Come trovare l'area di una forma?

Conoscere e poter calcolare le aree di varie forme è necessario non solo per risolvere semplici problemi geometrici. Non è possibile fare a meno di questa conoscenza durante la stesura o il controllo dei preventivi per la riparazione dei locali, calcolando la quantità di materiali di consumo necessari. Quindi scopriamo come trovare le aree di forme diverse.

La parte di un piano racchiusa in un contorno chiuso è chiamata area di questo piano. L'area è espressa dal numero di unità quadrate racchiuse in essa.

Per calcolare l'area delle forme geometriche di base, è necessario utilizzare la formula corretta.

Area di un triangolo

Leggenda:

1. Se h, a sono noti, allora l'area del triangolo desiderato è determinata come il prodotto delle lunghezze del lato e l'altezza del triangolo lasciato cadere su questo lato, diviso a metà: S \u003d (a h) / 2
2. Se a, b, c sono noti, l'area richiesta viene calcolata dalla formula di Heron: la radice quadrata ricavata dal prodotto di metà del perimetro del triangolo e tre differenze di metà del perimetro e ciascun lato del triangolo: S \u003d √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
3. Se a, b, γ sono noti, allora l'area di un triangolo è determinata come metà del prodotto di 2 lati, moltiplicato per il valore del seno dell'angolo tra questi lati: S \u003d (ab sin γ) / 2
4. Se a, b, c, R sono noti, l'area richiesta è determinata come la divisione del prodotto delle lunghezze di tutti i lati del triangolo per i quattro raggi del cerchio circoscritto: S \u003d (a b c) / 4R
5. Se p, r sono noti, l'area richiesta del triangolo è determinata moltiplicando metà del perimetro per il raggio del cerchio inscritto: S \u003d p r

Area quadrata

Leggenda:

1. Se il lato è noto, l'area di questa figura è determinata come il quadrato della lunghezza del suo lato: S \u003d a 2
2. Se d è noto, l'area di un quadrato è definita come metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale: S \u003d d 2/2

Area rettangolo

Leggenda:

• S - area determinata,
• a, b - le lunghezze dei lati del rettangolo.

1. Se a, b sono noti, l'area di questo rettangolo è determinata dal prodotto delle lunghezze dei suoi due lati: S \u003d a b
2. Se le lunghezze dei lati sono sconosciute, l'area del rettangolo deve essere divisa in triangoli. In questo caso, l'area di un rettangolo è definita come la somma delle aree dei suoi triangoli costituenti.

Area del parallelogramma

Leggenda:

• S è l'area richiesta,
• a, b - lunghezze dei lati,
• h è la lunghezza dell'altezza di questo parallelogramma,
• d1, d2 - lunghezze di due diagonali,
• α è l'angolo tra i lati,
• γ è l'angolo tra le diagonali.

1. Se a, h sono noti, l'area richiesta è determinata moltiplicando le lunghezze del lato e l'altezza abbassata su questo lato: S \u003d a h
2. Se a, b, α sono noti, l'area del parallelogramma viene determinata moltiplicando le lunghezze dei lati del parallelogramma e il valore del seno dell'angolo tra questi lati: S \u003d a b sin α
3. Se d 1, d 2, γ sono noti, allora l'area del parallelogramma è determinata come metà del prodotto delle lunghezze delle diagonali e il valore del seno dell'angolo tra queste diagonali: S \u003d (d 1 d 2 sinγ) / 2

Zona rombo

Leggenda:

• S è l'area richiesta,
• a - lunghezza del lato,
• h - altezza lunghezza,
• α - angolo più piccolo tra due lati,
• d1, d2 - lunghezze di due diagonali.

1. Se si conoscono a, h, l'area di un rombo viene determinata moltiplicando la lunghezza del lato per la lunghezza dell'altezza che viene abbassata su questo lato: S \u003d a h
2. Se a, α sono noti, allora l'area del rombo è determinata moltiplicando il quadrato della lunghezza del lato per il seno dell'angolo tra i lati: S \u003d a 2 sin α
3. Se d 1 e d 2 sono noti, l'area richiesta è determinata come metà del prodotto delle lunghezze delle diagonali del rombo: S \u003d (d 1 d 2) / 2

Area del trapezio

Leggenda:

1. Se a, b, c, d sono noti, l'area richiesta è determinata dalla formula: S \u003d (a + b) / 2 * √.
2. Con note a, b, h, l'area richiesta è determinata come il prodotto della metà della somma delle basi per l'altezza del trapezio: S \u003d (a + b) / 2 h

Area di un quadrilatero convesso

Leggenda:

1. Se d 1, d 2, α sono noti, allora l'area di un quadrilatero convesso è determinata come metà del prodotto delle diagonali del quadrilatero moltiplicato per il seno dell'angolo tra queste diagonali: S \u003d (d 1 d 2 sin α) / 2
2. Per noti p, r, l'area di un quadrilatero convesso è definita come il prodotto del semiperimetro del quadrilatero per il raggio di un cerchio inscritto in questo quadrilatero: S \u003d p r
3. Se a, b, c, d, θ sono noti, l'area di un quadrilatero convesso è determinata come la radice quadrata dei prodotti della differenza del mezzo perimetro e della lunghezza di ciascun lato meno il prodotto del lunghezze di tutti i lati e il quadrato del coseno della metà della somma di due angoli opposti: S 2 \u003d (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α + β) / 2)

Area di un cerchio

Leggenda:

Se r è noto, l'area richiesta è determinata come il prodotto di π per il raggio al quadrato: S \u003d π r 2

Se d è noto, l'area di un cerchio è definita come il prodotto di π per il quadrato del diametro, diviso per quattro: S \u003d (π d 2) / 4

Area della figura complessa

Uno complesso può essere scomposto in semplici forme geometriche. L'area di una figura complessa è definita come la somma o la differenza delle aree componenti. Considera, ad esempio, un anello.

Designazione:

• S è l'area dell'anello,
• R, r - raggi dei cerchi esterno e interno, rispettivamente,
• D, d - diametri dei cerchi esterno e interno, rispettivamente.

Per trovare l'area dell'anello, è necessario sottrarre l'area dall'area del cerchio più grande cerchio più piccolo. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

Quindi, se R e r sono noti, l'area dell'anello è determinata come la differenza tra i quadrati dei raggi dei cerchi esterno e interno, moltiplicata per il numero pi: S \u003d π (R 2 -r 2 ).

Se D ed sono noti, l'area dell'anello è determinata come un quarto della differenza tra i quadrati dei diametri dei cerchi esterno e interno, moltiplicata per il numero pi greco: S \u003d (1/4) ( D 2 -d 2) π.

Area della forma riempita

Supponiamo che all'interno di un quadrato (A) ci sia un altro (B) (più piccolo), e dobbiamo trovare la cavità piena tra le forme "A" e "B". Diciamo solo la "cornice" di un piccolo quadrato. Per questo:

1. Troviamo l'area della figura "A" (calcolata dalla formula per trovare l'area di un quadrato).
2. Allo stesso modo, troviamo l'area della figura "B".
3. Sottrai l'area "B" dall'area "A". E così otteniamo l'area della figura piena.

Ora sai come trovare le aree di forme diverse.

Per risolvere problemi di geometria, è necessario conoscere le formule - come l'area di un triangolo o l'area di un parallelogramma - così come i semplici trucchi di cui parleremo.

Per prima cosa, impariamo le formule per le aree delle figure. Li abbiamo raccolti appositamente in una comoda tabella. Stampa, impara e applica!

Naturalmente, non tutte le formule di geometria sono nella nostra tabella. Ad esempio, per risolvere problemi di geometria e stereometria nella seconda parte del profilo USE in matematica, vengono utilizzate anche altre formule per l'area di un triangolo. Ve ne parleremo sicuramente.

Ma cosa succede se hai bisogno di trovare non l'area di un trapezio o triangolo, ma l'area di una figura complessa? Ci sono modi universali! Mostriamoli con esempi dalla banca del lavoro FIPI.

1. Come trovare l'area di una forma non standard? Ad esempio, un quadrilatero arbitrario? Un semplice trucco è dividere questa figura in quelle che tutti conosciamo e trovare la sua area, come la somma delle aree di queste figure.

Dividi questo quadrilatero con una linea orizzontale in due triangoli con una base comune uguale a. Le altezze di questi triangoli sono e. Quindi l'area del quadrilatero è uguale alla somma delle aree di due triangoli :.

Risposta:.

2. In alcuni casi, l'area di una figura può essere rappresentata come la differenza tra alcune aree.

Non è facile calcolare a cosa sono uguali la base e l'altezza in questo triangolo! Ma possiamo dire che la sua area è uguale alla differenza tra le aree di un quadrato con un lato e tre triangoli ad angolo retto. Li vedi nella foto? Noi abbiamo:.

Risposta:.

3. A volte nel compito è necessario trovare l'area non dell'intera figura, ma della sua parte. Di solito stiamo parlando dell'area di un settore - parte di un cerchio. Trova l'area di un settore di un cerchio di raggio, la cui lunghezza di un arco è .

In questa immagine vediamo parte di un cerchio. L'area dell'intero cerchio è uguale da allora. Resta da scoprire quale parte del cerchio è raffigurata. Poiché la lunghezza dell'intera circonferenza è (da), e la lunghezza dell'arco di questo settore è , quindi, la lunghezza dell'arco è una volta inferiore alla lunghezza dell'intero cerchio. L'angolo al quale si trova questo arco è anche una volta inferiore a un cerchio completo (ovvero, gradi). Ciò significa che l'area del settore sarà una volta inferiore all'area dell'intero cerchio.

Esistono un'infinità di figure piatte dalle forme più diverse, sia corrette che irregolari. Una proprietà comune di tutte le forme è che ognuna di esse ha un'area. Le aree delle forme sono le dimensioni della porzione di piano occupata da quelle forme, espresse in unità specifiche. Questo valore è sempre espresso come un numero positivo. L'unità di misura è l'area di un quadrato, il cui lato è uguale a un'unità di lunghezza (ad esempio un metro o un centimetro). Il valore approssimativo dell'area di qualsiasi forma può essere calcolato moltiplicando il numero di quadrati unitari in cui è diviso per l'area di un quadrato.

Altre definizioni di questo concetto sono le seguenti:

1. Le aree delle figure semplici sono quantità positive scalari che soddisfano le condizioni:

Figure uguali hanno aree uguali;

Se una figura è divisa in parti (figure semplici), la sua area è la somma delle aree di queste figure;

Un quadrato con un lato di un'unità di misura funge da unità di superficie.

2. Le aree delle figure di forma complessa (poligoni) sono quantità positive con le seguenti proprietà:

Poligoni uguali hanno la stessa area;

Se il poligono è composto da più altri poligoni, la sua area è uguale alla somma delle aree di questi ultimi. Questa regola è valida per i poligoni non sovrapposti.

Come assioma, è accettato che le aree delle figure (poligoni) siano valori positivi.

La definizione dell'area di un cerchio è data separatamente come il valore a cui tende l'area di un dato cerchio inscritta in un cerchio, nonostante il numero dei suoi lati tenda all'infinito.

Le aree di forme irregolari (forme arbitrarie) non sono definite, vengono determinati solo i metodi per calcolarle.

Il calcolo delle aree era già nell'antichità un importante compito pratico nel determinare le dimensioni dei lotti di terreno. Le regole per il calcolo delle aree per diverse centinaia di anni furono formulate da scienziati greci ed esposte negli Elementi di Euclide come teoremi. È interessante notare che le regole per determinare le aree delle figure semplici in esse sono le stesse del tempo presente. Le aree con contorno curvo sono state calcolate utilizzando il passaggio al limite.

Il calcolo delle aree di un semplice rettangolo (quadrato), familiare a tutti dalla scuola, è abbastanza semplice. Non è nemmeno necessario memorizzare le formule per le aree delle figure contenenti le designazioni delle lettere. Basta ricordare alcune semplici regole:

2. L'area di un rettangolo viene calcolata moltiplicando la sua lunghezza per la sua larghezza. In questo caso, è necessario che la lunghezza e la larghezza siano state espresse nelle stesse unità di misura.

3. L'area di una figura complessa viene calcolata dividendola in più figure semplici e aggiungendo le aree risultanti.

4. La diagonale di un rettangolo lo divide in due triangoli, le cui aree sono uguali e uguali alla metà della sua area.

5. L'area di un triangolo è calcolata come metà del prodotto della sua altezza e base.

6. L'area del cerchio è uguale al prodotto del quadrato del raggio e del noto numero "π".

7. L'area del parallelogramma è calcolata come il prodotto dei lati adiacenti e il seno dell'angolo compreso tra di loro.

8. L'area del rombo è ½ del risultato della moltiplicazione delle diagonali per il seno dell'angolo interno.

9. L'area del trapezio si trova moltiplicando la sua altezza per la lunghezza della linea mediana, che è uguale alla media aritmetica delle basi. Un'altra opzione per determinare l'area di un trapezio è moltiplicare le sue diagonali e il seno dell'angolo che si trova tra di loro.

Per chiarezza, ai bambini delle scuole elementari vengono spesso affidati compiti: trovare l'area di una figura disegnata su carta usando una tavolozza o un foglio di carta trasparente, tagliata in celle. Un tale foglio di carta viene sovrapposto alla figura misurata, viene contato il numero di celle piene (unità di area) che si adattano al suo contorno, quindi il numero di celle incomplete, che viene diviso a metà.

La conoscenza di come misurare la Terra risale all'antichità e gradualmente si è evoluta nella scienza della geometria. Questa parola è tradotta dalla lingua greca - "rilevamento".

La misura della lunghezza e della larghezza di un'area piatta della Terra è l'area. In matematica, è solitamente indicato dalla lettera latina S (dall'inglese "quadrato" - "area", "quadrato") o dalla lettera greca σ (sigma). S denota l'area di una figura su un piano o l'area della superficie di un corpo e σ è l'area della sezione trasversale di un filo in fisica. Questi sono i simboli principali, sebbene ce ne possano essere altri, ad esempio, nel campo di resistenza dei materiali, A è l'area della sezione trasversale del profilo.

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Formule di calcolo

Conoscendo le aree di forme semplici, puoi trovare i parametri di più complessi... I matematici antichi hanno sviluppato formule in base alle quali possono essere facilmente calcolati. Queste forme sono un triangolo, quadrilatero, poligono, cerchio.

Per trovare l'area di una figura piatta complessa, è suddivisa in molte figure semplici come triangoli, trapezi o rettangoli. Quindi, con metodi matematici, viene derivata una formula per l'area di questa figura. Un metodo simile viene utilizzato non solo in geometria, ma anche nell'analisi matematica per calcolare le aree delle figure delimitate dalle curve.

Triangolo

Cominciamo con la forma più semplice: un triangolo. Sono rettangolari, isoscele ed equilateri. Prendi un triangolo ABC con lati AB \u003d a, BC \u003d be AC \u200b\u200b\u003d c (∆ ABC). Per trovare la sua area, ricordiamo i teoremi di seno e coseno noti dal corso di matematica della scuola. Rilasciando tutti i calcoli, arriviamo alle seguenti formule:

• S \u003d √ è la ben nota formula di Heron, dove p \u003d (a + b + c) / 2 è il mezzo perimetro del triangolo;
• S \u003d a h / 2, dove h è l'altezza abbassata al lato a;
• S \u003d a b (sin γ) / 2, dove γ è l'angolo tra i lati a e b;
• S \u003d a b / 2, se ∆ ABC - rettangolare (qui aeb sono gambe);
• S \u003d b² (sin (2 β)) / 2, se ∆ ABC è isoscele (qui b è uno dei “fianchi”, β è l'angolo tra i “fianchi” del triangolo);
• S \u003d a² √¾ se ∆ ABC è equilatero (qui a è il lato del triangolo).

Quadrilatero

Sia presente un quadrilatero ABCD con AB \u003d a, BC \u003d b, CD \u003d c, AD \u003d d. Per trovare l'area S di un 4-gon arbitrario, è necessario dividerlo per la diagonale in due triangoli, le cui aree S1 e S2 generalmente non sono uguali.

Quindi, usando le formule, calcolarle e aggiungerle, ovvero S \u003d S1 + S2. Tuttavia, se un 4-gon appartiene a una certa classe, la sua area può essere trovata utilizzando le formule precedentemente note:

• S \u003d (a + c) h / 2 \u003d eh, se il 4-gon è un trapezio (qui a e c sono le basi, e è la linea mediana del trapezio, h è l'altezza abbassata ad una delle basi di il trapezio;
• S \u003d a h \u003d a b sin φ \u003d d1 d2 (sin φ) / 2, se ABCD è un parallelogramma (qui φ è l'angolo tra i lati aeb, h è l'altezza caduta sul lato a, d1 e d2 sono diagonali);
• S \u003d a b \u003d d² / 2, se ABCD è un rettangolo (d è una diagonale);
• S \u003d a² sin φ \u003d P² (sin φ) / 16 \u003d d1 d2 / 2, se ABCD è un rombo (a è il lato del rombo, φ è uno dei suoi angoli, P è il perimetro);
• S \u003d a² \u003d P² / 16 \u003d d² / 2 se ABCD è un quadrato.

Poligono

Per trovare l'area di un n-gon, i matematici la scompongono nelle figure uguali più semplici: i triangoli, trovano l'area di ciascuno di essi, quindi li aggiungono. Ma se il poligono appartiene alla classe di quelli regolari, usa la formula:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, dove n è il numero di vertici (o lati) del poligono, a è il lato di n-gon, P è il suo perimetro, h è l'apotema, cioè , un segmento disegnato dal centro del poligono a uno dei suoi lati con un angolo di 90 °.

Un cerchio

Un cerchio è un poligono perfetto con un numero infinito di lati.... Dobbiamo calcolare il limite dell'espressione a destra nella formula per l'area di un poligono con il numero di lati n tendente all'infinito. In questo caso, il perimetro del poligono si trasformerà nella circonferenza di un cerchio di raggio R, che sarà il confine del nostro cerchio, e diventerà uguale a P \u003d 2 π R. Sostituisci questa espressione nella formula sopra. Otterremo:

S \u003d (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

Troviamo il limite di questa espressione come n → ∞. Per fare ciò, tieni presente che lim (cos (180 ° / n)) come n → ∞ è uguale a cos 0 ° \u003d 1 (lim è il segno limite) e lim \u003d lim come n → ∞ è uguale a 1 / π (abbiamo tradotto la misura dei gradi in radianti usando il rapporto π rad \u003d 180 ° e applicato il primo limite notevole lim (sin x) / x \u003d 1 come x → ∞). Sostituendo i valori ottenuti nell'ultima espressione di S, arriviamo alla formula ben nota:

S \u003d π² R² 1 (1 / π) \u003d π R².

Unità

Vengono utilizzate unità di sistema e non di sistema... Le unità di sistema si riferiscono a SI (Sistema internazionale). È un metro quadrato (metro quadro, m²) e da esso unità derivate: mm², cm², km².

In millimetri quadrati (mm²), ad esempio, misurano l'area della sezione trasversale dei fili nell'ingegneria elettrica, in centimetri quadrati (cm²) - le sezioni trasversali di una trave nella meccanica strutturale, in metri quadrati (m²) - appartamenti o case, in chilometri quadrati (km²) - territori in geografia ...

Tuttavia, a volte vengono utilizzate anche unità di misura non sistemiche, come: tessitura, ar (a), ettaro (ha) e acro (ac). Ecco le seguenti relazioni:

• 1 tessuto \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 ettaro \u003d 100 a \u003d 100 are \u003d 10000 m² \u003d 0,01 km² \u003d 2.471 ac;
• 1 ac \u003d 4046,856 m2 \u003d 40,47 a \u003d 40,47 are \u003d 0,405 ettari.

Integrale definitivo. Come calcolare l'area di una forma

Passiamo a considerare le applicazioni del calcolo integrale. In questa lezione analizzeremo un'attività tipica e più comune. - come calcolare l'area di una figura piana utilizzando un integrale definito... Infine, coloro che cercano un significato nella matematica superiore, possano trovarlo. Non si sa mai. Dovremo ravvicinare l'area suburbana con funzioni elementari e trovare la sua area utilizzando un integrale definito.

Per padroneggiare con successo il materiale, devi:

1) Comprendi l'integrale indefinito almeno a livello intermedio. Pertanto, i manichini dovrebbero prima leggere la lezione Non.

2) Essere in grado di applicare la formula di Newton-Leibniz e calcolare un integrale definito. Puoi costruire calde amicizie con integrali definiti sulla pagina Integrale definitivo. Esempi di soluzioni.

Infatti, per trovare l'area di una figura, non è necessaria tanta conoscenza dell'integrale indefinito e definito. L'attività "calcolare l'area utilizzando un integrale definito" implica sempre la costruzione di un disegno, quindi, le tue conoscenze e abilità nel disegno saranno una questione molto più urgente. A tal proposito, è utile rinfrescare la memoria dei grafici delle funzioni elementari di base, e, almeno, poter costruire una retta, una parabola e un'iperbole. Questo può essere fatto (molte persone ne hanno bisogno) con l'aiuto di materiale metodologico e un articolo sulle trasformazioni geometriche dei grafici.

In realtà, tutti hanno familiarità con il problema di trovare l'area utilizzando un integrale definito sin dalla scuola e non andremo molto avanti rispetto al programma scolastico. Questo articolo potrebbe non esistere affatto, ma il fatto è che il problema si verifica in 99 casi su 100, quando uno studente soffre dell'odiata torre con entusiasmo padroneggiando il corso di matematica superiore.

I materiali di questo workshop sono presentati in modo semplice, dettagliato e con un minimo di teoria.

Cominciamo con un trapezio curvo.

Trapezio curvo è chiamata figura piana delimitata da un asse, linee rette e un grafico di una funzione continua su un segmento, che non cambia segno su questo intervallo. Lascia che questa cifra sia localizzata non meno asse delle ascisse:

Poi l'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale all'integrale definito... Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. Alla lezione Integrale definitivo. Esempi di soluzioni Ho detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di affermare un altro fatto utile. Dal punto di vista della geometria, l'integrale definito è l'AREA.

Cioè, un integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di una figura... Ad esempio, considera un integrale definito. L'integrando definisce una curva sul piano che si trova sopra l'asse (chi lo desidera può fare un disegno), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.

Esempio 1

Questa è una tipica dichiarazione di attività. Il primo e più importante punto della soluzione è la costruzione del disegno... Inoltre, il disegno deve essere costruito CORRETTAMENTE.

Quando costruisci un disegno, consiglio il seguente ordine: primo è meglio costruire tutte le linee (se presenti) e solo dopo - parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. È più redditizio costruire grafici di funzioni pointwise, la tecnica di costruzione punto per punto può essere trovata nel materiale di riferimento Grafici e proprietà delle funzioni elementari... Lì puoi anche trovare materiale molto utile in relazione alla nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.

In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.
Disegniamo un disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):

Non tratterò un trapezio curvo, qui è ovvio di quale area stiamo parlando. La soluzione continua così:

Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, così:

Risposta:

Chi ha difficoltà a calcolare un integrale definito e ad applicare la formula di Newton-Leibniz , fare riferimento alla lezione Integrale definitivo. Esempi di soluzioni.

Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il progetto e stimare se la risposta è reale. In questo caso, contiamo "a occhio" il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitati circa 9, sembra la verità. È abbastanza chiaro che se otteniamo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: la cifra in esame chiaramente non si adatta a 20 celle, al massimo dieci. Se la risposta è negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.

Esempio 2

Calcola l'area di una forma delimitata da linee e un asse

Questo è un esempio per una soluzione fai-da-te. Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial.

Cosa fare se si trova il trapezio curvo sotto l'asse?

Esempio 3

Calcola l'area di una forma delimitata da linee e assi coordinate.

Decisione: Eseguiamo il disegno:

Se si trova il trapezio curvo sotto l'asse (o quantomeno non superiore dato asse), quindi la sua area può essere trovata con la formula:
In questo caso:

Attenzione! I due tipi di attività non devono essere confusi:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora potrebbe essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, l'area è sempre positiva! Questo è il motivo per cui il segno meno appare nella formula appena considerata.

In pratica molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa ad esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piatta delimitata da linee.

Decisione: Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi su un'area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Trova i punti di intersezione della parabola e della linea. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Quindi, il limite inferiore di integrazione, il limite superiore di integrazione.
È meglio non usare questo metodo, se possibile..

È molto più redditizio e più veloce costruire le linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione diventano evidenti come “da soli”. La tecnica del tracciamento punto per punto per vari grafici è discussa in dettaglio nella guida. Grafici e proprietà delle funzioni elementari ... Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti deve ancora essere applicato a volte se, ad esempio, il grafico è abbastanza grande, o la costruzione precisa non ha rivelato i limiti dell'integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un simile esempio.

Tornando al nostro problema: è più razionale costruire prima una retta e solo successivamente una parabola. Eseguiamo il disegno:

Ripeto che nel caso di una costruzione punto per punto, i limiti dell'integrazione vengono spesso individuati “automaticamente”.

E ora la formula di lavoro: Se su un segmento qualche funzione continua maggiore o uguale di qualche funzione continua, quindi l'area della figura, delimitata dai grafici di queste funzioni e dalle linee rette, può essere trovata dalla formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura: sopra o sotto l'asse e, in parole povere, è importante quale programma è SOPRA(rispetto a un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova sopra la retta, e quindi è necessario sottrarre da

Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:

La figura richiesta è delimitata da una parabola in alto e da una linea retta in basso.
Sul segmento, secondo la formula corrispondente:

Risposta:

In effetti, la formula della scuola per l'area di un trapezio curvo nel semipiano inferiore (vedi semplice esempio n. 3) è un caso speciale della formula ... Poiché l'asse è dato dall'equazione e il grafico della funzione si trova non superiore asse, quindi

E ora un paio di esempi per una soluzione indipendente

Esempio 5

Esempio 6

Trova l'area della figura delimitata da linee.

Nel corso della risoluzione dei problemi per il calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, a volte accade un incidente divertente. Il disegno viene eseguito correttamente, i calcoli sono corretti, ma per disattenzione ... viene trovata l'area della figura sbagliata, ecco come il tuo umile servitore ha incasinato più volte. Ecco un caso di vita reale:

Esempio 7

Calcola l'area della figura delimitata da linee ,,,.

Decisione: Per prima cosa eseguiamo il disegno:

... Eh, è uscito un disegno schifoso, ma sembra tutto leggibile.

La figura di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu (guarda attentamente le condizioni: da cosa è limitata la cifra!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, si verifica spesso un "glitch", ovvero è necessario trovare l'area della figura, che è ombreggiata in verde!

Questo esempio è utile anche in quanto calcola l'area di una figura utilizzando due integrali definiti. Veramente:

1) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico a linee;

2) Il grafico dell'iperbole si trova sul segmento sopra l'asse.

È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:

Risposta:

Passiamo a un compito più significativo.

Esempio 8

Calcola l'area di una forma delimitata da linee
Rappresentiamo le equazioni nella forma "scuola" ed eseguiamo un disegno punto per punto:

Dal disegno puoi vedere che il limite superiore che abbiamo è "buono" :.
Ma qual è il limite inferiore ?! È chiaro che questo non è un numero intero, ma quale? Può essere ? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia realizzato con perfetta precisione, potrebbe anche essere quello. O root. E se tracciassimo il grafico in modo errato?

In questi casi, è necessario dedicare tempo aggiuntivo e perfezionare analiticamente i limiti dell'integrazione.

Trova i punti di intersezione della linea e della parabola.
Per fare ciò, risolviamo l'equazione:


,

Infatti,.

L'ulteriore soluzione è banale, l'importante è non confondersi in sostituzioni e segni, i calcoli qui non sono dei più facili.

Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Bene, in conclusione della lezione, considereremo due compiti più difficili.

Esempio 9

Calcola l'area di una figura delimitata da linee,

Decisione: Rappresentiamo questa figura nel disegno.

Accidenti, ho dimenticato di firmare il programma, ma di rifare la foto, scusa, non un hotz. Non disegnare, in breve, oggi è il giorno \u003d)

Per la costruzione punto per punto, è necessario conoscere l'aspetto della sinusoide grafici di tutte le funzioni elementari), così come alcuni valori di seno, possono essere trovati in tavolo trigonometrico... In un certo numero di casi (come in questo), è consentito costruire un disegno schematico, sul quale i grafici ei limiti di integrazione dovrebbero essere visualizzati correttamente in linea di principio.

Non ci sono problemi con i limiti di integrazione, derivano direttamente dalla condizione: - "x" cambia da zero a "pi". Prendiamo un'ulteriore decisione:

Sul segmento, il grafico della funzione si trova sopra l'asse, quindi: