確率論の基本的な公式についてです。確率論の発展の歴史。確率論とは何ですか

セクション 12. 確率理論。

1. はじめに

2. 確率論の最も単純な概念

3. 事象の代数

4. ランダムイベントの確率

5. 幾何学的確率

6. 古典的な確率。組み合わせ論の公式。

7. 条件付き確率。イベントの独立性。

8. 総確率公式とベイズ公式

9. 繰り返しのテスト計画。ベルヌーイの公式とその漸近線

10. 確率変数 (RV)

11.DSV配信シリーズ

12. 累積分布関数

13.NSV配信機能

14. NSV の確率密度

15. 確率変数の数値的特徴

16. 重要な SV 分布の例

16.1. DSV の二項分布。

16.2. ポアソン分布

16.3. NSV の均一分布。

16.4. 正規分布。

17. 確率論の極限定理。

導入

確率理論は、他の多くの数学分野と同様、実践の必要性から発展しました。同時に、実際のプロセスを研究する際には、実際のプロセスの抽象的な数学モデルを作成する必要がありました。通常、実際のプロセスの主要な最も重要な推進力が考慮され、ランダムと呼ばれる二次的な推進力は考慮から除外されます。もちろん、何が主であり何が副次的であるかは別のタスクです。この質問に対する解決策によって、抽象化のレベル、数学的モデルの単純さまたは複雑さ、および実際のプロセスに対するモデルの適切性のレベルが決まります。本質的に、抽象モデルは、単純さと現実への適切さという 2 つの相反する願望の結果です。

たとえば、射撃理論では、ある点にある銃からの発射体の飛行経路を決定するための、非常に単純で便利な公式が開発されています (図 1)。

特定の条件下では、たとえば大規模な大砲の準備中など、前述の理論で十分です。

しかし、同じ条件下で 1 台の銃から数発の射撃が行われた場合、弾道は近いとはいえ、依然として異なることは明らかです。また、ターゲットのサイズが散乱エリアに比べて小さい場合、提案されたモデル内で考慮されていない要因の影響に特に関連する特定の疑問が生じます。同時に、追加の要素を考慮すると、使用がほぼ不可能な過度に複雑なモデルが作成されます。さらに、これらのランダム要因には多くのものがあり、その性質はほとんどの場合不明です。

上記の例では、決定論的モデルを超える具体的な質問は、たとえば次のようなものです。一定の確実性 (たとえば、に) でターゲットに命中することを保証するには、何発発射する必要がありますか? 標的に命中させるために使用する砲弾の量を最小限にするには、ゼロ調整をどのように実行する必要がありますか? 等々。

後で説明するように、「ランダム」と「確率」という言葉は厳密な数学用語になります。同時に、これらは通常の口語スピーチでも非常に一般的です。「ランダム」という形容詞は「自然」の反対であると考えられています。しかし、これはそうではありません。自然は、特定の条件下ではランダムなプロセスによってパターンが明らかになるように設計されているからです。

主な条件は次のように呼ばれますマスキャラクター。

たとえば、コインを投げた場合、紋章や数字など、何が出てくるかは予測できず、推測することしかできません。しかし、このコインを何度も投げると、紋章が抜ける割合は 0.5 に近い一定の数値とあまり変わらなくなります (以下、この数値を確率と呼びます)。さらに、トス数が増えると、この数からの偏差は減少します。このプロパティはと呼ばれます安定性平均指標（この場合 - 紋章のシェア）。確率論の最初の段階では、安定性の性質の存在を実際に検証する必要があるとき、偉大な科学者でさえ、自分自身で検証を行うことは難しいとは考えていなかった、と言わなければなりません。したがって、コインを 4040 回投げたビュフォンの有名な実験では、紋章が 2048 回出現しました。したがって、紋章が失われる割合 (または相対頻度) は 0.508 であり、これは直感的な数値に近いことになります。期待値は 0.5 です。

したがって、通常は次のような定義が与えられます。大量のランダムなプロセスのパターンを研究する数学の一分野としての確率論の主題。

確率論の最大の成果は前世紀初頭に遡るという事実にもかかわらず、特に A.N. の著作における理論の公理的構築のおかげであると言わなければなりません。コルモゴロフ (1903-1987) は、ずっと前から事故の研究に興味を持っていました。

当初の関心は、ギャンブルに数値的アプローチを適用しようとすることでした。確率論の最初の非常に興味深い結果は、通常、L. Pacioli (1494)、D. Cardano (1526)、および N. Tartaglia (1556) の研究に関連付けられています。

その後、B. パスカル (1623-1662)、P. フェルマー (1601-1665)、H. ホイヘンス (1629-1695) が古典的な確率理論の基礎を築きました。 18 世紀初頭、J. Bernoulli (1654-1705) は、起こり得るすべてのチャンスの数に対する有利なチャンスの数の比率として、ランダムな出来事の確率の概念を形成しました。 E. ボレル (1871-1956)、A. ロムニツキー (1881-1941)、R. ミーゼス (1883-1953) は、集合の尺度の概念の使用に基づいて理論を構築しました。

集合論の観点は 1933 年に最も完全な形で提示されました。 A.N. コルモゴロフの著書「確率論の基本概念」。確率論が厳密な数学科学になるのはこの瞬間からです。

ロシアの数学者 P.L. は確率論の発展に多大な貢献をしました。チェビシェフ (1821-1894)、A.A. マルコフ (1856-1922)、S.N. バーンスタイン（1880-1968）など。

確率理論は現在急速に発展しています。

確率論の最も単純な概念

他の数学分野と同様に、確率理論は、定義されていないが説明されるだけの最も単純な概念の導入から始まります。

主要な基本概念の 1 つは次のとおりです。経験。経験は、無制限に再現できる一定の条件セットとして理解されます。この複合体の各実装をエクスペリエンスまたはテストと呼びます。実験の結果は異なる可能性があり、ここには偶然の要素が現れます。経験のさまざまな結果または成果は、イベント(より正確には、ランダムイベント)。したがって、実験の実施中に、何らかのイベントが発生する可能性があります。言い換えれば、ランダムイベントは、実験の実施中に発生する（出現する）場合もあれば、発生しない場合もある実験の結果です。

経験は文字で表され、ランダムイベントは通常大文字で表されます。

多くの場合、実験では、最も単純な結果と呼ばれる、より単純な結果に分解することができない結果を事前に特定することができます。このようなイベントはこう呼ばれます初歩的な出来事（または場合）。

例1.コインを投げましょう。実験の結果は次のとおりです。紋章の喪失（この出来事を文字で示します）。数値の損失 ( で示されます)。次に、次のように書くことができます: 経験 = (コイン投げ)、結果: この実験の基本的なイベントは明らかです。言い換えれば、経験の基本的な出来事をすべて列挙することで、それを完全に説明できるのです。この点に関して、経験は基本的な出来事の空間であると言います。そして、私たちの場合、経験は次の形式で簡単に書くことができます: = (コイントス) = (G; C)。

例 2。 =(コインを2回投げます)= これは、その経験を口頭で説明したものと、すべての基本的な出来事のリストです。つまり、最初にコインを投げたときに紋章が落ち、二回目には紋章も落ちたということです。紋章はコインを最初に投げたときに現れ、数字は2番目に現れた、などを意味します。

例 3.座標系では、点は正方形の中に投げ込まれます。この例では、基本イベントは、指定された不等式を満たす座標を持つ点です。簡単に言うと次のように書かれています。

中括弧内のコロンは、点で構成されているが、コロンの後に指定された条件 (この例では、これらは不等式) を満たす点のみで構成されていることを意味します。

例4.最初の紋章が現れるまでコインを投げます。つまり、コイントスは表が出るまで続けられます。この例では、基本イベントをリストできますが、その数は無限です。

例 3 と 4 では、基本イベントの空間には無限の数の結果があることに注意してください。例 4 では、それらをリストすることができます。再計算します。このような集合は可算と呼ばれます。例 3 では、スペースは数えられません。

あらゆる経験の中に存在し、理論的に非常に重要な出来事をさらに 2 つ紹介しましょう。

イベントを呼びましょう不可能、ただし、経験の結果、必ずしもそれが起こらない場合は除きます。それを空集合の符号で表します。逆に、経験の結果必ず起こる出来事を「経験」といいます。信頼性のある。信頼できるイベントは、基本イベント自体の空間と同じ方法で、つまり文字によって指定されます。

たとえば、サイコロを振る場合、イベント (出目 9 点未満) は信頼できますが、イベント (出目 9 点ちょうど) は不可能です。

したがって、基本イベントの空間は、言葉による説明、そのすべての基本イベントのリスト、およびそのすべての基本イベントが取得される規則または条件の設定によって指定できます。

事象の代数

これまで、私たちは経験の直接の結果としての初歩的な出来事についてのみ話してきました。しかし、経験の枠組みの中で、初歩的な出来事に加えて、他のランダムな出来事について話すこともできます。

例5。サイコロを振るとき、それぞれ 1、2、...、6 という基本的な出来事に加えて、他の出来事について話すことができます: (偶数)、(奇数)、(3 の倍数)、 (4 未満の数値) ) など。この例では、言語タスクに加えて、基本イベントをリストすることによって、指定されたイベントを指定できます。

基本イベントおよび他のイベントからの新しいイベントの形成は、イベントに対する操作 (またはアクション) を使用して実行されます。

意味。 2 つのイベントの積は、実験の結果として次のことが起こるという事実からなるイベントです。そしてイベント、そしてつまり、両方のイベントが同時に (同時に) 発生します。

積記号 (ドット) は省略されることがよくあります。

意味。 2 つのイベントの合計は、実験の結果として次のことが起こるという事実からなるイベントです。またはイベント、またはイベント、または両方一緒に（同時に）。

どちらの定義でも接続詞を意図的に強調しましたそしてそしてまたは- 問題を解決する際のスピーチに読者の注意を引くため。接続詞「そして」を発音すると、イベントの生成について話していることになります。接続詞「または」が発音される場合は、イベントを追加する必要があります。同時に、日常会話における接続詞「または」は、「のみまたはのみ」の 2 つのうち 1 つを除外するという意味で使用されることが多いことに注意してください。確率論では、このような例外は想定されていません。、、、、はイベントの発生を意味します。

基本イベントを列挙することによって与えられる場合、指定された操作を使用して複雑なイベントを簡単に取得できます。取得するには、両方のイベントに属するすべての基本イベントを見つける必要があります。存在しない場合は、イベントの合計も簡単に作成できます。2 つのイベントのいずれかを取得し、それに基本イベントを追加する必要があります。最初のイベントに含まれない他のイベント。

例 5 では、特に、

導入された操作はバイナリと呼ばれます。 2 つのイベントに対して定義されています。次の単項演算 (単一のイベントに対して定義) は非常に重要です。イベントは呼び出されます。反対特定の経験においてイベントが発生しなかったという事実に基づいている場合、イベント。この定義から、すべてのイベントとその反対のイベントには次の特性があることが明らかです。導入された操作は呼び出されます。追加イベントA.

したがって、基本イベントのリストが与えられた場合、イベントの仕様がわかっていれば、そのイベントが、属していない空間のすべての基本イベントで構成されていることが簡単に得られます。

括弧がない場合、演算の実行には加算、乗算、加算の優先順位が設定されます。

したがって、導入された操作の助けを借りて、基本イベントのスペースは、いわゆる事象の代数。

例6。射手は標的に向かって３発発砲した。イベント = (射手は i 番目のショットでターゲットを命中しました)、i = 1、2、3 を考えてみましょう。

これらのイベントからいくつかのイベントを作成しましょう (反対のイベントを忘れないようにしましょう)。長いコメントは提供しません。私たちは、読者が独自にそれらを実行すると信じています。

イベント B = (3 発すべてがターゲットに命中)。詳細: B = ( そして初め、そして 2番、そして 3発目が標的に命中した）。使用済みユニオンそして、したがって、イベントは倍増されます。

同じく：

C = (どのショットもターゲットに当たりませんでした)

E = (1 発の弾が目標に到達した)

D = (2 番目のショットでターゲットに命中) = ;

F = (2 発の射撃で命中したターゲット)

N = (少なくとも 1 回のヒットはターゲットに命中します)

知られているように、数学では、分析対象、概念、公式の幾何学的解釈が非常に重要です。

確率論では、経験、ランダムな出来事、およびそれらに対する操作を、いわゆる「幾何学的解釈」の形で視覚的に表現すると便利です。オイラー-ベン図。本質は、あらゆる経験は、特定の正方形に点を投げることによって識別（解釈）されるということです。ドットはランダムに投げられるので、すべてのドットがその正方形のどこにでも均等に着地する可能性があります。四角形は、当該のエクスペリエンスのフレームワークを定義します。エクスペリエンス内の各イベントは、広場の特定のエリアで識別されます。つまり、イベントの発生は、ランダムな点が文字で示された領域内に収まることを意味し、イベントに対する操作は幾何学的に解釈しやすくなります（図2）。

答え:

A + B: 任意

孵化

図 2 a) では、わかりやすくするために、イベント A が垂直の陰影で強調表示され、イベント B が水平の陰影で強調表示されています。この場合、乗算演算は二重ハッチに対応し、イベントは二重ハッチで覆われた正方形の部分に対応します。さらに、その場合、それらは互換性のないイベントと呼ばれます。したがって、加算の操作は任意のハッチングに対応します。イベントは、垂直、水平、および二重のハッチングで影が付けられた正方形の部分を意味します。図 2 b) にイベントが示されています; それは正方形の影付きの部分に対応します - この領域に含まれないすべてのものです導入された操作には次の基本的なプロパティがあり、その一部は同じ名前の操作に有効です数字だけでなく、具体的なものもあります。

１０．乗算の可換性。

２０．加算の可換性。

三十。乗算の結合性。

4 0 。加算結合性、

50．加算に対する乗算の分配性、

6 0 。乗算に対する加算の分配性。

9 0 . ド・モルガンの二元性の法則、

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A、1 .A+ 。 1 .A· = 、1 .A+ =

例7。イワンとピーターは、T 時間 (0,T) の時間間隔で会うことに同意しました。同時に、彼らは、会議に出席する際、お互いが相手を1時間以内に待つことに同意した。

この例を幾何学的に解釈してみましょう。イワンが会議に到着した時刻を示しましょう。ピーターの会議への到着時間。合意どおり: 0 。次に、座標系では次の結果が得られます。 = この例では、基本イベントの空間が正方形であることに簡単に気づくことができます。 1

0 x は、この線の上にある正方形の部分に対応します。同様に、2 番目の不等式 y≤x+ および; に対応します。すべての要素が機能しない場合は機能しません。つまり、したがって、ド・モルガンの双対性の第 2 法則は、要素が並列に接続されているときに実装されます。

上の例は、確率論が物理学、特に実際の技術デバイスの信頼性の計算に広く使用されている理由を示しています。

「偶然は偶然ではない」...哲学者の言葉のように聞こえますが、実際には、ランダム性を研究することは数学という偉大な科学の宿命です。数学では、偶然は確率論によって扱われます。この記事では、タスクの公式と例、およびこの科学の基本的な定義が示されます。

確率論とは何ですか?

確率理論は、ランダムな出来事を研究する数学分野の 1 つです。

もう少しわかりやすくするために、小さな例を挙げてみましょう。コインを投げると、表か裏になる可能性があります。コインが空中にある間は、これらの両方の可能性が考えられます。つまり、考えられる結果の確率は 1:1 です。 36 枚のカードから 1 枚を引く場合、確率は 1:36 と表示されます。ここでは、特に数式の助けを借りて調査したり予測したりすることは何もないようです。ただし、特定のアクションを何度も繰り返すと、特定のパターンを特定し、それに基づいて他の条件でのイベントの結果を予測することができます。

上記すべてを要約すると、古典的な意味での確率論は、数値における起こり得る事象の 1 つが発生する可能性を研究します。

歴史のページから

確率の理論、公式、最初の課題の例は、カードゲームの結果を予測する試みが最初に始まった遠い中世に登場しました。

当初、確率論は数学とは何の関係もありませんでした。それは、実際に再現できる経験的事実や出来事の特性によって正当化されました。数学分野としてのこの分野の最初の研究は 17 世紀に登場しました。創設者はブレーズ・パスカルとピエール・フェルマーです。彼らは長い間ギャンブルを研究し、特定のパターンを発見し、それを一般に伝えることにしました。

同じ手法はクリスティアン・ホイヘンスによって発明されましたが、彼はパスカルとフェルマーの研究結果には詳しくありませんでした。この分野の歴史の中で最初と考えられる「確率理論」の概念、公式、例は彼によって導入されました。

ジェイコブベルヌーイの著作、ラプラスの定理、ポアソンの定理も同様に重要です。彼らは確率理論をより数学的な学問に近づけました。確率理論、公式、基本的なタスクの例は、コルモゴロフの公理のおかげで現在の形になりました。あらゆる変化の結果、確率論は数学の一分野になりました。

確率論の基本概念。イベント

この学問のメインコンセプトは「イベント」です。イベントには次の 3 種類があります。

信頼性のある。いずれにせよ起こることです（コインは落ちます）。
不可能。どのような状況でも起こらないイベント（コインは空中にぶら下がったままになります）。
ランダム。起こることも起こらないことも。これらは、予測が非常に難しいさまざまな要因の影響を受ける可能性があります。コインについて言えば、コインの物理的特性、形状、元の位置、投げる力など、結果に影響を与える可能性のあるランダムな要因が存在します。

例内のすべてのイベントは、異なる役割を持つ P を除き、大文字のラテン文字で示されています。例えば：

A = 「学生が講義に来ました。」
Â = 「学生は講義に来ませんでした。」

実際のタスクでは、出来事は通常、言葉で書き留められます。

イベントの最も重要な特徴の 1 つは、それらの可能性が等しいということです。つまり、コインを投げると、落ちるまでは最初の落下のすべてのバリエーションが可能です。しかし、出来事も同じように起こり得るわけではありません。これは、誰かが意図的に結果に影響を与えた場合に起こります。たとえば、重心が移動した「マークされた」トランプやサイコロなどです。

イベントには互換性がある場合と、互換性がない場合もあります。互換性のあるイベントは、互いの発生を排除しません。例えば：

A = 「その学生は講義に来ました。」
B = 「その学生は講義に来ました。」

これらのイベントは互いに独立しており、一方の発生は他方の発生に影響を与えません。互換性のないイベントは、あるイベントの発生が別のイベントの発生を排除するという事実によって定義されます。同じコインについて言えば、「裏」が失われると、同じ実験で「表」が現れることが不可能になります。

イベントに対するアクション

イベントは乗算したり加算したりできるため、この分野では論理接続詞「AND」と「OR」が導入されています。

この量は、イベント A または B、または 2 つが同時に発生する可能性があるという事実によって決まります。それらに互換性がない場合、最後の選択肢は不可能であり、A または B のいずれかがロールされます。

事象の増殖は、A と B が同時に現れることで構成されます。

ここで、基本、確率理論、公式をよりよく覚えるために、いくつかの例を示します。以下に問題解決の例を示します。

演習 1: その会社は 3 種類の仕事の契約を獲得するための競争に参加しています。発生する可能性のあるイベント:

A = 「会社は最初の契約を受け取ります。」
A 1 = 「会社は最初の契約を受け取りません。」
B = 「会社は 2 番目の契約を受け取ることになります。」
B 1 = 「会社は 2 番目の契約を受け取らない」
C = 「会社は 3 番目の契約を受け取ることになります。」
C 1 = 「その会社は 3 番目の契約を受け取りません。」

イベントに対するアクションを使用して、次の状況を表現してみます。

K = 「会社はすべての契約を受け取ります。」

数学的形式では、方程式は次の形式になります: K = ABC。

M = 「会社は一件も契約を受け取らないでしょう。」

M = A 1 B 1 C 1.

タスクを複雑にしてみましょう: H = 「会社は 1 つの契約を受け取ります。」会社がどの契約を受け取るか (1 回目、2 回目、または 3 回目) は不明であるため、起こり得るあらゆるイベントを記録する必要があります。

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C。

そして、1 BC 1 は、企業が最初と 3 番目の契約を受け取らず、2 番目の契約を受け取る一連のイベントです。他の起こり得るイベントは、適切な方法を使用して記録されました。この分野の記号 υ は接続詞「OR」を表します。上記の例を人間の言語に翻訳すると、企業は 3 番目の契約、2 番目、または 1 番目の契約のいずれかを受け取ることになります。同様の方法で、「確率理論」という分野の他の条件を書き留めることができます。上記で紹介した問題解決の公式と例は、これを自分で行うのに役立ちます。

実は確率は

おそらく、この数学分野では、出来事の確率が中心的な概念です。確率には 3 つの定義があります。

クラシック;
統計的;
幾何学的な。

それぞれが確率の研究において役割を果たします。確率理論、公式、例 (9 年生) では主に次のような古典的な定義が使用されます。

状況 A の確率は、その発生に有利な結果の数と、考えられるすべての結果の数の比に等しくなります。

式は次のようになります: P(A)=m/n。

A は実際にはイベントです。 A と逆の場合は Ā または A 1 と書くことができます。

m は考えられる有利なケースの数です。

n - 発生する可能性のあるすべてのイベント。

たとえば、A = 「ハートのスートのカードを引く」。標準的なデッキには 36 枚のカードがあり、そのうち 9 枚はハートのカードです。したがって、問題を解くための公式は次のようになります。

P(A)=9/36=0.25。

その結果、山札からハートのスートのカードが引ける確率は0.25となります。

より高度な数学を目指して

今では、確率論が何であるか、学校のカリキュラムで遭遇する公式や問題の解決例が何であるかは、ほとんど知られるようになりました。ただし、確率論は大学で教えられる高等数学にも含まれています。ほとんどの場合、それらは理論の幾何学的および統計的定義と複雑な式を使用して動作します。

確率論はとても興味深いですね。確率の統計的 (または頻度) の定義を使用して、公式と例 (高等数学) を小規模に学習し始める方が良いでしょう。

統計的アプローチは古典的なアプローチと矛盾するものではありませんが、それをわずかに拡張したものです。最初のケースで、イベントが発生する確率を決定する必要がある場合、この方法では、イベントが発生する頻度を示す必要があります。ここでは、W n (A) で表すことができる「相対周波数」という新しい概念が導入されています。この式は古典的なものと変わりません。

古典的な式が予測のために計算される場合、統計的な式は実験の結果に従って計算されます。たとえば、小さなタスクを考えてみましょう。

技術管理部門が製品の品質をチェックします。 100 個の製品のうち、3 個が品質が悪いことが判明しました。品質の高い製品の頻度確率を見つけるにはどうすればよいですか?

A = 「高品質の製品の外観」。

W n (A)=97/100=0.97

したがって、良品の頻度は 0.97 です。 97ってどこから手に入れたんですか？ 100 個の製品を検査したところ、3 個が品質が悪いことが判明しました。 100から3を引くと97が得られ、これが良品の量です。

組み合わせ論について少し

確率論の別の方法は組み合わせ論と呼ばれます。その基本原理は、ある選択 A を m 通りの異なる方法で行うことができ、選択 B を n 通りの異なる方法で行うことができる場合、A と B の選択は乗算によって行うことができるということです。

たとえば、A 市から B 市に向かう道路が 5 本あります。都市Bから都市Cまでは4つの道があります。都市 A から都市 C まで行く方法は何通りありますか?

それは簡単です: 5x4=20、つまり、点 A から点 C までは 20 通りの方法で移動できます。

タスクを複雑にしてみましょう。ソリティアでカードをレイアウトする方法は何通りありますか? デッキには 36 枚のカードがあり、これが出発点です。方法の数を求めるには、開始点から一度に 1 枚のカードを「減算」して乗算する必要があります。

つまり、36x35x34x33x32...x2x1= 結果は電卓画面に収まらないため、単純に 36! と指定できます。サイン "！" 数字の横にあるは、一連の数字全体が掛け合わされていることを示します。

組み合わせ論には、順列、配置、組み合わせなどの概念があります。それぞれに独自の公式があります。

セットの要素の順序付けされたセットは配置と呼ばれます。配置は繰り返すことができます。つまり、1 つの要素を複数回使用できます。繰り返しなし、要素が繰り返されない場合。 n はすべての要素、m は配置に参加する要素です。繰り返しのない配置の式は次のようになります。

A n m =n!/(n-m)!

配置順序のみが異なる n 個の要素の接続を順列と呼びます。数学では次のようになります: P n = n!

m の n 個の元素の組み合わせは、それらがどのような元素であり、その合計数が何であるかが重要である化合物です。式は次のようになります。

A n m =n!/m!(n-m)!

ベルヌーイの公式

確率論にも、他の分野と同様に、その分野でそれを新たなレベルに引き上げた優れた研究者の業績があります。これらの研究の 1 つはベルヌーイの公式で、これを使用すると、独立した条件下で特定のイベントが発生する確率を決定できます。これは、実験における A の発生が、以前またはその後の試行での同じイベントの発生または非発生に依存しないことを示唆しています。

ベルヌーイの方程式:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m。

イベント (A) が発生する確率 (p) は、各試行で一定です。状況が n 回の実験で正確に m 回発生する確率は、上に示した式によって計算されます。したがって、数値qをどのように見つけるかという問題が生じます。

イベント A が p 回発生すると、イベント A が発生しない可能性があります。単位は、専門分野における状況のすべての結果を指定するために使用される数値です。したがって、q はイベントが発生しない可能性を示す数です。

これでベルヌーイの公式（確率論）が分かりました。以下では、問題解決 (第 1 レベル) の例を検討します。

タスク 2:来店者は確率 0.2 で購入します。 6名の来場者がそれぞれ独立して入店しました。訪問者が購入する可能性はどのくらいですか?

解決策: 何人の訪問者が購入する必要があるか (1 人または 6 人全員) 不明なため、ベルヌーイの公式を使用してすべての可能な確率を計算する必要があります。

A = 「訪問者は購入します。」

この場合: p = 0.2 (タスクで示されているとおり)。したがって、q=1-0.2=0.8となります。

n = 6 (店内に 6 人の顧客がいるから)。数値 m は、0 (1 人の顧客も購入しない) から 6 (ストアを訪れたすべての訪問者が何かを購入する) まで変化します。その結果、次のような解決策が得られます。

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621。

確率 0.2621 では、購入者は誰も購入しません。

ベルヌーイの公式 (確率論) は他にどのように使用されますか? 問題解決の例 (第 2 レベル) を以下に示します。

上の例の後、C と r がどこに行ったのかという疑問が生じます。 p に関して、0 乗の数値は 1 に等しくなります。 C については、次の式で求められます。

C n m = n! /m!(n-m)!

最初の例ではそれぞれ m = 0 であるため、C = 1 ですが、原則として結果には影響しません。新しい公式を使用して、2 人の訪問者が商品を購入する確率を調べてみましょう。

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246。

確率論はそれほど複雑ではありません。上に例を示したベルヌーイの公式は、これを直接証明しています。

ポアソンの公式

ポアソン方程式は、確率の低いランダムな状況を計算するために使用されます。

基本的な式:

Ｐｎ（ｍ）＝λ ｍ／ｍ！ × e (-λ) 。

この場合、λ = n x pです。これは簡単なポアソン公式 (確率論) です。以下で問題解決の例を検討します。

タスク 3: その工場は 100,000 個の部品を生産しました。不良品の発生＝0.0001。バッチ内に 5 個の不良部品が存在する確率はどれくらいですか?

ご覧のとおり、結婚はあり得ない出来事であるため、計算にはポアソン公式 (確率論) が使用されます。この種の問題を解決する例は、この分野の他のタスクと何ら変わりません。必要なデータを指定された式に代入します。

A = 「ランダムに選択された部品に欠陥があります。」

p = 0.0001 (タスク条件による)。

n = 100000 (パーツ数)。

m = 5 (欠陥部品)。データを数式に代入すると、次の結果が得られます。

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0.0375。

ベルヌーイの公式 (確率論) と同様に、これを使用した解の例は上に記載されていますが、ポアソン方程式には未知の e があり、実際には次の式で求めることができます。

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n 。

ただし、e のほぼすべての値を含む特別なテーブルがあります。

ド・モアブル・ラプラスの定理

ベルヌーイスキームで試行回数が十分に大きく、すべてのスキームでイベント A が発生する確率が同じである場合、一連のテストでイベント A が特定の回数発生する確率は、次の式で求めることができます。ラプラスの公式:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m)。

X m = m-np/√npq。

ラプラスの公式 (確率論) をよりよく覚えるために、以下に問題の例を示します。

まず、X m を見つけて、データ (すべて上にリストしたもの) を式に代入して、0.025 を取得しましょう。表を使用して数値 ϕ(0.025) を求め、その値は 0.3988 です。これで、すべてのデータを式に代入できます。

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03。

したがって、フライヤーが正確に 267 回機能する確率は 0.03 です。

ベイズの公式

ベイズの公式 (確率理論) は、以下にその助けを借りて問題を解決する例を示しますが、これは、イベントに関連する可能性のある状況に基づいて、イベントの確率を記述する方程式です。基本的な式は次のとおりです。

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B)。

A と B は明確なイベントです。

P(A|B) は条件付き確率です。つまり、イベント B が真である場合にイベント A が発生する可能性があります。

P (B|A) - イベント B の条件付き確率。

したがって、短期コース「確率理論」の最後の部分はベイズの公式です。問題の解決策の例は以下のとおりです。

タスク5: 3 社の電話機が倉庫に持ち込まれました。同時に、最初の工場で製造される携帯電話のシェアは25％、2番目の工場で60％、3番目の工場で15％です。また、最初の工場での不良品の平均割合は 2%、2 番目の工場では 4%、3 番目の工場では 1% であることも知られています。ランダムに選択された電話機が故障する確率を見つける必要があります。

A = 「ランダムに選ばれた電話」。

B 1 - 最初の工場で製造された電話機。したがって、入門編のB2、B3（第2工場、第3工場用）が登場します。

結果として、次のことが得られます。

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - したがって、各オプションの確率がわかりました。

ここで、目的のイベントの条件付き確率、つまり企業内で欠陥製品が発生する確率を見つける必要があります。

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01。

次に、データをベイズの公式に代入して、次を取得しましょう。

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305。

この記事では確率論、公式、問題解決の例が紹介されていますが、これは広大な専門分野の氷山の一角にすぎません。そして、ここまで書かれてきたことを踏まえると、確率論が人生に必要かどうかという疑問を抱くのは論理的でしょう。普通の人には答えるのが難しいので、何度もジャックポットを当てたことがある人に聞いたほうが良いでしょう。

確率理論は、ランダム現象、ランダム変数、それらの特性とそれらに対する操作など、ランダム現象のパターンを研究する数学の一分野です。

長い間、確率論には明確な定義がありませんでした。制定されたのは 1929 年になってからです。科学としての確率論の出現は、中世に遡り、ギャンブル (フレーク、サイコロ、ルーレット) の数学的分析が初めて試みられました。 17 世紀のフランスの数学者、ブレーズパスカルとピエールフェルマーは、ギャンブルでの賞金の予測を研究しているときに、サイコロを投げたときに生じる最初の確率パターンを発見しました。

確率理論は、大量のランダムな出来事が特定のパターンに基づいているという信念から科学として生まれました。確率理論はこれらのパターンを研究します。

確率理論は、その発生が確実に知られていない事象の研究を扱います。これにより、あるイベントの発生確率を他のイベントと比較して判断できます。

たとえば、コインを投げた結果が「表」か「裏」かを一義的に判断することは不可能ですが、コインを投げ続けると、ほぼ同じ数の「表」と「裏」が現れます。「表」または「裏」が落ちる確率は 50% に相当します。

テストこの場合、特定の条件セットの実装はコイントスと呼ばれます。チャレンジは無制限にプレイできます。この場合、一連の条件にはランダムな要素が含まれます。

テスト結果は イベント。イベントが発生します:

信頼性があります (テストの結果として常に発生します)。
不可能です（決して起こりません）。
ランダム (テストの結果として発生する場合と発生しない場合があります)。

たとえば、コインを投げるとき、コインが端に着地するという不可能な出来事、「表」または「裏」が現れるランダムな出来事です。特定のテスト結果は次のように呼ばれます。 初歩的な出来事。テストの結果、初歩的なイベントのみが発生します。すべての可能な、異なる、特定のテスト結果のセットは、と呼ばれます。 初歩的な出来事の空間.

理論の基本概念

確率- 事象が発生する可能性の程度。ある起こり得る出来事が実際に起こる理由が反対の理由を上回る場合、その出来事は起こり得ると呼ばれ、そうでない場合は起こりそうもない、またはありそうもないと言われます。

ランダムな値- これは、テストの結果、1 つまたは別の値を取ることができる量であり、どの値になるかは事前にはわかりません。例: 1 日あたりの消防署ごとの数、10 発の射撃による命中数など。

確率変数は 2 つのカテゴリに分類できます。

離散確率変数テストの結果、一定の確率で特定の値をとり、可算集合（要素に番号を付けることができる集合）を形成する量です。このセットは有限または無限のいずれかになります。たとえば、ターゲットに最初に命中するまでのショットの数は離散確率変数です。この量は、可算であるにもかかわらず、無限の数の値を取ることができます。
連続確率変数は、有限または無限の区間から任意の値を取ることができる量です。明らかに、連続確率変数の取り得る値の数は無限です。

確率空間- A.N.によって導入されたコンセプトコルモゴロフは 20 世紀の 30 年代に確率の概念を定式化し、これにより厳密な数学的学問として確率論が急速に発展しました。

確率空間はトリプル (山括弧: で囲まれる場合もあります) です。

これは任意のセットであり、その要素は基本イベント、結果、またはポイントと呼ばれます。
- (ランダム) イベントと呼ばれるサブセットのシグマ代数。
- 確率の尺度または確率、つまり次のようなシグマ加法有限測度。

ド・モアブル・ラプラスの定理- 1812 年にラプラスによって確立された確率論の極限定理の 1 つ。これは、2 つの可能な結果を想定して同じランダムな実験を何度も繰り返した場合の成功数がほぼ正規分布することを示しています。これにより、おおよその確率値を見つけることができます。

独立した試行ごとに、何らかのランダムなイベントが発生する確率が () に等しく、それが実際に発生する試行の数である場合、不等式が真である確率は (値が大きい場合) に近くなります。ラプラス積分の値。

確率論における分布関数- 確率変数または確率ベクトルの分布を特徴付ける関数。確率変数 X が x 以下の値を取る確率。x は任意の実数です。既知の条件が満たされる場合、確率変数は完全に決定されます。

期待値- 確率変数の平均値 (これは、確率理論で考慮される確率変数の確率分布です)。英語文献では、ロシア語では - で表されます。統計ではこの表記がよく使われます。

確率空間とその上で定義された確率変数が与えられるとします。つまり、定義上、測定可能な関数です。次に、空間上のルベーグ積分がある場合、それは数学的期待値、または平均値と呼ばれ、と表されます。

確率変数の分散- 与えられた確率変数の広がりの尺度、つまり数学的期待からの偏差。それはロシアおよび外国の文献で指定されています。統計では、またはという表記がよく使用されます。分散の平方根は、標準偏差、標準偏差、または標準広がりと呼ばれます。

を、ある確率空間上で定義された確率変数としましょう。それから

ここで、記号は数学的な期待値を示します。

確率論では、2 つのランダムな出来事を次のように呼びます。 独立した、一方の発生によってもう一方の発生確率が変わらない場合。同様に、2 つの確率変数が呼び出されます。依存、それらの一方の値が他方の値の確率に影響を与える場合。

大数の法則の最も単純な形式はベルヌーイの定理です。これは、イベントの確率がすべての試行で同じである場合、試行回数が増加するにつれて、イベントの頻度はイベントの確率に近づく傾向があると述べています。ランダムではなくなります。

確率論における大数の法則は、固定分布からの有限サンプルの算術平均は、その分布の理論的平均に近いと述べています。収束の種類に応じて、確率によって収束が起こる場合の弱い大数の法則と、ほぼ確実に収束する場合の強い大数の法則が区別されます。

大数の法則の一般的な意味は、多数の同一で独立したランダム要因の共同作用が、極限内で偶然に依存しない結果をもたらすということです。

有限サンプル分析に基づいて確率を推定する方法は、この特性に基づいています。わかりやすい例は、有権者のサンプルに対する調査に基づく選挙結果の予測です。

中心極限定理- 確率論における定理の一種で、スケールがほぼ同じである (どの項も和に対して支配的または決定的な寄与をしない) 十分に多数の弱く依存する確率変数の和が正規に近い分布を持つことを示します。

アプリケーションの多くの確率変数は、依存性の弱いいくつかの確率要因の影響下で形成されるため、それらの分布は正規であると考えられます。この場合、どの要因も支配的ではないという条件が満たされなければなりません。このような場合の中心極限定理により、正規分布の使用が正当化されます。

プログラマーの中には、通常の商用アプリケーションの開発の分野で働いた後、機械学習を習得してデータアナリストになることを考える人もいます。彼らは特定の手法がなぜ機能するのか理解していないことが多く、ほとんどの機械学習手法は魔法のように思えます。実際、機械学習は数学的統計に基づいており、数学的統計は確率論に基づいています。したがって、この記事では確率論の基本概念に注目し、確率、分布の定義に触れ、いくつかの簡単な例を分析します。

確率論が従来から 2 つの部分に分かれていることはご存知かもしれません。離散確率理論は、有限 (または可算) 個の可能な行動オプション (サイコロを投げる、コインを投げる) の分布によって説明できる現象を研究します。連続確率理論では、セグメント上や円内など、ある密集した集合に分布する現象を研究します。

簡単な例を使って確率論の主題を検討してみましょう。自分がシューティングゲームの開発者であると想像してください。このジャンルのゲーム開発に不可欠な部分は、シューティングの仕組みです。すべての武器が完全に正確に射撃するシューティングゲームがプレイヤーにとってほとんど興味を持たないことは明らかです。したがって、武器に拡散を追加することが不可欠です。ただし、武器の着弾点をランダム化するだけでは細かい調整ができないため、ゲームバランスの調整が難しくなります。同時に、確率変数とその分布を使用すると、特定の拡散で武器がどのように機能するかを分析し、必要な調整を行うのに役立ちます。

基本的な結果の空間

何度も繰り返すことができるランダムな実験 (たとえば、コインを投げる) から、形式化された情報 (表か裏か) を抽出できるとします。この情報は基本結果と呼ばれ、多くの場合、文字 Ω (オメガ) で示される、すべての基本結果のセットを考慮すると便利です。

この空間の構造は実験の性質に完全に依存します。たとえば、十分に大きな円形のターゲットで射撃することを考えると、基本的な結果の空間は便宜上、中心がゼロになるように配置された円になり、結果はこの円の中の点になります。

さらに、一連の基本的な結果、つまりイベントが考慮されます (たとえば、トップ 10 に到達することは、ターゲットとの小さな半径の同心円です)。離散的なケースでは、すべてが非常に単純です。有限時間内の基本的な結果を含む、または除外するあらゆるイベントを取得できます。連続の場合は、すべてがはるかに複雑になります。考慮する必要がある、加算、減算、除算、乗算できる単純な実数からの類推により代数と呼ばれる、かなり優れた集合のグループが必要になります。代数の集合は交差したり結合したりすることができ、演算の結果が代数になります。これは、これらすべての概念の背後にある数学にとって非常に重要な特性です。最小家族は、空集合と基本結果の空間という 2 つの集合のみで構成されます。

尺度と確率

確率は、非常に複雑なオブジェクトがどのように機能するかを理解せずに、その動作について推論する方法です。したがって、確率は、数値を返すイベント (非常に優れたセットのファミリーからの) の関数として定義されます。これは、そのようなイベントが実際にどのくらいの頻度で発生するかを表す特性です。確かに、数学者たちは、この数値が 0 と 1 の間にあるべきであることに同意しました。さらに、この関数には要件があります。不可能なイベントの確率がゼロであること、結果のセット全体の確率が単位であること、2 つの独立したイベント (素セット) を組み合わせる確率が確率の合計に等しいことです。確率の別名は確率測度です。ほとんどの場合、長さ、面積、体積の概念を任意の次元 (n 次元体積) に一般化するルベーグ測度が使用されるため、幅広いクラスの集合に適用できます。

基本的な結果のセット、セットのファミリー、および確率尺度を合わせて、と呼びます。 確率空間。標的に向けて射撃する場合の確率空間をどのように構築できるかを考えてみましょう。

絶対に見逃せない半径 R の大きな丸いターゲットに向けて射撃することを考えてください。一連の要素イベントによって、半径 R の座標の原点を中心とする円を設定します。イベントの確率を記述するために面積 (2 次元集合のルベーグ測度) を使用するので、(この測度が存在する) 可測集合のファミリーを使用します。

注実際、これは技術的な点であり、単純な問題では、メジャーと集合のファミリーを決定するプロセスは特別な役割を果たしません。しかし、確率論に関する多くの本の定理は次の言葉で始まるため、これら 2 つのオブジェクトが存在することを理解する必要があります。 (Ω,Σ,P) を確率空間とします...».

上で述べたように、基本的な結果の空間全体の確率は 1 に等しくなければなりません。学校でよく知られている公式によれば、円の面積 (二次元ルベーグ測度、λ 2 (A) と表します。A は事象) は π *R 2 に等しくなります。次に、確率 P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) を導入することができ、この値はイベント A に対してすでに 0 と 1 の間に収まります。

ターゲット上の任意の点に命中する可能性が等しいと仮定すると、射手がターゲットのある領域に命中する確率の検索は、このセットの領域を見つけることになります (ここから、確率は次のように結論付けることができます)点の面積がゼロであるため、特定の点に当たる確率はゼロです）。

たとえば、シューターがトップ 10 に入る確率を調べたいとします (イベント A - シューターが目的のセットにヒットする)。私たちのモデルでは、「10」は中心がゼロ、半径が r の円で表されます。この場合、この円に入る確率は P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 となります。

これは、最も単純なタイプの「幾何確率」問題の 1 つです。これらの問題のほとんどは、領域を見つける必要があります。

ランダム変数

確率変数は、基本的な結果を実数に変換する関数です。たとえば、考慮されている問題では、衝突点からターゲットの中心までの距離である確率変数 ρ(ω) を導入できます。私たちのモデルは単純なので、基本的な結果の空間を明示的に定義できます: Ω = (ω = (x,y) x 2 +y 2 ≤ R 2 であるような数) 。次に、確率変数 ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 となります。

確率空間からの抽象化の手段。分布関数と密度

空間の構造がよくわかっていれば良いのですが、実際には必ずしもそうとは限りません。空間の構造はわかっていても、複雑になる場合があります。確率変数の式が不明な場合に確率変数を説明するには、F ξ (x) = P(ξ で表される分布関数の概念があります。< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

分布関数にはいくつかのプロパティがあります。

まず、0と1の間です。
第二に、引数 x が増加しても減少しません。
第三に、数値 -x が非常に大きい場合、分布関数は 0 に近くなり、x 自体が大きい場合、分布関数は 1 に近くなります。

おそらく、この構造の意味は、最初に読んだだけではあまり明確ではありません。便利なプロパティの 1 つは、分布関数を使用すると、値が区間から値を取得する確率を調べることができることです。したがって、P (確率変数 ξ は区間から値を取得します) = F ξ (b)-F ξ (a) となります。この等式に基づいて、区間の境界 a と b が近い場合にこの値がどのように変化するかを調べることができます。

d = b-a とすると、 b = a+d になります。したがって、 F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) となります。 d の値が小さい場合、上記の差も小さくなります (分布が連続的である場合)。比率 p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d を考慮することは理にかなっています。 d の値が十分に小さい場合、この比が d とは無関係にある定数 p ξ (a) とほとんど変わらない場合、この時点で確率変数の密度は p ξ (a) に等しいことになります。

注以前に導関数の概念に遭遇したことのある読者は、p ξ (a) が点 a における関数 F ξ (x) の導関数であることに気づくかもしれません。いずれにしても、導関数の概念については、Mathprofi Web サイトのこのトピックに関する記事で学ぶことができます。

ここで、分布関数の意味は次のように定義できます。点 a でのその微分値 (上で定義した密度 p ξ) は、確率変数が点 a を中心とする小さな区間 (点 a の近傍) に入る頻度を表します。 ) 他のポイントの近傍と比較します。言い換えれば、分布関数の増大が速いほど、ランダム実験でそのような値が現れる可能性が高くなります。

例に戻りましょう。確率変数の分布関数 ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 を計算できます。これは、中心からターゲット上のランダムなヒットポイントまでの距離を示します。定義により、F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

この確率変数の密度 p ρ を求めることができます。区間の外側ではゼロであることにすぐに注目してください。この区間にわたる分布関数は変化しません。この間隔の終わりでは、密度は決定されません。区間内では、導関数の表 (たとえば、Mathprofi Web サイトから) と微分の基本規則を使用して見つけることができます。 t 2 /R 2 の導関数は 2t/R 2 に等しくなります。これは、実数の軸全体の密度を求めたことを意味します。

密度のもう 1 つの有用な特性は、関数が区間から値を取得する確率です。これは、この区間にわたる密度の積分を使用して計算されます (これが何であるかについては、Mathprofi の適切積分、不定積分、および不定積分に関する記事を参照してください)。 Webサイト）。

最初に読むと、関数 f(x) の区間にわたる積分は、湾曲した台形の面積と考えることができます。その辺は、Ox 軸の断片、ギャップ (水平座標軸)、曲線上の点 (a,f(a))、(b,f(b)) と点 (a,0) を接続する垂直セグメントです。 Ox 軸上の (b,0 )。最後の辺は、 (a,f(a)) から (b,f(b)) までの関数 f のグラフの断片です。十分に大きな負の値 a の場合、区間 (-∞; b] にわたる積分について話すことができます。区間にわたる積分の値は、数値 a の変化に比べて無視できるほど変化します。区間にわたる積分は次のとおりです。合計で 2×2×2×2 = 16 個の結果が得られます個々のショットの結果が独立しているという仮定に従って、式 (3) とその注記を使用してこれらの結果の確率を決定する必要があります。、結果の確率 (y, n.n, n) は 0.2×0.8×0.8×0、8 = 0.1024 に等しく設定する必要があります。ここで 0.8 = 1-0.2 は 1 回のショットでミスする確率です。ターゲットは 3 回ヒットしました」は、結果 (y, y, y, n)、(y, y, n, y)、(y, n, y, y) によって優先されます。(n, y, y, y) 、それぞれの確率は同じです。

0.2×0.2×0.2×0.8 =...... =0.8×0.2×0.2×0.2 = 0.0064;

したがって、必要な確率は次のようになります。

4×0.0064 = 0.0256。

分析された例の推論を一般化すると、確率論の基本公式の 1 つを導き出すことができます。イベント A1、A2、...、An が独立しており、それぞれの確率が p である場合、それらのうちちょうど m 個が発生する確率は次のようになります。に等しい

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

ここで、Cnm は m の n 個の要素の組み合わせの数を示します。 n が大きい場合、式 (4) を使用した計算は困難になります。前の例のショット数を 100 とすると、ヒット数が 8 ～ 32 の範囲にある確率 x を求める問題が求められます。式 (4) と加算定理を適用すると、正確な次の結果が得られます。しかし、望ましい確率の表現は実際には使用できません

確率 x の近似値は、ラプラスの定理を使用して求めることができます。

誤差は 0.0009 を超えません。見つかった結果は、イベント 8 ポンド m ポンド 32 がほぼ確実であることを示しています。これは、確率論における極限定理の使用の最も単純ですが典型的な例です。

初等確率理論の基本公式には、いわゆる全確率公式も含まれます。事象 A1、A2、...、Ar がペアごとに互換性がなく、それらの和集合が信頼できる事象である場合、任意の事象 B について、その確率は次と等しくなります。合計

確率乗算定理は、複合テストを検討する場合に特に役立ちます。試行 T の各結果が対応する結果 Ai、Bj、...、Xk、Yl の組み合わせである場合、試行 T は試行 T1、T2、...、Tn-1、Tn で構成されていると言われます。トライアル T1、T2、...、Tn-1、Tn。何らかの理由で、確率は判明していることが多い