確率論における事象とは何ですか。確率の古典的な決定に関する問題と解決策の例。イベント間の関係

実際の活動では、出来事をその発生の可能性の程度に応じて比較できる必要があります。古典的なケースを考えてみましょう。壺の中には10個のボールがあり、そのうち8個は白、2個は黒です。当然のことながら、「壺から白い玉が取り出される」という事象と、「壺から黒い玉が取り出される」という事象とでは、その発生の可能性が異なる。したがって、イベントを比較するには、一定の定量的な尺度が必要です。

イベントが発生する可能性の定量的な尺度は次のとおりです。確率。事象の確率について最も広く使用されている定義は、古典的および統計的です。

古典的な定義確率は好ましい結果の概念に関連付けられています。これをさらに詳しく見てみましょう。

あるテストの結果がイベントの完全なグループを形成し、同様に可能であるとします。つまり、独自に可能、互換性がない、そして同様に可能。このような結果はこう呼ばれます 基本的な結果、または ケース。テストの要点は次のとおりであると言われています。 ケーススキームまたは " 骨壷計画"、なぜならこのようなテストの確率の問題は、異なる色の壺やボールを使った同等の問題に置き換えることができます。

結果は次のように呼ばれます 好ましいイベントあ、このケースの発生がイベントの発生を伴う場合あ.

古典的な定義によると 出来事の確率 A は、結果の総数に対するこのイベントに有利な結果の数の比率に等しい、つまり

(1.1)

どこ P(A)– 事象の確率あ; メートル– イベントに有利なケースの数あ; n– ケースの合計数。

例1.1。サイコロを振ると、1、2、3、4、5、6 点の 6 つの出目が考えられます。偶数点が得られる確率はいくらですか?

解決。全て n= 6 つの結果はイベントの完全なグループを形成し、同様に可能です。つまり、独自に可能、互換性がない、そして同様に可能。イベント A (「偶数点の出現」) は、2 点、4 点、または 6 点の損失という 3 つの結果 (ケース) によって有利になります。事象の確率に関する古典的な公式を使用すると、次のようになります。

P(A) = = . ◄

事象の確率の古典的な定義に基づいて、その特性に注目します。

1. あらゆる事象の確率は 0 と 1 の間にあります。つまり、

0 ≤ R(あ) ≤ 1.

2. 信頼できるイベントの確率は 1 に等しい。

3. 不可能な出来事が起こる確率はゼロです。

前に述べたように、確率の古典的な定義は、考えられる結果の対称性を持つテストの結果として発生する可能性のあるイベントにのみ適用されます。場合のパターンに還元できます。ただし、古典的な定義では確率を計算できないイベントが多数存在します。

たとえば、コインが平らになったと仮定すると、「紋章の出現」と「頭の出現」という出来事が同等に起こり得ると考えることができないことは明らかです。したがって、古典的なスキームに従って確率を決定する公式は、この場合には適用できません。

ただし、実行された試験で特定のイベントがどのくらいの頻度で発生するかに基づいて、イベントの確率を推定する別のアプローチもあります。この場合、確率の統計的定義が使用されます。

統計的確率イベント A は、実行された n 回の試行におけるこのイベントの発生の相対頻度 (頻度) です。

(1.2)

どこ P*(A)– 事象の統計的確率あ; w(A)– イベントの相対的な頻度あ; メートル– イベントが発生したトライアルの数あ; n– テストの総数。

数学的な確率とは異なります P(A)、古典的な定義、統計的確率で考慮される P*(A)特徴です 経験豊富な, 実験的な。言い換えれば、事象の統計的確率あ相対周波数が安定する（設定される）数値です。 w(A)同じ条件下で実行されるテストの数は無制限に増加します。

たとえば、射手について「確率 0.95 で標的に命中する」と言われる場合、これは、特定の条件 (同じ距離の同じ標的、同じライフルなど) の下で彼が発砲した数百発の射撃のうち、命中することを意味します。 )、平均して約 95 件の成功があります。当然のことながら、100 人全員が 95 回のショットを成功させるわけではなく、それより少ない場合もあれば、より多い場合もありますが、平均して、同じ条件で射撃を複数回繰り返した場合、このヒット率は変わりません。射手のスキルの指標となる 0.95 という数字は、通常、非常に高い値です。 安定した、つまりほとんどの射撃における命中率は、特定の射手についてはほぼ同じですが、まれに平均値から大きく逸脱する場合があります。

確率の古典的な定義のもう 1 つの欠点 ( 1.1 ）その使用を制限するのは、考えられるテスト結果の数が有限であると仮定していることです。場合によっては、この欠点は確率の幾何学的定義を使用することで克服できます。点が特定の領域 (セグメント、平面の一部など) に入る確率を見つけます。

平らな図形にしましょう g平面図形の一部を形成します G(図1.1)。フィット Gドットがランダムに投げられます。これは、領域内のすべてのポイントが G投げられたランダムな点が当たるかどうかに関する「平等の権利」。事象が起こる確率を仮定すると、あ– 投げられた点がフィギュアに当たる g– この図の面積に比例し、相対的な位置には依存しません。 G、フォームからも g、見つけます

人間活動や自然界の他の分野と同様、経済学においても、正確に予測できない出来事に常に対処しなければなりません。したがって、製品の販売量は、大幅に変動する可能性がある需要と、考慮することがほとんど不可能な他の多くの要因によって決まります。したがって、生産を組織し、販売を実行するときは、自分自身のこれまでの経験、他の人の同様の経験、または直感に基づいて、そのような活動の結果を予測する必要があり、これは多くの場合、実験データにも依存します。

問題の出来事を何らかの形で評価するには、この出来事が記録された条件を考慮するか、特別に整理する必要があります。

問題のイベントを識別するために特定の条件またはアクションを実装することを、経験または実験.

イベントの名前は、 ランダム、経験の結果として、それが起こるかもしれないし、起こらないかもしれないならば。

イベントの名前は、 信頼性のある、それが特定の経験の結果として必然的に現れる場合、そして 不可能、この経験に現れない場合。

たとえば、11 月 30 日のモスクワの降雪はランダムなイベントです。毎日の日の出は信頼できるイベントと言えます。赤道での降雪はあり得ない出来事だと考えられます。

確率論の主なタスクの 1 つは、イベントが発生する可能性の定量的な尺度を決定するタスクです。

事象の代数

同じエクスペリエンスで同時に観察できないイベントは、互換性がないと呼ばれます。したがって、1 つの店舗に 2 台の車と 3 台の車が同時に販売されているということは、相容れない 2 つの出来事です。

額 events は、これらのイベントの少なくとも 1 つの発生で構成されるイベントです。

イベントの合計の例としては、店内に 2 つの製品のうちの少なくとも 1 つが存在することが挙げられます。

作品 events は、これらすべてのイベントが同時に発生することで構成されるイベントです。

店内で同時に 2 つの商品が登場することからなるイベントは、次のようなイベントの結果です: - 1 つの製品の登場 - 別の製品の登場。

イベントのうちの少なくとも 1 つが経験の中で確実に発生する場合、イベントは完全なイベントのグループを形成します。

例。港には船舶を受け入れるためのバースが 2 つあります。 3 つのイベントが考えられます: - バースに船舶が存在しない場合 - バースの 1 つに 1 隻の船舶が存在する場合 - 2 つのバースに 2 隻の船舶が存在する場合。これら 3 つのイベントは、完全なイベントグループを形成します。

反対完全なグループを形成する 2 つの固有の可能なイベントが呼び出されます。

反対のイベントの 1 つがで示される場合、反対のイベントは通常で示されます。

事象確率の古典的および統計的定義

同様に考えられるテスト (実験) の結果のそれぞれは、基本結果と呼ばれます。通常は文字で指定されます。たとえば、サイコロが投げられます。側面のポイントの数に基づいて、合計 6 つの基本結果が存在する可能性があります。

基本的な結果から、より複雑なイベントを作成できます。したがって、偶数点のイベントは 2、4、6 の 3 つの結果によって決まります。

問題のイベントが発生する可能性の定量的な尺度は確率です。

事象の確率について最も広く使用されている定義は次のとおりです。 クラシックそして 統計的.

確率の古典的な定義は、好ましい結果の概念に関連付けられています。

結果は次のように呼ばれます 好ましい特定のイベントの発生がこのイベントの発生を伴う場合、そのイベントにそのイベントが発生する。

上の例では、問題のイベント (出された側のポイントが偶数) には 3 つの好ましい結果があります。この場合、一般的なのは、
考えられる結果の数。これは、イベントの確率の古典的な定義をここで使用できることを意味します。

古典的な定義考えられる結果の総数に対する好ましい結果の数の比率に等しい

ここで、はイベントの確率、はイベントに有利な結果の数、は考えられる結果の総数です。

考えられた例では

確率の統計的定義は、実験におけるイベントの相対的な発生頻度の概念に関連付けられています。

イベントの相対的な発生頻度は、次の式を使用して計算されます。

ここで、は一連の実験 (テスト) におけるイベントの発生数です。

統計的定義。事象の確率は、実験回数を無制限に増加させた場合に相対周波数が安定する (設定される) 数値です。

実際の問題では、イベントの確率は、十分に多数の試行回数に対する相対頻度とみなされます。

事象の確率のこれらの定義から、不等式が常に満たされることは明らかです。

式 (1.1) に基づいてイベントの確率を決定するには、有利な結果の数と考えられる結果の総数を求めるために使用される組み合わせ論の公式がよく使用されます。

事象の確率は、その事象の発生の可能性を示す特定の数値特性として理解されます。確率を決定するにはいくつかのアプローチがあります。

事象の確率あは、完全なグループを形成する、同様に考えられる互換性のない要素結果の総数に対する、このイベントに有利な結果の数の比率と呼ばれます。ということで、その出来事の確率はあ式によって決定されます

どこ メートル– 好ましい基本的な結果の数あ, n– 考えられるすべての基本テスト結果の数。

例3.1。サイコロを振る実験で、すべての出目の数 nは 6 に等しく、すべて同様に可能です。イベントしましょうあ偶数の出現を意味します。次に、このイベントの場合、好ましい結果は数字 2、4、6 の出現です。その数字は 3 です。したがって、イベントの確率はあに等しい

例3.2。ランダムに選ばれた 2 桁の数字が同じ桁になる確率はどれくらいですか?

2桁の数字は10から99までの数字で、合計90個あり、同じ桁の数字が9個あります（11、22、…、99）。この場合なので メートル=9, n=90、すると

どこあ– イベント、「同じ桁の数字」。

例3.3。 10 個の部品のバッチでは、7 個が標準です。無作為に取り出した 6 つの部分のうち、4 つが標準である確率を求めます。

考えられる基本的なテスト結果の総数は、10 個の部分から 6 個の部分を抽出できる方法の数、つまり、それぞれ 6 つの要素からなる 10 個の要素の組み合わせの数に等しくなります。興味のある出来事に有利な結果の数を調べてみましょうあ(6 つの部品のうち、4 つは標準部品です)。 4 つの標準パーツは、7 つの標準パーツからさまざまな方法で取得できます。同時に、残りの 6-4=2 部品は非標準部品でなければなりませんが、10-7=3 の非標準部品から 2 つの非標準部品をさまざまな方法で取り出すことができます。したがって、好ましい結果の数はに等しくなります。

この場合、必要な確率は次のようになります。

確率の定義から次の特性が得られます。

1. 信頼できるイベントの確率は 1 に等しい。

実際、イベントが信頼できる場合、テストのすべての基本的な結果はイベントに有利になります。この場合、m=n となるので、

2. 不可能な出来事が起こる確率はゼロです。

実際、イベントが不可能である場合、テストの基本的な結果はどれもそのイベントに有利なものではありません。この場合の意味は、

3. ランダムなイベントの確率は、0 から 1 までの正の数です。

実際、テストの基本的な結果の総数のうち、ランダムなイベントが有利になるのは一部だけです。この場合< メートル< n, 0を意味します < m/n < 1、つまり0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

論理的に完全な確率理論の構築は、ランダムな出来事とその確率の公理的定義に基づいています。 A. N. コルモゴロフによって提案された公理系では、未定義の概念は基本的な事象と確率です。確率を定義する公理は次のとおりです。

1. イベントごとあ負でない実数が割り当てられる P(A)。この数値は事象の確率と呼ばれますあ.

2. 信頼できるイベントの確率は 1 に等しい。

3. ペアごとに互換性のないイベントの少なくとも 1 つが発生する確率は、これらのイベントの確率の合計に等しい。

これらの公理に基づいて、確率の性質とそれらの間の依存関係が定理として導出されます。

セルフテストの質問

1. 事象が発生する可能性を表す数値的特性の名前は何ですか?

2. 事象の確率はどれくらいですか?

3. 信頼できるイベントの確率はどれくらいですか?

4. ありえない出来事が起こる確率はどれくらいですか?

5. ランダムな出来事の確率の限界はどれくらいですか?

6. あらゆる事象の確率の限界はどれくらいですか?

7. 古典的と呼ばれる確率の定義は何ですか?

確率論の基礎

プラン：

1. ランダムイベント

2. 確率の古典的な定義

3. 事象確率と組み合わせ論の計算

4. 幾何学的確率

理論情報

ランダムなイベント。

ランダム現象- 結果が明確に定義されていない現象。この概念はかなり広い意味で解釈できます。すなわち、自然界のあらゆるものはまったくランダムであり、あらゆる個人の出現と誕生もランダム現象であり、店で商品を選ぶこともランダム現象であり、試験で点を獲得することもランダム現象であり、病気と回復はランダム現象である。、など。

ランダム現象の例:

~ 射撃は水平に対して所定の角度で取り付けられた銃から行われます。ターゲットに当たるのは偶然ですが、発射体が特定の「フォーク」に当たるのはパターンです。発射体がどの距離に近づくか、これより遠くに飛来しない距離を指定できます。「投射物分散フォーク」のようなものを入手します。

~ 同じ体の重量を数回測定します。厳密に言えば、たとえわずかな量の差であっても、毎回異なる結果が得られます。

~ 同じルートに沿って飛行する飛行機には、その中で飛行機が操縦できる特定の飛行通路がありますが、厳密に同じルートを持つことはありません。

～アスリートは同じ距離を同じ時間で走ることは決してできません。その結果も一定の数値範囲内に収まります。

経験、実験、観察はテストです

トライアル– 繰り返し実行され、同じ順序、期間で、他の同一のパラメータに従って定期的に繰り返される、特定の一連の条件の観察または履行。

標的に向かって発砲するアスリートを考えてみましょう。これを実行するには、選手の準備、武器の装填、照準などの条件を満たす必要があります。「ヒット」と「ミス」 – ショットの結果として発生するイベント。

イベント– 高品質のテスト結果。

イベントは発生する場合と発生しない場合があります。イベントは大文字で示されます。例: D = 「射手は標的に命中した。」 S="白いボールが描かれました。" K=「当たらずとも無作為に取得された宝くじ。」

コインを投げることはテストです。彼女の「紋章」の崩壊は 1 つのイベントであり、彼女の「デジタル」の崩壊は 2 番目のイベントです。

どのテストでも、いくつかのイベントの発生が伴います。それらの中には、その時点で研究者にとって必要なものもあれば、必要でないものもあります。

イベントはランダムと呼ばれます、if、特定の条件が満たされたとき Sそれは起こるか起こらないかのどちらかです。以下では、「一連の条件 S が満たされた」と言う代わりに、「テストが実行された」と簡単に言います。したがって、イベントはテストの結果とみなされます。

~ 射手は 4 つのエリアに分割されたターゲットに向かって射撃します。ショットはテストです。ターゲットの特定の領域に当たるとイベントです。

〜骨壷の中にカラーボールが入っています。壺からボールがランダムに 1 つ取り出されます。壺からボールを取り出すのが試練だ。特定の色のボールの出現がイベントです。

ランダムイベントの種類

1. イベントは互換性がないと呼ばれますそのうちの 1 つのイベントの発生により、同じトライアル内の他のイベントの発生が除外される場合。

~ パーツはパーツボックスからランダムに取り出されます。標準部品の外観により、非標準部品の外観が排除されます。イベント「標準パーツが出現」と「非標準パーツが出現」 - 互換性がありません。

〜コインが投げられます。「紋章」の外観には、碑文の外観は含まれません。「紋章が出現する」と「碑文が出現する」という事象は両立しない。

いくつかのイベントが形成されます 完全なグループ、テストの結果、少なくとも 1 つが表示された場合。言い換えれば、完全なグループの少なくとも 1 つのイベントの発生は信頼できるイベントです。

特に、完全なグループを形成するイベントがペアごとに互換性がない場合、テストの結果はこれらのイベントのうち 1 つだけになります。この特殊なケースは今後も使用されるため、私たちにとって非常に興味深いものです。

～現金と衣類の宝くじを2枚購入しました。次のイベントのうち 1 つだけが必ず発生します。

1. 「賞金は最初のチケットには落ちましたが、2 番目のチケットには落ちませんでした。」

2. 「賞金は最初のチケットには落ちず、2 番目のチケットに落ちました。」

3. 「賞金は両方のチケットにありました」、

4. 「どちらのチケットも当たりませんでした。」

これらのイベントは、ペアごとに互換性のないイベントの完全なグループを形成します。

~ 射手は標的に向かって発砲した。次の 2 つのイベントのいずれかが必ず発生します: ヒット、ミス。これら 2 つの相容れないイベントも完全なグループを形成します。

2. イベントが呼び出されます 同様に可能です、どちらも他方よりも可能性が高いと信じる理由がある場合。

~ 「紋章」の出現と、コインを投げたときの碑文の出現は、同様に起こり得るイベントです。実際、コインは均質な材料で作られ、規則的な円筒形をしており、鋳造の存在はコインのどちらかの面の損失に影響を及ぼさないと想定されています。

~ 投げられたサイコロに何らかの点が現れることも、同様に起こり得る出来事です。実際、ダイは均質な材料でできており、正多面体の形状をしており、点の存在は面の損失に影響を及ぼさないと想定されています。

3. イベントが呼び出されます 信頼性のある、それが起こるのは仕方ないなら

4. イベントが呼び出されます 信頼できない、それが起こらない場合。

5. イベントが呼び出されます反対このイベントが発生しないことによって構成される場合は、何らかのイベントに関連付けられます。反対のイベントには互換性はありませんが、どちらか一方が必ず発生する必要があります。反対のイベントは通常、否定として指定されます。文字の上にダッシュが書かれています。反対のイベント: A と Ā; U や Ū など。

確率の古典的な定義

確率は確率論の基本概念の 1 つです。

この概念にはいくつかの定義があります。古典的と呼ばれる定義を与えてみましょう。次に、この定義の弱点を示し、古典的な定義の欠点を克服できる他の定義を示します。

状況を考えてみましょう。箱には同じボールが 6 個入っており、2 個は赤、3 個は青、1 個は白です。明らかに、色付き (つまり、赤または青) のボールを壺からランダムに引き出す可能性の方が、白いボールを引き出す可能性よりも高くなります。この可能性は、イベント (カラーボールの出現) の確率と呼ばれる数値によって特徴付けることができます。

確率- 事象が発生する可能性の程度を特徴づける数値。

検討中の状況では、次のようになります。

イベントA＝「カラーボールを抜く」

テスト (テストは壺からボールを取り出すことで構成されます) で考えられるそれぞれの結果が呼び出されます。 基本的な（可能性のある）結果と出来事。基本的な結果は、次のようなインデックスが付いた文字で表すことができます (例: k 1、k 2)。

この例ではボールが 6 つあるため、考えられる結果は 6 つあります。白いボールが表示されます。赤いボールが現れた。青いボールが出たなど。これらの結果は、ペアごとに互換性のないイベントの完全なグループを形成し (ボールが 1 つだけ表示されます)、同様に可能であること (ボールはランダムに描画され、ボールは同一であり、完全に混合されています) であることが簡単にわかります。

私たちにとって興味のある出来事が起こる基本的な結果を「結果」と呼びましょう。 好ましい結果このイベント。この例では、イベントが優先されますあ（カラーボールの出現）次の5つの結果:

それでイベントはあ基本的な結果の 1 つが自分にとって有利な場合に観察されます。 A.これは、ボックス内に 5 個ある色のボールの外観です。

検討中の例では、6 つの基本的な結果があります。そのうち 5 人がイベントに賛成 A.したがって、 P(A)= 5/6。この数値により、カラーボールが出現する可能性の度合いを定量的に評価することができます。

確率の定義:

イベントAの確率は、完全なグループを形成する、同様に考えられる互換性のない要素結果の総数に対する、このイベントに有利な結果の数の比率と呼ばれます。

P(A)=m/n または P(A)=m:n、ここで:

m は好ましい基本結果の数です A;

P- 考えられるすべての基本テスト結果の数。

ここでは、基本的な結果は互換性がなく、同様に可能であり、完全なグループを形成すると仮定されます。

確率の定義から次の特性が得られます。

1. 信頼できるイベントの確率は 1 に等しい。

実際、イベントが信頼できる場合、テストのすべての基本的な結果はイベントに有利になります。この場合 m = nしたがって、p=1

2. ありえない出来事が起こる確率はゼロです。

実際、イベントが不可能である場合、テストの基本的な結果はどれもそのイベントに有利なものではありません。この場合、m=0、したがって p=0。

3.ランダムなイベントの確率は、0 から 1 までの正の数です。 0T< n.

以降のトピックでは、いくつかのイベントの既知の確率を使用して、他のイベントの確率を見つけることを可能にする定理について説明します。

測定。生徒のグループには女の子が6人、男の子が4人います。無作為に選ばれた生徒が女子である確率はどれくらいですか? 若い男がいるだろうか？

p dev = 6 / 10 =0.6 p yun = 4 / 10 = 0.4

現代の厳密な確率論コースにおける「確率」の概念は、集合論に基づいて構築されています。このアプローチのいくつかの側面を見てみましょう。

テストの結果としてイベントが 1 つだけ発生するとします。私は(i=1, 2, .... n)。イベント私は- 呼ばれた 基本的な出来事（基本的な結果）。についてしたがって、基本事象はペアごとに互換性がないということになります。テストで発生する可能性のあるすべての基本イベントのセットは次のように呼ばれます。 初歩的な出来事の空間Ω (ギリシャ語の大文字オメガ)、そして基本的なイベント自体は この空間のポイント。.

イベントあ（空間Ωの）サブセットと同一視され、その要素は好ましい基本的結果である A;イベントで要素が有利な結果となる部分集合 Ω ですで、したがって、テストで発生する可能性のあるすべてのイベントのセットは、Ω のすべてのサブセットのセットです。Ω 自体はテストのあらゆる結果に対して発生するため、Ω は信頼できるイベントです。空間 Ω の空の部分集合 - は不可能な出来事です (テストの結果がどのような場合でも発生しません)。

要素イベントは、すべてのトピックイベントの中から区別されます。「それぞれのイベントには、要素 Ω が 1 つだけ含まれています」

あらゆる基本的な結果私は正の数と一致するぴー- この結果の確率とすべての合計ぴー 1 に等しいか、和符号を付けた場合、この事実は式の形式で記述されます。

定義上、確率は P(A)イベントあ好ましい基本的な結果の確率の合計に等しい A.したがって、信頼できるイベントの確率は 1 に等しく、あり得ないイベントは 0、任意のイベントは 0 と 1 の間にあります。

すべての結果が等しく起こり得る重要な特殊なケースを考えてみましょう。結果の数は n で、すべての結果の確率の合計は 1 に等しくなります。したがって、各結果の確率は 1/p です。イベントしましょうあ m の結果を支持します。

事象の確率あ有利な結果が得られる確率の合計に等しい 答え:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

確率の古典的な定義が得られます。

もあります 公理的な「確率」という概念へのアプローチ。提案された公理系において。コルモゴロフ A.N.、未定義の概念は基本的な出来事であり、確率です。論理的に完全な確率理論の構築は、ランダムな出来事とその確率の公理的定義に基づいています。

確率を定義する公理は次のとおりです。

1. イベントごとあ負でない実数が割り当てられる R(A)。この数値は事象の確率と呼ばれます A.

2. 信頼できるイベントの確率は 1 に等しくなります。

3. ペアごとに互換性のないイベントの少なくとも 1 つが発生する確率は、これらのイベントの確率の合計に等しい。

これらの公理に基づいて、確率の性質と確率間の依存関係が定理として導出されます。

確率理論は、ランダムな出来事のパターンを研究する数学科学です。確率的実験（テスト、観察）とは、結果を事前に予測できない実験です。この実験では、どんな結果（アウトカム）も イベント。

イベントは次のとおりである可能性があります 信頼性のある(常にテストの結果として発生します); 不可能(明らかにテスト中には発生しません)。 ランダム(この実験の条件下では起こるかもしれないし、起こらないかもしれません)。

より単純なイベントに分解できないイベントはと呼ばれます。 初歩的な。いくつかの基本的なイベントの組み合わせとして提示されるイベントは、 複雑な(会社は損失を被っていませんでした。利益はプラスまたはゼロになる可能性があります)。

同時に起こり得ない 2 つの事象 (増税 - 可処分所得の増加、投資の増加 - リスクの減少) と呼ばれます。 非互換。

言い換えれば、2 つのイベントは、一方の発生が他方の発生を排除する場合、互換性がありません。それ以外の場合は、 ジョイント（販売数量の増加 - 利益の増加）。イベントは次のように呼ばれます。 反対、いずれかが発生した場合、もう一方が発生しなかった場合に限ります (製品は販売されますが、製品は販売されません)。

事象の確率 –これは、事象が発生する可能性の程度に応じて事象を比較するために導入される数値尺度です。

確率の古典的な定義。確率 R(あ) イベントあ数比といいます メートル事象の発生に有利な同様に起こり得る基本的な事象（結果）あ, 合計数に nこの実験で考えられるすべての基本的な結果:

上記のことから、確率の次の基本特性が得られます。

1.0ポンド R(あ) 1ポンド。

2. ある事象の確率あ 1 に等しい: R(あ) = 1.

3. 不可能な出来事 A の確率は 0 です。 R(あ) = 0.

4. イベントの場合あそしてで互換性がありません。 R(あ + で) = R(あ) + R(で); イベントの場合あそしてでジョイントである場合、 R(あ + で) = R(あ) + R(で) - R(あ . B)。(R(あ . B)はこれらのイベントが同時に発生する確率です)。

5. もしあそして反対の出来事が起こると、 R() = 1 - R(あ).

あるイベントが発生する確率が別のイベントが発生する確率を変えない場合、そのようなイベントは次のように呼ばれます。 独立した。

多数の結果によって特徴付けられるイベントの確率を直接計算する場合は、組み合わせ論の公式を使用する必要があります。一連の出来事 (仮説) を研究するには

合計確率、ベイズ、ベルヌーイの公式が適用されます ( n独立したテスト - 実験の繰り返し)。

で 確率の統計的決定イベントあ下 nイベントが実際に実行されたテストの総数を指します。あまさに会った メートル一度。この場合の関係は メートル/n相対周波数（周波数）と呼ばれる Wn(あ) イベントの発生あ V n実行されたテスト。

確率を求めるときは、 専門家による評価の方法下 n事象が発生する可能性に関してインタビューを受けた専門家（特定の分野の専門家）の数を指します。あ。その中で メートル彼らはその出来事について次のように主張しているあ起こります。

ランダムな出来事の概念だけでは、数値表現を持つ量の観測結果を説明するには十分ではありません。たとえば、企業の財務結果を分析するとき、彼らは主にその規模に関心を持ちます。したがって、ランダムイベントの概念は、確率変数の概念によって補完されます。

下 確率変数(SV) は、観察 (テスト) の結果、事前に不明でランダムな状況に応じて、可能な値のセットの 1 つを取る量として理解されます。各基本イベントに対して、SV は単一の意味を持ちます。

SV には離散型と連続型があります。のために離散 SV は、その可能な値のセットが有限または可算です。つまり、SV は、特定の確率で事前にリストできる個別の値を受け取ります。のために 継続的な SV、その可能な値のセットは無限で数えられません。たとえば、特定の間隔のすべての数値、つまり SV の可能な値を事前に列挙し、一定のギャップを継続的に埋めることはできません。

確率変数の例: バツ- スーパーマーケットの 1 日あたりの顧客数 (離散 SV)。 Y- 特定の行政センター（個別SV）で日中に生まれた子供の数。 Z- 砲弾の着弾点の座標 (連続北東)。

経済学で考慮される多くの SV は非常に多くの可能な値を持っているため、それらを連続 SV の形式で表す方が便利です。たとえば、為替レート、世帯収入などです。

SV を記述するには、SV のすべての可能な値とその確率の間の関係を確立する必要があります。この比率は次のように呼ばれます SV の分布の法則。離散 SV の場合、表形式、分析形式 (式の形式)、またはグラフ形式で指定できます。たとえば、SV の表形式バツ