Periksa matriks terbalik. Metode matriks untuk menyelesaikan slough: contoh penyelesaian menggunakan matriks terbalik. Mencari matriks invers dengan eliminasi Gauss
Biasanya, operasi invers digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar kompleks. Misalnya, jika soal berisi operasi pembagian dengan pecahan, Anda dapat menggantinya dengan operasi perkalian dengan pecahan terbalik, yang merupakan operasi kebalikan. Selain itu, matriks tidak dapat dibagi, jadi Anda perlu mengalikan dengan kebalikan dari matriks. Menghitung invers matriks 3x3 itu membosankan, tetapi Anda harus bisa melakukannya secara manual. Anda juga dapat menemukan kebalikannya dengan kalkulator grafik yang bagus.
Langkah
Dengan matriks adjoint
Transpos matriks asli. Transpose adalah mengganti baris dengan kolom relatif terhadap diagonal utama matriks, yaitu, Anda perlu menukar elemen (i, j) dan (j, i). Dalam hal ini, elemen diagonal utama (dimulai di sudut kiri atas dan berakhir di sudut kanan bawah) tidak berubah.
- Untuk menukar baris dengan kolom, tulis item baris pertama di kolom pertama, item baris kedua di kolom kedua, dan item baris ketiga di kolom ketiga. Urutan perubahan posisi elemen ditunjukkan pada gambar, di mana elemen yang sesuai dikelilingi oleh lingkaran berwarna.
Tentukan definisi setiap matriks 2x2. Setiap elemen dari matriks apa pun, termasuk yang ditransposisikan, dikaitkan dengan matriks 2x2 yang sesuai. Untuk menemukan matriks 2x2 yang sesuai dengan elemen tertentu, coret baris dan kolom tempat elemen ini berada, yaitu, Anda perlu mencoret lima elemen dari matriks 3x3 asli. Empat elemen tetap tidak bersilangan, yang merupakan elemen dari matriks 2x2 yang sesuai.
- Misalnya, untuk mencari matriks 2x2 untuk elemen yang terletak di persimpangan baris kedua dan kolom pertama, coret lima elemen yang ada di baris kedua dan kolom pertama. Empat elemen yang tersisa adalah elemen dari matriks 2x2 yang sesuai.
- Tentukan determinan dari setiap matriks 2x2. Untuk melakukan ini, kurangi produk elemen diagonal sekunder dari produk elemen diagonal utama (lihat gambar).
- Informasi rinci tentang matriks 2x2 yang sesuai dengan elemen tertentu dari matriks 3x3 dapat ditemukan di Internet.
Buat matriks kofaktor. Catat hasil yang diperoleh tadi dalam bentuk matriks kofaktor baru. Untuk melakukan ini, tulis determinan yang ditemukan dari setiap matriks 2x2 di mana elemen yang sesuai dari matriks 3x3 berada. Misalnya, jika kita mempertimbangkan matriks 2x2 untuk elemen (1,1), tuliskan determinannya di posisi (1,1). Kemudian ubah tanda-tanda elemen yang sesuai sesuai dengan skema tertentu, yang ditunjukkan pada gambar.
- Skema perubahan tanda: tanda elemen pertama dari baris pertama tidak berubah; tanda elemen kedua dari baris pertama dibalik; tanda elemen ketiga dari baris pertama tidak berubah, dan seterusnya baris demi baris. Harap dicatat bahwa tanda "+" dan "-", yang ditunjukkan pada diagram (lihat gambar), tidak menunjukkan bahwa elemen yang sesuai akan positif atau negatif. Dalam hal ini, tanda "+" menunjukkan bahwa tanda elemen tidak berubah, dan tanda - menunjukkan bahwa tanda elemen telah berubah.
- Informasi rinci tentang matriks kofaktor dapat ditemukan di Internet.
- Ini akan menemukan matriks terkait dari matriks asli. Kadang-kadang disebut matriks konjugat kompleks. Matriks ini disebut sebagai adj (M).
Bagilah setiap elemen matriks adjoint dengan determinannya. Determinan matriks M dihitung di awal untuk memeriksa bahwa invers matriks ada. Sekarang bagilah setiap elemen matriks adjoint dengan determinan ini. Tulis hasil dari setiap operasi pembagian di mana elemen yang sesuai berada. Ini akan menemukan kebalikan dari matriks asli.
- Determinan matriks yang ditunjukkan pada gambar adalah 1. Jadi, di sini matriks adjoint adalah matriks terbalik (karena setiap bilangan dibagi 1, tidak berubah).
- Dalam beberapa sumber, operasi pembagian diganti dengan operasi perkalian dengan 1 / det (M). Dalam hal ini, hasil akhir tidak berubah.
Tuliskan invers matriks tersebut. Tulis elemen-elemen yang terletak di bagian kanan matriks besar sebagai matriks terpisah, yang merupakan kebalikan dari matriks.
Menggunakan kalkulator
Pilih kalkulator yang bekerja dengan matriks. Anda tidak dapat menemukan matriks invers dengan kalkulator sederhana, tetapi Anda dapat melakukannya dengan kalkulator grafik yang bagus seperti Texas Instruments TI-83 atau TI-86.
Masukkan matriks asli ke dalam memori kalkulator. Untuk melakukannya, klik tombol Matrix, jika tersedia. Untuk kalkulator Texas Instruments, Anda mungkin perlu menekan tombol ke-2 dan Matrix.
Pilih menu Sunting. Lakukan ini dengan menggunakan tombol panah atau tombol fungsi terkait yang terletak di bagian atas keyboard kalkulator (lokasi tombol tergantung pada model kalkulator).
Masukkan penunjukan matriks. Kebanyakan kalkulator grafik dapat bekerja dengan matriks 3-10, yang dapat dilambangkan dengan huruf A-J. Biasanya, cukup pilih [A] untuk menunjukkan matriks asli. Kemudian tekan tombol Enter.
Masukkan ukuran matriks. Artikel ini membahas tentang matriks 3x3. Tapi kalkulator grafik dapat menangani matriks besar. Masukkan jumlah baris, tekan tombol Enter, lalu masukkan jumlah kolom dan tekan tombol Enter lagi.
Masukkan setiap elemen matriks. Kalkulator menampilkan matriks. Jika matriks sebelumnya dimasukkan ke dalam kalkulator, itu akan muncul di layar. Kursor akan menyorot elemen pertama dari matriks. Masukkan nilai untuk item pertama dan tekan Enter. Kursor akan secara otomatis berpindah ke elemen matriks berikutnya.
Pertimbangkan matriks persegi. Misalkan = det A menunjukkan determinannya. Kuadrat B adalah (OM) untuk kuadrat A berorde sama jika hasil kali A * B = B * A = E, di mana E adalah matriks identitas yang berorde sama dengan A dan B.
Sebuah persegi A disebut non-degenerasi, atau non-tunggal, jika determinannya berbeda dari nol, dan merosot, atau tunggal, jika = 0.
Dalil. Agar A memiliki invers, perlu dan cukup bahwa determinannya bukan nol.
(OM) A, dilambangkan dengan A -1, sehingga B = A -1 dan dihitung dengan rumus
, (1)
di mana i j adalah komplemen aljabar dari elemen a i j, = detA.
Perhitungan A -1 menurut rumus (1) untuk matriks orde tinggi sangat melelahkan, oleh karena itu dalam praktiknya lebih mudah untuk menemukan A -1 menggunakan metode transformasi elementer (EP). Setiap A non-tunggal melalui EP kolom saja (atau baris saja) dapat direduksi menjadi unit E. Jika EPs perfect over matriks A diterapkan dalam urutan yang sama ke unit E, maka hasilnya adalah A -1. Lebih mudah untuk melakukan EP atas A dan E pada saat yang sama, menulis keduanya berdampingan melalui garis A | E. Jika Anda ingin mencari A -1, Anda harus menggunakan hanya baris atau kolom saja dalam proses konversi.
Menemukan Matriks Invers Menggunakan Pelengkap Aljabar
Contoh 1... Untuk 
temukan A -1.
Larutan. Kita cari dulu determinannya A 
karenanya, (ОМ) ada dan kita dapat menemukannya dengan rumus: 
, di mana A i j (i, j = 1,2,3) adalah komplemen aljabar dari elemen a i j dari A asli.
Komplemen aljabar dari elemen a ij adalah determinan atau minor M ij. Itu diperoleh dengan menghapus kolom i dan baris j. Kemudian minor dikalikan dengan (-1) i + j, mis. A ij = (- 1) i + j M ij
di mana 
.
Menemukan matriks invers menggunakan transformasi elementer
Contoh 2... Dengan menggunakan metode transformasi dasar, cari A -1 untuk: A =.
Larutan. Kami menetapkan ke A asli di sebelah kanan unit dengan urutan yang sama: 
... Dengan bantuan transformasi dasar kolom, kami membawa "setengah" kiri menjadi satu, secara bersamaan melakukan transformasi yang sama persis di "setengah" kanan.
Untuk melakukan ini, mari tukar kolom pertama dan kedua: 
~
... Tambahkan yang pertama ke kolom ketiga, dan yang pertama dikalikan dengan -2 ke yang kedua: 
... Dari kolom pertama kita kurangi yang kedua digandakan, dan dari yang ketiga - yang kedua dikalikan 6; 
... Mari tambahkan kolom ketiga ke kolom pertama dan kedua: 
... Mari kalikan kolom terakhir dengan -1: 
... Tabel persegi yang dihasilkan di sebelah kanan batang vertikal adalah kebalikan dari A -1. Jadi, 
.
Misalkan ada matriks bujur sangkar orde ke-n
Matriks A -1 disebut matriks terbalik terhadap matriks A, jika A * A -1 = E, di mana E adalah matriks satuan orde ke-n.
Matriks Satuan- matriks persegi seperti itu, di mana semua elemen di sepanjang diagonal utama yang lewat dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah adalah satu, dan sisanya adalah nol, misalnya:
matriks terbalik mungkin ada hanya untuk matriks persegi itu. untuk matriks-matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
Teorema tentang syarat keberadaan matriks terbalik
Agar suatu matriks memiliki matriks invers, matriks tersebut perlu dan cukup agar matriks tersebut tidak berdegenerasi.
Matriks A = (A1, A2, ... A n) disebut tidak merosot jika vektor kolom bebas linier. Banyaknya vektor kolom bebas linier dari suatu matriks disebut pangkat matriks. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa untuk matriks invers ada, perlu dan cukup bahwa peringkat matriks sama dengan dimensinya, yaitu. r = n.
Algoritma untuk mencari matriks terbalik
- Tuliskan matriks A dalam tabel untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan metode Gauss dan di sebelah kanan (sebagai ganti ruas kanan persamaan) tetapkan matriks E.
- Dengan menggunakan transformasi Jordan, kurangi matriks A menjadi matriks yang terdiri dari kolom-kolom satuan; dalam hal ini, perlu untuk secara bersamaan mengubah matriks E.
- Jika perlu, atur ulang baris (persamaan) dari tabel terakhir sehingga di bawah matriks A dari tabel asli kita mendapatkan matriks satuan E.
- Tuliskan invers matriks A -1, yang ada pada tabel terakhir di bawah matriks E dari tabel aslinya.
Untuk matriks A, carilah invers matriks A -1
Solusi: Kami menuliskan matriks A dan di sebelah kanan kami menetapkan matriks identitas E. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kami mereduksi matriks A menjadi matriks identitas E. Perhitungannya ditunjukkan pada tabel 31.1.
Mari kita periksa kebenaran perhitungan dengan mengalikan matriks asli A dan matriks terbalik A -1.
Sebagai hasil perkalian matriks, diperoleh matriks satuan. Karena itu, perhitungannya benar.
Menjawab: 
Memecahkan persamaan matriks
Persamaan matriks dapat berbentuk:
AX = B, XA = B, AXB = C,
di mana A, B, C adalah matriks yang ditentukan, X adalah matriks yang diperlukan.
Persamaan matriks diselesaikan dengan mengalikan persamaan dengan matriks inversnya.
Misalnya, untuk menemukan matriks dari suatu persamaan, Anda mengalikan persamaan tersebut dengan kiri.
Oleh karena itu, untuk menemukan solusi persamaan, Anda perlu mencari matriks invers dan mengalikannya dengan matriks di ruas kanan persamaan.
Persamaan lain diselesaikan dengan cara yang sama.
Selesaikan persamaan AX = B jika 
Larutan: Karena invers matriks adalah (lihat contoh 1)
Metode matriks dalam analisis ekonomi
Bersama dengan yang lain, mereka juga menemukan aplikasi di metode matriks... Metode ini didasarkan pada aljabar linier dan vektor-matriks. Metode tersebut digunakan untuk menganalisis fenomena ekonomi yang kompleks dan multidimensi. Paling sering, metode ini digunakan ketika perlu untuk membuat penilaian komparatif tentang fungsi organisasi dan unit strukturalnya.
Dalam proses penerapan metode analisis matriks, beberapa tahapan dapat dibedakan.
Pada tahap pertama sistem indikator ekonomi dibentuk dan atas dasar itu matriks data awal dikompilasi, yang merupakan tabel di mana nomor sistem ditampilkan pada baris yang terpisah (i = 1,2, ...., n), dan di sepanjang kolom vertikal - jumlah indikator (j = 1,2, ...., m).
Pada tahap kedua untuk setiap kolom vertikal, nilai indikator terbesar yang tersedia terungkap, yang diambil sebagai satu unit.
Setelah itu, semua jumlah yang tercermin dalam kolom ini dibagi dengan nilai terbesar dan matriks koefisien standar terbentuk.
Pada tahap ketiga semua bagian penyusun matriks dikuadratkan. Jika mereka memiliki signifikansi yang berbeda, maka setiap indikator matriks diberikan faktor pembobotan tertentu k... Nilai yang terakhir ditentukan oleh penilaian ahli.
Pada yang terakhir, tahap keempat menemukan nilai peringkat R j dikelompokkan berdasarkan kenaikan atau penurunan.
Metode matriks yang diuraikan harus digunakan, misalnya, dalam analisis komparatif berbagai proyek investasi, serta dalam penilaian indikator ekonomi lainnya dari kegiatan organisasi.
Matriks -1 disebut matriks invers terhadap matriks jika * -1 = , di mana adalah matriks satuan orde ke-n. Matriks invers hanya dapat ada untuk matriks persegi.
Tujuan layanan... Dengan bantuan layanan online ini, Anda dapat menemukan komplemen aljabar, matriks transpos AT, matriks adjoint, dan matriks invers. Penyelesaiannya dilakukan langsung di website (online) dan tidak dipungut biaya. Hasil perhitungan disajikan dalam laporan Word dan dalam format Excel (yaitu dimungkinkan untuk memeriksa solusinya). lihat contoh desain.
Petunjuk. Untuk mendapatkan solusi, perlu untuk mengatur dimensi matriks. Selanjutnya, pada kotak dialog baru, isikan matriks A.
Lihat juga Invers matriks menggunakan metode Jordan-Gauss
Algoritma untuk mencari matriks terbalik
- Mencari matriks transpos A T.
- Definisi komplemen aljabar. Ganti setiap elemen matriks dengan komplemen aljabarnya.
- Menyusun matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen dari matriks yang dihasilkan dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Tentukan apakah matriksnya persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks invers untuk itu.
- Perhitungan determinan matriks A. Jika tidak sama dengan nol, kami melanjutkan solusi; jika tidak, matriks terbalik tidak ada.
- Definisi komplemen aljabar.
- Mengisi matriks gabungan (timbal balik, adjoint) C.
- Menyusun matriks invers dari komplemen aljabar: setiap elemen matriks C adjoint dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Pemeriksaan dilakukan: matriks asli dan matriks yang dihasilkan dikalikan. Hasilnya harus menjadi matriks identitas.
Contoh 1. Mari kita tulis matriksnya sebagai berikut:
| A -1 = |
|
Algoritma lain untuk menemukan matriks terbalik
Mari kita berikan skema lain untuk menemukan matriks terbalik.- Tentukan determinan dari matriks persegi A yang diberikan.
- Tentukan komplemen aljabar untuk semua elemen matriks A.
- Kami menulis pelengkap aljabar elemen baris ke dalam kolom (transposisi).
- Kami membagi setiap elemen dari matriks yang dihasilkan dengan determinan matriks A.
Kasus khusus: Invers dari matriks identitas E adalah matriks identitas E.