Rastavljanje polinoma na faktore. Metode rastavljanja polinoma stupnja višeg od dva Proširenje uglatih zagrada
Ovo je jedan od najosnovnijih načina za pojednostavljenje izraza. Da bismo primijenili ovu metodu, prisjetimo se zakona distribucije množenja u odnosu na zbrajanje (nemojte se bojati ovih riječi, sigurno znate ovaj zakon, samo ste možda zaboravili kako se zove).
Zakon kaže: da biste pomnožili zbroj dvaju brojeva s trećim brojem, trebate pomnožiti svaki član s tim brojem i zbrojiti dobivene rezultate, drugim riječima, .
Možete raditi i obrnutu operaciju, a upravo nas ta obrnuta operacija zanima. Kao što se vidi iz uzorka, zajednički faktor a može se izbaciti iz zagrade.
Slična se operacija može izvesti i s varijablama, kao što su i, na primjer, i s brojevima: .
Da, ovo je vrlo elementaran primjer, baš kao i prethodni primjer, s rastavljanjem broja, jer svi znaju da su brojevi djeljivi sa, ali što ako dobijete kompliciraniji izraz:
Kako saznati s čime je, na primjer, broj djeljiv? Ne, to može svatko s kalkulatorom, ali bez njega je teško? I za to postoje znakovi djeljivosti, te znakove zaista vrijedi znati, oni će vam pomoći da brzo shvatite može li se zajednički faktor izbaciti iz zagrade.
Znakovi djeljivosti
Nije ih tako teško zapamtiti; najvjerojatnije vam je većina već poznata, a neki će biti novo korisno otkriće, više detalja u tablici:
Napomena: u tablici nedostaje test djeljivosti s 4. Ako su posljednje dvije znamenke djeljive s 4, onda je cijeli broj djeljiv s 4.
Pa, kako vam se sviđa znak? Savjetujem vam da to zapamtite!
Dobro, vratimo se izrazu, možda ga može izbaciti iz zagrade i to je dovoljno? Ne, matematičari su skloni pojednostavljivanju, dakle do kraja, izdrži SVE što se izdrži!
I tako, s igrom je sve jasno, ali što je s numeričkim dijelom izraza? Oba broja su neparna, pa ne možete dijeliti s
Možete koristiti test djeljivosti: zbroj znamenki, i, koji čine broj je jednak, a djeljiv sa, znači djeljiv sa.
Znajući to, možete sigurno podijeliti u stupac, a kao rezultat dijeljenja dobivamo (znaci djeljivosti su korisni!). Dakle, možemo uzeti broj iz zagrada, baš kao i y, i kao rezultat imamo:
Kako biste bili sigurni da je sve ispravno prošireno, možete provjeriti proširenje množenjem!
Zajednički faktor također se može izraziti u smislu snage. Ovdje, na primjer, vidite li zajednički množitelj?
Svi članovi ovog izraza imaju xove - vadimo ih, svi su podijeljeni sa - opet ih vadimo, pogledajte što se dogodilo: .
2. Formule skraćenog množenja
Skraćene formule množenja već smo spomenuli u teoriji; ako vam je teško zapamtiti što su, trebali biste osvježiti pamćenje.
Pa, ako se smatrate vrlo pametnim i previše ste lijeni za čitanje takvog oblaka informacija, onda samo čitajte dalje, pogledajte formule i odmah se bacite na primjere.
Suština te dekompozicije je uočiti određenu formulu u izrazu koji je pred vama, primijeniti je i tako dobiti produkt nečega i nečega, to je sva dekompozicija. Sljedeće su formule:
Sada pokušajte faktorizirati sljedeće izraze pomoću gornjih formula:
Evo što se trebalo dogoditi:
Kao što ste primijetili, ove formule su vrlo učinkovit način faktoringa; nije uvijek prikladan, ali može biti vrlo koristan!
3. Metoda grupiranja ili grupiranja
Evo još jedan primjer za vas:
Pa što ćeš učiniti s tim? Čini se da se nešto dijeli na i na, a nešto na i na
Ali ne možete sve zajedno podijeliti u jednu stvar, dobro ovdje nema zajedničkog faktora, kako god da gledaš, što da ostaviš tako, a da to ne razložiš na faktore?
Ovdje treba pokazati domišljatost, a ime te domišljatosti je grupiranje!
Koristi se upravo kada svi članovi nemaju zajedničke djelitelje. Za grupiranje vam je potrebno pronaći grupe pojmova koji imaju zajedničke faktore i preuredite ih tako da se iz svake skupine može dobiti isti faktor.
Naravno, nije ih potrebno preuređivati, ali to daje jasnoću; radi jasnoće možete staviti pojedine dijelove izraza u zagrade; nije zabranjeno stavljati ih koliko god želite, glavna stvar je ne brkati znakovi.
Nije li sve ovo baš jasno? Dopustite mi da objasnim na primjeru:
U polinomu - stavljamo član - iza člana - dobivamo
grupiramo prva dva člana zajedno u zasebnu zagradu i također grupiramo treći i četvrti izraz, uzimajući znak minus iz zagrade, dobivamo:
Sada promatramo zasebno svaku od dvije “hrpe” na koje smo izraz podijelili zagradama.
Trik je rastaviti ga na hrpe iz kojih se može izvaditi najveći faktor ili, kao u ovom primjeru, pokušati grupirati pojmove tako da nakon uklanjanja faktora iz hrpa iz zagrada, još uvijek imamo iste izraze unutar zagrada.
Iz obje zagrade izdvajamo zajedničke faktore članova, iz prve zagrade, a iz druge dobivamo:
Ali ovo nije razgradnja!
Pmagarac razlaganje treba ostati samo množenje, ali za sada je naš polinom jednostavno podijeljen na dva dijela...
ALI! Ovaj polinom ima zajednički faktor. Ovaj
izvan zagrade i dobivamo konačni proizvod
Bingo! Kao što vidite, ovdje već postoji umnožak i izvan zagrada nema zbrajanja ni oduzimanja, rastavljanje je završeno, jer Nemamo više što izbaciti iz zagrade.
Može se činiti kao čudo da su nam nakon izvlačenja faktora iz zagrade ostali identični izrazi u zagradi, koje smo opet stavili izvan zagrade.
I to uopće nije čudo, činjenica je da su primjeri u udžbenicima i na Jedinstvenom državnom ispitu posebno napravljeni tako da većina izraza u zadacima za pojednostavljenje ili faktorizacija s pravim im pristupom lako se pojednostavljuju i oštro se poput kišobrana srušavaju kad pritisnete gumb, pa tražite baš taj gumb u svakom izrazu.
Smetnuo sam se, što radimo s pojednostavljenjem? Zamršeni polinom dobio je jednostavniji oblik: .
Slažete se, nije tako glomazno kao što je bilo?
4. Odabir cijelog kvadrata.
Ponekad je za primjenu skraćenih formula množenja (ponoviti temu) potrebno transformirati postojeći polinom, prikazujući jedan od njegovih članova kao zbroj ili razliku dva člana.
U kojem slučaju to morate učiniti, naučit ćete iz primjera:
Polinom u ovom obliku ne može se proširiti pomoću skraćenih formula množenja, pa se mora transformirati. Možda vam u početku neće biti jasno koji pojam treba podijeliti na koji, ali s vremenom ćete naučiti odmah vidjeti formule za skraćeno množenje, čak i ako nisu u potpunosti prisutne, i brzo ćete utvrditi što nedostaje potpuna formula, ali za sada - uči, student, odnosno školarac.
Za potpunu formulu za kvadrat razlike, ovdje trebate umjesto. Zamislimo treći član kao razliku, dobivamo: Na izraz u zagradama možete primijeniti formulu za kvadrat razlike (ne brkati s razlikom kvadrata!!!), imamo: , na ovaj izraz možemo primijeniti formulu razlike kvadrata (ne brkati s kvadratnom razlikom!!!), zamišljajući kako, dobivamo: .
Faktorizirani izraz ne izgleda uvijek jednostavnije i manje nego što je bio prije proširenja, ali u ovom obliku postaje fleksibilniji, u smislu da se ne morate brinuti o mijenjanju predznaka i drugim matematičkim glupostima. Pa, da biste sami odlučili, sljedeće izraze treba faktorizirati.
Primjeri:
odgovori:
5. Rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore
Za rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore, pogledajte daljnje primjere rastavljanja.
Primjeri 5 metoda faktoringa polinoma
1. Izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada. Primjeri.
Sjećate li se što je zakon distribucije? Ovo je pravilo:
Primjer:
Faktoriziraj polinom.
Riješenje:
Još jedan primjer:
Isključite to.
Riješenje:
Ako se cijeli pojam izbaci iz zagrade, umjesto njega u zagradi ostaje jedinica!
2. Formule skraćenog množenja. Primjeri.
Formule koje najčešće koristimo su razlika kvadrata, razlika kubova i zbroj kubova. Sjećate li se ove formule? Ako ne, pod hitno ponovite temu!
Primjer:
Faktoriziraj izraz.
Riješenje:
U ovom izrazu lako je otkriti razliku kocki:
Primjer:
Riješenje:
3. Metoda grupiranja. Primjeri
Ponekad možete zamijeniti izraze tako da se isti faktor može izdvojiti iz svakog para susjednih izraza. Ovaj zajednički faktor može se izbaciti iz zagrade i izvorni polinom će se pretvoriti u produkt.
Primjer:
Faktoriziraj polinom.
Riješenje:
Grupirajmo pojmove na sljedeći način:
.
U prvoj skupini izdvajamo zajednički faktor iz zagrade, a u drugoj - :
.
Sada se zajednički faktor također može izvaditi iz zagrada:
.
4. Metoda odabira cijelog kvadrata. Primjeri.
Ako se polinom može prikazati kao razlika kvadrata dvaju izraza, preostaje samo primijeniti skraćenu formulu množenja (razlika kvadrata).
Primjer:
Faktoriziraj polinom.
Riješenje:Primjer:
\početak(niz)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrate(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(kvadrat\ zbroj\ ((\lijevo (x+3 \desno))^(2)))-9-7=((\lijevo(x+3 \desno))^(2))-16= \\
=\lijevo(x+3+4 \desno)\lijevo(x+3-4 \desno)=\lijevo(x+7 \desno)\lijevo(x-1 \desno) \\
\end(niz)
Faktoriziraj polinom.
Riješenje:
\početak(niz)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(kvadrat\ razlike((\lijevo(((x)^(2))-2 \desno))^(2)))-4-1=((\lijevo(((x)^ (2))-2 \desno))^(2))-5= \\
=\lijevo(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \desno)\lijevo(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \desno) \\
\end(niz)
5. Rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore. Primjer.
Kvadratni trinom je polinom oblika, gdje je - nepoznanica, - neki brojevi, i.
Vrijednosti varijable koje čine da kvadratni trinom nestaje nazivaju se korijeni trinoma. Prema tome, korijeni trinoma su korijeni kvadratne jednadžbe.
Teorema.
Primjer:
Rastavimo kvadratni trinom na faktore: .
Prvo, riješimo kvadratnu jednadžbu: Sada možemo napisati faktorizaciju ovog kvadratnog trinoma:
Sada vaše mišljenje...
Detaljno smo opisali kako i zašto faktorizirati polinom.
Dali smo puno primjera kako to učiniti u praksi, ukazali na zamke, dali rješenja...
Što kažeš?
Što mislite o ovom članku? Koristite li ove tehnike? Shvaćate li njihovu bit?
Pišite u komentarima i...pripremite se za ispit!
Do sada je on najvažniji u vašem životu.
Polinom je izraz koji se sastoji od zbroja monoma. Potonji su proizvod konstante (broja) i korijena (ili korijena) izraza na potenciju k. U tom slučaju govorimo o polinomu k stupnja. Proširenje polinoma uključuje transformaciju izraza u kojoj su članovi zamijenjeni faktorima. Razmotrimo glavne načine provedbe ove vrste transformacije.
Metoda proširenja polinoma izdvajanjem zajedničkog faktora
Ova se metoda temelji na zakonima zakona distribucije. Dakle, mn + mk = m * (n + k).
- Primjer: proširiti 7y 2 + 2uy i 2m 3 – 12m 2 + 4lm.
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).
Međutim, faktor koji je nužno prisutan u svakom polinomu ne može se uvijek pronaći, pa ova metoda nije univerzalna.
Metoda proširenja polinoma temeljena na skraćenim formulama množenja
Formule skraćenog množenja vrijede za polinome bilo kojeg stupnja. Općenito, izraz transformacije izgleda ovako:
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), gdje je k predstavnik prirodni brojevi .
U praksi se najčešće koriste formule za polinome drugog i trećeg reda:
u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),
u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).
- Primjer: proširiti 25p 2 – 144b 2 i 64m 3 – 8l 3.
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).
Metoda proširenja polinoma - grupiranje članova izraza
Ova metoda na neki način ima nešto zajedničko s tehnikom za izvođenje zajedničkog faktora, ali ima neke razlike. Konkretno, prije izdvajanja zajedničkog faktora, monome treba grupirati. Grupiranje se temelji na pravilima kombinacijskih i komutativnih zakona.
Svi monomi predstavljeni u izrazu podijeljeni su u skupine, od kojih je svakoj dana zajednička vrijednost tako da će drugi faktor biti isti u svim skupinama. Općenito, ova metoda dekompozicije može se predstaviti kao izraz:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).
- Primjer: rašireno 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Metoda proširenja polinoma – formiranje savršenog kvadrata
Ova metoda je jedna od najučinkovitijih u proširenju polinoma. U početnoj fazi potrebno je odrediti monome koji se mogu “srušiti” u kvadrat razlike ili zbroja. Da biste to učinili, upotrijebite jednu od relacija:
(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2 ,
- Primjer: proširiti izraz u 4 + 4u 2 – 1.
Među njegovim monomima biramo članove koji tvore potpuni kvadrat: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.
Dovršite pretvorbu koristeći skraćena pravila množenja: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Da. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Vrlo često su brojnik i nazivnik razlomka algebarski izrazi koje je potrebno najprije rastaviti na faktore, a zatim, nakon što su među njima pronađeni identični, njima podijeliti i brojnik i nazivnik, odnosno smanjiti razlomak. Cijelo jedno poglavlje udžbenika algebre za 7. razred posvećeno je zadatku rastavljanja polinoma na faktore. Faktorizacija se može napraviti 3 načina, kao i kombinacija ovih metoda.
1. Primjena formula za skraćeno množenje
Kao što je poznato, do pomnožiti polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati dobivene umnoške. Postoji najmanje 7 (sedam) čestih slučajeva množenja polinoma koji su uključeni u koncept. Na primjer,
Tablica 1. Faktorizacija na 1. način
2. Izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada
Ova se metoda temelji na primjeni distributivnog zakona množenja. Na primjer,
Svaki član izvornog izraza podijelimo s faktorom koji izbacimo i dobijemo izraz u zagradama (odnosno rezultat dijeljenja onoga što je bilo s onim što izbacimo ostaje u zagradama). Prije svega trebate pravilno odredi množitelj, koji se mora izvaditi iz zagrade.
Zajednički faktor također može biti polinom u zagradama:
Prilikom izvođenja zadatka "faktoriziranja", morate biti posebno oprezni sa znakovima kada stavljate ukupni faktor izvan zagrada. Za promjenu predznaka svakog pojma u zagradi (b - a), izbacimo zajednički faktor iz zagrada -1 , a svaki izraz u zagradama bit će podijeljen s -1: (b - a) = - (a - b) .
Ako je izraz u zagradama na kvadrat (ili na bilo koju parnu potenciju), tada brojevi unutar zagrada mogu se zamijeniti potpuno slobodno, budući da će se minusi izvučeni iz zagrada množenjem ipak pretvoriti u plus: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 i tako dalje…
3. Metoda grupiranja
Ponekad nemaju svi pojmovi u izrazu zajednički faktor, već samo neki. Onda možete pokušati grupni pojmovi u zagradama tako da se iz svakog može izdvojiti neki faktor. Metoda grupiranja- ovo je dvostruko uklanjanje zajedničkih faktora iz zagrada.
4. Korištenje nekoliko metoda odjednom
Ponekad morate primijeniti ne jednu, već nekoliko metoda faktoriziranja polinoma odjednom.
Ovo je sažetak teme "faktorizacija". Odaberite sljedeće korake:
- Idi na sljedeći sažetak:
Bilo koji algebarski polinom stupnja n može se prikazati kao umnožak n-linearnih faktora oblika i konstantnog broja, koji su koeficijenti polinoma na najvišem stupnju x, tj.
Gdje 
- su korijeni polinoma.
Korijen polinoma je broj (realni ili kompleksni) koji čini da polinom nestaje. Korijeni polinoma mogu biti ili pravi korijeni ili kompleksno konjugirani korijeni, tada se polinom može prikazati u sljedećem obliku:
Razmotrimo metode za dekompoziciju polinoma stupnja “n” u produkt faktora prvog i drugog stupnja.
Metoda broj 1.Metoda neodređenih koeficijenata.
Koeficijenti tako transformiranog izraza određuju se metodom neodređenih koeficijenata. Bit metode je da je unaprijed poznata vrsta faktora na koje se dani polinom rastavlja. Kada se koristi metoda nesigurnih koeficijenata, vrijede sljedeće tvrdnje:
P.1. Dva su polinoma identički jednaka ako su im koeficijenti jednaki za iste potencije x.
P.2. Bilo koji polinom trećeg stupnja rastavlja se na umnožak linearnih i kvadratnih faktora.
P.3. Svaki polinom četvrtog stupnja može se rastaviti na umnožak dvaju polinoma drugog stupnja.
Primjer 1.1. Potrebno je faktorizirati kubni izraz:
P.1. U skladu s prihvaćenim tvrdnjama, identična jednakost vrijedi i za kubni izraz:
P.2. Desna strana izraza može se predstaviti kao pojmovi na sljedeći način:
P.3. Sastavljamo sustav jednadžbi iz uvjeta jednakosti koeficijenata pri odgovarajućim potencijama kubnog izraza.
Ovaj sustav jednadžbi može se riješiti odabirom koeficijenata (ako se radi o jednostavnom akademskom problemu) ili se mogu koristiti metode za rješavanje nelinearnih sustava jednadžbi. Rješavanjem ovog sustava jednadžbi nalazimo da su nesigurni koeficijenti određeni na sljedeći način:
Dakle, izvorni izraz je faktoriziran u sljedećem obliku:
Ova se metoda može koristiti iu analitičkim izračunima iu računalnom programiranju za automatizaciju procesa pronalaženja korijena jednadžbe.
Metoda broj 2.Vieta formule
Vietine formule su formule koje povezuju koeficijente algebarskih jednadžbi stupnja n i njezinih korijena. Ove formule implicitno su predstavljene u djelima francuskog matematičara Françoisa Viete (1540. - 1603.). Zbog činjenice da je Vieth razmatrao samo pozitivne realne korijene, on stoga nije imao priliku napisati ove formule u općem eksplicitnom obliku.
Za bilo koji algebarski polinom stupnja n koji ima n-realnih korijena,
Vrijede sljedeće relacije koje povezuju korijene polinoma s njegovim koeficijentima:
Vietine formule prikladne su za provjeru točnosti pronalaženja korijena polinoma, kao i za konstruiranje polinoma iz zadanih korijena.
Primjer 2.1. Razmotrimo kako su korijeni polinoma povezani s njegovim koeficijentima na primjeru kubne jednadžbe
U skladu s Vietinim formulama, odnos između korijena polinoma i njegovih koeficijenata ima sljedeći oblik:
Slične relacije mogu se napraviti za bilo koji polinom stupnja n.
Metoda br. 3. Rastavljanje kvadratne jednadžbe na faktore s racionalnim korijenima
Iz posljednje Vietine formule slijedi da su korijeni polinoma djelitelji njegovog slobodnog člana i vodećeg koeficijenta. S tim u vezi, ako izjava problema specificira polinom stupnja n s cjelobrojnim koeficijentima
tada taj polinom ima racionalni korijen (nesvodivi razlomak), gdje je p djelitelj slobodnog člana, a q djelitelj vodećeg koeficijenta. U ovom slučaju, polinom stupnja n može se predstaviti kao (Bezoutov teorem):
Polinom, čiji je stupanj za 1 manji od stupnja početnog polinoma, određuje se dijeljenjem polinoma stupnja n binomom, na primjer, Hornerovom shemom ili na najjednostavniji način - "stupcem".
Primjer 3.1. Potrebno je faktorizirati polinom
P.1. Zbog činjenice da je koeficijent najvećeg člana jednak jedan, racionalni korijeni ovog polinoma su djelitelji slobodnog člana izraza, tj. mogu biti cijeli brojevi 
. Svaki od prikazanih brojeva zamijenimo u izvorni izraz i utvrdimo da je korijen prikazanog polinoma jednak .
Podijelimo izvorni polinom s binomom:
Upotrijebimo Hornerovu shemu
Koeficijenti izvornog polinoma postavljaju se u gornjem retku, dok prva ćelija gornjeg retka ostaje prazna.
U prvoj ćeliji drugog retka napisan je pronađeni korijen (u primjeru koji se razmatra napisan je broj "2"), a sljedeće vrijednosti u ćelijama izračunate su na određeni način i to su koeficijenti polinoma, koji se dobiva dijeljenjem polinoma s binomom. Nepoznati koeficijenti određuju se na sljedeći način:
Vrijednost iz odgovarajuće ćelije prvog retka prenosi se u drugu ćeliju drugog retka (u primjeru koji se razmatra napisan je broj "1").
Treća ćelija drugog retka sadrži vrijednost umnoška prve ćelije i druge ćelije drugog retka plus vrijednost iz treće ćelije prvog retka (u primjeru koji razmatramo 2 ∙ 1 -5 = -3 ).
Četvrta ćelija drugog retka sadrži vrijednost umnoška prve ćelije i treće ćelije drugog retka plus vrijednost iz četvrte ćelije prvog retka (u primjeru koji razmatramo, 2 ∙ (-3) + 7 = 1).
Dakle, izvorni polinom je faktoriziran:
Metoda broj 4.Korištenje formula za skraćeno množenje
Skraćene formule množenja koriste se za pojednostavljenje izračuna, kao i rastavljanje polinoma na faktore. Skraćene formule množenja omogućuju vam pojednostavljenje rješenja pojedinačnih problema.
Formule koje se koriste za rastavljanje na faktore
Općenito, ovaj zadatak zahtijeva kreativan pristup, jer ne postoji univerzalna metoda za njegovo rješavanje. Ali pokušajmo dati nekoliko savjeta.
U velikoj većini slučajeva, faktorizacija polinoma temelji se na korolariji Bezoutovog teorema, to jest, korijen se pronalazi ili odabire i stupanj polinoma se smanjuje za jedan dijeljenjem s . Traži se korijen dobivenog polinoma i postupak se ponavlja do potpunog proširenja.
Ako se korijen ne može pronaći, tada se koriste specifične metode proširenja: od grupiranja do uvođenja dodatnih međusobno isključivih pojmova.
Daljnje izlaganje temelji se na vještinama rješavanja jednadžbi viših stupnjeva s cjelobrojnim koeficijentima.
Izbacivanje zajedničkog faktora u zagrade.
Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je slobodni član jednak nuli, odnosno polinom ima oblik .
Očito je korijen takvog polinoma , odnosno polinom možemo prikazati u obliku .
Ova metoda nije ništa više od izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada.
Primjer.
Faktorirajte polinom trećeg stupnja.
Riješenje.
Očito, koji je korijen polinoma, tj x može se izvući iz zagrada:
Nađimo korijene kvadratnog trinoma 
Tako, 
Vrh stranice
Rastavljanje polinoma na faktore s racionalnim korijenima.
Prvo, razmotrimo metodu za proširenje polinoma s cjelobrojnim koeficijentima oblika , pri čemu je koeficijent najvišeg stupnja jednak jedan.
U ovom slučaju, ako polinom ima cjelobrojne korijene, onda su oni djelitelji slobodnog člana.
Primjer.
Riješenje.
Provjerimo ima li netaknutih korijena. Da biste to učinili, zapišite djelitelje broja -18
: . To jest, ako polinom ima cjelobrojne korijene, onda su oni među napisanim brojevima. Provjerimo ove brojeve redom koristeći Hornerovu shemu. Njegova pogodnost također leži u činjenici da na kraju dobivamo koeficijente proširenja polinoma: 
To je, x=2 I x=-3 su korijeni izvornog polinoma i možemo ga predstaviti kao produkt:
Ostaje proširiti kvadratni trinom.
Diskriminant ovog trinoma je negativan, stoga nema pravih korijena.
Odgovor:
Komentar:
Umjesto Hornerove sheme, moglo bi se koristiti odabir korijena i naknadno dijeljenje polinoma s polinomom.
Sada razmotrite proširenje polinoma s cjelobrojnim koeficijentima oblika , a koeficijent najvišeg stupnja nije jednak jedan.
U tom slučaju polinom može imati frakcijsko racionalne korijene.
Primjer.
Faktoriziraj izraz.
Riješenje.
Izvođenjem promjene varijable y=2x, prijeđimo na polinom s koeficijentom jednakim jedan na najvišem stupnju. Da biste to učinili, prvo pomnožite izraz s 4
.
Ako rezultirajuća funkcija ima cjelobrojne korijene, tada su oni među djeliteljima slobodnog člana. Zapišimo ih:
Izračunajmo sekvencijalno vrijednosti funkcije g (y) u tim točkama dok se ne postigne nula. 
To je, y=-5 je korijen 
, stoga je korijen izvorne funkcije. Podijelimo polinom stupcem (kutom) u binom. 
Tako, 
Nije preporučljivo nastaviti provjeravati preostale djelitelje, jer je lakše faktorizirati dobiveni kvadratni trinom 
Stoga, 
Nepoznati polinomi. Teorem o raspodjeli polinoma u sabiranju nepoznanica. Kanonski raspored polinoma.