Memfaktorkan polinomial. Metode untuk memfaktorkan polinomial yang derajatnya lebih tinggi dari dua Perluasan tanda kurung siku

Ini adalah salah satu cara paling dasar untuk menyederhanakan suatu ekspresi. Untuk menerapkan cara ini, mari kita ingat hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan (jangan takut dengan kata-kata ini, Anda pasti tahu hukum ini, Anda mungkin lupa namanya).

Hukumnya berbunyi: untuk mengalikan jumlah dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda perlu mengalikan setiap suku dengan bilangan tersebut dan menjumlahkan hasilnya, dengan kata lain, .

Anda juga dapat melakukan operasi kebalikannya, dan operasi kebalikan inilah yang menarik minat kami. Terlihat dari sampel, faktor persekutuan a dapat dikeluarkan dari kurung.

Operasi serupa dapat dilakukan dengan variabel, seperti dan, misalnya, dan dengan angka: .

Ya, ini adalah contoh yang sangat mendasar, sama seperti contoh yang diberikan sebelumnya, dengan penguraian suatu bilangan, karena semua orang tahu bahwa bilangan habis dibagi, tetapi bagaimana jika Anda mendapatkan ekspresi yang lebih rumit:

Bagaimana cara mengetahui, misalnya, suatu bilangan habis dibagi? Tidak, siapa pun bisa melakukannya dengan kalkulator, tetapi tanpanya sulit? Dan untuk ini ada tanda-tanda keterbagian, tanda-tanda ini sangat berharga untuk diketahui, mereka akan membantu Anda dengan cepat memahami apakah faktor persekutuan dapat dikeluarkan dari kurung.

Tanda-tanda perpecahan

Tidak terlalu sulit untuk mengingatnya; kemungkinan besar, sebagian besar sudah Anda kenal, dan beberapa akan menjadi penemuan baru yang berguna, lebih detailnya ada di tabel:

Catatan: Tabel tersebut tidak memenuhi uji pembagian dengan 4. Jika dua angka terakhirnya habis dibagi 4, maka seluruh bilangan tersebut habis dibagi 4.

Nah, bagaimana Anda menyukai tandanya? Saya menyarankan Anda untuk mengingatnya!

Baiklah, mari kita kembali ke ungkapan itu, mungkin dia bisa mengeluarkannya dari braket dan itu sudah cukup? Tidak, ahli matematika cenderung menyederhanakan, jadi semaksimal mungkin, menanggung SEMUA yang ditanggung!

Jadi, semuanya jelas dengan permainannya, tetapi bagaimana dengan bagian numerik dari ekspresi? Kedua angka tersebut ganjil, jadi tidak bisa dibagi

Anda dapat menggunakan uji habis dibagi: jumlah angka-angkanya, dan, yang membentuk bilangan tersebut sama, dan habis dibagi, berarti habis dibagi.

Mengetahui hal ini, Anda dapat dengan aman membagi menjadi sebuah kolom, dan sebagai hasil pembagian dengan kita mendapatkan (tanda-tanda pembagian berguna!). Jadi, kita dapat mengeluarkan bilangan tersebut dari tanda kurung, seperti y, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan:

Untuk memastikan semuanya telah diekspansi dengan benar, Anda dapat memeriksa perluasannya dengan mengalikannya!

Faktor persekutuan juga dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat. Di sini, misalnya, apakah Anda melihat pengganda persekutuan?

Semua anggota ekspresi ini memiliki x - kita keluarkan, semuanya dibagi - kita keluarkan lagi, lihat apa yang terjadi: .

2. Rumus perkalian yang disingkat

Rumus perkalian yang disingkat telah disebutkan secara teori, jika Anda kesulitan mengingatnya, sebaiknya segarkan ingatan Anda.

Nah, jika Anda menganggap diri Anda sangat pintar dan terlalu malas untuk membaca informasi yang begitu banyak, maka baca saja, lihat rumusnya dan langsung ambil contohnya.

Inti dari penguraian ini adalah memperhatikan rumus tertentu dalam ekspresi di depan Anda, menerapkannya dan dengan demikian memperoleh hasil kali dari sesuatu dan sesuatu, itu saja penguraiannya. Berikut rumusnya:

Sekarang coba faktorkan ekspresi berikut menggunakan rumus di atas:

Inilah yang seharusnya terjadi:

Seperti yang telah Anda ketahui, rumus-rumus ini adalah cara pemfaktoran yang sangat efektif; tidak selalu cocok, namun bisa sangat berguna!

3. Metode pengelompokan atau pengelompokan

Berikut ini contoh lain untuk Anda:

Jadi apa yang akan kamu lakukan dengannya? Tampaknya ada sesuatu yang terbagi menjadi dan menjadi, dan sesuatu menjadi dan menjadi

Tapi Anda tidak bisa membagi semuanya menjadi satu hal, ya tidak ada faktor persekutuan di sini, tidak peduli bagaimana penampilan Anda, apa yang harus Anda biarkan seperti itu, tanpa memfaktorkannya?

Di sini Anda perlu menunjukkan kecerdikan, dan yang namanya kecerdikan ini adalah pengelompokan!

Ini digunakan tepat ketika tidak semua anggota mempunyai pembagi yang sama. Untuk pengelompokan yang Anda butuhkan temukan kelompok suku yang memiliki faktor persekutuan dan menyusunnya kembali sehingga dapat diperoleh faktor yang sama dari masing-masing kelompok.

Tentu saja, tidak perlu mengatur ulang, tetapi ini memberikan kejelasan; untuk kejelasan, Anda dapat menempatkan bagian-bagian ekspresi individual dalam tanda kurung; tidak dilarang untuk menempatkannya sebanyak yang Anda suka, yang utama adalah jangan bingung tanda-tanda.

Apakah semua ini tidak begitu jelas? Izinkan saya menjelaskan dengan sebuah contoh:

Dalam polinomial - kita masukkan suku - setelah suku - kita dapatkan

kita mengelompokkan dua suku pertama ke dalam kurung terpisah dan juga mengelompokkan suku ketiga dan keempat, dengan menghilangkan tanda minus dari kurung, kita mendapatkan:

Sekarang kita melihat secara terpisah masing-masing dari dua "tumpukan" tempat kita membagi ekspresi dengan tanda kurung.

Caranya adalah dengan memecahnya menjadi tumpukan-tumpukan yang dapat diambil faktor terbesarnya, atau, seperti dalam contoh ini, cobalah mengelompokkan suku-sukunya sehingga setelah faktor-faktor tersebut dikeluarkan dari tanda kurung, kita masih memiliki ekspresi yang sama. di dalam tanda kurung.

Dari kedua tanda kurung kita keluarkan faktor persekutuan dari suku-suku tersebut, dari tanda kurung pertama, dan dari tanda kurung kedua, kita peroleh:

Tapi ini bukan pembusukan!

Pkeledai dekomposisi seharusnya hanya tetap perkalian, tapi untuk saat ini polinomial kita hanya dibagi menjadi dua bagian...

TETAPI! Polinomial ini memiliki faktor persekutuan. Ini

melampaui batas dan kami mendapatkan produk akhir

Bingo! Seperti yang terlihat, sudah ada perkalian di sini dan di luar tanda kurung tidak ada penambahan atau pengurangan, penguraian selesai, karena Tidak ada lagi yang perlu kita keluarkan dari tanda kurung.

Ini mungkin tampak seperti keajaiban bahwa setelah mengeluarkan faktor-faktor dari tanda kurung, kita mendapatkan ekspresi yang sama di dalam tanda kurung, yang kemudian kita keluarkan lagi dari tanda kurung.

Dan ini sama sekali bukan keajaiban, faktanya contoh-contoh di buku teks dan Ujian Negara Bersatu dibuat khusus sehingga sebagian besar ekspresi dalam tugas untuk penyederhanaan atau faktorisasi dengan pendekatan yang tepat, mereka mudah disederhanakan dan runtuh secara tiba-tiba seperti payung saat Anda menekan sebuah tombol, jadi carilah tombol itu di setiap ekspresi.

Saya terganggu, apa yang kita lakukan dengan penyederhanaan? Polinomial yang rumit mengambil bentuk yang lebih sederhana: .

Setuju, ukurannya tidak sebesar dulu?

4. Memilih kotak yang lengkap.

Terkadang, untuk menerapkan rumus perkalian yang disingkat (mengulangi topik), polinomial yang ada perlu diubah dengan menampilkan salah satu sukunya sebagai jumlah atau selisih dua suku.

Jika Anda harus melakukan ini, Anda akan belajar dari contoh:

Polinomial dalam bentuk ini tidak dapat diperluas dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, sehingga harus ditransformasikan. Mungkin pada awalnya tidak jelas bagi Anda suku mana yang harus dibagi, tetapi seiring waktu Anda akan belajar untuk segera melihat rumus perkalian yang disingkat, meskipun tidak seluruhnya ada, dan Anda akan segera menentukan apa yang hilang dari rumus lengkapnya, tapi untuk saat ini - belajar , seorang siswa, atau lebih tepatnya anak sekolah.

Untuk rumus lengkap selisih kuadrat, di sini Anda memerlukannya. Bayangkan suku ketiga sebagai selisih, kita peroleh: Untuk ekspresi dalam tanda kurung, Anda dapat menerapkan rumus kuadrat selisih (jangan bingung dengan perbedaan kotak!!!), kita mempunyai: , pada ekspresi ini kita dapat menerapkan rumus selisih kuadrat (jangan bingung dengan selisih kuadrat!!!), bayangkan caranya, kita mendapatkan: .

Ekspresi yang difaktorkan tidak selalu terlihat lebih sederhana dan lebih kecil dibandingkan sebelum perluasan, namun dalam bentuk ini menjadi lebih fleksibel, dalam artian Anda tidak perlu khawatir tentang perubahan tanda dan omong kosong matematika lainnya. Nah, agar Anda dapat memutuskan sendiri, ekspresi berikut perlu difaktorkan.

Contoh:

Jawaban:

5. Memfaktorkan trinomial kuadrat

Untuk penguraian trinomial kuadrat menjadi faktor, lihat contoh penguraian lebih lanjut.

Contoh 5 cara memfaktorkan polinomial

1. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Contoh.

Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan hukum distributif? Ini aturannya:

Contoh:

Faktorkan polinomialnya.

Larutan:

Contoh lain:

Faktorkan itu.

Larutan:

Jika seluruh suku dikeluarkan dari tanda kurung, satuannya tetap berada di dalam tanda kurung!

2. Rumus perkalian yang disingkat. Contoh.

Rumus yang paling sering kita gunakan adalah selisih kuadrat, selisih kubus, dan jumlah kubus. Apakah Anda ingat rumus-rumus ini? Jika tidak, segera ulangi topik tersebut!

Contoh:

Faktorkan ekspresi tersebut.

Larutan:

Dalam ungkapan ini mudah untuk mengetahui perbedaan kubus:

Contoh:

Larutan:

3. Metode pengelompokan. Contoh

Terkadang Anda dapat menukar suku-suku sehingga faktor yang sama dapat diambil dari setiap pasangan suku-suku yang berdekatan. Faktor persekutuan ini dapat dikeluarkan dari kurung dan polinomial aslinya akan berubah menjadi hasil kali.

Contoh:

Faktorkan polinomialnya.

Larutan:

Mari kita kelompokkan istilah-istilahnya sebagai berikut:
.

Di kelompok pertama kita keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung, dan di kelompok kedua - :
.

Sekarang faktor persekutuannya juga bisa dikeluarkan dari tanda kurung:
.

4. Metode pemilihan persegi lengkap. Contoh.

Jika polinomial dapat direpresentasikan sebagai selisih kuadrat dari dua ekspresi, yang tersisa hanyalah menerapkan rumus perkalian yang disingkat (selisih kuadrat).

Contoh:

Faktorkan polinomialnya.

Larutan:Contoh:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\penyangga bawah(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(persegi\ jumlah\ ((\kiri (x+3 \kanan))^(2)))-9-7=((\kiri(x+3 \kanan))^(2))-16= \\
=\kiri(x+3+4 \kanan)\kiri(x+3-4 \kanan)=\kiri(x+7 \kanan)\kiri(x-1 \kanan) \\
\end(array)

Faktorkan polinomialnya.

Larutan:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\penyangga bawah(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(persegi\ perbedaan((\kiri(((x)^(2))-2 \kanan))^(2)))-4-1=((\kiri(((x)^ (2))-2 \kanan))^(2))-5= \\
=\kiri(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \kanan)\kiri(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \kanan) \\
\end(array)

5. Memfaktorkan trinomial kuadrat. Contoh.

Trinomial persegi adalah polinomial yang bentuknya, di mana - tidak diketahui, - beberapa bilangan, dan.

Nilai-nilai variabel yang menghilangkan trinomial kuadrat disebut akar-akar trinomial. Oleh karena itu, akar-akar trinomial adalah akar-akar persamaan kuadrat.

Dalil.

Contoh:

Mari kita faktorkan trinomial kuadrat: .

Pertama, mari kita selesaikan persamaan kuadratnya: Sekarang kita dapat menulis faktorisasi trinomial kuadrat ini:

Sekarang pendapat Anda...

Kami telah menjelaskan secara rinci bagaimana dan mengapa memfaktorkan polinomial.

Kami memberikan banyak contoh bagaimana melakukan hal ini dalam praktik, menunjukkan kendala, memberikan solusi...

Apa yang kamu katakan?

Apa pendapat Anda tentang artikel ini? Apakah Anda menggunakan teknik ini? Apakah Anda memahami esensinya?

Tulis di komentar dan... bersiaplah untuk ujian!

Sejauh ini dia adalah orang terpenting dalam hidupmu.

Polinomial adalah ekspresi yang terdiri dari jumlah monomial. Yang terakhir adalah produk dari konstanta (angka) dan akar (atau akar) dari ekspresi pangkat k. Dalam hal ini, kita berbicara tentang polinomial berderajat k. Perluasan polinomial melibatkan transformasi ekspresi yang suku-sukunya digantikan oleh faktor. Mari kita pertimbangkan cara utama untuk melakukan transformasi semacam ini.

Metode memperluas polinomial dengan mengisolasi faktor persekutuan

Cara ini didasarkan pada hukum hukum distribusi. Jadi, mn + mk = m * (n + k).

Contoh: perluas 7y 2 + 2uy dan 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).

Namun, faktor yang selalu ada pada setiap polinomial mungkin tidak selalu ditemukan, sehingga metode ini tidak bersifat universal.

Metode pemuaian polinomial berdasarkan rumus perkalian yang disingkat

Rumus perkalian yang disingkat berlaku untuk polinomial dengan derajat apa pun. Secara umum, ekspresi transformasinya terlihat seperti ini:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), dimana k adalah perwakilan dari bilangan asli.

Rumus yang paling sering digunakan dalam praktik adalah untuk polinomial orde kedua dan ketiga:

kamu 2 – aku 2 = (kamu – aku)(kamu + aku),

kamu 3 – aku 3 = (kamu – aku)(kamu 2 + ul + aku 2),

kamu 3 + aku 3 = (kamu + aku)(kamu 2 – ul + aku 2).

Contoh: perluas 25p 2 – 144b 2 dan 64m 3 – 8l 3.

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),

64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Metode ekspansi polinomial - mengelompokkan suku-suku suatu ekspresi

Metode ini dalam beberapa hal memiliki kesamaan dengan teknik menurunkan faktor persekutuan, namun memiliki beberapa perbedaan. Secara khusus, sebelum mengisolasi faktor persekutuan, monomial harus dikelompokkan. Pengelompokannya didasarkan pada kaidah hukum kombinasional dan komutatif.

Semua monomial yang disajikan dalam ekspresi dibagi menjadi beberapa kelompok, yang masing-masing kelompok diberikan nilai yang sama sehingga faktor kedua akan sama di semua kelompok. Secara umum, metode dekomposisi ini dapat direpresentasikan sebagai ekspresi:

tolong + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ tolong + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

tolong + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

Contoh: tersebar 14mn + 16ln – 49m – 56l.

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).

Metode pemuaian polinomial - membentuk persegi sempurna

Metode ini adalah salah satu yang paling efektif dalam perluasan polinomial. Pada tahap awal, perlu ditentukan monomial yang dapat “diciutkan” menjadi kuadrat selisih atau jumlah. Untuk melakukan ini, gunakan salah satu relasi:

(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2 ,

Contoh: perluas ekspresi u 4 + 4u 2 – 1.

Di antara monomialnya, kita pilih suku-suku yang membentuk persegi lengkap: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

Selesaikan transformasi menggunakan aturan perkalian yang disingkat: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

Itu. kamu 4 + 4kamu 2 – 1 = (kamu 2 + 2 – √5)(kamu 2 + 2 + √5).

Seringkali, pembilang dan penyebut suatu pecahan adalah ekspresi aljabar yang harus difaktorkan terlebih dahulu, dan kemudian, setelah menemukan yang identik di antara keduanya, bagilah pembilang dan penyebutnya, yaitu mengurangi pecahan tersebut. Seluruh bab dari buku teks aljabar kelas 7 dikhususkan untuk tugas memfaktorkan polinomial. Faktorisasi dapat dilakukan 3 cara, serta kombinasi metode-metode ini.

1. Penerapan rumus perkalian yang disingkat

Seperti diketahui, untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku dari polinomial lainnya dan menjumlahkan hasil perkaliannya. Setidaknya ada 7 (tujuh) kasus perkalian polinomial yang sering terjadi dan termasuk dalam konsep tersebut. Misalnya,

Tabel 1. Faktorisasi cara ke-1

2. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung

Metode ini didasarkan pada penerapan hukum perkalian distributif. Misalnya,

Kami membagi setiap suku dari ekspresi asli dengan faktor yang kami keluarkan, dan kami mendapatkan ekspresi dalam tanda kurung (yaitu, hasil membagi apa yang kami keluarkan tetap dalam tanda kurung). Pertama-tama, Anda perlu menentukan pengali dengan benar, yang harus dikeluarkan dari braket.

Faktor persekutuan juga dapat berupa polinomial dalam tanda kurung:

Saat melakukan tugas “memfaktorkan”, Anda harus sangat berhati-hati dengan tanda-tandanya saat memasukkan faktor total ke dalam tanda kurung. Untuk mengubah tanda setiap istilah dalam tanda kurung (b - a), mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung -1 , dan setiap suku dalam kurung akan dibagi -1: (b - a) = - (a - b) .

Jika ekspresi dalam tanda kurung dikuadratkan (atau pangkat genap apa pun), maka angka di dalam tanda kurung dapat ditukar sepenuhnya bebas, karena minus yang dikeluarkan dari tanda kurung akan tetap berubah menjadi plus jika dikalikan: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 dan seterusnya…

3. Metode pengelompokan

Terkadang tidak semua suku dalam suatu ekspresi memiliki faktor persekutuan, tetapi hanya beberapa saja. Maka Anda bisa mencobanya istilah kelompok dalam tanda kurung sehingga beberapa faktor dapat dikeluarkan dari masing-masing faktor. Metode pengelompokan- ini adalah penghapusan ganda faktor persekutuan dari tanda kurung.

4. Menggunakan beberapa cara sekaligus

Terkadang Anda perlu menerapkan bukan hanya satu, tetapi beberapa metode pemfaktoran polinomial sekaligus.

Ini adalah ringkasan topiknya "Faktorisasi". Pilih langkah berikutnya:

Lanjutkan ke ringkasan berikutnya:

Polinomial aljabar apa pun yang berderajat n dapat direpresentasikan sebagai produk dari n faktor linier berbentuk dan bilangan konstan, yang merupakan koefisien polinomial pada derajat tertinggi x, yaitu.

Di mana - adalah akar polinomial.

Akar polinomial adalah bilangan (nyata atau kompleks) yang menghilangkan polinomial tersebut. Akar suatu polinomial dapat berupa akar real atau akar konjugat kompleks, maka polinomial tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:

Mari kita pertimbangkan metode untuk menguraikan polinomial derajat "n" menjadi produk faktor derajat pertama dan kedua.

Metode nomor 1.Metode koefisien yang tidak dapat ditentukan.

Koefisien dari ekspresi yang diubah tersebut ditentukan dengan metode koefisien tak tentu. Inti dari metode ini adalah bahwa jenis faktor yang menjadi penguraian polinomial tertentu telah diketahui sebelumnya. Saat menggunakan metode koefisien tak tentu, pernyataan berikut ini benar:

hal.1. Dua polinomial dikatakan sama jika koefisiennya sama untuk pangkat x yang sama.

hal.2. Setiap polinomial derajat ketiga didekomposisi menjadi produk faktor linier dan kuadrat.

Hal.3. Polinomial derajat keempat apa pun dapat diuraikan menjadi hasil kali dua polinomial derajat kedua.

Contoh 1.1. Ekspresi kubik perlu difaktorkan:

hal.1. Sesuai dengan pernyataan yang diterima, persamaan yang sama berlaku untuk ekspresi kubik:

hal.2. Sisi kanan ekspresi dapat direpresentasikan sebagai suku sebagai berikut:

Hal.3. Kami menyusun sistem persamaan dari kondisi persamaan koefisien pada pangkat yang sesuai dari ekspresi kubik.

Sistem persamaan ini dapat diselesaikan dengan memilih koefisien (jika masalah akademisnya sederhana) atau dapat menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan nonlinier. Memecahkan sistem persamaan ini, kami menemukan bahwa koefisien tak tentu ditentukan sebagai berikut:

Jadi, ekspresi aslinya difaktorkan dalam bentuk berikut:

Metode ini dapat digunakan baik dalam perhitungan analitis maupun dalam pemrograman komputer untuk mengotomatiskan proses pencarian akar persamaan.

Metode nomor 2.rumus Vieta

Rumus Vieta adalah rumus yang menghubungkan koefisien persamaan aljabar derajat n dan akar-akarnya. Rumus-rumus ini secara implisit disajikan dalam karya matematikawan Perancis François Vieta (1540 - 1603). Karena Vieth hanya mempertimbangkan akar real positif, maka ia tidak mempunyai kesempatan untuk menuliskan rumus-rumus ini dalam bentuk umum yang eksplisit.

Untuk polinomial aljabar berderajat n yang mempunyai akar n-real,

Hubungan berikut ini valid yang menghubungkan akar-akar polinomial dengan koefisiennya:

Rumus Vieta mudah digunakan untuk memeriksa kebenaran pencarian akar-akar polinomial, serta untuk membuat polinomial dari akar-akar tertentu.

Contoh 2.1. Mari kita perhatikan bagaimana akar-akar polinomial berhubungan dengan koefisiennya menggunakan contoh persamaan kubik

Sesuai dengan rumus Vieta, hubungan antara akar-akar polinomial dan koefisiennya berbentuk sebagai berikut:

Hubungan serupa dapat dibuat untuk polinomial apa pun yang berderajat n.

Metode nomor 3. Memfaktorkan persamaan kuadrat dengan akar rasional

Dari rumus terakhir Vieta dapat disimpulkan bahwa akar-akar polinomial adalah pembagi suku bebas dan koefisien terdepannya. Dalam hal ini, jika rumusan masalah menentukan polinomial berderajat n dengan koefisien bilangan bulat

maka polinomial ini mempunyai akar rasional (pecahan tak tereduksi), dengan p adalah pembagi suku bebas, dan q adalah pembagi koefisien utama. Dalam hal ini, polinomial berderajat n dapat direpresentasikan sebagai (teorema Bezout):

Suatu polinomial yang derajatnya 1 lebih kecil dari derajat polinomial awalnya, ditentukan dengan membagi polinomial yang berderajat n binomial, misalnya menggunakan skema Horner atau dengan cara yang paling sederhana - "kolom".

Contoh 3.1. Polinomialnya perlu difaktorkan

hal.1. Karena koefisien suku tertinggi sama dengan satu, akar rasional polinomial ini adalah pembagi suku bebas dari ekspresi tersebut, yaitu. bisa bilangan bulat . Kami mengganti setiap bilangan yang disajikan ke dalam ekspresi asli dan menemukan bahwa akar dari polinomial yang disajikan sama dengan .

Mari kita bagi polinomial asal dengan binomial:

Mari kita gunakan skema Horner

Koefisien polinomial asli diatur di baris paling atas, sedangkan sel pertama di baris paling atas tetap kosong.

Di sel pertama dari baris kedua, akar yang ditemukan ditulis (dalam contoh yang dipertimbangkan, angka "2" ditulis), dan nilai-nilai berikut dalam sel dihitung dengan cara tertentu dan merupakan koefisien dari polinomial, yang diperoleh dengan membagi polinomial dengan binomial. Koefisien yang tidak diketahui ditentukan sebagai berikut:

Nilai dari sel yang sesuai pada baris pertama ditransfer ke sel kedua dari baris kedua (dalam contoh yang dipertimbangkan, angka “1” ditulis).

Sel ketiga baris kedua berisi nilai hasil kali sel pertama dan sel kedua baris kedua ditambah nilai sel ketiga baris pertama (dalam contoh yang dibahas 2 ∙ 1 -5 = -3 ).

Sel keempat baris kedua berisi nilai hasil kali sel pertama dan sel ketiga baris kedua ditambah nilai sel keempat baris pertama (dalam contoh yang dipertimbangkan, 2 ∙ (-3) + 7 = 1).

Jadi, polinomial aslinya difaktorkan:

Metode nomor 4.Menggunakan rumus perkalian yang disingkat

Rumus perkalian yang disingkat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan, serta memfaktorkan polinomial. Rumus perkalian yang disingkat memungkinkan Anda menyederhanakan penyelesaian masalah individu.

Rumus yang digunakan untuk memfaktorkan

Secara umum, tugas ini memerlukan pendekatan kreatif, karena tidak ada metode universal untuk menyelesaikannya. Namun mari kita coba memberikan beberapa tips.

Dalam sebagian besar kasus, faktorisasi polinomial didasarkan pada akibat wajar dari teorema Bezout, yaitu akar ditemukan atau dipilih dan derajat polinomial dikurangi satu dengan membaginya dengan . Akar polinomial yang dihasilkan dicari dan proses diulangi hingga pemuaian sempurna.

Jika akarnya tidak dapat ditemukan, maka metode perluasan khusus digunakan: dari pengelompokan hingga pengenalan istilah tambahan yang saling eksklusif.

Pemaparan selanjutnya didasarkan pada keterampilan menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat.

Mengurung faktor persekutuan.

Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana, ketika suku bebasnya sama dengan nol, yaitu polinomialnya berbentuk .

Jelasnya, akar dari polinomial tersebut adalah , yaitu, kita dapat menyatakan polinomial tersebut dalam bentuk .

Metode ini tidak lebih dari itu mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Contoh.

Faktorkan polinomial derajat ketiga.

Larutan.

Jelas sekali, apa itu akar polinomial X dapat dikeluarkan dari tanda kurung:

Mari kita cari akar-akar trinomial kuadrat

Dengan demikian,

Bagian atas halaman

Memfaktorkan polinomial dengan akar rasional.

Pertama, mari kita pertimbangkan metode memperluas polinomial dengan koefisien bilangan bulat berbentuk , koefisien derajat tertinggi sama dengan satu.

Dalam hal ini, jika suatu polinomial mempunyai akar-akar bilangan bulat, maka akar-akar tersebut adalah pembagi suku bebasnya.

Contoh.

Larutan.

Mari kita periksa apakah ada akar yang utuh. Untuk melakukan ini, tuliskan pembagi bilangan tersebut -18 : . Artinya, jika suatu polinomial memiliki akar bilangan bulat, maka polinomial tersebut termasuk bilangan yang tertulis. Mari kita periksa angka-angka ini secara berurutan menggunakan skema Horner. Kenyamanannya juga terletak pada kenyataan bahwa pada akhirnya kita memperoleh koefisien muai polinomial:

Itu adalah, x=2 Dan x=-3 adalah akar dari polinomial asli dan kita dapat menyatakannya sebagai produk:

Masih memperluas trinomial kuadrat.

Diskriminan trinomial ini negatif, sehingga tidak mempunyai akar real.

Menjawab:

Komentar:

Alih-alih skema Horner, seseorang dapat menggunakan pemilihan akar dan pembagian polinomial selanjutnya dengan polinomial.

Sekarang perhatikan perluasan polinomial dengan koefisien bilangan bulat berbentuk , dan koefisien derajat tertinggi tidak sama dengan satu.

Dalam hal ini, polinomial dapat memiliki akar-akar rasional pecahan.

Contoh.

Faktorkan ekspresi tersebut.

Larutan.

Dengan melakukan perubahan variabel kamu=2x, mari kita beralih ke polinomial dengan koefisien sama dengan satu pada derajat tertinggi. Untuk melakukan ini, kalikan dulu ekspresi tersebut dengan 4 .

Jika fungsi yang dihasilkan mempunyai akar-akar bilangan bulat, maka akar-akar tersebut termasuk dalam pembagi suku bebasnya. Mari kita tuliskan:

Mari kita hitung nilai fungsinya secara berurutan g(kamu) pada titik-titik ini sampai nol tercapai.

Itu adalah, kamu=-5 adalah akarnya , oleh karena itu, adalah akar dari fungsi aslinya. Mari kita bagi polinomial dengan kolom (sudut) menjadi binomial.