どのような場合に結果が生じますか? 確率理論: 公式と問題解決の例。 古典的な確率スキーム

事象の可能性の程度に応じて事象を定量的に比較するには、当然のことながら、各事象に一定の数値を対応付ける必要があり、大きいほどその事象の可能性が高くなります。 この数値を事象の確率と呼びます。 したがって、 出来事の確率は、この出来事の客観的な可能性の程度を数値的に表したものです。

確率の最初の定義は、ギャンブルの分析から生じ、当初は直感的に適用された古典的な定義であると考えられるべきです。

確率を決定する古典的な方法は、同様に可能性のある事象と互換性のない事象の概念に基づいており、これらの事象は特定の経験の結果であり、互換性のない事象の完全なグループを形成します。

完全なグループを形成する等しく可能性と互換性のない出来事の最も単純な例は、色だけが異なり、同じサイズ、重さ、その他の具体的な特徴を持ついくつかのボールが入った壺から、取り出す前に完全に混合された、1 つまたは別のボールが出現することです。

したがって、結果が矛盾し、同様に起こり得る事象の完全なグループを形成するテストは、壺のパターンまたは症例のパターンに還元可能である、または古典的なパターンに適合すると言われます。

完全なグループを構成する、同様に起こり得る、または両立しないイベントは、単にケースまたはチャンスと呼ばれます。 さらに、それぞれの実験では、ケースに応じて、より複雑なイベントが発生する可能性があります。

例: サイコロを振る場合、A i - 上側の i 点が失われる場合に加えて、B - 偶数の点が失われる、C - 偶数の点が失われる、などのイベントを考慮できます。 3 の倍数のポイント...

実験中に起こり得るそれぞれの事象に関して、ケースを分けて説明します。 好ましいこのイベントが発生する場合は不利、イベントが発生しない場合は不利です。 前の例では、イベント B はケース A 2、A 4、A 6 によって優先されます。 イベント C - ケース A 3、A 6。

古典的な確率特定のイベントの発生は、そのイベントの発生に有利なケースの数と、与えられた実験における完全なグループを構成する、同等に起こり得る互換性のないケースの総数との比と呼ばれます。

どこ P(A)- イベント A の発生確率; メートル- イベント A に有利なケースの数。 n- ケースの合計数。

例:

1) (上記の例を参照) P(B)= , P(C) =.

2) 壺の中には赤のボールが 9 個、青のボールが 6 個入っています。 ランダムに引かれた 1 つまたは 2 つのボールが赤になる確率を求めます。

あ- ランダムに描かれた赤いボール:

メートル= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- ランダムに描かれた 2 つの赤いボール:

次の特性は、確率の古典的な定義から導き出されます (自分自身を示してください)。

1) 不可能な出来事の確率は 0 です。

2) 信頼できるイベントの確率は 1 です。

3) あらゆる事象の確率は 0 と 1 の間にあります。

4) 事象 A と反対の事象が起こる確率、

確率の古典的な定義では、試行の結果の数が有限であると想定されています。 実際には、考えられるケースの数が無限にあるテストが頻繁に行われます。 さらに、古典的な定義の弱点は、テストの結果を一連の基本イベントの形式で表現することが非常に多くの場合不可能であることです。 テストの基本的な結果が同等に可能であると考える理由を示すことはさらに困難です。 通常、基本的なテスト結果の均等可能性は、対称性を考慮して結論付けられます。 ただし、実際にはそのようなタスクは非常にまれです。 これらの理由から、確率の古典的な定義に加えて、確率の他の定義も使用されます。

統計的確率イベント A は、実行されたテストにおけるこのイベントの相対的な発生頻度です。

ここで、 はイベント A の発生確率です。

イベント A の相対的な発生頻度。

イベント A が出現した試行回数。

試行の合計数。

古典的な確率とは異なり、統計的確率は実験的な特性です。

例: バッチから製品の品質を管理するために、100 個の製品がランダムに選択され、そのうち 3 個の製品に欠陥があることが判明しました。 結婚の確率を判定します。

確率を決定する統計的方法は、次の特性を持つイベントにのみ適用できます。

検討中のイベントは、同じ一連の条件下で無制限に再現できるテストの結果のみである必要があります。

イベントには統計的な安定性 (または相対頻度の安定性) がなければなりません。 これは、異なる一連のテストにおいて、イベントの相対頻度はほとんど変化しないことを意味します。

イベント A を引き起こす試行回数はかなり多くなるはずです。

古典的な定義から生じる確率の特性が確率の統計的定義にも保存されていることを検証するのは簡単です。

確率は確率論の基本概念の 1 つです。 この概念にはいくつかの定義があります。 古典的と呼ばれる定義を与えてみましょう。

確率イベントは、特定のイベントに有利な基本的な結果の数と、このイベントが出現する可能性のある経験の同様に可能なすべての結果の数との比率です。

イベント A の確率は次のように表されます。 P(A)（ここ R– フランス語の単語の最初の文字 確率的- 確率)。

定義によると

ここで、 はイベントの発生に有利な基本テスト結果の数です。

考えられる基本的なテスト結果の合計数。

この確率の定義は次のように呼ばれます。 クラシック。 それは確率論の発展の初期段階で生まれました。

この数値は、イベントの相対発生頻度と呼ばれることがよくあります。 あ経験上。

イベントの確率が高ければ高いほど、その発生頻度は高くなります。逆に、イベントの確率が低いほど、発生頻度は低くなります。 イベントの確率が 1 に近いか等しい場合、そのイベントはほぼすべての試行で発生します。 このようなイベントと言われているのは、 ほぼ確実なつまり、その発生を確実に期待できるということです。

逆に、確率がゼロまたは非常に小さい場合、イベントは非常にまれに発生します。 そのような出来事があると言われています ほぼ不可能である.

確率はパーセンテージで表される場合もあります。 P(A) 100%イベントの発生数の平均パーセンテージです。 あ.

例2.13。電話番号をダイヤル中に、加入者が 1 桁を忘れて、ランダムにダイヤルしました。 正しい番号がダイヤルされる確率を求めます。

解決。

で表しましょう あイベント - 「必要な番号がダイヤルされました。」

加入者は 10 桁のいずれかをダイヤルできるため、考えられる基本結果の総数は 10 になります。これらの結果には互換性がなく、同様に可能であり、完全なグループを形成します。 イベントに好意的 あ結果は 1 つだけです (必要な数値は 1 つだけです)。

必要な確率は、すべての基本的な結果の数に対するイベントにとって有利な結果の数の比率に等しくなります。

古典的な確率公式は、確率を計算するための非常にシンプルで実験不要の方法を提供します。 ただし、この式の単純さは非常に欺瞞的です。 実際、これを使用すると、通常、次の 2 つの非常に難しい質問が生じます。

1. 実験結果が同等に可能になるように実験結果のシステムを選択するにはどうすればよいですか?また、それを行うことはそもそも可能ですか?

2. 数字の見つけ方 メートルそして n?

複数のオブジェクトが実験に関与する場合、同様に起こり得る結果を確認するのは必ずしも容易ではありません。

フランスの偉大な哲学者であり数学者であるダランベールは、有名な間違いで確率論の歴史に名を連ねました。その間違いの本質は、たった 2 枚のコインを使った実験で結果の均等性を誤って判断したということでした。

例2.14。 ( ダランベールの間違い). 同じコインを 2 枚投げます。 それらが同じ側に落ちる確率はどれくらいですか?

ダランベールの解決策。

この実験では、同様に考えられる 3 つの結果が考えられます。

1. 両方のコインが表に着地します。

2. 両方のコインが裏に着地します。

3. コインの 1 つは表になり、もう 1 つは裏になります。

正しい解決策。

この実験では、同様に考えられる 4 つの結果が考えられます。

1. 最初のコインは表で落ち、2 番目のコインも表で落ちます。

2. 最初のコインは裏で着地し、2 番目のコインも裏で着地します。

3. 最初のコインは表で落ち、2 番目のコインは裏で落ちます。

4. 最初のコインは裏になり、2 番目のコインは表になります。

これらのうち、2 つの結果がイベントにとって有利となるため、必要な確率は に等しくなります。

ダランベールは、確率を計算する際に犯しやすい間違いの 1 つを犯しました。それは、2 つの基本的な結果を 1 つに組み合わせたため、実験の残りの結果と確率が等しくなくなりました。

「偶然は偶然ではない」...哲学者の言葉のように聞こえますが、実際には、ランダム性を研究することは数学という偉大な科学の宿命です。 数学では、偶然は確率論によって扱われます。 この記事では、タスクの公式と例、およびこの科学の主な定義が示されます。

確率論とは何ですか?

確率理論は、ランダムな出来事を研究する数学分野の 1 つです。

もう少しわかりやすくするために、小さな例を挙げてみましょう。コインを投げると、表か裏になる可能性があります。 コインが空中にある間は、これらの両方の可能性が考えられます。 つまり、考えられる結果の確率は 1:1 です。 36 枚のカードから 1 枚を引く場合、確率は 1:36 と表示されます。 ここでは、特に数式の助けを借りて調査したり予測したりすることは何もないようです。 ただし、特定のアクションを何度も繰り返すと、特定のパターンを特定し、それに基づいて他の条件でのイベントの結果を予測することができます。

上記すべてを要約すると、古典的な意味での確率論は、数値における起こり得る事象の 1 つが発生する可能性を研究します。

歴史のページから

確率の理論、公式、最初の課題の例は、カード ゲームの結果を予測する試みが最初に始まった遠い中世に登場しました。

当初、確率論は数学とは何の関係もありませんでした。 それは、実際に再現できる経験的事実や出来事の特性によって正当化されました。 数学分野としてのこの分野の最初の研究は 17 世紀に登場しました。 創設者はブレーズ・パスカルとピエール・フェルマーです。 彼らは長い間ギャンブルを研究し、特定のパターンを発見し、それを一般に伝えることにしました。

同じ手法はクリスティアン・ホイヘンスによって発明されましたが、彼はパスカルとフェルマーの研究結果には詳しくありませんでした。 この分野の歴史の中で最初と考えられる「確率理論」の概念、公式、例は彼によって導入されました。

ジェイコブ ベルヌーイの著作、ラプラスの定理、ポアソンの定理も同様に重要です。 彼らは確率理論をより数学的な学問に近づけました。 確率理論、公式、基本的なタスクの例は、コルモゴロフの公理のおかげで現在の形になりました。 あらゆる変化の結果、確率論は数学の一分野になりました。

確率論の基本概念。 イベント

この学問のメインコンセプトは「イベント」です。 イベントには次の 3 種類があります。

• 信頼性のある。いずれにせよ起こることです（コインは落ちます）。
• 不可能。どのような状況でも起こらないイベント（コインは空中にぶら下がったままになります）。
• ランダム。起こることも起こらないことも。 これらは、予測が非常に難しいさまざまな要因の影響を受ける可能性があります。 コインについて言えば、コインの物理的特性、形状、元の位置、投げる力など、結果に影響を与える可能性のあるランダムな要因が存在します。

例内のすべてのイベントは、異なる役割を持つ P を除き、大文字のラテン文字で示されています。 例えば：

• A = 「学生が講義に来ました。」
• Â = 「学生は講義に来ませんでした。」

実際のタスクでは、出来事は通常、言葉で書き留められます。

イベントの最も重要な特徴の 1 つは、それらの可能性が等しいということです。 つまり、コインを投げると、落ちるまでは最初の落下のすべてのバリエーションが可能です。 しかし、出来事も同じように起こり得るわけではありません。 これは、誰かが意図的に結果に影響を与えた場合に起こります。 たとえば、重心が移動した「マークされた」トランプやサイコロなどです。

イベントには互換性がある場合と、互換性がない場合もあります。 互換性のあるイベントは、互いの発生を排除しません。 例えば：

• A = 「その学生は講義に来ました。」
• B = 「その学生は講義に来ました。」

これらのイベントは互いに独立しており、一方の発生は他方の発生に影響を与えません。 互換性のないイベントは、あるイベントの発生が別のイベントの発生を排除するという事実によって定義されます。 同じコインについて言えば、「裏」が失われると、同じ実験で「表」が現れることが不可能になります。

イベントに対するアクション

イベントは乗算したり加算したりできるため、この分野では論理接続詞「AND」と「OR」が導入されています。

この量は、イベント A または B、または 2 つが同時に発生する可能性があるという事実によって決まります。 それらに互換性がない場合、最後の選択肢は不可能であり、A または B のいずれかがロールされます。

事象の増殖は、A と B が同時に現れることで構成されます。

ここで、基本、確率理論、公式をよりよく覚えるために、いくつかの例を示します。 以下に問題解決の例を示します。

演習 1: その会社は 3 種類の仕事の契約を獲得するための競争に参加しています。 発生する可能性のあるイベント:

• A = 「会社は最初の契約を受け取ります。」
• A 1 = 「会社は最初の契約を受け取りません。」
• B = 「会社は 2 番目の契約を受け取ることになります。」
• B 1 = 「会社は 2 番目の契約を受け取らない」
• C = 「会社は 3 番目の契約を受け取ることになります。」
• C 1 = 「その会社は 3 番目の契約を受け取りません。」

イベントに対するアクションを使用して、次の状況を表現してみます。

• K = 「会社はすべての契約を受け取ります。」

数学的形式では、方程式は次の形式になります: K = ABC。

• M = 「会社は一件も契約を受け取らないでしょう。」

M = A 1 B 1 C 1.

タスクを複雑にしてみましょう: H = 「会社は 1 つの契約を受け取ります。」 会社がどの契約を受け取るか (1 回目、2 回目、または 3 回目) 不明であるため、起こり得るあらゆるイベントを記録する必要があります。

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C。

そして、1 BC 1 は、企業が最初と 3 番目の契約を受け取らず、2 番目の契約を受け取る一連のイベントです。 他の起こり得るイベントは、適切な方法を使用して記録されました。 この分野の記号 υ は接続詞「OR」を表します。 上記の例を人間の言語に翻訳すると、企業は 3 番目の契約、2 番目、または 1 番目の契約のいずれかを受け取ることになります。 同様の方法で、「確率理論」という分野の他の条件を書き留めることができます。 上記で紹介した問題解決の公式と例は、これを自分で行うのに役立ちます。

実は確率は

おそらく、この数学分野では、出来事の確率が中心的な概念です。 確率には 3 つの定義があります。

• クラシック;
• 統計的;
• 幾何学的な。

それぞれが確率の研究において役割を果たします。 確率理論、公式、例 (9 年生) では主に次のような古典的な定義が使用されます。

• 状況 A の確率は、その発生に有利な結果の数と、考えられるすべての結果の数の比に等しくなります。

式は次のようになります: P(A)=m/n。

A は実際にはイベントです。 A と逆の場合は Ā または A 1 と書くことができます。

m は考えられる有利なケースの数です。

n - 発生する可能性のあるすべてのイベント。

たとえば、A = 「ハートのスートのカードを引く」。 標準的なデッキには 36 枚のカードがあり、そのうち 9 枚はハートのカードです。 したがって、問題を解くための公式は次のようになります。

P(A)=9/36=0.25。

その結果、山札からハートのスートのカードが引ける確率は0.25となります。

より高度な数学を目指して

今では、確率論が何であるか、学校のカリキュラムで遭遇する公式と問題の解決例が何であるかは、ほとんど知られるようになりました。 ただし、確率論は大学で教えられる高等数学にも含まれています。 ほとんどの場合、それらは理論の幾何学的および統計的定義と複雑な式を使用して動作します。

確率論はとても興味深いですね。 確率の統計的 (または頻度) の定義を使用して、公式と例 (高等数学) を小規模に学習し始める方が良いでしょう。

統計的アプローチは古典的なアプローチと矛盾するものではありませんが、それをわずかに拡張したものです。 最初のケースで、イベントが発生する確率を決定する必要がある場合、この方法では、イベントが発生する頻度を示す必要があります。 ここでは、W n (A) で表すことができる「相対周波数」という新しい概念が導入されています。 この式は古典的なものと変わりません。

古典的な式が予測のために計算される場合、統計的な式は実験の結果に従って計算されます。 たとえば、小さなタスクを考えてみましょう。

技術管理部門が製品の品質をチェックします。 100 個の製品のうち、3 個が品質が悪いことが判明しました。 品質の高い製品の頻度確率を見つけるにはどうすればよいですか?

A = 「高品質の製品の外観」。

W n (A)=97/100=0.97

したがって、良品の頻度は 0.97 です。 97ってどこから手に入れたんですか？ 100 個の製品を検査したところ、3 個が品質が悪いことが判明しました。 100から3を引くと97が得られ、これが良品の量です。

組み合わせ論について少し

確率論の別の方法は組み合わせ論と呼ばれます。 その基本原理は、ある選択 A を m 通りの異なる方法で行うことができ、選択 B を n 通りの異なる方法で行うことができる場合、A と B の選択は乗算によって行うことができるということです。

たとえば、A 市から B 市に向かう道路が 5 本あります。 都市Bから都市Cまでは4つの道があります。 都市 A から都市 C まで行く方法は何通りありますか?

それは簡単です: 5x4=20、つまり、点 A から点 C までは 20 通りの方法で移動できます。

タスクを複雑にしてみましょう。 ソリティアでカードをレイアウトする方法は何通りありますか? デッキには 36 枚のカードがあり、これが出発点です。 方法の数を求めるには、開始点から一度に 1 枚のカードを「減算」して乗算する必要があります。

つまり、36x35x34x33x32...x2x1= 結果は電卓画面に収まらないため、単純に 36! と指定できます。 サイン "！" 数字の横にある は、一連の数字全体が掛け合わされていることを示します。

組み合わせ論には、順列、配置、組み合わせなどの概念があります。 それぞれに独自の公式があります。

セットの要素の順序付けされたセットは配置と呼ばれます。 配置は繰り返すことができます。つまり、1 つの要素を複数回使用できます。 繰り返しなし、要素が繰り返されない場合。 n はすべての要素、m は配置に参加する要素です。 繰り返しのない配置の式は次のようになります。

A n m =n!/(n-m)!

配置順序のみが異なる n 個の要素の接続を順列と呼びます。 数学では次のようになります: P n = n!

m の n 個の元素の組み合わせは、それらがどのような元素であり、その合計数が何であるかが重要である化合物です。 式は次のようになります。

A n m =n!/m!(n-m)!

ベルヌーイの公式

確率論にも、他の分野と同様に、その分野でそれを新たなレベルに引き上げた優れた研究者の業績があります。 これらの研究の 1 つはベルヌーイの公式で、これを使用すると、独立した条件下で特定のイベントが発生する確率を決定できます。 これは、実験における A の発生が、以前またはその後の試行での同じイベントの発生または非発生に依存しないことを示唆しています。

ベルヌーイの方程式:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m。

イベント (A) が発生する確率 (p) は、各試行で一定です。 状況が n 回の実験で正確に m 回発生する確率は、上に示した式によって計算されます。 したがって、数値qをどのように見つけるかという問題が生じます。

イベント A が p 回発生すると、イベント A が発生しない可能性があります。 単位は、専門分野における状況のすべての結果を指定するために使用される数値です。 したがって、q はイベントが発生しない可能性を示す数です。

これでベルヌーイの公式（確率論）が分かりました。 以下では、問題解決 (第 1 レベル) の例を検討します。

タスク 2:来店者は確率 0.2 で購入します。 6名の来場者がそれぞれ独立して入店しました。 訪問者が購入する可能性はどのくらいですか?

解決策: 何人の訪問者が購入する必要があるか (1 人または 6 人全員) 不明なため、ベルヌーイの公式を使用してすべての可能な確率を計算する必要があります。

A = 「訪問者は購入します。」

この場合: p = 0.2 (タスクで示されているとおり)。 したがって、q=1-0.2=0.8となります。

n = 6 (店内に 6 人の顧客がいるから)。 数値 m は、0 (1 人の顧客も購入しない) から 6 (ストアを訪れたすべての訪問者が何かを購入する) まで変化します。 その結果、次のような解決策が得られます。

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621。

確率 0.2621 では、購入者は誰も購入しません。

ベルヌーイの公式 (確率論) は他にどのように使用されますか? 問題解決の例 (第 2 レベル) を以下に示します。

上の例の後、C と r がどこに行ったのかという疑問が生じます。 p に関して、0 乗の数値は 1 に等しくなります。 C については、次の式で求められます。

C n m = n! /m!(n-m)!

最初の例ではそれぞれ m = 0 であるため、C = 1 ですが、原則として結果には影響しません。 新しい公式を使用して、2 人の訪問者が商品を購入する確率を調べてみましょう。

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246。

確率論はそれほど複雑ではありません。 上に例を示したベルヌーイの公式は、これを直接証明しています。

ポアソンの公式

ポアソン方程式は、確率の低いランダムな状況を計算するために使用されます。

基本的な式:

Ｐ ｎ （ｍ）＝λ ｍ ／ｍ！ × e (-λ) 。

この場合、λ = n x pです。 これは簡単なポアソン公式 (確率論) です。 以下で問題解決の例を検討します。

タスク 3: その工場は 100,000 個の部品を生産しました。 不良品の発生＝0.0001。 バッチ内に 5 個の不良部品が存在する確率はどれくらいですか?

ご覧のとおり、結婚はあり得ない出来事であるため、計算にはポアソン公式 (確率論) が使用されます。 この種の問題を解決する例は、この分野の他のタスクと何ら変わりません。必要なデータを指定された式に代入します。

A = 「ランダムに選択された部品に欠陥があります。」

p = 0.0001 (タスク条件による)。

n = 100000 (パーツ数)。

m = 5 (欠陥部品)。 データを数式に代入すると、次の結果が得られます。

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0.0375。

ベルヌーイの公式 (確率論) と同様に、これを使用した解の例は上に記載されていますが、ポアソン方程式には未知の e があり、実際には次の式で求めることができます。

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n 。

ただし、e のほぼすべての値を含む特別なテーブルがあります。

ド・モアブル・ラプラスの定理

ベルヌーイ スキームで試行回数が十分に大きく、すべてのスキームでイベント A が発生する確率が同じである場合、一連のテストでイベント A が特定の回数発生する確率は、次の式で求めることができます。ラプラスの公式:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m)。

X m = m-np/√npq。

ラプラスの公式 (確率論) をよりよく覚えるために、以下に問題の例を示します。

まず、X m を見つけて、データ (すべて上にリストしたもの) を式に代入して、0.025 を取得しましょう。 表を使用して数値 ϕ(0.025) を求め、その値は 0.3988 です。 これで、すべてのデータを式に代入できます。

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03。

したがって、フライヤーが正確に 267 回機能する確率は 0.03 です。

ベイズの公式

ベイズの公式 (確率理論) は、以下にその助けを借りて問題を解決する例を示しますが、これは、イベントに関連する可能性のある状況に基づいて、イベントの確率を記述する方程式です。 基本的な式は次のとおりです。

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B)。

A と B は明確なイベントです。

P(A|B) は条件付き確率です。つまり、イベント B が真である場合にイベント A が発生する可能性があります。

P (B|A) - イベント B の条件付き確率。

したがって、短期コース「確率理論」の最​​後の部分はベイズの公式です。問題の解決策の例は以下のとおりです。

タスク5: 3 社の電話機が倉庫に持ち込まれました。 同時に、最初の工場で製造される携帯電話のシェアは25％、2番目の工場で60％、3番目の工場で15％です。 また、最初の工場での不良品の平均割合は 2%、2 番目の工場では 4%、3 番目の工場では 1% であることも知られています。 ランダムに選択された電話機が故障する確率を見つける必要があります。

A = 「ランダムに選ばれた電話」。

B 1 - 最初の工場で製造された電話機。 したがって、入門編のB2、B3（第2工場、第3工場用）が登場します。

結果として、次のことが得られます。

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - したがって、各オプションの確率がわかりました。

ここで、目的のイベントの条件付き確率、つまり企業内で欠陥製品が発生する確率を見つける必要があります。

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01。

次に、データをベイズの公式に代入して、次を取得しましょう。

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305。

この記事では確率論、公式、問題解決の例が紹介されていますが、これは広大な専門分野の氷山の一角にすぎません。 そして、ここまで書かれてきたことを踏まえると、確率論が人生に必要かどうかという疑問を抱くのは論理的でしょう。 普通の人には答えるのが難しいので、何度もジャックポットを当てたことがある人に聞いたほうが良いでしょう。

人間活動や自然界の他の分野と同様、経済学においても、正確に予測できない出来事に常に対処しなければなりません。 したがって、製品の販売量は、大幅に変動する可能性がある需要と、考慮することがほとんど不可能な他の多くの要因によって決まります。 したがって、生産を組織し、販売を実行するときは、自分自身のこれまでの経験、他の人の同様の経験、または直感に基づいて、そのような活動の結果を予測する必要があり、これは多くの場合、実験データにも依存します。

問題の出来事を何らかの形で評価するには、この出来事が記録された条件を考慮するか、特別に整理する必要があります。

問題のイベントを識別するために特定の条件またはアクションを実装することを、 経験または 実験.

イベントの名前は、 ランダム、経験の結果として、それが起こるかもしれないし、起こらないかもしれないならば。

イベントの名前は、 信頼性のある、それが特定の経験の結果として必然的に現れる場合、そして 不可能、この経験に現れない場合。

たとえば、11 月 30 日のモスクワの降雪はランダムなイベントです。 毎日の日の出は信頼できるイベントと言えます。 赤道での降雪はあり得ない出来事だと考えられます。

確率論の主なタスクの 1 つは、イベントが発生する可能性の定量的な尺度を決定するタスクです。

事象の代数

同じエクスペリエンスで同時に観察できないイベントは、互換性がないと呼ばれます。 したがって、1 つの店舗に 2 台の車と 3 台の車が同時に販売されているということは、相容れない 2 つの出来事です。

額 events は、これらのイベントの少なくとも 1 つの発生で構成されるイベントです。

イベントの合計の例としては、店内に 2 つの製品のうちの少なくとも 1 つが存在することが挙げられます。

作品 events は、これらすべてのイベントが同時に発生することで構成されるイベントです。

店内で同時に 2 つの商品が登場することからなるイベントは、次のようなイベントの結果です: - 1 つの製品の登場 - 別の製品の登場。

イベントのうちの少なくとも 1 つが経験の中で確実に発生する場合、イベントは完全なイベントのグループを形成します。

例。港には船舶を受け入れるためのバースが 2 つあります。 3 つのイベントが考えられます: - バースに船舶が存在しない場合 - バースの 1 つに 1 隻の船舶が存在する場合 - 2 つのバースに 2 隻の船舶が存在する場合。 これら 3 つのイベントは、完全なイベント グループを形成します。

反対完全なグループを形成する 2 つの固有の可能なイベントが呼び出されます。

反対のイベントの 1 つが で示される場合、反対のイベントは通常 で示されます。

事象確率の古典的および統計的定義

同様に考えられるテスト (実験) の結果のそれぞれは、基本結果と呼ばれます。 通常は文字で指定されます。 たとえば、サイコロが投げられます。 側面のポイントの数に基づいて、合計 6 つの基本結果が存在する可能性があります。

基本的な結果から、より複雑なイベントを作成できます。 したがって、偶数点のイベントは 2、4、6 の 3 つの結果によって決まります。

問題のイベントが発生する可能性の定量的な尺度は確率です。

事象の確率について最も広く使用されている定義は次のとおりです。 クラシックそして 統計的.

確率の古典的な定義は、好ましい結果の概念に関連付けられています。

結果は次のように呼ばれます 好ましい特定のイベントの発生がこのイベントの発生を伴う場合、そのイベントにそのイベントが発生する。

上の例では、問題のイベント (出された側のポイントが偶数) には 3 つの好ましい結果があります。 この場合、一般的なのは、
考えられる結果の数。 これは、イベントの確率の古典的な定義をここで使用できることを意味します。

古典的な定義考えられる結果の総数に対する好ましい結果の数の比率に等しい

ここで、 はイベントの確率、 はイベントに有利な結果の数、 は考えられる結果の総数です。

考えられた例では

確率の統計的定義は、実験におけるイベントの相対的な発生頻度の概念に関連付けられています。

イベントの相対的な発生頻度は、次の式を使用して計算されます。

ここで、 は一連の実験 (テスト) におけるイベントの発生数です。

統計的定義。 事象の確率は、実験回数を無制限に増加させた場合に相対周波数が安定する (設定される) 数値です。

実際の問題では、イベントの確率は、十分に多数の試行回数に対する相対頻度とみなされます。

事象の確率のこれらの定義から、不等式が常に満たされることは明らかです。

式 (1.1) に基づいてイベントの確率を決定するには、有利な結果の数と考えられる結果の総数を求めるために使用される組み合わせ論の公式がよく使用されます。

市立教育機関

第6体育館

「確率の古典的定義」というテーマについて。

8 年生「B」の生徒が完成しました

クリマントヴァ・アレクサンドラ。

数学教師: Videnkina V. A.

ヴォロネジ、2008

多くのゲームではサイコロが使用されます。 立方体には 6 つの面があり、各面には 1 から 6 までの異なる数のドットがマークされています。プレイヤーはサイコロを転がし、落ちた面 (上にある面) にドットが何個あるかを確認します。 。 多くの場合、立方体の面上の点が対応する数字に置き換えられ、1、2、または 6 の目を出すことが話されます。サイコロを振ることは経験、実験、テストと考えることができ、得られる結果は次のとおりです。テストまたは基本的な出来事の結果。 人々は、さまざまな出来事の発生を推測し、その結果を予測することに興味を持っています。 彼らはサイコロを振ったときにどんな予測を立てることができるでしょうか? たとえば、次のようなものがあります。

1) イベント A - 数字 1、2、3、4、5、または 6 が出ます。

2) イベント B - 数字の 7、8、または 9 が表示されます。

3) イベント C - 数字の 1 が表示されます。

最初のケースで予測されたイベント A は確実に発生します。 一般に、ある経験の中で必ず起こる出来事をこう呼びます。 信頼できるイベント .

2 番目のケースで予測されるイベント B は決して起こらず、まったく不可能です。 一般に、ある経験の中で起こり得ない出来事をこう呼びます。 不可能な出来事 .

そして、3番目のケースで予測されるイベントCは起こるのか、起こらないのか? 1 は抜けるかもしれないし、落ちないかもしれないので、この質問に完全に確実に答えることはできません。 特定の経験の中で起こるかもしれないし、起こらないかもしれないイベントは、 ランダムイベント .

信頼できる出来事の発生について考えるとき、私たちはおそらく「おそらく」という言葉を使用しないでしょう。 たとえば、今日が水曜日であれば、明日は木曜日であれば、これは信頼できるイベントです。 水曜日には、「おそらく明日は木曜日だ」とは言いません。「明日は木曜日です」と簡潔かつ明確に言います。 確かに、私たちが美しいフレーズを口にする傾向があるなら、次のように言うことができます。「100パーセントの確率で、私は明日は木曜日だと言います。」 逆に、今日が水曜日であれば、明日の金曜日の始まりはあり得ない出来事です。 水曜日のこの出来事を評価すると、次のように言えます。「明日は金曜日ではないと確信しています。」 あるいは、「明日が金曜日だなんて信じられないよ」とも言えます。 さて、もし私たちが美しいフレーズを口にする傾向があるなら、次のように言えます。「明日が金曜日である確率はゼロです。」 したがって、信頼できるイベントとは、特定の条件下で発生するイベントです 100パーセントの確率で(つまり、10 件中 10 件、100 件中 100 件で発生するなど)。 不可能な出来事とは、与えられた条件下では決して起こらない出来事です。 確率ゼロで .

しかし、残念ながら (そしておそらく幸いなことに)、人生のすべてがそれほど明確で正確であるわけではありません。それは常に (特定の出来事) あり、決して (不可能な出来事) ではありません。 ほとんどの場合、私たちはランダムな出来事に直面しますが、その中には確率の高いものもあれば、確率が低いものもあります。 通常、人々はいわゆる常識に頼って、気まぐれに「可能性が高い」または「可能性が低い」という言葉を使用します。 しかし、多くの場合、そのような推定では不十分であることが判明します。 どれだけの時間パーセントはおそらくランダムな出来事、または 何回あるランダムな出来事が別のランダムな出来事よりも発生する可能性が高くなります。 言い換えれば、正確な情報が必要です 定量的特性を理解するには、確率を数値で特徴づけることができる必要があります。

私たちはすでにこの方向に向けて最初の一歩を踏み出しました。 特定のイベントが発生する確率は次のように特徴づけられると言いました。 百パーセント、ありえない出来事が起こる確率は次のようになります。 ゼロ。 100% が 1 に等しいとすると、人々は次のことに同意しました。

1) 信頼できる事象の確率は等しいとみなされる 1;

2) あり得ない出来事の確率は等しいとみなされる 0.

ランダムな出来事の確率を計算するにはどうすればよいですか? 結局、それは起こりました 偶然、これは法律、アルゴリズム、または公式に従っていないことを意味します。 ランダム性の世界では、確率を計算できる特定の法則が適用されることがわかりました。 これは数学の分野であり、- 確率論 .

数学が扱うのは モデル私たちの周りの現実の何らかの現象。 確率論で使用されるすべてのモデルのうち、最も単純なものに限定します。

古典的な確率スキーム

実験を行うときにイベント A の確率を求めるには、次のことを行う必要があります。

1) この実験で考えられるすべての結果の数 N を求めます。

2) これらすべての結果の確率が等しい (可能性が等しい) という仮定を受け入れる。

3) イベント A が発生する実験結果の数 N(A) を求めます。

4) 商を見つける ; それはイベント A の確率に等しくなります。

イベント A の確率を P(A) と表すのが通例です。 この呼称の説明は非常に簡単です。フランス語で「確率」という言葉は、 確率的、 英語で- 確率. 呼称には単語の最初の文字が使用されます。

この表記を使用すると、古典的なスキームによるイベント A の確率は次の式で求めることができます。

P(A)=。

多くの場合、上記の古典的な確率スキームのすべての点は、1 つのかなり長いフレーズで表現されます。

確率の古典的な定義

特定のテスト中にイベント A が発生する確率は、このテストのすべての等しく起こり得る結果の総数に対する、イベント A が発生する結果としての結果の数の比率です。

例1。 サイコロの 1 回の投げで結果が次になる確率を求めます。 a) 4; b) 5; c) 偶数の点。 d) 4 より大きい点の数。 e) 3 で割り切れない点の数。

解決。 合計で N=6 の可能な結果があります。つまり、1、2、3、4、5、または 6 に等しい点の数を持つ立方体面から落ちることです。私たちは、それらのどれにも他のものよりも利点があると信じています。これらの結果の確率が等しいという仮定を受け入れてください。

a) 結果の 1 つで、関心のあるイベント A が発生します。つまり、数字 4 が表示されます。これは、N(A)=1 であることを意味します。

P ( あ )= =.

b) 解決策と答えは前の段落と同じです。

c) 関心のあるイベント B は、ポイントの数が 2、4、または 6 の場合にちょうど 3 回発生します。これは、ことを意味します。

N ( B )=3 および P ( B )==.

d) 関心のあるイベント C は、ポイントの数が 5 または 6 の場合にちょうど 2 回発生します。これは、ことを意味します。

N ( C ) =2 と Р(С)=。

e) 描かれた 6 つの可能な数字のうち、4 つ (1、2、4、5) は 3 の倍数ではなく、残りの 2 つ (3 と 6) は 3 で割り切れます。 これは、私たちにとって興味のある出来事が、実験の可能性と確率が等しく同じ確率の 6 つの結果のうち、ちょうど 4 つで発生することを意味します。 したがって、答えは次のようになります。

。 ; b）; V) ; G) ; d)。

実際のサイコロは理想的な (モデル) 立方体とは異なる可能性があるため、その動作を説明するには、ある面の他の面に対する利点、磁石の存在の可能性などを考慮した、より正確で詳細なモデルが必要です。 「悪魔は細部に宿る」ため、精度を高めると複雑さが増す傾向にあり、答えを得るのが問題になります。 私たちは、考えられるすべての結果が同じ確率である最も単純な確率モデルを検討することに限定します。

注1。 別の例を見てみましょう。 「3 対 1 のサイコロを振る確率はどれくらいですか?」という質問がありました。 学生は「確率は 0.5 です」と答えました。 そして彼は自分の答えを次のように説明しました。 これは、合計 2 つの結果があり、そのうちの 1 つで関心のあるイベントが発生することを意味します。 古典的な確率スキームを使用すると、答えは 0.5 になります。」 この推論に間違いはありますか？ 一見すると、いいえ。 しかし、それは依然として存在しており、根本的な形で存在しています。 はい、確かに、トスの結果のこの定義 N=2 では、スリーが出るか出ないかのどちらかになります。 N(A) = 1 であることも真実であり、もちろん次のことも真実です。

=0.5、つまり確率スキームの 3 つの点が考慮されますが、点 2) の実装には疑問があります。 もちろん、純粋に法律的な観点からすれば、私たちは 3 の目が出ても外れない可能性が等しいと信じる権利があります。 しかし、エッジの「同一性」についての私たち自身の自然な仮定を破ることなく、そのように考えることができるでしょうか? もちろん違います！ ここでは、特定のモデル内での正しい推論を扱っています。 しかし、このモデル自体が「間違っている」ものであり、現実の現象に対応していません。

注2。 確率について議論するときは、次の重要な状況を見失わないでください。 サイコロを振ったときに1点が出る確率は

これは、サイコロを 6 回振ればちょうど 1 回 1 点が得られ、12 回サイコロを振れば 1 点がちょうど 2 回得られ、サイコロを 18 回振れば 1 点がちょうど 3 回得られるという意味ではありません。この言葉はおそらく推測の域を出ません。 最も起こりそうなことを想定します。 おそらくサイコロを600回振れば、100回、100回くらい1点が出ます。