Cos'è un evento nella teoria della probabilità. Problemi sulla determinazione classica della probabilità.Esempi di soluzioni. Relazioni tra eventi
Per le attività pratiche è necessario essere in grado di confrontare gli eventi in base al grado di possibilità che si verifichino. Consideriamo un caso classico. Nell'urna ci sono 10 palline, 8 bianche e 2 nere. Ovviamente, l'evento “dall'urna verrà estratta una pallina bianca” e l'evento “dall'urna verrà estratta una pallina nera” hanno diversi gradi di possibilità di verificarsi. Pertanto, per confrontare gli eventi, è necessaria una certa misura quantitativa.
Una misura quantitativa della possibilità che un evento si verifichi è probabilità . Le definizioni più utilizzate della probabilità di un evento sono quella classica e quella statistica.
Definizione classica la probabilità è associata al concetto di esito favorevole. Diamo un'occhiata a questo in modo più dettagliato.
Supponiamo che i risultati di alcuni test formino un gruppo completo di eventi e siano ugualmente possibili, ad es. unicamente possibile, incompatibile e ugualmente possibile. Tali risultati sono chiamati risultati elementari, O casi. Si dice che il test si riduce a schema del caso O " schema dell'urna", Perché Qualsiasi problema di probabilità per un test di questo tipo può essere sostituito da un problema equivalente con urne e palline di diversi colori.
Il risultato è chiamato favorevole evento UN, se il verificarsi di tale ipotesi comporta il verificarsi dell'evento UN.
Secondo la definizione classica probabilità di un evento A è uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli a questo evento e il numero totale di esiti, cioè.
| , | (1.1) |
Dove PAPÀ)– probabilità dell'evento UN; M– numero di casi favorevoli all’evento UN; N– numero totale di casi.
Esempio 1.1. Quando si lancia un dado ci sono sei possibili risultati: 1, 2, 3, 4, 5, 6 punti. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari di punti?
Soluzione. Tutto N= 6 risultati formano un gruppo completo di eventi e sono ugualmente possibili, cioè unicamente possibile, incompatibile e ugualmente possibile. L'evento A - “la comparsa di un numero pari di punti” - è favorito da 3 esiti (casi) - la perdita di 2, 4 o 6 punti. Usando la formula classica per la probabilità di un evento, otteniamo
PAPÀ) = = . ◄
Basandosi sulla definizione classica della probabilità di un evento, notiamo le sue proprietà:
1. La probabilità di qualsiasi evento è compresa tra zero e uno, cioè
0 ≤ R(UN) ≤ 1.
2. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno.
3. La probabilità di un evento impossibile è zero.
Come affermato in precedenza, la definizione classica di probabilità è applicabile solo per quegli eventi che possono verificarsi come risultato di test che hanno simmetria dei possibili risultati, vale a dire riducibile a uno schema di casi. Tuttavia, esiste un’ampia classe di eventi le cui probabilità non possono essere calcolate utilizzando la definizione classica.
Ad esempio, se assumiamo che la moneta sia appiattita, allora è ovvio che gli eventi “apparizione di uno stemma” e “apparizione di teste” non possono essere considerati ugualmente possibili. Pertanto, in questo caso la formula per determinare la probabilità secondo lo schema classico non è applicabile.
Tuttavia, esiste un altro approccio per stimare la probabilità degli eventi, basato sulla frequenza con cui un dato evento si verificherà nelle prove eseguite. In questo caso viene utilizzata la definizione statistica di probabilità.
Probabilità statistical'evento A è la frequenza relativa (frequenza) del verificarsi di questo evento in n prove eseguite, vale a dire
 ,
| (1.2) |
Dove PAPÀ)– probabilità statistica di un evento UN; w(A)– frequenza relativa dell'evento UN; M– numero di prove in cui si è verificato l'evento UN; N– numero totale di test.
A differenza della probabilità matematica PAPÀ), considerata nella definizione classica, probabilità statistica PAPÀ)è una caratteristica esperto, sperimentale. In altre parole, la probabilità statistica di un evento UNè il numero attorno al quale si stabilizza (imposta) la frequenza relativa w(A) con un aumento illimitato del numero di prove effettuate nelle stesse condizioni.
Ad esempio, quando si dice di un tiratore che colpisce il bersaglio con una probabilità di 0,95, ciò significa che su centinaia di colpi sparati da lui in determinate condizioni (lo stesso bersaglio alla stessa distanza, lo stesso fucile, ecc. . ), in media ce ne sono circa 95 di successo. Naturalmente, non ogni cento avranno 95 tiri riusciti, a volte ce ne saranno meno, a volte di più, ma in media, con più ripetizioni di tiro nelle stesse condizioni, questa percentuale di colpi rimarrà invariata. La cifra di 0,95, che serve come indicatore dell'abilità del tiratore, di solito è molto stabile, cioè. la percentuale di colpi nella maggior parte dei tiri sarà quasi la stessa per un dato tiratore, solo in rari casi deviando significativamente dal suo valore medio.
Un altro svantaggio della definizione classica di probabilità ( 1.1 ) che ne limita l'uso è che presuppone un numero finito di possibili risultati del test. In alcuni casi, questo svantaggio può essere superato utilizzando una definizione geometrica di probabilità, ad es. trovare la probabilità che un punto cada in una determinata area (segmento, parte di un piano, ecc.).
Lasciamo la figura piatta G fa parte di una figura piatta G(Fig. 1.1). Adatto G viene lanciato un punto a caso. Ciò significa che tutti i punti della regione G“pari diritti” rispetto al fatto che un punto casuale lanciato lo colpisca. Supponendo che la probabilità di un evento UN– il punto lanciato colpisce la figura G– è proporzionale all’area di questa figura e non dipende dalla sua posizione rispetto a G, né dal modulo G, troveremo
In economia, come in altri ambiti dell’attività umana o della natura, dobbiamo costantemente confrontarci con eventi che non possono essere previsti con precisione. Pertanto, il volume delle vendite di un prodotto dipende dalla domanda, che può variare in modo significativo, e da una serie di altri fattori che è quasi impossibile prendere in considerazione. Pertanto, quando si organizza la produzione e si effettuano le vendite, è necessario prevedere il risultato di tali attività sulla base della propria esperienza precedente, o di esperienze simili di altre persone, o dell'intuizione, che in larga misura si basa anche su dati sperimentali.
Per valutare in qualche modo l'evento in questione, è necessario tenere conto o organizzare appositamente le condizioni in cui viene registrato questo evento.
Viene chiamata l'implementazione di determinate condizioni o azioni per identificare l'evento in questione esperienza O sperimentare.
L'evento è chiamato casuale, se in seguito all'esperienza ciò può o meno verificarsi.
L'evento è chiamato affidabile, se appare necessariamente come risultato di una determinata esperienza, e impossibile, se non può apparire in questa esperienza.
Ad esempio, la nevicata a Mosca il 30 novembre è un evento casuale. L'alba quotidiana può essere considerata un evento affidabile. Le nevicate all'equatore possono essere considerate un evento impossibile.
Uno dei compiti principali della teoria della probabilità è il compito di determinare una misura quantitativa della possibilità che si verifichi un evento.
Algebra degli eventi
Gli eventi si dicono incompatibili se non possono essere osservati insieme nella stessa esperienza. Pertanto, la presenza di due e tre automobili nello stesso negozio in vendita contemporaneamente sono due eventi incompatibili.
Quantità eventi è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di questi eventi
Un esempio di somma di eventi è la presenza di almeno uno dei due prodotti nel negozio.
Il lavoro events è un evento costituito dal verificarsi simultaneo di tutti questi eventi
Un evento consistente nella comparsa contemporanea di due beni in un negozio è il prodotto di eventi: - la comparsa di un prodotto, - la comparsa di un altro prodotto.
Gli eventi formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi è sicuro che si verifichi nell'esperienza.
Esempio. Il porto dispone di due ormeggi per la ricezione delle navi. Si possono considerare tre eventi: - l'assenza di navi agli ormeggi, - la presenza di una nave ad uno degli ormeggi, - la presenza di due navi a due ormeggi. Questi tre eventi formano un gruppo completo di eventi.
Opposto vengono chiamati due unici eventi possibili che formano un gruppo completo.
Se uno degli eventi opposti è indicato con , allora l'evento opposto è solitamente indicato con .
Definizioni classiche e statistiche di probabilità degli eventi
Ciascuno dei risultati ugualmente possibili dei test (esperimenti) è chiamato risultato elementare. Di solito sono designati da lettere. Ad esempio, viene lanciato un dado. Possono esserci un totale di sei risultati elementari in base al numero di punti sui lati.
Da risultati elementari è possibile creare un evento più complesso. Pertanto, l'evento di un numero pari di punti è determinato da tre risultati: 2, 4, 6.
Una misura quantitativa della possibilità che si verifichi l'evento in questione è la probabilità.
Le definizioni più utilizzate della probabilità di un evento sono: classico E statistico.
La definizione classica di probabilità è associata al concetto di esito favorevole.
Il risultato è chiamato favorevole ad un dato evento se il suo verificarsi comporta il verificarsi di questo evento.
Nell'esempio sopra, l'evento in questione – un numero pari di punti sul lato lanciato – ha tre risultati favorevoli. In questo caso, il generale
numero di possibili risultati. Ciò significa che qui può essere utilizzata la definizione classica di probabilità di un evento.
Definizione classicaè uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di esiti possibili
dove è la probabilità dell'evento, è il numero di esiti favorevoli all'evento, è il numero totale di esiti possibili.
Nell'esempio considerato
La definizione statistica di probabilità è associata al concetto di frequenza relativa di occorrenza di un evento negli esperimenti.
La frequenza relativa del verificarsi di un evento viene calcolata utilizzando la formula
dove è il numero di occorrenze di un evento in una serie di esperimenti (test).
Definizione statistica. La probabilità di un evento è il numero attorno al quale si stabilizza (si fissa) la relativa frequenza con un aumento illimitato del numero di esperimenti.
Nei problemi pratici, la probabilità di un evento viene considerata la frequenza relativa di un numero sufficientemente ampio di prove.
Da queste definizioni della probabilità di un evento è chiaro che la disuguaglianza è sempre soddisfatta
Per determinare la probabilità di un evento in base alla formula (1.1), vengono spesso utilizzate formule combinatorie, che vengono utilizzate per trovare il numero di risultati favorevoli e il numero totale di risultati possibili.
La probabilità di un evento è intesa come una certa caratteristica numerica della possibilità che si verifichi questo evento. Esistono diversi approcci per determinare la probabilità.
Probabilità dell'evento UNè chiamato il rapporto tra il numero di risultati favorevoli a questo evento e il numero totale di tutti i risultati elementari incompatibili ugualmente possibili che formano il gruppo completo. Quindi, la probabilità dell'evento UNè determinato dalla formula
Dove M– il numero di esiti elementari favorevoli UN, N– il numero di tutti i possibili esiti dei test elementari.
Esempio 3.1. In un esperimento che prevede il lancio di un dado, il numero di tutti i risultati Nè uguale a 6 e sono tutti ugualmente possibili. Lasciamo che l'evento UN significa la comparsa di un numero pari. Quindi per questo evento, risultati favorevoli saranno la comparsa dei numeri 2, 4, 6. Il loro numero è 3. Pertanto, la probabilità dell'evento UN uguale a
Esempio 3.2. Qual è la probabilità che un numero di due cifre scelto a caso abbia le stesse cifre?
I numeri a due cifre sono numeri da 10 a 99, in totale ce ne sono 90. 9 numeri hanno cifre identiche (questi sono i numeri 11, 22, ..., 99). Poiché in questo caso M=9, N=90, allora
Dove UN– evento, “un numero con le stesse cifre”.
Esempio 3.3. In un lotto di 10 parti, 7 sono standard. Trova la probabilità che tra sei parti prese a caso, 4 siano standard.
Il numero totale dei possibili esiti delle prove elementari è pari al numero di modi in cui si possono estrarre 6 parti da 10, cioè al numero di combinazioni di 10 elementi di 6 elementi ciascuno. Determiniamo il numero di esiti favorevoli all'evento di nostro interesse UN(tra le sei parti prese ce ne sono 4 standard). Da sette parti standard si possono ricavare quattro parti standard in modi diversi; allo stesso tempo, le restanti 6-4=2 parti devono essere non standard, ma si possono prendere due parti non standard da 10-7=3 parti non standard in modi diversi. Pertanto, il numero di esiti favorevoli è pari a .
Allora la probabilità richiesta è uguale a
Dalla definizione di probabilità conseguono le seguenti proprietà:
1. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno.
Infatti, se l’evento è attendibile, allora ogni risultato elementare del test è a favore dell’evento. In questo caso m=n, quindi
2. La probabilità di un evento impossibile è zero.
Infatti, se un evento è impossibile, allora nessuno dei risultati elementari del test è a favore dell’evento. In questo caso significa
3. La probabilità di un evento casuale è un numero positivo compreso tra zero e uno.
Infatti, solo una parte del totale degli esiti elementari del test è favorita da un evento casuale. In questo caso< M< n, significa 0 < m/n < 1, cioè 0< PAPÀ) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
La costruzione di una teoria della probabilità logicamente completa si basa sulla definizione assiomatica di un evento casuale e della sua probabilità. Nel sistema di assiomi proposto da A. N. Kolmogorov, i concetti indefiniti sono un evento elementare e una probabilità. Ecco gli assiomi che definiscono la probabilità:
1. Ogni evento UN assegnato un numero reale non negativo PAPÀ). Questo numero è chiamato probabilità dell’evento UN.
2. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno.
3. La probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi incompatibili a coppie è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi.
Sulla base di questi assiomi, le proprietà delle probabilità e le dipendenze tra loro vengono derivate come teoremi.
Domande di autotest
1. Qual è il nome della caratteristica numerica della possibilità che si verifichi un evento?
2. Qual è la probabilità di un evento?
3. Qual è la probabilità di un evento affidabile?
4. Qual è la probabilità di un evento impossibile?
5. Quali sono i limiti della probabilità di un evento casuale?
6. Quali sono i limiti della probabilità di qualsiasi evento?
7. Quale definizione di probabilità è chiamata classica?
Nozioni di base sulla teoria della probabilità
Piano:
1. Eventi casuali
2. Definizione classica di probabilità
3. Calcolo delle probabilità degli eventi e calcolo combinatorio
4. Probabilità geometrica
Informazioni teoriche
Eventi casuali.
Fenomeno casuale- un fenomeno il cui esito non è chiaramente definito. Questo concetto può essere interpretato in un senso abbastanza ampio. Vale a dire: tutto in natura è abbastanza casuale, l'apparizione e la nascita di ogni individuo è un fenomeno casuale, anche la scelta di un prodotto in un negozio è un fenomeno casuale, ottenere un voto in un esame è un fenomeno casuale, la malattia e la guarigione sono fenomeni casuali , eccetera.
Esempi di fenomeni casuali:
~ Il tiro viene effettuato da una pistola montata ad un dato angolo rispetto all'orizzontale. Colpire il bersaglio è accidentale, ma il proiettile che colpisce una certa "forchetta" è uno schema. È possibile specificare la distanza più vicina alla quale e oltre la quale il proiettile non volerà. Otterrai una sorta di "forchetta di dispersione del proiettile"
~ Lo stesso corpo viene pesato più volte. A rigor di termini, ogni volta otterrai risultati diversi, anche se differiscono in modo insignificante, ma saranno diversi.
~ Un aereo, che vola lungo la stessa rotta, ha un certo corridoio di volo all'interno del quale può manovrare, ma non avrà mai una rotta rigorosamente identica
~ Un atleta non potrà mai correre la stessa distanza nello stesso tempo. Anche i suoi risultati rientreranno in un certo intervallo numerico.
L'esperienza, l'esperimento, l'osservazione sono prove
Prova– osservazione o adempimento di un determinato insieme di condizioni che vengono eseguite ripetutamente e regolarmente ripetute nella stessa sequenza, durata e in conformità con altri parametri identici.
Consideriamo un atleta che spara ad un bersaglio. Affinché possa essere eseguito, è necessario soddisfare condizioni quali la preparazione dell'atleta, il caricamento dell'arma, la mira, ecc. “Colpito” e “mancato” – eventi risultanti da un tiro.
Evento– risultato del test di alta qualità.
Un evento può verificarsi o meno e gli eventi sono indicati in maiuscolo. Ad esempio: D = "Il tiratore ha colpito il bersaglio." S="La pallina bianca è estratta." K="Un biglietto della lotteria preso a caso senza vincere.".
Lanciare una moneta è una prova. La caduta del suo “stemma” è un evento, la caduta del suo “digitale” è il secondo evento.
Qualsiasi test comporta il verificarsi di diversi eventi. Alcuni di essi potrebbero essere necessari al ricercatore in un dato momento, altri potrebbero non essere necessari.
L'evento si chiama casuale, se, quando viene soddisfatta una determinata serie di condizioni S può succedere o non succedere. Nel seguito, invece di dire “l’insieme delle condizioni S è stato soddisfatto”, diremo brevemente: “il test è stato effettuato”. Pertanto, l'evento sarà considerato come il risultato del test.
~ Il tiratore spara su un bersaglio diviso in quattro aree. Lo scatto è una prova. Colpire una certa area del bersaglio è un evento.
~ Nell'urna ci sono palline colorate. Si estrae a caso una pallina dall'urna. Recuperare una pallina da un'urna è una prova. L'apparizione di una palla di un certo colore è un evento.
Tipi di eventi casuali
1. Gli eventi sono detti incompatibili se il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi di altri eventi nello stesso processo.
~ Una parte viene rimossa casualmente da una scatola delle parti. L'aspetto di una parte standard elimina l'aspetto di una parte non standard. Eventi € è apparsa una parte standard" ed è apparsa una parte non standard" - incompatibile.
~ Viene lanciata una moneta. L'aspetto dello "stemma" esclude l'aspetto dell'iscrizione. Gli eventi “apparve uno stemma” e “apparve un’iscrizione” sono incompatibili.
Si formano diversi eventi gruppo completo, se almeno uno di essi appare come risultato del test. In altre parole, il verificarsi di almeno uno degli eventi del gruppo completo è un evento attendibile.
In particolare, se gli eventi che formano un gruppo completo sono a coppie incompatibili, allora il test darà come risultato uno e uno solo di questi eventi, caso particolare che per noi è di grande interesse poiché verrà utilizzato ulteriormente.
~ Sono stati acquistati due biglietti della lotteria in contanti e abbigliamento. Sicuramente si verificherà uno e solo uno dei seguenti eventi:
1. "la vincita è caduta sul primo biglietto e non sul secondo",
2. "la vincita non è caduta sul primo biglietto ma è caduta sul secondo",
3. “la vincita è caduta su entrambi i biglietti”,
4. "entrambi i biglietti non hanno vinto."
Questi eventi formano un gruppo completo di eventi incompatibili a coppie,
~ Chi ha sparato ha sparato al bersaglio. Sicuramente accadrà uno dei due eventi seguenti: colpito, mancato. Anche questi due eventi incompatibili formano un gruppo completo.
2. Gli eventi vengono chiamati altrettanto possibile, se c'è motivo di credere che nessuno dei due sia più possibile dell'altro.
~ L'apparizione di uno “stemma” e l'apparizione di un'iscrizione quando si lancia una moneta sono eventi ugualmente possibili. Si presuppone infatti che la moneta sia costituita da un materiale omogeneo, abbia una forma cilindrica regolare e la presenza del conio non incida sulla perdita di una faccia o dell'altra della moneta.
~ La comparsa di uno o un altro numero di punti su un dado lanciato è un evento ugualmente possibile. Si presuppone infatti che la matrice sia costituita da un materiale omogeneo, abbia la forma di un poliedro regolare e la presenza di punte non pregiudichi la perdita di alcuna faccia.
3. L'evento viene chiamato affidabile, se non può fare a meno di accadere
4. L'evento viene chiamato inaffidabile, se ciò non può accadere.
5. L'evento viene chiamato opposto a qualche evento se consiste nel non verificarsi di tale evento. Gli eventi opposti non sono compatibili, ma uno di essi deve necessariamente accadere. Gli eventi opposti sono solitamente designati come negazioni, cioè Un trattino è scritto sopra la lettera. Eventi opposti: A e Â; U e ®, ecc. .
Definizione classica di probabilità
La probabilità è uno dei concetti base della teoria della probabilità.
Esistono diverse definizioni di questo concetto. Diamo una definizione che si chiama classica. Successivamente, indicheremo i punti deboli di questa definizione e forniremo altre definizioni che ci consentano di superare le carenze della definizione classica.
Consideriamo la situazione: una scatola contiene 6 palline identiche, 2 rosse, 3 blu e 1 bianca. Ovviamente, la possibilità di estrarre casualmente una pallina colorata (cioè rossa o blu) da un'urna è maggiore della possibilità di estrarre una pallina bianca. Questa possibilità può essere caratterizzata da un numero, chiamato probabilità di un evento (la comparsa di una pallina colorata).
Probabilità- un numero che caratterizza il grado di possibilità che si verifichi un evento.
Nella situazione in esame, indichiamo:
Evento A = "Estrarre una pallina colorata".
Verrà chiamato ciascuno dei possibili risultati del test (il test consiste nel rimuovere una pallina da un'urna). risultato ed evento elementare (possibile). I risultati elementari possono essere indicati con lettere con indici sottostanti, ad esempio: k 1, k 2.
Nel nostro esempio ci sono 6 palline, quindi ci sono 6 possibili esiti: appare una pallina bianca; apparve una pallina rossa; apparve una palla blu, ecc. È facile vedere che questi risultati formano un gruppo completo di eventi incompatibili a coppie (apparirà solo una pallina) e sono ugualmente possibili (la pallina viene estratta a caso, le palline sono identiche e accuratamente mescolate).
Chiamiamo esiti elementari in cui si verifica l'evento che ci interessa esiti favorevoli quest'evento. Nel nostro esempio l'evento è favorito UN(la comparsa di una pallina colorata) i seguenti 5 risultati:
Quindi l'evento UN si osserva se uno degli esiti elementari è favorevole a UN. Questo è l'aspetto di qualsiasi pallina colorata, di cui ce ne sono 5 nella scatola
Nell'esempio in esame gli esiti elementari sono 6; 5 di loro sono favorevoli all'evento UN. Quindi, P(A)= 5/6. Questo numero fornisce una valutazione quantitativa del grado di possibilità dell'apparizione di una pallina colorata.
Definizione di probabilità:
Probabilità dell'evento Aè chiamato il rapporto tra il numero di risultati favorevoli a questo evento e il numero totale di tutti i risultati elementari incompatibili ugualmente possibili che formano il gruppo completo.
P(A)=m/n oppure P(A)=m: n, dove:
m è il numero di risultati elementari favorevoli UN;
P- il numero di tutti i possibili esiti dei test elementari.
Qui si presuppone che i risultati elementari siano incompatibili, ugualmente possibili e formino un gruppo completo.
Dalla definizione di probabilità conseguono le seguenti proprietà:
1. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno.
Infatti, se l’evento è attendibile, allora ogni risultato elementare del test è a favore dell’evento. In questo caso m = n quindi p=1
2. La probabilità di un evento impossibile è zero.
Infatti, se un evento è impossibile, allora nessuno dei risultati elementari del test è a favore dell’evento. In questo caso m=0, quindi p=0.
3.La probabilità di un evento casuale è un numero positivo compreso tra zero e uno. 0
Negli argomenti successivi verranno forniti teoremi che permettono di trovare le probabilità di altri eventi utilizzando le probabilità note di alcuni eventi.
Misurazione. Ci sono 6 ragazze e 4 ragazzi nel gruppo di studenti. Qual è la probabilità che uno studente selezionato a caso sia una ragazza? ci sarà un giovane?
p dev = 6/10 = 0,6 p yun = 4/10 = 0,4
Il concetto di “probabilità” nei moderni corsi rigorosi di teoria della probabilità è costruito su basi teoretiche degli insiemi. Vediamo alcuni aspetti di questo approccio.
Poniamo che uno ed uno solo degli eventi si verifichino come risultato del test: con io(i=1, 2, ....n). Eventi con io- chiamato eventi elementari (risultati elementari). DI ne consegue che gli eventi elementari sono incompatibili a coppie. Viene chiamato l'insieme di tutti gli eventi elementari che possono verificarsi in un test spazio degli eventi elementariΩ (lettera greca maiuscola omega), e gli stessi eventi elementari lo sono punti di questo spazio..
Evento UN identificato con un sottoinsieme (dello spazio Ω), i cui elementi sono risultati elementari favorevoli UN; evento INè un sottoinsieme Ω i cui elementi sono risultati favorevoli IN, ecc. Pertanto, l'insieme di tutti gli eventi che possono verificarsi in un test è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di Ω. Ω stesso si verifica per qualsiasi risultato del test, quindi Ω è un evento affidabile; un sottoinsieme vuoto dello spazio Ω - è un evento impossibile (non si verifica in nessun esito del test).
Gli eventi elementari si distinguono da tutti gli eventi tematici, “ognuno di essi contiene un solo elemento Ω
Ogni risultato elementare con io corrispondere a un numero positivo p i- la probabilità di questo risultato e la somma di tutti p i uguale a 1 o con segno di somma, questo fatto verrà scritto sotto forma di espressione:
Per definizione, probabilità PAPÀ) eventi UN pari alla somma delle probabilità di esiti elementari favorevoli UN. Pertanto, la probabilità di un evento affidabile è uguale a uno, un evento impossibile è zero e un evento arbitrario è compreso tra zero e uno.
Consideriamo un caso speciale importante in cui tutti i risultati sono ugualmente possibili: il numero di risultati è n, la somma delle probabilità di tutti i risultati è uguale a uno; pertanto, la probabilità di ciascun risultato è 1/p. Lasciamo che l'evento UN favorisce m risultati.
Probabilità dell'evento UN pari alla somma delle probabilità di esiti favorevoli UN:
P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n1/n=1
Si ottiene una definizione classica di probabilità.
C'è anche assiomatico approccio al concetto di “probabilità”. Nel sistema di assiomi proposto. Kolmogorov A.N., i concetti indefiniti sono un evento e una probabilità elementari. La costruzione di una teoria della probabilità logicamente completa si basa sulla definizione assiomatica di un evento casuale e della sua probabilità.
Ecco gli assiomi che definiscono la probabilità:
1. Ogni evento UN assegnato un numero reale non negativo RA). Questo numero è chiamato probabilità dell’evento UN.
2. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno:
3. La probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi incompatibili a coppie è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi.
Sulla base di questi assiomi, le proprietà delle probabilità e la dipendenza tra loro vengono derivate come teoremi.
La teoria della probabilità è una scienza matematica che studia i modelli di eventi casuali. Un esperimento probabilistico (test, osservazione) è un esperimento il cui risultato non può essere previsto in anticipo. In questo esperimento, qualsiasi risultato (risultato) lo è evento.
L'evento potrebbe essere affidabile(si verifica sempre a seguito di un test); impossibile(ovviamente non si verifica durante il testing); casuale(può verificarsi o meno nelle condizioni di questo esperimento).
Viene chiamato un evento che non può essere scomposto in eventi più semplici elementare. Un evento presentato come combinazione di più eventi elementari viene chiamato complesso(l'azienda non ha subito perdite - l'utile può essere positivo o uguale a zero).
Due eventi che non possono verificarsi contemporaneamente (aumento delle tasse – aumento del reddito disponibile; aumento degli investimenti – diminuzione del rischio) vengono detti incompatibile.
In altre parole, due eventi sono incompatibili se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro. Altrimenti lo sono giunto(aumento del volume delle vendite - aumento dei profitti). Gli eventi vengono chiamati opposto, se uno dei due si verifica se e solo se l'altro non si verifica (il prodotto viene venduto - il prodotto non viene venduto).
Probabilità dell’evento – Si tratta di una misura numerica che viene introdotta per confrontare gli eventi in base al grado di possibilità del loro verificarsi.
Definizione classica di probabilità. Probabilità R(UN) eventi UNè chiamato rapporto numerico M eventi elementari (esiti) ugualmente possibili favorevoli al verificarsi dell'evento UN, al numero totale N tutti i possibili risultati elementari di questo esperimento:
Da quanto sopra derivano le seguenti proprietà fondamentali della probabilità:
1,0£ R(UN) £ 1.
2. Probabilità di un determinato evento UNè uguale a 1: R(UN) = 1.
3. La probabilità di un evento impossibile A è 0: R(UN) = 0.
4. Se gli eventi UN E IN sono incompatibili, quindi R(UN + IN) = R(UN) + R(IN); se eventi UN E IN sono congiunti, quindi R(UN + IN) = R(UN) + R(IN) - R(UN . B).(R(UN . B)è la probabilità del verificarsi congiunto di questi eventi).
5. Se UN ed eventi opposti, quindi R() = 1 - R(UN).
Se la probabilità che si verifichi un evento non modifica la probabilità che si verifichi un altro, allora vengono chiamati tali eventi indipendente.
Quando si calcolano direttamente le probabilità di eventi caratterizzati da un gran numero di risultati, si dovrebbero usare formule combinatorie. Studiare un gruppo di eventi (ipotesi)
si applicano le formule della probabilità totale, di Bayes e di Bernoulli ( N test indipendenti - ripetizione di esperimenti).
A determinazione statistica della probabilità eventi UN Sotto N si riferisce al numero totale di prove effettivamente eseguite in cui si è verificato l'evento UN incontrato esattamente M una volta. In questo caso la relazione M/N chiamata frequenza relativa (frequenza) Wn(UN) verificarsi dell'evento UN V N test eseguiti.
Quando si determina la probabilità tramite metodo delle valutazioni degli esperti Sotto N si riferisce al numero di esperti (specialisti in un determinato campo) intervistati riguardo alla possibilità che un evento si verifichi UN. In cui M di cui sostengono che l'evento UN accadrà.
Il concetto di evento casuale non è sufficiente per descrivere i risultati di osservazioni di quantità che hanno un'espressione numerica. Ad esempio, quando si analizza il risultato finanziario di un'impresa, sono interessati principalmente alle sue dimensioni. Pertanto, il concetto di evento casuale è integrato dal concetto di variabile casuale.
Sotto variabile casuale(SV) è intesa come una quantità che, in seguito all'osservazione (test), assume uno dei suoi possibili valori, sconosciuti in anticipo e dipendenti da circostanze casuali. Per ogni evento elementare, SV ha un unico significato.
Esistono SV discreti e continui. Per discreto SV l'insieme dei suoi possibili valori è finito o numerabile, cioè SV assume singoli valori isolati che possono essere elencati in anticipo, con determinate probabilità. Per continuo SV, l'insieme dei suoi possibili valori è infinito e non numerabile, ad esempio tutti i numeri di un dato intervallo, ad es. i possibili valori di SV non possono essere elencati in anticipo e colmano continuamente una certa lacuna.
Esempi di variabili casuali: X- numero giornaliero di clienti nel supermercato (SV discreto); Y- il numero di bambini nati durante il giorno in un determinato centro amministrativo (SV discreto); Z- coordinata del punto di impatto di un proiettile di artiglieria (NE continuo).
Molti SV considerati in economia hanno un numero così elevato di valori possibili che è più conveniente rappresentarli sotto forma di SV continui. Ad esempio, i tassi di cambio, il reddito familiare, ecc.
Per descrivere la SV è necessario stabilire una relazione tra tutti i possibili valori della SV e le loro probabilità. Questo rapporto verrà chiamato legge di distribuzione di SV. Per un SV discreto può essere specificato in modo tabellare, analitico (sotto forma di formula) o graficamente. Ad esempio, tabellare per SV X