Come vengono contate le frazioni. Come risolvere esempi con frazioni. Come trovare la differenza di frazioni con lo stesso denominatore
Gli alunni conoscono le frazioni nella 5a elementare. In precedenza, le persone che sapevano come eseguire azioni con le frazioni erano considerate molto intelligenti. La prima frazione era 1/2, cioè metà, poi 1/3 appariva, ecc. Per diversi secoli gli esempi sono stati considerati troppo complessi. Ora, sono state sviluppate regole dettagliate per convertire frazioni, addizioni, moltiplicazioni e altre azioni. Basta capire un po 'il materiale e la soluzione sarà facile.
Una frazione ordinaria, chiamata frazione semplice, è scritta come una divisione di due numeri: me n.
M è il dividendo, cioè il numeratore della frazione, e il divisore n è chiamato denominatore.
Assegna le frazioni corrette (m< n) а также неправильные (m > n).
Una frazione regolare è inferiore a uno (ad esempio, 5/6 - questo significa che 5 parti sono prese da una; 2/8 - 2 parti sono prese da una). La frazione irregolare è uguale o maggiore di 1 (8/7 - 1 è 7/7 e una parte in più è considerata un plus).
Quindi, un'unità è quando il numeratore e il denominatore coincidono (3/3, 12/12, 100/100 e altri).
Azioni con frazioni ordinarie grado 6
Con le frazioni semplici, puoi fare quanto segue:
- Espandi frazione. Se moltiplichi le parti superiore e inferiore della frazione per uno qualsiasi dello stesso numero (ma non zero), il valore della frazione non cambierà (3/5 \u003d 6/10 (solo moltiplicato per 2).
- La riduzione delle frazioni è simile all'espansione, ma qui è divisa per un certo numero.
- Confrontare. Se due frazioni hanno gli stessi numeratori, la frazione più grande sarà la frazione con il denominatore inferiore. Se i denominatori sono gli stessi, la frazione con il numeratore più grande sarà maggiore.
- Esegui addizioni e sottrazioni. Con gli stessi denominatori, questo è facile (sommiamo le parti superiori e quelle inferiori non cambiano). Per diverso, dovrai trovare un denominatore comune e fattori aggiuntivi.
- Moltiplica e dividi le frazioni.
Prenderemo in considerazione esempi di azioni con frazioni di seguito.
Frazioni ridotte grado 6
Abbreviare significa dividere le parti superiore e inferiore della frazione per uno qualsiasi dello stesso numero.
La figura mostra semplici esempi di abbreviazione. Nella prima opzione, puoi immediatamente intuire che il numeratore e il denominatore sono divisibili per 2.
In una nota! Se il numero è pari, allora è divisibile in qualsiasi modo per 2. I numeri pari sono 2, 4, 6 ... 32 8 (termina con pari), ecc.
Nel secondo caso, dividendo 6 per 18, è subito chiaro che i numeri sono divisibili per 2. Dividendo, otteniamo 3/9. Questa frazione è divisibile per 3. Quindi la risposta è 1/3. Se moltiplichi entrambi i fattori: 2 per 3, ottieni 6. Si scopre che la frazione è stata divisa per sei. Si chiama questa divisione graduale riduzione successiva delle frazioni per fattori comuni.
Qualcuno dividerà immediatamente per 6, qualcuno avrà bisogno di divisione per parti. La cosa principale è che alla fine c'è una frazione che non può essere ridotta in alcun modo.
Nota che se un numero è composto da cifre, sommando un numero divisibile per 3, l'originale può anche essere ridotto di 3. Esempio: numero 341. Somma i numeri: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (8 non può essere diviso per 3, quindi, il numero 341 non può essere ridotto di 3 senza resto). Un altro esempio: 264. Aggiungi: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (divisibile per 3). Otteniamo: 264: 3 \u003d 88. Ciò semplificherà la riduzione dei grandi numeri.
Oltre al metodo di riduzione successiva delle frazioni da fattori comuni, ci sono altri metodi.
GCD è il più grande divisore di un numero. Dopo aver trovato il GCD per il denominatore e il numeratore, puoi immediatamente ridurre la frazione del numero desiderato. La ricerca viene eseguita dividendo gradualmente ogni numero. Successivamente, guardano quali divisori coincidono, se ce ne sono diversi (come nell'immagine sotto), quindi è necessario moltiplicarli.
Frazioni miste grado 6
Tutte le frazioni irregolari possono essere trasformate in frazioni miste selezionandone l'intera parte. L'intero numero viene scritto a sinistra.
Spesso devi ricavare un numero misto da una frazione impropria. Il processo di trasformazione nell'esempio seguente: 22/4 \u003d 22 diviso per 4, otteniamo 5 numeri interi (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Otteniamo 5 numeri interi e 2/4 (il denominatore non cambia). Poiché la frazione può essere annullata, dividiamo la parte superiore e inferiore per 2.
È facile trasformare un numero misto in una frazione impropria (questo è necessario quando si dividono e si moltiplicano le frazioni). Per fare ciò: moltiplica il numero intero per la parte inferiore della frazione e aggiungi il numeratore a questo. Fatto. Il denominatore non cambia.
Calcoli con frazioni di grado 6
È possibile aggiungere numeri misti. Se i denominatori sono gli stessi, è facile: aggiungi le parti intere ei numeratori, il denominatore rimane al suo posto.
Quando si aggiungono numeri con denominatori diversi, il processo è più complicato. Innanzitutto, portiamo i numeri a un denominatore più piccolo (NOZ).
Nell'esempio seguente, per i numeri 9 e 6, il denominatore è 18. Dopodiché, sono necessari fattori aggiuntivi. Per trovarli, 18 dovrebbe essere diviso per 9, quindi si trova il numero aggiuntivo - 2. Lo moltiplichiamo per il numeratore 4 per ottenere la frazione 8/18). Lo stesso viene fatto con la seconda frazione. Stiamo già sommando le frazioni convertite (interi e numeratori separatamente, non cambiamo il denominatore). Nell'esempio, la risposta doveva essere convertita in una frazione corretta (inizialmente, il numeratore era più grande del denominatore).
Si noti che la procedura è la stessa per la differenza di frazioni.
Quando si moltiplicano le frazioni, è importante posizionarle entrambe sotto la stessa linea. Se il numero è misto, lo trasformiamo in una semplice frazione. Successivamente, moltiplichiamo la parte superiore e inferiore e annotiamo la risposta. Se puoi vedere che le frazioni possono essere annullate, possiamo ridurle immediatamente.
Nell'esempio sopra, non abbiamo dovuto tagliare nulla, abbiamo solo annotato la risposta e selezionato l'intera parte.
In questo esempio, ho dovuto abbreviare i numeri sotto una riga. Sebbene tu possa abbreviare una risposta già pronta.
Per la divisione, l'algoritmo è quasi lo stesso. Per prima cosa, trasformiamo la frazione mista in una irregolare, quindi scriviamo i numeri sotto una riga, sostituendo la divisione con la moltiplicazione. Non dimenticare di scambiare le parti superiore e inferiore della seconda frazione (questa è la regola per dividere le frazioni).
Se necessario, riduciamo i numeri (nell'esempio sotto li abbiamo ridotti di cinque e due). Trasformiamo la frazione irregolare selezionando l'intera parte.
Problemi di base per le frazioni di grado 6
Il video mostra alcune altre attività. Per chiarezza, sono state utilizzate immagini grafiche di soluzioni per aiutare a visualizzare le frazioni.
Esempi di moltiplicazione di una frazione di grado 6 con spiegazioni
La moltiplicazione delle frazioni viene scritta sotto una riga. Dopodiché, vengono ridotti dividendo per gli stessi numeri (ad esempio, 15 al denominatore e 5 al numeratore possono essere divisi per cinque).
Confronto delle frazioni di grado 6
Per confrontare le frazioni, è necessario ricordare due semplici regole.
Regola 1. Se i denominatori sono diversi
Regola 2. Quando i denominatori sono gli stessi
Ad esempio, confrontiamo le frazioni 7/12 e 2/3.
- Guardiamo i denominatori, non coincidono. Quindi devi trovarne uno comune.
- Per le frazioni, il denominatore comune è 12.
- Dividiamo prima 12 per la parte inferiore della prima frazione: 12:12 \u003d 1 (questo è un fattore aggiuntivo per la prima frazione).
- Ora dividiamo 12 per 3, otteniamo 4 - aggiungi. moltiplicatore della 2a frazione.
- Moltiplichiamo i numeri risultanti per i numeratori per convertire le frazioni: 1 x 7 \u003d 7 (prima frazione: 7/12); 4 x 2 \u003d 8 (seconda frazione: 8/12).
- Ora possiamo confrontare: 7/12 e 8/12. Successo: 7/12< 8/12.
Per rappresentare meglio le frazioni, puoi usare i disegni per chiarezza, dove l'oggetto è diviso in parti (ad esempio, una torta). Se vuoi confrontare 4/7 e 2/3, nel primo caso la torta viene divisa in 7 parti e ne vengono selezionate 4. Nella seconda, lo dividono in 3 parti e ne prendono 2. Sarà chiaro ad occhio nudo che 2/3 sarà più di 4/7.
Esempi con frazioni di grado 6 per la formazione
Come allenamento, puoi svolgere le seguenti attività.
- Confronta le frazioni
- eseguire la moltiplicazione
Suggerimento: se è difficile trovare il minimo comune denominatore per le frazioni (soprattutto se i loro valori sono piccoli), puoi moltiplicare il denominatore della prima e della seconda frazione. Esempio: 2/8 e 5/9. Trovare il loro denominatore è semplice: moltiplica 8 per 9, otteniamo 72.
Risolvere equazioni con frazioni di grado 6
Nel risolvere le equazioni, è necessario ricordare le azioni con le frazioni: moltiplicazione, divisione, sottrazione e addizione. Se uno dei fattori è sconosciuto, il prodotto (totale) viene diviso per un fattore noto, ovvero le frazioni vengono moltiplicate (il secondo viene capovolto).
Se il dividendo è sconosciuto, il denominatore viene moltiplicato per il divisore e per trovare il divisore il dividendo deve essere diviso per il quoziente.
Presentiamo semplici esempi di risoluzione di equazioni:
Qui è solo richiesto di produrre la differenza di frazioni senza portare a un denominatore comune.
La risposta è risultata una frazione errata. Può essere convertito in 1 intero e 3/5.
Nel secondo metodo, il numeratore e il denominatore sono stati moltiplicati per 4 per annullare il fondo, invece di capovolgere il denominatore.
Istruzioni
È consuetudine separare le frazioni ordinarie e decimali, la cui conoscenza inizia al liceo. Attualmente non esiste un'area di competenza che non lo applichi. Anche nel primo diciassettesimo secolo diciamo, e tutto in una volta, che significa 1600-1625. Spesso devi anche occuparti di operazioni elementari sulle frazioni, nonché della loro trasformazione da un tipo all'altro.
Portare le frazioni a un denominatore comune è forse l'azione più importante sulle frazioni comuni. Questa è la base per assolutamente tutti i calcoli. Quindi, diciamo che ci sono due frazioni a / be c / d. Quindi, per portarli a un denominatore comune, è necessario trovare il minimo comune multiplo (M) dei numeri b e d, quindi moltiplicare il numeratore della prima frazione per (M / b) e il numeratore di il secondo da (M / d).
Il confronto delle frazioni è un altro compito importante. Per fare ciò, portare le frazioni semplici date a un denominatore comune e quindi confrontare i numeratori, il cui numeratore è maggiore, quella frazione e altro ancora.
Per eseguire l'addizione o la sottrazione di frazioni ordinarie, è necessario portarle a un denominatore comune e quindi eseguire l'azione matematica desiderata con i numeratori di queste frazioni. Il denominatore rimane invariato. Diciamo che devi sottrarre c / d da a / b. Per fare ciò, è necessario trovare il minimo comune multiplo M dei numeri b e d, quindi sottrarre l'altro da un numeratore senza cambiare il denominatore: (a * (M / b) - (c * (M / d) ) / M
Basta moltiplicare una frazione per un'altra, per questo devi solo moltiplicare i loro numeratori e denominatori:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Per dividere una frazione per un'altra, è necessario moltiplicare la frazione del dividendo per l'inverso del divisore. (a / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
Vale la pena ricordare che per ottenere la frazione reciproca è necessario invertire numeratore e denominatore.
Aggiungere 2 frazioni con gli stessi denominatori, è necessario aggiungere i loro numeratori e denominatorilasciare invariato.Aggiunta di frazioni, esempi:
La formula generale per sommare frazioni ordinarie e sottrarre frazioni con lo stesso denominatore è:
Nota! Controlla se puoi ridurre la frazione che hai ricevuto scrivendo la risposta.
Aggiunta di frazioni con denominatori diversi.
Le regole per aggiungere frazioni con denominatori diversi:
- ridurre le frazioni al minimo comune denominatore (LCN). Per questo troviamo il più piccolo multiplo comune (LCM) dei denominatori;
- sommare i numeratori delle frazioni e lasciare invariati i denominatori;
- riduciamo la frazione che abbiamo ricevuto;
- se ottieni una frazione errata, converti la frazione errata in una frazione mista.
Esempi di aggiunte frazioni con denominatori diversi:
Addizione di numeri misti (frazioni miste).
Regole per l'aggiunta di frazioni miste:
- portiamo le parti frazionarie di questi numeri al minimo comune denominatore (LCN);
- aggiungere separatamente parti intere e parti frazionate separatamente, sommare i risultati;
- se, aggiungendo le parti frazionarie, abbiamo ricevuto una frazione errata, selezionare l'intera parte da questa frazione e aggiungerla alla parte intera risultante;
- riduciamo la frazione risultante.
Esempio aggiunte frazione mista:
Aggiunta di frazioni decimali.
Quando si aggiungono frazioni decimali, il processo viene scritto in "colonna" (come al solito moltiplicazione di colonna),in modo che gli scarichi con lo stesso nome siano uno sotto l'altro senza spostamento. Le virgole sono obbligatorieci allineamo chiaramente l'uno sotto l'altro.
Le regole per l'aggiunta di frazioni decimali:
1. Se necessario, equalizzare il numero di cifre decimali. Per fare ciò, aggiungi zeri ala frazione richiesta.
2. Annotiamo le frazioni in modo che le virgole siano una sotto l'altra.
3. Aggiungi le frazioni senza prestare attenzione alla virgola.
4. Mettiamo una virgola nella somma sotto le virgole, le frazioni che aggiungiamo.
Nota! Quando le frazioni decimali fornite hanno un numero diverso di cifre dopo il punto decimale,quindi assegniamo il numero di zeri richiesto alla frazione con meno cifre decimali, per l'equazione inle frazioni sono il numero di cifre decimali.
Capiamo esempio... Trova la somma delle frazioni decimali:
0,678 + 13,7 =
Equalizza il numero di cifre decimali in frazioni decimali. Aggiungi 2 zeri a destra al decimalefrazioni 13,7 .
0,678 + 13,700 =
Scriviamo risposta:
0,678 + 13,7 = 14,378
Se aggiunta di frazioni decimali hai imparato abbastanza bene, quindi puoi aggiungere gli zeri mancantinella mente.
Questo articolo inizia lo studio delle azioni con frazioni algebriche: considereremo in dettaglio azioni come addizione e sottrazione di frazioni algebriche. Analizziamo lo schema di addizione e sottrazione di frazioni algebriche sia con lo stesso denominatore che con denominatori diversi. Impareremo come aggiungere una frazione algebrica con un polinomio e come sottrarli. Spieghiamo ogni fase della ricerca di una soluzione ai problemi con esempi specifici.
Azioni di addizione e sottrazione con gli stessi denominatori
Lo schema per l'aggiunta di frazioni ordinarie è applicabile anche a quelle algebriche. Sappiamo che quando si sommano o si sottrae frazioni ordinarie con gli stessi denominatori, è necessario sommare o sottrarre i loro numeratori e il denominatore rimane l'originale.
Ad esempio: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 e 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.
Di conseguenza, la regola di addizione e sottrazione di frazioni algebriche con gli stessi denominatori è scritta in modo simile:
Definizione 1
Per aggiungere o sottrarre frazioni algebriche con gli stessi denominatori, è necessario sommare o sottrarre rispettivamente i numeratori delle frazioni originali e scrivere il denominatore invariato.
Questa regola permette di concludere che il risultato dell'addizione o della sottrazione di frazioni algebriche è una nuova frazione algebrica (in un caso particolare: un polinomio, un monomio o un numero).
Facciamo un esempio dell'applicazione della regola formulata.
Esempio 1
Si danno le frazioni algebriche: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 e 3 - x y x 2 y - 2. È necessario aggiungerli.
Decisione
Le frazioni originali contengono gli stessi denominatori. Secondo la regola, aggiungiamo i numeratori delle frazioni date e lasciamo invariato il denominatore.
Sommando i polinomi che sono i numeratori delle frazioni originali, otteniamo: x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y \u003d x 2 + (2 x y - x y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x y - 2.
Quindi la somma richiesta sarà scritta come: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
In pratica, come in molti casi, la soluzione è data da una catena di uguaglianze, che mostra chiaramente tutte le fasi della soluzione:
x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2
Risposta: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2.
Il risultato dell'addizione o della sottrazione può essere una frazione annullabile, in questo caso è ottimale ridurla.
Esempio 2
È necessario sottrarre dalla frazione algebrica x x 2 - 4 · y 2 la frazione 2 · y x 2 - 4 · y 2.
Decisione
I denominatori delle frazioni originali sono uguali. Eseguiremo azioni con i numeratori, ovvero: sottrarre il numeratore del secondo dal numeratore della prima frazione, quindi annotare il risultato, lasciando invariato il denominatore:
x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y x 2 - 4 y 2
Vediamo che la frazione risultante è cancellabile. Riduciamolo trasformando il denominatore usando la formula della differenza dei quadrati:
x - 2 y x 2-4 y 2 \u003d x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) \u003d 1 x + 2 y
Risposta: x x 2-4 y 2-2 y x 2-4 y 2 \u003d 1 x + 2 y.
Secondo lo stesso principio, tre o più frazioni algebriche vengono aggiunte o sottratte con gli stessi denominatori. Per esempio:
1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 \u003d 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1
Azioni di addizione e sottrazione per diversi denominatori
Torniamo nuovamente allo schema delle azioni con frazioni ordinarie: per sommare o sottrarre frazioni ordinarie con denominatori diversi, è necessario portarle a un denominatore comune, quindi aggiungere le frazioni risultanti con gli stessi denominatori.
Ad esempio, 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 o 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.
Allo stesso modo, formuleremo la regola di addizione e sottrazione di frazioni algebriche con denominatori diversi:
Definizione 2
Per eseguire addizioni o sottrazioni di frazioni algebriche con denominatori diversi, è necessario:
- ridurre le frazioni originali a un denominatore comune;
- eseguire l'addizione o la sottrazione delle frazioni risultanti con gli stessi denominatori.
Ovviamente, la chiave qui sarà l'abilità di portare le frazioni algebriche a un denominatore comune. Diamo uno sguardo più da vicino.
Denominatore comune delle frazioni algebriche
Per portare le frazioni algebriche a un denominatore comune, è necessario effettuare una trasformazione identica delle frazioni date, a seguito della quale i denominatori delle frazioni originali diventano gli stessi. Qui è ottimale agire secondo il seguente algoritmo per portare le frazioni algebriche a un denominatore comune:
- per prima cosa determiniamo il denominatore comune delle frazioni algebriche;
- quindi troviamo fattori aggiuntivi per ciascuna delle frazioni dividendo il denominatore comune per i denominatori delle frazioni originali;
- l'ultima azione i numeratori e denominatori delle frazioni algebriche date vengono moltiplicati per i corrispondenti fattori aggiuntivi.
Si danno le frazioni algebriche: a + 2 2 a 3 - 4 a 2, a + 3 3 a 2 - 6 a e a + 1 4 a 5 - 16 a 3. È necessario portarli a un denominatore comune.
Decisione
Agiamo secondo l'algoritmo di cui sopra. Determina il denominatore comune delle frazioni originali. A tal fine, escludiamo i denominatori delle frazioni date: 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 2 a 2 (a - 2), 3 a 2-6 a \u003d 3 a (a - 2) e 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 4 a 3 (a - 2) (a + 2)... Da qui possiamo annotare il comune denominatore: 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Ora dobbiamo trovare ulteriori fattori. Dividiamo, secondo l'algoritmo, il denominatore comune trovato nei denominatori delle frazioni originali:
- per la prima frazione: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (2 a 2 (a - 2)) \u003d 6 a (a + 2);
- per la seconda frazione: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (3 a (a - 2)) \u003d 4 a 2 (a + 2);
- per la terza frazione: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) \u003d 3 .
Il passaggio successivo consiste nel moltiplicare i numeratori e denominatori delle frazioni date per i fattori aggiuntivi trovati:
a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2-6 a \u003d (a + 3) 4 a 2 (a + 2) 3 a 2-6 a 4 a 2 (a + 2) \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (A + 2) a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d (a + 1) 3 (4 a 5 - 16 a 3 ) 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2)
Risposta: a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Quindi, abbiamo portato le frazioni originali a un denominatore comune. Se necessario, puoi trasformare ulteriormente il risultato nella forma di frazioni algebriche moltiplicando polinomi e monomi nei numeratori e denominatori.
Chiariamo anche il punto seguente: è ottimale lasciare il comune denominatore trovato sotto forma di prodotto nel caso in cui sia necessario annullare la frazione finita.
Abbiamo esaminato in dettaglio lo schema per ridurre le frazioni algebriche originali a un denominatore comune, ora possiamo iniziare ad analizzare esempi di addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi.
Esempio 4
Le frazioni algebriche sono date: 1-2 x x 2 + x e 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. È necessario eseguire l'azione della loro aggiunta.
Decisione
Le frazioni originali hanno denominatori diversi, quindi il primo passo è portarle a un denominatore comune. Fattorizzare i denominatori: x 2 + x \u003d x (x + 1) e x 2 + 3 x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2),da radici trinomiali quadrate x 2 + 3 x + 2 questi sono numeri: - 1 e - 2. Determina il denominatore comune: x (x + 1) (x + 2), quindi i fattori aggiuntivi saranno: x + 2e - Xrispettivamente per la prima e la seconda frazione.
Quindi: 1-2 xx 2 + x \u003d 1-2 xx (x + 1) \u003d (1-2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) \u003d x + 2-2 x 2 - 4 xx (x + 1) x + 2 \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) e 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 X 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2)
Ora aggiungiamo le frazioni che abbiamo portato a un denominatore comune:
2-2 x 2-3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2-2 x 2-3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 2 xx (x + 1) (x + 2)
La frazione risultante può essere ridotta di un fattore comune x + 1:
2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2)
E, infine, scriviamo il risultato ottenuto sotto forma di frazione algebrica, sostituendo il prodotto al denominatore con un polinomio:
2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Scriviamo brevemente il corso della soluzione come una catena di uguaglianze:
1 - 2 xx 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 1 - 2 xx (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 1 - 2 x (x + 2) xx + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2-3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Risposta: 1-2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 x
Fate attenzione a questo dettaglio: prima di aggiungere o sottrarre frazioni algebriche, se possibile, è opportuno trasformarle per semplificare.
Esempio 5
È necessario sottrarre le frazioni: 2 1 1 3 · x - 2 21 e 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.
Decisione
Trasformiamo le frazioni algebriche originali per semplificare l'ulteriore soluzione. Prendiamo i coefficienti numerici delle variabili nel denominatore fuori dalle parentesi:
2 1 1 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 1 14 e 3 x - 1 1 7-2 x \u003d 3 x - 1-2 x - 1 14
Questa trasformazione ci ha sicuramente dato un vantaggio: vediamo chiaramente la presenza di un fattore comune.
Liberiamoci del tutto dai coefficienti numerici nei denominatori. Per fare ciò, utilizziamo la proprietà principale delle frazioni algebriche: moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della prima frazione per 3 4 e la seconda per - 1 2, quindi otteniamo:
2 4 3 x - 1 14 \u003d 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 e 3 x - 1-2 x - 1 14 \u003d - 1 2 3 x - 1-1 2-2 x - 1 14 \u003d - 3 2 x + 1 2 x - 1 14.
Facciamo un'azione che ci permetterà di sbarazzarci dei coefficienti frazionari: moltiplicare le frazioni risultanti per 14:
3 2 x - 1 14 \u003d 14 3 2 14 x - 1 14 \u003d 21 14 x - 1 e - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 x + 7 14 x - 1.
Infine, eseguiamo l'azione richiesta nell'istruzione del problema - sottrazione:
2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 \u003d 21 - - 21 x + 7 14 X - 1 \u003d 21 x + 14 14 x - 1
Risposta: 2 1 1 3 x - 2 21-3 x - 1 1 7-2 x \u003d 21 x + 14 14 x - 1.
Addizione e sottrazione di una frazione algebrica e di un polinomio
Questa azione si riduce anche all'addizione o alla sottrazione di frazioni algebriche: è necessario rappresentare il polinomio originale come una frazione a denominatore 1.
Esempio 6
È necessario aggiungere il polinomio x 2-3 con una frazione algebrica 3 x x + 2.
Decisione
Scriviamo il polinomio come frazione algebrica con denominatore 1: x 2 - 3 1
Ora possiamo eseguire l'addizione secondo la regola per l'aggiunta di frazioni con denominatori diversi:
x 2 - 3 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 X 2 - 3 x - 6 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d x 3 + 2 x 2-3 x - 6 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 x 2-6 x + 2
Risposta: x 2 - 3 + 3 x x + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.
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La prossima azione che puoi fare con le frazioni è la sottrazione. Nell'ambito di questo materiale, considereremo come calcolare correttamente la differenza di frazioni con denominatori uguali e diversi, come sottrarre una frazione da un numero naturale e viceversa. Tutti gli esempi saranno illustrati con le attività. Chiariamo in anticipo che analizzeremo solo i casi in cui la differenza delle frazioni risulta in un numero positivo.
Come trovare la differenza di frazioni con lo stesso denominatore
Partiamo subito con un esempio illustrativo: diciamo di avere una mela che è stata divisa in otto parti. Lasciamo cinque pezzi nel piatto e prendiamone due. Questa azione può essere scritta in questo modo:
Di conseguenza, ci rimangono 3 ottavi, poiché 5 - 2 \u003d 3. Risulta che 5 8 - 2 8 \u003d 3 8.
Con questo semplice esempio, abbiamo visto esattamente come funziona la regola di sottrazione per le frazioni con gli stessi denominatori. Formuliamolo.
Definizione 1
Per trovare la differenza tra frazioni con lo stesso denominatore, è necessario sottrarre il numeratore dell'altro dal numeratore di uno e lasciare lo stesso denominatore. Questa regola può essere scritta come a b - c b \u003d a - c b.
Useremo questa formula in futuro.
Facciamo esempi specifici.
Esempio 1
Sottrai la frazione ordinaria 17 15 dalla frazione 24 15.
Decisione
Vediamo che queste frazioni hanno gli stessi denominatori. Quindi tutto ciò che dobbiamo fare è sottrarre 17 da 24. Otteniamo 7 e aggiungiamo il denominatore, otteniamo 7 15.
I nostri calcoli possono essere scritti come segue: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Se necessario, puoi ridurre la frazione complessa o selezionare l'intera parte da quella sbagliata per facilitare il conteggio.
Esempio 2
Trova la differenza 37 12-15 12.
Decisione
Usiamo la formula sopra descritta e calcoliamo: 37 12-15 12 \u003d 37-15 12 \u003d 22 12
È facile vedere che numeratore e denominatore possono essere divisi per 2 (ne abbiamo parlato prima quando abbiamo esaminato i criteri di divisibilità). Riducendo la risposta, otteniamo 11 6. Questa è una frazione impropria, dalla quale selezioneremo l'intera parte: 11 6 \u003d 1 5 6.
Come trovare la differenza di frazioni con denominatori diversi
Tale azione matematica può essere ridotta a quanto abbiamo già descritto sopra. Per fare ciò, portiamo semplicemente le frazioni richieste a un denominatore. Formuliamo la definizione:
Definizione 2
Per trovare la differenza tra frazioni con denominatori diversi, è necessario portarle allo stesso denominatore e trovare la differenza nei numeratori.
Diamo un'occhiata a un esempio di come si fa.
Esempio 3
Sottrai 1 15 da 2 9.
Decisione
I denominatori sono diversi e devi portarli al valore comune più basso. In questo caso, l'LCM è 45. Per la prima frazione è richiesto un fattore aggiuntivo di 5 e per la seconda un ulteriore 3.
Calcoliamo: 2 9 \u003d 2 5 9 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 3 15 3 \u003d 3 45
Abbiamo ottenuto due frazioni con lo stesso denominatore e ora possiamo facilmente trovare la loro differenza usando l'algoritmo descritto in precedenza: 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45
Una breve registrazione della soluzione è simile a questa: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Non si dovrebbe trascurare di ridurre il risultato o di estrarne una parte intera, se necessario. In questo esempio, non è necessario farlo.
Esempio 4
Trova la differenza 19 9 - 7 36.
Decisione
Portiamo le frazioni indicate nella condizione al minimo comune denominatore 36 e otteniamo rispettivamente 76 9 e 7 36.
Calcoliamo la risposta: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Il risultato può essere ridotto di 3 e ottenere 23 12. Il numeratore è più grande del denominatore, il che significa che possiamo selezionare l'intera parte. La risposta finale è 1 11 12.
Un riepilogo dell'intera soluzione è 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
Come sottrarre un numero naturale da una frazione ordinaria
Questa azione può anche essere facilmente ridotta a una semplice sottrazione di frazioni ordinarie. Questo può essere fatto rappresentando un numero naturale come frazione. Facciamo vedere con un esempio.
Esempio 5
Trova la differenza 83 21-3.
Decisione
3 è uguale a 3 1. Quindi può essere calcolato in questo modo: 83 21-3 \u003d 20 21.
Se è necessario sottrarre un numero intero da una frazione impropria in una condizione, è più conveniente estrarne prima un intero scrivendolo come un numero misto. Quindi l'esempio precedente può essere risolto in modo diverso.
Dalla frazione 83 21, quando viene selezionata l'intera parte, otteniamo 83 21 \u003d 3 20 21.
Ora sottraiamo solo 3 da esso: 3 20 21-3 \u003d 20 21.
Come sottrarre una frazione da un numero naturale
Questa azione viene eseguita in modo simile alla precedente: riscriviamo il numero naturale come frazione, portiamo entrambi a un unico denominatore e troviamo la differenza. Illustriamolo con un esempio.
Esempio 6
Trova la differenza: 7 - 5 3.
Decisione
Fai 7 come 7 1. Sottraiamo e trasformiamo il risultato finale, estraendone l'intera parte: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.
C'è un altro modo per fare calcoli. Presenta alcuni vantaggi che possono essere utilizzati nei casi in cui i numeratori e denominatori delle frazioni nel problema sono grandi numeri.
Definizione 3
Se la frazione da sottrarre è corretta, il numero naturale da cui sottraiamo deve essere rappresentato come la somma di due numeri, uno dei quali è 1. Dopodiché, devi sottrarre la frazione desiderata da una e ottenere la risposta.
Esempio 7
Calcola la differenza 1065-13 62.
Decisione
La frazione da sottrarre è corretta, perché il suo numeratore è minore del denominatore. Pertanto, dobbiamo sottrarre uno da 1065 e sottrarre la frazione desiderata da esso: 1065-13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Ora dobbiamo trovare la risposta. Utilizzando le proprietà di sottrazione, l'espressione risultante può essere scritta come 1064 + 1 - 13 62. Calcoliamo la differenza tra parentesi. Per questo, rappresentiamo l'unità come frazione 1 1.
Risulta che 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Ora ricordiamoci di 1064 e formuliamo la risposta: 1064 49 62.
Usiamo il vecchio metodo per dimostrare che è meno conveniente. Questi sono i calcoli che otterremmo:
1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 62 1 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
La risposta è la stessa, ma i calcoli sono ovviamente più macchinosi.
Abbiamo considerato il caso in cui è necessario sottrarre una frazione corretta. Se non è corretto, lo sostituiamo con un numero misto e lo sottraiamo usando regole familiari.
Esempio 8
Calcola la differenza 644-73 5.
Decisione
La seconda frazione non è corretta e l'intera parte deve essere separata da essa.
Ora calcoliamo in modo simile all'esempio precedente: 630-3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1-3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
Proprietà di sottrazione per frazioni
Le proprietà che possiede la sottrazione di numeri naturali si applicano anche ai casi di sottrazione di frazioni ordinarie. Vediamo come usarli durante la risoluzione degli esempi.
Esempio 9
Trova la differenza 24 4 - 3 2 - 5 6.
Decisione
Abbiamo già risolto esempi simili quando abbiamo analizzato la sottrazione di una somma da un numero, quindi agiamo secondo un algoritmo già noto. Innanzitutto, calcoliamo la differenza 25 4-3 2, quindi sottraiamo l'ultima frazione da essa:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Trasformiamo la risposta estraendone l'intera parte. Il totale è 3 11 12.
Riepilogo dell'intera soluzione:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Se l'espressione contiene sia frazioni che numeri naturali, si consiglia di raggrupparli per tipo durante il calcolo.
Esempio 10
Trova la differenza 98 + 17 20-5 + 3 5.
Decisione
Conoscendo le proprietà di base di sottrazione e addizione, possiamo raggruppare i numeri come segue: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Completiamo i calcoli: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
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