apibrėžtą integralą. Užduotis "Apskaičiuokite sritį su konkrečiu integruotais" visada reiškia piešimo konstrukcijąTodėl daug svarbesnis klausimas bus jūsų žinios ir įgūdžiai statybos brėžiniai. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti pagrindinių elementarių funkcijų grafikos atmintį ir bent jau sugebėti statyti tiesią, parabolą ir hiperbolą. Tai gali būti padaryta (reikalinga), naudojant metodinę medžiagą ir gaminius apie geometrinių diagramos transformacijas.

Tiesą sakant, su užduotimi rasti sritį su konkrečiu neatsiejama, visi yra susipažinę iš mokyklos, ir mes valgysime mažai į priekį nuo mokyklos programos. Šis straipsnis negali būti netgi, tačiau faktas yra tas, kad užduotis yra 99 atvejų iš 100, kai studentas kenčia nuo neapykantos bokšto su entuziazmu, nukrypusi nuo aukštesnės matematikos eigos.

Šio seminaro medžiagos pateikiamos tiesiog išsamiai ir su minimalia teorija.

Pradėkime nuo kreivinės trapios.

Curvilinear Trapezija Plokščias skaičius vadinamas ribota ašimi, tiesia ir nuolatiniu funkcijos segmente, kuris nekeičia ženklo šiuo intervalu. Leiskite šiam skaičiui ne mažiau Abscisos ašis:

Tada krovinio trapecijos plotas yra skaitmeniniu požiūriu lygus konkrečiam integrumui. Bet koks konkretus neatsiejamas (kuris egzistuoja) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai. Sakiau, kad tam tikras neatsiejamas skaičius yra numeris. Ir dabar atėjo laikas nurodyti kitą naudingą faktą. Geometrijos požiūriu tam tikras neatsiejamas yra sritis.

T.y, konkretus neatsiejamas (jei jis egzistuoja) geometriškai atitinka kai kurių paveikslų plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite konkretų neatsiejamą. "Integrand" funkcija nustato kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (kuri nori piešimo), o pats specifinis neatsiejamas yra skaitmeninis lygus atitinkamo kreivinės trapios ploto.

1 pavyzdys.

Tai yra tipiška užduoties kompozicija. Pirmasis ir svarbiausias sprendimo taškas - brėžinio kūrimas. Ir brėžinys turi būti pastatytas Teisė.

Pastatant brėžinį, aš rekomenduoju šią eilutę: pirmas Geriau statyti visus tiesius (jei jie yra) ir tik vėliau - Parabolas, hiperbolai, kitų funkcijų tvarkaraščiai. Funkcijų grafikai yra pelningesni statyti potashochoe.Su registruočio konstrukcijos technika galima rasti etaloninėje medžiagoje. Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybės. Čia taip pat galite rasti labai naudingą medžiagą, susijusią su mūsų pamoka medžiaga - kaip greitai sukurti parabolą.

Šioje užduotyje šis sprendimas gali atrodyti.
Atlikite brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis nustato ašį):

Aš nežudysiu kreivilinijos trapecijos, tai yra akivaizdu čia apie tai, kuri teritorija yra kalba. Sprendimas tebėra toks:

Segmento grafiko funkcija yra virš ašies, taip:

Atsakymas:

Kas turi sunkumų skaičiuojant tam tikrą neatskiriamą ir Niuton-Leibnia formulės naudojimą , kreipkitės į paskaitą Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai..

Užbaigus užduotį, visada naudinga pažvelgti į brėžinį ir įvertinimą, tai yra tikras. Šiuo atveju "ant akių" skaičiuojame ląstelių skaičių brėžinyje - gerai, maždaug 9 bus skrendama, atrodo tiesa. Labai aišku, kad jei mes turėjome, tarkim, atsakykite: 20 kvadratinių vienetų, akivaizdu, kad kažkur padaryta klaida - 20 ląstelių paveiksle, jis yra aiškiai neįrengtas nuo tuzino stiprumo. Jei atsakymas pasirodė neigiamas, užduotis taip pat nuspręsta neteisingai.

2 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas ir ašį

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra "Curvilinear Trapezis" po ašimi?

3 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas ir koordinatės ašis sritį.

Sprendimas Šis sprendimas: Atlikite brėžinį:

Jei yra "Curvilinear Trapezis" po ašimi (arba bent jau ne didesnis Ši ašis), tada jo plotą galima rasti pagal formulę:
Tokiu atveju:

DĖMESIO! Nesupainiokite dviejų užduočių tipų:

1) Jei kviečiami išspręsti paprastą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tai gali būti neigiama.

2) Jei kviečiami surasti figūros figūrą naudojant konkretų integruotą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl tik laikoma formulė pasirodo minus.

Praktiškai šis skaičius dažniausiai yra viršutinėje ir apatinėje pusėje, todėl nuo paprasčiausių mokyklų diagramų eina į prasmingesnius pavyzdžius.

4 pavyzdys.

Raskite plokščios figūros sritį, ribotas linijas.

Sprendimas Šis sprendimas: Pirmiausia jums reikia atkreipti piešinį. Apskritai kalbant, kuriant užduotis užduotis, mes esame labiausiai domisi linijų sankirtos taškais. Rasti Parabolos ir tiesioginės sankirtos taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Mes išsprendžiame lygtį:

Taigi, mažesnė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.
Tokiu būdu yra geresnis, jei įmanoma, nenaudokite.

Tai yra daug pelningesnis ir greičiau statyti linijos linijas, o integracijos ribos yra paaiškintos kaip "patys". Įvairių grafikų nutraukimo technika yra išsamiai vertinama pagalba Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybės . Tačiau analitinis būdas rasti ribas galų gale, kartais būtina taikyti, jei, pavyzdžiui, grafikas yra pakankamai didelis, arba apmokytas konstrukcija neatskleidė integracijos ribų (jie gali būti daliniai ar neracionalūs). Ir toks pavyzdys, mes taip pat apsvarstyti.

Grįžtame prie mūsų užduoties: racionalesnis pirmasis statyti tiesią liniją ir tik tada parabolą. Atlikite brėžinį:

Kartoju, kad dabartinėje konstrukcijoje integracijos ribos dažniausiai pasitaiko "automatiniu".

Ir dabar darbo formulė: Jei ant segmento yra nuolatinė funkcija daugiau arba lygus Kai kurios nuolatinės funkcijos, figūros plotas, ribotas šių funkcijų grafikai ir tiesiogiai, galima rasti pagal formulę:

Čia nebereikia manyti, kur yra figūra - per ašį arba po ašimi, ir, apytiksliai kalbant, sVARBU Kas yra aukščiau pateiktas grafikas(palyginti su kitu tvarkaraščiu) ir kas - žemiau.

Šiame pavyzdyje akivaizdu, kad dėl parabolos segmente yra virš tiesaus, todėl būtina atimti

Tirpalo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimas skaičius apsiriboja parabola iš viršaus ir tiesioginio dugno.
Pagal segmentą pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos ploto apatinėje pusėje plokštumoje (žr. Paprastą pavyzdį Nr. 3) - ypatingą formulės atvejį . Kadangi ašis yra apibrėžta pagal lygtį, o funkcijos grafikas yra ne didesnis Ašis, T.

Ir dabar yra keletas pavyzdžių už nepriklausomą sprendimą

5 pavyzdys.

6 pavyzdys.

Rasti figūros ribotas linijas ,.

Siekiant išspręsti užduotis apskaičiuojant teritoriją su konkrečiu neatsiejama, kartais yra juokingas atvejis. Brėžinys baigtas teisingai, skaičiavimai - dešinėje, bet intensyvinti ... nustatyta, kad ši sritis nėra figūraTai yra tai, kaip jūsų nuolankus tarnas buvo supakuotas. Čia yra tikras gyvenimas:

7 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas ,,,,.

Sprendimas Šis sprendimas: Pirmiausia padarykite brėžinį:

... O, Khrenovynskio brėžinys išėjo, bet viskas atrodo pakilusi.

Figūra, kurios teritorija mums reikia rasti mėlyna spalva (Pažvelkite į būklę - nei figūra yra ribota!). Tačiau praktikoje "glitch" dažnai kyla dėmesio, kurį reikia rasti figūros plotą, kuris yra tamsesnis su žalia!

Šis pavyzdys vis dar naudingas ir tai, kad jame figūros plotas yra laikomas naudojant du konkrečius integralus. Tikrai:

1) tiesus tvarkaraštis yra ant ašies segmente;

2) ant ašies segmento yra hiperbolių grafikas.

Akivaizdu, kad kvadratas gali (ir reikia) suskaidyti, taigi:

Atsakymas:

Eikite į kitą esminę užduotį.

8 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas,
Įsivaizduokite lygtį "Mokyklos" formoje ir atlikite dabartinį brėžinį:

Iš piešinio aišku, kad viršutinė riba mes turime "gerą" :.
Bet kas yra apatinė riba?! Akivaizdu, kad tai nėra sveikas skaičius, bet kas? Gal būt ? Bet kur yra garantija, kad brėžinys yra pagamintas su tobulu tikslumu, tai gali būti taip. Arba šaknis. Ir jei mes paprastai netinkamai pastatytume tvarkaraštį?

Tokiais atvejais turite praleisti papildomą laiką ir nurodykite analizės ribas analitiškai.

Raskite tiesioginio ir parabolos sankirtos taškus.
Norėdami tai padaryti, išspręskite lygtį:


,

Iš tikrųjų.

Tolesnis sprendimas yra trivialus, pagrindinis dalykas nėra supainioti pakeitimais ir požymiais, skaičiavimai čia nėra paprasčiausias.

Dėl supjaustymo Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, ir pamokos išvadoje apsvarstykite dvi užduotis sunkiau.

9 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas ,,

Sprendimas Šis sprendimas: Parodykite šią formą brėžinyje.

Damn, pamiršote pasirašyti tvarkaraštį, bet pakartoti paveikslėlį, atsiprašau, ne karšto. Ne paveldima, trumpesnė, diena šiandien \u003d)

Dėl dabartinės konstrukcijos turite žinoti sinusoidų išvaizdą (ir paprastai yra naudinga žinoti visų elementarių funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusų reikšmes, jie gali būti rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiame), leidžiama statyti scheminį piešinį, kuriuo diagramos ir integracijos ribos turi būti atspindėtos iš esmės.

Su integracijos ribomis čia nėra jokių problemų, jie tiesiogiai seka nuo būklės: - "x" skiriasi nuo nulio iki "Pi". Mes parengiame tolesnį sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, taip: