Vektori i operacija preko vektora. Vektori Sve formule na tematskim vektorima u prostoru

Vektor – ovo je usmjerena ravna linija, odnosno segment koji ima određenu dužinu i određeni smjer. Pusti točku Ali - početak vektora, a poenta B. - Njegov kraj, tada se vektor označava simbolom ili. Vektor zvan nasuprot Vektor i mogu biti označeni .

Formuliramo brojne osnovne definicije.

Lena ili modul Vektor naziva se dužinom segmenta i naznačeno je. Pozva se dužina vektorske nule (njegova suština - tačka) nula I pravci nemaju. Vektor poziva se pojedinačna dužinasingl . Jedinični vektor, koji se smjer poklapa sa smjerom vektora , zvani orta vector .

Pozvani su vektori collinear Ako leže na jednoj ravni ili paralelnim ravnim linijama, zapišite. Colinear vektori mogu imati podudaranje ili suprotne smjerove. ZERO vektor smatra se kolinorom bilo kojem vektoru.

Vektori se nazivaju jednakimAko su kolinore, jednako su režirani i imaju iste dužine.

Nazivaju se tri vektora opšti Ako leže u istoj ravnini ili na paralelnim avionima. Ako su među tri vektora barem jedna nula ili dva oblogaja, tada su takvi vektori odjeljak.

Razmislite u prostoru pravokutnog koordinatnog sustava 0 xYZ.. Izdvajamo koordinate na osi 0 x., 0y., 0z. pojedinačni vektori (orts) i označavaju ih krozrespektivno. Odaberite proizvoljni vektor prostora i kompatibilan je početkom početka koordinata. Dizajniramo vektoru na koordinatnim osovinama i označavamo projekciju kroz sJEKIRA., a Y., a Z. Respektivno. Onda to nije teško pokazati

. (2.25)

Ova je formula primarna u vektorskoj kalkulusu i naziva se dekompozicija vektora ortham koordinate osi . Brojevi sJEKIRA., a Y., a Z.pozvan koordinate vektora . Stoga su koordinate vektora njegove projekcije na koordinatnim osi. Vektor jednakost (2,25) često se bilježi kao

Koristit ćemo oznaku vektora u kovrčavim zagradama, vizualno lakše razlikovati koordinate vektora i koordinata točke. Upotreba funkcije dužine segmenta poznata iz školske geometrije, možete pronaći izraz za izračunavanje vektorskog modula:

, (2.26)

to jest, vektorski modul jednak je kvadratnom kvadratu njegovih koordinatnih kvadrata.

Označite uglove između vektora i koordinate kroz α, β, γ Respektivno. Kosine Ovi uglovi se zove za vektor vodiči A za njih se izvodi omjer:Lojalnost ove jednakosti može se prikazati pomoću svojstava vektorske projekcije na osi, o kojoj će se raspravljati u sljedećem stavku 4.

Neka se vektori daju u trodimenzionalnom prostorusa svojim koordinatama. Sledeće operacije su zauzete: linearno (dodavanje, oduzimanje, množenje broja i dizajna vektora na osi ili nekom drugom vektoru); Nije linearno - razni vektori (skalarni, vektorski, miješani).

1. Dodavanje Na kraju se obavljaju dva vektora, odnosno ako

Ova se formula odvija za proizvoljni konačni broj pojmova.

Geometrijski dva vektora su sklopljeni u dva pravila:

ali) pravilo trougao - Rezultatni vektor zbroja dva vektora povezuje početak prvog s krajem drugog, pod uslovom da se početak sekunde poklapa s krajnjim vektorom; Za zbroj vektora, rezultirajući vektor iznosa povezuje početak prvog s krajem posljednjeg vektora, pod uvjetom da početak naknadnog termina podudara s kraj prethodne;

b) pravilo paralelogram (za dva vektora) - paralelogrami su izgrađeni na režimima - pojmovima kao na stranama navedenim na istom startu; Dijagonala paralelograma koji proizlazi iz njihovog generalnog starta je zbroj vektora.

2. Oduzimanje Dva vektora saniraju se, slično dodavanju, odnosno akoT.

Geometrijski dva vektora formiraju se već spomenutim rulelogramom, uzimajući u obzir činjenicu da je razlika između vektora dijagonalna koja povezuje krajeve vektora, a rezultirajući vektor je usmjeren od kraja završenog na kraju smanjenog vektora.

Važna posljedica oduzimanja vektora je činjenica da ako su tada poznate koordinate početka i kraja vektora za izračunavanje vektorskih koordinata potrebno je od koordinata njegovog kraja da odbiju njegove koordinate . Zaista, bilo koji vektorski prostor Može se zastupno u obliku razlike dva vektora odlaska od početka koordinata:. Koordinate vektora i podudaraju se sa koordinatama točakaAli i UOd porijekla koordinataO(0; 0; 0). Dakle, prema pravilu vektora potrebno je oduzeti koordinate točkeAliiz koordinata poantuU.

3. W. višestruki vektor po broju previdjeti:.

Za λ> 0 - vektor Soncedental ; λ< 0 - vektor suprotno usmereni ; | λ|> 1 - dužina vektora Povećava B. λ vrijeme;| λ|< 1 - vektorska dužina opada λ vrijeme.

4. Pretpostavimo u prostoru usmjerena ravna linija (osovina) l.), vektor Podesite kraj i započnite koordinate. Označite projekcijskim bodovima SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i B. na osovini l. u skladu s tim SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:’ i B.’ .

Projekcija vektor Na osovini l. Naziva se vektorska dužinasnimljeno sa "+" znak ako vektor i osovina l.suočaran, a sa znakom "-", ako i l. Suprotno usmereni.

Ako kao osovina l.uzmi neki drugi vektor, Dobivam projekciju vektora na vektoru r.

Razmotrite neka od osnovnih svojstava projekcija:

1) vektorska projekcija Na osovini l. jednak proizvodu vektorskog modula na kosinu ugao između vektora i osi, to jeste;

2.) Projekcija vektora na osi je pozitivna (negativna), ako vektorski oblici s akutnim ugaonom osobom (glup) ugao, a je nula, ako je ovaj ugao ravno;

3) Projekcija zbroja nekoliko vektora na istoj osi jednak je količini projekcija na ovoj osi.

Formuliramo definicije i teoreme o radova vektora koji predstavljaju nelinearne operacije preko vektora.

5. Skalarni rad Vektori I.naziva broj (skalarni), jednak proizvodu ovih vektora na kosinus uglovaφ između njih, to jeste

. (2.27)

Očito je da je skalarni kvadrat bilo kojeg nulte vektora jednak kvadratu njegove dužine, kao u ovom slučaju ugao Stoga je njen kosine (u 2.27) jednak 1.

Theorem 2.2. Potreban i dovoljan uvjet za okomitost dva vektora jednakost je nula svog skalarnog proizvoda

Korolija. Pavni skalarni radovi jednokrevetne mreže su nula, odnosno

Theorem 2.3. Skalarni proizvod dva vektorakako je definirano njihovim koordinacijama jednakim količini djela njihovih istih koordinata, odnosno

(2.28)

Pomoću skalarnog proizvoda vektora možete izračunati ugao Između njih. Ako su njihove koordinate određene dva ne-nulta vektora, zatim kozinski kutakφ Između njih:

(2.29)

Otuda uvjet za okomitost ne-nulte vektorai:

(2.30)

Pronalaženje vektora projekcije U smjeru koji je odredio vektor može izvesti formula

(2.31)

Uz pomoć skalarnog proizvoda vektora pronađite rad stalne snage u pravoj liniji puta.

Pretpostavimo da je pod djelovanjem stalne snage materijalna točka se kreće ravno sa položaja Aliu regulaciji B. Vektorska snaga obrasci ugao φ Sa vektorom za putovanje (Sl. 2.14). Fizika tvrdi da je rad sile Pri kretanjujednak.

Slijedom toga, rad stalne snage s jednostavnim kretanjem tačke njegove primjene jednak je skalarnom proizvodu vektora snage na vektoru pokreta.

Primjer 2.9.Pomoću skalarnog proizvoda vektora za pronalazak ugla na vrhuSVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: paralelogramA b c d., autobus na vektore

Odluka.Izračunavamo module vektora i njihov skalarni proizvod teoremom (2.3):

Stoga, prema formuli (2,29), dobivamo kosinus umjetnog ugla

Primjer 2.10.Troškovi robe i materijalnih resursa koji se koriste na proizvodnji jedne tone vikendice date su u tablici 2.2 (RUB.).

Koja je ukupna cijena ovih resursa utrošena na proizvodnju jedne tone vikendica?

Tabela 2.2.

Odluka. Uvodemo u obzir dvije verzije: trošak troškova resursa po toni proizvoda i vektor cjenovne jedinice odgovarajućeg resursa.

Onda . Ukupna cijena resursaŠto je skalarni proizvod vektora. Izračunajte u skladu sa formulom (2,28) prema teoremu 2.3:

Dakle, ukupni trošak proizvodnih troškova jedne tone vikendica iznosi 279.541.5 rubalja

Bilješka. Akcije sa vektorima implementiranim u primjeru 2.10 mogu se izvesti na ličnom računaru. Da biste pronašli skalarni proizvod vektora u MS Excelu, koristite funkciju Suppad (), gdje su adrese raspona elemenata matrica navedene kao argumenti, iznos od kojih se mora pronaći. U Mathcadu se skalarni proizvod dva vektora vrši korištenjem odgovarajuće operatore alatne trake matrice

Primjer 2.11. Izračunajte posao koji se obavlja silomAko se tačka njegove aplikacije ravno kreće iz položaja SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:(2; 4; 6) u položaju SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:(4; 2; 7). Kako ugao za AB usmjerena moć ?

Odluka.Smatramo vektoru premještanja, sulfing iz koordinata njegovog krajakoordinate početka

. Formulom (2,28) (jedinice rada).

Ugao φ između I. pronađite prema formuli (2,29), to jeste

6. Tri nekompletna vektorasnimljeno u određenom obrascu za narudžbupravo trojka, ako se primijeti s kraja trećeg vektora Najkraća rotacija iz prvog vektora Do drugog vektorazavršio u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, inametnuti ako u smjeru kazaljke na satu.

Vektorski rad vektor na vektoru nazvan vektor Zadovoljavajući sledeći uslovi:

– Okomito na vektore i;

- ima dužinu jednakegde φ - ugao koji formira vektorii;

- Vektori Formiraju desnu tri (Sl. 2.15).

Theorem 2.4. Neophodan i dovoljan uvjet za kolibranost dva vektora je jednakost nula njihovog vektorskog rada

Theorem 2.5. Vektorski umetnički vektorikako je definirano njihovim koordinatama jednakim trećem redoslijedu vrsta

(2.32)

Bilješka.Odrednica (2,25) odbijena imovinom od 7 odrednica

Cololiary 1.Neophodan i dovoljan uvjet za kolibranost dva vektora je proporcionalnost njihovih koordinata.

COORLIARY 2.Vektorski komadići pojedinačni otvor su jednaki

Cololier 3.Vektorski trg bilo kojeg vektora je nula

Geometrijska interpretacija vektorskog rada Da je dužina rezultirajućeg vektora numerički jednaka području S. Paralelogram izgrađen u upravljačkim vektorima kao na stranama navedenim na istom početku. Doista, prema definiciji, vektorski umjetnički modul vektora jednak je. S druge strane, površina paralelograma ugrađenih u vektore i takođe jednako . Otuda,

. (2.33)

Takođe, pomoću vektorskog proizvoda možete odrediti trenutak sile u odnosu na točku i linearnu brzina rotacije.

Pusti u tačku SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: primijenjena snaga pusti to O. - Nešto prostora (Sl. 2.16). Od toka fizike je poznato da trenutak moći u odnosu na točku O. nazvan vektor koji prolazi kroz tačkuO. i zadovoljava sljedeće uvjete:

Okomito na avion koji prolazi kroz bodove O., SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:, B.;

Njegov modul je numerički jednak radu sile na ramenu.

- formira pravu trojku sa vektorima i.

Slijedom toga, trenutak sile u odnosu na točkuO. je vektorski rad

. (2.34)

Brzina linije bodovi M.teško rotiranje tijela sa kutnom brzinom oko stacionarne osi određuje se formulom Euler, O. - neki fiksni

tačka osi (Sl. 2.17).

Primjer 2.12.Uz pomoć vektorskog proizvoda da biste pronašli područje trokuta ABCUgrađen u vektoruprikazano na jedan početak.

Standardna definicija: "Vektor je usmjereni segment." Obično je to ograničeno na znanje diplomiranog o vektorima. Kome treba neki "usmjereni segmenti"?

I u stvari, koji su vektori i zašto oni?
Vremenska prognoza. "Vetar je sjeverozapadni, brzina od 18 metara u sekundi." Slažete se, smjer vjetroelektrana (tamo gdje puše), a modul (to jest, apsolutna vrijednost) njegove brzine.

Vrijednosti koje nemaju upute nazivaju se skalar. Masa, rad, električni naboj nije usmjeren nigdje. Karakteriziraju ih samo numeričkom vrijednošću - "Koliko kilograma" ili "koliko Joule".

Fizičke količine koje nemaju samo apsolutnu vrijednost, već i smjer se naziva vektor.

Brzina, snaga, ubrzanje - vektori. Za njih je važno "Koliko" i važno "gde". Na primjer, ubrzanje slobodnog pada usmjereno je prema površini zemlje, a njena vrijednost je 9,8 m / s 2. Puls, snaga električnog polja, indukcija magnetnog polja - takođe vektorske vrijednosti.

Sjećate se da su fizičke količine označene slova, latinskim ili grčkim. Arrogo iznad slova pokazuje da je vrijednost vektor:

Evo još jednog primjera.
Automobil se kreće iz a u b. Krajnji rezultat je njegov pokret od točke A do točke B, koji se kreće na vektoru .

Sada je jasno zašto je vektor usmjereni segment. Napomena, kraj vektora je tamo gdje je strelica. Vektor dužine Naziva se dužinom ovog segmenta. Označava: ili

Do sada smo radili sa skalarnim vrijednostima, prema pravilima aritmetičke i elementarne algebre. Vektori - novi koncept. Ovo je još jedna klasa matematičkih predmeta. Za njih, njihova vlastita pravila.

Jednom kada nismo znali za brojeve. Upoznavanje sa njima počelo je u juniorskim razredima. Pokazalo se da se brojevi mogu uporediti jedni s drugima, preklopiti, odbiti, množenje i podijeliti. Saznali smo da postoji broj jedan i broj nule.
Sada se upoznajemo sa vektorima.

Pojmovi "više" i "manje" za vektore ne postoje - mogu biti različiti smjerovi. Možete uporediti samo dužine vektora.

Ali koncept jednakosti za vektore je.
Jednaki Pozvani su vektori koji imaju iste dužine i isti smjer. To znači da se vektor može prenijeti paralelno sa sobom bilo gdje u ravnini.
Singl Nazvan vektor, čija je dužina jednaka 1. Nula - vektor, čija je dužina nula, odnosno njen početak se podudara s ciljem.

Najpogodnije je raditi s vektorima u pravougaonom koordinatnom sustavu - vrlo u kojem crpi grafikone funkcija. Svaka tačka u koordinatnom sustavu odgovara dva broja - njegove koordinate x i y, apscisa i ordinate.
Vektor također postavlja dvije koordinate:

Ovdje u zagradama zabilježile su koordinate vektora - od x i na y.
Jednostavno su: koordinatni kraj vektorske minus koordinate svog starta.

Ako su određene vektorske koordinate, njegova se dužina nalazi uz formulu

Dodavanje vektora

Za dodavanje vektora postoje dva načina.

jedan. Pravilo paralelogram. Da presavimo vektore i, stavili smo početak oba u jednom trenutku. Bit ćete dovršeni do paralelograma i iz iste tačke provodimo dijagonalu paralelograma. Ovo će biti zbroj vektora i.

Sjećate se pričvršćivača o labudu, raku i štuci? Probali su se jako, ali nikad nisu prešli ko sa scene. Napokon, vektorski zbroj sila priloženih za automobil bio je nula.

2. Drugi način dodavanja vektora je pravilo trokuta. Uzmi iste vektore i. Do kraja prvog vektora pričvršćujem početak drugog. Sada povežite početak prvog i kraja drugog. Ovo je zbroj vektora i.

Na isti način se može saviti nekoliko vektora. Dodajemo ih jedan po jedan, a zatim kombiniramo početak prvog s krajem potonjeg.

Zamislite da idete iz točke A do stava B, od B C, od C u D, zatim u e i u f. Konačni rezultat ovih radnji se kreće iz a u f.

Prilikom dodavanja vektora i dobijte:

Suptract vektori

Vektor se šalje suprotnom vektoru. Duljine vektora su jednake.

Sada je jasno koje oduzimanje vektora. Razlika vektora je zbroj vektora i vektora.

Množenje vektora po broju

Kada se vektor umnožava broj k, vektor se dobija vektor, čija se dužina razlikuje od dužine. Presvučen je vektorom ako je K veća i usmjerena je nasuprot ako je K manji od nule.

Vektori skalarnog proizvoda

Vektori se mogu pomnožiti ne samo u brojevima, već i jedni na drugima.

Scalarni proizvod vektora proizvod je duljina vektora na kosinu ugao između njih.

Napomena - premještena dva vektora, a skalarni se pokazao, odnosno broj. Na primjer, u fizici, mehanički rad jednak je skalarnom proizvodu dva vektora - snage i pokreta:

Ako su vektori okomit, njihov skalarni proizvod je nula.
A ovdje je skalarni proizvod izražen kroz koordinate vektora i:

Iz formule za skalarni proizvod možete pronaći ugao između vektora:

Ova je formula posebno pogodna u stereometriji. Na primjer, u zadatku 14 profila ispit u matematici morate pronaći ugao između križanja ravno ili između ravnog i ravnine. Često se zadatak 14 rješava nekoliko puta brže od klasičnog.

U školskom programu u matematici proučava se samo skalarni proizvod vektora.
Ispada da, osim skalarne, postoji i vektorski proizvod kada je vektor kao rezultat vektora. Tko daje ispit u fizici, zna kakva je moć lorentza i moć ampera. Formula za pronalazak ovih snaga uključuje vektorsku umjetnost.

Vektori - koristan matematički instrument. U tome ćete vidjeti prvu godinu.

Definicija 1.Vektor u prostorunazvan usmjereni segment.

Dakle, vektori, za razliku od skalarnih vrijednosti, imaju dvije karakteristike: dužina i smjer. Označit ćemo vektorske simbole ili ali .

(Ovdje Alii U- Početak i kraj ovog vektora (Sl.1)) ali U

Dužina vektora označena je simbolom modula: .Alisl.1

Postoje tri vrste vektora definiranih omjerom jednakosti između njih:

Postepeni vektorioni se nazivaju jednakim, ako se poklapaju početak i završavaju, respektivno. Primjer takvog vektora je vektor snage.

Klizni vektorioni se nazivaju jednakim, ako se nalaze na jednoj ravnijoj liniji, imaju iste dužine i upute. Primjer takvih vektora je vektor brzine.

Besplatni ili geometrijski vektorismatraju se jednakim ako se mogu kombinirati sa paralelnim prijenosom.

Tok analitičke geometrije raspravlja samolabavi vektori.

Definicija 2.Vektor, čija je dužina nula, naziva se nulavektor, ili nula -

vektor.

Očito, početak i kraj nulte vektora podudaraju se. Nulta vektor nema određeni smjer ili ima bilo kosmjer.

Definicija 3.Nazivaju dvije verzije koje su leže na jednoj ravnim ili paralelnim linijama

collinear(Sl.2). Označite:
.sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:

Definicija 4.Pozvani su dva kolinoarna i jednako usmjerena vektora

sonsed.Označite:
.

Sada možete dati strogu identifikaciju jednakosti besplatnih vektora:

Definicija 5.Dva slobodna vektora nazivaju se jednakim, ako su presvučeni i imaju

ista dužina.

Definicija 6.Nazivaju se tri vektora koji leže u jednoj ili paralelnoj avionima

opšti.

Dva okomita nazovite vektore obostrano ortogonal:
.

Definicija 7.Pozvana vektorska izolirana dužina jedan vektorili ort.

Ort, presvučen s nerro vektorom ali nazvati orta vectorali :e. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: .

§2. Line operacije preko vektora.

Na setu vektora identificiranih linearnih operacija: dodavanje vektora i množenje vektora po broju.

I. Dodavanje vektora.

Zbroj od 2 vektora naziva se vektor, od kojih se početak poklapa s početkom prvog, a kraj s krajem drugog, pod uvjetom da se početak sekunde poklapa s krajem prvog.

L. egco vidi da je definirana zbroj dva vektora

dakle (Sl. 3a) poklapa se sa zbrojem vektora,

izgrađen po pravilu paralelograma (Sl. 6). b.

Međutim, ovo pravilo vam omogućava izgradnju sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:

zbroj bilo kojeg broja vektora (Sl. 3B).

sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: + b.

sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:

b. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: + b. + c.

sl.3b. c.

Vektorski vektori u prostoru pod nazivom Umjetni segment, I.E. Segment u kojem su naznačeni njegov početak i kraj. Dužina ili modul, vektor je duljina odgovarajućeg segmenta. Dužina vektora je označena, respektivno ,. Dva vektora nazivaju se jednakim, ako imaju istu dužinu i smjer. Vektor s početkom na točki A i kraj na mjestu u točki ulazi se i prikazuje sa strelicom s početkom na točki A i kraj u točki V. Također smatramo da su nulte vektore, koji su se počeli podudarati s ciljem . Svi nulti vektori se smatraju jednakim jedna drugoj. Oni su naznačeni, a njihova se dužina smatra nulom.

Dodavanje vektora za vektore definiran je operacija dodatka. Da bi se savijali dva vektora i, vektor se odlaže tako da se njegov početak poklapa sa kraj vektora. Vektor, čije se porijeklo poklapa s početkom vektora, a kraj - s krajem vektora naziva se zbroj vektora i naznačeno je

Navedeno je vektorsko umnožavanje na broju vektorskih radova na broju t. Po definiciji, proizvod vektora na broju -1 naziva se vektorskim i označava po definiciji, vektor ima smjer nasuprot vektoru i proizvodu vektora na broj t koji se naziva vektor, dužina je jednak, a smjer ostaje isti ako t\u003e 0 i mijenja suprotno ako t 0 i mijenja se u suprotno ako t

Svojstva vektora nazivaju se vektor, koji se označava da umnožava vektor na broj vrijednosti svojstava, slično svojstvu množenja brojeva, naime: nekretnina 1. (moda). Nekretnina 2. (prvi zakon o distribuciji). Imovina 3. (Drugi zakon o distribuciji).

Definicija

Skalarna vrijednost - Vrijednost koja se može okarakterisati brojem. Na primjer, dužina, površina, težina, temperatura itd.

Vektor nazvan usmjereni segment $ \\ overline (a b) $; Točka $ a $ je početak, točka B $ je kraj vektora (Sl. 1).

Vektor je označen ili dva velika slova - njegov početak i kraj: $ \\ Overline (a b) $ ili jedno malo slovo: $ \\ overline (a) $.

Definicija

Ako se početak i kraj vektora poklapaju, tada se takav vektor naziva nula. Najčešće je nulta vektor označen kao $ \\ overline (0) $.

Pozvani su vektori collinearAko leže ili na jednoj ravnijoj liniji, bilo na paralelnim ravnim linijama (Sl. 2).

Definicija

Dva kolinoarna vektorska vektora \\ overline (a) $ i $ \\ overline (b) $ nazvana sonAko su njihovi smjerovi podudaraju: $ \\ Overline (a) \\ starrow \\ starrow \\ overline (b) $ (sl. 3, a). Dva kolinoarna vektorska vektora \\ overline (a) $ i $ \\ overline (b) $ nazvana suprotno usmerenoAko su njihovi smjerovi suprotni: $ \\ Overline (a) \\ starrow \\ dokrarower \\ overline (b) $ (Sl. 3, b).