Zbroj kutova trokuta. Kompletne lekcije - Hipermarket znanja. Zbroj kutova trokuta - čemu je jednak? Vrste prema veličini kuta

U 8. razredu, na nastavi geometrije u školi, učenici se prvi put upoznaju s pojmom konveksnog mnogokuta. Vrlo brzo će saznati da ova figura ima vrlo zanimljivo svojstvo. Koliko god složen bio, zbroj svih unutarnjih i vanjskih kutova konveksnog mnogokuta poprima strogo određenu vrijednost. U ovom članku nastavnik matematike i fizike govori o tome čemu je jednak zbroj kutova konveksnog mnogokuta.

Zbroj unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta

Kako dokazati ovu formulu?

Prije nego prijeđemo na dokaz ove tvrdnje, prisjetimo se koji se poligon naziva konveksnim. Konveksni mnogokut je mnogokut koji u potpunosti leži s jedne strane pravca koji sadrži bilo koju od njegovih stranica. Na primjer, onaj prikazan na ovoj slici:

Ako mnogokut ne zadovoljava navedeni uvjet, tada se naziva nekonveksnim. Na primjer, ovako:

Zbroj unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta jednak je , gdje je broj stranica mnogokuta.

Dokaz ove činjenice temelji se na teoremu o zbroju kutova u trokutu, dobro poznatom svim školarcima. Siguran sam da je i vama ovaj teorem poznat. Zbroj unutarnjih kutova trokuta je .

Ideja je podijeliti konveksni poligon na nekoliko trokuta. To se može učiniti na različite načine. Ovisno o tome koju metodu odaberemo, dokazi će biti malo drugačiji.

1. Podijeli konveksni mnogokut na trokute koristeći sve moguće dijagonale povučene iz nekog vrha. Lako je razumjeti da će tada naš n-gon biti podijeljen na trokute:

Štoviše, zbroj svih kutova svih dobivenih trokuta jednak je zbroju kutova našeg n-kuta. Uostalom, svaki kut u rezultirajućim trokutima je djelomični kut u našem konveksnom mnogokutu. Odnosno, traženi iznos je jednak .

2. Također možete odabrati točku unutar konveksnog poligona i povezati je sa svim vrhovima. Tada će naš n-kut biti podijeljen na trokute:

Štoviše, zbroj kutova našeg poligona u ovom će slučaju biti jednak zbroju svih kutova svih tih trokuta minus središnji kut, koji je jednak . Odnosno, traženi iznos je opet jednak .

Zbroj vanjskih kutova konveksnog mnogokuta

Postavimo sada pitanje: "Koliki je zbroj vanjskih kutova konveksnog mnogokuta?" Na ovo pitanje može se odgovoriti na sljedeći način. Svaki vanjski kut graniči s odgovarajućim unutarnjim. Stoga je jednako:

Tada je zbroj svih vanjskih kutova jednak . Odnosno, jednak je.

Odnosno, dobiva se vrlo smiješan rezultat. Ako nacrtamo sve vanjske kutove bilo kojeg konveksnog n-kuta jedan za drugim, tada će rezultat biti točno cijela ravnina.

Ova zanimljiva činjenica može se ilustrirati na sljedeći način. Proporcionalno smanjimo sve stranice nekog konveksnog mnogokuta dok se ne spoji u točku. Nakon što se to dogodi, svi će vanjski kutovi biti položeni jedan od drugoga i tako ispuniti cijelu ravninu.

Zanimljiva činjenica, zar ne? A takvih činjenica u geometriji ima mnogo. Zato učite geometriju, dragi školarci!

Materijal o tome čemu je jednak zbroj kutova konveksnog poligona pripremio je Sergey Valerievich

Zbroj kutova trokuta- važna, ali prilično jednostavna tema koja se uči u geometriji 7. razreda. Tema se sastoji od teorema, kratkog dokaza i nekoliko logičkih posljedica. Poznavanje ove teme pomaže u rješavanju geometrijskih problema u kasnijem proučavanju predmeta.

Teorem - koliki su kutovi proizvoljnog trokuta zbrojeni?

Teorem kaže da ako uzmete bilo koji trokut, bez obzira na njegovu vrstu, zbroj svih kutova uvijek će biti 180 stupnjeva. To je dokazano na sljedeći način:

na primjer, uzmite trokut ABC, nacrtajte ravnu liniju kroz točku B koja se nalazi na vrhu i označite je kao "a", ravna linija "a" je strogo paralelna sa stranom AC;
između ravne linije "a" i stranica AB i BC označeni su kutovi koji su označeni brojevima 1 i 2;
kut 1 se smatra jednakim kutu A, a kut 2 se smatra jednakim kutu C, jer se smatra da ovi kutovi leže unakrsno;
stoga se zbroj između kutova 1, 2 i 3 (koji je označen umjesto kuta B) prepoznaje kao jednak rasklopljenom kutu s vrhom B - i iznosi 180 stupnjeva.

Ako je zbroj kutova označenih brojevima 180 stupnjeva, tada se zbroj kutova A, B i C smatra jednakim 180 stupnjeva. Ovo pravilo vrijedi za svaki trokut.

Što slijedi iz geometrijskog teorema

Uobičajeno je istaknuti nekoliko posljedica iz gornjeg teorema.

Ako problem razmatra trokut s pravim kutom, tada će jedan od njegovih kutova prema zadanim postavkama biti jednak 90 stupnjeva, a zbroj oštrih kutova također će biti 90 stupnjeva.
Ako govorimo o pravokutnom jednakokračnom trokutu, tada će njegovi oštri kutovi, koji zbroje 90 stupnjeva, pojedinačno biti jednaki 45 stupnjeva.
Jednakostranični trokut sastoji se od tri jednaka kuta, odnosno svaki od njih će biti jednak 60 stupnjeva, a ukupno će biti 180 stupnjeva.
Vanjski kut bilo kojeg trokuta bit će jednak zbroju dva unutarnja kuta koji mu nisu susjedni.

Može se izvesti sljedeće pravilo: svaki trokut ima najmanje dva oštra kuta. U nekim slučajevima, trokut se sastoji od tri oštra kuta, a ako su samo dva, tada će treći kut biti tup ili pravi.

(sažetak pozadine)

Vizualna geometrija 7. razred. Dodatna napomena br. 4 Zbroj kutova trokuta.

Veliki francuski znanstvenik 17. stoljeća Blaise Pascal Kao dijete volio sam petljati po geometrijskim oblicima. Poznavao je kutomjer i znao je mjeriti kutove. Mladi je istraživač primijetio da je za sve trokute zbroj triju kutova isti - 180°. “Kako to možemo dokazati? - razmišljao je Pascal. "Uostalom, nemoguće je provjeriti zbroj kutova svih trokuta - ima ih beskonačan broj." Zatim je škarama odrezao dva kuta trokuta i pričvrstio ih na treći kut. Rezultat je zakrenuti kut, koji je, kao što je poznato, jednak 180°. Ovo je bilo njegovo prvo vlastito otkriće. Dječakova buduća sudbina već je bila unaprijed određena.

U ovoj temi naučit ćete pet svojstava podudarnosti pravokutnih trokuta i možda najpopularnije svojstvo pravokutnog trokuta s kutom od 30°. Zvuči ovako: krak koji leži nasuprot kutu od 30° jednak je polovici hipotenuze. Dijeljenjem jednakostraničnog trokuta visinom odmah dobivamo dokaz ovog svojstva.

TEOREMA. Zbroj kutova trokuta je 180°. Da biste to dokazali, povucite liniju kroz vrh paralelnu s bazom. Tamni kutovi su jednaki, a sivi kutovi jednaki kao da leže unakrsno na paralelnim crtama. Tamni kut, sivi kut i vršni kut tvore ispruženi kut, a njihov zbroj je 180°. Iz teorema slijedi da su kutovi jednakostraničnog trokuta jednaki 60°, a da je zbroj šiljastih kutova pravokutnog trokuta jednak 90°.

Vanjski kut trokuta je kut susjedan kutu trokuta. Stoga se ponekad kutovi samog trokuta nazivaju unutarnjim kutovima.

TEOREM o vanjskom kutu trokuta. Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dva unutarnja kuta koji mu nisu susjedni. Doista, vanjski kut i dva unutarnja, koja nisu uz njega, nadopunjuju osjenčani kut do 180 °. Iz teorema slijedi da je vanjski kut veći od bilo kojeg unutarnjeg kuta koji mu nije susjedan.

TEOREM o odnosima stranica i kutova trokuta. U trokutu je veći kut nasuprot veće stranice, a veći kut nasuprot većeg kuta. Slijedi: 1) Kateta je manja od hipotenuze. 2) Okomica je manja od nagnute.

Udaljenost od točke do linije . Budući da je okomica manja od bilo koje nagnute crte povučene iz iste točke, njezina se duljina uzima kao udaljenost od točke do ravne crte.

Nejednakost trokuta . Duljina bilo koje stranice trokuta manja je od zbroja njegovih dviju stranica, tj. A< b + с , b< а + с , S< а + b . Posljedica. Duljina izlomljene linije veća je od segmenta koji spaja njezine krajeve.

ZNAKOVI JEDNAKOSTI
PRAVOKUTNI TROKUT

Na dvije strane. Ako su dva kraka jednog pravokutnog trokuta redom jednaka dvjema kracima drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

Duž kraka i susjednog oštrog kuta. Ako su krak i susjedni šiljasti kut jednog pravokutnog trokuta redom jednaki kraku i susjednom šiljastom kutu drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

Duž kraka i suprotnog oštrog kuta. Ako su krak i nasuprot njemu šiljasti kut jednog pravokutnog trokuta jednaki kraku i nasuprot njemu šiljasti kut drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Hipotenuzom i oštrim kutom. Ako su hipotenuza i šiljasti kut jednog pravokutnog trokuta jednaki hipotenuzi i šiljastom kutu drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

Dokaz ovih znakova odmah se svodi na jedan od testova jednakosti trokuta.

Po kateti i hipotenuzi. Ako su kateta i hipotenuza jednog pravokutnog trokuta jednake kateti i hipotenuzi drugog pravokutnog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

Dokaz. Pričvrstimo trokute s jednakim kracima. Dobivamo jednakokračni trokut. Njegova visina povučena iz vrha također će biti medijan. Tada trokuti imaju jednake druge katete, a trokuti su jednaki na tri strane.

TEOREMA o svojstvu kraka koji leži nasuprot kutu od 30°. Krak nasuprot kutu od 30° jednak je polovici hipotenuze. Dokazuje se dopunjavanjem trokuta do jednakostraničnog.

TEOREM o svojstvu točaka simetrale kuta. Svaka točka na simetrali kuta jednako je udaljena od njegovih stranica. Ako je točka jednako udaljena od stranica kuta, tada ona leži na simetrali kuta. Dokazuje se povlačenjem dviju okomica na stranice kuta i razmatranjem pravokutnih trokuta.

Druga velika točka . Simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki.

Udaljenost između paralelnih pravaca. TEOREMA. Sve točke svakog od dva paralelna pravca jednako su udaljene od drugoga pravca. Teorem implicira definiciju udaljenosti između paralelnih pravaca.

Definicija. Udaljenost između dva paralelna pravca je udaljenost bilo koje točke jednog od paralelnih pravaca do drugog pravca.

Detaljni dokazi teorema

Ovo je referentna bilješka br. 4 o geometriji u 7. razredu. Odaberite sljedeće korake:

Zbroj unutarnjih kutova trokuta je 180 0. Ovo je jedan od temeljnih aksioma Euklidove geometrije. Ovo je geometrija koju uče školarci. Geometrija se definira kao znanost koja proučava prostorne oblike stvarnog svijeta.

Što je motiviralo stare Grke da razviju geometriju? Potreba za mjerenjem polja, livada - područja zemljine površine. Istodobno su stari Grci prihvatili da je površina Zemlje horizontalna i ravna. Uzimajući u obzir ovu pretpostavku, stvoreni su Euklidovi aksiomi, uključujući zbroj unutarnjih kutova trokuta od 180 0.

Aksiom je tvrdnja koja ne zahtijeva dokaz. Kako ovo treba razumjeti? Izriče se želja koja osobi odgovara, a zatim se potvrđuje ilustracijama. Ali sve što nije dokazano je fikcija, nešto što ne postoji u stvarnosti.

Uzimajući zemljinu površinu horizontalno, stari Grci su automatski prihvatili oblik Zemlje kao ravan, ali je ona drugačija - sferna. U prirodi uopće nema vodoravnih ravnina ni ravnih linija, jer gravitacija savija prostor. Ravne linije i horizontalne ravnine nalaze se samo u ljudskom mozgu.

Stoga je Euklidova geometrija, koja objašnjava prostorne oblike fiktivnog svijeta, simulakrum – kopija koja nema originala.

Jedan od Euklidovih aksioma kaže da je zbroj unutarnjih kutova trokuta 180 0. Zapravo, u stvarnom zakrivljenom prostoru, odnosno na sfernoj površini Zemlje, zbroj unutarnjih kutova trokuta uvijek je veći od 180 0.

Razmišljajmo ovako. Bilo koji meridijan na globusu siječe se s ekvatorom pod kutom od 90°. Da biste dobili trokut, trebate odmaknuti još jedan meridijan od meridijana. Zbroj kutova trokuta između meridijana i stranice ekvatora bit će 180 0. Ali i dalje će postojati kut na polu. Kao rezultat toga, zbroj svih kutova bit će veći od 180 0.

Ako se stranice sijeku pod kutom od 90 0 na polu, tada će zbroj unutarnjih kutova takvog trokuta biti 270 0. Dva meridijana koji sijeku ekvator pod pravim kutom u ovom trokutu bit će međusobno paralelni, a na polu koji se sijeku pod kutom od 90 0 postat će okomice. Ispada da se dvije paralelne crte na istoj ravnini ne samo sijeku, već mogu biti i okomite na polu.

Naravno, strane takvog trokuta neće biti ravne linije, već konveksne, ponavljajući sferni oblik globusa. Ali upravo je to pravi svijet svemira.

Geometrija realnog prostora, uzimajući u obzir njegovu zakrivljenost sredinom 19.st. razvio njemački matematičar B. Riemann (1820-1866). Ali školarcima se o tome ne govori.

Dakle, euklidska geometrija, koja uzima oblik Zemlje kao ravne s vodoravnom površinom, što zapravo nije, je simulakrum. Nootic je Riemannova geometrija koja uzima u obzir zakrivljenost prostora. Zbroj unutarnjih kutova trokuta u njemu veći je od 180 0.

>>Geometrija: Zbroj kutova trokuta. Kompletne lekcije

TEMA LEKCIJE: Zbroj kutova trokuta.

Ciljevi lekcije:

Učvršćivanje i provjera znanja učenika o temi: „Zbroj kutova trokuta”;
Dokaz svojstava kutova trokuta;
Primjena ovog svojstva u rješavanju jednostavnih problema;
Korištenje povijesne građe za razvoj kognitivne aktivnosti učenika;
Usađivanje vještine točnosti pri izradi crteža.

Ciljevi lekcije:

Provjerite vještine rješavanja problema učenika.

Plan učenja:

Trokut;
Teorem o zbroju kutova trokuta;
Primjeri zadataka.

Trokut.

Datoteka:O.gif Trokut- najjednostavniji mnogokut koji ima 3 vrha (kuta) i 3 stranice; dio ravnine omeđen s tri točke i tri odsječka koji spajaju te točke u parovima.
Tri točke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji odgovaraju jednoj i samo jednoj ravnini.
Bilo koji poligon može se podijeliti na trokute - taj se proces naziva triangulacija.
Postoji odjeljak matematike koji je u potpunosti posvećen proučavanju zakona trokuta - Trigonometrija.

Teorem o zbroju kutova trokuta.

File:T.gif Teorem o zbroju kutova trokuta klasični je teorem euklidske geometrije koji kaže da je zbroj kutova trokuta 180°.

Dokaz" :

Neka je dan Δ ABC. Povucimo kroz vrh B pravac paralelan s (AC) i na njemu označimo točku D tako da točke A i D leže na suprotnim stranama pravca BC. Tada su kut (DBC) i kut (ACB) jednaki kao unutarnji poprečno ležeći s paralelnim pravcima BD i AC i sekantom (BC). Tada je zbroj kutova trokuta na vrhovima B i C jednak kutu (ABD). No kut (ABD) i kut (BAC) pri vrhu A trokuta ABC su unutarnje jednostranice s paralelnim pravcima BD i AC i sekantom (AB), a njihov zbroj je 180°. Stoga je zbroj kutova trokuta 180°. Teorem je dokazan.

Posljedice.

Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dvaju kutova trokuta koji mu nisu susjedni.

Dokaz:

Neka je dan Δ ABC. Točka D leži na pravcu AC tako da A leži između C i D. Tada je BAD vanjski kut trokuta pri vrhu A i A + BAD = 180°. Ali A + B + C = 180°, pa je stoga B + C = 180° – A. Stoga je BAD = B + C. Korolar je dokazan.

Posljedice.

Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg kuta trokuta koji mu nije susjedan.

Zadatak.

Vanjski kut trokuta je kut susjedan bilo kojem kutu tog trokuta. Dokažite da je vanjski kut trokuta jednak zbroju dvaju kutova trokuta koji mu nisu susjedni.
(Sl. 1)

Riješenje:

Neka je u Δ ABC ∠DAS vanjski (sl. 1). Tada je ∠DAC = 180°-∠BAC (po svojstvu susjednih kutova), po teoremu o zbroju kutova trokuta ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Iz ovih jednakosti dobivamo ∠DAS=∠V+∠S

Zanimljiva činjenica:

Zbroj kutova trokuta" :

U geometriji Lobačevskog zbroj kutova trokuta uvijek je manji od 180. U euklidskoj geometriji uvijek je jednak 180. U Riemannovoj geometriji zbroj kutova trokuta uvijek je veći od 180.

Iz povijesti matematike:

Euklid (3. st. pr. Kr.) u svom djelu “Elementi” daje sljedeću definiciju: “Paralelni pravci su pravci koji se nalaze u istoj ravnini i budući da se beskonačno pružaju u oba smjera, ne susreću se ni s jedne strane.” .
Posidonije (1. st. pr. Kr.) “Dvije ravne crte koje leže u istoj ravnini, jednako udaljene jedna od druge”
Starogrčki znanstvenik Papus (III. st. pr. Kr.) uveo je simbol paralelnih pravaca - znak =. Kasnije je engleski ekonomist Ricardo (1720-1823) koristio ovaj simbol kao znak jednakosti.
Tek u 18. stoljeću počeli su koristiti simbol za paralelne pravce - znak ||.
Živa veza među generacijama ne prekida se ni na trenutak, svakodnevno učimo iskustvo koje su skupili naši preci. Stari Grci su na temelju opažanja i praktičnog iskustva donosili zaključke, iznosili hipoteze, a zatim su na sastancima znanstvenika - simpozijima (doslovno "gozba") - pokušavali potkrijepiti i dokazati te hipoteze. U to vrijeme pojavila se izjava: “Istina se rađa u raspravi.”

Pitanja: