In quali casi si verificano i risultati? Teoria della probabilità: formule ed esempi di risoluzione dei problemi. Schema probabilistico classico

Per confrontare quantitativamente gli eventi tra loro secondo il grado della loro possibilità, ovviamente, è necessario associare a ciascun evento un certo numero, che è maggiore quanto più l'evento è possibile. Chiameremo questo numero la probabilità di un evento. Così, probabilità di un eventoè una misura numerica del grado di possibilità oggettiva di questo evento.

La prima definizione di probabilità va considerata quella classica, nata dall'analisi del gioco d'azzardo e inizialmente applicata in modo intuitivo.

Il metodo classico per determinare la probabilità si basa sul concetto di eventi ugualmente possibili e incompatibili, che sono il risultato di una determinata esperienza e formano un gruppo completo di eventi incompatibili.

L'esempio più semplice di eventi ugualmente possibili e incompatibili che formano un gruppo completo è l'apparizione dell'una o dell'altra palla da un'urna contenente più palline della stessa dimensione, peso e altre caratteristiche tangibili, diverse solo per il colore, accuratamente mescolate prima di essere rimosse.

Pertanto, un test i cui esiti formano un gruppo completo di eventi incompatibili e ugualmente possibili si dice che sia riducibile a uno schema di urne, o a uno schema di casi, o si adatti allo schema classico.

Eventi ugualmente possibili e incompatibili che compongono un gruppo completo saranno chiamati semplicemente casi o possibilità. Inoltre, in ogni esperimento, insieme ai casi, possono verificarsi eventi più complessi.

Esempio: Quando si lancia un dado, insieme ai casi A i - la perdita di i-punti sul lato superiore, possiamo considerare eventi come B - la perdita di un numero pari di punti, C - la perdita di un numero di punti punti multipli di tre...

In relazione a ciascun evento che può verificarsi durante l'esperimento, i casi sono suddivisi in favorevole, in cui tale evento si verifica, e sfavorevole, in cui l'evento non si verifica. Nell'esempio precedente l'evento B è favorito dai casi A 2, A 4, A 6; evento C - casi A 3, A 6.

Probabilità classica il verificarsi di un determinato evento è chiamato rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di questo evento e il numero totale di casi ugualmente possibili e incompatibili che compongono il gruppo completo in un dato esperimento:

Dove PAPÀ)- probabilità di accadimento dell'evento A; M- il numero di casi favorevoli all'evento A; N- numero totale di casi.

Esempi:

1) (vedi esempio sopra) P(B)= , P(C) =.

2) L'urna contiene 9 palline rosse e 6 blu. Trova la probabilità che una o due palline estratte a caso risultino rosse.

UN- una pallina rossa estratta a caso:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, PAPÀ)=

B- due palline rosse estratte a caso:

Le seguenti proprietà derivano dalla definizione classica di probabilità (mostrati):

1) La probabilità di un evento impossibile è 0;

2) La probabilità di un evento affidabile è 1;

3) La probabilità di qualsiasi evento è compresa tra 0 e 1;

4) La probabilità di un evento opposto all'evento A,

La definizione classica di probabilità presuppone che il numero di risultati di una prova sia finito. In pratica, molto spesso ci sono dei test, il cui numero di casi possibili è infinito. Inoltre, il punto debole della definizione classica è che molto spesso è impossibile rappresentare il risultato di un test sotto forma di un insieme di eventi elementari. Ancora più difficile è indicare le ragioni per cui considerare ugualmente possibili gli esiti elementari di una prova. Di solito, l'equipossibilità dei risultati dei test elementari si conclude da considerazioni di simmetria. Tuttavia, tali compiti sono molto rari nella pratica. Per questi motivi, oltre alla definizione classica di probabilità, vengono utilizzate anche altre definizioni di probabilità.

Probabilità statistica evento A è la frequenza relativa con cui si verifica questo evento nei test eseguiti:

dove è la probabilità che si verifichi l'evento A;

Frequenza relativa di occorrenza dell'evento A;

Il numero di prove in cui è apparso l'evento A;

Numero totale di prove.

A differenza della probabilità classica, la probabilità statistica è una caratteristica della probabilità sperimentale.

Esempio: per controllare la qualità dei prodotti di un lotto, sono stati selezionati a caso 100 prodotti, tra i quali 3 prodotti si sono rivelati difettosi. Determina la probabilità del matrimonio.

Il metodo statistico per determinare la probabilità è applicabile solo a quegli eventi che hanno le seguenti proprietà:

Gli eventi in esame dovrebbero essere il risultato solo di quei test che possono essere riprodotti un numero illimitato di volte nelle stesse condizioni.

Gli eventi devono avere stabilità statistica (o stabilità delle frequenze relative). Ciò significa che nelle diverse serie di test la frequenza relativa dell'evento cambia poco.

Il numero di prove risultanti nell'evento A deve essere piuttosto elevato.

È facile verificare che le proprietà di probabilità derivanti dalla definizione classica vengono preservate anche nella definizione statistica di probabilità.

La probabilità è uno dei concetti base della teoria della probabilità. Esistono diverse definizioni di questo concetto. Diamo una definizione che si chiama classica.

Probabilità L'evento è il rapporto tra il numero di risultati elementari favorevoli per un dato evento e il numero di tutti i risultati ugualmente possibili dell'esperienza in cui questo evento può verificarsi.

La probabilità dell'evento A è indicata da PAPÀ)(Qui R– la prima lettera di una parola francese probabilità- probabilità).

Secondo la definizione

dove è il numero degli esiti dei test elementari favorevoli al verificarsi dell'evento;

Il numero totale di possibili risultati dei test elementari.

Questa definizione di probabilità si chiama classico. È sorto nella fase iniziale dello sviluppo della teoria della probabilità.

Il numero è spesso chiamato la frequenza relativa del verificarsi di un evento UN nell'esperienza.

Maggiore è la probabilità di un evento, più spesso si verifica e, viceversa, minore è la probabilità di un evento, meno spesso si verifica. Quando la probabilità di un evento è vicina o uguale a uno, ciò si verifica in quasi tutte le prove. Si dice che un evento del genere avvenga quasi sicuro, cioè che si può certamente contare sul suo verificarsi.

Al contrario, quando la probabilità è nulla o molto piccola, allora l'evento si verifica estremamente raramente; si dice che un evento del genere avvenga quasi impossibile.

A volte la probabilità è espressa in percentuale: P(A) 100%è la percentuale media del numero di occorrenze di un evento UN.

Esempio 2.13. Durante la composizione di un numero di telefono, l'abbonato ha dimenticato una cifra e l'ha composta a caso. Trovare la probabilità che venga composto il numero corretto.

Soluzione.

Indichiamo con UN evento: "il numero richiesto è stato composto".

L'abbonato può comporre una qualsiasi delle 10 cifre, quindi il numero totale di possibili risultati elementari è 10. Questi risultati sono incompatibili, ugualmente possibili e formano un gruppo completo. Favorisce l'evento UN un solo risultato (c'è un solo numero richiesto).

La probabilità richiesta è pari al rapporto tra il numero di esiti favorevoli all’evento e il numero di tutti gli esiti elementari:

La formula classica della probabilità fornisce un modo molto semplice e senza esperimenti per calcolare le probabilità. Tuttavia, la semplicità di questa formula è molto ingannevole. Il fatto è che quando lo si utilizza di solito sorgono due domande molto difficili:

1. Come scegliere un sistema di risultati sperimentali in modo che siano ugualmente possibili, ed è possibile farlo?

2. Come trovare i numeri M E N?

Se in un esperimento vengono coinvolti più oggetti, non è sempre facile vedere risultati ugualmente possibili.

Il grande filosofo e matematico francese d'Alembert è entrato nella storia della teoria della probabilità con il suo famoso errore, la cui essenza era quella di determinare erroneamente l'equipossibilità dei risultati in un esperimento con solo due monete!

Esempio 2.14. ( L'errore di d'Alembert). Vengono lanciate due monete identiche. Qual è la probabilità che cadano dalla stessa parte?

La soluzione di D'Alembert.

L’esperimento ha tre risultati ugualmente possibili:

1. Entrambe le monete daranno testa;

2. Entrambe le monete escono croce;

3. Una delle monete cadrà su testa, l'altra su croce.

Soluzione corretta.

L’esperimento ha quattro risultati ugualmente possibili:

1. La prima moneta cadrà testa, anche la seconda cadrà testa;

2. La prima moneta esce croce, anche la seconda esce croce;

3. La prima moneta cadrà su testa e la seconda su croce;

4. La prima moneta esce croce e la seconda esce testa.

Di questi, due esiti saranno favorevoli al nostro evento, quindi la probabilità richiesta è pari a .

D'Alembert ha commesso uno degli errori più comuni nel calcolo delle probabilità: ha combinato due risultati elementari in uno solo, rendendolo così disuguale in termini di probabilità rispetto ai restanti risultati dell'esperimento.

“Gli incidenti non sono casuali”… Sembra una frase di un filosofo, ma in realtà lo studio della casualità è il destino della grande scienza della matematica. In matematica il caso è trattato dalla teoria della probabilità. Formule ed esempi di compiti, nonché le definizioni di base di questa scienza saranno presentati nell'articolo.

Cos'è la teoria della probabilità?

La teoria della probabilità è una delle discipline matematiche che studia gli eventi casuali.

Per renderlo un po' più chiaro, facciamo un piccolo esempio: se lanci una moneta, questa può cadere su testa o croce. Mentre la moneta è in aria, entrambe queste probabilità sono possibili. Cioè, la probabilità di possibili conseguenze è 1:1. Se ne viene estratta una da un mazzo di 36 carte, la probabilità sarà indicata come 1:36. Sembrerebbe che qui non ci sia nulla da esplorare e prevedere, soprattutto con l'aiuto di formule matematiche. Tuttavia, se ripeti una determinata azione molte volte, puoi identificare un determinato schema e, in base ad esso, prevedere l'esito degli eventi in altre condizioni.

Per riassumere tutto quanto sopra, la teoria della probabilità in senso classico studia la possibilità che si verifichi uno dei possibili eventi in un valore numerico.

Dalle pagine della storia

La teoria della probabilità, le formule e gli esempi dei primi compiti apparvero nel lontano Medioevo, quando sorsero i primi tentativi di prevedere l'esito dei giochi di carte.

Inizialmente, la teoria della probabilità non aveva nulla a che fare con la matematica. Era giustificato da fatti empirici o proprietà di un evento che poteva essere riprodotto nella pratica. I primi lavori in quest'area come disciplina matematica apparvero nel XVII secolo. I fondatori furono Blaise Pascal e Pierre Fermat. Hanno studiato a lungo il gioco d'azzardo e hanno visto alcuni schemi, di cui hanno deciso di parlare al pubblico.

La stessa tecnica fu inventata da Christiaan Huygens, sebbene non avesse familiarità con i risultati delle ricerche di Pascal e Fermat. Da lui furono introdotti il ​​concetto di “teoria della probabilità”, formule ed esempi considerati i primi nella storia della disciplina.

Di non poca importanza sono anche i lavori di Jacob Bernoulli, i teoremi di Laplace e di Poisson. Hanno reso la teoria della probabilità più simile a una disciplina matematica. La teoria della probabilità, le formule e gli esempi dei compiti fondamentali hanno ricevuto la loro forma attuale grazie agli assiomi di Kolmogorov. Come risultato di tutti i cambiamenti, la teoria della probabilità divenne uno dei rami della matematica.

Concetti di base della teoria della probabilità. Eventi

Il concetto principale di questa disciplina è “evento”. Esistono tre tipologie di eventi:

• Affidabile. Quelle che accadranno comunque (la moneta cadrà).
• Impossibile. Eventi che non accadranno in nessun caso (la moneta resterà sospesa in aria).
• Casuale. Quelli che accadranno o non accadranno. Possono essere influenzati da vari fattori che sono molto difficili da prevedere. Se parliamo di una moneta, allora ci sono fattori casuali che possono influenzare il risultato: le caratteristiche fisiche della moneta, la sua forma, la sua posizione originale, la forza del lancio, ecc.

Tutti gli eventi negli esempi sono indicati in lettere latine maiuscole, ad eccezione della P, che ha un ruolo diverso. Per esempio:

• A = “gli studenti sono venuti a lezione”.
• Ā = “gli studenti non sono venuti alla lezione”.

Nei compiti pratici, gli eventi vengono solitamente scritti in parole.

Una delle caratteristiche più importanti degli eventi è la loro pari possibilità. Cioè, se lanci una moneta, tutte le varianti della caduta iniziale sono possibili finché non cade. Ma anche gli eventi non sono ugualmente possibili. Ciò accade quando qualcuno influenza deliberatamente un risultato. Ad esempio, carte da gioco o dadi “segnati”, in cui il baricentro viene spostato.

Gli eventi possono anche essere compatibili e incompatibili. Gli eventi compatibili non si escludono a vicenda. Per esempio:

• A = “lo studente è venuto alla lezione”.
• B = “lo studente è venuto a lezione”.

Questi eventi sono indipendenti l'uno dall'altro e il verificarsi di uno di essi non influisce sul verificarsi dell'altro. Gli eventi incompatibili sono definiti dal fatto che il verificarsi di uno esclude il verificarsi di un altro. Se parliamo della stessa moneta, la perdita di "croce" rende impossibile la comparsa di "teste" nello stesso esperimento.

Azioni sugli eventi

Gli eventi possono essere moltiplicati e sommati; di conseguenza nella disciplina vengono introdotti i connettivi logici “AND” e “OR”.

L'importo è determinato dal fatto che l'evento A o B, o due, possono verificarsi contemporaneamente. Se sono incompatibili, l’ultima opzione è impossibile; verrà lanciato A o B.

La moltiplicazione degli eventi consiste nella comparsa contemporanea di A e B.

Ora possiamo fare diversi esempi per ricordare meglio le nozioni di base, la teoria della probabilità e le formule. Esempi di risoluzione dei problemi di seguito.

Esercizio 1: L'impresa partecipa ad un concorso per aggiudicarsi appalti per tre tipologie di lavori. Possibili eventi che potrebbero verificarsi:

• A = “l’impresa riceverà il primo contratto”.
• A 1 = “l’impresa non riceverà il primo contratto”.
• B = “l’impresa riceverà un secondo contratto”.
• B 1 = “l’impresa non riceverà un secondo contratto”
• C = “l’impresa riceverà un terzo contratto”.
• C 1 = “l’impresa non riceverà un terzo contratto”.

Utilizzando le azioni sugli eventi, proveremo a esprimere le seguenti situazioni:

• K = “l’azienda riceverà tutti i contratti”.

In forma matematica, l'equazione avrà la seguente forma: K = ABC.

• M = “l’azienda non riceverà un solo contratto”.

M = UN1B1C1.

Complichiamo il compito: H = “l’azienda riceverà un contratto”. Poiché non è noto quale contratto riceverà l’impresa (primo, secondo o terzo), è necessario registrare l’intero ventaglio di eventi possibili:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

E 1 BC 1 è una serie di eventi in cui l'impresa non riceve il primo e il terzo contratto, ma riceve il secondo. Altri possibili eventi sono stati registrati utilizzando la metodologia appropriata. Il simbolo υ nella disciplina denota il connettivo “OR”. Se traduciamo l'esempio sopra in linguaggio umano, l'azienda riceverà il terzo contratto, oppure il secondo, oppure il primo. In modo simile potete annotare altre condizioni nella disciplina “Teoria della probabilità”. Le formule e gli esempi di risoluzione dei problemi presentati sopra ti aiuteranno a farlo da solo.

Anzi, la probabilità

Forse, in questa disciplina matematica, la probabilità di un evento è il concetto centrale. Esistono 3 definizioni di probabilità:

• classico;
• statistico;
• geometrico.

Ciascuno ha il suo posto nello studio della probabilità. Teoria della probabilità, formule ed esempi (9° grado) utilizzano principalmente la definizione classica, che suona così:

• La probabilità della situazione A è uguale al rapporto tra il numero di risultati che favoriscono il suo verificarsi e il numero di tutti i possibili risultati.

La formula è questa: P(A)=m/n.

A è in realtà un evento. Se appare un caso opposto ad A, può essere scritto come  o A 1 .

m è il numero di possibili casi favorevoli.

n - tutti gli eventi che possono accadere.

Ad esempio, A = “pesca una carta del seme di cuore”. Ci sono 36 carte in un mazzo standard, 9 delle quali sono di cuori. Di conseguenza, la formula per risolvere il problema sarà simile a:

P(A)=9/36=0,25.

Di conseguenza, la probabilità che una carta del seme di cuore venga estratta dal mazzo sarà 0,25.

Verso la matematica superiore

Ora è diventato poco noto quale sia la teoria della probabilità, formule ed esempi di risoluzione dei problemi che si incontrano nel curriculum scolastico. Tuttavia, la teoria della probabilità si trova anche nella matematica superiore, che viene insegnata nelle università. Molto spesso operano con definizioni geometriche e statistiche della teoria e formule complesse.

La teoria della probabilità è molto interessante. È meglio iniziare a studiare formule ed esempi (matematica superiore) in piccolo - con la definizione statistica (o frequenza) di probabilità.

L’approccio statistico non contraddice quello classico, ma lo amplia leggermente. Se nel primo caso era necessario determinare con quale probabilità si verificherà un evento, in questo metodo è necessario indicare quanto spesso si verificherà. Qui viene introdotto un nuovo concetto di “frequenza relativa”, che può essere denotato con W n (A). La formula non è diversa da quella classica:

Se per la previsione viene calcolata la formula classica, quella statistica viene calcolata in base ai risultati dell'esperimento. Prendiamo ad esempio un piccolo compito.

Il reparto di controllo tecnologico controlla la qualità dei prodotti. Su 100 prodotti, 3 sono risultati di scarsa qualità. Come trovare la probabilità di frequenza di un prodotto di qualità?

A = “l’aspetto di un prodotto di qualità”.

Wn(A)=97/100=0,97

Pertanto, la frequenza di un prodotto di qualità è 0,97. Da dove hai preso 97? Su 100 prodotti controllati, 3 sono risultati di scarsa qualità. Sottraiamo 3 da 100 e otteniamo 97, questa è la quantità di beni di qualità.

Un po' di combinatoria

Un altro metodo della teoria della probabilità è chiamato combinatoria. Il suo principio di base è che se una certa scelta A può essere fatta in m modi diversi, e una scelta B può essere fatta in n modi diversi, allora la scelta di A e B può essere fatta mediante moltiplicazione.

Ad esempio, ci sono 5 strade che portano dalla città A alla città B. Ci sono 4 percorsi dalla città B alla città C. In quanti modi è possibile andare dalla città A alla città C?

È semplice: 5x4=20, cioè in venti modi diversi puoi andare dal punto A al punto C.

Complichiamo il compito. Quanti modi ci sono per disporre le carte in solitario? Ci sono 36 carte nel mazzo: questo è il punto di partenza. Per scoprire il numero di percorsi è necessario “sottrarre” una carta alla volta dal punto di partenza e moltiplicare.

Cioè, 36x35x34x33x32...x2x1= il risultato non entra nello schermo della calcolatrice, quindi può essere semplicemente designato 36!. Cartello "!" accanto al numero indica che l'intera serie di numeri viene moltiplicata insieme.

In combinatoria ci sono concetti come permutazione, posizionamento e combinazione. Ognuno di loro ha la sua formula.

Un insieme ordinato di elementi di un insieme è detto disposizione. I posizionamenti possono essere ripetuti, ovvero un elemento può essere utilizzato più volte. E senza ripetizione, quando gli elementi non si ripetono. n sono tutti gli elementi, m sono gli elementi che partecipano al posizionamento. La formula per il posizionamento senza ripetizione sarà simile a:

Anm =n!/(nm)!

Le connessioni di n elementi che differiscono solo nell'ordine di posizionamento si chiamano permutazioni. In matematica sembra: P n = n!

Le combinazioni di n elementi di m sono quei composti in cui è importante quali elementi fossero e quale sia il loro numero totale. La formula sarà simile a:

A n m = n!/m!(n-m)!

La formula di Bernoulli

Nella teoria della probabilità, come in ogni disciplina, ci sono lavori di ricercatori eccezionali nel loro campo che l'hanno portata a un nuovo livello. Uno di questi lavori è la formula di Bernoulli, che consente di determinare la probabilità che un determinato evento si verifichi in condizioni indipendenti. Ciò suggerisce che il verificarsi di A in un esperimento non dipende dal verificarsi o meno dello stesso evento in prove precedenti o successive.

Equazione di Bernoulli:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

La probabilità (p) del verificarsi dell'evento (A) è costante per ciascuna prova. La probabilità che la situazione si verifichi esattamente m volte in n numero di esperimenti sarà calcolata con la formula presentata sopra. Di conseguenza, sorge la domanda su come scoprire il numero q.

Se l'evento A si verifica p numero di volte, di conseguenza, potrebbe non verificarsi. L'unità è un numero utilizzato per designare tutti i risultati di una situazione in una disciplina. Pertanto, q è un numero che denota la possibilità che un evento non si verifichi.

Ora conosci la formula di Bernoulli (teoria della probabilità). Considereremo di seguito esempi di risoluzione dei problemi (primo livello).

Compito 2: Un visitatore del negozio effettuerà un acquisto con probabilità 0,2. 6 visitatori sono entrati in modo indipendente nel negozio. Qual è la probabilità che un visitatore effettui un acquisto?

Soluzione: poiché non è noto quanti visitatori dovrebbero effettuare un acquisto, uno o tutti e sei, è necessario calcolare tutte le probabilità possibili utilizzando la formula di Bernoulli.

A = “il visitatore effettuerà un acquisto”.

In questo caso: p = 0,2 (come indicato nel compito). Di conseguenza, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (poiché ci sono 6 clienti nel negozio). Il numero m varierà da 0 (nessun singolo cliente effettuerà un acquisto) a 6 (tutti i visitatori del negozio acquisteranno qualcosa). Di conseguenza, otteniamo la soluzione:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nessuno degli acquirenti effettuerà un acquisto con probabilità 0,2621.

In quale altro modo viene utilizzata la formula di Bernoulli (teoria della probabilità)? Esempi di risoluzione dei problemi (secondo livello) di seguito.

Dopo l'esempio sopra, sorgono domande su dove sono finiti C e r. Rispetto a p, un numero elevato a 0 sarà uguale a uno. Per quanto riguarda C, può essere trovato con la formula:

Cnm = n! /m!(nm)!

Poiché nel primo esempio m = 0, rispettivamente, C = 1, il che in linea di principio non influisce sul risultato. Utilizzando la nuova formula, proviamo a scoprire qual è la probabilità che due visitatori acquistino beni.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

La teoria della probabilità non è così complicata. La formula di Bernoulli, di cui sopra sono presentati esempi, ne è una prova diretta.

La formula di Poisson

L'equazione di Poisson viene utilizzata per calcolare situazioni casuali a bassa probabilità.

Formula di base:

Pn(m)=λm/m! × e (-λ) .

In questo caso λ = n x p. Ecco una semplice formula di Poisson (teoria della probabilità). Considereremo esempi di risoluzione dei problemi di seguito.

Compito 3: La fabbrica ha prodotto 100.000 parti. Presenza di una parte difettosa = 0,0001. Qual è la probabilità che ci siano 5 parti difettose in un lotto?

Come puoi vedere, il matrimonio è un evento improbabile e quindi per il calcolo viene utilizzata la formula di Poisson (teoria della probabilità). Esempi di risoluzione di problemi di questo tipo non sono diversi da altri compiti della disciplina; sostituiamo i dati necessari nella formula data:

A = “una parte selezionata a caso sarà difettosa”.

p = 0,0001 (in base alle condizioni del compito).

n = 100000 (numero di parti).

m = 5 (parti difettose). Sostituiamo i dati nella formula e otteniamo:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Proprio come la formula di Bernoulli (teoria della probabilità), di cui sopra sono scritti esempi di soluzioni, l'equazione di Poisson ha un'incognita e, infatti può essere trovata con la formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Tuttavia, esistono tabelle speciali che contengono quasi tutti i valori di e.

Teorema di De Moivre-Laplace

Se nello schema Bernoulli il numero di prove è sufficientemente grande, e la probabilità che si verifichi l’evento A in tutti gli schemi è la stessa, allora la probabilità che l’evento A si verifichi un certo numero di volte in una serie di prove può essere trovata da Formula di Laplace:

Ð n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Per ricordare meglio la formula di Laplace (teoria della probabilità), di seguito sono riportati esempi di problemi per aiutare.

Per prima cosa troviamo X m, sostituiamo i dati (sono tutti elencati sopra) nella formula e otteniamo 0,025. Utilizzando le tabelle, troviamo il numero ϕ(0,025), il cui valore è 0,3988. Ora puoi sostituire tutti i dati nella formula:

P800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pertanto, la probabilità che il volantino funzioni esattamente 267 volte è 0,03.

Formula di Bayes

La formula di Bayes (teoria della probabilità), esempi di risoluzione dei problemi con l'aiuto dei quali verranno forniti di seguito, è un'equazione che descrive la probabilità di un evento in base alle circostanze che potrebbero essere associate ad esso. La formula di base è la seguente:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A e B sono eventi definiti.

P(A|B) è una probabilità condizionata, ovvero l'evento A può verificarsi a condizione che l'evento B sia vero.

P (B|A) - probabilità condizionata dell'evento B.

Quindi, la parte finale del breve corso "Teoria della probabilità" è la formula di Bayes, esempi di soluzioni ai problemi con i quali sono riportati di seguito.

Compito 5: Sono stati portati al magazzino i telefoni di tre società. Allo stesso tempo, la quota di telefoni prodotti nel primo stabilimento è del 25%, nel secondo - 60%, nel terzo - 15%. È anche noto che la percentuale media di prodotti difettosi nel primo stabilimento è del 2%, nel secondo del 4% e nel terzo dell'1%. Devi trovare la probabilità che un telefono selezionato a caso sia difettoso.

A = "telefono scelto a caso".

B 1 - il telefono prodotto dalla prima fabbrica. Di conseguenza, appariranno le introduzioni B 2 e B 3 (per la seconda e la terza fabbrica).

Di conseguenza otteniamo:

P(B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - quindi abbiamo trovato la probabilità di ciascuna opzione.

Ora devi trovare le probabilità condizionali dell'evento desiderato, ovvero la probabilità di prodotti difettosi nelle aziende:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P(A/B3) = 0,01.

Ora sostituiamo i dati nella formula di Bayes e otteniamo:

P(A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

L'articolo presenta la teoria della probabilità, formule ed esempi di problem solving, ma questa è solo la punta dell'iceberg di una vasta disciplina. E dopo tutto quello che è stato scritto, sarà logico chiedersi se la teoria della probabilità sia necessaria nella vita. È difficile rispondere per una persona comune; è meglio chiedere a qualcuno che lo ha utilizzato per vincere il jackpot più di una volta.

In economia, come in altri ambiti dell’attività umana o della natura, dobbiamo costantemente confrontarci con eventi che non possono essere previsti con precisione. Pertanto, il volume delle vendite di un prodotto dipende dalla domanda, che può variare in modo significativo, e da una serie di altri fattori che è quasi impossibile prendere in considerazione. Pertanto, quando si organizza la produzione e si effettuano le vendite, è necessario prevedere il risultato di tali attività sulla base della propria esperienza precedente, o di esperienze simili di altre persone, o dell'intuizione, che in larga misura si basa anche su dati sperimentali.

Per valutare in qualche modo l'evento in questione, è necessario tenere conto o organizzare appositamente le condizioni in cui viene registrato questo evento.

Viene chiamata l'implementazione di determinate condizioni o azioni per identificare l'evento in questione esperienza O sperimentare.

L'evento è chiamato casuale, se in seguito all'esperienza ciò può o meno verificarsi.

L'evento è chiamato affidabile, se appare necessariamente come risultato di una determinata esperienza, e impossibile, se non può apparire in questa esperienza.

Ad esempio, la nevicata a Mosca il 30 novembre è un evento casuale. L'alba quotidiana può essere considerata un evento affidabile. Le nevicate all'equatore possono essere considerate un evento impossibile.

Uno dei compiti principali della teoria della probabilità è il compito di determinare una misura quantitativa della possibilità che si verifichi un evento.

Algebra degli eventi

Gli eventi si dicono incompatibili se non possono essere osservati insieme nella stessa esperienza. Pertanto, la presenza di due e tre automobili nello stesso negozio in vendita contemporaneamente sono due eventi incompatibili.

Quantità eventi è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di questi eventi

Un esempio di somma di eventi è la presenza di almeno uno dei due prodotti nel negozio.

Il lavoro events è un evento costituito dal verificarsi simultaneo di tutti questi eventi

Un evento consistente nella comparsa contemporanea di due beni in un negozio è il prodotto di eventi: - la comparsa di un prodotto, - la comparsa di un altro prodotto.

Gli eventi formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi è sicuro che si verifichi nell'esperienza.

Esempio. Il porto dispone di due ormeggi per la ricezione delle navi. Si possono considerare tre eventi: - l'assenza di navi agli ormeggi, - la presenza di una nave ad uno degli ormeggi, - la presenza di due navi a due ormeggi. Questi tre eventi formano un gruppo completo di eventi.

Opposto vengono chiamati due unici eventi possibili che formano un gruppo completo.

Se uno degli eventi opposti è indicato con , allora l'evento opposto è solitamente indicato con .

Definizioni classiche e statistiche di probabilità degli eventi

Ciascuno dei risultati ugualmente possibili dei test (esperimenti) è chiamato risultato elementare. Di solito sono designati da lettere. Ad esempio, viene lanciato un dado. Possono esserci un totale di sei risultati elementari in base al numero di punti sui lati.

Da risultati elementari è possibile creare un evento più complesso. Pertanto, l'evento di un numero pari di punti è determinato da tre risultati: 2, 4, 6.

Una misura quantitativa della possibilità che si verifichi l'evento in questione è la probabilità.

Le definizioni più utilizzate della probabilità di un evento sono: classico E statistico.

La definizione classica di probabilità è associata al concetto di esito favorevole.

Il risultato è chiamato favorevole ad un dato evento se il suo verificarsi comporta il verificarsi di questo evento.

Nell'esempio sopra, l'evento in questione – un numero pari di punti sul lato lanciato – ha tre risultati favorevoli. In questo caso, il generale
numero di possibili risultati. Ciò significa che qui può essere utilizzata la definizione classica di probabilità di un evento.

Definizione classicaè uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di esiti possibili

dove è la probabilità dell'evento, è il numero di esiti favorevoli all'evento, è il numero totale di esiti possibili.

Nell'esempio considerato

La definizione statistica di probabilità è associata al concetto di frequenza relativa di occorrenza di un evento negli esperimenti.

La frequenza relativa del verificarsi di un evento viene calcolata utilizzando la formula

dove è il numero di occorrenze di un evento in una serie di esperimenti (test).

Definizione statistica. La probabilità di un evento è il numero attorno al quale si stabilizza (si fissa) la relativa frequenza con un aumento illimitato del numero di esperimenti.

Nei problemi pratici, la probabilità di un evento viene considerata la frequenza relativa di un numero sufficientemente ampio di prove.

Da queste definizioni della probabilità di un evento è chiaro che la disuguaglianza è sempre soddisfatta

Per determinare la probabilità di un evento in base alla formula (1.1), vengono spesso utilizzate formule combinatorie, che vengono utilizzate per trovare il numero di risultati favorevoli e il numero totale di risultati possibili.

ISTITUZIONE EDUCATIVA COMUNALE

PALESTRA N. 6

sull’argomento “Definizione classica di probabilità”.

Completato da uno studente di grado 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Insegnante di matematica: Videnkina V. A.

Voronež, 2008

Molti giochi utilizzano i dadi. Il cubo ha 6 lati, su ogni lato è segnato un numero diverso di punti, da 1 a 6. Il giocatore lancia il dado e guarda quanti punti ci sono sul lato caduto (sul lato che si trova in alto) . Molto spesso i punti sulla faccia del cubo vengono sostituiti con il numero corrispondente e poi si parla di lanciare 1, 2 o 6. Lanciare un dado può essere considerato un'esperienza, un esperimento, una prova, e il risultato ottenuto è l’esito di una prova o di un evento elementare. Le persone sono interessate a indovinare il verificarsi di questo o quell'evento e prevederne l'esito. Quali previsioni possono fare quando lanciano i dadi? Ad esempio, questi:

1) evento A - esce il numero 1, 2, 3, 4, 5 o 6;

2) evento B - appare il numero 7, 8 o 9;

3) evento C - appare il numero 1.

L'evento A, previsto nel primo caso, si verificherà sicuramente. In generale si chiama un evento che sicuramente si verificherà in una data esperienza evento attendibile .

L'evento B, previsto nel secondo caso, non si verificherà mai, è semplicemente impossibile. In generale viene chiamato un evento che non può verificarsi in una data esperienza evento impossibile .

E l'evento C, previsto nel terzo caso, si verificherà oppure no? Non siamo in grado di rispondere a questa domanda con assoluta certezza, poiché 1 può cadere o meno. Viene chiamato un evento che può verificarsi o meno in una determinata esperienza evento casuale .

Quando pensiamo al verificarsi di un evento affidabile, molto probabilmente non useremo la parola “probabilmente”. Ad esempio, se oggi è mercoledì e domani è giovedì, questo è un evento affidabile. Mercoledì non diremo: “Probabilmente domani è giovedì”, diremo brevemente e chiaramente: “Domani è giovedì”. È vero, se siamo inclini alle belle frasi, possiamo dire questo: "Con il cento per cento di probabilità dico che domani è giovedì". Al contrario, se oggi è mercoledì, allora l'inizio di venerdì domani è un evento impossibile. Valutando questo evento di mercoledì, possiamo dire questo: "Sono sicuro che domani non è venerdì". Oppure questo: “È incredibile che domani sia venerdì”. Ebbene, se siamo inclini alle belle frasi, possiamo dire questo: “La probabilità che domani sia venerdì è zero”. Quindi, un evento affidabile è un evento che si verifica in determinate condizioni con una probabilità del cento per cento(vale a dire, si verifica in 10 casi su 10, in 100 casi su 100, ecc.). Un evento impossibile è un evento che non si verifica mai in determinate condizioni, un evento con probabilità zero .

Ma, purtroppo (e forse per fortuna), non tutto nella vita è così chiaro e preciso: lo sarà sempre (un certo evento), non sarà mai (un evento impossibile). Molto spesso ci troviamo di fronte ad eventi casuali, alcuni dei quali più probabili, altri meno probabili. Di solito le persone usano le parole "più probabile" o "meno probabile", come dicono, per capriccio, basandosi su quello che viene chiamato buon senso. Ma molto spesso tali stime si rivelano insufficienti, perché è importante saperlo Per quanto per cento probabilmente un evento casuale o quante volte un evento casuale è più probabile di un altro. In altre parole, abbiamo bisogno di precisione quantitativo caratteristiche, devi essere in grado di caratterizzare la probabilità con un numero.

Abbiamo già mosso i primi passi in questa direzione. Abbiamo detto che la probabilità che si verifichi un determinato evento è caratterizzata come cento per cento, e la probabilità che si verifichi un evento impossibile è pari a zero. Dato che 100% equivale a 1, le persone concordano su quanto segue:

1) la probabilità di un evento affidabile è considerata uguale 1;

2) la probabilità di un evento impossibile è considerata uguale 0.

Come calcolare la probabilità di un evento casuale? Dopotutto, è successo accidentalmente, il che significa che non obbedisce a leggi, algoritmi o formule. Si scopre che nel mondo della casualità si applicano alcune leggi che consentono di calcolare le probabilità. Questa è la branca della matematica chiamata: teoria della probabilità .

La matematica si occupa di modello qualche fenomeno della realtà che ci circonda. Di tutti i modelli utilizzati nella teoria della probabilità, ci limiteremo al più semplice.

Schema probabilistico classico

Per trovare la probabilità dell'evento A durante l'esecuzione di un esperimento, dovresti:

1) trova il numero N di tutti i possibili risultati di questo esperimento;

2) accettare l'ipotesi di uguale probabilità (pari possibilità) di tutti questi risultati;

3) trovare il numero N(A) di quegli esiti sperimentali in cui si verifica l'evento A;

4) trova il quoziente ; sarà uguale alla probabilità dell'evento A.

È consuetudine denotare la probabilità dell'evento A: P(A). La spiegazione di questa designazione è molto semplice: la parola “probabilità” in francese è probabilità, in inglese- probabilità.La designazione utilizza la prima lettera della parola.

Utilizzando questa notazione, la probabilità dell'evento A secondo lo schema classico può essere trovata utilizzando la formula

P(A)=.

Spesso tutti i punti dello schema probabilistico classico di cui sopra sono espressi in una frase piuttosto lunga.

Definizione classica di probabilità

La probabilità dell'evento A durante un determinato test è il rapporto tra il numero di risultati a seguito del quale si verifica l'evento A e il numero totale di tutti i risultati ugualmente possibili di questo test.

Esempio 1. Trovare la probabilità che con un lancio di dado il risultato sia: a) 4; b) 5; c) un numero pari di punti; d) numero di punti maggiore di 4; e) numero di punti non divisibili per tre.

Soluzione. In totale ci sono N=6 possibili esiti: cadere dalla faccia del cubo con un numero di punti pari a 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Riteniamo che nessuno di essi abbia vantaggi rispetto agli altri, ovvero accettare l’ipotesi che l’equiprobabilità di questi risultati.

a) Esattamente in uno degli esiti si verificherà l’evento A che ci interessa: apparirà il numero 4. Ciò significa che N(A)=1 e

P ( UN )= =.

b) La soluzione e la risposta sono le stesse del paragrafo precedente.

c) L'evento B che ci interessa si verificherà esattamente in tre casi in cui il numero di punti è 2, 4 o 6. Ciò significa

N ( B )=3 e P ( B )==.

d) L'evento C che ci interessa si verificherà esattamente in due casi in cui il numero di punti è 5 o 6. Ciò significa

N ( C ) =2 e Р(С)=.

e) Dei sei possibili numeri estratti, quattro (1, 2, 4 e 5) non sono multipli di tre, e i restanti due (3 e 6) sono divisibili per tre. Ciò significa che l'evento che ci interessa si verifica esattamente in quattro dei sei possibili e ugualmente probabili e ugualmente probabili esiti dell'esperimento. Pertanto la risposta risulta essere

. ; B) ; V); G) ; D).

Un dado reale può differire da un cubo (modello) ideale, pertanto, per descriverne il comportamento, è necessario un modello più accurato e dettagliato, tenendo conto dei vantaggi di una faccia rispetto all'altra, dell'eventuale presenza di magneti, ecc. Ma “il diavolo è nei dettagli” e una maggiore precisione tende a portare a una maggiore complessità e ottenere una risposta diventa un problema. Ci limitiamo a considerare il modello probabilistico più semplice, dove tutti i possibili risultati sono ugualmente probabili.

Nota 1. Diamo un'occhiata a un altro esempio. È stata posta la domanda: "Qual è la probabilità di ottenere un tiro di dado tre contro uno?" Lo studente ha risposto: “La probabilità è 0,5”. E ha spiegato la sua risposta: “Tre ne verranno fuori oppure no. Ciò significa che ci sono due esiti in totale e esattamente in uno di essi si verifica l'evento che ci interessa. Utilizzando lo schema probabilistico classico, otteniamo la risposta 0,5.” C'è un errore in questo ragionamento? A prima vista, no. Tuttavia esiste ancora, e in modo fondamentale. Sì, infatti, o uscirà un tre oppure no, cioè con questa definizione dell'esito del lancio N=2. È anche vero che N(A) = 1 e, ovviamente, è vero anche questo

=0,5, cioè vengono presi in considerazione tre punti dello schema probabilistico, ma l'attuazione del punto 2) è dubbia. Naturalmente, da un punto di vista puramente legale, abbiamo il diritto di credere che lanciare un tre abbia la stessa probabilità di non cadere. Ma possiamo pensarlo senza violare i nostri presupposti naturali sull’“identità” dei bordi? Ovviamente no! Qui abbiamo a che fare con un ragionamento corretto all'interno di un determinato modello. Ma questo modello stesso è “sbagliato” e non corrisponde al fenomeno reale.

Nota 2. Quando si parla di probabilità, non perdere di vista la seguente importante circostanza. Se lo diciamo quando si lancia un dado, la probabilità di ottenere un punto è

, questo non significa affatto che lanciando il dado 6 volte otterrai un punto esattamente una volta, lanciando il dado 12 volte otterrai un punto esattamente due volte, lanciando il dado 18 volte otterrai un punto esattamente tre tempi, ecc. La parola è probabilmente speculativa. Assumiamo ciò che è più probabile che accada. Probabilmente se lanciamo i dadi 600 volte, un punto uscirà 100 volte, ovvero circa 100.